四年级 第1讲 加法原理(教师版)
人教版小学四年级数学第1讲：加乘原理(教师版)
第一讲加乘原理加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
小学阶段只学习两个原理的简单应用。
一：两种原理的基础内容的记忆和计算的方法。
二：两种计数原理的区分和综合应用。
【题目】：1用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？【解析】：运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
四年级上册数学人教版《加乘原理》课件
加乘原理
例题4
①甲→乙→丙：2×4=8 （种） ②甲→丁→丙：3×3=9 （种）
8+9=17（种）
练习8
C D E
①A→C →B 5×5=25（种） ②A→D →B 5×5=25（种） ③A→E →B 5×5=25（种）
25+25+25=75（种）
例题5
①讲数学： 1×4×5=20 （种） ②讲语文： 7×1×5=35 （种） ③讲英语： 7×4×1=28 （种） ④都不讲： 7×4×5=140 （种）
2000-3000
千位为2 百位+十位+个位 =9-2=7
①百位为0： 0+7；1+6；2+5；3+4；4+3；5+2；6+1；7+0； 8种
②百位为1 ：0+6；1+5；2+4；3+3；4+2；5+1；6+0 7种
③百位为2 ：0+5；1+4；2+3；3+2；4+1；5+0
6种
④百位为3 ：0+4；1+3；2+2；3+1；4+0
加乘原理
课堂引入
小红有三件衣服，两条裤子，问小红有几种搭配？
3×2=6种 分步
3×2×3=18种 缺一不可
乘法
课堂引入
小明中午去食堂吃饭，饭有三种：鸡腿饭、猪排饭、咖喱牛肉饭； 面有两种：西红柿鸡蛋面、葱油拌面。小明只想吃一种， 请问小明有几种选择？
分类
3+2=5（种） 一类就完成
加法
热身运动
7+6+5+4+3+2+1=7×8÷2=28（次）
小学4年级暑假奥数：加乘原理-讲义-教师版
第1讲 加乘原理【学习目标】1、进一步学习加法原理和乘法原理；2、学会加法原理和乘法原理的解题方法。
【知识梳理】1、加法原理：如果完成一件任务有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同方法，在第二类办法中有2m 种不同方法……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。
那么完成这件任务共有N ＝1m ＋2m ＋3m ＋……＋n m 种不同的方法。
2、乘法原理（分步）：如果完成一件任务需要分成N 个步骤进行，做第1步有1m 种方法，做第2步有2m 种方法，……做第N 步有n m 种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N=1m ×2m ×…×n m （种）不同的方法。
【典例精析】【例1】从成都到上海每天有6班火车、3班飞机、1班汽车，请问从成都到上海乘坐这些交通工具有多少种不同的选择？6+3+1=10(种）【趁热打铁-1】老师要求培培在暑假要读一本书，爸爸给小明买了中国4大名著、2本外国名著、3本科普书，培培要从这些书里任选一本书读，请问有多少种不同的选择？4+2+3=9(种）【例2】】海海有红、黄、蓝三件上衣和绿、白两条裤子。
请问他从上衣和裤子中各选一件，有多少种不同的搭配方法？3×2=6(种）【趁热打铁-2】题库中有三种类型的题目，数量分别为 30 道、40 道和 45 道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。
问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？30×40×45=54000(种）【例3】在图中，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何点不得重复经过。
