排列组合与概率
管综数学排列组合和概率
一、排列组合排列组合是管综数学中常见的题型，也是非常重要的知识点。
排列组合主要研究从一组元素中选取一定数量的元素，并按一定顺序排列或组合的数学方法。
排列组合的应用非常广泛，例如在统计学、概率论、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
排列组合主要包括排列和组合两种。
排列是指从一组元素中选取一定数量的元素，并按一定顺序排列。
排列的计算公式为：P(n, r) = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)其中，n为元素总数，r为选取元素的数量。
组合是指从一组元素中选取一定数量的元素，而不考虑元素的顺序。
组合的计算公式为：C(n, r) = frac{P(n, r)}{r!}其中，n为元素总数，r为选取元素的数量，r!表示r的阶乘。
二、概率概率是管综数学中另一个重要的知识点。
概率主要研究随机事件发生的可能性。
概率的计算公式为：P(E) = frac{n(E)}{n(U)}其中，P(E)表示事件E发生的概率，n(E)表示事件E发生的次数，n(U)表示样本空间中所有可能事件的次数。
概率的应用也非常广泛，例如在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
三、排列组合和概率在管综考试中的应用排列组合和概率是管综数学中非常重要的知识点，也是管综考试中经常考查的题型。
排列组合和概率的应用非常广泛，例如在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
因此，掌握排列组合和概率的知识对于管综考试的成功非常重要。
排列组合和概率在管综考试中的应用主要包括以下几个方面：* 计算排列和组合的数量。
* 计算事件发生的概率。
* 分析排列和组合的规律。
* 解决排列和组合的应用问题。
四、排列组合和概率的学习方法排列组合和概率是管综数学中比较难的知识点，因此需要掌握一定的学习方法才能学好排列组合和概率。
排列组合和概率的学习方法主要包括以下几个方面：* 理解排列组合和概率的基本概念。
* 掌握排列组合和概率的计算公式。
* 熟悉排列组合和概率的应用场景。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件 确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件 的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解 关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补 事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件 发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的， 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 ．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时， 通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤． 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值， 获得对这两个变量之间的整体关系的了解． 分析两个变量的相关关系 时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系， 这 条直线叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程． 在本节要经常与数据打交道， 计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ． （4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的 样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。
本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。
对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
1.2 组合组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、概率计算的基本原理概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率计算基于排列组合的概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。
2.1 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
例如，掷一枚普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。
2.2 事件事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。
例如，掷一枚硬币出现正面是一个事件。
2.3 概率概率是事件发生的可能性。
对于一个随机试验和事件，概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个具体的例子说明它们的具体应用。
3.1 组合在概率计算中的应用在扑克牌游戏中，计算一个牌型的概率就可以使用组合的概念。
高考数学排列组合与概率计算重点清单
高考数学排列组合与概率计算重点清单一、背景介绍在高考数学中，排列组合和概率计算是不可忽视的重要内容。
掌握了这两个知识点，可以帮助学生在考试中获得更好的成绩。
本文将为大家列出高考数学排列组合与概率计算的重点清单，帮助大家快速掌握这些知识点。
二、排列组合的重点1. 排列的定义和运算法则- 不重复元素的全排列：n!- 重复元素的全排列：n!/(n1!×n2!×...)- 部分相同元素的排列：n!/(n1!×n2!×...)，其中n1、n2等表示重复出现的元素个数2. 组合的定义和运算法则- 不重复元素的组合：C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)- 重复元素的组合：C(n+k-1, k-1)- 全部选或全不选的方案数：2^n3. 排列组合的应用- 在几何问题中，通过排列组合可以确定数量关系、判断位置关系等- 在概率问题中，通过排列组合可以计算事件发生的概率- 在工程问题中，通过排列组合可以计算不重复的方案数三、概率计算的重点1. 事件的概率定义- 事件发生的概率：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A发生的可能性，n(S)为样本空间中的所有可能性数- 事件的对立事件：P(A') = 1-P(A)- 事件的必然事件：P(S) = 1，其中S为样本空间2. 概率的运算性质- 事件的和事件概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)- 事件的积事件概率：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率3. 条件概率与独立事件- 条件概率的计算：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)- 事件的独立性：如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则事件A与事件B 相互独立4. 一些常见的概率问题- 排列组合与概率计算相结合的问题- 球与盒子问题、扑克牌问题等四、总结通过本文的介绍，我们了解到高考数学中排列组合与概率计算的重点知识点，这些内容对于考生来说至关重要。
[数量关系] 排列组合与概率问题
![[数量关系] 排列组合与概率问题](https://img.taocdn.com/s3/m/4ec86c26ed630b1c59eeb52a.png)
[数量关系] 排列组合与概率问题[数量关系]排列组合与概率问题排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。
公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。
在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。
与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。
一、基础原理二、基本解题策略面对排列组合问题常用以下三种策略解题：1.合理分类策略①类与类之间必须互斥(互不相容);②分类涵盖所有情况。
2.准确分步策略①步与步之间互相独立(不相互影响);②步与步之间保持连续性。
3.先组后排策略当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。
