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5488北大附中年高一下学期数学期末测试题

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2023-2024学年北京市海淀区北京理工大学附属中学高一下学期期末练习(二)数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市海淀区北京理工大学附属中学高一下学期期末练习(二)数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市海淀区北京理工大学附属中学高一下学期期末练习（二）数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为()A.8B.C.16D.2.下列说法不正确的是()A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体3.下列命题正确的是()A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面4.已知点直线l，又平面，则()A. B.C. D.或5.若空间三条直线a，b，c满足，，则直线a与c()A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交6.给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则8.如图，三棱台中，底面ABC是边长为6的正三角形，且，平面平面ABC，则棱()A. B. C.3 D.9.如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q，使得B.存在点Q，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q，使得PQ与AD所成的角为二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

10.如图，在正方体中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：①平面；②；③平面平面；④三棱锥的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是__________.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜á”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺如图所示，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为；③圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为__________.12.如图，在正三棱柱中，P，Q分别为，的中点.证明：平面ABC；证明：平面平面请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据.【解答】证明：取AB的中点D，连接PD、CD，因为P，Q分别为，的中点，所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，，所以且，所以PDCQ为平行四边形，所以，又因为平面ABC，平面ABC，所以平面__________定理证明：在正三棱柱中，D为AB的中点，所以，又平面ABC，平面ABC，所以，，，平面，所以平面__________定理又，所以平面，又平面，所以平面平面__________定理答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以，所以原图形的周长为故选：2.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案.【详解】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A正确；直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B正确；斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C正确；当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D错误.故选：3.【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B正确；两条直线异面时不能确定一个平面，C错误；空间四边形不能确定一个平面，D错误.故选：4.【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断．【详解】点直线l，又平面，则l与平面至少有一个公共点，所以或故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于基础题.根据空间中直线的位置关系分析判断.【解答】解：，c，故选：6.【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若直线l与平面垂直，由垂直的定义知，直线l垂直于平面内无数条直线；但是当直线l垂直于平面内无数条直线时，直线l与平面不一定垂直.所以“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件，故选：A7.【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】若，则或或n与相交，A错误；若，则，B正确；若，则或，C错误；若，则或相交或异面，D错误.故选：8.【答案】A【解析】【分析】取中点分别为，连接，过点作BN的垂线，垂足为P，从而在直角梯形求解即可.【详解】如图，取中点分别为，连接，过点作BN的垂线，垂足为P，因为，所以，且，所以，因为平面平面ABC，平面平面，面，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，又因为在三棱台中，，所以四边形为直角梯形，因为，，所以，所以在直角三角形中，，故选：9.【答案】B【解析】【分析】A由、即可判断；B若Q为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面APD是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，错；B ：若Q 为中点，则，而，故，又面，面，则，故，，面，则面，所以存在Q 使得平面，对；C ：由正方体性质知：，而面，故与面APD 不平行，所以Q 在线段上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，所以，，若它们夹角为，则，令，则，当则；当则；当则；所以不在上述范围内，错.故选：B10.【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．【详解】①在正方体中，，，且，平面平面；在面对角线AC上运动，平面；①正确．②当P位于AC的中点时，不成立，②错误；③平面；，同理，平面，平面面，平面平面；③正确．④三棱锥的体积等于的体积，的面积为定值，B到平面的高为BP为定值，三棱锥的体积不变，④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算.11.【答案】①②【解析】【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，SA为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．【详解】解：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积为，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则，所以圆锥的母线长为，故①正确；圆锥的表面积，故②正确；圆锥的底面圆周长为，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则，解得，即，故③错误；圆锥的高，所以圆锥的体积为，故④错误．故答案为：①②．12.【答案】线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；面面垂直的判定定理【解析】【分析】根据题意，由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理，即可得到结果.。

2019-2020学年北京师大附中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京师大附中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京师大附中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．3．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④5．已知向量，满足||＝2，||＝1，•＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．﹣6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝15，b＝5，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GH B．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD18．函数f（x）＝A sin x（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP⊥OQ，则A＝（）A．3B．C．D．1二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sinα等于．10．设向量、的长度分别为4和3，夹角为60°，则||＝．11．函数f（x）＝3sin x的最大值为．12．设α是第一象限角，sinα＝，则tanα＝．cos2α＝．13．设向量＝（0，2），＝（，1），则•＝；向量，的夹角等于．14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝60°，A＝45°，则b＝，△ABC的面积是．15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A ＝．16．已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值是．17．已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为；设点P （3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是．18．已知a，b是异面直线．给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α；②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；④一定存在平面α，使直线a⊥平面α，直线b⊥平面α．则所有正确结论的序号为．三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．.19．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的对称中心的坐标；（Ⅲ）求函数f（x）在的区间[﹣，]上的最大值和最小值．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝﹣．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）如果b＝3，求c的值；（Ⅲ）如果c＝2，求sin B的值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅲ）证明：BD⊥CE．23．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE ⊥AD，DC＝DE．（Ⅰ）求证：AD⊥CE；（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．24．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），设函数f（x）＝•（+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选：B．2．函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可．解：函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为：＝．故选：C．3．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：将函数y＝sin2x，向左平移个单位长度，可得y＝sin2（x+），即sin2（x+）＝．故选：C．4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析】利用直线与直线的平行直线与平面的垂直关系判断选项的正误即可．解：①平行于同一个平面的两条直线互相平行也可以相交也可能异面直线；所以①不正确；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行也可能相交；所以②不正确；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；正确；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．满足直线与平面垂直的性质定理，正确．故选：D．5．已知向量，满足||＝2，||＝1，•＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．﹣【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可．解：设向量，的夹角为θ，则θ∈[0，π]，由||＝2，||＝1，•＝，所以cosθ＝＝＝，所以向量，的夹角为θ＝．故选：C．6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝15，b＝5，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】由正弦定理求出sin C的值，可得C＝60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．解：∵△ABC中，已知B＝30°，c＝15，b＝5，由正弦定理，可得：＝，∴解得：sin C＝，可得：C＝60°或120°．当C＝60°，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形．当C＝120°，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GH B．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．解：对于A，由图形知BD1与GH是异面直线，∴A错误；对于B，由题意知BD与EF也是异面直线，∴B错误；对于C，平面EFGH与平面ABCD是相交的，∴C错误；对于D，平面EFGH∥平面A1BCD1，理由是：由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1．故选：D．8．函数f（x）＝A sin x（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP⊥OQ，则A＝（）A．3B．C．D．1【分析】由题意，△OPQ是直角三角形，过P，Q作x轴的垂线，利用勾股定理求解QP，OP，OQ，建立关系可得A的值．解：函数f（x）＝A sin x（A＞0），周期T＝2π，可得：P（，A），Q（）．连接PQ，过P，Q作x轴的垂线，可得：QP2＝4[A2+]，OP2＝A2+]，OQ2＝A2+]，由题意，△OPQ是直角三角形，∴QP2＝OP2+OQ2，即2A2+π2＝，解得：A＝故选：B．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sinα等于．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解：∵角α的终边经过点P（1，2），则sinα＝＝，故答案为：．10．设向量、的长度分别为4和3，夹角为60°，则||＝．【分析】首先对要求的向量的模平方，变为已知向量的平方和数量积之和，代入模长和夹角，求出结果，注意最后要对求得的结果开方．解：∵、的长度分别为4和3，夹角为60°，∴＝16+4×3×cos60°+9＝31∵||＝＝＝，故答案为：11．函数f（x）＝3sin x的最大值为3．【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果．解：当x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为3．故答案为：312．设α是第一象限角，sinα＝，则tanα＝．cos2α＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解cos2α的值．解：∵α是第一象限角，sinα＝，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝＝．∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2＝．故答案为：，．13．设向量＝（0，2），＝（，1），则•＝2；向量，的夹角等于．【分析】直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论．解：因为向量＝（0，2），＝（，1），故||＝2；||＝＝2；故•＝0×+2×1＝2；向量，的夹角θ满足cosθ＝＝＝；因为θ∈[0，π]⇒θ＝，故向量，的夹角等于．故答案为：2，．14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝60°，A＝45°，则b＝，△ABC的面积是．【分析】由已知利用正弦定理可求b的值，根据三角形内角和定理可求C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：若a＝2，B＝60°，A＝45°，则由正弦定理，可得：b＝＝＝，可求C＝180°﹣A﹣B＝75°，可得△ABC的面积S△ABC＝ab sin C＝×sin75°＝sin（45°+30°）＝（+）＝．故答案为：，．15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A ＝．【分析】由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案．解：在△ABC中，cos A＝＝＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值是．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．解：f（x）＝+sin2x＝sin（2x+）+，当0≤x≤m时，≤x≤2m+，∵f（x）在区间[0，m]上单调递增，∴2m+≤，得m≤，即m的最大值为，故答案为：．17．已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为（3，﹣2）；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是（1，3）．【分析】第一空：根据题意，设C的坐标为（x，y），求出向量与的坐标，由共线向量的坐标表示方法可得（2，﹣4）＝2（x﹣2，y），计算可得x、y的值，即可得答案；第二空：由P的坐标计算可得、的坐标，由向量数量积的计算公式可得•＝（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得t的取值范围，即可得答案．解：根据题意，设C的坐标为（x，y），又由点A（0，4），B（2，0），则＝（2，﹣4），＝（x﹣2，y），若，则有（2，﹣4）＝2（x﹣2，y），则有2＝2（x﹣2），﹣4＝2y，解可得x＝3，y＝﹣2，则C的坐标为（3，﹣2），又由P（3，t），则＝（﹣3，4﹣t），＝（﹣1，﹣t），若∠APB是钝角，则•＝（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得1＜t＜3，即t的取值范围为（1，3）；故答案为：（3，﹣2）；（1，3）18．已知a，b是异面直线．给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α；②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；④一定存在平面α，使直线a⊥平面α，直线b⊥平面α．则所有正确结论的序号为②③．【分析】假设①④结论正确，推出矛盾结论判断①④错误，根据线面位置的性质关系判断②③．解：（1）假设①正确，则存在直线a′⊂平面α，使得a∥a′，又b⊥α，故b⊥a′，∴b⊥a，显然当异面直线a，b不垂直时，结论错误，故①错误；（2）设异面直线a，b的公垂线为m，平面α⊥m，且a，b均不在α内，则a，b均与平面α平行，故②正确；（3）在直线b上取点A，显然过点A有无数个平面均与直线a平行，故③正确；（4）假设④正确，则由a⊥α，b⊥α可得a∥b，显然这与a，b是异面直线矛盾，故④错误．故答案为：②③．三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．.19．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由已知可求f（）＝sin＝即可得解；（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式即可求解；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．解：（Ⅰ）由于函数f（x）＝sin（2x﹣），可得f（）＝sin（2×﹣）＝sin ＝；（Ⅱ）f（x）的最小正周期T＝＝π；（Ⅲ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的对称中心的坐标；（Ⅲ）求函数f（x）在的区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可（Ⅱ）根据三角函数的对称性进行求解（Ⅲ）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），则f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）由2x+＝kπ，k∈Z，得x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心的坐标为（kπ﹣，0），k∈Z．（Ⅲ）当﹣≤x≤时，﹣≤2x+≤，则当2x+＝时，函数取得最大值，最大值为2sin＝2，当2x+＝﹣时，函数取得最小值，最小值为2sin（﹣）＝2×（﹣）＝﹣1．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝﹣．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）如果b＝3，求c的值；（Ⅲ）如果c＝2，求sin B的值．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数公式以及C为三角形的内角，可得出sin C的值；（Ⅱ）由余弦定理可得c；（Ⅲ）由正弦定理求出sin A，进而求出cos A，根据大边对大角确定cos A的符号，再根据三角形内角和为π，以及两角和与差的正弦公式得出答案．解：（Ⅰ）在△ABC中，cos C＝﹣，且sin2C+cos2C＝1，则sin C＝±，又sin C＞0，故sin C＝．（Ⅱ）∵a＝2，b＝3，∴cos C＝﹣＝＝，解得c2＝16，故c＝4．（Ⅲ）∵，∴，解得sin A＝，又c＞a，则cos A＝，sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅲ）证明：BD⊥CE．【分析】（Ⅰ）推导出CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．（Ⅱ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅲ）推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥CE．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，∴CD∥AB，∵CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（Ⅱ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，∴O是AC中点，∵E是PA的中点．∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．（Ⅲ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥PA，∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面ACE，∵CE⊂平面ACE，∴BD⊥CE．23．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE ⊥AD，DC＝DE．（Ⅰ）求证：AD⊥CE；（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．【分析】（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．解：（Ⅰ）由底面ABCD为矩形，知AD⊥CD．………………（1分）又因为DE⊥AD，DE∩CD＝D，………………所以AD⊥平面CDE．………………又因为CE⊂平面CDE，所以AD⊥CE．………………（Ⅱ）由底面ABCD为矩形，知AB∥CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．………………同理AF∥平面CDE，又因为AB∩AF＝A，所以平面ABF∥平面CDE．………………又因为BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE．………………（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q（即BE的中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．…证明如下：取CE的中点P，BE的中点Q，连接AQ，DP，PQ，则PQ∥BC．由AD∥BC，得PQ∥AD．所以A，D，P，Q四点共面．………………由（Ⅰ），知AD⊥平面CDE，所以AD⊥DP，故BC⊥DP．在△CDE中，由DC＝DE，可得DP⊥CE．又因为BC∩CE＝C，所以DP⊥平面BCE．………………又因为DP⊂平面ADPQ所以平面ADPQ⊥平面BCE（即平面ADQ⊥平面BCE）．即线段BE上存在点Q（即BE中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．………24．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），设函数f（x）＝•（+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可．（3）求出函数在时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数．解：（1）函数f（x）＝•（+）＝（sin x，cos x）•（sin x+cos x，0）＝sin2x+sin x cos x＝+＝．所以函数的最小正周期为：π．（2）因为函数，由，即，所以函数的单调增区间为：．（3），，所以，，函数g（x）＝f（x）﹣k＝﹣k，，其中k∈R，当k＜0或时，零点为0个；当时函数有两个零点，当或0≤k＜1时，函数有一个零点；。

