第六单元 反比例函数(能力提升)(解析版)
(必考题)初中数学九年级数学上册第六单元《反比例函数》检测题(有答案解析)(4)
一、选择题1．关于反比例函数y =4x，下列说法不正确的是（ ） A ．图象关于原点成中心对称 B ．当x >0时，y 随x 的增大而减小C ．图象与坐标轴无交点D ．图象位于第二、四象限 【答案】D【分析】 根据反比例函数图象的性质判断即可．【详解】解：根据反比例函数的性质可知，图象关于原点成中心对称，图象与坐标轴无交点，所以A 、C 不符合题意；因为比例系数是4，大于0，所以当x >0时，y 随x 的增大而减小，故B 不符合题意； 因为比例系数是4，大于0，所以图象位于第一、三象限，故D 错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．2．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点O 在坐标原点，另外两个顶点A 、B 均在反比例函数(0)k y k x=≠的图像上，分别过点A 、点B 作y 轴、x 轴的平行线交于点C ，连接OC 并延长OC 交AB 于点D ，已知C （1，2），△BDC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．3B ．3C ．6+2D ．8【答案】C【分析】 过B 、C 分别做BE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，过D 作DG ⊥BC ，DH ⊥AB ，设BC=a ，由点C 的坐标即可表示点B 、C 的坐标，即可得出AC 与BC 的比值，由相似三角形的判定易证得△COF ∽△DCG ，得出DG 与DH 的比值，得出22ABC BCD ACD SS S ==，由三角形面积公式列出关于a 的等式，求得a 的值得出B 点坐标，即可求得k 值．【详解】解：过B 、C 分别做BE ⊥x 轴垂足为E ，延长AC 交x 轴于F ，过D 作DG ⊥BC ，DH ⊥AB ，垂足为G 、H ．∵ C （1，2）∴ OF=1，CF=2=BE ，则点A 的横坐标为1，点B 的纵坐标为2，设BC=a ，则B （a+1，2）∵B 在反比例函数k y x=的图像上， ∴()21k a =+， ∵A 在反比例函数k y x=的图像上，且点A 的横坐标为1， ∴A 点的纵坐标为：22y a =+，即点A （1，2a+2）， ∴ AC=AF-CF=2a+2-2=2a ，∴ 12AC BC =， ∵ BC//x 轴，CF ⊥x 轴，DG ⊥BC ，∠COF=∠DCG ，∠CFO=∠DGC=90°，∴ △COF ∽△DCG ，∴ 21CF D CG OF G ==，即21DG DH =， ∴ 3BCD ACD SS ==， ∴6ABC S =， ∴162AC BC ⋅⋅=，即1262a a ⨯⨯=， ∴ 6a =∴ B （62），∴ k=226+故选：C【点睛】本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，注意准确作出辅助线，求得点B 的坐标是关键．3．已知点()11,x y ，()22,x y 是反比例函数1y x =图象上的两点，若120x x >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．120y y >>B ．210y y >>C ．120y y >>D ．120y y >> 【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中哪个是一定成立的，从而可以解答本题．【详解】解：∵y=1x中，k=1＞0 ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y=1x 图象上的点，x 1＞0＞x 2， ∴y 1＞0＞y 2，故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．4．如图，A 、B 分别是反比例函数()40y x x=>图象上的两点，连结OA 、OB ，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、E ，且AC 交OB 于点D ，若43OAD S ∆=，则CD BE的值为（ ）A ．13B ．33C ．12D ．22【答案】B【分析】先利用反比例函数系数k 的几何意义得到S △AOC =S △BOE =2，则23OCD S ∆=，再证明△OCD ∽△OEB ，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】解：∵AC ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，∴S △AOC =S △BOE =12×4=2， ∴S △OCD =2-43=23， ∵CD ∥BE ，∴△OCD ∽△OEB ，∴2213()332OCDOEB S CD S EB∆∆===， ∴3CD BE =． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=k x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．5．某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）A ．4月份的利润为45万元B ．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C ．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元D ．9月份该企业利润达到205万元【答案】D【分析】先根据图象求出反比例函数的解析式，将横坐标为4代入求得利润即可判断A ，根据图象求出一次函数的解析式，即可判断B ，将135代入两个函数求对应的x 的值即可；将x=9代入求利润即可；【详解】A 、由图象得反比例函数经过点(1，180)，∴ 反比例函数的解析式为：180y x= ， 将x=4代入得：y=45，故该选项不符合题意；B 、将(4，45)，(5，75)代入一次函数解析式，45=4755k b k b +⎧⎨=+⎩， 解得3075k b =⎧⎨=-⎩， 求得一次函数解析式为：3075y x =- ，故该选项不符合题意； C 、将y=135代入180y x =和3075y x =-中， 180135x = 解得：x=43； 135=3075x - 解得：x=7，故该选项不符合题意；D 、将x=9代入3075y x =-，求得y=270-75=195≠205，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键；6．若反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点()2,1-，则该函数图象一定经过（ ） A ．()1,1-B ．14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2--D ．1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】D【分析】将（2，-1）代入(0)k y k x =≠即可求出k 的值，再根据k=xy 解答即可． 【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点（2，-1）， ∴2×（-1）=-2，A 选项中，-1×1=-1≠-2，故不符合题意；B 选项中，14=222⨯≠-，故不符合题意； C 选项中，1(2)=22-⨯-≠-，故不符合题意； D 选项中142-⨯=-2，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．7．下式中表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．4y x =--B ．2y xC ．21y x =D ．53y x = 【答案】D【分析】根据反比例函数的概念：形如y=k x （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数进行分析即可．【详解】解：A 、4y x =--是一次函数，错误；B 、2y x 是二次函数，错误；C 、21y x =中，y 是x 2的反比例函数，错误； D 、53y x=表示y 是x 的反比例函数，故此选项正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式．8．若点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<【答案】B【分析】不论k 取何值，2k +1恒为正数，图像分布在一、三象限，根据反比例函数图像性质求解即可.【详解】∵不论k 取何值，2k +1恒为正数，∴反比例函数21k y x+=的图象分布在第一、第三象限， ∵点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上， ∴1x ＞0，∴230x x <<，∴231x x x <<，故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，解答时，熟记性质是解题的关键.9．若双曲线5m y x -=在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．5m <B ．5m ≥C ．5m >D ．5m ≠ 【答案】C【分析】根据反比例函数的性质可解．【详解】解：∵双曲线5m y x -=在每一个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴50m ->，解得5m >，故选：C ．【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数k y x=，当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．10．如图，双曲线k y x=经过点(2,4)A 与点(4,)B m ，则AOB 的面积为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，把点A（2，4）代入双曲线kyx=确定k的值，再把点B（4，m）代入双曲线kyx=，确定点B的坐标，根据S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC−S△BOD和三角形的面积公式与梯形的面积公式进行计算即可．【详解】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图，∵双曲线kyx=经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，而点B（4，m）在8yx=上，∴4m＝8，解得m＝2，即B点坐标为（4，2），∴S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC－S△BOD＝12OC•AC＋12×（AC＋BD）×CD−12OD×BD＝12×2×4＋1 2×（4＋2）×（4−2）−12×4×2＝4＋6－4＝6．故选：D．【点睛】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了利用坐标表示线段的长以及利用规则的几何图形的面积的和差计算不规则的图形面积．11．已知反比例函数6yx=-，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点()2,3在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称【答案】D【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随x的增大而增大，再逐个判断即可．【详解】解：A．∵反比例函数6yx=-中-6＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入6yx=-得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数6yx=-中-6＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比例函数6yx=-的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．12．函数1yx=与函数1yx=-的图像可以通过图形变换得到，给出下列变换：①平移，②旋转，③轴对称，④相似（相似比不为1），则可行的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【分析】由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，也是轴对称图形，即函数1yx=的图象可以经过旋转得到1yx=-的图象，而不能经过平移，由于两函数表达式相同，故两函数的图象相似，且相似比为1．