等边三角形性质和定理
等边三角形性质与判定
等边三角形性质与判定等边三角形是指三条边都相等的三角形。
在几何中，等边三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是等边三角形。
一、等边三角形的性质1.三边相等：等边三角形的三条边长度相等，即AB=AC=BC。
2.内角相等：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60度。
3.内角和为180度：等边三角形的三个内角和为180度，因为三个角都是60度，所以它们的和为180度。
4.等边三角形是等腰三角形：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等边三角形的三边都相等，因此也是等腰三角形。
5.等边三角形是等角三角形：等角三角形是指三个角度都相等的三角形。
等边三角形的三个内角都是60度，因此也是等角三角形。
二、判定一个三角形是否为等边三角形判定一个三角形是否为等边三角形可以通过以下方法进行：1.测量三条边的长度：通过使用测量仪器（例如尺子）或计算方法，测量三条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
2.判定三个角度是否相等：通过使用角度测量器或计算方法，测量三个角度的大小，如果它们都是60度，则可以判定为等边三角形。
3.判定两边是否相等：通过测量任意两条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
需要注意的是，在实际应用中，我们常常会结合多种判定方法来确定一个三角形是否为等边三角形，以增加判定结果的准确性。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学中有广泛的应用，下面列举了其中一些常见的应用：1.建筑与设计：等边三角形在建筑和设计中常常作为参考图形，用于规划和设计各种建筑结构。
2.三角函数：等边三角形是三角函数的重要基础。
在三角函数中，等边三角形通常用作基本的参考图形，用于推导和分析各种三角函数的性质和关系。
3.几何证明：等边三角形作为一种特殊的三角形，常常被用于几何证明中。
通过研究等边三角形的性质，可以推导和证明各种几何定理和命题。
4.图形构造：等边三角形是一种基本的图形构造元素，可以用于构造其他形状和图形。
等腰三角形与等边三角形的性质及定理
等腰三角形与等边三角形的性质及定理等腰三角形和等边三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。
它们具有独特的性质和一些重要的定理，对于几何学的研究和实际应用有着重要的作用。
一、等腰三角形的性质及定理等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，存在以下一些重要的性质和定理。
1. 等腰三角形的顶角和底角相等：等腰三角形的两条边相等，根据三角形内角和定理可知，其顶角和底角一定相等。
2. 等腰三角形的底边中线等于高：将等腰三角形底边的中点与顶点连接，该线段为底边的中线，根据中线定理可知，中线的长度等于等腰三角形的高。
3. 等腰三角形的两底角相等：等腰三角形的两边相等，根据等角定理可知，其两底角一定相等。
4. 等腰三角形的高同时也是角平分线和中线：等腰三角形的高线从顶点到底边的垂直线段上，这条高线也是等腰三角形的两底角的角平分线，同时也等于底边的中线。
5. 等腰三角形的内角和为180度：等腰三角形的两角相等，根据三角形内角和定理可知，其内角和为180度。
二、等边三角形的性质及定理等边三角形是指具有三条边相等的三角形。
在等边三角形中，存在以下一些重要的性质和定理。
1. 等边三角形的三条边相等，三个顶点角也相等：由于等边三角形的三条边都相等，根据等角定理可知，其三个顶点角也一定相等，每个角都是60度。
2. 等边三角形的高、中线、角平分线也相等：等边三角形的高、中线、角平分线都相等，它们都等于等边三角形的任意一条边的长度。
3. 等边三角形的内角和为180度：等边三角形的三个角都相等，根据三角形内角和定理可知，其内角和为180度。
每个角为60度，三个角的和为180度。
4. 等边三角形的外接圆半径等于边长的一半：等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。
5. 等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3再除以6：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3再除以6。
总结：等腰三角形和等边三角形都是特殊的三角形，它们具有一些独特的性质和定理。
等边三角形和等腰三角形的性质
等边三角形和等腰三角形的性质等边三角形和等腰三角形是我们在初中数学中经常遇到的几何形状，它们具有一些独特的性质。
本文将详细介绍等边三角形和等腰三角形的定义、性质以及一些相关的定理。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角均为60度。
下面是一些等边三角形的性质：1. 等边三角形的三角内角均为60度。
因为等边三角形的三条边长度相等，根据三角形内角和定理，三个内角必然相等，所以等边三角形的三个内角都是60度。
2. 等边三角形的三条高线、中线和角平分线重合于同一个点。
等边三角形的高线、中线和角平分线都会通过三角形的垂心，而在等边三角形中，三条高线、中线和角平分线重合于同一个点，也就是三角形的重心、垂心、外心和内心都重合。
3. 等边三角形的面积公式为：S = (边长^2 * √3) / 4。
我们可以根据等边三角形的性质来推导其面积公式。
设等边三角形的边长为a，高为h，将等边三角形分成两个等腰三角形，每个等腰三角形的底边为a，高为h。
根据等腰三角形的面积公式，每个等腰三角形的面积为S1 = (a * h) / 2，所以等边三角形的面积为S = 2 * S1 = a * h = (a^2 * √3) / 4。
二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边所对的两个角）相等。
