函数的最值与值域 知识梳理
三角函数的值域
通 过 变 形 可 得 ： f ( x) = 1 a2 + b2 sin (2x + j ) ， 所 以 最 大 值 为 1 a2 + b2 = 1 ， 即
2
2
2
a2
+ b2
= 1 ①，再利用
f
æp çè 3
ö ÷ø
=
3 可得： - 1 a -
4
4
3b= 4
3
②，通过①②可解得：
4
ìa íîb
= =
例
4：设函数
f
(x)
=
sin x
+
cos 2x
，若
x
Î
éêë-
p 6
,
p 2
ù úû
，则函数
f
( x) 的最小值是______
思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一，cos 2x = 1 - 2sin2 x = 1 - 2 sin x 2 ，进而可将 sin x
作为一个整体，通过换元来求值域。
解： f ( x) = sin x + cos 2x = sin x + 1 - 2 sin x 2
三角函数。观察可得 cos x 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos 2x 均可以用 cos x 进
( ) ( ) 行表示，确定核心项为 cos x ，解析式变形为 y = cos x -
1 - cos2 x
-
2cos2 x - 1
7 +，
4
化简后为
y
=
- cos2
x
+
cos x
+
7 4
=
cos
高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
北京市第四中学高考数学总复习函数的最值与值域知识梳理
【考大纲求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单一性、最大 ( 小 ) 值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实质问题中，会成立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值 .【知识网络】函数的最值与值域函函函 数 数 数 的的的最最值大小域值 值【考点梳理】考点一、函数最值的定义1. 最大值：假如对于函数f ( x) 定义域 D 内的随意一个自变量 x ，存在 x 0 D ，使得 f ( x)f (x 0 ) 成立，则称 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的最大值．注意：下边定义错在哪里？应如何校正．假如对于函数 f (x) 定义域 D 内的随意一个自变量 x ，都有 f ( x) M ，则称 M 是函数 f ( x) 的最大值．2. 最小值的定义同学们自己给出．考点二、函数最值的常用求法1. 可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2. 鉴别式法： 主要合用于可化为对于x 的二次方程， 由（要注意二次项系数为 0的状况） 求出函数的最值，要查验这个最值在定义域内能否有相应的 x 的值．3. 换元法：好多含根式的函数的最值的求法常常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4. 不等式法：利用均值不等式求最值．5. 利用函数的性质求函数的最值6. 含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7. 利用导数求函数的最值。
重点解说：(1) 求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、依据表比较函数值大小给出最值； (2) 一些能转变成最值问题的问题 :f ( x)A 在区间D 上恒成立函数 f ( x)minA( xD )f ( x)B 在区间D 上恒成立函数f ( x)maxB( xD )在区间 D 上存在实数x使f ( x) B在区间 D 上存在实数x使f ( x) A【典型例题】函数 f (x)min B(x D )函数 f (x)maxA(xD )种类一、经过转变或换元的方法求解函数的值域或最值 例 1. 求函数 f (x) e 2 x me x e 2 x me x 的最值．【分析】 f ( x)e 2x e 2 x m(e x e x )(e x e x ) 2 m(e x e x ) 2令 te x e x （注意 t 的范围），这样所求函数就变成二次函数．【总结升华】当式子中同时出现 x 2 x 2 和 x x1时，都能够化为二次式．贯通融会：【变式】求函数y 1 xx 3 的值域．【分析】平方再开方，得y4 2 (1x)(3 x) , x [3,1]y [2, 2 2]种类二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例 2. 求以下函数值域：(1) y2x -1 ； 1)x∈ [5 ，10] ； 2)x ∈ (-3 ， -2) ∪(-2 ， 1) ；x 2(2)y=x 2-2x+3 ； 1)x ∈ [-1 ，1] ； 2)x ∈ [-2 ， 2].【分析】 (1) Q y2( x 2) -5-5 +2可看作是由 y-5左移 2 个单位，x 2 x 2x再上移 2 个单位获得，如图1)f(x) 在[5 ， 10] 上单增， y [ f (5), f (10)]即[ 9 ,19] ；1 7 12 2) y(- , f (1))( f (-3),)即(-(7， ) ；， )3(2) 画出草图1)y ∈ [f(1) ， f(-1)] 即[2 ，6] ； 2) y [ f (1), f (-2)]即[2,11] . 贯通融会：【变式】已知函数 f (x)1 3x .1 3x(1) 判断函数 f(x) 的单一区间；(2) 当 x ∈[1 ， 3] 时，求函数 f(x) 的值域 .【分析】 (1) 1 3x( 3x 1) 22f (x)3x1 3x 13x 11 f (x) 在(-11 ,) 上单一递加；， ) 上单一递加，在(33(2)[1,3] (1 在 [1 ， 3] 上单一递加, ) 故函数 f(x)3∴ x=1 时 f(x) 有最小值， f(1)=-25x=3 时 f(x) 有最大值 f (3)4∴ x ∈ [1 ，3] 时 f(x) 的值域为 [ 2, 5] .4种类三、含参类函数的最值与值域问题例 3. 