【详解】 解：已知函数1y x =与函数1y x=-， 且反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，故函数图象不可以通过平移来完成，故①错误；②正确；③正确；又因为两函数图象完全相同，即两函数图象相似，且相似比为1，故④错误； 综上所述，可行的是②③．故选：B ．【点睛】本题通过反比例函数图象的性质和图象的旋转问题，要求学生具有一定的猜想和探究能力．二、填空题13．如图，点A 在双曲线2(0)y x x=-<上，连接OA ，作OB OA ⊥，交双曲线(0)k y k x=>于点B ，若2OB OA =，则k 的值为_________．14．反比例函数3y x =和1y x =在第一象限的图象如图所示．点,A B 分别在3y x =和1y x =的图象上，//AB y 轴，点C 是y 轴上的一个动点，则ABC ∆的面积为_____．15．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()P kpa 是气球体积V 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kpa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积V 的范围是__________．16．如图，点A B 、分别在反比例函数()110k y k x =>和()220ky k x=<的图象上，连接AB 交y 轴于点P ，且点A 与点B 关于P 成中心对称．若AOB ∆的面积为S ，则12k k -=_____．17．如图，反比例函数(0)ky k x=≠在第二象限内的图象上有一点P ，过点P 作PA y ⊥轴于点A ，点B 是x 轴上任一点，若3ABPS =，则k 的值是_______．18．如图，矩形ABCD 的顶点()1,6A 和对称中心都在反比例函数6y x=上，则矩形的面积为___________．19．如图，已知等边11OA B ，顶点1A 在双曲线()30y x x=>上，点1B 的坐标为（2，0）．过1B 作121//B A OA ，交双曲线于点2A ，过2A 作2211//A B A B 交x 轴于2B ，得到第二个等边122B A B ．过2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过3A 作3322//A B A B 交x 轴于点3B 得到第三个等边233B A B ；以此类推，…，则点2B 的坐标为______，n B 的坐标为______．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的边AB 平行于y 轴，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过OA 中点C 和点B ，且△OAB 的面积为6，则k ＝_____．三、解答题21．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x（x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB 的面积； （3）若点H （﹣12，h ）也在双曲线上，那么在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH |的差最大，求出点P 的坐标． 22．已知反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点A （3，4），B （2m ，6-），C （6-，2m ）B ，C 在第三象限，顺次连接A ，B ，C ． （1）求B ，C 的坐标； （2）求ABC 的面积；（3）若直线AB 的解析式为y mx n =+，则关于x 的不等式kmx n x+>的解集为______．23．已知一次函数223y x =+的图象分别与坐标轴相交于A 、B 两点（如图所示），与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于C 点．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）作CD x ⊥轴，垂足为D ，如果OB 是ACD △的中位线，求反比例函数()0ky k x=>的关系式． （3）请根据图象直接写出在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值时自变量x 的取值范围．24．已知反比例函数1ky x-=的图象经过点(2,4)A -，点(,6)B m - （1）求k 及m 的值．（2）点()11,M x y ，()22,N x y 均在反比例函数1ky x-=的图象上，若12x x <，比较1y ，2y 的大小关系．25．如图，点A 在反比例函数ky x=的图象位于第一象限的分支上，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，S △AOB =2．（1）求该反比例函数的表达式，（2）若P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)是反比例函数ky x=图象上的两点，且x 1<x 2，y 1<y 2，指出点P 、Q 各位于哪个象限，并简要说明理由．26．如图，已知点A 在反比例函数()0ky k x=<的图象上，点B 在直线4y x =-的图象上，点B 的纵坐标为1-，AB x ⊥轴，且92OAB S ∆=()1求k的值；()2点P在y轴上，AOP是等腰三角形，求点P的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无 12．无二、填空题13．8【分析】过点A 作轴过点B 作轴利用相似三角形的性质求解即可；【详解】过点A 作轴过点B 作轴∵∴∴∵∴∴∵A 在上设∴∵∴∴∴B 的坐标为将点B 的坐标代入则；故答案是8【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用 解析：8 【分析】过点A 作AE x ⊥轴，过点B 作BF x ⊥轴，利用相似三角形的性质求解即可； 【详解】过点A 作AE x ⊥轴，过点B 作BF x ⊥轴，∵OB OA ⊥， ∴90AOB ∠=︒， ∴2390∠+∠=︒， ∵1290∠+∠=︒， ∴13∠=∠，∴AEOOFB ， ∵A 在2(0)y x x=-<上，设()1112,＜0A x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴1OE x =，12AE x -=，∵2OB OA =， ∴12EO AE AO FB OF OB ===， ∴11222FB EO x x ===-，112422OFAE x x -===-，∴B 的坐标为114,2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入(0)ky k x=>， 则()11428k x x =-⨯-=；故答案是8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，准确计算是解题的关键．14．【分析】连结OAOB 延长AB 交x 轴于D 如图利用三角形面积公式得到S △OAB=S △ABC 再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S △OAD=S △OBD=即可求得S △OAB=S △OAD-S △OBD=1解析：1． 【分析】连结OA 、OB ，延长AB ，交x 轴于D ，如图，利用三角形面积公式得到S △OAB =S △ABC ，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S △OAD =32，S △OBD =12，即可求得S △OAB =S △OAD -S △OBD =1． 【详解】解：连结OA 、OB ，延长AB ，交x 轴于D ，如图，∵AB//y 轴， ∴AD ⊥x 轴，OC//AB ， ∴S △OAB =S △ABC ， 而S △OAD =12×3=32，S △OBD =12×1=12， ∴S △OAB =S △OAD -S △OBD =1， ∴S △ABC =1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数ky x=（k 为常数，k ≠0）图象上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数k ，以点P 及点P 的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于12k ． 15．【分析】利用待定系数法结合反比例函数图象上的点（1564）可求得反比例函数的解析式再根据题意即可求出当时V 的范围【详解】解：设球内气体的气压P （kPa ）和气体体积V （m3）的关系式为∵图象过点（15 解析：0.6V ≥【分析】利用待定系数法结合反比例函数图象上的点（1.5，64）可求得反比例函数的解析式，再根据题意即可求出当160P ≤时V 的范围． 【详解】解：设球内气体的气压P （kPa ）和气体体积V （m 3）的关系式为k P V=， ∵图象过点（1.5，64）， ∴ 1.56496k =⨯=， ∴96P V=． ∵在第一象限内，P 随V 的增大而减小， ∴当160P ≤时，96160V≤， ∴0.6V ≥． 故答案为：0.6V ≥． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．16．【分析】作AC ⊥y 轴于CBD ⊥y 轴于D 如图先证明△ACP ≌△BDP 得到S △ACP=S △BDP 利用等量代换和k 的几何意义得到S △AOB=S △AOC+S △BOD=×|k1|+|k2|=S 然后利用k1＞0 解析：2S【分析】作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图，先证明△ACP ≌△BDP 得到S △ACP =S △BDP ，利用等量代换和k 的几何意义得到S △AOB =S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+12|k 2|= S ，然后利用k 1＞0，k 2＜0可得到k 1-k 2的值． 【详解】解：作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图，∵点A 与点B 关于P 成中心对称， ∴AP=BP ，在△ACP 和△BDP 中，ACP BDP APC BPD AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BDP （AAS ）， ∴S △ACP =S △BDP ，∴S △AOB =S △APO +S △BPO =S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+12|k 2|=S ， ∵k 1＞0，k 2＜0， ∴k 1-k 2=2S ． 故答案为：2S ． 【点睛】本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1k 2，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．17．-6【分析】根据题意设点P 为（xy ）则PA=结合即可求出k 的值【详解】解：∵点P 在反比例函数的图像上设点P 为（xy ）则∵轴点P 在第二象限则∴∴∵∴∴；故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的性质反比解析：-6 【分析】根据题意，设点P 为（x ，y ），则PA=x ，OA y =，结合132ABPS PA OA =•=，即可求出k 的值． 【详解】解：∵点P 在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，设点P 为（x ，y ），则=k xy ，∵PA y ⊥轴，点P 在第二象限，则0,0x y <>， ∴PA x x ==-，OA y =， ∴11()322ABPSPA OA x y =•=•-•=， ∵=k xy ， ∴132k -=， ∴6k =-； 故答案为：6-．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．18．12【分析】设点C 的坐标为从而可得对称中心的坐标再将其代入反比例函数的解析式可得a 的值然后根据点AC 的坐标可得ABBC 的长最后利用矩形的面积公式即可得【详解】设点C 的坐标为则矩形的对称中心为AC 的中解析：12 【分析】设点C 的坐标为(,0)(0)C a a >，从而可得对称中心的坐标，再将其代入反比例函数的解析式可得a 的值，然后根据点A 、C 的坐标可得AB 、BC 的长，最后利用矩形的面积公式即可得． 