第十章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

10.1 对弧长的曲线积分

一、求曲线cos ,sin ,t

t

t

x e t y e t z e ===从0t =到任意点间的那段弧的质量，设

它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为

1。

1)t

e -

）

二、计算下列曲线积分：

1.

L

，其中L 为旋轮线：(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨

=-⎩（0t π≤≤2）。

（32

4a π）

2. ()L

x y ds +⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B 的三角形边界。

（1

3.

L

⎰，其中L 是由极坐标曲线

,0,r a π

θθ===

4所围成的区域的

边界

曲线。

（

2(1)a a

e ae π

-+

4

）

4. ()L

x y z ds ++⎰，其中L 由直线AB ：(1,1,0),(1,0,0)A B 及螺线

cos ,sin ,(02)x t y t z t t π===≤≤组成。

（3

22

+）

三、 计算

L

⎰，其中L

是由,0y x y y ===所围成的

第

一象限

部

分

的

边

界

。

（

2sin cos R R R

π

+

4

）

四、 计算

L

，其中L 是圆：2222x y z a x y ⎧++=⎨

=⎩。 （2a π2

）

五、 计算 L

xds ⎰ ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线2

2y x

-=所围成的第一象

限部分的整个边界

。

（12

12+

） 10.2 对坐标的曲线积分

一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离

成正比，比例系数为k 。若质点从点(0,)a 沿椭圆22

221x y a b +=在第一象限部

分

移

动

到

点

(0,b ，

求弹力所做的功。

（221

()2k a b -）

二、计算曲线积分

22

(2)(2)L

x xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)

y x x =-≤≤沿

x

增加的

方

向

。

（14

15-

） 三、 计算

2

y

L

xe dy +⎰，其中L

是曲线y 从点(0,0)O 到点(1,1)的一

段

弧

。

（2322）

四、 计算

2222

()()L

x y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到

点

(2,0)

的一

段

。

（43）

五、 计算 ABC

xdy ydx

-⎰

，其中(1,0),(0,1),(1,0)A B C -， AB 为圆

22

1x y +=的上半部分， BC 为L 是一段抛物线2

1y x

=-。

（

4

3π

-

-

2

）

六、 计算

L

xdy

⎰ ，其中L 是由直线1

23x y

+=和两个坐标轴构成的三角形闭路，

沿

逆

时

针

方

向

。

（3）

七、 计算

222()2L

y z dx yzdy x dz -+-⎰，其中L 是曲线23

,,x t y t z t ===从

0t =到

1

t =的一

段

弧

。

（1

35）

八、已知平面力场{,}F y x =

，将单位质量的质点M 从坐标原点沿直线移动到椭

圆22

2

21x y a b +=在第一象限上，问终点在何处时，力F 做功最大？并求出功

的

最

大

值

。

（max 2ab W =

） 10.3 格林公式及其应用

一、 利用曲线积分计算由旋轮线 (sin )

(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨

=-⎩（0t π≤≤2）与x 轴所围区

域的面积。

（2

3a π）

二、 利用格林公式计算下列曲线积分：

1.

222

()()L

x y dx x y dy ++-⎰ ，其中L 是顶点为(1,1),(3,3),(3,5)A B C 的三角形的边界

，

沿

逆

时

针

方

向

。

（12-）

2.

22L

xy dx x ydy -⎰ ，其中L 是圆周222

x y R +=的逆时针方向。

（0）

3.

2222(2)(2)L

x xy y dx x xy y dy +-+-+⎰，其中L 是从点(0,1)A -沿直

线1y x =-到点(1,0)M ，再从点M 沿圆周2

2

1x y +=的逆时针方向