【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。
问有多少种选法?A.120B.600C.1440D.42000中公解析：此题答案为D。
此题既涉及排列问题(参加五个不同的竞赛)，又涉及组合问题(从12名学生中选出5名)，应该先组后排。
三、概率问题概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。
概率问题经常与排列组合结合考查。
因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。
1.传统概率问题2.条件概率在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。
P(AB)为AB同时发生的概率，P(B)为事件B单独发生的概率。
【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。
小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。
问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性(概率)是多少?排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。
公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。
高中数学研究数学中的排列组合与概率
高中数学研究数学中的排列组合与概率在高中数学课程中，排列组合与概率是重要的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将深入探讨排列组合与概率的概念、性质和应用，并展示它们在解决问题中的实际意义。
一、排列组合1. 排列的概念排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，元素的顺序是重要的。
对于n个不同的元素，选择r个进行排列的方法数可以用P(n,r)来表示。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，!表示阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
2. 组合的概念组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，元素的顺序不重要。
对于n个不同的元素，选择r个进行组合的方法数可以用C(n,r)来表示。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)3. 排列组合的性质排列和组合有一些重要的性质，可以利用这些性质简化计算和问题的解决。
（1）互补原则：P(n,r) = n! / (n-r)! = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1)，C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) = P(n,r) / r!（2）相同元素的排列：如果有n个元素中有m1个相同，m2个相同，...，mk个相同，那么排列的方法数可表示为P(n, n) / (m1! × m2! × ... × mk!)。
（3）0的阶乘：0! 等于1。
二、概率1. 概率的概念概率是研究随机事件发生可能性或可能性大小的数学方法。
概率的范围在0-1之间，事件发生的概率越高，其值越接近于1；事件发生的概率越低，其值越接近于0。
随机事件的概率可以用P(A)来表示，其中A表示随机事件。
2. 概率的计算（1）古典概型：对于有限个样本点的等可能概率试验，事件A发生的概率可以通过计算满足事件A的样本点的数量除以总样本点的数量来计算。
概率与排列组合问题的求解思路
概率与排列组合问题的求解思路概率与排列组合是初中数学中的重要内容，也是中学生常常遇到的难点。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的思路和方法。
本文将通过具体的例子，详细介绍概率与排列组合问题的求解思路，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、概率问题的求解思路概率问题是我们在日常生活中经常遇到的，比如抛硬币、掷骰子等。
在解决概率问题时，我们需要明确事件的总数和有利事件的总数，从而计算出概率。
举个例子，假设有一个装有10个红球和5个蓝球的袋子，从中随机取出一个球。
求取到红球的概率。
解题思路：1. 确定事件的总数：袋子中共有15个球，所以事件的总数为15。
2. 确定有利事件的总数：袋子中有10个红球，所以有利事件的总数为10。
3. 计算概率：概率等于有利事件的总数除以事件的总数，即10/15=2/3。
通过上述例子，我们可以看到解决概率问题的关键在于确定事件的总数和有利事件的总数，并进行相应的计算。
二、排列组合问题的求解思路排列组合问题是数学中的经典问题，涉及到对一组元素进行排列或组合的方式。
在解决排列组合问题时，我们需要根据问题的具体要求，选择合适的方法进行求解。
举个例子，假设有5个人参加比赛，其中有3个奖项，求获奖的可能性。
解题思路：1. 确定问题的类型：根据题目要求，这是一个组合问题，因为我们只关心获奖的人，而不关心他们获得奖项的顺序。
2. 确定元素的总数和要选择的个数：参赛人数为5人，要选择的个数为3个。
3. 使用组合公式进行计算：组合公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n为元素的总数，m为要选择的个数。
代入数据计算得到C(5,3)=10。
4. 得出结论：获奖的可能性有10种。
通过上述例子，我们可以看到解决排列组合问题的关键在于确定问题的类型，选择合适的方法进行计算，并根据具体的要求得出结论。
综上所述，概率与排列组合问题的求解思路需要掌握一些基本的方法和技巧。
在解决概率问题时，我们需要确定事件的总数和有利事件的总数，并进行相应的计算；在解决排列组合问题时，我们需要确定问题的类型，选择合适的方法进行计算，并根据具体的要求得出结论。
排列组合与概率
第十三章 排列组合与概率一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）kn k n C C kn =--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
排列组合与概率计算
排列组合与概率计算在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。
本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。
排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。
根据排列公式可得：P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120所以，共有120种不同的放法。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。
组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组合公式来计算不同的组合可能性：C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!)举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不同的组合？这就是一个组合问题。
根据组合公式可得：C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84所以，共有84种不同的组合方式。
三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。
在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。
例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2张红心和3张黑桃的概率是多少？首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。
根据排列公式，总共有：P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑桃的不同排列数量。
利用排列组合求解概率问题
利用排列组合求解概率问题概率问题是数学中非常重要的一个分支，而排列组合则是解决概率问题中常用的一种数学方法。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何利用排列组合来解决概率问题。
一、排列组合的定义在正式探讨如何利用排列组合来解决概率问题之前，我们先来了解一下什么是排列组合。
排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
