第45-46讲方差的假设检验知识分享

第45-46讲方差的假

设检验

第45-46讲

正态总体方差的假设检验

χ第1节课：单正态总体下方差的假设检验——2

设总体X ~N （μ，σ2），μ未知，检验假设

H 0：σ2=σ02；H 1：σ2≠σ02.

其中σ02为已知常数.

由于样本方差S 2是σ2的无偏估计，当H 0为真时，比值2

2

S σ一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1，由第六章知当H 0为真时

2

χ=22

(1)n S σ-~2χ（n -1）. 所以对于给定的显著性水平α有

P {21/2αχ-（n -1）≤2χ≤2

/2αχ（n -1）}=1-α.

对于给定的α，查2χ分布表可求得2χ分布分位点21/2αχ-（n -1）与2

/2αχ（n -1）. 则H 0的接受域是

21/2αχ- (n -1)≤2χ≤2

/2αχ (n -1)；

H 0的拒绝域为

2χ＜21/2αχ-（n -1）或2χ＞2

/2αχ（n -1）.

这种用服从2χ分布的统计量对个单正态总体方差进行 假设检验的方法，称为2

χ检验法.

例 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测得其寿命的样本方差s 2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取α=0.02)?

解 本题要求在α=0.02下检验假设

H 0：σ2=5000；H 1：σ2≠5000.

现在n =26，

2/2αχ（n -1）=20.01(25)χ=44.314，

21/2αχ- (n -1)= 20.99(25)χ=11.524,

σ02=5000.

拒绝域为

于是有

P {2χ＞2αχ（n -1）}≤P {*2χ＞2αχ（n -1）}=α. 可见，当α很小时，{2χ＞2αχ（n -1）}是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以H 0的拒绝域是：

2

χ=22

(1)n S σ-＞2αχ（n -1）（右检验）. 类似地，可得左检验假设H 0：σ2≥σ02，H 1：σ2＜σ02

的拒绝域为

2χ＜21αχ-（n -1）（左检验）.

例 今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25个零件，测量其直径，计算得样本方差为s 2=0.00066，已知革新前零件直径的方差σ2=0.0012，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？（α=0.05)

解 (1） 提出假设H 0：σ2≥σ02=0.0012；H 1：σ2<σ02.

(2) 选取统计量

2

χ=22

(1)n S σ-. *2

χ=

2

2

(1)n S σ-~2χ（n -1），且当H 0为真时，*2χ≤2χ

(3） 对于显著性水平α=0.05，查2χ分布表得

21αχ-（n -1）=20.95(24)χ=13.848，

当H 0为真时，

P {2χ<2

1αχ- (n -1)}≤P 2212

(1)(1)n S n αχσ-⎧⎫-<-⎨⎬⎩⎭

=α. 故拒绝域为

2χ<21αχ- (n -1)=13.848.

(4) 根据样本观察值计算2χ的观察值

2

χ=

2

2

0(1)240.00066

0.0012

n s σ-⨯=

=13.2.

(5) 作判断：由于2χ=13.2＜21αχ- (n -1)=13.848，即2

χ落入拒绝域中，所以拒绝H 0：σ2≥σ02，即认为革新后

生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差.

钟单个正态总体的假设检验可列表如下

与Y 相互独立，2212,σσ未知，试对21σ与2

2σ有无显著差异作假设检验.

①在总体上作假设22012:H σσ=↔22112:H σσ≠

②检验统计量

00*22*2112*22*22 / ~(1,1)H H X X

Y Y

S S F F n n S S σσ==--

③给定显著水平α，存在1212

(1,1)F n n α---和

122

(1,1)F n n α--，使

1212122

{(1,1)}{(1,1)}2P F F n n P F F n n ααα

-<--=>--= 故取拒绝域

1212121212122

(1,1)

{(,,,;,,,)}

(1,1)n n F F n n W x x x y y y F F n n αα-<--=>--L L ④决策：当抽样结果是

121212(,,,;,,,)n n x x x y y y W ∈L L 时，拒绝0H ，认为21σ与22σ有显著差异；否则接受0H ，认为21σ与22σ无显著差异.

例 有两种冶金方法，所得产品中的杂质含量（%）分别为211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，且X 与Y 相互独立，各抽取一个子样，杂质含量（%）如下：

问：两种方法生产的产品中所含杂质的波动性有无显著差异（取0.05α=）？

解：①作假设22012:H σσ=↔22112:H σσ≠

②检验统计量 0

*212*2 ~(1,1)H X

Y

S F F n n S =-- ③拒绝域 121212

1212122

(1,1){(,,,;,,,)}(1,1)

n n F F n n W x x x y y y F F n n αα-<--=>--L L ④给定显著水平0.05α=，1213,9n n ==，则查表

可得

120.0252

(1,1)(12,8) 4.20F n n F α--==，

1120.9752

0.025(1,1)(12,8)

110.28(8,12) 3.51

F n n F F α---====