下面是一些等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边所对的两个角）相等。
在等腰三角形中，两边相等，根据等边三角形的证明，两个底角必然相等。
2. 等腰三角形的顶角（顶点所对的角）为锐角或直角。
在等腰三角形中，两边相等，所以顶角为锐角或直角，不可能为钝角。
3. 等腰三角形的高线、中线和角平分线重合于同一个点。
等腰三角形的高线、中线和角平分线都会通过三角形的顶点和底边的中点，这三条线段重合于同一个点。
4. 等腰三角形的面积公式为：S = (底边 * 高) / 2。
等边三角形角平线交点到角的距离
一、等边三角形的定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形，也就是说三条边都相等。
在等边三角形中，三个角的大小也是相等的，每个角均为60度。
二、等边三角形的性质1. 角平分线在等边三角形中，任意一条角平分线都切割一个角成两个相等的角，并且从顶点到角平分线上的任意点的距离都相等。
2. 角平分线的性质在等边三角形ABC中，设角A的角平分线与BC边的交点为P，那么点P到角A的距离等于AB边的一半。
三、理论证明设等边三角形ABC的边长为a，角A的角平分线与BC边的交点为P。
由于等边三角形的角平分线的性质，可得AP = AB / 2。
考虑等边三角形ABC中高度的性质，高会把底边等分，即AD = DC= a / 2。
又因为角平分线AP垂直于底边BC，所以可以得出三角形APD与三角形ABC相似。
在三角形APD中，根据相似三角形的性质，可以得出AP / AD = AD / PD，代入已知条件得到AP / (a / 2) = (a / 2) / PD，即AP = a / 3。
四、结论根据以上分析和证明，可以得出结论：在等边三角形中，角平分线的交点到角的距离等于边长的1/3。
五、讨论与应用以上的结论对于等边三角形的角平分线有着重要的意义。
在实际的应用中，可以通过这一结论来求解等边三角形中角平分线的交点到角的距离，从而解决相关的几何问题。
这一结论也为等边三角形的相关性质和定理提供了新的证明方法和应用途径，拓展了等边三角形的理论体系，对于深入理解和应用等边三角形具有重要的意义。
六、总结等边三角形是初中数学教学中重要的一部分，具有简洁而美丽的性质和规律。
通过对等边三角形角平分线的交点到角的距离进行分析和推导，可以更深入地理解等边三角形的内在性质，为学生深入学习和应用等边三角形打下坚实的基础。
这一结论也为相关的数学知识和几何理论提供了有益的补充和拓展。
对等边三角形角平分线的性质进行深入的研究和讨论具有重要的教学意义和学术价值。
等边三角形的性质和判定
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
B┓ C
在直角△ABC中
∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
E
∴ △ADE 是等边三角形．
追问 本题还有其他证法吗？B
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
B
C
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. D
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E D
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
A
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
是（三线合一）
（等边对等角）
一条对称轴
相等 每个角都等于60°
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形
等腰 三角形
等边 三角形
边
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
角
轴对称图形
两底角相等
是（三线合一）
八年级等边三角形知识点
八年级等边三角形知识点等边三角形是初中数学中的一个基本几何概念，是指三个边相等的三角形。
在八年级学习中，我们将学到等边三角形的性质和相关的计算方法。
本文将详细介绍八年级等边三角形的知识点，以便同学们更好地掌握该概念。
一、等边三角形的性质1. 三角形的内角和为180度，等边三角形的三个内角相等，因此每个内角都是60度。
2. 等边三角形的三边相等，周长等于三倍的边长。
3. 等边三角形的三边中垂线相交于三角形内部的一个点，该点叫做三角形的垂心，在等边三角形中，垂心和重心、外心、内心重合。
二、等边三角形的计算方法1. 面积计算公式：等边三角形的面积可以通过正弦公式或海伦公式来计算。
正弦公式：S = 1/2 × a² × sin60海伦公式：S = √3/4 × a²2. 高计算公式：等边三角形的高可以通过勾股定理求得，即：h² = a² - (a/2)² = 3/4 × a²。
3. 边长计算公式：等边三角形的边长可以通过斯奈尔定理求得，即：a = s/√3，其中s为三角形的面积。
三、等边三角形的应用等边三角形广泛应用于建筑、设计、物理等多个领域，例如：1. 在建筑设计中，等边三角形常用于构建立面形状，如烟囱、建筑外观等。
2. 在物理学中，等边三角形可以用来描述光学棱镜的形状，并且在光学实验中有着广泛应用。
3. 在艺术设计中，等边三角形被广泛应用于抽象艺术、装饰设计等方面。
四、总结在八年级数学学习中，等边三角形是一个重要的概念，其性质和计算方法需要同学们掌握。
了解等边三角形的应用领域也有助于同学们拓宽思路，丰富知识。
希望同学们能够通过本文的介绍更好地理解等边三角形知识点，从而取得更好的学习成果。
等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)
等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
等边三角形
复习回顾
A
1、等边三角形的概念：
2、等边三角形的性质：
B
C
等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于600.
3、等边三角形的判定： （1）定义法； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形；
如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
∵ AC⊥BC ，∠A= 30°
∴BC=
1 2
AB
B
C
在解有关直角三角形的边的关系的问题中， 常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。
见她淡红色榴莲般的手掌中，变态地跳出五簇脸皮状的酒罐，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的摇动，脸皮状的酒罐像柴刀一样在双腿上飘然地忽悠出点点光树……紧接着女政 客Ｔ．克坦琳叶女士又连续使出三十六式梦鹅布帘摘，只见她矮胖的眼镜中，酷酷地飞出四道扭舞着『蓝鸟骨怪火腿宝典』的怪藤状的下巴，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的
想一想：如图，在Rt△ABC中，若
BC=
1 2
AB
则∠A为几度？
A
另证：作AC的垂直平分线MN，连接MC
则AM=MC，∠A= ∠1
又∠A+ ∠B=900
∠1+ ∠2=900
所以∠B= ∠2
A
B
C
D 所以MB=MC=AM
所以MB=MC= 又BC= AB
AB M
N
1
所以∠B=600
2
从而∠B=300
B
则图中等于 30°的角的个数为（B ） C
A.2
B.3
第9讲 等边三角形
第9讲等边三角形〖学习目标〗1.探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理．2.掌握等边三角形常见证题思路．※考情分析等边三角形三边相等、三角形相等，它常常和全等三角形一起出现在中考试卷上，其推导得到的结论“30°所对的直角边等于斜边的一半”也中考试卷上的高频考点．等边三角形在中考试卷中的题型可能是填空、选择，也可能是解答题，在中考试卷中所占的分值一般在3~10分．〖基础知识·轻松学〗一、等边三角形的性质1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．2．等边三角形的三个角都相等，并且每一个内角都等于60°．3．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，故三边上具有“三线合一”的性质．精讲：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质二、等边三角形的判定1．三条边都相等的三角形是等边三角形．2．三个角都相等的三角形是等边三角形．3．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．精讲：①“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”；②第3个判定中，60°的角不论是顶角、还是底角都成立．三、含30°角的直角三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．精讲：这个结论是由等边三角形的性质得出来的，体现了直角三角形的性质，主要应用于计算和证明线段的倍数关系．〖重难疑点·轻松破〗一、等边三角形的判定等边三角形的判定方法有三种，在这三种判定方法中，证明角度等于60°和证明两个角度相等比证明线段容易些，因此在证明一个三角形是等边三角形的时候，尽可能寻找60°的角．如果能找到两个60°的角，则就完成了等边三角形的证明．如果找到一个60°的角，则可继续证明这个三角形是等腰三角形．例1：如图9-1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，CE 平分∠ACD ，且CE ＝BD ．求证：△DAE 为等边三角形．AB C ED图9-1分析：由于CE ＝BD ，AB ＝AC ，因此可考虑证明△ABD ≌△ACE ，因此可证AD ＝AE ，要说明△DAE 为等边三角形，我们只需证明DE 和AD ，AE 相等或者证明△ADE 中一个角等于60°即可．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝12∠ACD ＝60°．∴∠B ＝∠ACE ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．∴∠DAE ＝∠BAC ＝60°．∴△DAE 为等边三角形．点评：要证明一个三角形是等边三角形时，当已知这个三角形是等腰三角形，可设法证明第三条边和这两条边相等，或者证明这个三角形中有一个角等于60°．变式练习1：如图9-2，在等边△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，BO ，OC 的垂直平分线分别交BC 于点E 和点F ，求证：△OEF 是等边三角形．AB C E F O图9-2二、等边三角形为全等提供了可能等边三角形的三条边相等，三个角都是60°，线段相等和角度正是判定全等三角形所需要的，所以出现等边三角形的时候，一般能得到全等三角形．例2：如图9-3，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DC ＝AE ，AD ，BE 交于点F ，求∠BFD 的度数．FAB C E D 图9-3分析：由于∠BFD ＝∠ABE ＋∠BAD ，可通过证明△ABE ≌△CAD 证得∠ABE ＝∠CAD ，将∠ABE ＋∠BAD 转化求∠BAC 的度数．解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，在△ABE 和△CAD 中，AB AC BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CAD ．∴∠CAD ＝∠ABE ．∴∠ABE ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAD ＝60°．∴∠BFD ＝60°．点评：从等边三角形的性质中发现一些可利用的条件来解决问题是处理本题的关键，在证明两条线段相等时，往往考虑全等三角形．变式练习2：如图9-4，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP ＝2PQ ．AEP Q图9-4三、当图中出现两个等边三角形，则一定会出现全等三角形当一个图形中出现两个等边三角形的时候，由于图中出现了太多相等的线段和相等的角，此时一般会出现全等三角形．例3：如图9-5，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，BE ，CD 相交于O ．