问：这只甲虫有几种不同走法？3×1×3=9(种）【趁热打铁-3】如图，从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路，培培要从甲村经乙村、丙村到丁村共有多少种不同的走法？3×2×4=24(种）【例4】用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的五位数？5×4×3×2×1=120(个）【趁热打铁-4】有3、4、5三个数字，能组成____个无重复数字的三位数。
西师大版四年级上册《加法运算定律》课件之一
在其他学科中的应用
物理学
在物理学中，我们经常使用加法运算定律来计算多个力的合力，如计算多个分力的大小和 方向。
化学
在化学中，我们经常使用加法运算定律来计算化合物的质量分数，如计算混合物中某组分 的质量与混合物总质量之比。
经济学
在经济学中，我们经常使用加法运算定律来计算多个经济指标的总和，如计算多个国家的 GDP总和。
详细描述：加法结合律是指三个数相加时，任意改变加数的组合顺序，其和不变 。
结合律的证明
总结词：逐步推导
详细描述：通过举例和图示，逐步推导证明加法结合律。例如，计算(a+b)+c和a+(b+c)的结果，证 明它们的和是相等的。
结合律的应用
总结词：实例丰富
详细描述：列举多个加法结合律的应用实例，如计算(5+3)+2和5+(3+2)的结果相同，说明在实际计算中可以灵活运用结合律 简化计算。
提高计算效率
掌握加法运算定律有助于 学生在进行加法计算时更 加快速、准确地得出结果 ，提高计算效率。
培养逻辑思维
学习加法运算定律有助于 培养学生的逻辑思维和数 学思维能力，为后续学习 打下基础。
解决实际问题
在实际生活中，加法运算 定律的应用非常广泛，掌 握这一知识点有助于解决 各种实际问题。
2023
在数学问题中的应用
解决复杂问题
在解决一些复杂的数学问题时， 如求多边形的面积、体积等，需 要使用加法运算定律来计算各个
部分的和。
组合问题
在组合问题中，我们经常需要使 用加法运算定律来计算组合的可 能性，如计算从n个不同元素中
取出k个元素的组合数。
概率问题
四年级数学上册 加法运算定律课件 西师大版
(2)运用加法结合律，在下面的 方框里填上适当的数。ห้องสมุดไป่ตู้
369＋258＋147＝369＋（ ＋147） （23＋47）＋56＝23＋（ ＋ ） 654＋（97＋a）＝（ 654 ＋ ）＋
（3）下面等式符合哪些运算定律。
18+a＝a＋18 a+(20+9）＝（a＋20）＋9 ( 10+20 ）＋30＋40＝ 10+ ( 20 ＋30 ） ＋40
下面哪些算式运用了加法运算定律？ 分别运用了哪些运算定律？
24+42+76+58=（24+76）+（42 76+18=18+76
56+72+28=56+ （72+28） 31+67+19=31+19+67
37+45=35+47
计算下面各题，怎样简便就 怎样计算。
5+137+45+63+50 548+52+468 60+255+40 135+39+65+11
320辆
辆
一共多少辆车？
320 + 260 = 260 + 320
两个加数交换位置，和不 变 ，叫做加法交换律。
25+65=（ 65 ）+（ 25 ）
18+17=（ 17 ）+（ 18 ）
你能根据加法交换 律正确填空吗？
一层 260辆 二层 320辆 三层 340辆
一层
二层
三层
260
320辆
西师大版四年级数学上册本节课我们主要来学习加法本节课我们主要来学习加法的交换律和结合律同学们要在掌握这两个运算律的基础上解决实际问题
人教版四年级数学下册教案：第1课时加法运算定律
人教版四年级数学下册教案；第1课时加法运算定律
第1课时加法运算定律
【教学目标】
知识与技能；①结合具体的情境，引导学生认识和理解加法交换律和结合律的含义.
过程与方法；能用字母式子表示加法交换律和结合律，初步学会应用加法交换律和结合律进行一些简便运算.
情感态度与价值观；①体验自主探索、合作交流，感受成功的愉悦，树立学习数学的自信心，发展对数学的积极情感.②培养学生观察，比较，抽象，概括的初步思维能力.
【教学重难点】
重点；认识和理解加法交换律和结合律的含义.
难点；引导学生抽象概括加法交换律和加法结合律.