【详解】设点C 的坐标为(,0)(0)C a a >，则OC a =， 矩形ABCD 的对称中心为AC 的中点，且()1,6A ，∴对称中心的坐标为106(,)22a ++，即1(,3)2a +， 由题意，将1(,3)2a +代入6y x =得：1362a +⨯=，解得3a =， 3OC ∴=，又()1,6A ，1,6OB AB ∴==，2BC OC OB ∴=-=，则矩形ABCD 的面积为6212AB BC ⋅=⨯=， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识点，正确求出矩形的对称中心的坐标是解题关键．19．（20）（20）【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2B3B4的坐标得出规律进而求出点Bn 的坐标【详解】解：如图作A2C ⊥x 轴于点C 设B1C=a 则A2C=aOC=O解析：（22，0）， （2n ，0）． 【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B 2、B 3、B 4的坐标，得出规律，进而求出点B n 的坐标． 【详解】解：如图，作A 2C ⊥x 轴于点C ，设B 1C=a ，则A 2C=3a ， OC=OB 1+B 1C=2+a ，A 2（2+a ，3a ）． ∵点A 2在双曲线()30y x =>上， ∴（2+a ）•3a=3，解得a=2-1，或a=-2-1（舍去）， ∴OB 2=OB 1+2B 1C=2+22-2=22， ∴点B 2的坐标为（22，0）；作A 3D ⊥x 轴于点D ，设B 2D=b ，则A 3D=3b ， OD=OB 2+B 2D=22+b ，A 2（22+b ，3b ）． ∵点A 3在双曲线y=3（x ＞0）上， ∴（22+b ）•3b=3，解得b=-2+3，或b=-2-3（舍去）， ∴OB 3=OB 2+2B 2D=22-22+23=23， ∴点B 3的坐标为（23，0）；同理可得点B 4的坐标为（24，0）即（4，0）； 以此类推…，∴点B n 的坐标为（2n ，0）， 故答案为（22，0），（2n ，0）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B 2、B 3、B 4的坐标进而得出点B n 的规律是解题的关键．20．4【分析】如图延长AB 交x 轴于D 根据反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点B 设B （x ）则OD ＝x 根据△OAB 的面积为6列等式可表示AB 的长表示点A 的坐标根据线段中点坐标公式可得C 的坐标从而得出结论【详解析：4 【分析】如图，延长AB 交x 轴于D ，根据反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点B ，设B （x ，kx），则OD ＝x ，根据△OAB 的面积为6，列等式可表示AB 的长，表示点A 的坐标，根据线段中点坐标公式可得C 的坐标，从而得出结论． 【详解】解：如图，延长AB 交x 轴于D ，∵AB ∥y 轴， ∴AD ⊥x 轴， ∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过OA 中点C 和点B ， ∴设B （x ，kx），则OD ＝x ， ∵△OAB 的面积为6，∴162AB OD ⋅⋅=，即162AB x ⋅=， ∴AB ＝12x， ∴A （x ，12kx+）， ∵C 是OA 的中点，∴C （12x ，122k x +），∴k ＝11222k x x +⋅， ∴k ＝4，故答案为：4． 【点题】此题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．三、解答题21．（1）y ＝12x +52， y ＝﹣2x ；（2）S △AOB ＝154；（3）P （0，92）． 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，然后再把点B 的坐标代入反比例函数求出n 的值，从而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）求得直线AB 与x 轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据题意，P 点是直线BH 与y 轴的交点； 【详解】（1）∵点A(﹣1，2)在反比例函数图象上， ∴21k -＝2， 解得k 2＝﹣2，∴反比例函数的解析式是y ＝﹣2x， ∵点B(﹣4，n)在反比例函数图象上， ∴n ＝21=42-- ， ∴点B 的坐标是(﹣4，12)， ∵一次函数1y k x b =+的图象经过点A(﹣1，2)、点B(﹣4，12)． ∴112142k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得11252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ．∴一次函数解析式是1522y x =+ ； （2）设直线AB 与x 轴的交点为C ，1522y x =+中，令y ＝0，则x ＝﹣5， ∴直线与x 轴的交点C 为(﹣5，0)， ∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC 11115=525=2224⨯⨯-⨯⨯ ； （3）∵点H(﹣12，h)也在双曲线上， ∴2=412h =--， ∴H(﹣12，4)， ∵在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH|最大， ∴P 点是直线BH 与y 轴的交点， 设直线BH 的解析式为y ＝kx+m ，∴142142k m k m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，解得192k m =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，∴直线BH 的解析式为y ＝x+92， 令x ＝0，则y ＝92， ∴P(0，92)．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积，会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解题的关键；22．（1）B （2-，6-），C （6-，2-）；（2）30；（3）20x -<<或3x >【分析】（1）将点A 坐标（3，4代入反比例函数()0ky k x=≠求得k 的值，根据反比例函数的析式即可求得B ，C 的坐标；（2）过点A 作AD ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥y 轴，AD ，BD 交于点D ，过点C 作CE ⊥BD 交DB 延长线于点E ，由A ，B ，C 的坐标可求出AD ，BD ，BE ，CE 的长，根据ABC ABD BC S S S S =--△△△E 梯形ADEC 即可求解；（3）观察图象，即可求得一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围，即不等式kmx n x+>的解集． 【详解】解：（1）将点A 坐标（3，4）比例函数()0ky k x=≠，得 43k=，解得12k =， ∴反比例函数的析式为12y x=， ∵反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点B （2m ，6-），C （6-，2m ）， ∴1m =-，∴B （2-，6-），C （6-，2-）；（2）过点A 作AD ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥y 轴，AD ，BD 交与点D ，过点C 作CE ⊥BD 交DB 延长线于点E ，∵A （3，4），B （2-，6-），C （6-，2-）， ∴AD=10，BD=5，BE=4，CE=4，DE=9， ∴ABC ABD BC S S S S =--△△△E 梯形ADEC =()111410910544222⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=6325830--=；（3）直线AB 与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于A （3，4），B （2-，6-），由图可得关于x 的不等式kmx n x+>的解集为：20x -<<或3x >． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．（1）()30A -,，()0,2B ；（2）()120y x x=>；（3）03x << 【分析】（1）分别令一次函数解析式中y=0、x=0求出x 、y 的值，从而得出点A 、B 的坐标； （2）由A 、B 点的坐标结合中位线的性质，找出线段OD 、DC 的长度，从而找出点C 的坐标，再由点C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的系数k ，从而得出结论；（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：（1）令一次函数223y x =+中y=0，则23x+2=0， 解得：x=-3，∴点A 的坐标为（-3，0）；令一次函数223y x =+中x=0，则y=2， ∴点B 的坐标为（0，2）；（2）∵OB 是ACD △的中位线，∴2224CD BO ==⨯=，3==OD OA ， ∴C 点坐标()3,4，∴3412k =⨯=， ∴反比例函数的关系式()120y x x=>． （3）由图象可知，当03x <<时，反比例函数值大于一次函数值． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形中位线的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例系数k 是关键． 24．（1）9k =，43m =；（2）当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2；当x 1＜0＜x 2时，y 2＜y 1． 【分析】（1）把点A 的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数关系式；根据反比例函数图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，把B 点代入函数求解即可； （2）分类讨论：当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2；当x 1＜0＜x 2，则y 2＜y 1．解：（1）依题意得：1﹣k ＝2×（﹣4）＝﹣8，所以k ＝9； ∵点B （m ，﹣6）在这个反比例函数的图象上， ∴﹣6m ＝﹣8， ∴m ＝43； （2）∵点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）都在反比例函数y ＝﹣8x的图象上， ∴函数在每个象限内，y 随x 的增大而增大， 当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2； 当x 1＜0＜x 2时，y 2＜y 1． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、其中涉及反比例函数解析式的求法、反比例函数图象的增减性、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 25．（1）4y x=；（2）P 点在第三象限，Q 在第一象限，理由见解析 【分析】（1）利用反比例函数k 的几何意义即可求解； （2）根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：（1）设点A 的坐标为（x ，y ）， 由图可知x 、y 均为正数， 即OB=x ，AB=y ， ∵△AOB 的面积为2， ∴AB•OB=4，即x•y=4， 可得k=4，∴该反比例函数的表达式为4y x=； （2）∵反比例函数4y x=位于一、三象限， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，若两点位于同一象限，则当x 1>x 2，y 1<y 2， 所以P 、Q 两点一定位于不同的象限， 因x 1<x 2，y 1<y 2，所以点Q 在第一象限，P 在第三象限． 【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义、反比例函数的性质，解答本题关键是求出k 的值，得出反比例函数解析式．26．（1）-12；（2）点P 的坐标为()()()12340,5, 0,5,0,8,250,8P P P P ⎛⎫-- ⎝-⎪⎭()1可先求得B 点坐标，再结合△OAB 的面积可求得AB 的长，则可求得A 点坐标，把A 点坐标代入反比例函数解析式可求得k 的值；()2分三种情况: ①OP=OA ；②AP=OA ；③AP=OP 三种情况进行讨论【详解】 解：()1点B 在直线4y x =-的图象上，点B 的纵坐标为1-，41,x ∴-=- 3,x ∴= 3,(1).B ∴-设点A 的坐标为(3,)t ， 则1,1t AB t <-=--．92OAB S ∆= ()191322t ∴--⨯=， 解得4,t =-∴点A 的坐标为(3,4)-．4,123kk -=-∴=12y x∴=-()2分三种情况：①点O 为顶点时：如图1，12OP OP OA ==．∵点A 的坐标为(3,4)-，∴5OA =； ∴125==OP OP()()120,5,0,5P P ∴-．②点A 为顶点时：如图2．35,AP OA ==作AH y ⊥轴于H ，则34==HP HO ；()30,8P ∴-③点P 为顶点时：如图3．44AP OP =作OA 的垂直平分线PQ ，交y 轴于点4P ， ∵点A 的坐标为(3,4)-， ∴OA 的表达式为43y x =-；∴OA 的中点坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设PQ 的表达式为34y x b =+，将3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得，258b =- 4P Q ∴的表达式为32548y x =-． 4250,8P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭综上得出，点P 的坐标为()()()1234250,5,0,5,0,8,0,8P P P P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查反比例函数和几何、反比例函数和一次函数相结合等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的数学思想，属于中考常考题型．。
