小学奥数公因数和公倍数

第三讲:公因数与公倍数
一、 公约数的概念与最大公约数 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。

0被排除在约数与倍数之外。

例如:12的约数有:1,2,3,4,6,12
18的约数有:1,2,3,6,9,18
12与18的公约数有:1,2,3,6,其中6就是12与18的最大公约数,记作(12,18)=6
1. 求最大公约数的方法
①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.
例如:2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=;
②短除法:先找出所有共有的约数,然后相乘.例如:21812
39632
,所以(12,18)236=⨯=;
③辗转相除法:每一次都用除数与余数相除,能够整除的那个余数,就就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数就是0为止.那么,最后一个除数就就是所求的最大公约数.(如果最后的除数就是1,那么原来的两个数就是互质的).
例如,求600与1515的最大公约数:151********÷=;6003151285÷=;315285130÷=;28530915÷=;301520÷=;所以1515与600的最大公约数就是15.
2. 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商就是互质数;
②几个数的公约数,都就是这几个数的最大公约数的约数;
③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n .
二、公倍数的概念与最小公倍数
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。

例如:12的倍数有:12,24,36,48,60,72,84、、、
18的倍数有:18,36,54,72,90、、、
12与18的公倍数有:36,72、、、,其中36就是12与18的最小公倍数,记作[12,18]=36
1、 求最小公倍数的方法
知识点拨
①分解质因数的方法;
例如:2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=;
②短除法求最小公倍数;
例如:21812
39632
,所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=;
③[,](,)
a b a b a b ⨯=
. 2、 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都就是它们最小公倍数的倍数.
②两个互质的数的最小公倍数就是这两个数的乘积.
③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数就是其中较小的数,最小公倍数就是较大的数.
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数,且A ma =,B mb =,那么a b 、互质,所以A 、B 的最小公倍数为mab ,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系:
①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;
②最大公约数就是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数. 2. 两个数的最大公约与最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯,此性质比较简单,学生比较容易掌握。

3. 对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为
a )奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如:567210⨯⨯=,210就就是567的最小公倍数
b )偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如:678336⨯⨯=,而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=
性质(3)不就是一个常见考点,但就是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系,即“几个数最小公倍数一定不会比她们的乘积大”。

【例 1】 两根电线分别长24m 与16m,现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余,剪成的小段最长可以就
是多少米？
例题精讲
【巩固】求12与18的最大公因数。

【例 2】找出下面每组数的最大公因数,您有什么发现不？4与20 6与36 7与8 6与19
【巩固】说出下面各组数的最大公因数。

4与16 15与22
【例 3】用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大就是多少？
【巩固】一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小就是多少？
【例 4】有三根铁丝,长度分别就是120厘米、180厘米与300厘米、现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人？
【巩固】有三根钢管,它们的长度分别为240cm,200cm,480cm,如果把它们截成同样长的小段,且不许有剩余,
每小段最长可以就是多少厘米？
【例 5】一张长方形的纸,长7分米5厘米、宽6分米。

现在要把它裁成一块正方形,而且正方形边长为整厘米数,有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块？
【巩固】把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形而无剩余,至少能裁几块？
【例 6】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸,剪成面积相等的正方形,并且最后没有剩余,这些正方形的边长最长就是多少？(辗转相除法)
【巩固】用辗转相除法判断1547与3135就是否互质。

【例 7】用辗转相除法求4811与1981的最大公约数。

【巩固】求1008、1260、882与1134四个数的最大公约数就是多少？
【例 8】求21672与11352的最小公倍数。

【例 9】已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数.
【巩固】两个数的最大公约数就是15,最小公倍数就是90,求这两个数分别就是多少？
【巩固】已知两数的最大公约数就是21,最小公倍数就是126,求这两个数的与就是多少？
【例 10】两个自然数的积就是360,最小公倍数就是120,这两个数各就是多少？
【巩固】已知两数的最小公倍数就是210,它们的积就是1260,它们的与就是72,求这两个数的差？
【例 11】两个自然数的与就是125,它们的最大公约数就是25,试求这两个数.
【例 12】甲乙丙三人就是朋友,她们每隔不同的天数到图书馆去一次,甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次,有一天,她们三人正好在图书馆相会。

问至少再过多少天她们三人又会在图书馆相会？
【巩固】1路、2路与5路都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。

当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？
【巩固】甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒,问:再过多长时间三人第二次从同时从起点出发？
【例 13】一所学校的同学排队做操,排成14行、16行、18行都正好能成长方形。

这所学校至少有多少人？
【巩固】有一批乒乓球,总数在1000个以内,4个装一袋,5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？
【例 14】学校六年级有若干同学排队做操,如果3人一行余2人,7人一行余2人,11人一行也余2人。

六年级最少有多少人？
【巩固】一袋糖,平均分给15个小朋友或20各小朋友后,最后都余下5块。

这袋糖至少有多少块？
【巩固】一个数能被3、5、7整除,但就是被11除余1,这个数最少就是多少？
【例 15】一盒围棋子,4颗4颗数多3颗,6颗6颗数多5颗,15颗15颗数多14颗,这盒棋子在150-200颗之间,问共有多少颗？
【巩固】五一班的五十多位同学去大扫除,平均分成4组多2人,平均分成5组多3人,请您算一算,五一班有多少位同学？
【巩固】有一批水果,每箱放30个则多20个,每箱放35个则少10个。

这批水果至少有多少个？
【例 16】从学校到少年宫的这段公路上,一共有37根电线杆,原来每两根电线杆之间相距50,米,现在要改成每两根之间相距60米,除两端两根不需移动外,中途还有多少根不必移动？
【巩固】插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离就是4米,现在改为5米。

如果起点一面不移动,还可以有几面不移动？
【例 17】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记,分别将木棍平均分成了10等份、12等份与15等份。

如果沿这三种标记把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段？
【巩固】父子二人在雪地散步,父亲在前,每步80厘米,儿子在后,每步60厘米。

在120米内一共留下多少个脚印？。