已知二次函数2在区间 (1,1) 上是增函数，求：f(x)=x -(a-1)x+52(1) 实数 a 的取值范围；(2)f(2) 的取值范围 .【分析】 (1) ∵对称轴 a -1是决定 f(x) 单一性的重点，联系图象可知x 只要 a -11 2a 2 ；22(2) ∵ f(2)=2 2-2(a-1)+5=-2a+11 又∵ a ≤ 2，∴ -2a ≥ -4∴ f(2)=-2a+11 ≥ -4+11=7f(2) 7,+.贯通融会：2, x 2f (x)k有两个不一样的实根，【变式】已知函数 f (x)x，若对于 x 的方程 ( x 1)3 , x 2则实数 k 的取值范围是 ________.【分析】由图象知，若f (x)2 ( x 2) 单一递减且值域 (0,1] ， f ( x) ( x 1)3 ( x 2) 单一递加且值域为 (,1) ，x f ( x) k 有两个不一样的实根，则实数 k 的取值范围是（ 0,1 ）.种类四、抽象函数的最值与值域问题例 4. 若函数 yf ( x) 的值域是 [ 1,3] ，则函数 F ( x)f ( x)1 的值域是（ ）2f ( x)A ．[1,3]B． [2,10] C ． [ 5 ,10] D ． [3,10]23 2 33 【答案】 B【分析】令 tf ( x) ，则 t [ 1,3] ， F ( x) t 1 [2, 10]2t 3 贯通融会：f ( x)1 x 2，x ≤1，1 ) 的值为（【变式】设函数x 2x2， x 则 f (）1，f (2)A ．15B ．27 C ．8D ．1816169【答案】 A【分析】∵ f (2)222 2 4 ，∴ f ( 1) f (1) 1 ( 1)215 .f (2) 4416种类五：分析几安在最值方面的综合应用例 7．设 A （ 0， 0）， B （ 4， 0）， C （t+4 ， 4）， D （ t ， 4）（ t ∈ R ）．记 N （t ）为平行四边形 ABCD内部（不含界限）的整点的个数，此中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （ t ）的值域为（）A ． {9 ，10， 11}B． {9 ， 10， 12}C ．{9 ， 11， 12}D．{10 ， 11， 12}【分析】当 t ≠ 0 时，直线 AD 的方程为 y4x ，t分别与直线 y=1，y=2， y=3 交于点 M 1 ( t,1)， M 2 ( t,2)M 3 ( 3t,3) 。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高一数学重要知识点【函数的值域与最值】.doc
高一数学重要知识点【函数的值域与最值】高一数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，为了帮助大家掌握高一数学知识点，下面为大家带来高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望对大家掌握数学知识有所帮助。
1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b[a，b(0，+)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件一正二定三相等有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用△0求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-，-2][2，+)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为工程造价最低，利润最大或面积(体积)最大(最小)等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.为大家带来了高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望大家能够熟记这些数学知识点，更多的高一数学知识点请查阅。
三角函数知识点梳理
三角函数知识点梳理关键信息项：1、三角函数的定义正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2、三角函数的基本关系式平方关系商数关系倒数关系3、三角函数的诱导公式正弦诱导公式余弦诱导公式4、三角函数的图像和性质正弦函数图像和性质余弦函数图像和性质正切函数图像和性质5、三角函数的周期性周期的定义常见三角函数的周期6、三角函数的最值和值域正弦函数的最值和值域余弦函数的最值和值域正切函数的最值和值域7、三角函数的和差公式正弦和差公式余弦和差公式正切和差公式8、三角函数的倍角公式余弦倍角公式正切倍角公式9、三角函数的半角公式正弦半角公式余弦半角公式正切半角公式11 三角函数的定义111 正弦函数：在直角三角形中，锐角的正弦等于其对边与斜边的比值。
即 sinA ＝ a/c，其中 A 为锐角，a 为 A 的对边，c 为斜边。
112 余弦函数：锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值。
即 cosA ＝b/c，其中 b 为 A 的邻边。
113 正切函数：锐角的正切等于其对边与邻边的比值。
即 tanA ＝a/b。
114 余切函数：锐角的余切等于其邻边与对边的比值。
即 cotA ＝b/a。
115 正割函数：斜边与邻边的比值。
即 secA ＝ c/b。
116 余割函数：斜边与对边的比值。
即 cscA ＝ c/a。
12 三角函数的基本关系式121 平方关系：sin²A ＋ cos²A ＝ 1，1 ＋ tan²A ＝ sec²A，1 ＋ cot²A ＝ csc²A。
122 商数关系：tanA ＝ sinA ／ cosA，cotA ＝ cosA ／ sinA。
123 倒数关系：sinA × cscA ＝ 1，cosA × secA ＝ 1，tanA × cotA ＝1。
13 三角函数的诱导公式131 正弦诱导公式：sin(2kπ ＋ A) ＝ sinA，sin(π ＋ A) ＝ sinA，sin(A) ＝ sinA 等。
函数的值域知识点总结
函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。