第6章《反比例函数》(解析版)
2019-2020学年浙教版数学八年级下册培优冲关好卷第六章《反比例函数》一．选择题1．（2020春•思明区校级月考）已知压强的计算公式是P=，我们知道，刀具在使用一段时间后，就好变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是（）A．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小B．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大C．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大D．当受力面积一定时，压强随压力的增大面减小【解析】根据压强的计算公式是P=可知：当压力一定时，S越小，P的值越大，则压强随受力面积的减小而增大，故选：B．2．（2020•蜀山区校级模拟）若将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位长度与双曲线y=恰好只有一个公共点，则m的值为（）A．2B．18C．﹣2或18D．2或18【解析】将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位长度得直线解析式为y=﹣4x+10﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得=﹣4x+10﹣m，整理得4x2﹣（m﹣10）x+4=0，△=（m﹣10）2﹣4×4×4=0，解得m=2或m=18，故选：D．3．（2020春•江汉区校级月考）对于反比例函数y=，下列说法正确的个数是（）①函数图象位于第一、三象限；①函数值y随x的增大而减小①若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；①P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】反比例函数y=，因为k2+1＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①说法正确，②的说法错误．若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜0＜y2＜y3；故说法③错误；P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积为（k2+1），故④说法正确；故选：B．4．（2020•河西区一模）下列关于反比例函数y=的说法正确的是（）A．y随x的增大而增大B．x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．x＞0时，y随x的增大而减小【解析】∵k=6＞0，∴图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，故选：D．5．（2020•江岸区校级模拟）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y=﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3【解析】∵反比例函数为y=y=﹣中的﹣（k2+1）＜0，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，又∵A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）∴x1＜0，点B、C位于第四象限，∴x2＞x3＞0．∴x1＜x3＜x2故选：B．6．（2019秋•南岸区校级期末）如图，已知菱形OABC，OC在x轴上，AB交y轴于点D，点A在反比例函数y1=上，点B在反比例函数y2=﹣上，且OD=2，则k的值为（）A．3B．C．D．【解析】∵四边形ABCO是菱形，∴AB∥OC，∴AB⊥y轴，∵OD=2，∴A（，2），B（﹣，2），∴AB=，AD=，∵AB=OA，∴OA=，∵AD2+OD2=OA2，∴（）2+（2）2=（）2，∴k=2，故选：B．7．（2020•黄石模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的面积为10，反比例函数y=（x＞0）与AB、BC分别交于点D、E，若AD=2BD，则k的值为（）A．B．C．D．【解析】设OA=a，矩形OABC的面积为10，所以AB=，∵AD=2BD，∴AD=AB=，因此点D（，a），代入反比例函数关系式得，k=，故选：C．8．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A是第一象限内一点，过A作AC∥y轴交反比例函数y=（x＞0）的图象于B点，E是y轴上一点，AE交反比例函数的图象于点D，若B是AC 的中点，DE：AD=3：2，且△BDE的面积为，则k的值为（）A．7B．C．8D．【解析】∵DE：AD=3：2，∴S△BDE：S△ADB=3：2∵△BDE的面积为，∴△ABD的面积为，∴S△ABE=+=，设OC=m，AB=n=BC，∴S△ABE=+==AB•OC=mn，即：mn=∵点B（m，n）在反比例函数y=图象上，∴k=mn=，故选：B．9．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD的顶点C、D在函数y=（k≠0）的图象上，已知点A的坐标为（﹣，3），点C的横坐标为4，则k的值为（）A．5B．6C．7D．8【解析】连接AC，BD交于点J．设C（4，m）．∵四边形ABCD是正方形，∴AJ=JC，∵A（﹣，3），C（4，m），∴J（，），∵点D是由点A绕点J顺时针旋转90°得到D，可得D（，），∵C，D都在y=的图象上，∴4m=•，解得m=或﹣，∴C（4，），∴k=6，补充方法：（可以利用构造全等三角形的方法求出C，D坐标，再利用待定系数法解决问题）故选：B．二．填空题10．（2020•武侯区校级模拟）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE∥AF，交直线y=kx（k＜0）于点E，F，若OE=OF，BG=GA，则四边形ADEF的面积为．【解析】延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于设G（a，），则OA=a，AG=，∵BG=GA，∴BG=，∴DH=AB=AG+BG=，∵DE∥AF，∴∠EKO=∠F AO，在△OEK和△OF A中，，∴△OEK≌△OF A（AAS），∴OK=OA=a，∴AE=2a，∴S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK=．故答案为：．11．（2020•蜀山区校级模拟）如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为18．【解析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，∵AB∥x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF=OD，BF=OE，∴AB=DE，∵点A在双曲线y=上，∴S矩形AFOD=6，同理S矩形OEBF=k，∵AB∥OD，∴==，∴AB=2OD，∴DE=2OD，∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=18，∴k=18，故答案是：18．12．（2020•烟台一模）如图，反比例函数y=的图象经过点A，点B与点A关于x轴对称，点C是y轴上一点，若△ABC的面积为2，则该反比例函数的解析式为y=﹣．【解析】设AB与x轴交于点D，连接OA，∵点B与点A关于x轴对称，∴AB∥y轴，∵△OAB的面积为2，∴△OAD的面积为1，∴|k|=1，∵在第二象限，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣，故答案为y=﹣．13．（2020春•莆田月考）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过△ABD的顶点A，B，交BD于点C，AB经过原点，点D在y轴上，若BD=4CD，△OBD的面积为15，则k的值为﹣6．【解析】连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．根据题意设C（m，），则B（4m，），∵S△OBC=S四边形OCBF﹣S△OBF=S四边形OCBF﹣S△OEC=S梯形CEFB，∴S△OBC=（﹣﹣）•（4m﹣m）=﹣k，∵BD=4CD，△OBD的面积为15，∴，∴，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．14．（2020•福建模拟）已知点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，点C在第一象限，且∠ACB=120°，点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲k线y=上，则k的值为1．【解析】连接OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，如图所示，∵等腰△ABC中，∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=30°，∴∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴===tan60°=，则=3，∵点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，∴S△AOD=|xy|=AD•DO=，∴S△OCE=k=EC•EO=1=，∴EC•EO=1，∴k=1．故答案为：1．15．（2020春•鼓楼区校级月考）如图，已知双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0），直线OA与双曲线y=交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=交于点C，S△=6，BP：CP=2：1，则k的值为﹣3．ABC【解析】如图连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F．∵OA∥BC，∴S△OBC=S△ABC=6，∵PB：PC=1：2，∴S△OPB=4，S△OPC=2，∵S△OBE=12=6，∴S△PBE=2，∵△BEP∽△CFP，∴S△CFP=2×=，∴S△OCF=，∴k=﹣3．故答案为：﹣3．16．（2020•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE=ED，则k的值为4．【解析】∵正方形ABCD的面积为20，∴AB=BC=CD=DA==2，∴CE=DE=，∵∠COE=∠ADE=90°，∠CEO=∠AED，∴△COE∽ADE，∴==，即，==，∴=，∵CE=，∴OE=1，OC=2，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，∵CE=DE，∴OF=OC=2，DF=2OE=2，∴D（2，2）代入反比例函数关系式得，k=2×2=4，故答案为：4．17．（2019秋•宝安区期末）如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上一点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN 的面积为，则点N的坐标为（，）．