【教学过程】。
西师版数学四年级上册第1课时 加减法的关系课件
第 二 单元 加减法的关系和加法运算律
第 1 课时 加减法的关系
议一议： 比较上面三个算式，你发现了什么？
18 + 17 = 35
加数 + 加数 = 和
35 - 17 = 18
（第二个） （第一个）
和 - 加数 = 加数
加法各部分间的关系： 一个加数=和-另一个加数
小组合作
1. 继续比较例1中的三个算式，你还有什么发现？ 2. 把你的发现做好记录。 3. 小组交流，并做有什 么收获？
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才 算老。 ►Bad times make a good man. 艰难困苦出能人。 ►Life is a path winding in the mountain, bumpy and zigzagging. 生活是蜿蜒在山中的小径，坎坷不平。
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
求什么？ 想： 被减数=差+减数
小学四年级逻辑思维学习—加法原理
小学四年级逻辑思维学习—加法原理知识定位无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理知识梳理一、加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N= m1 +m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.二、加法原理解题三部曲：1、完成一件事分N类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加例题精讲【题目】小明、小华、小红三人去公园玩，想排成一行拍照留念，他们只拍了一张照片（人相同，位置不同为一张），请问他们共有多少种不同的照法？【题目】有数字1、2、3可以组成多少个数？（每个数字最多只能用一次）【题目】大林和小林共有书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【题目】用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱（不要求每种硬币都有），共有多少种不同的方法？【题目】一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角。
小明要在该店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择。
【题目】图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？【题目】如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？【题目】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙三个人，每人至少1支，问有多少种方法？【题目】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【题目】从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使得任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数，那么能找出多少种不同的数字组合？（数字相同，位置不一样还是算一种）【题目】1995的数字和是1＋9＋9＋5=24．问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?【题目】用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?【题目】一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？【题目】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？【题目】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．习题演练【题目】从1～9中每次取两个不同的数相加，和小于10的共有多少种取法？【题目】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？CBA【题目】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【题目】如图所示，沿线段从A走最短路线到B有多少种走法？【题目】如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法。
西师版四年级上册数学教案 第1课时 加减法的关系
第二单元加减法的关系和加法运算律第1课时加减法的关系课时目标导航教材第28~291.2.通过观察比较，知道减法是加法的逆3.4.在探索新知识的过程中，培养学生认真思考，探索知识联系的态度，进一步培养学生抽象、1.教师：动物园里新运来一些熊猫，想去看看吗？（生：想）2.课件出示教材第28学生1：成年熊猫有17学生2：大熊猫宝宝有18学生3：一共有大熊猫35学生1：成年熊猫有17只，大熊猫宝宝有18只，成年熊猫和大熊猫宝宝一共有多少只？17+18=35学生2：一共有大熊猫35只，成年熊猫有17只，大熊猫宝宝有多少只？35-17=18学生3：一共有大熊猫35只，大熊猫宝宝有18只，成年熊猫有多少只？35-18=17学生说出每个算式，教师板书。
1.教师：真不错，利用前面已学过的加减法的知识自己提出了这么多的问题，并能自己解决。
学生1：在加法算式中，17,18叫加数，35学生2：在减法算式中，35叫被减数，17在第一道算式里叫减数，在第二道算式里叫差；18教师在生回答时板书各部分名称。
2.教师：从整体上看这3教师：现在小组讨论，观察这3学生1：我们小组发现18学生2：我们发现一个加数等于和-学生3：被减数=差+减数；减数=被减数-教师：同学们观察得非常仔细，从不同的角度发现了这么多学生1学生2学生3教师：这就是我们今天学习的内容：加减法的关系。
（板书课题）1.教材第28页“课堂活动”第1同桌两人一人说一道加法算式，另一人改写成两道减法算式。
2.教材第28页“课堂活动”第2学生填数并说说是怎样想的。
3.完成教材第29页练习六第1~2题。