它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。
例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。
2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。
通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。
函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。
二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。
例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。
通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。
3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。
通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。
通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。
三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。
线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。
三角函数的定义域、值域和最值
三角函数的定义域、值域和最值一 知识点精讲：1 三角函数的定义域 （1）r y =αsin 定义域为R. （2）rx =αcos 定义域为R.（3）xy =αtan 定义域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα. （4）y x =αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα.2 三角函数的值域① )0(,sin ≠+=a b x a y 型当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0<a 时 ],[b a b a y +-+∈ ② c x b x a y ++=sin sin2型此类型的三角函数可以转化成关于sinx 的二次函数形式。
通过配方，结合sinx 的取值范围，得到函数的值域。
x sin 换为x cos 也可以。
③ x b x a y cos sin +=型 利用公式ab x b a x b x a =++=+φφtan ),sin(cos sin 22， 可以转化为一个三角函数的情形。
④x x b x x a y cos sin )cos (sin ++=型利用换元法，设x x t cos sin +=, ]2,2[-∈t ，则212cos sin -=t x x ,转化为关于t 的二次函数222122b at t b t bat y -+=-+=.⑤x x c x b x a y cos sin cos sin 22++=型这是关于x x cos ,sin 的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，22sin cos sin ,22cos 1cos,22cos 1sin22x x x xx xx =+=-=，可转化为p x n x m y ++=2cos 2sin 的形式。
⑥ d x c bx a y ++=sin sin 型 可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
⑦bx ax y ++=cos sin 型 可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，a by x y x -=-cos sin ，11,1)sin(22≤+-+-=-ya by ya by x φ, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
函数的极值与最值知识点
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数值域(最值)
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
函数的值域知识点及例题解析
函数的值域知识点及例题解析1. 函数的值域函数的值域是指所有可能的函数输出值的集合。
在确定函数的值域时，需要考虑函数的定义域和函数本身的性质。
2. 确定函数的值域的方法方法一：穷举法可以通过穷举函数定义域内的所有可能输入值，然后计算对应的函数输出值，最终得出所有的函数输出值组成的集合作为函数的值域。
方法二：分析法可以通过分析函数的性质，使用数学方法确定函数的值域。
下面是一些常见的情况：- 对于一次函数：函数的值域是整个实数集。
- 对于二次函数：如果开口向上，则值域是大于等于最低点的y 值；如果开口向下，则值域是小于等于最顶点的 y 值。
- 对于指数函数：如果底数大于1，则值域是大于0 的实数集；如果底数介于 0 和 1 之间，则值域是小于 1 的正实数集。
- 对于对数函数：底数为正数且不等于 1 时，值域是整个实数集。
3. 例题解析例题一已知函数 f(x) = x^2 + 1，求函数的值域。
解析：由于二次函数的值域取决于开口的方向，可以看出这是一个开口向上的二次函数。
因此，值域是大于等于最低点的 y 值。
最低点的 y 值为 1，所以函数的值域是大于等于 1 的实数集。
例题二已知函数 g(x) = 2^x，求函数的值域。
解析：由于指数函数的底数大于 1，所以值域是大于 0 的实数集。
例题三已知函数 h(x) = log2(x)，求函数的值域。
解析：由于对数函数的底数为正数且不等于 1，所以值域是整个实数集。
以上为函数的值域知识点及例题解析。
通过穷举法和分析法，我们可以确定函数的值域，根据函数的定义域和性质来推导函数的值域。
函数的值域
课题：函数值域与最值（复习教案）一、知识点：（一）确定函数值域的因素：函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的。