【解析】连接ON，∵点A（1，3）为双曲线上，∴k=3，即：y=；由双曲线的对称性可知：OA=OB，∴S△MBO=S△MAO，S△NBO=S△NAO，∴S△MON=S△BMN=，设点M（0，m），N（n，），∴mn=，即，mn=，①设直线AM的关系式为y=kx+b，将M（0，m）A（1，3）代入得，b=m，k=3﹣m，∴直线AM的关系式为y=（3﹣m）x+m，把N（n，）代入得，=（3﹣m）×n+m，②由①和②解得，n=，当n=时，=，∴N（，），故答案为：（，）．18．（2019秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是或．【解析】联立y=kx、y=并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），∴AB≠AC，①当AB=BC时，（）2+（3﹣2）2=（3﹣）2，解得：k=±（舍去负值）；②当AC=BC时，同理可得：（﹣）2+（3﹣2）2=（3﹣）2，解得：k=（舍去负值）；故答案为：或．三．解答题19．（2020•江岸区校级模拟）如图，直线AB：y=﹣x+m与双曲线y=交于A（1，6）和B点．（1）求B点坐标．（2）根据图象，直接写出＜﹣x+m的解集1＜x＜6．【解析】（1）因为点A（1，6）在两函数图象上，则6=﹣1+m，6=，解得：m=7，k=6，∴一次函数的解析式为y=﹣x+7，反比例函数的解析式y=；联立：，解得：x=1或x=6，又∵点A的坐标为（1，6），故点B的坐标为（6，1）；（2）由函数图象得，＜﹣x+m的解集为：1＜x＜6，故答案为：1＜x＜6．20．（2020•九江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线BC与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点D，点B，C是反比列函数y=（x＞0）图象上的点，OB⊥BC于点B，∠BOD=60°．（1）求直线AB的解析式；（2）求反比例函数的解析式；（3）若△AOB的面积为S1，△BOC的面积为S2，△DOC的面积为S3，直接写出S1，S2，S3的一个数量关系式：S1+S3=S2【解析】∵A（0，4），∴OA=4，∵∠BOD=60°．∴∠AOB=30°，∵OB⊥BC于点B，∴∠ABO=90°，∴∠OAD=60°，∴OD=OA=4，∴D（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4；（2）∵∠AOB=30°，OA=4，∴AB=OA=2，OB=OA=2，∵OA•OD=AD•OB，∴AD===8，∴BD=AD﹣AB=6，∵S△AOD==8，∴S△AOB=×8=2，S△BOD=×=6，设B（m，n），∴S△AOB=m=2，S△BOD==6，∴=2，=6，解得m=，n=3，∴B（，3），∵点B是反比列函数y=（x＞0）图象上的点，∴k==3，∴反比例函数的解析式为y=；（3）解得和，∴C（3，1），∴S△COD===2，∴S△BOC=6﹣2=4，∵S1=2，S2=4，S3=2，∴S1+S3=S2．故答案为S1+S3=S2．21．（2020•顺德区模拟）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，且与反比例函数y=的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴于点D，其中OA=OB=OD=2．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）求这两个函数的表达式；（3）若点P在y轴上，且S△ACP=14，求点P的坐标．【解析】（1）∵OA=OB=OD=2．∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），∵OB∥CD，∴OB：CD=OA：AD，∴CD==4，∴C点坐标为（2，4），（2）把C（2，4）代入y=得m=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=，把A（﹣2，0），B（0，2）代入y=kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y=x+2；（3）设P（0，t），∵S△ACP=14，而S△PBA+S△PBC=S△PAC，∴|t﹣2|×4=14，解得t=9或t=﹣5，∴点P的坐标为（0，9）或（0，﹣5）．22．（2020•百色模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求点M，N的坐标及反比例函数的解析式；（2）求四边形BMON的面积S．【解析】（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，把y=2代入y=﹣x+3，得x=2，∴M（2，2），把x=4代入y=﹣x+3，得y=1，∴N（4，1），把M（2，2）代入y=，得k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）由题意可得：四边形BMON的面积S=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣﹣=4．23．（2020•江西模拟）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P 坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）把点A（1，2）代入y=得，1=，∴m=2，∴反比例函数的解析式为y=；把B（a，﹣1）代入y=得，a=﹣2，∴B（﹣2，﹣1），把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y=kx+b得，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）当y=0时，0=x+1，解得：x=﹣1，∴C（﹣1，0），设P（x，0），∴S△APC=，∴x=3或x=﹣5，∴P（3，0）或（﹣5，0）．24．（2020•河南模拟）如图所示，反比例函数图象与一次函数图象交于A、B两点，点A在点B的下方且坐标为（3，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OA、OB，当△AOB的面积为8时，求直线AB的解析式．【解析】（1）设反比例函数的解析式为y=，把A的坐标（3，2）代入得k=3×2=6，∴反比例函数的解析式为y=；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则S梯形ACDB=S△AOB=8，∴（AC+BD）•CD=8，设B（m，），∴（2+）（3﹣m）=16，解得：m=1．m=﹣9（不合题意舍去），∴B（1，6），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣2x+8．25．（2020•历下区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=（x＞0）交于点C，且BC=2AB，BD∥x轴交反比例函数y=（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点F，且EF=BD，求m的值．【解析】（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y=3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b=0，解得，b=3，对于直线y=3x+3，当x=0时，x=3，∴点B的坐标为（0，3），即OB=3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴==，即==，解得，CH=2，BH=6，∴OH=OB+BH=9，∴点C的坐标为（2，9），∴k=2×9=18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为=6，即BD=6，∴△ABD的面积=×6×3=9；（3）EF=BD=×6=2，设E（m，3m+3）当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y=上，∴（m+2）（3m+3）=18，解得，m1=﹣4（舍去），m2=1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y=上，∴（m﹣2）（3m+3）=18，解得，m3=（舍去），m4=，综上所述，m的值为1或．26．（2020•历下区一模）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD=3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（4，2），∴m=8，∴反比例函数y=（x＞0）．（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），∴OC=2，∵BD=3OC，∴BD=6，∵BD⊥x轴，∴B（，6），∵C（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y=3x+2，∴E（﹣，0），∴DE=+=2，∴S△BED=×DE×BD=6．（3）存在．如图，设BD交AC于F．设B（a，），∵A（4，2）∴AC=4，∵四边形BCDE是平行四边形，∴DE=AC=4，且CF∥DE，∴△BCF∽△BED，∴=，即=，解得a=2，∴B（2，4）．27．（2019秋•文山市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m ≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO=5，OD：AD=3：4，B点的坐标为（﹣6，n）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【解析】（1）AO=5，OD：AD=3：4，设：OD=3a，AD=4a，则AD=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），则m=3×4=12，故反比例函数的表达式为：y=，故B（﹣6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：，解得：，故一次函数的表达式为：y=x+2；（2）设一次函数交y轴于点M（0，2），△AOB的面积S=×OM×（xA﹣xB）=2×（3+6）=9；（3）设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP2=9+（m﹣4）2，AO2=25，PO2=m2，当AP=AO时，9+（m﹣4）2=25，解得：m=8或0（舍去0）；当AO=PO时，同理可得：m=±5；当AP=PO时，同理可得：m=；综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．28．（2020•锦江区模拟）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求四边形BEOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【解析】（1）∵点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，∴点A，点E纵坐标为1，点C，点F的横坐标为2，∵点E，点F在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴点E（1，1），点F（2，），设直线EF的解析式的解析式为：y=kx+b，∴∴∴直线EF的解析式的解析式为：y=﹣x+；（2）∵四边形BEOF的面积=S四边形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF，∴四边形BEOF的面积=2﹣﹣=1；（3）∵点E（1，1），∴OE=，若OE=OP=，则点P（0，）或（0，﹣），若OE=EP，且AE⊥AO，∴OA=AP=1，∴点P（0，2）若OP=PE，∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1），综上所述：当点P（0，）或（0，﹣）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三角形．29．（2020•槐荫区一模）如图，已知一次函数y=x﹣2与反比例函数y=的图象相交于点A（2，n），与x 轴相交于点B．（1）求k的值以及点B的坐标；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）在y轴上是否存在点P，使P A+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）把点A（2，n）代入一次函数y=x﹣2，可得n=﹣2=3；把点A（2，3）代入反比例函数y=，可得k=xy=2×3=6，∵一次函数y=x﹣2与x轴相交于点B，∴x﹣2=0，解得x=，∴点B的坐标为（，0）；（2）∵点A（2，3），B（，0），∴AB===，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=，AD∥BC，∵点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，∴D（2+，3）；（3）存在，如图，作点B（，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣，0），连接AQ交y轴于点P，此时PA+PB 的值最小，设直线AQ的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AQ的关系式为y=x+，∴直线AQ与y轴的交点为P（0，）．。
