瞬时变化率 (新)

我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提 高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内 的平均速度
s(5.1) s(5) 127 .45 122 .5 49.5（m/s）。 5.1 5 0.1
用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。如果 时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速 度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 解：我们将时间间隔每次缩短为前面的 ，计算出相应的平均速度得到下表：
探究
函数y=f(x)在x=x0处的瞬 时变化率又怎么表示？
（三）、抽象概括：对于一般的函数 y f
( x)
，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若
设Δx= x1－x０， y f ( x1 ) f ( x0 )，则函数的 平均变化率是
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y x x1 x0 x
49.5 49.049 49.0049 49.00049 …
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于 49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为 49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为 49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行 运动的话，每秒将要运动49m。
，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
s (6) s (5) 176 .4 122 .5 53.9（m/s） 小球的平均速度 65 1
s (t1 ) s (t 0 ) s 可以求出从5s到6s这段时间内 t t1 t 0
3.
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0） 在任意区间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
平均变化率的缺点：它不能具体说明 函数在这一段区间上的变化情况.
（二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为
1 2 s gt 其中，g为重力加速度 ( g 9.8m / s 2 ) 2
1 10
t0/s
t1/s
时间的改 变量 （Δ t）/s 0.1 0.01 0.001 0.0001 …
路程的改 变量 （Δ s ） /m 4.95 0.49 0.049 0.0049 …
s t
平均速度
/（m/s）
5 5 5 5 5
5.1 5.01 5.001 5.0001 …
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的 瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一 点处变化的快慢。
练习
物体作自由落体运动,运动方程 1 2 为： s = gt 其中位移单位是m，时 2 间单位是s，g=10m/s2.求：
（1） 物体在时间区间[2，2.1]上的
平均速度；
（2） 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近 =2(s) t0 时的瞬时速度 v=20(m/s).
小结：
对于一般的函数y f
x ，在自变量
x从x0变化到x1的过程中，设x x1 x0 , y f ( x1 ) f ( x0 ), 则函数的平均变化率 f y f ( x1 ) f ( x0 ) 是 x x1 x0
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δ t=0.1 代入上式，得 : __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
解:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ__
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
(2) 当Δt 0时,
s 2 g 20m / s t
x0/s
x1/s
长度x的改变 量 （Δ x）/m
质量y的改变 量 平均线密度 （Δ s ）/kg /（kg/m）
y x
2 2 2 2 2
2.1 2.01 2.001 2.0001 …
0.1 0.01 0.001 0.0001 …
0.070 0.0071 0.00071 0.000071 …
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒， 长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y （单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足 以 下函数关系：
y f ( x) 2 x
估计该合金棒在x=2m处的线密度 分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度， 就是这段合金棒的平均线密度。 解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到 下表
x0
x f ( x0 ) . x
而当x 0时，平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变化率。瞬时变化率刻画的是 函数在某一点处变化的快慢。
（四）、练习： P30练习2：1、2. （五）、作业： P31 习题2-1：3、4、5 反思：瞬时变化率刻画的是函数在一 点处变化的快慢。
复习巩固
1 平均变化率的定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1) =△y
x
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
0.70 0.71 0.71 0.71 …
可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋 于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在 x0=2m处的线密度为0.71kg/m。从上面的分 析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物 理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金 棒，其质量将为0.71kg。
x2-x1 =△x
0
2 平均变化率的几何意义：
( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率. 曲线 y f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、
平均变化率 一般地,函数 的平均变化率为:
f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
在 [ x1 , x2 ] 区间上