专题提升(15) 巧用旋转进行证明与计算共31页
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算
21、没有人陪你走一辈子,所以你要 适应孤 独,没 有人会 帮你一 辈子, 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候,留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运,首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首,因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿. 丘吉Байду номын сангаас 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ,它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ,以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事,无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实,会谈使人敏捷,写作使人精确。——培根
专题15 巧用旋转进行证明与计算-押题2018年中考数学之提升解题能力训练精品(解析版)
押题2018年中考数学之提升解题能力训练专题15 巧用旋转进行证明与计算【母题重现】(2017山东省潍坊市第24题)边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=(1)如图1,将△DEC沿射线方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′、BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)【解析】【分析】(1)先判断出四边形MCND'为平行四边形,再由菱形的性质得出CN=CM,即可求出CC';(2)①分两种情况,利用旋转的性质,即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论;②先判断出点A,C,P三点共线,先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出结论.点睛:此题是四边形综合题,主要考查了平行四边形的判定和性质,菱形的性质,平移和旋转的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,解(1)的关键是四边形MCND'是平行四边形,解(2)的关键是判断出点A,C,P三点共线时,AP最大.考点:四边形综合题;平移的性质;旋转的性质;最值问题;探究型;压轴题.【方法】旋转前、后的图形全等,所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,找到解题突破口.【中考回顾】(2017山东德州市第11题)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a >b),M在边BC上,且BM=b,连AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF。
2019届中考数学专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z15-1).(1)以点A为旋转中心,将△ABC按逆时针方向旋转30°,作出旋转后的图形;(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边?证明你的判断.图Z15-1 经典母题答图解:(1)如答图所示;(2)AD⊥BC,DE⊥AC,AB⊥AE.证明略.【思想方法】旋转前、后的图形全等,所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,找到解题突破口.【中考变形】1.如图Z15-2,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连结OC,FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC,其中正确结论的个数是 ( D )图Z15-2A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图Z15-3,P是等腰直角三角形ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B =135°,P′A∶P′C=1∶3,则P′A∶PB=( B )A.1∶ 2 B.1∶2C.3∶2 D.1∶ 3图Z15-3 中考变形2答图【解析】如答图,连结AP,PP′,∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°,∴∠ABP =∠CBP′.在△ABP 和△CBP′中,⎩⎪⎨⎪⎧BP =BP′,∠ABP =∠CBP′,AB =CB ,∴△ABP ≌△CBP ′(SAS),∴AP =P′C.∵P′A∶P′C=1∶3,∴AP =3P′A.∵△PBP′是等腰直角三角形,∴∠BP ′P =45°,PP ′=2PB.∵∠AP ′B =135°,∴∠AP ′P =135°-45°=90°,∴△APP ′是直角三角形.设P′A=x ,则AP =3x ,根据勾股定理,得PP′=AP 2-P′A 2=(3x )2-x 2=22x ,∴P ′B =PB =2x ,∴P ′A ∶PB =x∶2x=1∶2.3.