我们可以利用以下公式来计算排列的总数：$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$ 或$\binom{n}{m}$。
我们可以利用以下公式来计算组合的总数：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$因此，排列和组合可以用来解决不同的问题，比如概率问题。
二、下面我们来看几种利用排列组合求解概率问题的方法。
1. 可重复排列问题可重复排列指的是从$n$个可重复的元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$n^{m}$。
例如，一个只有红、黄、蓝三种颜色的小球，从中任意取出5个小球（可以重复取），共有多少种不同的取法？由于每个位置都可以重复出现三种颜色，因此总共的取法数为$3^{5}=243$。
2. 不可重复排列问题不可重复排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列，且每个元素只能使用一次的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
例如，一个有9个不同字母的单词，从中任意取出5个字母，组成一个新的5字母单词，共有多少种不同的取法？由于每个字母只能用一次，因此共有$A_{9}^{5}=15120$种不同的取法。
3. 不可重复组合问题不可重复组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$。
高中数学排列组合与概率结合解题技巧
高中数学排列组合与概率结合解题技巧在高中数学中，排列组合和概率是两个重要且常见的概念。
它们在解题过程中经常结合使用，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些排列组合与概率结合解题的技巧，并通过具体题目进行说明和分析，以帮助高中学生提高解题能力。
一、排列组合与概率的基本概念回顾在开始讨论解题技巧之前，我们先回顾一下排列组合与概率的基本概念。
排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，排列的顺序很重要。
当从n个元素中选取r个进行排列时，排列数用符号P表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，组合的顺序不重要。
当从n个元素中选取r个进行组合时，组合数用符号C表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)概率是指某一事件发生的可能性。
概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的次数 / 总的可能性次数。
二、排列组合与概率结合解题技巧1. 使用排列组合计算总的可能性次数在解决概率问题时，有时我们需要计算总的可能性次数。
这时，我们可以利用排列组合的知识来计算。
例如，有5个红球和3个蓝球，从中任选3个球，求选出的3个球中至少有一个红球的概率。
解答：我们可以利用排列组合的知识来计算选出的3个球中至少有一个红球的总的可能性次数。
首先，我们可以计算选出3个球中没有红球的情况，即选出的3个球都是蓝球的情况。
根据组合的计算公式，C(3,3) = 1，表示选出3个球中都是蓝球的情况只有1种可能。
接下来，我们可以计算选出3个球中只有1个红球的情况，即选出的3个球中有2个蓝球和1个红球的情况。
根据排列的计算公式，P(5,1) = 5，表示选出1个红球的可能性有5种，而P(3,2) = 3，表示选出2个蓝球的可能性有3种。
因此，选出3个球中只有1个红球的情况共有5 * 3 = 15种可能。
最后，我们可以计算选出3个球中有2个红球的情况，即选出的3个球中有1个蓝球和2个红球的情况。
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算数学是一门既抽象又具有实际应用的学科，其中排列组合与概率计算是其重要组成部分。
排列组合是研究对象的选择、排列和组合方式，而概率计算则关注于事件的可能性。
本文将从理论与实际应用两方面介绍数学中的排列组合与概率计算。
一、排列组合的基本概念排列和组合是数学中与选择和排序有关的概念。
排列表示从一组对象中选择若干个对象，并按照一定的顺序进行排列；组合则表示从一组对象中选择若干个对象，但不考虑其顺序。
1. 排列在排列中，我们关心的是选取对象的顺序。
例如，从A、B、C三个字母中选取两个字母进行排列，可能的排列结果有AB、AC、BA、BC、CA、CB共计6种情况（记作P(3,2)=6）。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n代表对象总数，m代表选取的对象数，n!表示n的阶乘。
2. 组合在组合中，我们关心的是选取对象而不考虑其顺序。
例如，从A、B、C三个字母中选取两个字母进行组合，可能的组合结果有AB、AC、BC共计3种情况（记作C(3,2)=3）。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / ((n-m)! * m!)其中，n代表对象总数，m代表选取的对象数。
二、概率计算的基本原理概率是研究事件发生的可能性的数学理论。
利用排列组合的方法，我们可以计算事件发生的概率。
1. 事件与样本空间事件是指我们关注的某种结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，投掷一个骰子，事件A可以是出现奇数点数，样本空间S可以是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 概率计算概率是事件发生的可能性。
概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中可能事件发生的总次数。
三、排列组合与概率的应用排列组合与概率计算在实际生活中有广泛的应用。
以下以两个具体例子介绍其应用。
1. 抽奖活动假设在一个抽奖活动中，有10位幸运观众，其中要从中抽取3位中奖者。
数学运算题型篇第十四排列组合与概率
天智新思维公考培训 《行政职业能力基础课程》作者：天字1号（徐克猛）二零一三年三月十七日 写于无锡第二章 数学运算基础题型十四、排列组合与概率1. 排列组合的基础知识(1)、什么是C公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列（即不排序）。
例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用,这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合，即23C =3(2)、什么是A 或P公式A 或P 都是指排列，只是因为不同时期教材版本不一样采取的表现形式也不一样。
对于P 或A 的含义相当于是：从N 个元素取R 个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取23C ，后排22A ，就构成了 23C ×22A ＝23A(3)、A 和C 的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比C 多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
(4)、计算方式以及技巧要求组合：C m n =m !(m −n )!×n !条件：N<=M 排列：A m n =m !(m −n )!条件：N<=M 为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如n m C 当中n 取值过大，那么我们可以看m-‐n 的值是否也很大，如果不大，我们可以求n m m C −，因为n mC ＝n m m C −。
2. 排列组合的基本形式排列组合当中重要的解题思想核心就是根据题目的特点学会“分类”和“分步”，“分类”是指分情况讨论，一道排列组合可能有几种不同的情况；而“分步”则是指一道排列组合题目按照步骤解题，将其分解成若干个步骤。
分类：加法原则，即学会把一个复杂的排列组合问题分解成若干部分，每个部分是独立的相互之间没有关联，然后把这若干种情况求出来，再计算总和。
高中数学公式大全排列组合与概率计算公式
高中数学公式大全排列组合与概率计算公式高中数学公式大全：排列组合与概率计算公式一、排列组合1. 排列公式排列是指从一个有限元素集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法。
当从n个不同元素中选取r个元素进行排列时，排列数可以用以下公式表示：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的总数，n!表示n的阶乘。
2. 组合公式组合是指从一个有限元素集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合的方法。