2018年北京海淀区高一第二学期期末质量检测数学试卷 (13)

2018年北京海淀区高一第二学期期末质量检测数学试卷 (13)

2018年北京海淀区高一第二学期期末质量检测数学试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. = 240sinA ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 3．平面四边形ABCD 中，0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形4．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是A ．①B ．②④C ．③D ．①③5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 26．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%7．如图所示，程序框图的输出结果是A. 16B. 2524C. 34D. 11128. 已知圆错误！未找到引用源。

,在圆错误！未找到引用源。

中任取一点错误！未找到引用源。

，则点错误！未找到引用源。

的横坐标小于错误！未找到引用源。

的概率为A ．错误！未找到引用源。

2018-2019学年北师大附中高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年北师大附中高一下学期期末数学试题(解析版)

北师大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线10x y +-=的倾斜角为（ ）A ．4π B ．4π-C ．34π D ．34π-【答案】C【解析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角. 【详解】由题意知，直线的斜率为1k =-，所以直线的倾斜角为34πα=. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，属于基础题.2．在ABC V 中，若1b c +=，30B =o ，45C =o ，则（ ）A ．1b =，c =B ．b =1c =C ．2b =，12c =+ D ．1b =+2c =【答案】A【解析】利用正弦定理列出关系式，把sin B 与sin C 代入得出b 与c 的关系式，再与已知等式联立求出即可. 【详解】∵在ABC ∆中，1b c +=+，30B =o ，45C =o ，∴由正弦定理得：sin sin b c B C=，即2b =，联立解得：1,b c ==故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题.3．已知m ，n 为直线，α，β为平面，下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊂，n β⊂，则m 与n 为异面直线C ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n 【答案】D【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由m ，n 为直线，α，β为平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若m α⊥，n β⊥，//αβ，则由线面垂直、面面平行的性质定理得//m n ，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120 km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．1700辆C ．170辆D ．300辆【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆. 【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.5．“2a =”是“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ---=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出. 【详解】由题意，当0a =时，两条直线分别化为：0x =，310y -=，此时两条直线相互垂直； 当32a =时，两条直线分别化为：2330x y +-=，23x =，此时两条直线不垂直，舍去；当0a ≠且23a ≠时，由两条直线相互垂直，则()230a a a --=，即2240a a -=， 解得0a =或2a =；综上可得：0a =或2a =，两条直线相互垂直，所以“2a =”是“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ---=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6．向正方形ABCD 内任投一点P ，则“PAB △的面积大于正方形ABCD 面积的14”的概率是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】C【解析】由题意，求出满足题意的P 点所在区域的面积，利用面积比求概率. 【详解】由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1， 要使PAB ∆的面积大于正方形ABCD 面积的14，需要P 到AB 的距离大于12，即P 点所在区域面积为12， 由几何概型得，PAB ∆的面积大于正方形ABCD 面积的14的概率为11212P ==. 故选：C. 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，解题的关键是明确概率模型，属于基础题. 7．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）A ．5B ．22C ．23D ．4【答案】C【解析】由三视图可知：PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面是一个直角梯形，PAD ∆，PAB ∆，PBC ∆均为直角三角形，判断最长的棱，通过几何体求解即可.【详解】由三视图可知：该几何体如图所示，则PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面是一个直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，2AB =，1AD =，可得PAD ∆，PAB ∆，PBC ∆均为直角三角形，最长的棱是PC ，22223PC PA AB BC =++=.故选：C. 【点睛】本题考查了三视图，线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8．在ABC V 中，12AN AC =u u u r u u u r ，点P 是直线BN 上一点，若AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1-C ．14-D ．54【答案】B【解析】根据向量的加减运算法则，通过12AN AC =u u u r u u u r ，把AP u u u r 用AB u u u r 和AN u u ur 表示出来，即可得到m 的值.【详解】在ABC ∆中，12AN AC =u u u r u u u r，点P 是直线BN 上一点，所以2AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又,,P N B 三点共线，所以21+=m ，即1m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题.二、填空题9．已知直线3230x y +-=与直线610x my ++=互相平行，则m =______. 【答案】4【解析】由两直线平行得，61323m =≠-，解出m 值. 【详解】由直线3230x y +-=与直线610x my ++=互相平行，得61323m =≠-， 解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题.10．已知向量(1,),(,1)a k b k ==-rr，则a r与b r的夹角是_________. 【答案】2π 【解析】利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可. 【详解】由题知(1,)a k =r ，(,1)b k =-r，因为()()10a b k k ⋅=-+⨯=r r， 所以a r 与b r 的夹角为2π.故答案为：2π. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.11．直线120kx y k -+-=与圆:C ()2213x y -+=的位置关系是______. 【答案】相交【解析】由直线系方程可得直线过定点()2,1P ，进而可得点P 在圆内部，即可得到位置关系. 【详解】化直线方程120kx y k -+-=为()210k x y --+=，令2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线120kx y k -+-=过定点()2,1P ，又圆:C ()2213x y -+=的圆心坐标为()1,0，半径3r =，而()()22211023CP =-+-=<，所以点P 在圆C 内部，故直线与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判断，考查直线系方程的应用，属于基础题.12．在《九章算术·商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biē nào ），在如下图所示的鳖臑P ABD -中，PD DA ⊥，PD DB ⊥，BA AD ⊥，则PAB △的直角顶点为______.【答案】A【解析】根据PD DA ⊥，PD DB ⊥可得PD ⊥平面ABD ，进而可得PD AB ⊥，再由BA AD ⊥，证明BA ⊥平面PAD ，即可得出BA PA ⊥，A 是PAB ∆的直角顶点. 【详解】在三棱锥P ABD -中，PD DA ⊥，PD DB ⊥，且DA DB D ⋂=， ∴PD ⊥平面ABD ，又AB Ì平面ABD ， ∴PD AB ⊥，又∵BA AD ⊥，且DA PD D =I ， ∴BA ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ， ∴BA PA ⊥，∴PAB ∆的直角顶点为A . 故答案为：A . 【点睛】本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，属于基础题.13．已知直线l 与圆C ：()()22224x y -+-=交于A ，B 两点，23AB =，则满足条件的一条直线l 的方程为______. 【答案】1y =（答案不唯一）【解析】确定圆心到直线的距离，即可求直线l 的方程. 【详解】由题意得圆心坐标()2,2，半径2r =，23AB =， ∴圆心到直线l 的距离为1d =， ∴满足条件的一条直线l 的方程为1y =. 故答案为：1y =（答案不唯一）. 【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111D C B A （含边界）内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.【答案】12【解析】设正方体的棱长为1，求出三棱锥P ABC -的主视图面积为定值，当P 与1D 重合时，三棱锥P ABC -的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小. 【详解】设正方体的棱长为1，则三棱锥P ABC -的主视图是底面边为AB ，高为1AA 的三角形， 其面积为111122S =⨯⨯=主， 当P 与1D 重合时，三棱锥P ABC -的俯视图为正方形ABCD ，其面积最大，最大值为1，所以，三棱锥P ABC -的主视图与俯视图面积比的最小值为12.故答案为：12. 【点睛】本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.三、解答题15．如图，在ABC V 中，23BAC π∠=，27BC =，2AC =，AD AC ⊥.（Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）求AD .【答案】（Ⅰ）4AB =（Ⅱ）3AD =【解析】（Ⅰ）利用余弦定理2222cos AB AC AB AC BAC BC +-⨯⨯∠=，解得AB 的长；（Ⅱ）利用正弦定理得22sin sin sin3AB BC CB π==，计算得sin C ，sin B ，再利用ADC ∆为直角三角形，进而可计算AD 的长. 【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理有2222cos AB AC AB AC BAC BC +-⨯⨯∠=， 即22422cos 283AB AB π+-⨯⨯=，解得4AB =或2AB =-（舍）， 所以4AB =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得4AB =，在ABC ∆中，由正弦定理有22sin sin sin 3AB BC C B π==，得21sin 14B =，21sin 7C =， 所以27cos C =，3tan C =，又AD AC ⊥，则ADC ∆为直角三角形， 所以tan AD C AC =，即322AD =，故3AD =. 【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的简单应用，属于基础题.16．在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC BC =，D ，E 分别为AB ，11A B 中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：四边形1CC ED 为平行四边形； （Ⅲ）求证：平面1ABC ⊥平面1CC ED . 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）只需证明1CC AC ⊥，1CC BC C ⋂=，即可得AC ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）可得四边形1AA ED 为平行四边形，11DE AA CC ==，11////DE AA CC ，即可得四边形1CC ED 为平行四边形；（Ⅲ）易得AD ⊥平面1CC ED ，即可得平面1ABC ⊥平面1CC ED . 【详解】（Ⅰ）∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥， 又AC BC =，AC BC ⊥，而1CC BC C ⋂=， ∴AC ⊥平面11BB C C .（Ⅱ）∵D 、E 分别为AB 、11A B 的中点，∴1AD A E =，1//AD A E ，即四边形1AA ED 为平行四边形，∴11DE AA CC ==，11////DE AA CC ，∴四边形1CC ED 为平行四边形.（Ⅲ）∵AC BC =，D 为AB 中点，∴AD CD ⊥，又∵1AD CC ⊥，且1=I CC CD C ，∴AD ⊥平面1CC ED ，而AD ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面1CC ED .【点睛】本题考查了空间点、线、面位置关系，属于基础题.17．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.【答案】（Ⅰ）85x x ==甲乙（Ⅱ）12（Ⅲ）见解析 【解析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据计算x 甲、x 乙，进而可得平均分的估计值； （Ⅱ）求出基本事件数，计算所求的概率值；（Ⅲ）答案不唯一.从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适；从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适.【详解】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算()17879818284889395858x =⨯+++++++=甲， ()17176808590919295858x =⨯+++++++=乙，由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为85分.（Ⅱ）从甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩，基本事件是113412C C ⋅=，甲、乙两名同学成绩都在90分以上的基本事件为11236C C ⋅=， 故所求的概率为61122P ==. （Ⅲ）答案不唯一. 派甲参赛比较合适，理由如下：由（Ⅰ）知，85x x ==甲乙，()()()()()2222221788579858185828584858s ⎡=-+-+-+-+-+⎣甲 ()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦， 264s =乙， 因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所有甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f =， 乙获得85分以上（含85分）的频率为258f =， 因为21f f >，所有派乙参赛比较合适.【点睛】本题考查了利用茎叶图计算平均数与方差的应用问题，属于基础题.18．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，60DAB ∠=o ，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC BD O =I .（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ；（Ⅱ）求三棱锥A PFB -的体积；（Ⅲ）求证：OP 与AB 不垂直.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）见解析 【解析】（Ⅰ）连接OF ，OG ，由已知结合三角形中位线定理可得//OF 平面PAB ，再由面面平行的判断可得平面//OFG 平面PAB ，进而可得//FG 平面PAB ； （Ⅱ）首先证明AO ⊥平面PDB ，而F 为PD 的中点，然后利用等积法求三棱锥A PFB -的体积；（Ⅲ）直接利用反证法证明OP 与AB 不垂直.【详解】（Ⅰ）如图，连接OF ，OG∵O 是BD 中点，F 是PD 中点，∴//OF PB ，而OF ⊂/平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴//OF 平面PAB ，又∵O 是AC 中点，G 是BC 中点，∴//OG AB ，而OG ⊂/平面PAB ，AB Ì平面PAB ， ∴//OG 平面PAB ，又OG OF O =I∴平面//OFG 平面PAB ，即//FG 平面PAB .（Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD AO ⊥，又四边形ABCD 为菱形，∴BD AO ⊥，又AD DB D =I ，∴AO ⊥平面PDB ，而F 为PD 的中点，∴1111322sin 60224433A PFB A PDB P ABCD V V V ︒---===⨯⨯⨯⨯⨯=.（Ⅲ）假设OP AB ⊥，又PD AB ⊥，且OP PD P =I ，∴AB ⊥平面PDB ，则AB DB ⊥，与60ABD ︒∠=矛盾，∴假设错误，故OP 与AB 不垂直.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，属于中档题．19．已知圆A ：22650x y y +++=，圆B ：224640x y x y +--+=.（Ⅰ）求经过圆A 与圆B 的圆心的直线方程；（Ⅱ）已知直线l ：70x y +-=，设圆心A 关于直线l 的对称点为A '，点C 在直线l 上，当A BC '∆的面积为14时，求点C 的坐标.【答案】（I ）330x y --=（Ⅱ）()1,6C 或174,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】（Ⅰ）由已知求得A ，B 的坐标，再由直线方程的两点式得答案；（Ⅱ）求出A '的坐标，再求出A B '以及A B '所在直线方程，设(),7C m m -，利用点到直线的距离公式求出C 到A B '所在直线的距离，代入三角形面积公式解得m 值，进而可得C 的坐标.【详解】（Ⅰ）将圆A ：22650x y y +++=化为：()2234x y ++=，所以()0,3A -， 圆B ：224640x y x y +--+=化为：()()22239x y -+-=，所以()2,3B ， 所以经过圆A 与圆B 的圆心的直线方程为：303320y x +-=+-，即330x y --=. （Ⅱ）如图，设(),A a b '，由题意可得3702231a b b a-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得107a b =⎧⎨=⎩，即()10,7A '， ∴A B '==A B '所在直线方程为3273102y x --=--，即240x y -+=， 设(),7C m m -，则C 到A B '所在直线的距离d ==由1142A BC S '∆=⨯=，解得1m =或173m =， ∴点C 的坐标为()1,6C 或174,33C ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点关于直线的对称点的求法，考查运算求解能力，属于中档题.20．已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥L ，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z L ，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈． 其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（Ⅰ）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明(1)2k k n -≤． （Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）集合{}0,1,2,3不具有性质P ，集合{}1,2,3-具有性质P ，相应集合(1,3)S =-，(3,1)-，集合(2,1)T =-，(2,3)（Ⅱ）见解析（Ⅲ）m n =【解析】解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)(23)T =-，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=L ，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=L ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下： （1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．。

北师大版高一下册数学期末测试卷(二)附答案

北师大版高一下册数学期末测试卷(二)附答案

北师大版高一下册数学期末测试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.sin 6π=（ ）A .12 B C .12-D . 2.若sin 0α＞，且tan 0α＜，则角α的终边位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知数列{}n a 满足11a =，()1312n n a a n -=+≥，则4a =（ ） A .13B .15C .30D .404.若三角形ABC 中3a =，60A =︒，45B =︒，则边b 的值为（ ）ABCD .35.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC D BA C ++等于（ ）A .BDB .DBC .BCD .CB6.若sin cos αα+=sin2α=（ ）A .12B .2C D .17.要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将2sin 2y x =的图象（ ）A .向左平移3π长度B .向右平移3π长度 C .向左平移6π长度 D .向右平移6π长度8.在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形9.如图，已知OAB △，若点C 满足2AC CB =，()OC xOA yOB x y R =+∈，，则11x y+=（ ）A .14B .34C .92D .2910.已知ABC △的一个内角为120︒，且三边长构成公差为2的等差数列，则ABC △的面积为（ ）ABC. D. 11.已知菱形ABCD 的边长2，60BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为（ ） A .32B .32-C .2D .2-12.函数()1tan 12f x x x π⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭落在区间()3,5-的所有零点之和为（ ） A .2B .3C .4D .5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知向量()2,3a =，()6,b x =，若a b ，则x =________． 14.2223cos sin 88ππ-=________． 15.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC a =，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60︒，30︒，则A 点离地面的高度AB 等于________．16.若三个非零且互不相等的实数1x ，2x ，3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x ，2x ，3x 为一个“β等差数列”，已知集合{}100M x x x Z =≤∈，，则由M 中的上元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.已知1sin 3x =（x 是第二象限角），求cos x ，tan x 的值．18.（1）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式；（2）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ．19.函数()()sin 022f x A x ππωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞，＜＜的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调增区间．20.已知函数()12cos22f x x x =-+． （1）求函数()f x 的对称轴方程和对称中心；（2）求函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．21.在ABC △中，三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知三内角A ，B ，C 成等差数列． （1）求角B 的值；（2）若b =ABC △的面积等于，求a ，c ；（3）若b =，求三角形的周长L 的最大值．22.已知向量()2sin ,sin cos m θθθ=+，()cos ,2n m θ=--，函数()f m n θ=⋅的最小值为()()g m m R ∈（1）当1m =时，求()g m 的值；（2）求()g m ；期末测试 答案一、 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】A 9.【答案】C 10.【答案】A 11.【答案】D 12.【答案】C 二、 13.【答案】914.【答案】15. 16.【答案】50三、17.【答案】cos x = tan x = 18.【答案】（1）22n a n =+ （2）23π19.【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 20.【答案】（1）对称轴方程：()23k k Z x ππ=+∈ 对称中心为()1,2212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21.【答案】（1）3π（2）a c == （3）22.【答案】（1）1-（2）()((221248224122m m m m g m m m m ⎧+-⎪++⎪=--⎨⎪⎪-+⎩，≤，＜＜≥。

