2015年中科大创新班初试数学试题
中科大历年考研数学真题
则向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 的秩等于
.
5. 在 3 维实向量空间 R3 中，设 α1 = (−1, 1, 1)T , α2 = (1, −1, 0)T , α3 = (1, 0, −1)T , β =
(−4, 3, 4)T , 则 beta在基 α1, α2, α3 下的坐标是
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–6–
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解 析几何
一. 填空题 (每题 5 分)
1. 在 R3 中，直线 x = y = z 与平面 z = x − y 的夹角的余弦值等于
2. 在 R3 中, 方程 xy − yz + zx = 1 所表示的二次曲面类型为
−2
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 5 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5
=
0
1.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–3–
2.
设空间上有直线 l1
:
x−1 3
=
y 1
=
z 0
和 l2 √
: (x, y, z) = (3 + 2t, t, 3t − 3). 设平面 π 与
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
角化。 8. A 是复方阵，定义 eA = ∑ +∞ Ak ，证明：det(eA) = etr(A)
中科大少年班试题
中科大少年班试题
题目：
请你根据以下题目，撰写一个1500字的文章：
一、数学题
计算以下方程的解：
2x + 5 = 15
二、物理题
根据牛顿第二定律，一个质量为5kg的物体受到10N的力作用，求该物体的加速度。
三、化学题
请解释以下化学符号的含义：
H2O
NaCl
CO2
四、生物题
请简要解释以下植物的特点：
水仙
玫瑰
五、英语题
请用英语写一篇自我介绍，包括以下内容：姓名、年龄、爱好、家庭成员、学习目标六、历史题
请简述以下历史事件的背景和重要性：
法国大革命
美国独立战争
七、地理题
请解释以下地理名词的含义：
赤道
时区
大陆漂移
八、计算机题
请简要介绍以下计算机硬件的功能：
CPU
硬盘
九、艺术题
请简要描述以下艺术形式的特点：
音乐
绘画
舞蹈
十、体育题
请简要介绍以下体育项目的规则和技巧：篮球
游泳
羽毛球
十一、政治题
请解释以下政治概念的含义：
民主制度
社会主义
人权
十二、心理学题
请解释以下心理学术语的含义：
自尊
压力
认知失调
以上是中科大少年班试题的全部内容，请根据各题目要求进行回答。
创新班试题
中科大自主招生试题数学：选择（选项顺序已记不清，共四道）第一aA2+bA2>0,则绝对值a>0且绝对值b>0的否命题是1.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0或绝对值b<02.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0且绝对值b<0332+匕人2<=0,则绝对值a<=0或绝对值b<=0432+匕人2<=0,则绝对值a<=0且绝对值b<=0第二道，第三道记不清，其中一道是求分段函数的反函数。
另一道记不得。
第四道：sin 6*s in 42*s in 66*s in 78 的值1.1/22.1/43.1/164.1/32编者评价：选择题较简单，但当时第四道选择题题目出错，把我。
sin66打印成sin56。
着实吓填空题：（只记得其中几道，顺序全不知道，共五道，）1.x属于（-n /2, n /2,编者注：不确定），求8/sinx+1/cosx的最小值。
2.一个正方体的各个面的中心取一点，从这些点中取三点，可构成三角形，甲乙两人互相独立，甲取出的三角形与乙的三角形相似的概率是编者评价：等我想起其他题，再补充。
解答题：（共六道）1.证明：xA2+xy+yA2>=3*（x+y-1）对任意的实数x, y都成立。
2•数列Xn , Yn满足下式：X（ n+2）=2X（ n+1）+X n,Y（ n+2）=Y（ n+1）+2Y n求证：存在n。
，使得一切正整数n>n。
，都使Xn>Yn。
3.如图，三角形ABC的面积为1 , D为AB的三等分点，E为BC的三等分点，F为AC的三等分点.，求三角形GIH的面积。
3.有2008个白球和2009个黑球全部在直线排成一列，求证，必有一个黑球的左边的黑球和白球数量相等（包括0）。
4.N+是正整数集，为全集。
（n+n! , n是正整数）为A的集合，B是A的补集。
（1）试证明：不可能从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等差数列。
2019年中科大创新班笔试数学真题及答案
4.
设
O
是
ABC
的外心，
4
OA
5
OB
6
OC
0
，则
tan
BAC
_____.
5. 设曲线 x 13 y 13 1 关于直线 y kx b 对称，则 k,b _____.
6. 设 x 3 cost , y 4 cost , t 是参数，则 x2 y2 的最大值为_____.
解析： 易知：四面体 ABCD是一个对棱相等的四面 体 置入到长方体即可.假设其边长为a, b, c. a2 b2 16,b2 c2 25, c2 a2 36.
a 3 6 ,b 2
10 2
,c
3
10 2
. VABCD
15 4
6
10 .