[2019·徐州]如图Z15-4,已知AC⊥BC,垂足为C ,AC =4,BC =33,将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°,得到线段AD ,连结DC ,DB. (1)线段DC =__4__; (2)求线段DB 的长度.图Z15-4中考变形3答图解:(1)∵AC=AD ,∠CAD =60°, ∴△ACD 是等边三角形,∴DC =AC =4; (2)如答图,作DE⊥BC 于点E. ∵△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD =60°,又∵AC⊥BC,∴∠DCE =∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°,在Rt △CDE 中,DE =12DC =2,CE =DC·cos30°=4×32 =23,∴BE =BC -CE =33-23= 3.在Rt △BDE 中,BD =DE 2+BE 2=22+(3)2=7.4.如图Z15-5①,在△ABC 中,AE ⊥BC 于点E ,AE =BE ,D 是AE 上的一点,且DE =CE ,连结BD ,CD. (1)判断BD 与AC 的位置关系和数量关系,并给出证明;(2)如图②,若将△DCE 绕点E 旋转一定的角度后,BD 与AC 的位置关系和数量关系是否发生变化?为什么?(3)如图③,将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变,求BD 与AC 夹角的度数.图Z15-5解:(1)BD 与AC 的位置关系是BD⊥AC,数量关系是BD =如答图①,延长BD 交AC 于点F. ∵AE ⊥BC 于点E , ∴∠BED =∠AEC=90°. ∵AE =BE ,DE =CE , ∴△DBE ≌△CAE(SAS),∴BD =AC ,∠DBE =∠CAE,∠BDE =∠ACE.∵∠BDE =∠ADF,∴∠ADF =∠ACE.∵∠ACE +∠CAE=90°,∴∠ADF +∠CAE=90°,∴BD ⊥AC ; (2)否.证明:如答图②,AC 与BD 交于点F , ∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED, 即∠BED=∠AEC. ∵AE=BE ,DE =CE , ∴△BED≌△AEC(SAS),∴BD=AC ,∠BDE=∠ACE,∠DBE=∠CAE.∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°,∴BD⊥AC; (3)如答图③,AC 与BD 交于点F. ∵△ABE 和△DEC 是等边三角形,∴AE=BE ,DE =EC ,∠EDC=∠DCE=60°, ∠BE A =∠DEC=60°,∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED, ∴∠BED=∠AEC, 在△BED 和△AEC 中,⎩⎪⎨⎪⎧BE =AE ,∠BED=∠AEC,DE =CE ,∴△BED≌△AEC(SAS),∴∠BDE=∠ACE, 中考变形4答图②中考变形4答图③∴∠DFC=180°-(∠BDE+∠EDC+∠DCF)=60°,∴BD与AC的夹角度数为60°或120°.5.阅读下面的材料:小伟遇到这样一个问题:如图Z15-6①,在正三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.小伟是这样思考的:如图②,利用旋转和全等的知识构造△AP′C,连结PP′,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.(1)请你回答:图①中∠APB=__150°__;参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:(2)如图③,在正方形ABCD内有一点P,且PA=22,PB=1,PD=17,求∠APB的度数和正方形的边长.图Z15-6解:(1)如答图①,把△APB绕点A逆时针旋转60°得△AP′C,由旋转的性质,得P′A=PA=3,P′C=PB=4,∠PAP′=60°,∴△APP′是等边三角形,∴PP′=PA=3,∠AP′P=60°,∵PP′2+P′C2=32+42=25,PC2=52=25,∴PP′2+P′C2=PC2,∴∠PP′C=90°,∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°,∴∠APB=∠AP′C=150°;(2)如答图②,把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D,由旋转的性质,得P′A=PA=22,P′D=PB=1,∠PAP′=90°,∴△APP′是等腰直角三角形,∴PP′=2PA=2×22=4,∠AP′P=45°,∵PP′2+P′D2=42+12=17,PD2=(17)2=17,∴PP′2+P′D2=PD2,∴∠PP′D=90°,中考变形5答图①中考变形5答图②∴∠AP ′D =∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°, ∴∠APB =∠AP′D=135°.∵∠APB +∠APP′=135°+45°=180°, ∴P ′,P ,B 三点共线.过点A 作AE⊥PP′于点E ,则AE =PE =12PP ′=2,∴BE =PE +PB =2+1=3,在Rt△ABE 中,AB =AE 2+BE 2=22+32=13. 【中考预测】(1)如图Z15-7①,在正方形ABCD 中,△AEF 的顶点E ,F 分别在BC ,CD 边上,高线AG 与正方形的边长相等,求∠EAF 的度数;(2)如图②,在Rt △ABD 中,∠BAD =90°,AB =AD ,M ,N 是BD 边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置,连结NH ,试判断MN 2,ND 2,DH 2之间的数量关系,并说明理由;(3)在图①中,若EG =4,GF =6,求正方形ABCD 的边长.