（1）求证：BE ＝DC ；（2）求∠BOC 的度数．图9-5分析：（1）BE 和DC 可置于△ACD ，△AEB 中，通过证明△ACD ≌△AEB ，来证得BE ＝DC ，要证明△ACD ≌△AEB 需要的条件可从等边三角形中获得；（2）根据外角的性质可知∠BOC ＝∠BDO ＋∠DBO ，可将求的度数转化为求∠BDO ＋∠DBO ．证明：（1）∵△ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°．∴∠DAC ＝∠BAE ，在△ACD 和△AEB 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AEB ．∴BE ＝DC ．（2）∵△ACD ≌△AEB ，∴∠ADC ＝∠ABE ．∴∠BDO ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠ABD ＝120°． ∴∠BOC ＝∠BDO ＋∠DBO ＝120°．点评：等边三角形三条边相等、三个角相等，相等的线段、相等的角是三角形全等的条件，因此当图形中出现两个等边三角形时，一般会出现全等三角形．变式练习3：如图9-6，△ABC 是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，CE 平分∠ACD ，且CE ＝BD ．求证：△DAE 为等边三角形．AB C ED图9-6四、遇30°角，常考虑作垂线段，将30°置于直角三角形中．例4：如图9-7，在∠ABC 中，∠B ＝30°，AC＝△ACD 斜边AD 在AB 边上，求BC 的长．图9-7OAB C DE分析：可考虑过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，将30°放到Rt △BCE 中，要求出斜边BC 长，根据“30°所对直角边等于斜边的一半”，只需求出CE 的长就可以了．解：过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，∵△ACD 为等腰直角三角形，∴△AEC 是等腰直角三角形，设CE ＝x ，则2x 2＝2，∴x ＝1，即CE ＝1，在Rt △CEB 中，∠B ＝30°，∴BC ＝2CE ＝2．点评：将30°置于直角三角形中，才能运用“30°所对直角边等于斜边的一半”得出两条线段之间的数量关系，为解决问题提供帮助．变式练习4：如图9-8，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若OC ＝4，则PD 等于（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1图9-8四、课时作业·轻松练A ．基础题组1．如图9-9，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：BE ＝3AE.图9-92．如图9-10，点P 是等边△ABC 的BC 边上一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC ．试猜想△AMN 与四边形BMNC 的周长有什么关系？并说明理由．P AB C M N图9-10AED B C O CBP AB ．提升题组3． 已知△ABC 为等边三角形，在图9-11中，点M 是线段BC 上的任意一点，点N 是线段CA 上的任意一点，且BM ＝CN ，直线BN 与AM 相交于点Q .（1）请猜一猜：在图9-11中，∠BQM 等于多少度？ （2）若M ，N 两点分别在线段BC ，CA 的延长线上，其他条件不变，如图9-12，则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由.图9-11 图9-124．如图9-13，△ABC 是等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连结CE ，DE ．求证：EC ＝ED ．图9-135．如图9-14，已知△ABC 和△CDE 均是等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连结OC ，FG ，则下列结论：①AE ＝BD ；②AG ＝BF ；③FG ∥BE ；④∠BOC ＝∠EOC ，其中正确的结论个数（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 图9-14 〖中考试题初体验〗1．（2013山东聊城，16，3分）如图9-15，在等边△ABC 中，AB ＝6，点D 是BC 的中点．将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．ACDO E F GAE图9-152．（2013浙江衢州）（1）如图9-16，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B ,C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN . 求证：∠ABC ＝∠ACN .类比探究（2）如图9-17，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC ＝∠ACN 还成立吗？请说明理由.N图9-16 图9-17 五、我的错题本参考答案变式练习1.∵E ，F 分别是BO ，OC 的垂直平分线上的点，∴OE ＝BE ，OF ＝CF ．∵△ABC 是等边三角形，且OB ，OC 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBE ＝∠BOE ＝∠OCF ＝∠COF ＝30°．∴∠OEF ＝∠OFE ＝60°．∴△OEF 是等边三角形2.∵△ABC 为等边三角形，∴AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BAE （SAS ）∴∠CAD ＝∠ABE ．∵∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴∠ABE ＋∠BAP ＝60°， ∴∠BPQ ＝60°．∵BQ ⊥AD ，∴∠BQP ＝90°，∴∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴BP ＝2PQ ．3.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝12∠ACD ＝60°．