初中数学中考复习 备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合 能力提升卷(含解析答案)
中考数学一轮专项复习——反比例函数综合 能力提升卷一、选择题1．（2019•济南）函数y ＝﹣ax +a 与y ＝（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )3. (2019青岛)已知反比例函数y ＝ab x的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )4．如图，在菱形ABOC 中，∠ABO ＝120°，它的一个顶点C 在反比例函数y ＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A 恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（ ）A ．y ＝﹣B ．y ＝﹣C ．y ＝﹣D ．y ＝﹣5．如图所示，点P （3a ，a ）是反比例函数y ＝（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝6. 如图，二次函数y ＝ax 2＋c的图象与反比例函数y ＝cx 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >cx的解集为( )A. x <－32B. x >－32C. x <－32或x >0D. －32<x <17. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结论正确的是( )①2a ＋b ＝0; ②当－1≤x ≤3时，y ＜0;③若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2; ④3a ＋c ＝0.A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④8. (人教九上P 35例3改编)怎样移动抛物线y ＝－12x 2就可以得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1的是( ) A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位9. (2019绵阳模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a )，下列结论：①a －3b ＋2c ＞0； ②3a －2b －c ＝0；③若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1<x 2，则－5<x 1<x 2<1； ④若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，则这四个根的和为－8. 其中正确的结论有( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：10.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数)0(>=x xky 的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .11．如图，两个反比例函数y ＝和y ＝在第一象限的图象如图所示，当P 在y ＝的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y ＝的图象于点B ，则四边形PAOB 的面积为 ．12. 如图所示，两个反比例函数7y x =和3y x=在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC 丄x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD 丄y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______.13. (2019眉山模拟)如图，双曲线y ＝k x(x ＜0)经过Rt △ABC 的两个顶点A ，C ，∠ABC ＝90°，AB ∥x 轴，连接OA ，将Rt △ABC 沿AC 翻折后得到Rt △AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角，若Rt △ABC 的面积为1，则k 的值为________．14. (2019绵阳模拟)若关于t 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥02t ＋1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝3a ＋2x的图象的公共点的个数为________．15. (2019湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x －1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1＝k x(k ＞0，x ＞0)，y 2＝2kx(x ＜0)的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接OC ，OD .若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是________．三、解答题16．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数y＝的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，CD＝3．（1）求tan∠ABO的值和反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写0＜x+2＜﹣的自变量x的范围．18. (2019绵阳模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1吨产品甲需要2吨原材料；生产1吨产品乙需要3吨原材料，根据市场调研，产品甲、乙所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间分别满足下列函数关系：产品甲：y＝ax2＋bx且x＝2时，y＝2.6; x＝3时，y＝3.6产品乙：y＝310x(1)求产品甲所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间满足的函数关系；(2)若现有原材料20吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品进行生产，才能使得最终所获利润最大．19．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P从点A开始以2cm/s 的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，求这个反比例函数的解析式．20．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．参考答案一、选择题1．（2019•济南）函数y ＝﹣ax +a 与y ＝（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：a ＞0时，﹣a ＜0，y ＝﹣ax +a 在一、二、四象限，y ＝在一、三象限，无选项符合．a ＜0时，﹣a ＞0，y ＝﹣ax +a 在一、三、四象限，y ＝（a ≠0）在二、四象限，只有D 符合；故选：D ．2. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )【解析】 D 一次函数y ＝ax ＋a ＝0时，x ＝－1，因此排除A 、B 选项；C 选项中一次函数a >0，二次函数a <0，相互矛盾；D 选项中a >0，二次函数开口向上，一次函数过第一、二、三象限且过点(－1，0)．3. (2019青岛)已知反比例函数y ＝ab x的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )【解析】 C ∵反比例函数y ＝ab x的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 与b 同号．当a ＞0，b ＞0时，y ＝ax 2－2x 的开口向上，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＞0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在正半轴上，对于y ＝bx ＋a ，图象经过第一、二、三象限，∴选项C 正确，B 不正确．当a ＜0，b ＜0时，y ＝ax 2－2x的开口向下，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＜0，即它与x轴有两个交点，一个为原点，另一个在负半轴上，∴选项A 、D 不正确，故选C .4．如图，在菱形ABOC 中，∠ABO ＝120°，它的一个顶点C 在反比例函数y ＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A 恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（ ）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．【解析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，则C（﹣a，a），点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），则，解得．故反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．5．如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4＝40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP＝＝a．于是π＝40π，a ＝±2，（负值舍去），故a ＝2．P 点坐标为（6，2）．将P （6，2）代入y ＝， 得：k ＝6×2＝12． 反比例函数解析式为：y ＝．故选：D ．6. 如图，二次函数y ＝ax 2＋c的图象与反比例函数y ＝cx 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >cx的解集为( )A. x <－32B. x >－32C. x <－32或x >0D. －32<x <17. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结论正确的是( )①2a ＋b ＝0; ②当－1≤x ≤3时，y ＜0; ③若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2; ④3a ＋c ＝0.A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④【解析】B ①∵抛物线过点(－1，0)与(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b2a ＝1，∴b ＋2a ＝0，故①正确；②由图象可知：当－1≤x ≤3时，y ≤0，故②错误；③当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2，故③错误；④当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，∵2a ＝－b ，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，故④正确．