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北大附中高一下学期数学期末测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）： （1）下列说法中，正确的是（ ）A ．第二象限的角是钝角．B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．︒-831是第二象限角D ．'''40264409842095︒︒︒-，，是终边相同的角（2）下列四个等式中，①cos （360°＋300°）＝cos300°；②cos （180°-300°）=cos 300°；③cos （180°+300°）=-cos300°；④cos （360°-300°）=cos300°，其中正确的等式有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （3）已知=（0，1）、＝（0，3），把向量绕点A 逆时针旋转90°得到向量，则向量等于（ ）． A ．（-2，1） B ．（-2，0） C ．（3，4） D ．（3，1） （4）对于函数2tanxy =，下列判断正确的是（ ）． A ．周期为π2的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π2的偶函数（5）若23)2πsin(-=-x ，且2ππ<<x ，则x 等于（ ）． A ．π34B ．π67 C ．π35D ．π611（6）在ABC ∆中，若C b a cos 2=，则ABC ∆一定是（ ）．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（7）将函数412--=x x y 的图象按向量平移后的图象的解析式为2x y =，则等于（ ）． A ．)2121(， B ．)2121(-，C ．)2121(，-D ．)2121(--， （8）已知=（-2，-3）、ON ＝（1，1），点)21(，x P 在线段MN 的中垂线上，则x 等于（ ）．A ．25-B ．23-C ．27- D ．3-（9）已知｜｜＝3，b ＝（1，2），且∥，则的坐标为（ ）．A ．)556553(， B ．)556553(--， C ．)556553(±±， D ．)556553(，- （10）在下列各区间中，函数x x y cos sin +=的单调递增区间是（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2π， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π0， C ．[]0π，- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π4π，（11）设α是第三象限角，且2cos2cosαα-=，则2α所在象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （12）函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是（ ）． A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π-=x D ．π45=x 二、填空题（每小题4分，共16分）： （13）已知点A 分所成的比为31-，则点B 分所成的比为________．（14）︒+︒70cos 470tan 1的值是________．（15）已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为_______． （16）已知||＝4，||=2，|-2｜＝2，与的夹角为θ，则θcos 等于________．三、解答题：（17）（10分）已知31)3πtan(=+α、41)tan(=-βα，求)3πtan(+β的值．（18）（12分）求与向量＝（3，-1）和＝（1，3）的夹角均相等，且模为-2的向量的坐标．（19）（12分）已知)sin(βα+＝1，求证：ββαsin )2sin(=+．（20）（12分）已知｜｜＝1，｜｜＝2，与的夹角为3π． （Ⅰ）求·；（Ⅱ）向量＋λ与向量λ-的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．（21）（14分）已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． （Ⅰ）当函数y 取得最小值时，求自变量x 的集合．（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R ∈=x x y 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（22）（14分）如图，某观测站C 在城A 的南偏西︒20方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东︒40，在C 处测得距离C 处31千米的公路上的B 处有一辆正沿着公路向城A 驶去，行驶了20千米后到达D 处，测得C 、D 二处间距离为21千米，这时此车距城A 多少千米？参考答案一、（1）D ．（2）C ．①、③、④正确． （3）A ．)20(，=，=（-2，0），＝＋＝（-2，1）．（4）A ．π221π=÷=T ．)2tan(x -=2tan x-． （5）B ．23cos )2πsin(-==-x x ，)π23π(，∈x ，π676ππ=+=x ．（6）B ．∵ ac b a ab c b a b a 22222222-+=-+=⋅，∴ 2222c b a a -+=，∴ 22b c =．（7）C ．412--=x x y 化为2)21(21-=+x y ，令x'x =-21，y'y =+21，∴ 21-=h ，21=k ．＝)2121(，-．（8）A ．)32(--，M ，)11(，N ，中点为)121(--，Q ．＝（1，1）-（-2，-3）＝（3，4），)2321()121()21(，，，+=---=x x ．∵⊥，∴ 0234)21(3=++⋅⋅x ，∴ 25-=x ． （9）C ．设)sin 3cos 3(θθ，=，则0sin 3c os 32=-⋅θθ，∴ θθ,2tan =为第一、三象限角，求出θsin 、θcos ，也可用试值法，代入检验．（10）B ．)4πsin(2cos sin +=+=x x x y ，作出图象加以判断．（11）B ．α是第三象限角，则2α是第二或第四象限角．由02cos ≤α，故2α是第二象限角．（12）A ．把各选择题的直线方程代入函数解析式中，使得y 取得最大值1或最小值-1的直线为函数图象的对称轴，化简函数解析式为x y cos =，逐一代入检验，选A ．二、（13）由已知得B 是的内分点，且2||＝||，故B 分的比为21． （14）︒︒︒+︒=︒+︒︒=︒+︒70sin 70cos 70sin 470cos 70cos 470sin 70cos 70cos 470tan 1＝︒︒-︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒70sin )3070sin(270cos 70sin 40sin 270cos 70sin 140sin 270cos＝︒︒︒-︒︒+︒⋅70sin 30sin 70cos 230cos 70sin 270cos ＝︒︒︒⋅70sin 30cos 70sin 2＝︒30cos 23=．（15）由已知易得π32,03π2,2=-==T T A ，∴ 3=ω，2πsin 1)3π3sin(==+⋅ϕ，令2ππ=+ϕ，则2π-=ϕ，∴ )2π3sin(2)(-=x x f （答案不唯一）．（16）｜-2｜2＝（-2）2＝（）2-4·＋4（）2＝42-4⨯4⨯2·87cos ,2cos 323224cos 22==-=⨯+θθθ． 三、（17）)3πtan(+β＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)()3π(tan βαa )tan()3πtan(1)tan()3π(tan βααβαα-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅ ＝131413114131=+-⋅． （18）设所求向量的坐标为),(y x ，由已知得422=+y x ，设),(y x与的夹角为θ，故θθco s 102cos )1()3()3()13()(2222⋅⋅⋅⋅=-++=-=-y x y x y x ，，，=θcos1023y x -，同理1023cos y x +=θ，故10231023y x y x +=-．∴ y x 2=．代入422=+y x 中，解得5521=y ，5522-=y ．∴ 5541=x ，5542-=x ．∴ 所求向量为)552554(，或)552554(--，． （19）由1)sin(=+βα，得0)cos(=+βα，故=++=+])sin[()2sin(αββαa ααβααβαcos sin )cos(cos )sin(=+++．又由1)sin(=+βα，得βα+ )(2ππ2N ∈+=k k ，所以βα-+=2ππ2k ，则)2πcos()2ππ2cos(cos ββα-=-+=k βsin =．于是ββαsin )2sin(=+．（20）（Ⅰ）·＝1；（Ⅱ）（＋λ）·（λ-）＝λ（）2＋（λ2-1）·-λ（）2＝λ＋λ2-1-4λ＝λ2-3λ-1．因为＋λ与λ-的夹角为钝角，所以（＋λ）·（λ-）＜0，令0132<--λλ，得21332133+<<-λ． （21）（Ⅰ）4341)1cos 2(411cos sin 23cos 2122++-=++=x x x x y )cos sin 2(x x1+＝45)6πcos 2sin 6πsin 2(cos 21452sin 432cos 41++=++⋅⋅x x x x ++=)6π2sin(21x45，取得最小值必须且只需π22π36π2k x +=+，即)π32πZ ∈+=k k x ，．所以当函数y 取得最小值时，自变量x 的集合为}Z π32π|{∈+=k k x x ，．（Ⅱ）将函数x y sin =依次进行如下变换：①把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6πsin(+=x y 的图象，②把所得的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)6π2sin(+=x y 的图象，③把所得的图象上各点的纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数)6π2sin(21+=x y 图象；④把所得的图象向上平移45个单位长度，得到函数45)6π2sin(21++=x y 的图象．即得到函数1cos sin 23cos 212++=x x x y 的图象．（22）在BC D ∆中，21=CD ，20=BD ，31=BC ，由余弦定理得,7120212312021cos 222-=⨯⨯-+=∠BDC 所以774co s 1s i n 2=∠-=∠B D C B D C ．在A C∆中，CD ＝21，=︒-∠=∠︒=︒+︒=∠)60sin(sin 604020BDC ACD CAD ，143560sin 60cos sin =︒∠-︒∠⋅⋅BDC BDC ．由正弦定理得=∠∠=⋅CAD ACD CD AD sin sin 1523143521=⋅（千米）．所以此车距城A 有15千米．。

北大附中高一下期末考试(三角函数、平面向量)

北大附中高一下期末考试(三角函数、平面向量)

高一下学期数学期末测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）： （1）下列说法中，正确的是（ ）A ．第二象限的角是钝角．B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．︒-831是第二象限角D ．'''40264409842095︒︒︒-，，是终边相同的角 （2）下列四个等式中，①cos （360°＋300°）＝cos300°；②cos （180°-300°）=cos 300°；③cos （180°+300°）=-cos300°；④cos （360°-300°）=cos300°，其中正确的等式有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （3）已知=（0，1）、＝（0，3），把向量绕点A 逆时针旋转90°得到向量，则向量等于（ ）． A ．（-2，1） B ．（-2，0） C ．（3，4） D ．（3，1） （4）对于函数2tanxy =，下列判断正确的是（ ）． A ．周期为π2的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π2的偶函数（5）若23)2πsin(-=-x ，且2ππ<<x ，则x 等于（ ）． A ．π34B ．π67C ．π35 D ．π611（6）在ABC ∆中，若C b a cos 2=，则ABC ∆一定是（ ）．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（7）将函数412--=x x y 的图象按向量平移后的图象的解析式为2x y =，则等于（ ）． A ．)2121(， B ．)2121(-，C ．)2121(，-D ．)2121(--， （8）已知=（-2，-3）、ON ＝（1，1），点)21(，x P 在线段MN 的中垂线上，则x 等于（ ）．A ．25-B ．23-C ．27- D ．3-（9）已知｜｜＝3，b ＝（1，2），且∥，则的坐标为（ ）．A ．)556553(， B ．)556553(--， C ．)556553(±±， D ．)556553(，- （10）在下列各区间中，函数x x y cos sin +=的单调递增区间是（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2π， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π0， C ．[]0π，- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π4π，（11）设α是第三象限角，且2cos2cosαα-=，则2α所在象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （12）函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是（ ）． A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π-=x D ．π45=x 二、填空题（每小题4分，共16分）： （13）已知点A 分所成的比为31-，则点B 分所成的比为________．（14）︒+︒70cos 470tan 1的值是________．（15）已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为_______． （16）已知||＝4，||=2，|-2｜＝2，与的夹角为θ，则θcos 等于________．三、解答题：（17）（10分）已知31)3πtan(=+α、41)tan(=-βα，求)3πtan(+β的值．（18）（12分）求与向量＝（3，-1）和＝（1，3）的夹角均相等，且模为-2的向量的坐标．（19）（12分）已知)sin(βα+＝1，求证：ββαsin )2sin(=+．（20）（12分）已知｜｜＝1，｜｜＝2，与的夹角为3π． （Ⅰ）求·；（Ⅱ）向量＋λ与向量λ-的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．（21）（14分）已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． （Ⅰ）当函数y 取得最小值时，求自变量x 的集合．（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R ∈=x x y 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（22）（14分）如图，某观测站C 在城A 的南偏西︒20方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东︒40，在C 处测得距离C 处31千米的公路上的B 处有一辆正沿着公路向城A 驶去，行驶了20千米后到达D 处，测得C 、D 二处间距离为21千米，这时此车距城A 多少千米？参考答案一、（1）D ．（2）C ．①、③、④正确． （3）A ．)20(，=，=（-2，0），＝＋＝（-2，1）．（4）A ．π221π=÷=T ．)2tan(x -=2tan x-． （5）B ．23cos )2πsin(-==-x x ，)π23π(，∈x ，π676ππ=+=x ．（6）B ．∵ ac b a ab c b a b a 22222222-+=-+=⋅，∴ 2222c b a a -+=，∴ 22b c =．（7）C ．412--=x x y 化为2)21(21-=+x y ，令x'x =-21，y'y =+21，∴ 21-=h ，21=k ．＝)2121(，-．（8）A ．)32(--，M ，)11(，N ，中点为)121(--，Q ．＝（1，1）-（-2，-3）＝（3，4），)2321()121()21(，，，+=---=x x ．∵⊥，∴ 0234)21(3=++⋅⋅x ，∴ 25-=x ． （9）C ．设)sin 3cos 3(θθ，=，则0sin 3c os 32=-⋅θθ，∴ θθ,2tan =为第一、三象限角，求出θsin 、θcos ，也可用试值法，代入检验．（10）B ．)4πsin(2cos sin +=+=x x x y ，作出图象加以判断．（11）B ．α是第三象限角，则2α是第二或第四象限角．由02cos ≤α，故2α是第二象限角．（12）A ．把各选择题的直线方程代入函数解析式中，使得y 取得最大值1或最小值-1的直线为函数图象的对称轴，化简函数解析式为x y cos =，逐一代入检验，选A ．二、（13）由已知得B 是的内分点，且2||＝||，故B 分的比为21． （14）︒︒︒+︒=︒+︒︒=︒+︒70sin 70cos 70sin 470cos 70cos 470sin 70cos 70cos 470tan 1＝︒︒-︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒70sin )3070sin(270cos 70sin 40sin 270cos 70sin 140sin 270cos＝︒︒︒-︒︒+︒⋅70sin 30sin 70cos 230cos 70sin 270cos ＝︒︒︒⋅70sin 30cos 70sin 2＝︒30cos 23=．（15）由已知易得π32,03π2,2=-==T T A ，∴ 3=ω，2πsin 1)3π3sin(==+⋅ϕ，令2ππ=+ϕ，则2π-=ϕ，∴ )2π3sin(2)(-=x x f （答案不唯一）．（16）｜-2｜2＝（-2）2＝（）2-4·＋4（）2＝42-4⨯4⨯2·87cos ,2cos 323224cos 22==-=⨯+θθθ． 三、（17）)3πtan(+β＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)()3π(tan βαa )tan()3πtan(1)tan()3π(tan βααβαα-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅ ＝131413114131=+-⋅． （18）设所求向量的坐标为),(y x ，由已知得422=+y x ，设),(y x与的夹角为θ，故θθco s 102cos )1()3()3()13()(2222⋅⋅⋅⋅=-++=-=-y x y x y x ，，，=θcos1023y x -，同理1023cos y x +=θ，故10231023y x y x +=-．∴ y x 2=．代入422=+y x 中，解得5521=y ，5522-=y ．∴ 5541=x ，5542-=x ．∴ 所求向量为)552554(，或)552554(--，．（19）由1)sin(=+βα，得0)cos(=+βα，故=++=+])sin[()2sin(αββαa ααβααβαcos sin )cos(cos )sin(=+++．又由1)sin(=+βα，得βα+ )(2ππ2N ∈+=k k ，所以βα-+=2ππ2k ，则)2πcos()2ππ2cos(cos ββα-=-+=k βsin =．于是ββαsin )2sin(=+．（20）（Ⅰ）·＝1； （Ⅱ）（＋λ）·（λ-）＝λ（）2＋（λ2-1）·-λ（）2＝λ＋λ2-1-4λ＝λ2-3λ-1．因为＋λ与λ-的夹角为钝角，所以（＋λ）·（λ-）＜0，令0132<--λλ，得21332133+<<-λ． （21）（Ⅰ）4341)1cos 2(411cos sin 23cos 2122++-=++=x x x x y )cos sin 2(x x1+＝45)6πcos 2sin 6πsin 2(cos 21452sin 432cos 41++=++⋅⋅x x x x ++=)6π2sin(21x45，取得最小值必须且只需π22π36π2k x +=+，即)π32πZ ∈+=k k x ，．所以当函数y 取得最小值时，自变量x 的集合为}Z π32π|{∈+=k k x x ，．（Ⅱ）将函数x y sin =依次进行如下变换：①把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6πsin(+=x y 的图象，②把所得的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)6π2sin(+=x y 的图象，③把所得的图象上各点的纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数)6π2sin(21+=x y 图象；④把所得的图象向上平移45个单位长度，得到函数45)6π2sin(21++=x y 的图象．即得到函数1cos sin 23cos 212++=x x x y 的图象．（22）在BC D ∆中，21=CD ，20=BD ，31=BC ，由余弦定理得,7120212312021cos 222-=⨯⨯-+=∠BDC 所以774co s 1s i n 2=∠-=∠B D C B D C ．在A C∆中，CD ＝21，=︒-∠=∠︒=︒+︒=∠)60sin(sin 604020BDC ACD CAD ，143560sin 60cos sin =︒∠-︒∠⋅⋅BDC BDC ．由正弦定理得=∠∠=⋅CAD ACD CD AD sin sin 1523143521=⋅（千米）．所以此车距城A 有15千米．。

