2021年中考难点突破----二次函数专题研究(3)

【例2】(2020·嘉兴)已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）y
A．当n－m=1时，b－a有最小值. C．当b－a=1时，n－m无最小值.
B．当n－m=1时，b－a有最大值. D．当b－a=1时，n－m有最大值. A (a，n）
【解析】①当b-a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，
由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
点在x轴下方 点在x轴上
a+b+c>0 a+b+c<0 a+b+c=0
-1
O
1
x
知识点三：二次函数中a、b、c的符号问题
2： a+b+c和a-b+c符号判断 y
（6）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
2a
知识点四：二次函数中b2-4ac的符号问题
b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定。
与x轴没有交点
与x轴一个交点
x 与x轴两个交点
形
x
数
aa＞＞00 4aa4c4c4aaabb222＜＜00
b2-4ac=><0
a＜＜00 44aaacccbbb22＜2＞00 444aaa
b2-4ac><=0
知识点五：二次函数与一元二次方程的联系
二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图像与x轴交于( x1,0), ( x2 ,0)
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两实数根为x x1, x x2,
二次函数y ax2 bx c(a 0)的图像与x轴的交点横坐标 是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根
∴n﹣m≥0，即n-m无最大值，有最小值，最小值为0，
故选项C，D都错误；
【例2】(2020·嘉兴)已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）
A．当n－m=1时，b－a有最小值.
B．当n－m=1时，b－a有最大值.
y
C．当b－a=1时，n－m无最小值.
D．当b－a=1时，n－m有最大值.
抛物线y ax2 bx c(a 0) 与x轴交于两点 抛物线y ax2 bx c(a 0) 与x轴交于一点
抛物线y ax2 bx c(a 0) 与x轴无交点
b2 4ac＞0 b2 4ac 0 b2 4ac＜0
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有两个不相等的实数根
【例4】（2019•湖北）在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a≠0)和直线L:y=kx+b， 点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线L上． （1）若抛物线C与直线L有交点，求a的取值范围； （2）当a=-1，二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【解析】对于③：当b=-5时，在同一直角坐标系内画出y1,y2的图像， 如下图所示，其中红色部分即表示M，联立y1,y2的函数表达式，即-x2+4x+=2x-5， 求得其交点的横坐标为1+ 6 和1 6，故M=3时分类讨论：当y=-x2+4x=3时， 解得x1=3或x2=1，当y2=2x-5=3时，解得 x3 4 1 6 (舍)，故③正确； 对于④：当b≥1时，函数y1≥y2，此时y2图像一直在y1图像上方， 如下图所示，故此时M=y2，故M随x的增大而增大，故④正确． 因此本题答案为：②③④．
（2）当a=-1，二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 解：（2）根据题意可得，y=-x2+2x-1， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴x=1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值-4， 当y=-4时，有-x2+2x-1=-4， ∴x=-1或x=3 ①在x=1左侧，y随x的增大而增大， ∴x=m+2=-1时，y有最大值-4， ∴m=-3； ②在对称轴x=1右侧，y随x增大而减小，∴x=m=3时，y有最大值-4；
②a＞0时，x=-3时，y≤-3， 即 ， a 4
9
直线AB的解析式为
，y 1 x 3
22
抛物线与直线联立：
△
， 9 ，2a 0
4
ax，2
2x
1
12，x
3 2
a 9 8
∴a的取值范围为
或 4 ；a＜9 a 2
9
8
ax2 3 x 1 0 22
【例5】（2020•十堰）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的 出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后， 每台设备的生产成本将会增加，设第x天(x为整数）的生产成本为m（元台），m与x的关系如图所示．
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有两个相等的实数根
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 无实数根
【例1】(2020宜宾)函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中n＞0．
以下结论:①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
a-b+c>0
a-b+c<0 a-b+c=0
4a+2b+c 9a-3b+c
-1
O
1
x
知识点三：二次函数中a、b、c的符号问题
归纳知识点：如何确定形如代数式ax2+bx+c的的符号
y=a+b+c
当x=1时对应的y的值
y=a-b+c
当x=-1时对应的y的值
y=4a+2b+c
当x=2时对应的y的值
y=4a-2b+c
解：（1）点A(-3,-3),B(1,-1)，代入y=kx+b，得：k3kbb13
k1
2 b 3
2
联立 y ax2 2x 1 与 y 1 x 3，则有2ax2+3x+1=0，
22
∵ 抛物线C与直线L有交点，∴△=9-8a≥0， a 9 且a 0.