解析：令 fn
本试题由天科教育研究院整理。
2019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案 【天科教育研究院解答】
本试题由天科教育研究院解答。
1. x 2 y 3x 4 y 5 区域面积
.
1 .答案：25 解析：
画出可行域如图，
S ABCD
4S ABO
4*
25 4
25
。
2. 方程 sin 2x cos 3x 0, x 0,2 的所有根之和
解析：由几何意义注意 z 1与z 1的夹角 ，z 的轨迹为单位圆上对应复数,所以
z2
z3 min
z
z2
z3 min
z 1 3z min
中科大少年班试卷
中科大少年班试卷
摘要：
1.中科大少年班的背景和历史
2.中科大少年班试卷的内容和特点
3.中科大少年班试卷对学生的挑战和影响
4.对中科大少年班试卷的评价和看法
正文：
中科大少年班自1978 年创立以来，一直是中国教育领域的一项重要创新。
这个特殊的班级，旨在为那些极具天赋的年轻学生提供一个更好的学习和发展环境。
其中，中科大少年班试卷是这个班级选拔人才的重要工具。
中科大少年班试卷的内容涵盖了数学、物理、化学、英语等多个学科，其题目难度大大超过了普通高考的难度。
这份试卷的特点在于，它不仅考察学生的知识储备，更考察学生的思维能力和创新能力。
例如，试卷中可能会出现一些需要学生运用所学知识来解决实际问题的题目，或者是需要学生进行逻辑推理和创新的题目。
对于参加中科大少年班试卷的学生来说，这份试卷无疑是一场巨大的挑战。
他们需要在有限的时间内，完成大量的高难度题目，这不仅需要他们有扎实的知识基础，更需要他们有强大的思维能力和应变能力。
然而，正是这样的挑战，让中科大少年班试卷在学生中产生了深远的影响。
许多学生通过参加这份试卷，不仅锻炼了自己的思维能力，也提升了自己的学习效率和自学能力。
对于中科大少年班试卷，人们的评价和看法各不相同。
有人认为，这份试
卷是一种很好的选拔人才的方式，它可以让那些真正有天赋的学生得到更好的发展机会。
但也有人认为，这份试卷过于强调思维能力和创新能力，可能会让那些知识储备丰富但思维较为保守的学生失去机会。
总的来说，中科大少年班试卷是一份极具挑战性的试卷，它对学生的思维能力和创新能力提出了很高的要求。
中国科技大学少年班与创新班备考试题电路部分
2gdgη1012200111220123001101220123012()0,()()0,()()(2)U C C C U C U C U C C U C C C U C U C U C C C U C C C U C C C ++--=⎧⎪++++--=⎨⎪++++++++-⎩代入数据，得12012301230767050,6767050,7676146750.U U U U U U U U U U U --=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩（12） 解（12）式，可得△U 1=0.298U 0，由（10）～（12）式可得△U 4=U 3以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值1141⎛⎫()()C C C C C C ''++中BJK）适当放大后，的图形，如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设按如图决1所示的三角形尔宾斯基镂垫的方法进行分割，分割的次数越多，ABC中每个小三角形的边长越短，分割后的ABC两顶点间的等效电阻与其中的角度讨论这个问题，我们先介绍二端电的电阻接成的ABC，其任意两顶点间的电状网络，ABC的任意两点间的电阻形网络．接入相同的外电阻，+r r23112经过一次分割，得到三个小三角形，即ADE、DBF、EFC，每个边的所示．将三个小三角形Y变换得图4（15中ABC 任意两顶点间的等效电阻表示为若将三角形做了一次分割操作后得到的三角形网络即图 15132⎤⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝是将ABC 做了第次分割操作后ABC 间的等效电阻，只要将题目中的图形的边长的电阻值是图2每个小三角形的边长的电阻的右三个三角形每个边的电阻改为次分割，ABC 两顶点22503648r ⎛⎫= ⎪⎝⎭仿照计算第1次分割操作后求ABC 两端点次分割三角形两端点间的等效电阻n）已知未分割时ABC 两顶点间对应的等效电阻可表示为次分割后ABC 两顶点间对应的等效电阻可表示为1223n n r ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭得5132⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1⎤此题是根据对称性分析直流电路的一例，实质上是求出A 、B 两点间的等效电阻。
少年班创新班优秀高中生的学业规划
中科大创新班优秀高中生的学业规划我高二时（2015年）被中国科学技术大学少年班学院创新试点班录取，现在就读于中国科大。
下面，我以自身经历来讲一下优秀高中生该如何规划自己的高中生涯。
我在初中时没有学过竞赛，也没有超前学习，一切都是从中考结束之后开始准备的。
首先是中考结束之后的那个暑假，我去好好放松了一把，趁着成绩没出来，给自己放了十几天小暑假。
成绩出来后就去上了个高一预科班，原来以为是科大办的，去了以后才知道是科大老师办的。
缺点是有点贵，价格都跟新东方一样了。