注意：求函数的值域不要忽视了函数的定义域，一般，求函数值域先求函数的定义域。
（二）基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。
3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R}4、指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R 二、求函数值域的常用方法：1、利用基本初等函数值域求一些简单的复合函数的值域例1、求函数y=log 21（x 2-6x+17）的值域。
解法1：设u= x 2-6x+17，则y=log 21u 由x 2-6x+17＞0得函数y 的定义域为R函数u 的在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当8≥u 时函数y=log 21u 在R 上是关于u 的减函数 所以函数y=log 21（x 2-6x+17），在（-∞，3）上是关于x 的增函数，在（3，+∞）上是关于x 的减函数。
y max =f （3）=log 218=-3 所以函数的值域为（-∞，-3]解法2：设u= x 2-6x+178≥，则y=log 21u （8≥u ） 求复合函数的值域等价于求外层函数的值域，由于y=log 21u （8≥u ）为减函数，因此8=u 时函数取得最大值3max -=y ，故函数y=log 21u （8≥u ）的值域为（-∞，-3]，即所求函数的值域为（-∞，-3]2、配方法----常用于二次函数或准二次函数 例2、求函数y=3x 2-6x+5（x ＜-2）的值域。
函数的值域(最值)的常见求法带解析
【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。
记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
函数的值域与最值知识梳理总结
函数的值域与最值知识梳理求函数的值域和求函数的最值实质上是同一问题，只是答题的方式有所差异，因此求函数值域的方法，也是求函数的最值的方法。
求函数值域（最值）的常用方法：(1)配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；(2)判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．由0∆≥且()0a y ≠，求得y 的范围或最值(若求最值在求出y 的值后，要检验这个y 值在定义域内是否有相应的x 的值;若是求值域应判断()0a y =时的x 值是否在函数的定义域内)；(3)不等式法：利用基本不等式求值域（最值）时一定要注意等号成立的条件；(4)换元法：运用代数或三角代换将所给函数转化为容易确定值域（最值）的另一函数，从而求得原来函数的值域。
用换元法时一定要注意新变元的取值范围；(5)数形结合法：对于图形较容易画出的函数的值域（最值）问题可借助图象直观求出； (6)单调性法：利用函数的单调性确定函数值域（最值），特别是闭区间上函数的值域（最值）． (7)利用函数有界性.借助于某些函数(如三角函数、指数函数等)的有界性求另一些函数的值域.1 具体函数值域（最值） 具体函数值域（最值）的求法主要是根据不同类型,采用适当的方法求解.在求值域的过程中应特别注意函数的定义域对函数值域的制约作用。
【例题1】 求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）312x y x +=-； （3）y x =+（4）|1||4|y x x =-++； （5）22221x x y x x -+=++；（6）2211()212x x y x x -+=>-. 【分析】根据不同的类型采有不同的方法.【答案】（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ，∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． （2）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---，∵702x ≠-，∴7332x +≠-，∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（3）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．（4）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（5）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．（6）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-，当且仅当112122x x -=-时，即12x =时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．【点评】说明：形如y ax b =++2y ax b =+用代数换元法2 复合函数值域复合函数求值域是一个难点，对于复合函数求值域问题应注意握两点：一、复合函数的定义域；二、复合函数的单调性。
专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。
函数最值和极值的知识点
函数最值和极值的知识点函数是数学中非常重要的概念，它可以描述数值之间的关系。
在实际应用中，我们经常会遇到需要找到函数的最值和极值的问题。
本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍函数最值和极值的知识点。
1.函数和定义域首先，我们需要明确函数的概念。
函数是一个从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是对应的值域中的元素。
2.极值的概念在函数中，极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
极大值是函数在该点附近的值都小于等于该点的值，而极小值是函数在该点附近的值都大于等于该点的值。
3.局部极值和全局极值函数的局部极值是指在某个特定的定义域范围内，函数取得的最大值或最小值。
而全局极值是指在整个定义域上，函数取得的最大值或最小值。
4.寻找极值的方法为了找到函数的极值，我们可以使用以下方法：a.导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，即函数的极值点。
具体步骤如下：–求函数f(x)的导数f’(x)；–解方程f’(x) = 0，求出导数为0的点；–对导数f’(x)的符号进行判断，确定各个导数为0的点是极大值还是极小值；–比较函数在导数为0的点以及边界点上的值，找到函数的最大值和最小值。
b.集合法：将函数的定义域分成若干个小区间，在每个区间中比较函数的值，找到最大值和最小值。
5.函数最值和极值的应用函数最值和极值的概念在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学中，它可以用于证明数学定理和解决数学问题。
在实际应用中，函数的最值和极值可以用于优化问题的求解，例如寻找最佳投资组合、最大利润等。
总结起来，函数最值和极值是数学中重要的知识点。
通过求函数的导数或将定义域分成若干个区间，我们可以找到函数的最大值和最小值。
这个概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它可以帮助我们解决各种问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解函数最值和极值的知识点。
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函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。
要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数13y x x =-++的值域．解：平方再开方，得42(1)(3),[3,1]y x x x =+-+∈-[2,22]y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】 (1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===++Q +2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例 3.（2015 保定模拟）若函数()121sin 21x xf x x +=+++在区间[](),0k k k ->上的值域为[],m n ，则m n += .【答案】4【解析】记()()122sin 121x xg x f x x +=-=+-+ ()()12sin 1212sin 112x x xg x x x -+-∴-=+--+=--+()()122sin 1sin 102112x x xg x +g x x x +∴-=+-+--=++()()g x g x ∴-=-()g x ∴为奇函数，函数图像关于原点对称.∴函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最大值记为a ,(a >0),则函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最小值为-a()a g x a ∴-≤≤即()2a f x a -≤-≤即()22a f x a -≤≤+2,2m a n a ∴=-=+4m n ∴+=故选D.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.【解析】2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=， ∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用 例 5. （2016 全国新课标Ⅱ）(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>(Ⅱ)'33(x 2)e (x 2)x 2(x)(f(x)a)x a g x x-+++==+ 由（Ⅰ）知，(x)f a +单调递增，对任意[0110,(2)0,a f a a f a a ∈=-<+=≥，）,(0)+ 因此。
存在唯一0(02]x ∈，，使得00f x a =()+，即'0()0g x =，当00x x <<时，'()0,()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，'()0,()0,()f x a g x g x +>>单调递增。
因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -+++===+于是0(),2x e h a x =+由'2(1)()0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增，所以，由0(02]x ∈，得，002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2xe x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),af x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.举一反三：【变式】设函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数）.(I)当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；(II )若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.【解析】(I) ()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()'320x x e kx f x x x --∴=>当0k ≤时，0kx ≤，0x e kx ∴->令()'0f x =则2x =，∴当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.