第8章圆锥曲线专练14—探索性问题2-高三数学一轮复习

圆锥曲线专练14——圆锥曲线中的探索问题2

（1）求椭圆的方程；

（2）若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0OA OB =，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意可得c e a =

=

， 设12F PF θ∠=，1||PF m =，2||PF n =，由椭圆的定义可得2m n a +=，

由余弦定理可得2222242cos ()2(1cos )42(1cos )c m n mn m n mn a mn θθθ=+-=+-+=-+，

所以2222

2222()2221cos ()2a c b b b mn mn m n a

θ-+===+，

当且仅当m n =（即P 为椭圆的短轴端点时）取得等号，且12F PF ∠取得最大值，

此时△12PF F 的面积是

1

22

c b bc =②

由222a b c =+，③，联立①②③解得2a =，1b =，c =

则椭圆的方程为2

21:4

x y +=

（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程设为x n =，

由0OA OB =，可得AOB ∆为等腰直角三角形，

则可设(,)A n n ，所以2244n n +=，即24

5

n =

，此时原点到直线l 的距离为d =；

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

原点O 到直线l 的距离为d ，所以

d =

，即为222(1)m d k =+，

由22

44

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=， △2

2

2

(8)4(14)(44)0km k m =-+->，即2

2

14k m +>，122

814km

x x k +=-+，21224414m x x k -=+，

2222

2

2

2

1212121222

2

4484()()()()141414m km m k y y kx m kx m k x x km x x m k km m k k k --=++=+++=+-+=+++，

22222

1212222

4445440141414m m k m k OA OB x x y y k k k

----=+=+==+++，即225440m k --=，即2225(1)440d k k +--=恒成立，

即22(54)(1)0d k -+=恒成立，

所以2540d -=，所以d ， 所以定圆C 的方程为2245

x y +=

， 所以当0OA OB =时，存在定圆C 始终与直线l 相切，其方程为2245

x y +=

． 2．在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，若椭圆

（1）求抛物线C 和椭圆M 的方程；

（2）是否存在正数m ，对于经过点(0,)P m 且与抛物线C 有A ，B 两个交点的任意一条直线，都有焦点F 在以AB 为直径的圆内？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>经过点2(,)3E t ，且8

||3

EF =．

所以28323p +=，解得4p =，所以抛物线2:8C x y =，焦点(0,2)F ，216

3

t =

由题意知2216

41

392

a b

b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2264a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆22:164x y M +=； 故抛物线C 的方程为2

8x y =，椭圆M 的方程为22

164

x y +=．

（2）假设存在正数m 适合题意，由题意知直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为

y kx m =+，

由28x y

y kx m

⎧=⎨=+⎩消去y ，整理得2880x kx m --= 因为直线与抛物线有两个交点且0m >，所以△264320k m =+> 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x k +=，128x x m =-，

所以22

222

2121212121212()2()82,8864

x x x x x x x x y y k m y y m ++-+===+==

因为1122(,2),(,2)FA x y FB x y =-=-，

所以221212122()412416FA FB x x y y y y m m k =+-++=-+-

由题意知0FA FB <恒成立， 所以2212416m m k -+<恒成立

因为k R ∈，所以21240m m -+<

，解得66m -<<+又因为0m >

，所以66m -<<+故存在正数m 适合题意，此时m

的取值范围为(6-+．

A ，

过原点O 的直线l 与椭圆G 交于P ，Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M ． （Ⅰ）求椭圆G

的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l ，使得BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（Ⅰ）由题意可知：22

2

1

b c

a a

b

c =⎧⎪

⎪=⎨⎪=+⎪⎩

，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩．

∴椭圆G 的标准方程为2

214

x y +=．

（Ⅱ）设0(Q x ，0)y ，则0(P x -，0)y -，可知002x <<，001y <<． 若使BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍，只需使得||3||OQ MQ =， 即00222(,)333OM OQ x y ==，即0022

(,)33

M x y ．

由(2,0)A ，(0,1)B ，

∴直线AB 的方程为220x y +-=．

点M 在线段AB 上，∴

0024

2033

x y +-=，整理得0032x y =-，① 点Q 在椭圆G 上，∴22

0014

x y +=，②

把①式代入②式可得2

081250y y -+=， 判别式小于零，该方程无解．

∴不存在直线l ，使得BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍．