专题10 分式方程及其应用(原卷版)

专题10 分式方程及其应用

1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);

（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。

【例题1】（2020•哈尔滨）方程2

x+5=1

x−2

的解为（）

A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9 【对点练习】（2019▪黑龙江哈尔滨）方程＝的解为（）

A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝

【例题2】（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3x

x−2=m

2−x

+5的解为正数，则m的取值范围为（）

A．m＜﹣10 B．m≤﹣10

C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6

【对点练习】（2019•江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是．

【例题3】（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件

产品，依题意得（）

A．400

x−30=500

x

B．400

x

=500

x+30

C．400

x =500

x−30

D．400

x+30

=500

x

【对点练习】（2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.

【例题4】（2020贵州黔西南）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．

【对点练习】（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3

5

．

（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．

一、选择题

1．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程x

x−2−4=k

2−x

的解为正数，则k的取值范围是（）

A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2

2．（2020•泸州）已知关于x的分式方程m

x−1+2=−3

1−x

的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（2020•成都）已知x＝2是分式方程k

x +x−3

x−1

=1的解，那么实数k的值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

4.（2019•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）

A．＝B．＝

C．＝D．＝

5.（2019黑龙东地区）已知关于x的分式方程2

1

3

x m

x

-

=

-

的解是非正数，则m的取值范围是（）

A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3

6.（2019山东淄博）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（）

A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）

C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）

7.（2019•广西贵港）若分式的值等于0，则x的值为（）

A．±1 B．0 C．﹣1 D．1

8.（2019•湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）

A．﹣＝15 B．﹣＝15

C．﹣＝20 D．﹣＝20

9. （2019•山东省济宁市）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（）

A．﹣＝45B．﹣＝45

C．﹣＝45D．﹣＝45

10.（2019•江苏苏州）小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人

的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软

面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）

A．1524

3

x x

=

+

B．

1524

3

x x

=

-

C．

1524

3

x x

=

+

D．

1524

3

x x

=

-

二、填空题

11．（2020•徐州）方程9

x =8

x−1

的解为．

12．（2020•盐城）分式方程x−1

x

=0的解为x＝．

13．（2020•广元）关于x的分式方程m

2x−1

+2＝0的解为正数，则m的取值范围是．

14.（2019•甘肃）分式方程＝的解为．

15.（2019•山东省滨州市）方程+1＝的解是．

16.（2019▪湖北黄石）分式方程：﹣＝1的解为．

17.（2019四川巴中）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为．