初三数学 直角三角形三角函数

一、一周知识概述

2）三个锐角三角函数：

（3）三个三角函数之间的关系：

①互余关系 sinA=cos（90°－A）、cosA=sin（90°－A）

②平方关系：

③商数关系：

出图形.

（2）若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角

有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面 AB 与地面 BC 的倾斜程度，有时用坡角α的大小来反映。当α（0°≤α≤90°）较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面AB 的铅垂高度h 和水平宽度的比叫做坡度，用字母i 表示.

二、重难点知识概述

1、重点

（2）0°、90°的特殊情况：sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，sin90°=1，

cos90°=0，tan90°不存在.

（3）已知锐角α，则可求出 sinα,cosα,tanα的值，当α是0°～90°中一般角时，可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出0°~90°间的角.

（4）利用直角三角形中的边角关系，解决实际问题.

2、难点将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。一般来说，辅助线不要破坏所给的特殊角.

一、周知识概述

1、从实际问题出发——梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通

过学习发现：把这一问题

转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定

显然，梯子的倾斜程度与 tanA 的值的大小有关，当 0 °

，梯子越陡 .

2、相应地规定正弦：

3、关于30°，45°，60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三角形大小无关，而与两锐角大小有关.

当∠A=60°时

将它们的特殊值列表如下：

4

、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把∠A 的邻边与∠A的对边之比起名为余切，即

三角函数

角α的度数

sinαcosαtanα

050

当∠A=30°时当∠A=45°时

1

5、在Rt△ABC 中，由锐角 A（0°

可得出即 sin2A＋cos2A=1.

6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定：

（b ≠ 0 ），而 sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90 °不存在 .

二、本周重难点1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大

小 .

2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.

三、重难点知识讲解

例 1 、若关于 x 的一元二次方程 x2＋ ax ＋ b=0 的两根是一直角三角形两锐角的正弦值，且 a＋5b=1，求 a,b 的值.

分析：此题要用到两个方面的知识 . 一是一元二次方程根与系数的关系，二是利用在Rt △中，当∠ C=90 °时，有∠ A ＋∠ B=90 °，∴∠ B=90 °－∠ A ，则sinB=sin（90 °－ A）=cosA 的关系，建立 a,b 的方程组求解.

解：设直角三角形ABC 中，∠C=90°，依题意：sinA＋sinB=－a

1），sinA·sinB=b，又∵∠A＋∠B=90°，∴∠B=90°－∠A．

∴sinB=sin（90°－A）=cosA 则将（1），（2）式化为：

sinA＋cosA=－a （3）sinA·cosA=b（4）

（3）2－（ 4 ）× 2 ，得

sin2A＋cos2A+2 sinA·cosA－2 sinA·cosA= a2－2b，由 sin2A ＋ cos2A=1 ，∴ a2－ 2b=1 （ 5 ），又由条件可知 a＋5b=1 （6），解（5）（6）组成的方程组，消去a得

综上所得例 2、为了农田灌溉的需要，某乡利用土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出一个深为 1.2 米，下底宽为2 米，坡度为1﹕0.8 的渠道（其横断面为等腰梯形）（如图），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加0.6 米.

求（1）渠面宽EF 的长；（2）若修300 米长的渠道需挖的土方数是多少？

解析：从图中可知，将原土堤横断面 MNPQ中挖出一个等腰梯形 ABCD，且将挖出的土

方

填在原土堤两边加高后，修成一个等腰梯形 EBCF的渠道以便灌水，这中间要求AD、EF

等量.

解：（1）如图过 F 作FG⊥BC 交 BC 的延长线于 G，则：FG=0.6＋1.2=1.8（米）2）过 D 作DH⊥CG 交 CG 于 H，则由且 DH=1.2，

例3、在Rt△ABC 中∠C=90°，AB=6，BC=2.求

（1）sinA, cosA, tanA 的值；

（2）sinA 与 cosB 是否相等？sinB 与 cosA 是否相等？为什么， tanA 与 sinA，cosA 又有什么关系，为什么？

（3）sin2A 与 cos2A 有什么关系？为什么？

解：∵BC=2，AB=6，

1）

同

理：

（2）

又∵∠B=90°－∠A，即 sinA=cos（90°－A）①

∴sinB=cosA 而∠A=90°－∠B

∴sinB=cos（90°－B）②

且 sin2A ＋ cos2A= 综上所述，除了掌握从0°～90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关系，可分为：

（1）互余关系：sinA=cos（90°－A），cosA=sin（90°－A）

（2）平方关系：sin2A＋cos2A=1

（3）商数关系：可作为公式使用.

例4、在Rt△ABC 中，∠C=90°，若求 tanB 的值.

解析：此题有两种解法，一是定义法，二是用三角函数间的关系式.

解法一：定义法：在Rt△ABC 中，∠C=90°，且∴设 BC=3a，∴AB=5a，

解法二：∵sinA=cos（90°－A）=cosB，又∵sin2B＋cos2B=1，且 sinB>0,

3）