8. (人教九上P 35例3改编)怎样移动抛物线y ＝－12x 2就可以得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1的是( ) A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位答案. B9. (2019绵阳模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a )，下列结论：①a －3b ＋2c ＞0； ②3a －2b －c ＝0；③若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1<x 2，则－5<x 1<x 2<1； ④若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，则这四个根的和为－8. 其中正确的结论有( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】答案：C ∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的顶点坐标为(－2，－9a )，∴－b2a ＝－2，4ac －b 24a ＝－9a ，∴b ＝4a ，c ＝－5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋4ax －5a ，∴a －3b ＋2c ＝a －12a －10a ＝－21a ＜0，故①结论错误；3a －2b －c ＝3a －8a ＋5a ＝0，故②结论正确；∵抛物线y ＝ax 2＋4ax －5a 交x 轴于(－5，0)，(1，0)，∴若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1，故结论③正确；若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，设方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 22＝－2，可得x 1＋x 2＝－4，设方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根分别为x 3、x 4，则x 3＋x 42＝－2，可得x 3＋x 4＝－4.所以这四个根的和为－8，故结论④正确．综上所述，共有2个正确的结论．二、填空题：10.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数)0(>=x xky 的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则AD=5，∵四边形ABCD 为菱形，∴CD=5 ∴C （4,4），将C 代入x k y =得：44k=，∴16=k11．如图，两个反比例函数y ＝和y ＝在第一象限的图象如图所示，当P 在y ＝的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y ＝的图象于点B ，则四边形PAOB 的面积为 ．解：由于P 点在y ＝上，则S □PCOD ＝2，A 、B 两点在y ＝上，则S △DBO ＝S △ACO ＝×1＝．∴S 四边形PAOB ＝S □PCOD ﹣S △DBO ﹣S △ACO ＝2﹣﹣＝1． ∴四边形PAOB 的面积为1． 故答案为：1．12. 如图所示，两个反比例函数7y x =和3y x=在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC 丄x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD 丄y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______.答案：4解析 ∵PC 丄x 轴，PD 丄y 轴， ∴S 矩形PCOD = 7，13322ACO BDO S S ==⨯=V V , ∴四边形PAOB 的面积=7 -2×32= 4.13. (2019眉山模拟)如图，双曲线y ＝k x(x ＜0)经过Rt △ABC 的两个顶点A ，C ，∠ABC ＝90°，AB ∥x 轴，连接OA ，将Rt △ABC 沿AC 翻折后得到Rt △AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角，若Rt △ABC 的面积为1，则k 的值为________．【解析】如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D .∵将Rt △ABC 沿AC 翻折后得到Rt △AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，∴∠CB ′A ＝90°，CB ＝CB ′，∵OC 平分OA 与x 轴负半轴的夹角，∴CD ＝CB ′＝CB ，设点B (x ，2y )(x ＜0)，则C (x ，y )，AB ＝a ，则A 的坐标为(x ＋a ，2y )，∴2y (x ＋a )＝xy ，整理得a ＝－12x ，∴x ＋a ＝12x ，∴AB ＝－12x ，BC＝y ，∴12×(－12xy )＝1，∴－xy ＝4，∴k ＝－4.14. (2019绵阳模拟)若关于t 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥02t ＋1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝3a ＋2x的图象的公共点的个数为________．答案：1或0 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥0 ①2t ＋1≤4 ②，解不等式①得t ≥a ，解不等式②得t ≤1.5，∴不等式的解集为a ≤t ≤1.5，∵⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥02t ＋1≤4恰好有3个整数解，∴－2＜a ≤－1，联立一次函数y ＝14x －a 与反比例函数y ＝3a ＋2x得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x －a y ＝3a ＋2x，得14x －a －3a ＋2x ＝0，等式两边同时乘以x 得：14x 2－ax －3a －2＝0，Δ＝a 2－4×14×(－3a －2)＝a 2＋3a ＋2＝(a ＋1)(a ＋2)，当－2＜a ＜－1时，Δ＜0，即一次函数y ＝14x －a 与反比例函数y ＝3a ＋2x 没有交点；当a ＝－1时，Δ＝0，即一次函数y ＝14x－a 与反比例函数y ＝3a ＋2x有一个交点．15. (2019湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x －1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1＝k x(k ＞0，x ＞0)，y 2＝2kx(x ＜0)的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接OC ，OD .若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是________．15. 2 【解析】令y ＝12x －1＝0，解得x ＝2，∴点A 的坐标为(2，0)，令x ＝0，得y ＝－1，∴点B 的坐标为(0，－1)，∴OB ＝1.∵点C 在直线y ＝12x －1上，∴设点C 的坐标为(a ，12a －1)，∴OE ＝a ，CE ＝12a －1，∴S △OCE＝12OE ·CE ＝12a (12a －1)＝12k ，∵点D 在直线y ＝12x －1上，∴设点D 的坐标为(m ，12m －1)．∵点D 在反比例函数y 2＝2k x 的图象上，∴m (12m －1)＝2k ，∵S △OCE ＝S △OBD ，∴S △OBD ＝12OB ·(－m )＝12a ·(12a －1)，即－m ＝a (12a －1)＝k ，∴m (12m －1)＝－2m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－2，∴k ＝2.三、解答题16．如图一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于A （n ，﹣1），B （，﹣4）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；（3）若点C 坐标为（0，2），求△ABC 的面积．解：（1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于A （n ，﹣1），B （，﹣4）两点． ∴m ＝×（﹣4）＝﹣2， ∴反比例函数的解析式y ＝﹣；（2）把A （n ，﹣1）代入y ＝﹣得﹣1＝﹣， ∴n ＝2， ∴A （2，﹣1），∵次函数y ＝kx +b 的图象经过A （2，﹣1），B （，﹣4），∴，解得：∴一次函数解析式y＝2x﹣5；（3）设一次函数解析式y＝2x﹣5图象交y轴为点D∴D（0，﹣5）∵C（0，2），∵S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD∴S△ABC＝＝．17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数y＝的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，CD＝3．（1）求tan∠ABO的值和反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写0＜x+2＜﹣的自变量x的范围．解：（1）在直线ABy＝﹣x+2中，令y＝0，解得x＝4；令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），B（4，0），∴OB＝4，OA＝2，把y＝3代入y＝﹣x+2，求得x＝﹣2，∴C（﹣2，3），∴DB＝2+4＝6∵CD⊥x轴，∴tan∠ABO＝＝＝，将C（﹣2，3）代入y＝，得k＝﹣2×3＝﹣6∴反比例函数解析式为y＝﹣；（2）由图象可知，0＜x+2＜﹣的自变量x的范围是﹣2＜x＜0．18. (2019绵阳模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1吨产品甲需要2吨原材料；生产1吨产品乙需要3吨原材料，根据市场调研，产品甲、乙所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间分别满足下列函数关系：产品甲：y ＝ax 2＋bx 且x ＝2时，y ＝2.6; x ＝3时，y ＝3.6 产品乙：y ＝310x(1)求产品甲所获利润y (万元)与其产量x(吨)之间满足的函数关系；(2)若现有原材料20吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品进行生产，才能使得最终所获利润最大．解：(1)由已知得，当x ＝2时，y ＝2.6，当x ＝3时，y ＝3.6，代入y ＝ax 2＋bx 可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝2.69a ＋3b ＝3.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－110b ＝32，故甲所获利润与其产量之间的函数关系式为y ＝－110x 2＋32x (x ≥0)；(2)设生产产品甲x 吨，需要原材料2x 吨，则可分配给产品乙的原材料有(20－2x )吨，可生产产品乙20－2x3吨，甲、乙两种产品总的利润为w ，则w ＝－110x 2＋32x ＋310×20－2x3， 整理得w ＝－110(x －132)2＋24940，即当生产产品甲132吨时，利润达到最大，分配给产品中原材料132×2＝13吨，给产品乙原材料20－13＝7吨，答：分配13吨原材料给产品甲，分配7吨原材料给产品乙，能使得最终所获利润最大．19．如图，四边形OABC 是矩形，A 、C 分别在y 轴、x 轴上，且OA ＝6cm ，OC ＝8cm ，点P 从点A 开始以2cm /s 的速度向B 运动，点Q 从点B 开始以1cm /s 的速度向C 运动，设运动时间为t ．（1）如图（1），当t 为何值时，△BPQ 的面积为4cm 2？ （2）当t 为何值时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y ＝的图象恰好同时经过P 、Q 两点，求这个反比例函数的解析式．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵PA＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为4cm2，∴•（8﹣2t）•t＝4，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝．②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比例函数的解析式为y＝．20．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．解：∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，AD＝4，∴sin∠AOD＝＝＝，∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，∵点A在第二象限，∴A（﹣3，4），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数解析式为y＝﹣，∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣上，∴﹣2n＝﹣12，∴n＝6，∴B（6，﹣2），∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；（2）由图象知，满足kx+b＞的x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜6；（3）设点E的坐标为（0，a），∵A（﹣3，4），O（0，0），∴OE＝|a|，OA＝5，AE＝，∵△AOE是等腰三角形，∴①当OA＝OE时，|a|＝5，∴a＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5），②当OA＝AE时，5＝，∴a＝8或a＝0（舍），∴P（0，8），③当OE＝AE时，|a|＝，∴a＝，∴P（0，），即：满足条件的点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．。