四、课堂小结今天学习了什么？你是怎样学会的？教学时，教师用情境激起全班学生的情感共鸣，通过动物王国数学竞赛的故事吸引学生的注意力，从而激发学生学习的兴趣和探究问题的欲望。
这样就把传统的“要我学”变成了“我要学”。
在探究过程中，紧紧抓住学生的这种心理，通过一系列不同层面的问题，引导学生一步步剥丝抽茧般地总结归纳出了加减法中各部分之间的关系和减法是加法的逆运算这一特征，顺利完成教学任务。
四年级下册数学第1课时 加法交换律和结合律公开课教案教学设计课件公开课教案教学设计课件公开课教案课件
备课教案“节约用水，人人有责”，课后，我们一起召开一节主题班会课，学习一下“节水”精神吧！可以根据班级需要展开这个活动哦！目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。
”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。
听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。
”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。
小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。
花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。
主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。
栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。
主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。
乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。
2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。
（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。
（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。
3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。
西师大版数学四年级上册加减法的关系第一课时教案
三、教学重点
1.结合具体的情境体会加减法各部分之间的关系和加减法之间的关系。
四、教学难点
1.运用加减法的关系进行验算和解决实际问题的方法
五、教学准备
教师演示：课件
六、教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图及
资源准备
1．情境引入
故事引入：在森林王国里的智力大比赛又开始了，小猪，小狗提出了什么问题？
课题名称
加减法的关系
课时
1课时
教学对象
四年级
提供者
一、教材内容分析
本课的教学内容是根据课标中在具体运算和解决简单的实际问题过程中体会加与减互逆关系而编排的。
二、教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）
1.结合具体的情境体会加减法各部分之间的关系和加减法之间的关系。
2.让学生掌握运用加减法的关系进行验算和解决实际问题的方法
学生上台总结
课堂教学总结让学生来做，一可以反馈学习情况，二可以锻炼学生的表达能力。
七、板书设计
加减法的关系
18 + 17 =35 35 - 17 =18
加数 加数 和 被减数 - 减数 =差
和= 加数 + 加数 差 + 减数 =被减数
一个加数= 和 - 另一个加数 被减数 - 差 =减数
减法是加法的逆运算
八、总结与反思
这节课，主要是通过孩子们以前所学的加减法的知识，来进一步认识加减法的关系。这节课，我反思自己讲的太多，让学生观察的太少，没有放权给学生。所以导致有部分孩子知道两者的关系，但是对于两者关系怎么来的不是特别的清楚。
2.学生独立思考，把算式写出来。
四年级上册数学加法运算定律详解教案
《四年级上册数学加法运算定律详解教案》一、教学目标：1. 掌握加法运算定律：结合律和交换律。
2. 练习运用结合律和交换律进行简单的加法算式运算。
二、教学重难点：1. 理解结合律和交换律的概念及其应用。
2. 培养学生的运算逻辑思维能力。
三、教学方法：1. 课件讲解：通过教师幻灯片课件讲解，让学生形象直观地理解加法运算定律。
2. 情境教学法：教师设计一些有趣的情景和场景，让学生在游戏和齐偶活动中运用加法运算定律。
3. 合作学习法：让学生分组合作，互相帮助和检查，培养团体合作和自主学习能力。
四、教学过程：1. 导入环节：通过幻灯片或讲解的形式，引导学生对结合律和交换律的概念进行初步理解。
2. 课堂讲解：将结合律和交换律的概念和应用用图形、数字等形式进行阐述和说明。
3. 练习环节：通过讲解和演示，引导学生进行练习和巩固。
教师可以设计一些题目和场景进行练习，如通勤路线比较题、花店布置题等。
4. 合作学习环节：让同桌分组合作进行练习和检查，呈现出优异的团队协作和自主学习能力。
五、教学要点：1. 结合律：a+(b+c)=(a+b)+c。
结合律是指，当进行加法运算时，先把其中的任意两个数相加，再将这个和与剩下的一个数相加，结果是一样的。
例如，2+(3+4)=(2+3)+4=9。
2. 交换律：a+b=b+a。
交换律是指，进行加法运算时，可以将相加的任意两个数的位置互换，结果不变。
例如，2+3=3+2=5。
六、教学效果评估：1. 课堂练习题：通过教师给出的加法算式，学生进行运算验证。
2. 家庭作业：设计一些课后作业，让学生在家练习和巩固所学的知识和技能。
3. 成绩评定：对学生的课堂表现、练习结果及考试成绩进行评估。
七、教学反思：1. 在教学过程中，应该注重理论和实践结合，让学生既能理解概念，又能掌握应用技能。
2. 教学过程中，应该采取多种形式和方式进行授课，让学生感受到学习的乐趣和意义。
3. 教学效果评估是教学过程中重要的一环，通过评估可以发现学生的问题和不足，促进教学水平的提升。
人教部编版四年级数学下册 第1课时 加法运算定律-优质教案
本文由一线教师精心整理/word可编辑第3单元运算定律
第1课时加法运算定律
【教学目标】
知识与技能：①结合具体的情境，引导学生认识和理解加法交换律和结合律的含
义。
过程与方法：能用字母式子表示加法交换律和结合律，初步学会应用加法交换律
和结合律进行一些简便运算。
情感态度与价值观：①体验自主探索、合作交流，感受成功的愉悦，树立学习数
学的自信心，发展对数学的积极情感。
②培养学生观察，比较，抽象，概括的初
步思维能力。
【教学重难点】
重点：认识和理解加法交换律和结合律的含义。
难点：引导学生抽象概括加法交换律和加法结合律。
【教学过程】
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小学思维数学讲义：加法原理之分类枚举(一)-含答案解析
加法原理之分类枚举（一）1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲知识要点 教学目标模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。
第一讲 加法原理
第一讲加法原理【知识梳理】加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
例题精讲：【例题1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【例题2】把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．【巩固】用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱(不要求每种硬币都有)，共有多少种不同的方法．【例题3】用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?【巩固】一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角．小明要在该店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择．【例题4】A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？【巩固】如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？难题解析：【例题5】一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．【例题6】给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg，11kg，17kg，将它们组合凑成100kg有种，不同的方法（每种砝码至少用一块。
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第1讲 加法原理一、学习目标1.掌握加法原理的基本内容。
2.培养学生分类讨论问题的习惯，了解分类的主要方法和遵循的主要原则。
二、知识要点1.加法原理的定义：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理． 2.加法原理的运用范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 3.分类基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ①分别属于不同两类的两种方法是不同的方法． 4.解题三部曲：1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加三、例题精选【例1】 小哈出去旅游，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以乘轮船。
一天中火车有4班，飞机有3班，轮船有2班。
问：小哈选择一种交通工具出去旅游，共有多少种不同走法？【①①①①①】【解析】小哈乘坐火车有4种走法，乘坐飞机有3种走法，乘坐轮船有2种走法．所以小哈出去旅游有：4+3+2=9（种）不同走法．【巩固1】海豚小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【①①①①①】【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【例2】用若干张10元、20元、50元的硬币组成100元(不要求每种硬币都有)，共有多少种不同的方法？【①①①①①】【解析】此题采用枚举法，具体如下：所以共有10种情况。
【巩固2】一叠纸币全是20元和50元的，这叠一共有1000元，问这里可能有多少种不同的情况？【①①①①①】【解析】按50元纸币的张数对纸币情况进行分类：如果50元纸币有有奇数张，那么无论20元纸币有多少张都不能凑成1000元．如表当50元纸币的张数为0～20的偶数时，都有对应张数的20元纸币．所以一共有11种不同的情况．【例3】从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【①①①①①】【解析】根据第一个数的大小，将和大于10的取法分为9类：因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10．【巩固3】从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于11的共有多少种取法？【①①①①①】【解析】两个数和为12的一共有2种取法；两个数和为13的一共有2种取法；两个数和为14的一共有1种取法；两个数和为15的一共有1种取法；一共有2+2+1+1=6种取法．【例4】用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法？【①①①①①】【解析】如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为0～25张，其余的钱全部购买2元饭票，共有26种买法；如果买l张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票0～23张，其余的钱全部购买2元饭票，共有24种不同方法；如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票0～21张，其余的钱全部购买2元饭票，共有22种不同方法；……如果买12张8元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票0～1张，其余的钱全部购买2元饭票，共有2种方法．总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13的等差数列．