2018-2019学年北京市西城区北师大附中高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市西城区北师大附中高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年 北京市西城区北师大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：()0,2和()2,1--；半径分别为：11r =，24r = 则圆心距：d ==2121r r d r r -<<+Q ∴两圆位置关系为：相交本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定. 2．在ABC ∆中，若3b =，6A π=，4B π=，则a =（）ABC ．D ．2【答案】D【解析】由正弦定理构造方程即可求得结果. 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得：33sinsin 6sin 2sin 4b A a B ππ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.3．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。

若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）A．30 B．40 C．70 D．90【答案】C【解析】根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.【详解】由题意可得，抽样比为：201 120060=则小学和初中共抽取：()1240018007060+⨯=人本题正确选项：C【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.4．下列命题中不正确的是（）A.平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB.平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线【答案】A【解析】逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：A. 平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，可能a在平面β内或与β相交，a不一定平行于平面β，题中说法错误；B . 由面面平行的定义可知：若平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，题中说法正确；C . 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；D . 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确. 本题选择A 选项. 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5．如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥A -BB 1C 1的体积为（）A ．312B 3C ．612D ．64【答案】A【解析】根据垂直关系可知11113A BCC B ACC ABC V V S BB --∆==⋅，计算可得13A BCC V -=；由111BCC BB C S S ∆∆=且A 到平面11BB C C 的距离固定，可知111A BB C A BCC V V --=，从而可得结果. 【详解】Q 三棱柱的棱长均为1 ABC ∆∴为等比三角形1311sin 6024ABC S ∆∴=⨯⨯⨯=o 1AA ⊥Q 平面ABC ，11//AA BB 1BB ∴⊥平面ABC11113312A BCC B ACC ABC V V S BB --∆∴==⋅=111BCC BB C S S ∆∆=Q 1113A BB C A BCC V V --∴==本题正确选项：A 【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键是能够通过体积桥的方式将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=o ，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错．误．的是（ ）A ．AD PB ⊥B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBD D ．三棱锥D PBQ -的体积为14【答案】B【解析】根据余弦定理可求得23BD =，利用勾股定理证得AD DB ⊥，由线面垂直性质可知PD AD ⊥，利用线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PBD ，利用线面垂直性质可知A 正确；假设B 正确，由DB BC ⊥和假设可证得DB ⊥平面PBC ，由线面垂直性质可知DB PB ⊥，从而得到//PB PD ，显然错误，则B 错误；由面面垂直判定定理可证得C 正确；由1122D PBQ D PBC C PBD V V V ---==可求得三棱锥体积，知D 正确，从而可得选项. 【详解】1AD =Q ，2AB =，60DAB ∠=o2222cos 3BD AD AB AD AB DAB ∴=+-⋅∠=222AD BD AB ∴+= AD DB ∴⊥PD ⊥Q 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ∴⊥PD AD又,PD DB ⊂平面PBD ，PD DB D =I AD ∴⊥平面PBDPB ⊂Q 平面PBD AD PB ∴⊥，则A 正确；若PQ DB ⊥，又//AD BC 且AD DB ⊥ DB BC ∴⊥,PQ BC ⊂Q 平面PBC ，PQ BC C =I DB ∴⊥平面PBCPB ⊂Q 平面PBC DB PB ∴⊥又DB PD ⊥ //PB PD ∴，与PB PD P =I 矛盾，假设错误，则B 错误；AD ⊥Q 平面PBD ，//AD BC BC ∴⊥平面PBD又BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PBD ，则C 正确；Q Q 为PC 中点 111226D PBQ D PBC C PBD PBD V V V S BC ---∆∴===⋅PD BD ==Q PD DB ⊥ 1322PBDS PD BD ∆∴=⋅= 1311624D PBQ V -∴=⨯⨯=，则D 正确本题正确选项：B 【点睛】本题考查立体几何中相关命题的判断，涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用、面面垂直关系的判定、三棱锥体积的求解等知识，是对立体几何部分的定理的综合考查，关键是能够准确判定出图形中的线面垂直关系.7．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U【答案】D【解析】由直线方程可得直线恒过点()1,0C ，利用两点连线斜率公式可求得临界值AC k 和BC k ，从而求得结果. 【详解】直线()1y k x =-恒过点()1,0C则20131AC k -==-，10101BC k -==-- (][),11,k ∴∈-∞-+∞U 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.8．“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ．【考点】两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．9．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．2,3]B ．[2,5]C ．2,6]D ．2,7]【答案】C【解析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH ==+=min 112EF ∴=+max 156EF +=则线段EF 长度的取值范围为：2,6⎡⎣本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.10．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．21123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】先求得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （b a -，0），由b a-≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b 13=；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13＜b 12＜； ③若点M 在点A 的左侧，求得13＞b＞122-．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果． 【详解】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12）， 把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=． ②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12， 即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得 b 12＜， 故有13＜b 12＜． ③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|． 由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得2（1﹣b ）21a =-＜1，∴1﹣b 2，化简可得 b ＞122-， 故有122-b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是 2112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题11．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为________. 【答案】56【解析】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋； 甲不输，即甲获胜或和棋，∴甲不输的概率为115326P =+=12．在ABC ∆中，若3a =，4c =，1cos 4C =-，则b =________。

北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学2024.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，且，则a 可以为（）A. －2B. －1C.D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 3. 若向量，，，则（ ）A.B. C. 4D. 4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ）A. B. C D. 6. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D. 7. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数茎叶图如图所.的{}220A x x =-<a A ∈321iz+()2,1-z =13i +3i +3i-+13i--()2,5a = ()1,2b x x =-+ a b ⊥ x =1717-4-()f x =()1,1-()()1,12,-+∞ [)2,+∞()[)1,12,∞-⋃+ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭tan y x =sin y x =212cos y x=-sin cos y x x=-1x <-210x ->12x x+<-sin 0x x ->cos 0x x +>{}n a {}n a {}n a ()*312N n n n n a a a a n +++⋅=⋅∈示，则下列结论错误的是（ ）A. 甲命中个数的极差为29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲每组命中个数的中位数是259. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ）A. B. C.D.10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）A. 72B. 74C. 76D. 78二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.12. 现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为_____________.13. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.14. 已知函数，则_____________.15. 若等差数列满足.对，在中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④.所有正确的命题的序号是_____________.1a 2a 3a 4a 5a 5a 81-27-181127G G L L D=L 0L D G 0G 0.50.40.20.21g20.3010≈{}n a 11a =12n n a a +=+{}n a 1010S =()2,11,1x a x f x ax x x ⎧≤=⎨-+>⎩0a >1a ≠a a ()22sin sin 2cos f x x x x =+-5π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a ()*3Nn a n n =∈*N k ∀∈{}na ()12,2kk +kT kTk b k c k L k S 12,,,,k c c c 32kk k b c +=⨯1k L k ≥-413kkS <<三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，，，分别为，，所对的边，已知.（1）求的大小；（2）若且的长.17. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求满足条件最大整数.18. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）证明：对，函数有且仅有两个极值点，，并求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围.19. 某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试.现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下：等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀1091.3491良好883.98841及格 16702270.2不及格60以下649.6649.1总计\4075.04071.9（1）若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率；（2）在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（3）已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大的.ABC V a b c A ∠B ∠C ∠()sin 2a C c A =-A 2226a b c c -=-ABC S =V a {}n a 123a =()*121n n n a a n a +=∈+N 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a 121112025na a a +++< n ()()2xf x x a e =-0a =()y f x =()()00f ，R a ∀∈()f x 1x 212()x x x <()f x ()()()2112214x f x x f x x x -≥-a []90100，[]8089，[]6079，于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9.经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论）20. 已知函数，.（1）若曲线在处切线过原点，求的值；（2）若在上最小值为1，求的值；（3）当时，若，都有，求整数的最小值.21. 对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，.（1）当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及；①；②；③；（2）当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值.（3）给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值.()ln 1f x k x x =++R k ∈()y f x =()()1,1f k ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 1k =()0,x ∞∀∈+()()22f x m x x ≤+m 3n ≥12:,,...,n A a a a 1i j n ≤<≤i j a a =A T B B 121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-+-+121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-++-()B T A =0:0,0,...,0A n 00A m T 12,,...,m A A A ()1i i A T A -=1,2,...,i m =4n =0A m T m 121,,...,m A A A -2,0,0,2-2,1,0,2-3,0,1,2--5n =0A m T :,1,0,1,2m A x --x m 5n ≥m A n m北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学 答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】##09.100910【13题答案】【答案】①. 2（满足均可）②. 【14题答案】【15题答案】【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）证明略， （2）2024【18题答案】【答案】（1） （2）答案略 （3）【19题答案】【答案】（1） （2）（3）去掉的等级为优秀.【20题答案】【答案】（1） （2）或 （3）1【21题答案】【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以1a >()0,1π6A =a =221nn na =+0y =2a ≥17203101k =1ek =e k =-4m =1:1,0,0,1A -2:1,1,1,1A --3:2,0,1,1A --（2），（3）2x =5m =324n n -。

北大附中高一下学期数学期末考试

北大附中高一下学期数学期末考试

北大附中高一下学期数学期末考试班张：____________ 姓名：_________ 成绩：__________一、选择题（下列各题只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填写在答题卡上对应的位置，每个小题3分，共14小题，计42分）1．设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tgA ，tgB 是方程01562=+-x x 的两个实数根，那么△ABC 是（）（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形 （C ）等腰直角三角形（D ）等边三角形 2．已知α为锐角，1160=ctga ，则cos α的值等于（）（A ）6160（B ）6113 （C ）6013（D ）61113．函数)3)(cos 1(sin 22++=x x y 的最大值是（）（A ）4（B ）421 （C ）6（D ）4254．将函数)321sin(π+=x y 的图象作如下那种变换，才能得到函数)21sin(x y =的图象？（）（A ）向右平移3π（B ）向左平移3π（C ）向右平移32π（D ）向左平移32π5．函数)4(sin )4(cos 44ππ+-+=x x y 在同一个周期内的图象是（）6．函数)24sin()24sin(x x y -+=ππ的最小正周期是（）（A ）2π（B ）π （C ）2π（D ）4π7．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（）（A ）（-4，0]（B ）[-4，0） （C ）[-4，0]（D ）[0，4]8．圆台的侧面面积是它内切球表面积的34倍，则圆台母线和底面所成的角的大小是（）（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）75°9．圆锥侧面展开图是一个半径为12的半圆，则这个圆锥的内切球体积是（） （A ）π34（B ）π332 （C ）π38（D ）π31610．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S ，那么圆柱的体积为（） （A ）S S 2（B ）πSS 2（C ）S S 4（D ）πSS 411．长方体的一个顶点上的三条棱分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（） （A ）π220（B ）π225 （C ）50π（D ）200π12．圆锥的侧面积为8π，侧面展开图的圆心角是4π，则圆锥的体积为（）（A ）π7（B ）π72（C ）π73（D ）π7613．正四棱锥P-ABCD 中，高PO 的长是底面长的21，且它的体积等于334cm ，则棱AB 与侧面PCD 之间的距离是（） （A ）32cm （B ）32cm（C ）31cm （D ）322cm14．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则角C 的大小为（） （A ）6π（B ）65π （C ）6π或65π（D ）3π或32π二、填空题（请把你认为的正确答案填写在答题卡的对应项内，每小题3分，共12分） 15．函数x x y 2sincos 44-+-=的最大值是______最小值是________。