图Z15-7解:(1)在正方形ABCD 中,∠B =∠D=90°, ∵AG ⊥EF ,∴△ABE 和△A GE 是直角三角形. 在Rt △ABE 和Rt △AGE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AG ,AE =AE , ∴△ABE ≌△AGE(HL),∴∠BAE =∠GAE. 同理,∠GAF =∠DAF.∴∠EAF =∠EAG+∠FAG=12∠BAD =45°;(2)MN 2=ND 2+DH 2.由旋转可知,∠BAM =∠DAH, ∵∠BAM +∠DAN=45°, ∴∠HAN =∠DAH+∠DAN=45°. ∴∠HAN =∠MAN.在△AMN 与△AHN 中,⎩⎪⎨⎪⎧AM =AH ,∠MAN =∠HAN,AN =AN ,∴△AMN ≌△AHN(SAS),∴MN =HN.∵∠BAD =90°,AB =AD ,∴∠B =∠ADB=45°, ∴∠HDN =∠HDA+∠ADB=90°, ∴NH 2=ND 2+DH 2,∴MN 2=ND 2+DH 2; (3)由(1)知,BE =EG =4,DF =FG =6.设正方形ABCD 的边长为x ,则CE =x -4,CF =x -6. ∵CE 2+CF 2=EF 2,∴(x -4)2+(x -6)2=102, 解得x 1=12,x 2=-2(不合题意,舍去). ∴正方形ABCD 的边长为12.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.已知二次函数y=kx 2﹣7x ﹣7的图象与x 轴有两个交点,则k 的取值范围为( ) A .k >﹣74B .k >﹣74且k≠0 C .k≥﹣74D .k≥﹣74且k≠0 2.有理数﹣12的倒数是( ) A .12B .﹣2C .2D .13.下列计算中,不正确的是( ) A .222a 2ab b (a b)-+=- B .2510a a a ⋅=C .()a b b a--=-D .32223a b a b 3a ÷=4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a =4,b =5,则该矩形的面积为( )A.50B.40C.30D.205.如图,等腰△ABC 中,AB =AC =5cm ,BC =8cm .动点D 从点C 出发,沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动,同时动点O 从点B 出发,沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止.设运动时间为t (s ),以点O 为圆心,OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ,连接ED .当直线DE 与⊙O 相切时,t 的取值是( )A. B. C. D.6.如图,四边形ACBD 是⊙O 的内接四边形,AB 是⊙O 的直径,点E 是DB 延长线上的一点,且∠DCE =90°,DC 与AB 交于点G .当BA 平分∠DBC 时,BDDE的值为( )A .12B .13C .-2D .27.下列运算中正确的是( ) A .236x x x ⋅=B .238()x x =C .222()xy x y -=- D .633x x x ÷=8.下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩,根据统计图中的信息,下列结论正确的是( )A .甲队员成绩的平均数比乙队员的大B .乙队员成绩的平均数比甲队员的大C .甲队员成绩的中位数比乙队员的大D .甲队员成绩的方差比乙队员的大9.点A ,点B 的位置如图所示,抛物线y =ax 2﹣2ax 经过A ,B ,则下列说法不正确的是( )A.点B 在抛物线对称轴的左侧;B.抛物线的对称轴是x =1C.抛物线的开口向上 ;D.抛物线的顶点在第四象限.10.小红同学5月份各项消费情况的扇形统计图如图所示,其中小红在学习用品上共支出100元,则她在午餐上共支出( )A .50元B .100元C .150元D .200元11.李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮他调整过来吗?证明步骤正确的顺序是( )已知:如图,在ABC 中,点D ,E ,F 分别在边AB ,AC ,BC 上,且DE //BC ,DF//AC , 求证:ADE ∽DBF . 证明:①又DF//AC ,DE //BC ②,A BDF ∠∠∴=③,ADE B ∠∠∴=④,ADE ∴∽DBF .A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①12.有9名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前4名参加决赛,小红同学知道自己的成绩后,要判断能否进入决赛,还需知道这9名同学成绩的( ) A .众数 B .中位数C .平均数D .方差二、填空题13.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点,A B 均在格点上,12,l l 是一条小河平行的两岸. (Ⅰ)AB 的距离等于_____;(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN (点M 在1l 上,点N 在2l 上,桥的宽度忽略),使AM MN NB ++最短,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出MN ,并简要说明点M ,N 的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.14.