当从n个不同元素中选取r个元素进行组合时，组合数可以用以下公式表示：C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!]其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的总数。
二、概率计算1. 概率公式概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
一般用P(A)表示事件A的概率。
当事件 A、B 互斥且独立时，可以使用以下概率公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)其中，P(A ∪ B)表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
2. 条件概率公式条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
可以使用以下条件概率公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B)表示事件 B 发生的概率。
3. 乘法定理乘法定理是指在一系列独立事件中，它们同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。
可以使用以下乘法定理计算：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
4. 加法定理加法定理是指当两个事件互斥时，它们其中一个事件发生的概率等于两个事件发生概率的和。
数学知识点归纳排列组合与概率的应用
数学知识点归纳排列组合与概率的应用数学知识点归纳：排列组合与概率的应用数学是一门抽象而又实用的学科，涉及到各种不同的知识点和概念。
在数学的学习过程中，排列组合与概率是非常重要的内容之一。
排列组合与概率的应用在日常生活中随处可见，如排队买票、抽奖等。
本文将对排列组合与概率的相关知识点进行归纳总结并探讨其实际应用。
一、排列组合的基本概念1. 排列：在数学中，排列是指从若干元素中选取部分元素按一定次序排列的方式。
常用表示方法是P(n, m)，表示从n个不同元素中选取m个元素进行排列的总数。
2. 组合：组合是指从若干元素中选取部分元素不考虑次序的方式。
常用表示方法是C(n, m)，表示从n个不同元素中选取m个元素进行组合的总数。
二、排列组合的应用1. 排列的应用：排列在实际生活中有广泛的应用。
比如，有三个人A、B、C参加某项活动，按照一定的顺序进行排列，那么可能的排列组合数为6种，即ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
在实际应用中，我们可以运用排列的知识解决类似的问题。
2. 组合的应用：组合同样具有广泛的应用。
比如，购买彩票时选择6个号码的组合方式有很多种，而中奖的概率只有一种。
在实际生活中，我们可以利用组合的知识计算概率，提高中奖的可能性。
三、概率的基本概念概率是数学中比较重要的一个概念，是描述事件发生可能性的一种度量。
概率的计算需要用到排列组合的知识。
四、概率的应用1. 概率的计算：概率可以描述事件发生的可能性大小。
通过排列组合的计算方法，我们可以得到某个事件发生的概率。
比如，掷骰子的例子中，某个点数出现的概率为1/6，即1种有利的结果与6种可能的结果之比。
2. 概率的预测：利用概率的知识，我们可以对事件的发生概率进行预测。
比如，在赌博游戏中，我们可以根据排列组合和概率的知识计算出某个号码或某种组合的中奖概率，从而制定出合理的下注策略。
3. 概率的实际应用：概率在现实生活中有很多实际应用。
排列组合与概率含习题答案
2014高三暑期保送复习《排列组合与概率》专题第一讲 排列组合与二项式定理【基础梳理】 1．排列(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示． (3)排列数公式 A mn ＝(4)全排列数公式 A nn ＝(叫做n 的阶乘)． 2．组合(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示． (3)组合数公式C m n ＝(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1. (4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 3．二项式定理 （1）(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n的其中的系数C rn (r ＝0,1，…，n )叫． 式中的C r n an －r b r叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r. （2）．二项展开式形式上的特点 ①项数为.②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为.③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . (3)．二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数即②增减性与最大值： 二项式系数C kn ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项取得最大值．③各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝.【基础自测】1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有( )． A ．360种 B ．4 320种 C ．720种D ．2 160种2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )． A ．200个 B ．190个 C ．185个 D ．180个3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )． A ．36种 B ．42种 C ．48种 D ．54种4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有( )．A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种 5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．6.(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )． A ．80 B ．40 C ．20 D ．107.若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )． A ．45 B ．55 C ．70 D ．808.(人教A 版教材习题改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )．A．9 B．8 C．7 D．69．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6 B．7 C．8 D．9【例题分析】考向一排列问题【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．【巩固练习1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．考向二组合问题【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【巩固练习2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？考向三排列、组合的综合应用【例3】►(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算x ＋y ＋z ＝6的正整数解有多少组； (3)计算x ＋y ＋z ＝6的非负整数解有多少组．【巩固练习3】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．【巩固练习4】► 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？【巩固练习5】 在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？考向四 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例4】►已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【训练6】(2011·山东)若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．考向五 二项式定理中的赋值【例7】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．【训练7】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.