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北大附中18-18年下学期高一数学期末考试一、选择题：本大题共10小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．点P 分的比为31，则点B 分的比为（ ） A.43 B. 43- C. 34 D. 34- 2．向量a 把点（2，－3）平移到（－2，3），则它把点（6，2）平移到（ ）A.（4，－6）B.（－4，6）C.（2，8）D.（－2，－8）3．OA=（2，8），OB=（－7，2），则31AB=（ ） A （3，2） B （－3，－2） C （35-，4） D （35-，310-） 4．设i=（1，0），（0，1），a=2i+3j ，4j ，若a ⊥ b 则实数k=（ ）A.－6B.6C.3D.－35．若A （1，1），B （2，－4），C （x ，－9）三点共线，则x 值是（ ）A.3B.－1C.5D.4.56．若sin θ＞0且tan θ＞0则θ是第（ ）象限角。

A.一B.二C.三D.四7．如果角θ过点（2sin30°，－2cos30°），则sin θ=（ ）A.21B. 21-C. 321-D. 321 8．在区间[2π，π]，有（ ） A. sinx 增cosx 减 B. sinx 增cosx 增C. sinx 减cosx 增D. sinx 减cosx 减9．三角形ABC 中，如果AB=2，BC=3，CA=7那么角B=（ ）A 60°B 120°C 30°D 150°10．三角形ABC 中，BC=32，AC=22，角A=45°，则A=（ ）A 60°或120°B 60°C 30°D 30°或150°二、填空题，本大题共5小题。

每题4分。

1．点A （5，3），点B （1，－1），点C （－6，3），点D （0，5），线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则|MN|=_______________。

2023北京北师大附中高一下学期期末数学试题及答案

2023北京北师大附中高一下学期期末数学试题及答案

2023北京北师大附中高一（下）期末数 学考生须知1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，考生应将答题纸交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知角α的终边经过点34(,)55P −，则tan α=（ ） A. 43−B. 34−C.43D.342. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1−−，则复数z 的共轭复数z =（ ） A. 2i −−B. 2i −+C. 2i +D. 2i −3. 已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥ C. 若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥D. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α4. 已知正方体1111ABCD A B C D −，直线1BD 与直线1AA 所成角的余弦值是（ ）A. 12B.13C.3D.35. 在ABC 中，若2a =，3b =，()1cos 3A B +=，则c =（ ）B. 4D. 36. 函数()sin(2)(,)f x A x A R ϕϕ=+∈的部分图象如图所示，那么(0)f =（ ）A. 12−B.C. 1−D. 7. 已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（ ）A. B. 2] C. [0,2]D. [2,4]8. 在ABC 中，π4A =，则“sin 2B <”是“ABC 是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折起后点D 记为D ．若2BD '=，则四面体ABCD '的体积为（ ）A.3B.3C.10. 如图，圆E 为ABC 的外接圆，4AB =，6AC =，D 为边BC 的中点，则AD AE ⋅=（ ）A. 26B. 13C. 10D. 5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数21iz =+，则z =__________． 12. 已知正方形ABCD 的边长为2，则AB AC +=_________.13. 如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，3AC =，2BC =，点D 在棱AC 上，且2AD DC =，点E 在棱1BB 上，若三棱锥A BDE −的体积是43，则棱1BB 的长度可以是_________.（写出一个符合要求的值）14. 已知函数1()sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ω=________，ϕ=________．15. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，1AB =，点M 为直线1B C 上的动点，则下列四个命题： ①连接1D M ，总有1//D M 平面1A BD ； ②1AC ⊥平面1A BD ；③动点M 到直线BD 的距离的最小值是3； ④设CM x =，则三棱锥1A ADM −的体积随着x 增大而增大. 其中正确的命题的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC 中，4a =，3b =，1cos 3A =. （1）求sinB 的值：（2）求c 的值和ABC 的面积17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2AB =，E ，F 分别是线段1A C ，AB 的中点.（1）求证：平面1A DC ⊥平面11ADD A ； （2）求三棱锥1FACA −的体积；（3）求证：//EF 平面1A AD ；18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点.（1）求证：PC BD ⊥；（2）若2PA AB AC ===，求点A 到平面EBC 的距离：（3）直线AD 上是否存在一点M ，使得P ，M ，E ，F 四点共面?若存在，求AMAD的值；若不存在，说明理由.19. 已知有限数列{}n a 共M 项(4)M ≥，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列{}n a 的各项和记为S ． （1）若{1,2}(1,2,,)n a n M ∈=，直接写出,M S 的值； （2）若{}1,2,3,2,()1,n a n M ∈=，求M 的最大值；（3）若*(1,2,,),16n a n M M ∈==N ，求S 的最小值参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】因为角α的终边经过点34(,)55P −，所以445tan 335α==−−.故选：A 2. 【答案】B【分析】根据给定条件，求出复数z ，再求出共轭复数作答. 【详解】依题意，2i z =−−，所以复数z 的共轭复数2i z =−+. 故选：B 3. 【答案】C【分析】根据平行与垂直关系相关定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交或异面，A 错误； 对于B ，若//m α，m n ⊥，则n 与α可能平行或相交，B 错误； 对于C ，由线面垂直性质可知：若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥，C 正确； 对于D ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，D 错误. 故选：C. 4. 【答案】D【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解.【详解】由于11//AA DD ,所以1DD B ∠即为直线1BD 与直线1AA 所成的角或其补角， 不妨设正方体的棱长为a，则1,BD BD ===，所以111cos 3DD DD B D B ∠===, 故选：D 5. 【答案】A【分析】利用余弦定理求解.【详解】因为()()1cos cos cos 3A B C C π+−=−==， 所以1cos 3=−C ，又2a =，3b =，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+−，149223173⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭，所以c = 故选：A 6. 【答案】C 【详解】2,22()2()326A k k Z k k Z πππϕπϕπ=⨯+=+∈∴=−+∈(0)2sin(2)16f k ππ=−+=−，选C.7. 【答案】D【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈. 故选：D 8. 【答案】A【分析】先判断如果sin 2B <能不能推出ABC 是钝角三角形，再判断如果ABC 是钝角三角形，是否一定有sin 2B <即可.【详解】如果sin 2B <，由于B 是三角形的内角，并且4A π=, 则04B π<<，2A B π+<，ABC 是钝角三角形，所以sin 2B <是充分条件；如果ABC 是钝角三角形，不妨设23B π=，则sin 2B => ，所以sin 2B <不是必要条件； 故选：A.9. 【答案】A【分析】先将正方形ABCD 折起得到四面体ABCD '，由BO AC ⊥，D O AC '⊥得AC ⊥平面OBD '，再求出AC ，,OB OD '的长度，证明OB OD '⊥，最后把四面体看做两个同底的三棱锥A BOD '−和C BOD '−拼接而成，即可用三棱锥的体积公式求体积.【详解】如图1，连接BD 与AC 相交于点O ，则AC BD ⊥.如图2，将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折起后点D 记为D ．因为BO AC ⊥，D O AC '⊥，BO D O O '=∩，BO ⊂平面OBD '，D O '⊂平面OBD '， 所以AC ⊥平面OBD '，因为正方形ABCD 边长为2，所以AC ==1122OB OD BD AC '==== 又因为2BD '=,所以222OB OD BD ''+=,所以OB OD '⊥. 所以四面体ABCD '的体积为1113323A BOD C BOD BOD V V SAC ''−−'⎛+=⨯⨯=⨯⨯= ⎝． 故选：A 10. 【答案】B【分析】由中点关系可得1()2AD AB AC =+，利用E 为ABC 的外接圆的圆心，可得2211||4822AE AB AB ⋅==⨯=，同理可得21||182AE AC AC ⋅==，即可得出结论． 【详解】由于D 是BC 边的中点，可得1()2AD AB AC =+， E 是ABC 的外接圆的圆心，∴2211||||cos ||4822AE AB AE AB BAE AB ⋅=∠==⨯=，同理可得21||182AE AC AC ⋅==， ∴11111()8181322222AD AE AB AC AE AE AB AE AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯=．故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【分析】根据复数的除法运算可得1i z =−，结合复数的几何意义即可求出模. 【详解】由21iz =+，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z −===−++−，所以z ==12.【答案】【分析】根据向量数量积以及模长公式即可求解. 【详解】由题意可知π2,22,,4AB AC ABAC ===， 24,2AB AC ∴=⋅=⨯故22222AB AC AB AC AB AC +⋅=++==，故答案为：13. 【答案】3（只要满足12BB ≥均可）【分析】根据锥体的体积公式结合等体积法即可求解. 【详解】由题意可知111114222332323A BDE E BDA ABDV V SEB AD BC EB EB EB −−==⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⋅=⇒=, 所以1BB 的长度不小于2即可，不妨取13BB =， 故答案为：3（只要满足12BB ≥均可） 14. 【答案】 ①. 2 ②. 3π−【详解】由图知函数的周期是72,266ππππωω−===，，又知511512212f sin ππϕ⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯+ ⎪⎝⎭，，5262k ππϕπ+=+，0k =时，3πϕ=−，故答案为(1)2；(2)3π−.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，可以先求出ϕ的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可. 15. 【答案】①②③【分析】利用面面平行的性质推理判断①；利用线面垂直的判定推理判断②；利用线面平行结合等体积法计算判断③；利用等体积法计算判断④作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，对角面11A B CD 是矩形，则111//,B C A D A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，于是1//B C 平面1A BD ，同理11//B D 平面1A BD ，而1111111,,B CB D B BC BD =⊂平面11B CD ，则有平面1//A BD 平面11B CD ，而1D M ⊂平面11B CD ，因此1//D M 平面1A BD ，①正确；1CC ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，则1CC BD ⊥，而1,BD AC AC CC C ⊥=，1,AC CC ⊂平面1ACC ，则有BD ⊥平面1ACC ，而1AC ⊂平面1ACC ，因此1AC BD ⊥，同理11AC A B ⊥，11,,A B BD B A B BD =⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，②正确；由①知，平面1//A BD 平面11B CD ，由于1B C 与BD 是异面直线，则点M 到直线BD 的距离最小值等于点1B 到平面1A BD 的距离h ， 正方体棱长为1，则11122113311,4222A BDA B BSBD S A B ====，由1111B A BD D A B B V V −−=，得1111133A BDA B BS h SAD ⋅=⋅，即122h =，解得h ，③正确；因为111//,B C A D A D ⊂平面1A AD ，1B C ⊄平面1A AD ，则1//B C 平面1A AD ， 因此点M 到平面1A AD 的距离为定值，而1A AD 的面积为定值， 于是三棱锥1A ADM −的体积11A ADM M A AD V V −−=为定值，④错误，所以正确的命题的序号是①②③. 故答案为：①②③【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用等体积法，求出三棱锥某个底面上的高即可.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）2； （2）1c =+，4ABC S =+△【分析】（1）利用平方关系、正弦定理求值作答. （2）利用余弦定理、三角形面积公式计算作答. 【小问1详解】在ABC 中，4a =，3b =，1cos 3A =，则sin =A ，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以3sin 3sin 42b A B a ⨯===. 【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+−，即21692c c =+−，而0c >，解得1c =+ABC 的面积1122sin 3(122)42223ABCSbcA ，所以1c =+，4ABC S =△ 17. 【答案】（1）见解析 （2）23（3）见解析【分析】（1）根据线面垂直即可求证面面垂直， （2）根据等体积法即可求解，（3）由中位线得线线平行，即可得到线面平行，进而可证面面平行，即可求解. 【小问1详解】在正方体中，由于CD ⊥平面11ADD A ,CD ⊂平面1A DC , 所以平面1A DC ⊥平面11ADD A 【小问2详解】1111111112122332323F ACA A ACF ACF V V SAA AF BC AA −−==⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 【小问3详解】取CD 中点为M ，连接,EM FM ,由于,,E F M 均为中点，所以1//,//EM A D MF AD ,ME ⊄平面1AA D ,1A D ⊂平面1AA D ,所以//EM 平面1AA D ,MF ⊄平面1AA D ,AD ⊂平面1AA D ,所以//FM 平面1AA D ,,,FM EM M FM EM ⋂=⊂平面EFM ，所以平面//EFM 平面1AA D ，由于EF ⊂平面EFM ,所以//EF 平面1AA D .18. 【答案】（1）见解析 （2）7（3）1 【分析】（1）根据线面垂直即可求证线线垂直，（2）根据等体积法，结合棱锥的体积公式即可求解，（3）根据线线平行可得线面平行，进而根据中位线，由线线平行的传递性即可求解.【小问1详解】连接,AC BD 相交于O ，由于底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥DB ,,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,所以BD PC ⊥【小问2详解】由题意可知：点A 到平面EBC 的距离即为点A 到平面PBC 的距离，设点A 到平面EBC 的距离为h ，由于2PA AB AC ===，PA ⊥平面ABCD ,所以PB PC ===,所以11222PBC S BC ==⨯=11sin 6022222ABCS BC AB =⋅=⨯⨯⨯=, 11337ABC A PBC P ABC PBC ABC PBC S PA V V S h S PA hS −−⋅=⇒=⋅⇒===， 【小问3详解】 取PD 中点为N ，连接AN ,延长DA ,使得DA AM =，连接PM ,由于,E N 均为中点，所以//,EN CD 且12EN CD =, 又1,//,2AF AB AB CD AB CD ==,所以//,EN AF 且EN AF =， 故四边形ANEF 为平行四边形，故//AN EF ,由于A 是MD 的中点，N 是PD 中点，所以//AN PM ,因此//EF PM ,所以P ,M ,E ,F 四点共面，故1AM AD=19. 【答案】（1）4,7M S ==；（2）8； （3）50【分析】（1）直接列举出数列{}n a ，即可求得,M S ；（2）先构造数列使8M =，再说明不同的等腰三角形只有6个，故628M ≤+=，即可求得M 的最大值；（3）先构造数列使50S =，再设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，即可求解.【小问1详解】边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，不合题意；若前三项为1，2，2，该数列只有4项，该数列只能为1，2，2，2；若前三项为2，2，2，该数列只有4项，该数列只能为2，2，2，1；综上：4,7M S ==；【小问2详解】①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时8M =.②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，即数列只有3项，与4M ≥矛盾，舍去.③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.又相邻的4项组成的2个等腰三角形中间2项是共用的，则总的项数为不同的等腰三角形的个数加上首尾2项，所以628M ≤+=.④由①②③，M 的最大值为8.【小问3详解】①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时50S =.②设T 为数列的每一组连续三项的和的和，则()()()()123234131415141516T a a a a a a a a a a a a =++++++++++++ ()121516121516322a a a a a a a a =++++−−−−，即116215322S T a a a a =++++.③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：2,2,1(5);2,2,2(6);2,2,3(7);3,3,1(7);3,3,2(8);3,3,3(9);;3,3,5(11);4,4,1(9);4,4,2(10);4,4,3(11);;4,4,7(15);5,5,1(11);5,5,2(12);5,5,3(13);;5,5,9(19);6,6,1(13);6,6,2(14);6,6,3(15);;6,6,11(23);其中画横线的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三项，故其对应的三角形在14个三角形中至多出现两个.④由③，要使S 最小，则使T 和11621522a a a a +++最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组， 在没画横线的连续三项中取合最小的12组，同时令1162151,1,2,3a a a a ====，则()()5767891011111213131414140T ≥+++++++++++++=，116215212123922a a a a ⨯+≥⨯+++++=，又由②，31409149S ≥+=，所以50S ≥.⑤由①④，S 的最小值为50.【点睛】本题关键点在于设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，将S 最小，转化为T 和11621522a a a a +++最小，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，再构造数列使50S =即可求解.。