优点是在科大上课校园环境不错，老师也还可以，我们上课那年有个老师后来就是我们自己学校的级部主任。
预科我学的比较简单，白天学的很轻松，晚上有科大的老师做了拔高辅导，讲些有思想的内容，比较好玩。
期间科大的几个教授也给我们做过几次讲座。
有个叫邓国华的老教授是科大招生就业处的老处长，给我们将了科大的历史和科大的精神，老头七十多岁，精神矍铄，是老科大人，对科大很有感情，讲的很有激情，富有感染力。
老人家讲到一些故事的时候，甚至都流泪了。
现场很多同学都被感动了。
我也深受感动，并且励志，未来我也要成为一名光荣的科大人。
后来还有个招生就业处的副主任郝心远老师给我们做了一次高中学业规划的讲座，我后来的高中，大体上也是按照郝老师的指导进行的。
暑假上了20天课，将高一上学期期中考试的数英理化内容初步过了一遍。
我也建议大家在中考结束后的暑假要么报一个预科班，要么自己买材料在家里预习，报班会比自学的效率高一些。
因为高中和初中的学习强度及难度不是一个概念，高一前的暑假将课程预习好了，后面去了高中学校学习起来会轻松一些，容易跟得上节奏，适应高中生活。
但是到了学校以后一定要抱着学新知识的态度去学习，不能自认为学过了就心不在焉，这样的话反而还不如没有学过的好。
暑假预科毕竟不是真的学习，深度不高，节凑也不快，真正的学习是从开学后开始的。
首先有一个最基本的要求，就是在课堂上，老师讲的基本的东西要踏踏实实去学习，不要眼高手低。
中科大创新班考试数学模拟试题
2019年中科大创新班考试数学模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
4.本试卷共四大题，满分100分，解答题需写出必要的计算和证明过程。
一、填空题（每小题5分，共40分）1.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．2.已知{}7,6,5,4,3,2,1,0=A ，A A f →:，若7=+j i ，则ij j f i f =)()(，那么映射f 的个数是.3.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于.4.在锐角ABC △中，G O ,分别是其外心和重心，若AC OG ∥且 75=∠B ,则=+C A tan tan .5.如图，在单位正四面体ABCD 中，K N M ,,分别在棱BD AD AB 、、上，满足.41,31===DK DN BM 则面ACK 与面CMN 所夹锐角的余弦值为.6.设复数z ，11=+z z ，则z 的取值范围是为.7.严格递增的正实数数列{}n x 满足：{}n x x ∈当且仅当2{}x x +=整数，（其中，等式中的{}x 表示x 的小数部分）．那么，这个数列的前100项之和是．8.任意m 个连续正整数中，必有一个数的各位数码之和是11的倍数，则m 的最小值为.二、解答题（20分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边依次成等差数列。
求证：312tan 2tan =C A .三、解答题（20分）已知对于任意的]1,1[-∈x ，都有12≤++c bx ax ，证明：对于任意的]1,1[-∈x ，都有22≤++a bx cx 。
四、解答题（20分）在坐标平面内，从原点出发以同一初速度0v 和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间的夹角）[]2,,0(παπαα≠∈射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。
中国科技大学自主招生考试模拟练习题3
天科学堂2015年科大创新班模拟测试(四)一、一物块放在相同质量的光滑盒子内中，并靠着盒子的前壁，盒子放在光滑桌面上，盒子长为l 。
盒子受冲击力具有向右的冲击力v 0， 以后物块与盒子的后壁、前壁交替的发生碰撞。
（1）设物块与盒子之间发生完全弹性碰撞，试求第n 次碰撞后盒子与物块的速度；（2） 设物块与盒子之间发生一般碰撞，恢复系数为e （即碰撞过程满足v 2−v 1=e(u 1−u 2)，v 1,v 2, u 1,u 2 分别为碰撞后、碰撞前，物体1和物体2的速度）。
试求n 次碰撞共损失的机械能与初始能量的比值；（3）在（2）的条件下，直到第n 次碰撞所经历的时间。
二、如图所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管长L = 100cm ，其中有一段长L ′= 15cm 的水银柱把一部分空气封闭在管中。
当管水平放置时，封闭气柱A 长L A = 40cm 。
现把管缓慢旋转至竖直后，在把开口端向下插入水银槽中，直至A 端气柱长"A L = 37.5cm 为止，这时系统处于静止平衡。
已知大气压强P 0 = 75cmHg ，过程温度不变，试求槽内水银进入管内的水银柱的长度h 。