考向六 二项式的和与积【例8】►(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．【训练8】(2011·广东)x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________(用数字作答)．【巩固作业】一、选择题11 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 22 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1033．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）使得()3nx n N n+⎛∈⎝的展开式中含有常数项的最小的为（）A．4B．5C．6D．744．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b,共可得到lg lga b-的不同值的个数是（）A．9B．10C．18D．2055 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,.,()x xf x xx⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩, 则当x>0时, [()]f f x表达式的展开式中常数项为（）A．-20 B．20 C．-15 D．1566．（2013年高考江西卷（理））(x2-32x)5展开式中的常数项为（）A．80 B．-80 C．40 D．-40二、填空题77．（2013年上海市春季高考数学试卷(）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________88．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y+的展开式中,含23x y的项的系数是_________.(用数字作答)99．（2013年上海市春季高考数学试卷(）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).1010．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将FEDCBA,,,,,六个字母排成一排,且BA,均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)1111．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)1212．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.第二讲离散型随机变量和其分布列【知识梳理】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． (3)分布列设离散型随机变量X 可能取得值为x 1，x 2，…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的概率分布列，简称(4)分布列的两个性质①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝_1_. 2．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 3．超几何分布列在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N (k＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，则称分布列为超几何分布列． 【基础自测】1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )． A ．出现正面的次数 B ．出现正面或反面的次数 C ．掷硬币的次数 D ．出现正、反面次数之和2．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A ．X 取每个可能值的概率是非负实数 B ．X 取所有可能值的概率之和为1C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于（）A.316 B.14 C.116 D.5164．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )．A ．25B ．10C ．7D ．65．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．考点一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】►(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．【练习1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后可获收益的分布列是________． 考点二 由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X 表示取球终止时所需要的取球次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率．【练习2】 (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． (1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．投资成功 投资失败 192次8次考点三 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例3】►(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【练习3】 某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H 1N 1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列(不要求写出计算过程)，并求X 的均值(即数学期望)．【练习4】►(本题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记ξ＝|x －2|＋|y －x |. (1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列．【练习5】 某射手进行射击练习，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)； (3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． 【巩固作业】1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A.X 取每一个可能值的概率都是非负数；B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 1316a A ．12 B ．16 C ．13 D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题) 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127D.6511.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种13 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10，则X 的取值为 15、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以和ξ取每一值时的概率．19.(2007年重庆卷第6题) 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷) 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．X -10 1 p 0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p 0.4 0.7 -0.1 X 5 0 -5 p 0.3 0.6 0.1 ()1,2,3,4,5,P X k k k === ④ ⑤高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题： 13、 ③④ 14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 20三、解答题：17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）. 所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 41 81 161 ．．． n 21 ．．．∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：X 1 2 P3414第三讲 随机变量的数字特征【基础梳理】 1．条件概率和其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1；② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝，P (AB )＝(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是的． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为三种分布(1)若X 服从两点分布，则E(X)＝p ，D(X)＝p(1－p)； (2)X ～B(n ，p)，则E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)； (3)若X 服从超几何分布， 则E(X)＝n MN .期望和方差性质 (1)E (C )＝C (C 为常数)(2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数) (3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2(4)D (aX ＋b )＝a 2·D (X ) 【基础自测】1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．2 2．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：(1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差 称D (X )＝∑i ＝1n [x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 ，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 3．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：该随机变量ξ的均值是________．4．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49B.29C.427D.2275．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．3或46．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )． A.12 B.14 C.16 D.18 考点一 离散型随机变量的均值和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．【练习1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．考点二 均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2，D (2X －1)，DX －1.【练习2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．考点三 均值与方差的实际应用【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示： 且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．X 1 5 6 7 8 P0.4a b0.1注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．【练习3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X 的概率分布和E (X )； (2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．考点四 条件概率【例4】►(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12【练习4】 (2011·湖南高考)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则 (1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.考点五 独立事件的概率【例5】►(2011·全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【练习5】 (2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．考点六 独立重复试验与二项分布【例6】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【练习6】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．【巩固作业】1．已知X 的分布列为。
排列组合的概率
排列组合的概率排列组合是概率论中的一个基础概念。
它描述了从给定的一组元素中选择若干个元素进行排列或组合的方式，并计算出其中某一种结果出现的概率。
在实际生活中，排列组合的概念广泛应用于各个领域，如统计学、计算机科学、工程学等。
本文将就排列组合的概念、原理以及其在实际问题中的应用进行详细介绍。
一、排列和组合的概念排列和组合是数学上描述从给定的一组元素中选择若干个元素的方式。
排列强调元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。
具体来说：1. 排列排列是从一组不同元素中选择若干个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。
假设有n个元素，要选择r个元素进行排列，那么排列的总数可以用数学符号表示为P(n, r)。
排列的计算公式是：P(n, r) = n! / (n-r)!其中“！”表示阶乘，即将一个数的所有正整数乘积。
我们可以将排列理解为一个假设实验，逐步选取元素的过程。
例如，有5个元素A、B、C、D、E，要选择3个元素进行排列，按顺序选取的过程可以是：先选A，再选B，最后选C；或者先选A，再选C，最后选B，等等。
因此，在这种情况下，排列的总数是5 × 4 × 3 = 60。
2. 组合组合是从一组不同元素中选择若干个元素，并不考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要选择r个元素进行组合，组合的总数可以用数学符号表示为C(n, r)。
组合的计算公式是：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)与排列不同，组合的顺序不重要。
例如，还是以有5个元素A、B、C、D、E为例，要选择3个元素进行组合，不考虑顺序的话，组合的总数是5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10。
二、排列组合的原理排列组合的原理是基于基本计数原理和互异事件的概率等概率原理。
1. 基本计数原理基本计数原理是指若有一个实验可以分成n个步骤完成，每个步骤有m种选择，则该实验一共有n × m种可能的结果。
排列组合和概率
排列组合和概率是许多应用程序中重要的概念之一。
概率可以很容易
地计算出一个给定情况发生的概率，而排列组合可以用来研究特定情
况出现的可能性。
什么是排列组合？排列组合是指从一组相同类型的元素中有序选择n
个元素的方法，其中n是所选元素的数量。
排列组合对于应对复杂的
计算问题非常有用。
概率的概念也是重要的。
它可以将不确定性的事件转换成可以预测的
数值。
概率可以用来计算特定事件发生的可能性，并预测特定事件发
生的概率。
排列组合和概率可以应用于很多行业，如健康统计学、生物统计学、
财务预测、电子游戏设计以及许多其他领域。
健康统计学中，可以使
用概率来更好地了解某种疾病发病的可能性，以及给出有效的控制办法。
在生物统计学中，可以使用排列组合来计算细菌的繁殖时间，并
使分子生物学实验更准确有效。
财务会计也可以使用排列组合和概率进行风险评估，以识别特定风险
在某段时间内发生的可能性，然后采取合适的措施来防范或减轻风险。
对于电子游戏设计，可以使用概率来设计不同几率的事件发生，以及
有效地管理游戏内的货币、能力和装备资源等。
总之，排列组合和概率可以应用于许多不同的行业，可以有效地帮助
解决应用程序中的复杂问题。
概率与排列组合
概率的取值范围
概率的取值范围 是[0,1]，表示事 件发生的可能性
大小。
概率取值越接近0， 表示事件发生的 可能性越小。
概率取值越接近1， 表示事件发生的 可能性越大。
必然事件的概率 为1，不可能事件
的概率为0。
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概率的分类
确定事件：在一 定条件下，一定 会发生或一定不 会发生的事件
随机事件：在一 定条件下，可能 发生也可能不发 生的事件