∴∠B ＝∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ． ∴∠DAE ＝∠BAC ＝60°．∴△DAE 为等边三角形．4.C 解析：过点P 作PE ⊥OB 于点E ，在Rt △PCE 中运用“30°所对的直角边等于斜边的一半”来解决问题．课堂作业1．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝30°，∵AD ⊥BC ，∴AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，∵DE ⊥AB ，∴∠ADE ＝30°，∴AD ＝2AE ，∴AB ＝4AE ，∴BE ＝3AE ．2．相等．证明：因为△ABC 是等边三角形，PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，所以AB ＝AC ＝BC ，∠BPM ＝∠CPN ＝30°，即BM ＝，CN＝所以四边形BMNC 的周长＝＋BC ＋MN ＋MN ，△AMN 的周长＝(AB －BM )＋MN ＋(AC －CN )＋MN ，所以它们的周长相等.3．（1）∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ＝60°，又BM ＝CN ，∴△BCN ≌△ABM ，∴∠CBN ＝∠BAM ，∴∠BQM ＝∠AQN ＝∠BAM ＋∠ABQ ＝∠CBN ＋∠ABQ ＝∠ABC ＝60°；（2）结论仍然成立.提示：先证△ACM ≌△BAN ，得到∠M ＝∠N ，∴∠BQM ＝∠N ＋∠QAN ＝∠M ＋∠CAM ＝∠ACB ＝60°.4．延长BD 到点F ，使得DF ＝BC ，连接EF ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴BE ＝BF ．∴△BEF 是等边三角形．∴EB ＝EF ，∵AE ＝BD, ∴BC=DF .在△EBC 和△EFD 中，060EB EF B F BC DF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△EBC ≌△EFD ．∴EC ＝ED ．5．D 解析：由BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ＝120°，CD ＝CE ，则△BCD ≌△ACE ，得①AE ＝BD 是正确的；由△BCD ≌△ACE ，得∠FBC ＝∠GAC ，再根据BC ＝AC ，∠BCF ＝∠ACG ＝60°，得△BCF ≌△ACG ，所以②AG ＝BF 是正确的；由△BCF ≌△ACG ，得CF ＝CG ，∵∠FCG ＝60°，∴∠CGF ＝∠CFG ＝∠FCG ＝60°，∴③FG ∥BE 是正确的；过C 作CM ⊥BD 于M ，CN ⊥AE 于N ，易证△BCM ≌△CAN ，∴CM ＝CN ，∴④∠BOC ＝∠EOC 是正确的．〖中考试题初体验〗1．33 解析：∵△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，又∵∠BAD ＋∠DAC ＝60°，∴∠CAE ＋∠DAC ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．∴DE ＝AD ．∵等边△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BD ＝CD＝3，∴AD ⊥BC ，∴AD ＝2236-＝33，即DE＝33.2．（1）证明：∵等边△ABC，等边△AMN，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°．∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN．∴∠ABC＝∠ACN．。
等边三角形的性质与定理
等边三角形的性质与定理等边三角形是指三角形的三条边相等的特殊三角形。
在等边三角形中，具有一些独特的性质和定理。
本文将详细介绍等边三角形的性质与相关定理，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 基本性质等边三角形的三条边相等，每个内角都是60度。
这是等边三角形的最基本的性质，由此可以得出其他重要结论。
2. 高度、中线、角平分线在等边三角形中，高度、中线和角平分线重合。
由于等边三角形的三个角均为60度，故通过三个顶点作垂直于对边的线段，这些线段重合。
这一性质可以帮助我们求解等边三角形的各种参数。
3. 内切圆和外切圆等边三角形的内切圆和外切圆存在一些有趣的性质。
内切圆是与三角形的三条边相切于一点的圆，而外切圆则是与三角形的三条边相切于一点的圆。
对于等边三角形而言，内切圆与外切圆的半径相等。
4. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，也适用于等边三角形。
对于一个等边三角形来说，其边长为a，则可以利用正弦定理计算角度或边长。
正弦定理的公式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（其中R为等边三角形的外接圆半径）5. 面积公式等边三角形的面积可以通过多种方式计算得出。
一种常用的方法是使用边长公式求解。
在等边三角形中，边长为a，则其面积S可通过以下公式计算：S = (sqrt(3) * a^2) / 46. 等边三角形的判定在几何学中，我们需要判定一个三角形是否为等边三角形。
根据等边三角形的定义，仅需验证三条边是否相等即可。
如果一个三角形的三条边相等，则可以确认该三角形为等边三角形。
7. 等边三角形的应用等边三角形不仅仅是几何学中的一个特殊形状，它还广泛应用于实际生活中。
在建筑、工程和设计领域中，等边三角形被用于构建稳定的结构和美观的设计。
此外，在计算机图形学和游戏开发中，等边三角形也常被用于模拟和绘制各种形状。
总结：等边三角形具有独特的性质与定理，包括基本性质、高度、中线、角平分线、内切圆和外切圆、正弦定理、面积公式、判定标准以及应用。
等边三角形的性质与应用
等边三角形的性质与应用等边三角形是指三条边相等的三角形，其具有独特的性质和广泛的应用。
本文将详细介绍等边三角形的性质以及在数学、几何和实际应用中的重要作用。
一、等边三角形的性质1. 边长相等：等边三角形的三条边长都相等，记作a=a=a，其中a为边长。
2. 角度相等：等边三角形的三个角都相等，记作∠A=∠B=∠C=60°。
二、等边三角形的特点及证明1. 平衡稳定：等边三角形的结构使得它具有优良的平衡性能，在工程中常用于支撑结构的设计。
2. 对称美观：等边三角形的三边和三角都具有对称性，使得它在艺术和建筑中有很高的运用价值。