利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(种)．共有182种不同的买法．【巩固4】一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角．小明要在该店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择？【①①①①①】【解析】一共三种文具，要买两种文具．那么就可以分三类了．第一类：橡皮和圆珠笔=9块橡皮+1只圆珠笔=7块橡皮+2只圆珠笔=5块橡皮+3只圆珠笔=3块橡皮+4只圆珠笔=1块橡皮+5只圆珠笔第一类共5种．第二类：橡皮和钢笔=6块橡皮+1只钢笔=1块橡皮+2只钢笔第二类共2种．第三类：圆珠笔和钢笔=1只钢笔+3只圆珠笔第三类共1种．所以共5+2+1=8（种）不同的选择．【例5】思思想将3个相同的小球放入A、B、C三个盒中，那么一共有多少种不同的放法？【①①①①①】【解析】3个球全放在一个盒子中，3种；2个球放在一个盒子中，还有一个球单放，6种；一个盒子一个球，因为球是一样的，所以就1种．共有3+6+1=10（种）．【巩固5】四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：一共有多少种不同的方法？【①①①①①】【解析】设四个学生分别是A、B、C、D，他们做的贺年片分别是a、b、c、d．同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法．一共有3+3+3=9（种）不同的方法．【例6】小明要登上12级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上12级台阶共有多少种不同的登法？【①①①①①】【解析】登上第1级台阶只有1种登法．登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地上跨2级上去，故有2种登法．登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶与第2级台阶的方法数之和，共有1+2=3（种）……一般地，登上第n层台阶，或者从第（n－1）级台阶跨一级上去，或者从第（n－2）级台阶跨两级上去．根据加法原理，如果登上第（n－1）级和第（n－2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a+b）种方法．因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数．由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和．登上第12级台阶的方法数对应这串数的第12个，即233．【巩固6】取用15根火柴，每次只能取1根或者2根火柴，那么取完15根火柴共有多少种不同的取法？【①①①①①】【解析】思路与例6登台阶相同，可得出下列一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987．第15根火柴对应第15个数，即987．四、回家作业【作业1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【①①①①①】【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【作业2】把一元钱换成角币，有多少种换法？（人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．）【①①①①①】【解析】①第一类：有五角币2张，只有1种换法；①第二类：有五角币1张，则此时二角币可以有0，1，2张，相应的，一角币有5，3，1张，有3种换法；①第三类：有五角币0张，则此时二角币可以有0，1，2，3，4，5张，相应的，一角币有10，8，6，4，2，0张，有6种换法．++=种．所以，根据加法原理，总共的换法有13610【作业3】从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【①①①①①】【解析】两个数和为11的一共有3种取法；两个数和为12的一共有2种取法；两个数和为13的一共有2种取法；两个数和为14的一共有1种取法；两个数和为15的一共有1种取法；一共有3+2+2+1+1=9种取法．【作业4】有面值为10元，20元，50元的纸币各4张，用它们去支付230元．问：有多少种不同的支付方法？【①①①①①】【解析】要付230元，最多只能使用4张50元纸币。
因为全部10元和20元纸币都用上时，共值120元，所以最少要用3张50元纸币．使用3张50元纸币时，50×3＝150，230－150＝80，所以使用20元纸币最多4张，最少2张，可有230＝150＋(20＋20＋20＋20)，230＝150十(20＋20＋20十10＋10)．230＝150＋(20＋20＋10＋10＋10＋10)，共3种支付方法．当使用4张50元纸币时，50×4＝200，230－200＝30。
所以20元纸币最多使用1张，从而可有230＝200＋(20＋10)，230＝200＋(10＋10＋10），共2种支付方法，于是，共有2+3=5种不同的支付方法．【作业5】袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有多少种可能？【①①①①①】【解析】如果没拿红球，那么拿（黄、白）球的可能有（1、5）、（2、4）、（3、3）、（4、2）4种.如果拿1个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、5）（1、4）、（2、3）、（3、2）、（4、1）5种.如果拿2个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、1）、（4、0）5种如果拿3个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4种.可见他拿出球的情况共有：4+5+5+4=18（种）．【作业6】小白要到大厦的地下车库取车，她每一次只能走1个或2个台阶．已知到车库要走10个台阶，那小白到车库共有多少种不同的走法？【①①①①①】【解析】思路与例6登台阶相同，可得出下列一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89．第10个台阶对应第10个数，即89．。