必然事件：在一 定条件下，一定 会发生的事件
不可能事件：在 一定条件下，一 定不会发生的事 件
排列组合的基本概念
排列的定义
排列是从n个不 同元素中取出 m个元素 （m≤n），按 照一定的顺序 排成一列。
0 1
排列的数学符 号表示为Aₙₙ 或Pₙₙ，其中n 表示元素个数， m表示取出元 素的个数。
0 2
排列的个数用 Pₙₙ表示，计 算公式为 Pₙₙ=n!/(nm)!，其中"!"表 示阶乘。
0 3
排列在组合数 学、概率论等 领域有广泛应 用。
0 4
排列的表示方法
符号表示：P(n, m)
意义：从n个不同元素中 取出m个元素的所有排列
的个数
计算公式：P(n, m) = n! / (n-m)!
示例：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60
期收益。
概率与排列组合在统计学中 的应用：例如，在市场调研、 医学研究、社会学调查和质 量控制中，概率与排列组合
被用来分析和解释数据。
排列组合在计算机科学中的应 用：例如，在数据排序、加密 和解密、算法设计和计算机图 形学中，排列组合被用来处理
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专题三： 排列、组合及二项式定理一、排列、组合与二项式定理【基础知识】1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m ≤n)． 4.组合数公式 mn C =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m ≤n). 5.组合数的两个性质：(1) m n C =m n nC - ; (2) m n C +1-m nC =m n C 1+ （3）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .6.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =⋅！ .7.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.【题例分析】例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有44A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －33A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －233A ＋22A ）种，故共有252种．点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生．(2)某女生一定要担任语文科代表．(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有55A 种,共有5513452335)(A C C C （C+＝5400种．(2)除去该女生后先取后排：8404447=A C 种．(3)先取后排,但先安排该男生：3360441447=A C C 种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种,再安排该男生有13C 种,其余3人全排有33A 种,共331336A C C =360种．例3、、有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有90222426=⋅⋅C C C （种）。
（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了33A 倍，故共有15332426=⋅A C C （种）。
（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有60332516=⋅⋅C C C （种）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有36033332516=⋅⋅⋅A C C C （种）。
（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有15221516=⋅A C C （种）。
（6）本题即为6本书放在6个位置上，共有72066=A （种）。
例4、如果在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+421 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得：2×2n =1+8)1(-n n 得n =8。
设第r+1项为有理项，43168121r r r r x c T -+⋅⋅=，则r 是4的倍数，所以r=0，4，8。
有理项为295412561,835,xT x T x T ===。
【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、设k =1，2，3，4，5，则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是A 10B 40C 50D 80.2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有A 3种B 4种C 5种D 6种.二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）4、设()()()()()9922105433321+++++++=++x a x a x a a x x 则()286420a a a a a ++++―()=++++297531a a a a a 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？6、若()432-x =44332210x a x a x a x a a ++++，求（1）()2420a a a ++―()231a a +的值。
（2）3210a a a a +++的值。
二、等可能事件的概率【基础知识】 等可能性事件的概率()m P A n=. 【题例分析】例1、 某班有学生36人，血型分别为A 型12人,B 型10人,AB 型8人,O 型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.解:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A 型)＋P(两人血型均为B 型)＋P(两人血型均为AB 型)＋P(两人血型均为O 型)＝45112362628210212=+++C C C C C . 所以，P(两人血型不同)＝1－45344511=. 点拨:从四种血型中抽出2种有C 24＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于21，求男、女相差几名？ 解：设男生有x 名，则女生有36－x 名，选得2名委员都是男性的概率为2362C C x ＝3536)1(⨯-x x .选得两名委员都是女性的概率为236236C C x-＝3536)35)(36(⨯--x x . 以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和. 依题意3536)1(⨯-x x ＋3536)35)(36(⨯--x x ＝21.解得x ＝15或x ＝21. 即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，总之，男女相差6名.例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n 个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求：(1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是40613，且n ≥2，计算红球有几个？(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？解：(1)将5个黄球排成一排共有A 55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A 36种排法.∴所求的排法为A 55·A 36＝14400（种）.（2）取3个球的种数为C 330＝4060，设“3个球全是红色”为事件A ，“3个球全是蓝色”为事件B.“3个球都是黄色”为事件C ，则P(B)＝40601033035=C C ，P(C)＝4060120330310=C C . ∵A 、B 、C 彼此互斥，∴P(A ＋B ＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，即40613＝P(A)＋4060120406010+.∴P(A)＝0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2. 又∵n ≥2，故n ＝2.（3）记“3个球至少有一个是红球”为事件D ，则D 为“3个球中没有红球”，则 P(D)＝1－P(D )＝1－330328C C ＝14528. 例4、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试.（1）求前两次取出都是二等品的概率；（2）求第二次取出的是二等品的概率；解：（1）四件产品逐一取出方式共有A 44种不同方式.前两次取出都是二等品的方式共有A 22·A 22种不同方式.所以前两次取出都是二等品的概率为： 61442222=A A A（2）第二次取出是二等品共有：3312A C ，所以第二次取出是二等品的概率是：21443312=A A C【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） 12519D 12518C 12516B 12513A 、 、 、 、 2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。