8
【例4】（2019•湖北）在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a≠0)和直线L:y=kx+b， 点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线L上．
即y
4ac b2 4a
y最小值
4ac b2 4a
若a＜0，则a(x
b )2 2a
0
a(x
b 当)2 x
2a
4ac bb时 2 ，4ac b2
42aa
4a
即y
4ac b2 4a
y最大值
4ac b2 4a
知识点七：二次函数的最值
2：自变量在一定范围内取值时二次函数的最值
函数图像上最高点的的纵坐标为最大值； 函数图像上最低点的的纵坐标为最小值；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值．其中正确的是（ ）
A．①③
B．①②③
C．①④
D．②③④
【解析】①∵正函确数，y＝②ax错2+b误x+；c（③a错≠误0）；的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）， ∵当∴∵对﹣a顶称＜3点≤轴0为，x为（≤cx＞＝﹣3时01﹣，，对1当，n称）x∴＝轴，x﹣为＝ ∴1x抛时＝与物，﹣x线＝y1有，解﹣最∴析3的大b式＝函值为2数为a；＜值ny，0是＝，当相a∴(x等＝a+b的13c)时＞，2+n，0故＝，y②a有故x错2最①+误2小正a；x值确+a为，+n1，6a+n，故④正确， 故由选题：意C可．得ax2+（2a﹣k)x+a+n﹣1＝0，∴△＝(2a﹣k)2﹣4a(a+n﹣1)＝k2﹣4ak+4a﹣4an， ∵无法判断△是否大于0，∴无法判断两函数图象的交点个数，故③错误；
【解析】②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，
M （b，n）
NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝ MH 1.
NH b a
∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，
(a，m） NH
PQ
O
ab
x
当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1）， 1
a
b2 4ac a2
b2 4ac a
知识点七：二次函数的最值
1：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值
配方
y ax2 bx c(a 0) y a(x
b
)2 4ac b2
2a
4a
≥0
若a＞0，则a(x
b )2 2a
0
a(x
b 2a
当)2 x
4ac42abab时 2 ，4ac4a b2
知识点三：二次函数中a、b、c的符号问题
1：基本符号的判断
（3）b的符号： 由对称轴的位置及a 的符号确定。
y
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对 称 轴是y轴
b=0
形
数
o
简记为： 左同右异
知识点三：二次函数中a、b、c的符号问题
2： a+b+c和a-b+c符号判断
（5）a+b+c的符号 ： y
显然只要b＞0，则M的值为4+b，故①错误； 对于②：当b= -3时，在同一直角坐标系内画出y1,y2的图像， 如下图所示，其中红色部分即表示M， 联立y1,y2的函数表达式，即-x2+4x+3=2x-3，求得交点横坐标为3和-1， 观察图形可知M＞y2的x的取值范围是-1＜x＜3，故②正确；
【例3】(2020·内江)已知抛物线y1=-x2+4x（如图）和直线y2=2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对 应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1=y2，记M=y1-y2．①当x=2时，M的最大值 为4；②当b=-3时，使M＞y2的x的取值范围是-1＜x＜3；③当b=5时，使M=3的x的值是x1=1，x2=3；④当 b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）
•A
B
•A
• •
• B A点的纵坐标是函数的最大值 B点的纵坐标是函数的最小值
A A点的纵坐标是函数的最小值 B点的纵坐标是函数的最小值
B• A点的纵坐标是函数的最大值 B点的纵坐标是函数的最小值
知识点七：二次函数的最值
3：生活中二次函数的最值
结合生活中的实际，即自变量的取值范围和函数值的范围求解。
C
B（b，m）
∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，
DE abO
x
∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b-a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD-CD＝n-m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝ AC＝n-m，
BC
∵点A，B在抛物线y＝x2上，∴0°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥0，
综上所述：m=-3或m=3；
【例4】（2019•湖北）在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a≠0)和直线L:y=kx+b，
点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线L上．
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
解：（3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，即a≤-2；
九年级
难点突破---二次函数（3）
知识点六：二次函数的图像在x上截线段的长
二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图像与 x轴交于A(x1,0), B(x2,0)
AB x1 x2
(x1 x2 )2
x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
(x1 x2 )2 4x1x2
b
2
4
c
a
∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴b a ≥1， ∴b-a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B．
【例3】(2020·内江)已知抛物线y1=-x2+4x（如图）和直线y2=2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对 应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1=y2，记M=y1-y2．①当x=2时，M的最大值 为4；②当b=-3时，使M＞y2的x的取值范围是-1＜x＜3；③当b=5时，使M=3的x的值是x1=1，x2=3；④当 b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号） 【解析】对于①：当x=2时，y1=-22+4×2=4，y2=2×2+b=4+b，
当x=-2时对应的y的值
y=9a+3b+c
当x=3时对应的y的值
y=9a-3b+c
当x=-3时对应的y的值
y=am2+bm+c
当x=m时对应的y的值
知识点三：二次函数的符号问题
3：2a+b和2a-b符号判断 y
由ห้องสมุดไป่ตู้称轴与直线x=1 或 x=-1的位置确定.
当判断2a+b的符号时，比较 2ba与1的大小关系 当判断2a-b的符号时，比较 b 与-1的大小关系