2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷17

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
文科数学(十七) 【p 285】 (圆锥曲线的综合问题) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)
1．已知点A(3，4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|MA|＋|MF|最小时， M 点的坐标是( )
A ．(0，0)
B ．(3，26)
C ．(2，4)
D ．(3，－26)
【解析】 设M 到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当K ，M ，A 三点共线时，|MA|＋|MK|最小，此时M 点的坐标是(2，4)，选C .
【答案】C
2．不论k 为何值，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 2
4＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )
A ．[－2，2]
B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C ．[2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
【解析】点(0，b)在椭圆上或其内部时恒有公共点，则－2≤b ≤2.
【答案】A
3．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时，它与定点Q(3，0)所连线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )
A ．(x ＋3)2＋y 2＝4
B ．(x －3)2＋y 2＝1
C ．(2x －3)2＋4y 2＝1
D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1
【解析】设P 点坐标为(m ，n)，M 点坐标为(x ，y)， 则由条件得：m ＋3＝2x ，n ＋0＝2y ， 所以m ＝2x －3，n ＝2y.
又点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动， 所以m 2＋n 2＝1，
于是有(2x －3)2＋(2y)2＝1⇒(2x －3)2＋4y 2＝1. 故选C . 【答案】C
4．已知直线y ＝k ()x ＋2()k>0与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||FA ＝2||FB ，则k ＝( )
A .13
B . 23
C . 23
D .223
【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k(x ＋2)(k ＞0)恒过定点P(－2，0)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，
如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B 为AP 的中点，连接OB ，则2|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，即x 0＋2＝x 20＋y 20＝x 2
0＋8x 0，解得x 0＝1，y 0＝22，
故点B 的坐标为(1，22)， ∵P(－2，0)，
∴k ＝22－01＋2＝223.故选D .
【答案】D
5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交
于A ，B 两点且AF →＝3BF →
，则双曲线离心率的最小值为( )
A . 2
B . 3
C ．2
D ．2 2
【解析】由题意，A 在双曲线的左支上，B 在右支上， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，右焦点F(c ，0)， ∵AF →＝3BF →， ∴c －x 1＝3(c －x 2)， ∴3x 2－x 1＝2c.
∵x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴3x 2－x 1≥4a ， ∴2c ≥4a ， ∴e ＝c
a
≥2，
∴双曲线离心率的最小值为2，
故选C . 【答案】C
6．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN|
|AB|
的最大值是( )
A . 3
B .32
C .33
D .3
4
【解析】过A 作AG ⊥l ，G 为垂足；过B 作BE ⊥l ，E 为垂足．由抛物线的定义知：GA ＝AF ，BE ＝BF ，MN ∥AG ∥BE ，
因为M 是AB 的中点，所以MN 是梯形ABEG 的中位线，所以|MN|＝12()|AG|＋|BE|＝
1
2(|AF|＋|BF|)
由余弦定理：
|AB|＝
|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|cos
2π
3
＝|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|， 所以⎝⎛⎭⎫
|MN||AB|2
＝1
4（|AF|＋|BF|）2|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|
＝1
4⎝⎛⎭⎫1＋|AF|·|BF||AF|2＋|BF|2＋|AF||BF| ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋
1|AF||BF|＋|BF||AF|＋1 ≤14⎝
⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立． 所以|MN||AB|≤33
，故选C .
【答案】C 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．) 7．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 【解析】设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，
该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2
－8|5
＝
⎪⎪⎪⎪－3⎝
⎛⎭⎫m －232
－2035
，
当m ＝23时，取得最小值为4
3.
【答案】4
3
8．已知直线l 与抛物线C: y 2＝4x 相交于A, B 两点，若线段AB 的中点为()2，1，则直线l 的方程为______________．
【解析】设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，代入抛物线方程得⎩⎨⎧y 2
1＝4x 1，
y 22＝4x 2，
两式相减得()y 1＋y 2()y 1－y 2＝4()x 1－x 2， 即
y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4
2
＝2，即直线AB 的斜率为2， 由点斜式得y －1＝2()x －2， 化简得y ＝2x －3. 【答案】y ＝2x －3
9．己知F 1，F 2是椭圆C: x 2a 2＋y 2
b 2＝1()a>b>0的焦点， P 是椭圆C 上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，
则椭圆C 的离心率的取值范围是__________ .