若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：(1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；(2)A组中至少有两支弱队的概率．6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体,将这些正方体混合后，放入一个口袋内.(1)从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少?三、互斥事件的概率【基础知识】1、 (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.2.重点公式(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推广:P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P（A n）.(2)对立事件的概率和等于1.P(P)+P(A)=P（A+A）=1.【题例分析】例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率.解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有C16·C14个，又甲、乙依次抽到一题的可能结果有C110C19个，所以，所求概率为：199101416CCCC=154.（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C C C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:1-191101314C C C C =1-9012=1-152=1513. 例2、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为A 1、A 2、A 3、A 4.∵A 2、A 3、A 4彼此互斥，∴P （A 2+A 3+A 4）=P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=0.28+0.19+0.29=0.76.又∵A 1=432A A A ++，∴P(A 1)=1-P （A 2+A 3+A 4）=1-0.76=0.24.∵A 1与A 2互斥，∴P （A ）＝P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=0.24+0.28＝0.52.故这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率为0.52.例3、袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总值超过8分的概率.解：记“总值超过8分”为事件A ，它应有四种情况：（1）“取到3个伍分硬币”为事件A 1；（2）“取到2个伍分和一个贰分硬币”为事件A 2；（3）“取到2个伍分和一个壹分硬币”为事件A 3；（4）“取到一个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件A 4.则P(A 1)=31033C C =1201. P(A 2)=3101323C C C =403. P(A 3)=3101423C C C =101. P(A 4)=3102313C C C =403. 依题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，∴P(A)=P(A 1+A 2+A 3+A 4)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=12031 例（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（I ）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05=21， 一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为707)21(C ； 一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ； 一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ； 所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([152********>=++-C C C ， 所以，该商场需要增加结算窗口.【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、如果A 、B 两个事件互斥，那么（ ）A.A+B 是必然事件B.A +B 是必然事件C.A 与B 一定互斥D.A 与B 一定不互斥2、在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站，假定这个车站只能停靠一辆汽车，有一位乘客需5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟内到此车站的概率分别为0.2和0.6，则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为（ ）A.0.2B.0.6C.0.8D.0.12二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、甲、乙两人下成和棋的概率为21，乙获胜的概率为31，则乙不输的概率为_______. 4、有两个口袋，甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一只球,则两球颜色相同的概率为_______.三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、已知袋中装有红色球3个、蓝色球2个、黄色球1个,从中任取一球确定颜色后再放回袋中，取到红色球后就结束选取，最多可以取三次，求在三次选取中恰好两次取到蓝色球的概率.6、掷两个骰子，出现点数之和为4点或5点或偶数点的概率是多少？四、独立事件的概率【基础知识】1.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).2.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．3.（不要求记忆）n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-【题例分析】例1、某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品. 概率为P ＝9.01.02.09.01.08.0223213⨯⨯⨯+⨯⨯⨯C C ＝0.1998例2、已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0.7乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=0.6(1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是44.0)7.01(7.01223=-⨯⨯c(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是[][]19.0)6.01(6.0)7.01(7.012231223=-⋅⋅⋅-⋅⋅c c 例3、冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.解：（I ）12821)1()5(25577=-=P P C P . （II ）P 6(5)+P 5(5)+P 4(4) =C 65P 5(1－P)+C 55P 5+C 44P 4=163 例4、有一批产品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂，已知每项指标抽检是相互独立的，每项指标抽检出现不合格品的概率都是0.2。