新疆自治区北大附中新疆分校高一数学下学期期末考试试题(2021年整理)

新疆自治区北大附中新疆分校高一数学下学期期末考试试题(2021年整理)

新疆自治区北大附中新疆分校2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（新疆自治区北大附中新疆分校2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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北大附中新疆分校高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

) 1．已知向量()()12a m b m ==，，，,若a b ∥，则实数m 等于( ）A ．BC ．D ．02．若0sin <α且0tan >α，则α是 ( ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．在等差数列{}n a 中，若23=a ,则=++++54321a a a a a ( ） A ．6 B ．10 C ．16 D ．324.已知a ·b =10,a=5，b =4，则a 与b 的夹角θ=（ ） A ． 0 B. 60 C. 120 D 。

1506。

在锐角ABC ∆中，A b a sin 22=,则B =（ ) A. 045 B. 030 C. 0135 D. 0607.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时,序号n 等于（ ） Ａ．99Ｂ．96 Ｃ．100 Ｄ．1018. 圆x 2+y 2+4x=0的圆心坐标和半径分别是（ )A.（－2,0） 2 B 。

（－2，0） 4 C 。

(2,0） 2 D.（2,0) 4 9. 已知)4,5(),2,3(--B A ，则以AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．25)1(122=++-y x ）（ B ．25)1(122=-++y x ）（ C ．100)1(122=++-y x ）（ D ．100)1(122=-++y x ）（ 2≤y10.设变量y x ,满足约束条件 1≥+y x 则y x Z +=3的最大值为( ） 1≤-y xA ．12B ．11C ．3D ．-111. 若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ )A ．若a b >,则22ac bc >B ．若0a b >>,则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b <D ．若0a b <<,则b aa b> 12．函数21)(f +-=x xx 的定义域为( ) A 。

2024届北京师大附中数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届北京师大附中数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届北京师大附中数学高一第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设等差数列{a n }的前n 项的和S n ，若a 2+a 8＝6，则S 9＝（ ） A ．3B ．6C ．27D ．542．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．13+B ．23+C ．122+D ．223．若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（ ）倍． A ．B ．C ．D ．4．已知曲线C 的方程为x 2+y 2＝2（x+|y|），直线x ＝my+4与曲线C 有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞1或m ＜﹣1 B ．m ＞7或m ＜﹣7 C ．m ＞7或m ＜﹣1D ．m ＞1或m ＜﹣75．10名小学生的身高（单位：cm ）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105， 111，109；乙组：125，132，115， 121，119.两组数据中相等的数字特征是( )C ．方差、极差D ．极差、平均数6．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2 014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 014人中，每个人被抽取的可能性 ( ) A ．均不相等 B ．不全相等C ．都相等，且为251007D ．都相等，且为1407．已知α是第三象限的角，若1tan 2α=，则cos α=A ．BCD ．8．已知ππ042βα<<<<，且sin cos 5αα-=，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=（ ）A ．10B ．10-C D ．10-9．设偶函数()f x 定义在0022ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 上，其导数为()f x '，当02x π<< 时，()cos ()sin 0f x x f x x '+< ，则不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．0233πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，B ．0332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， C ．0033，，ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2332ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，10．在ABC ∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积是（ ）A B ．C D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京大学附属中学数学高一下期末(培优提高)

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一、选择题1．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．(0分)[ID ：12720]如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 4．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-5．(0分)[ID ：12692]已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．41n a n =-D ．41n a n =+6．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 8．(0分)[ID ：12629]设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=6057，则1a 2+4a 2018的最小值为A ．1B ．23C ．136D ．329．(0分)[ID ：12669]已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A． B ．3(0,]4C． D ．3[,1)410．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生13．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>14．(0分)[ID ：12640]在正三棱柱111ABC A B C -，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9015．(0分)[ID ：12652]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题16．(0分)[ID ：12805]不等式2231()12x x -->的解集是______． 17．(0分)[ID ：12794]若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 18．(0分)[ID ：12732]在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆3AC =__________．19．(0分)[ID ：12731]若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 20．(0分)[ID ：12730]若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 21．(0分)[ID ：12767]设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________．22．(0分)[ID ：12766]函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.23．(0分)[ID ：12748]已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .24．(0分)[ID ：12807]抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12877]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；27．(0分)[ID ：12832]ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.28．(0分)[ID ：12831]某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）29．(0分)[ID ：12844]在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.30．(0分)[ID ：12838]我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．A4．A5．C6．A7．D8．D9．A10．C11．D12．C13．A14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题17．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数18．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解19．x－y＋2＝0【解析】【分析】设直线l方程为y＝kx+b由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称利用得k由C1和C2的中点在直线l上可得b从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的20．【解析】故答案为21．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……23．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质24．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（），整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.6．A解析：A 【解析】【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.8．D解析：D 【解析】 【分析】先利用等差数列的求和公式得出S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，再利用等差数列的基本性质得出a 2+a 2018=a 1+a 2019=6，再将代数式a 2+a 2018和1a 2+4a 2018相乘，展开后利用基本不等式可求出1a 2+4a2018的最小值.【详解】由等差数列的前n 项和公式可得S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，所以，a 1+a 2019=6，由等差数列的基本性质可得a 2+a 2018=a 1+a 2019=6， ∴6(1a 2+4a2018)=(a 2+a 2018)(1a 2+4a2018)=5+4a 2a2018+a 2018a 2≥5+2√4a 2a2018⋅a 2018a 2=9，所以，1a 2+4a2018≥96=32，当且仅当4a 2a 2018=a 2018a 2，即当a 2018=2a 2时，等号成立，因此，1a 2+4a2018的最小值为32，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