【解析】因为||PF 1＝2||PF 2， ||PF 1＋||PF 2＝2a ，
所以||PF 2＝2a
3，又a －c ≤||PF 2≤a ＋c ，
故a －c ≤2a 3≤a ＋c ，所以c a ≥1
3，
即离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫
13，1. 【答案】⎣⎡⎭⎫13，1
10．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1的左、右两支各交于一点，则k 的取值范围是____________．
【解析】设两个交点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx －1，
x 2－y 2＝1，
化简得(1－k 2 ) x 2＋2kx －2＝0(1－k 2≠0)．
因为直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的左右两支各交于一点， 所以两个交点的横坐标符号相反，即x 1·x 2＝－2
1－k 2
<0，
解不等式可得－1<k<1.
所以k 的取值范围是(－1，1)． 【答案】(－1，1)
三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(13分)如图所示，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A(1，0)，M 为圆上一动点，点
P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →
＝0，点N 的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E 于不同的两点G ，H(点G 在点F ，H 之间)，且满足FG →＝λFH →
，求λ的取值范围．
【解析】(1)∵AM →＝2AP →，NP →·AM →
＝0，∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|. 又∵|CN|＋|NM|＝22，∴|CN|＋|AN|＝22＞2.
∴动点N 的轨迹是以点C(－1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长2a ＝22，焦距2c ＝2. ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝1. ∴曲线E 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)当直线GH 的斜率存在时，设直线GH 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 22＋y 2
＝1，
得⎝⎛⎭⎫1
2＋k 2x 2＋4kx ＋3＝0. 由Δ＞0得k 2＞32
.
设G(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 12＋k 2，x 1x 2＝3
12＋k 2.
又∵FG →＝λFH →
，∴(x 1，y 1－2)＝λ(x 2，y 2－2)， ∴x 1＝λx 2，∴x 1＋x 2＝(1＋λ)x 2，x 1x 2＝λx 22.
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 21＋λ2
＝x 22
＝x 1x 2λ， ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－4k 12＋k 2
2
（1＋λ）2＝3
12＋k 2λ，整理得16
3⎝⎛⎭⎫12k 2＋1＝（1＋λ）2λ.
∵k 2＞32，∴4＜1632k
2＋3＜16
3
，
∴4＜λ＋1λ＋2＜163，解得1
3＜λ＜3且λ≠1.
又∵0＜λ＜1，∴1
3
＜λ＜1.
又当直线GH 的斜率不存在时，方程为x ＝0，FG →＝13FH →
，λ＝13.
∴1
3
≤λ＜1，即所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1.
12．(13分)已知双曲线C 的实轴在x 轴，且实轴长为2，离心率e ＝3，l 是过定点P(1，1)的直线．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)判断l 能否与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 恰好以点P 为中点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(1)∵2a ＝2，∴a ＝1，又c
a ＝3，∴c ＝3，
∴b 2＝c 2－a 2＝2，a 2＝1，
∴双曲线C 的标准方程为：x 2
－y 2
2
＝1.
(2)①若过点P 的直线斜率不存在，则l 的方程为：x ＝1， 此时l 与双曲线只有一个交点，不满足题意．
② 若过点P 的直线斜率存在且设为k ，则l 的方程可设为：y －1＝k(x －1)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x ，y)，
由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k(1－k)x －(1－k)2－2＝0 ① 显然，要有两个不同的交点，则2－k 2≠0. 所以x ＝x 1＋x 22＝k （1－k ）2－k 2
，
要以P 为中点，则有x ＝x 1＋x 22＝k （1－k ）
2－k 2
＝1，解得k ＝2，
当k ＝2时，方程①为：2x 2－4x ＋3＝0，该方程无实数根，即l 不会与双曲线有交点，
所以，不存在过点P 的直线l 与双曲线有两交点A 、B ，且线段AB 以点P 为中点． 13.
(14分)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经过定点B(1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线．过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E 、F 两点． (1)求证：|EA|＋|EB|为定值； (2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ， 证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.【解析】(1)设AE 切圆Γ于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ，故EM ＝EB.
从而||EA ＋||EB ＝||AM ＝AP 2－PM 2＝AP 2－PB 2 ＝AN 2－BN 2＝25－9＝4， 所以||EA ＋||EB 为定值4.
(2)由(1)同理可知||FA ＋||FB ＝4，
故E 、F 均在椭圆x 24＋y 2
3＝1上．
设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 令x ＝4，求得y ＝3m ，即Q 点纵坐标y Q ＝3
m .
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2
3＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设E(x 1，y 1)、F(x 2，y 2) 则有y 1＋y 2＝－
6m 3m 2
＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4
. 因为E 、B 、F 、Q 在同一条直线上， 所以||EB ·
||FQ ＝||FB ·||EQ 等价于(y B －y 1)(y Q －y 2)＝(y 2－y B )(y Q －y 1)， 即－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3
m －y 1y 2
等价于2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3
m .
代入y 1＋y 2＝－
6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4
知上式成立．
所以||EB ·
||FQ ＝||FB ·||EQ .。