()f x ∴的单调递减区间为()0,2，()f x 的单调递增区间为()2,+∞. (II )由(I)知，0k ≤时，函数()f x 在()0,2内单调递减，故()f x 在()0,2内不存在极值点.当0k >时，设函数()(),0,x g x e kx x =-∈+∞.()'ln x x k g x e k e e =-=-Q当01k <≤时，当()0,2x ∈时，()'0x g x e k =->，()y g x =单调递增，故()f x 在()0,2内不存在两个极值点.当1k >时，得：()0,ln x k ∈时，()'0g x <，函数()y g x =单调递减,()ln ,x k ∈+∞时，()'0g x >，函数()y g x =单调递增, ()y g x ∴=的最小值为()()ln 1ln g k k k =-函数()f x 在()0,2内存在两个极值点()()()00ln 0200ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪∴⎨>⎪⎪<<⎩解得22e e k <<综上所述函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为：2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭.类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .【解析】（I ）依题意得，32,nS n n=-即232n S n n =-. 当2n ≥时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当1n =时，2113121615a S ==⨯-==⨯-. 所以65()n a n n N *=-∈.（II ）由（I ）得[]131111()(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+， 故1111111111(1)()...()(1)277136561261nn b n n n T =⎡⎤-=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦∑. 因此，使得()11(1)26120m n N n *-<∈+成立的m 必须满足1220m≤，即10m ≥, 故满足要求的最小整数m 为10.【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n(n∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：1)31(<f ．【解析】（1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n∈N *)n=1时，a 1=1n≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n-1)=n 2-(n-1)2=2n-1 ∴对n∈N *总有a n =2n-1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)21111()13(21)3333nf n =⨯+⨯++-⋅L =)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n Λ ∴2312111111()12()(21)3333333n n f n +=⋅+++--L 11111213(21)139313n n n -+-=+⋅--- 1222,33n n ++=- ∴11()1133n n f +=-<【变式2】已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，2112()1(1)3n na x x x --++≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．【解析】 （Ⅰ）1321n n n a a a +=+Q ，112133n n a a +∴=+，11111(1)3n na a +∴-=-， 又1213n a -=，1{1}n a ∴-是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --=⋅=，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+，2112()1(1)3n x x x --++2112(11)1(1)3nx x x =-+--++ 2111[(1)]1(1)nx x x a =--+++ 2112(1)1n a x x =-⋅+++211()1n n n a a a x=--++n a ≤， ∴原不等式成立．【另解】设2112()()1(1)3nf x x x x =--++， 则222222(1)()2(1)2()133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x -+--⋅+-'=--=+++ 0x >Q ，∴当23n x <时，()0f x '>；当23nx >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值21()2313n n n f a ==+．∴原不等式成立．由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122222112112112()()()1(1)31(1)31(1)3n na a a x x x x x x x x x +++--+--++--++++++L L ≥221222()1(1)333nn nx x x =-+++-++L ． ∴令22220333n nx +++-=L ，则221(1)12221133()(1)13333(1)3n n nx n n n -=+++==--L ， ∴2212111111(1)133n n n n n n n a a a x n n n +++==>+++-+-L ≥．∴原不等式成立．类型五：解析几何在最值方面的综合应用例7．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。