3. 最大面积：当给定周长时，等边三角形的面积最大，这一结论可通过数学方法证明。
4. 高度均等：等边三角形中任意一条高都相等，且等于其边长。
三、等边三角形的应用1. 几何学中的应用等边三角形广泛应用于几何学中的证明和计算中。
例如，通过等边三角形的性质可以证明等腰三角形的边角关系，或者计算正六边形的面积。
2. 工程学中的应用等边三角形的平衡性能使得它在工程学中有重要的应用。
例如，等边三角形的结构常用于桥梁和塔楼的设计，能够提供稳定的支撑能力。
3. 艺术和设计中的应用等边三角形具有对称美观的特点，因此在艺术和设计领域有广泛的应用。
等边三角形的对称性和平衡性被艺术家和设计师用于构图和布局中，使得作品更加和谐、美观。
4. 数学中的应用等边三角形是数学中许多重要概念和定理的基础。
例如，通过等边三角形的特性可以证明勾股定理、正弦定理等。
等边三角形也与数学中的向量、复数以及三角函数等有密切关联。
四、结论等边三角形作为特殊的三角形，具有独特的性质和广泛的应用领域。
通过研究等边三角形的性质和应用，我们可以更好地理解三角形的相关概念，并在数学、几何学和实际问题中应用这些知识。
掌握等边三角形的性质和应用是学习数学和几何学的基础，也是解决实际问题的关键能力。
综上所述，等边三角形的性质和应用十分重要。
等边三角形与等腰三角形
等边三角形与等腰三角形等边三角形和等腰三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。
它们具有独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用都具有重要意义。
本文将从定义、性质、示例等方面探讨等边三角形与等腰三角形的关系和区别。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。
根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边相等：在等边三角形中，三条边的长度相等，即AB = BC = CA。
2. 三个内角相等：由于等边三角形的三边相等，按照三角形内角和定理可知，等边三角形的三个内角相等，均为60度。
3. 三个外角相等：等边三角形的三个外角相等，均为120度。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为对称轴，可以得到完全相同的图形。
二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
我们可以从以下角度了解等腰三角形的定义和性质：1. 两边相等：在等腰三角形中，两个边的长度相等，即AB = AC。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边所对的角）相等，可表示为∠B = ∠C。
3. 对称轴：等腰三角形中线对称轴是指通过顶点和底边的中点构成的直线。
等腰三角形具有一条中线对称轴。
4. 高度：等腰三角形的高边是底边的中线，高度刚好将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
三、等边三角形和等腰三角形的关系与区别1. 关系：等边三角形是等腰三角形中的一种特殊情况，即所有等边三角形也是等腰三角形，但不是所有等腰三角形都是等边三角形。
2. 区别：等边三角形的三边边长均相等，而等腰三角形只有两边边长相等；等边三角形的三个内角均相等为60度，而等腰三角形两个底角相等；等边三角形具有三个外角均相等为120度，而等腰三角形没有特定的外角性质。
四、示例1. 等边三角形示例：图1展示了一个等边三角形ABC，其中AB = BC = CA。
[图片]2. 等腰三角形示例：图2展示了一个等腰三角形DEF，其中DE = DF，且∠D = ∠E。
等边三角形
-----知识点
思考:
连结飞机螺旋桨的外端，能得到什么特殊的三角形？
你发现了什么？
这就是今天我们要学的
三条边都相等的三角形 叫做等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角 形。其三个内角相等都为60°，它是锐角三角形的 一种。等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形
名称 边 性 三 边 质 相 等 角
1 AB, 2
DE＝ 2 AD
1
1 2×7.4＝3.7m
1 AB 2
又 AD＝
1 1 ∴DE＝ 2 AD＝ 2 ×3.7＝1.85m
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m. NhomakorabeaB
D A
记住哟
E
C
这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.
例2.已知:如图, 在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. 1 求证:BD= 4AB.
C
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E ∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵ DE∥BC， ∴ ∠B =∠D，∠C =∠E． ∴ ∠EAD =∠D =∠E． ∴ △ADE 是等边三角形． B D
C
在Rt△ABC中 ∵∠A＝30° ∴AB＝2BC
这又是一个判定两条线段成倍分关系 的根据之一.
例1.下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁 AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC,AB ＝7.4m,∠A＝30°立柱BC 、 DE要多长?
B D A
E
C
解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30° 可得 ∴BC＝ BC＝
等边三角形
A
∵ AC⊥BC ，∠A= 30°
∴BC=
1 2
AB
B
C
在解有关直角三角形的边的关系的问题中， 常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。
想一想：如图，在Rt△ABC中，若
则∠A为几度？
1
BC= AB
2
A
另证：作AC的垂直平分线MN，连接MC
则AM=MC，∠A= ∠1
又∠A+ ∠B=900
∠1+ ∠2=900复习回顾 NhomakorabeaA
1、等边三角形的概念：
2、等边三角形的性质：
B
C
等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于600.
