等差数列(第二课时)
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2.2.2等差数列
知识回顾
定义
A如A果A一AA个A数AA列A从A第AA2A项起，每一项与
递推公式（定义式）它a前n 一a项n1的差d.(n等于N同).一.个.常. 数. .
等差数列中项公式 通项公式
A ab 2
an=a1+(n-1)d
几何意义
【来自百度文库明】
等差数列各项对应的点都 在同一条直线上.
A①公式中 n 2, n N d R
②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式， 当d=0时，为常函数。
探究
已知数列{an} 通项公式为an=pn+q (p、q是
常数),那么这个数列一定是等差数列吗？
若把条件和结论互换， 此说法是否仍然成立？
结论 : 数列an为等差数列 an pn q
[活学活用]
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝
()
A．14
B．12
C．28
D．36
解析：选C ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4， 又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.
2．已知数列 {an} 满足
∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2.
练习
已知数列 {an} 满足
设 bn
an 2 n 1
求证：
a1 1, an1 2an 2n
（1）数列 bn 为等差数列； （2）求数列 an 的通项公式.
等差数列an中，若m n p q,那么
am an与ap aq间存在什么样的关系？
等差数列的性质：
数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。 推广： 若m+n=2p，则am+an=2ap。
等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋
5 2
(a2＋a4)＝
5 2
×6＝15.
(2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列， 则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100，即a37＋b37＝100. [答案] (1)B (2)C
数列an是等差数列 ， an pn q(其中p为公差)
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
a4＋a5＝
()
A．30 B．15 C．5 6 D．10 6
(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝
100，则a37＋b37＝
()
A．0 B．37 C．100 D．－37
[解析] (1)∵数列{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝
小试牛刀
(1)设 c, b 为常数，若数列{an} 为等差数列，则数 列{an b} 及{c an b} 为等差数列.
(2) 设 p, q 为常数，若数列 {an}、{bn}均为等差数列， 则数列 { p an q bn } 为等差数列.
思考：
若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则 a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23.你能 看出有什么规律吗？
令
bn
1 .
an 2
4
a1
4,an
4
(n an1
2),
（1）求证：数列 {bn} 为等差数列； （2）求数列 {an} 的通项公式.
分析：由等差数列的定义，要判断{b n }是不是等差数列，
只要看 bn bn1(n 2)是不是一个与n 无关的
常数就行了.
【解】 (1)证明：∵bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a14n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝12. 又b1＝a1－1 2＝12，
其中p为公差.
判断一个数列是等差数列的常用方法 证明一个数列是等差数列常用的方法有： (1)定义法：利用 an－an－1＝d(常数)(n≥2 且 n∈N＋)等价 于{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N＋)等价于 {an}是等差数列． (3)an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数 列．
知识回顾
定义
A如A果A一AA个A数AA列A从A第AA2A项起，每一项与
递推公式（定义式）它a前n 一a项n1的差d.(n等于N同).一.个.常. 数. .
等差数列中项公式 通项公式
A ab 2
an=a1+(n-1)d
几何意义
【来自百度文库明】
等差数列各项对应的点都 在同一条直线上.
A①公式中 n 2, n N d R
②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式， 当d=0时，为常函数。
探究
已知数列{an} 通项公式为an=pn+q (p、q是
常数),那么这个数列一定是等差数列吗？
若把条件和结论互换， 此说法是否仍然成立？
结论 : 数列an为等差数列 an pn q
[活学活用]
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝
()
A．14
B．12
C．28
D．36
解析：选C ∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4， 又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.
2．已知数列 {an} 满足
∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2.
练习
已知数列 {an} 满足
设 bn
an 2 n 1
求证：
a1 1, an1 2an 2n
（1）数列 bn 为等差数列； （2）求数列 an 的通项公式.
等差数列an中，若m n p q,那么
am an与ap aq间存在什么样的关系？
等差数列的性质：
数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。 推广： 若m+n=2p，则am+an=2ap。
等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋
5 2
(a2＋a4)＝
5 2
×6＝15.
(2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列， 则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100，即a37＋b37＝100. [答案] (1)B (2)C
数列an是等差数列 ， an pn q(其中p为公差)
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
a4＋a5＝
()
A．30 B．15 C．5 6 D．10 6
(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝
100，则a37＋b37＝
()
A．0 B．37 C．100 D．－37
[解析] (1)∵数列{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝
小试牛刀
(1)设 c, b 为常数，若数列{an} 为等差数列，则数 列{an b} 及{c an b} 为等差数列.
(2) 设 p, q 为常数，若数列 {an}、{bn}均为等差数列， 则数列 { p an q bn } 为等差数列.
思考：
若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则 a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23.你能 看出有什么规律吗？
令
bn
1 .
an 2
4
a1
4,an
4
(n an1
2),
（1）求证：数列 {bn} 为等差数列； （2）求数列 {an} 的通项公式.
分析：由等差数列的定义，要判断{b n }是不是等差数列，
只要看 bn bn1(n 2)是不是一个与n 无关的
常数就行了.
【解】 (1)证明：∵bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a14n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝12. 又b1＝a1－1 2＝12，
其中p为公差.
判断一个数列是等差数列的常用方法 证明一个数列是等差数列常用的方法有： (1)定义法：利用 an－an－1＝d(常数)(n≥2 且 n∈N＋)等价 于{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N＋)等价于 {an}是等差数列． (3)an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数 列．