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点D 是AB 的中点,点P 是直线AC 上一点,将△ADP 沿DP 所在的直线翻折后,点A 落在A 1处,若A 1D ⊥AC ,则点P 与点A 之间的距离为______.15.用48m 长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地,则其面积为______2m16.如图,△ABC 中,点D 、E 分別在AB 、AC 上,DE ∥BC ,AD :DB=1:2,则△ADE 与△ABC 的面积的比为__________.17.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =1,AC =4,点A 在y 轴上,点C 在x 轴上,则点A 在移动过程中,BO 的最大值是_____.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =﹣x (x ﹣3)(0≤x≤3)在x 轴上方的部分,记作1C ,它与x 轴交于点O ,1A ,将1C 绕点1A 旋转180°得2C ,2C 与x 轴交于另一点2A .请继续操作并探究:将2C 绕点2A 旋转180°得3C ,与x 轴交于另一点3A ;将3C 绕点3A 旋转180°得4C ,与x 轴交于另一点4A ,这样依次得到x 轴上的点1A ,2A ,3A ,…,n A ,…,及抛物线1C ,2C ,…,n C ,…则n C 的顶点坐标为_____.三、解答题19.如图,直线y 1=2x+1与双曲线y 2=kx相交于A (﹣2,a )和B 两点. (1)求k 的值;(2)在点B上方的直线y=m与直线AB相交于点M,与双曲线y2=kx相交于点N,若MN=32,求m的值;(3)在(2)前提下,请结合图象,求不等式2x<kx﹣1<m﹣1的解集.20.随着生活水平的提高,人们对饮水品质的需求越来越高,某市某公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元,用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等,(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元?(2)该公司计划购进A,B两种型号的净水器共55台进行试销,其中A型净水器为m台,购买两种净水器的总资金不超过10.8万元.试销时A型净水器每台售价2500元,B型净水器每台售价2180元,该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(70<a<80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金,设该公司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元,求W的最大值.21.2﹣|1|﹣tan45°+(π﹣1978)0.22.如图,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B.(1)当x=2是,求⊙P的半径;(2)求y关于x的函数解析式,在图②中画出此函数图像;(3)请类比圆的定义(圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合),给(2)中所得函数图像进行定义:此函数图像可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合;(4)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点C的右侧,请利用图②,则cos∠APD= .23.《中国诗词大会》栏目中,外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统文化热。
2020届中考数学总复习课件:微专题十五 巧用旋转进行证明与计算 (共29张PPT)
(2)MN2=ND2+DH2.理由如下: 由旋转可知,∠BAM=∠DAH, ∵∠BAM+∠DAN=45°, ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°. ∴∠HAN=∠MAN. 在△AMN 与△AHN 中,A∠MM=AANH=,∠HAN,
AN=AN,
∴△AMN≌△AHN(SAS),∴MN=HN. ∵∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠B=∠ADB=45°, ∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°, ∴NH2=ND2+DH2,∴MN2=ND2+DH2;
(3)如答图①,∵∠AEB=∠ACB=90°, ∴A,B,C,E 四点共圆, ∴∠CEB=∠CAB=30°,∠ABD=∠ACE, ∵∠DAE=∠BAC=30°,∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD∽△CAE,∴BEDC=AACB=cos30°= 23, ∴EC= 23BD, 在 Rt△ABE 中,∵AB=5,AE=3,
∴PP′2+P′D2=PD2,∴∠PP′D=90°,
中考变形4答图
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°,
∴∠APB=∠AP′D=135°. ∵∠APB+∠AP′P=135°+45°=180°, ∴P′,P,B 三点共线. 过点 A 作 AE⊥PP′于点 E,则 AE=PE=12PP′=2, ∴BE=PE+PB=2+1=3, 在 Rt△ABE 中,AB= AE2+BE2= 22+32= 13.