3、等边三角形的判定： （1）定义法； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形；
直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
所以∠B= ∠2
A
B
C
D 所以MB=MC=AM
所以MB=MC= 又BC= AB
AB M
N
1
所以∠B=600
2
从而∠B=300
B
C
•
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分布于朝鲜西岸、日本、澳大利亚、新喀里多尼亚、新加坡、加里曼丹岛、菲律宾、台湾岛以及中国大陆的广东、福建、浙江、山东等地，生活环境为海水，多见穴居于港湾中的沼泽泥滩上。 [3] 喜欢栖息在较为泥泞的沼泽，多位于红树林附近，会筑火山形或称烟 囱状的洞口，生性喜欢隐密，挥动大螯的动作缓慢，一有风吹草动会快速地奔回洞穴内躲藏。喜欢吃泥土中的有机质。也喜欢和邻居玩换房子游戏，如果邻居不换，就用抢的。 弧边招潮蟹的活动随潮水的涨落有一定的规律，高潮时则停于洞底，退潮后则到海滩上活动、取食、修补洞穴，最后则占领洞穴，准备交配。洞穴是招潮蟹生活的中心，在洞穴里既可以避免水陆各类捕食者的侵袭，又可以避免潮水浸淹或太阳直射。 [4] 弧边招潮蟹靠视觉和听觉接受通讯、联络、警告的信号。实现社会性聚集行为。以沉积物为食，能吞食泥沙，摄取其中的有机物，将不可食的部分吐出。它们取食藻类和其他有机物。它们用小螯刮取淤泥土表面的小颗粒送进嘴巴，这些小颗粒含有很多的碎屑 、藻类、细菌、以及其它的微生物，送入口中后，即被体内吸收。口中有一个特别的器官，可以将食物分类和过滤，不能利用的残渣再由小螯取出置于地面，集中形成人们所看到的小土球，称之为“拟粪”，有别于真正通过消化道从肛门排出的粪便。雌雄蟹 的洞口常筑有弧塔或烟囱，而当潮水将至，它们会躲入洞中并用泥团堵住洞口。 粘土招潮蟹（学名：Uca argillicola）最大的特征是雄蟹具有一对大小悬殊的螯，摆在前胸的大螯像是武士的盾牌。它会做出舞动大螯的动作，这个被称为“招潮”的动作，目的是威吓敌人或是求偶。此外，该蟹还有一对火柴棒般突出的眼睛，非常特别。它 们取食藻类，能吞食泥沙以摄取其中的有机物，将不可食的部分吐出。 粘土招潮蟹整体青灰色，头胸是甲梯形。前宽后窄，额窄，眼眶宽，眼柄细长。雄体的一螯总是较另一螯大得多（称交配螯），大螯特大甚至比身体还大，重量几乎为整体之半，小螯极小，用以取食（称取食螯）。雌体的二螯均相当小，而对称，指节匙形， 均为取食螯。如果雄体失去大螯，则原处长出一个小螯，而原来的小螯则长成大螯，以代替失去的大螯。雄的颜色较雌体鲜明。 [1]
等边三角形
探索星空： 探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么? 等边三角形的内角都相等吗?为什么? ∵ AB=AC=BC
B A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个 ∠A=∠B=∠C(在同一个 三角形中等边对等角 三角形中等边对等角) 等边对等角) ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∠A=∠B=∠C=60°
等腰三角形
2. 三个角都相等的三角 A 形是等边三角形. 形是等边三角形.
等边三角形 B C
有一个角是60 60° 3 . 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形. 三角形是等边三角形.
∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角 是等边三角 形
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 这是两个等边三角形 那么请移动三根火柴 那么请移动 ,将此图变成四个等边三角形 将此图变成四个等边三角形. 将此图变成四个等边三角形
C
等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角 。 都等于60 都等于
A
符号语言： 符号语言：
∵ AB=AC=BC
B C
∴ ∠A= ∠ B=∠C= 60
。
探索星空： 探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什 等边三角形有“三线合一”的性质吗? 么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角 每条边上的中线, 的平分线都三线合一。 的平分线都三线合一。 都三线合一
如图；已知 平分 如图；已知CE平分
∠ACB, ∠DAC = ∠B, ∠BAD = 60 求证:△AEF是等边三角形
三角形所有定理
三角形所有定理三角形是几何学中的一种基本形状，具有丰富的性质和定理。
本文将介绍并讨论一些三角形的重要定理。
一、等边三角形的性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
它具有以下性质：1. 三个角都是60度。
2. 三条中线、角平分线和高线都是重合的。
3. 等边三角形的高等于边长的平方根乘以根号3除以2。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
它具有以下性质：1. 两个底角相等。
2. 两条等边所对的两个角相等。
3. 等腰三角形的高线是底边的中垂线。
4. 等腰三角形的高等于边长的平方根减去底边长度的一半。
三、直角三角形的性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
它具有以下性质：1. 直角三角形的两个锐角之和为90度。
2. 直角三角形的斜边是其他两条边的和的2倍。
3. 直角三角形的高线分别为斜边和另外两条边的乘积除以斜边的长度。
四、勾股定理勾股定理是三角形中最为著名的定理，它描述了直角三角形的边长关系。
勾股定理的表达式为a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
五、正弦定理正弦定理是用于非直角三角形的定理之一，它描述了三角形中角度和边长之间的关系。
正弦定理的表达式为a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为对应的角度。
六、余弦定理余弦定理是三角形中角度和边长之间的关系定理之一。
它描述了三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边乘以对应角的余弦。
余弦定理的表达式为c² = a² + b² - 2ab*cosC，其中a、b、c分别为三角形的边长，C为对应的角度。
七、面积定理面积定理是用于计算三角形面积的定理之一。
它描述了三角形的面积等于底边乘以对应的高的一半。
面积定理的表达式为A = 1/2 * b * h，其中A为三角形的面积，b为底边的长度，h为对应的高的长度。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理角形。
性质：1、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边的垂直平分线都是它的对称轴；2、等边三角形的三个角都相等，每个角都是60。
判定：1、三条边都相等的三角形是等边三角形；2、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；3、有两个角是60的三角形是等边三角形。
直角三角形：定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。
其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。
性质：1、直角三角形的两个余角互余；2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2判定：1．有一个角是直角的三角形是直角三角形；2、、有两个角互余的三角形是直角三角形；3、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形；4、如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上1 定理三角形两边的和大于第三边2 推论三角形两边的差小于第三边5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1804外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和全等的判定：6边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等8推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等9边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等10斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