三、 测定电子荷质比（电荷q 与质量m 之比q /m ）的实验装置如图所示．真空玻璃管内，阴极K 发出的电子，经阳极A 与阴极K 之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C 、D 间的区域．若两极板C 、D 间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O 点；若在两极板间加上电压U ，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P 点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O 点．现已知极板的长度l = 5.00cm ， C 、D 间的距离d = 1.50cm ，极板区的中点M 到荧光屏中点O 的距离为L = 12.50 cm ，U = 200V ，P 点到O 点的距离cm 0.3==OP y ， B = 6.3×10-4T ．试求电子的荷质比．（不计重力影响）．D PA ＋ C ＋ K － － M四、经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。
中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学二试题及答案
中国科学技术大学2022年特殊类型（创新班）招生考试
数学A
注意事项：
1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷共5题，每题20分，共100分。
需要写出必要的计算和证明过程。
一、求满足2022a b c ++=
且2022abc 可被整除的正整数集合{},,a b c 个数。
二、求满足如下条件的所有函数()f x ；
（1） 定义域为1122 −
，； （2） (0)0f =； （3） 1
sin ()sin ()33
x f x f x −=恒成立。
三、欧拉有著名公式2
2221111++++=236
n π ，求最小正整数n ，使得2211162022n
k k π=>−∑。
四、在圆周上独立地随机选取n 个点，求这n 个点可以被半圆周覆盖的概率。
五、设2*()()1,,2!!
n
n x x f x x n N x R n −=−++∈∈ 。
（1） 证明：：方程21()0n f x −=有唯一实数解，记作n a 。
（2） 数列{}n a 是否为单调数列?请证明你的结论。
2015年创新班招生数学试题
若 点 P 也在 傾乕 的图象上 则 k
X
12
如 图 在扇形 AOB 中
部分 的面积为 1
Ç
A0B- 9 0 •B
以 超 为直径面半圆 若 图中阴影
0
则线段 OA 长为
13
二 -
宏
第 2 页 共
4
'
"相 交 于 月 ( 1 2)
B(UBiblioteka 14 已知 3 aa
a
3
=
0
,
rJ
a
Æ
4
5a
'
+
1
AC喝
a
15
如 图 在三 角形 纸 片 ABC 中 使点 C 落 在 AB 边 上 的 D 点处
则折痕 BE 的长 为
Z C闲 0 '
折叠该纸 片
,
-
折痕 BE 与 AC 交于 点 E 若 AD BD
,
16
如图
Ç
AB
是 0 0 的直径
弦 B Ð 4c m
,
F
是弦 BC 的中点
ABC- 60 '
一
若动点 E 以 l c m / s 的速 度从 A 点出发在弦 AB 上
运动
沿着 A
B
设运动时间为 t ( s ) ( 0 =
且 B D 2A D
-
x
交于 点 A
,
,
连接 C D
,
直线 C D 与直线 y
a
x
交于 点 Q 则点 口的
,
坐标为
0
声
x
三 丄解答题 ( 本大题共 3 小题
20
共 34 分 )
2022年中国科学技术大学创新班招生考试初试数学试题一
中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷共10题，每题10分，共100分。
1.2,sin sin sin ABC ac b A C k B ∆=+=，2，求k 的取值范围。
2.向量(1,0),(1,0),(,),4,a b c x y c a c b c =-==--=则的值可能为（）。
A.1B.2C.3D.4E.以上都不对3.如图，G 为重心，,,,APQ ABC S T S S AP xAB AQ y AC ∆∆====，则（）。
A.x y +为定值B.11x y +为定值 C.11x y+为不定值 D.4192T S ≤≤为定值4.若函数22(log )()1a x x f x a-=-在1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒大于0，则a 的取值范围是（）5.22(2)1a b -+≤，求的最大值与最小值之差为（）。
6.在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对角分别为22a b c b a ac -=、、，，则11tan tan A B-的取值范围为（）7.{}n a 满足[]122121+120002,5,54,log n n n n n nn n a a a a a b a S b b +++⎧⎫===+=⎨⎬⎩⎭，为的前n 的和为（）.A.12n n a += B.14+1n n a -= C.[]2022498S = D.[]2022499S =8.在ABC ∆中，1,cos cos 1c b C B =-=，则b 的可能正确的是（）.A.14B.34C.2D.29.菱形ABCD，AB AC =，将ACD ∆沿AC 折起至APC ∆，E 为PB 中点，5ACE S ∆=，则P ABC V -为（）.10.50axe x ->在[]0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学答案解析1.2,sin sin sin ABC ac b A C k B ∆=+=，2，求k 的取值范围。