3.如图 Z15-4,已知 AC⊥BC,垂足为 C,AC=4,BC=3 3,将线段 AC 绕点 A 按 逆时针方向旋转 60°,得到线段 AD,连结 DC,DB. (1)线段 DC=__4__; (2)求线段 DB 的长度.
图 Z15-4
解:(1)∵AC=AD,∠CAD=60°, ∴△ACD 是等边三角形,∴DC=AC=4; (2)如答图,作 DE⊥BC 于点 E. ∵△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD=60°,又∵AC⊥BC, ∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°. 在 Rt△CDE 中,DE=12DC=2,CE= 23DC=2 3, ∴BE=BC-CE=3 3-2 3= 3. 在 Rt△BDE 中,BD= DE2+BE2= 22+( 3)2= 7.
中考数学 专题提升十五 巧用旋转进行证明与计算复习
【思想方法】 旋转前、后的图形全等,所以借此可以在较复 杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形, 把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,疏通解题突破 口.
【中考变形】
1.如图Z15-2,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,
C,E在同一条直线上,AE与BD交于
点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点
F,连结OC,FG,则下列结论:①AE=
BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC =∠EOC,其中正确结论的个数是 ( D )
图Z15-2
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图Z15-3,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时
针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A∶P′C=1∶3,
图Z15-7
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图②, 试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由; (2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上, 如图③,请你求出CF的长. 解:(1)AD与CF还相等. 理由:∵四边形ODEF,四边形ABCO为正方形, ∴∠DOF=∠COA=90°,DO=OF,CO=OA, ∴∠COF=∠AOD,∴△COF≌△AOD(SAS), ∴AD=CF;
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°, ∴∠A=60°, ∴△ACD是等边三角形, ∴∠ACD=60°, ∴n=60; (2)四边形ACFD是菱形.理由如下: ∵△ACD是等边三角形, ∴AC=CD=AD,∠ADC=60°. 又∵∠ACB=90°,∴∠DCB=30°, ∴∠DCB=∠B,
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
【教材母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15-1). (1)以点A为旋转中心,将△ABC按逆时针方向 旋转30°,作出旋转后的图形; (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没 有互相垂直的边?证明你的判断.(浙教版九上 图Z15-1 P110第5题) 解:(1)如答图所示; (2)AD⊥BC,DE⊥AC,AB⊥AE.证明略.
【最新】沪科版九年级数学下册第二十四章《巧用旋转进行计算或证明》公开课课件.ppt
2.(2015·曲靖)如图,正方形 OABC 绕着点 O 逆 时针旋转 40°得到正方形 ODEF,连接 AF,则∠OFA 的度数是( C )
A.15° B.20° C. 25° D.30°
3.(2015·天津)如图,已知▱ABCD 中,AE⊥BC 于点 E, 以点 B 为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE 顺时针旋 转,得到△BA′E′,连接 DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′= 50°,则∠DA′E′的大小为( C )
解:如图,连接 AM,由题意得:CA=CM,∠ACM= 60°,∴△ACM 为等边三角形,∴AM=CM,∴∠MAC= ∠MCA=∠AMC=60°;∵∠ABC=90°,AB=BC= 2, ∴AC=2=CM=2,∴AB=BC,CM=AM,∴BM 垂直平 分 AC,∴BO=12AC=1,OM=CM·sin60°= 3,∴BM =BO+OM=1+ 3
四、利用旋转进行证明 12.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完 全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图①所 示位置放置,现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α(0° <α<90°),如图②,AE 与 BC 交于点 M,AC 与 EF 交于点 N,BC 与 EF 交于点 P. (1)求证:AM=AN; (2)当旋转角 α=30°时,四边形 ABPF 是什么样的特殊 四边形?并说明理由.
7.(2015·扬州)如图,已知 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,AC=6,BC=4,将△ABC 绕直角顶点 C 顺 时针旋转 90°得到△DEC.若点 F 是 DE 的中点,连接 AF,则 AF=__5__.
8.(2015·福州)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°, AB=BC= 2,将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°,得到 △MNC,连接 BM,求 BM 的长.