等边三角形的性质和角度关系的归纳
等边三角形的性质和角度关系的归纳一、等边三角形的定义等边三角形是指三条边都相等的三角形。
二、等边三角形的性质1.三条边相等。
2.三个角都相等。
3.每条边上的高、中线和角平分线重合。
4.面积是边长的平方根乘以根号3除以4。
三、等边三角形的角度关系1.每个角都是60度。
2.任意两个角的和等于120度。
3.任意两个角的差等于60度。
四、等边三角形的判定1.如果一个三角形的三条边相等，那么这个三角形是等边三角形。
2.如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。
五、等边三角形的相关公式1.面积公式：S = (a^2 * √3) / 4，其中a为边长。
2.周长公式：P = 3a，其中a为边长。
六、等边三角形的应用1.在建筑和设计中，等边三角形因其稳定性和美观性而被广泛应用。
2.在几何学中，等边三角形是研究三角形性质的重要模型。
3.等边三角形是六边形和多边形等形状的基础。
七、等边三角形与非等边三角形的比较1.等边三角形的所有边和角都相等，而非等边三角形的边和角不一定相等。
2.等边三角形的面积和周长公式简单，而非等边三角形的面积和周长公式复杂。
3.等边三角形具有特殊的对称性和稳定性，而非等边三角形则没有这些性质。
八、等边三角形的相关定理和性质1.斯图尔特定理：等边三角形的中心点到三角形三个顶点的距离相等。
2.等边三角形的对称轴是高、中线和角平分线的交点。
3.等边三角形的对边相等，对角相等。
通过以上归纳，希望对等边三角形的性质和角度关系有一个全面的认识。
在学习和研究过程中，要注重理论联系实际，提高自己的几何思维能力。
习题及方法：1.习题：如果一个三角形的边长分别为6cm、6cm、6cm，求这个三角形的面积。
答案：这个三角形是等边三角形，边长为6cm，所以每个角都是60度。
根据等边三角形的面积公式S = (a^2 * √3) / 4，代入a=6cm，得到 S =(6^2 * √3) / 4 = 18√3 cm^2。
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形和等边三角形一、等腰三角形的定义和性质1.1 等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两腰相等。
(2)等腰三角形的底角相等。
(3)等腰三角形的底边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等腰三角形的底角小于或等于顶角。
二、等边三角形的定义和性质2.1 等边三角形的定义：等边三角形是指三边都相等的三角形。
2.2 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边相等。
(2)等边三角形的三角相等，都是60度。
(3)等边三角形的各边垂直平分线也是高线、中线和角平分线。
(4)等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)，其中a为边长。
3.1 等腰三角形的判定：(1)如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
3.2 等边三角形的判定：(1)如果一个三角形三边都相等，那么这个三角形是等边三角形。
(2)如果一个三角形的三角都相等，都是60度，那么这个三角形是等边三角形。
四、等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用4.1 等腰三角形的应用：(1)建筑物的设计中，等腰三角形的结构稳定性较好，常用于设计桥梁、塔架等。
(2)几何画板或者绘图工具中，等腰三角形可以用来制作对称图案。
4.2 等边三角形的应用：(1)装饰品设计中，等边三角形的对称性美观，常用于设计各种图案。
(2)几何学中，等边三角形是研究三角形性质的基本模型。
五、等腰三角形和等边三角形的相关定理5.1 等腰三角形的定理：(1)角平分线定理：等腰三角形的角平分线、中线和底边垂直平分线是同一条线。
(2)面积定理：等腰三角形的面积等于底边乘以高线除以2。
5.2 等边三角形的定理：(1)面积定理：等边三角形的面积计算公式为：(S = a^2)。
(2)内切圆定理：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3除以6。
六、等腰三角形和等边三角形的相关问题6.1 等腰三角形的问题：(1)已知等腰三角形的一边长和一角大小，求其它两边的长度和角度大小。
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3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA 吗？为什么？ 你从中能得到什么结论？ 三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是 等边三角形； (2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论 还成立吗？ (3)由上你可以得到什么结论？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
教学中设计了两个问题：把等腰三角形的性质用于等边三 角形，你能得到什么结论？类似地，你又能得到哪些等边 三角形的判定方法？让学生先自主探索再合作交流，小组 内、小组间充分讨论后概括所得结论．这既巩固应用等腰 三角形的知识，又类比探索等边三角形性质定理和判定定 理的方法，并使学生加深对等腰三角形与等边三角形的联 系与区别的理解．
四、巩固练习 教材第80页练习第1，2题． 补充题： 1．如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边上的 一点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形． 2．如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝ CD，DF⊥BE.求证：BF＝EF.
第1题图
第2题图
教师提出要求，补充题1，2可以让学生板书过程． 五、总结提高 小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有 哪些特点？ 怎样判定一个三角形是等边三角形？ 布置作业：教材习题13.3第12，14题．
13.2 等边三角形的 性 质和判定
1．掌握等边三角形的定义． 2．理解等边三角形的性质与判定．
重点 等边三角形的性质和判定． 难点 等边三角形的性质的应用．
一、问题引入 在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？ 二、自主探究 1．等边三角形的定义 底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形． 2．思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得 到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等 边三角形？ 边：三条边都相等． 角：三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三、应用举例 1．教材例4. 例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交 AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠A三角形时： (1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边 相等； (2)若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°.