函数的最值与值域 知识梳理

函数的最值与值域

【考纲要求】

1. 会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；

3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．

4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、函数最值的定义

1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．

注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．

如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．

2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法

1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．

2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．

3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．

4.不等式法：利用均值不等式求最值．

5.利用函数的性质求函数的最值

6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法

7.利用导数求函数的最值。 要点诠释：

(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:

()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈

函数的最值与值域 函数的值域

函数的最大值

函数的最小值

()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈

在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】

类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()x

x x f x e me e -=-+-x me -的最值．

【解析】22()()x

x x x f x e

e m e e --=+-+

2

()()2x

x x

x

e e m e e --=+-+-

令x x

t e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．

【总结升华】当式子中同时出现2

2

x x -+和1

x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：

【变式】求函数13y x x =-++的值域．

解：平方再开方，得42(1)(3),[3,1]y x x x =

+-+∈-

[2,22]y ∴∈

类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-1

2

x y x =

+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2

-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】 (1)2(2)-5-5-5

22x y y x x x

+=

==++Q +2可看作是由左移2个单位，

再上移2个单位得到，如图

1)f(x)在[5，10]上单增，919

[(5),(10)][,

]712

y f f ∈即； 2)1

(-,(1))((-3),)(-)(7)3

y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图

1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：

【变式】已知函数13x

f (x)13x

+=

-.

(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】

(1)13x (3x 1)22

f (x)113x 13x 3x 1+--++=

==--

--- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1

(,)3+∞上单调递增；

(2)1

[1,3](,)3

⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增

∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4

=-

∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4

--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题

例 3.（2015 保定模拟）若函数()1

21sin 21

x x

f x x +=+++在区间[](),0k k k ->上的值域为[],m n ，则m n += .

【答案】4

【解析】记()()1

22sin 121

x x

g x f x x +=-=+-+ ()()1

2sin 1

212sin 112x x x

g x x x -+-∴-=+--+=--+

()()122

sin 1sin 102112

x x x

g x +g x x x +∴-=+-+--=++