北京大学附属中学(荣誉班)高一下学期期末考试数学试题

北京大学附属中学(荣誉班)高一下学期期末考试数学试题

北大附中2016-2017学年第2学期期末考试试卷数学荣誉课程2（元培荣誉课程）一、填空题（每空4分，共10空，40分）1．在ABC △中，a，b =30A =︒，则边长c =__________． 2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =+，则2017a =__________．3．已知二维直角坐标系中的点A 坐标为2(,32)a a a -+，a ∈R ，则A 不可能在第__________象限． 4．由1y x x =+，0x >的最小值是2，21y x x =+，0x >，31y x x =+，0x >的1ny x x =+，0x >的最小值是__________． 5．设地球的半径长度为单位1，地球表面上的两点A 、B 位于北纬45︒的纬线圈上，其经度分别为东经150︒、西经120︒，则这两个点的球面距离为__________． 6．如图为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为：__________．主视图7．对于直线a 、b 和平面α，以下四个命题中正确的个数为__________个： ①若a α∥，b a ∥，则b α∥； ②若a α⊂，{}b A α=，则a 与b 异面； ③若a b ∥，b α⊥，则a α⊥；④若a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则b α∥．8．直线960ax y +-=与直线20x ay +-=平行，则a =__________．9．在平面直角坐标系中，动点A 到点(0,3)-的距离不大于2，则A 到原点距离的最大值为__________．10．在平面直角坐标系中，已知圆A 过直线y x =和圆224x y +=的交点，且被交点所在的弦在圆A 中所对的圆心角为π3，则圆A 的标准方程为__________． 二、解答题（共6题，70分，其中第6题为附加题．只写结果不写过程不得分） 11．设数列{}n a 的首项12a a =≠-，且满足关系：121n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，注意公式中有文字（1）（2分）求2a ，3a ．（2）（5分）设212n n b a -=+，证明{}n b 为等比数列并求其通项公式． （3）（5分）求数列{}n a 的通项公式． 12．已知函数()2()0,af x x x a x=+>∈R 的最小值为3． （1）（5分）求a 的值．（2）（7分）解不等式()5f x >．13．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3BAD ∠=． F E DCBA（1）（4分）求证：平面BCF AED ∥平面．（注意排除重合情况） （2）（8分）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积．14．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD △为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）（6分）求证：AF ∥平面BCE ． （2）（5分）求证：平面BCE ⊥平面CDE15．如图所示，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，4BC =，E 是PD 的中点．PE DCBA（1）（9分）求二面角E AC D --的余弦值．（2）（4分）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值．16．（本题为附加题，共10分）在以下两个题目当中任选1题作答（解答时需注明所选题目）： （1）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）（2）证明半径已知的球面上两个定点之间所构成的圆弧（圆弧位于已知球表面）中，大圆所对应的劣弧最短．（提示：取倒数、利用锐角θ满足sin tan θθθ<<证明．此题如果用导数证明将酌情减分）。

北京师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题(国际班)

北京师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题(国际班)

北京师大附中2018-2019学年下学期高一年级期末考试数学试卷AP 本试卷第一部分有三道大题，考试总时长100分钟，满分100分。

第一部分:中文卷(80分)一、选择题:本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上。

1．一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积是( )A. 10B. 20C. 30D. 402．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A B．C．D．4．已知直线l⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是( )(1) α∥β⇒l⊥m (2) α⊥β⇒l//m(3) l∥m ⇒α⊥β(4) l⊥m ⇒α∥βA．(1)与(2) B．(3)与(4) C．(2)与(4) D．(1)与(3)5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α,则直线a与平面β的关系为( )A．a∥βB．a ⊂βC．a∥β或a ⊂βD．a∩β=A6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A．1个B．2个C．无数个D．1个或无数个7．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内( )A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任意一条都与l垂直8．正四棱柱的高为3cm,cm,则正四棱柱的侧面积为( )A、10B、24C、36D、40二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

请将答案填在答题纸上。

9．圆台的两底面半径分别为2cm和5cm,母线长是cm,则它的轴截面面积为___________．10．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________．11．平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是__________．12．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是___________．13．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是___________．14．正六棱柱底面边长为10,高为15,则这个正六棱柱的体积是__________．三、解答题:共3题，每题6分，共18分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

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北大附中2004年高一下学期数学期末测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）：（1）下列说法中，正确的是（ ）A ．第二象限的角是钝角．B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．︒-831是第二象限角D ．'''40264409842095︒︒︒-，，是终边相同的角（2）下列四个等式中，①cos （360°＋300°）＝cos300°；②cos （180°-300°）=cos 300°；③cos （180°+300°）=-cos300°；④cos （360°-300°）=cos300°，其中正确的等式有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （3）已知=（0，1）、＝（0，3），把向量绕点A 逆时针旋转90°得到向量，则向量等于（ ）．A ．（-2，1）B ．（-2，0）C ．（3，4）D ．（3，1） （4）对于函数2tanxy =，下列判断正确的是（ ）． A ．周期为π2的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π2的偶函数 （5）若23)2πsin(-=-x ，且2ππ<<x ，则x 等于（ ）． A ．π34 B ．π67 C ．π35 D ．π611 （6）在ABC ∆中，若C b a cos 2=，则ABC ∆一定是（ ）．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（7）将函数412--=x x y 的图象按向量平移后的图象的解析式为2x y =，则等于（ ）．A ．)2121(， B ．)2121(-，C ．)2121(，- D ．)2121(--， （8）已知=（-2，-3）、ON ＝（1，1），点)21(，x P 在线段MN 的中垂线上，则x 等于（ ）． A ．25-B ．23-C ．27- D ．3- （9）已知｜｜＝3，b ＝（1，2），且∥，则的坐标为（ ）．A ．)556553(， B ．)556553(--， C ．)556553(±±， D ．)556553(，-（10）在下列各区间中，函数x x y cos sin +=的单调递增区间是（ ）． A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2π， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π0， C ．[]0π，- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π4π， （11）设α是第三象限角，且2cos2cosαα-=，则2α所在象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（12）函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是（ ）．A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π-=x D ．π45=x 二、填空题（每小题4分，共16分）：（13）已知点A 分所成的比为31-，则点B 分所成的比为________．（14）︒+︒70cos 470tan 1的值是________．（15）已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为_______．（16）已知||＝4，||=2，|-2｜＝2，与的夹角为θ，则θcos 等于________．三、解答题：（17）（10分）已知31)3πtan(=+α、41)tan(=-βα，求)3πtan(+β的值．（18）（12分）求与向量＝（3，-1）和＝（1，3）的夹角均相等，且模为-2的向量的坐标．（19）（12分）已知)sin(βα+＝1，求证：ββαsin )2sin(=+．（20）（12分）已知｜｜＝1，｜｜＝2，与的夹角为3π． （Ⅰ）求·；（Ⅱ）向量＋λ与向量λ-的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．（21）（14分）已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． （Ⅰ）当函数y 取得最小值时，求自变量x 的集合．（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R ∈=x x y 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（22）（14分）如图，某观测站C 在城A 的南偏西︒20方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东︒40，在C 处测得距离C 处31千米的公路上的B 处有一辆正沿着公路向城A 驶去，行驶了20千米后到达D 处，测得C 、D 二处间距离为21千米，这时此车距城A 多少千米？参考答案一、（1）D ．（2）C ．①、③、④正确． （3）A ．)20(，=，=（-2，0），＝＋＝（-2，1）．（4）A ．π221π=÷=T ．)2tan(x -=2tan x -． （5）B ．23cos )2πsin(-==-x x ，)π23π(，∈x ，π676ππ=+=x ．（6）B ．∵ a c b a ab c b a b a 22222222-+=-+=⋅，∴ 2222c b a a -+=，∴22b c =．（7）C ．412--=x x y 化为2)21(21-=+x y ，令x'x =-21，y'y =+21，∴ 21-=h ，21=k ．＝)2121(，-． （8）A ．)32(--，M ，)11(，N ，中点为)121(--，Q ．＝（1，1）-（-2，-3）＝（3，4），)2321()121()21(，，，+=---=x x ．∵⊥，∴0234)21(3=++⋅⋅x ，∴ 25-=x ．（9）C ．设)sin 3cos 3(θθ，=，则0sin 3c os 32=-⋅θθ，∴ θθ,2tan =为第一、三象限角，求出θsin 、θcos ，也可用试值法，代入检验． （10）B ．)4πsin(2cos sin +=+=x x x y ，作出图象加以判断．（11）B ．α是第三象限角，则2α是第二或第四象限角．由02cos ≤α，故2α是第二象限角．（12）A ．把各选择题的直线方程代入函数解析式中，使得y 取得最大值1或最小值-1的直线为函数图象的对称轴，化简函数解析式为x y cos =，逐一代入检验，选A ．二、（13）由已知得B 是的内分点，且2||＝||，故B 分的比为21．（14）︒︒︒+︒=︒+︒︒=︒+︒70sin 70cos 70sin 470cos 70cos 470sin 70cos 70cos 470tan 1＝︒︒-︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒70sin )3070sin(270cos 70sin 40sin 270cos 70sin 140sin 270cos＝︒︒︒-︒︒+︒⋅70sin 30sin 70cos 230cos 70sin 270cos ＝︒︒︒⋅70sin 30cos 70sin 2＝︒30cos 23=．（15）由已知易得π32,03π2,2=-==T T A ，∴ 3=ω，2πsin 1)3π3sin(==+⋅ϕ，令2ππ=+ϕ，则2π-=ϕ，∴ )2π3sin(2)(-=x x f （答案不唯一）． （16）｜-2｜2＝（-2）2＝（）2-4·＋4（）2＝42-4⨯4⨯2·87cos ,2cos 323224cos 22==-=⨯+θθθ． 三、（17）)3πtan(+β＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)()3π(tan βαa )tan()3πtan(1)tan()3π(tan βααβαα-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅ ＝131413114131=+-⋅．（18）设所求向量的坐标为),(y x ，由已知得422=+y x ，设),(y x 与的夹角为θ，故θθc o s 102cos )1()3()3()13()(2222⋅⋅⋅⋅=-++=-=-y x y x y x ，，，=θcos1023y x -，同理1023cos y x +=θ，故10231023yx y x +=-．∴ y x 2=．代入422=+y x 中，解得5521=y ，5522-=y ．∴ 5541=x ，5542-=x ．∴ 所求向量为)552554(，或)552554(--，． （19）由1)si n (=+βα，得0)c o s (=+βα，故=++=+])s i n [()2s i n (αββαa ααβααβαcos sin )cos(cos )sin(=+++．又由1)sin(=+βα，得βα+ )(2ππ2N ∈+=k k ，所以βα-+=2ππ2k ，则)2πc o s ()2ππ2co s (c o s ββα-=-+=k βsin =．于是ββαsin )2sin(=+．（20）（Ⅰ）·＝1；（Ⅱ）（＋λ）·（λ-）＝λ（）2＋（λ2-1）·-λ（）2＝λ＋λ2-1-4λ＝λ2-3λ-1．因为＋λ与λ-的夹角为钝角，所以（＋λ）·（λ-）＜0，令0132<--λλ，得21332133+<<-λ．（21）（Ⅰ）4341)1cos 2(411cos sin 23cos 2122++-=++=x x x x y )cos sin 2(x x 1+＝45)6πcos 2sin 6πsin 2(cos 21452sin 432cos 41++=++⋅⋅x x x x ++=)6π2sin(21x45，取得最小值必须且只需π22π36π2k x +=+，即)π32πZ ∈+=k k x ，．所以当函数y 取得最小值时，自变量x 的集合为}Z π32π|{∈+=k k x x ，． （Ⅱ）将函数x y sin =依次进行如下变换：①把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6πsin(+=x y 的图象，②把所得的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)6π2sin(+=x y 的图象，③把所得的图象上各点的纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数)6π2sin(21+=x y 图象；④把所得的图象向上平移45个单位长度，得到函数45)6π2sin(21++=x y 的图象．即得到函数1cos sin 23cos 212++=x x x y 的图象．（22）在B C D ∆中，21=CD ，20=BD ，31=BC ，由余弦定理得,7120212312021cos 222-=⨯⨯-+=∠BDC 所以774cos 1sin 2=∠-=∠BDC BDC ．在ACD ∆中，CD ＝21，=︒-∠=∠︒=︒+︒=∠)60sin(sin 604020BDC ACD CAD ，143560sin 60cos sin =︒∠-︒∠⋅⋅BDC BDC ．由正弦定理得=∠∠=⋅C A DA C DCD AD sin sin1523143521=⋅（千米）．所以此车距城A 有15千米．。

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