浙教版八年级下册第六章反比例函数 第1讲(反比例函数的图象与性质)培优讲义(含解析)
反比例函数 第1讲（反比例函数的图象与性质）反比例函数的图象与性质 命题点一：根据反比例函数的定义求函数表达式 【方法归纳】确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k 的值，常用的方法：①根据反比例函数的定义或性质列方程求解；②根据图象中点的坐标求解；③利用待定系数法求解；④利用好比例系数k 的几何意义求解.例1如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B ，C 在反比例函数的图象上，对角线AC ，BD 交于点E ，且BD ∥x 轴，若AE ＝1，∠ADE ＝30°，则反比例函数的表达式为( D )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝3xD ．y ＝23x例2已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，当x <0时，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的表达式．解：由反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，得⎩⎨⎧m 2－m －3＝－1，m －1≠0，解得m ＝2或m ＝－1.由当x <0时，y 随x 的增大而减小，得m －1＞0，m ＞1， ∴m ＝2.故反比例函数的表达式为y ＝1x.命题点二：利用反比例函数的增减性解题 【方法归纳】比较函数值大小的方法一般有三种：①性质法，即利用反比例函数的额增减性进行比较；②求值法(或特殊值法)，即代入自变量的值，求出函数值进行比较；③图象法，即画出函数的图象，在图象上画出点的相应位置，由点的位置直接比较函数值大小.例3已知反比例函数y ＝1－3m x的图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 当x 1<0<x 2时，y 1<y 2，则m 的取值范围是( C )A ．m <0B ．m >0C ．m <13D ．m >13例4若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝mx(m<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( B )A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3命题点三：根据反比例函数的定义求比例系数k的值或范围例5(1)如图，过点C(1,2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反比例函数y＝kx(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( A )A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8【方法归纳】当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加难度，从代数式的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长度的转化是数形结合的桥梁．(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C(0,3)，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为( A )A．3 B．4 C．6 D．12例6如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3B D.反比例函数y＝kx(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )A ．81325 B ．81316 C ．8135 D ．8134命题点四：利用反比例函数代数式求值 【方法归纳】如图，反比例函数||k 的几何意义：①S △AOB ＝S △AOC ＝12|k |；②S 矩形OBAC ＝|k |.下面两个结论是上述结论的 拓展：①如图①，S △OPA ＝S △OCD ，S △OPC ＝S 梯形PADC ； ②如图②，S 梯形OAPB ＝S 梯形OBCA ， S △BPE ＝S △ACE .例7(1)如图，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝4x交于A(x1，y1), B(x2，y2) 两点，则2x1y2－7x2y1的值等于 20 .(2)如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝9x在第一象限的图象经过点B，则OA2－AB2的为 18 .例8(1)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝6x的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 24 .(2)如图，A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝1x (x>0)于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2－OD2的值为 6 .命题点五：利用函数的系数，判断函数图象的可能性例9反比例函数y＝kbx的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( C )例10如图，在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是( C )命题点六：利用反比例函数k的几何意义解题例11(1)下列选项中，涂色部分面积最小的是( C )(2)如图，在平面直角坐标系中，A(－6,0)，曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为－6，－4，－2的三点B，C，D分别向x轴，y轴作垂线，图中的涂色部分是由这些垂线围成的，且面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为 27 .例12如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C(3,4)，边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA，交平行四边形各边如图．若反比例函数y＝kx的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为( B )A．16 B．20 C．24 D．26 命题点七：关于叠加曲线的问题例13(2018·宁波)如图，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为( A )A．8 B．－8 C．4 D．－4例14(1)如图，A为函数y＝9x (x>0)图象上一点，连结OA，交函数y＝1x(x>0)的图象于点B，C是x轴上的一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 6 .命题点八：关于反比例函数的规律性问题例15如图，在反比例函数y＝10x(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3, P4，…，它们的横坐标依次为2,4,6,8，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝10－10n＋1(用含n的代数式表示)．例16如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P100A99A100是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，P100在反比例函数y＝4x的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A99A100都在x轴上，则点A100的坐标是 (40,0) .课后练习1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4,0)，点B在y轴上．若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为( A )A．y＝3x B．y＝4xC．y＝5xD．y＝6x2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝2x上的三点，x1<x2<x3，y2<y1<y3，则下列关系式不正确的是( A )A．x1·x2<0 B．x1·x3<0 C．x2·x3<0 D．x1＋x2<03．(2018·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝－2x的图象交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数y ＝4x的图象于点C ，连结BC ，则△ABC 的面积为( C )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC 交x 轴于点E ，BD 交x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1等于( A )A ．4B ．143 C ．163D ．6 5．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数y ＝k x (k >0)的图象交BC 于点M ，交CD 于点N .若A 点坐标为(－2，－2)，S OMN ＝32，则k 的值为( B )A ．52B ．2C ．32D ．16．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,5)，C(6,1)．若函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围为2≤k≤494.7．(2018·德州)如图，反比例函数y＝3x与一次函数y＝x－2的图象在第三象限相交于点A，点B的坐标为(－3,0)，P是y轴左侧的一点．若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 (－4，－3)，(－2,3) .8．如图，点A，B在反比例函数y＝1x(x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝kx(k>0)的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为 3 .9．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是3≤a≤3＋1.10．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝mx与y＝nx(x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m＝4，n＝20时，①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数y＝mx为y＝4x.当x＝4时，y＝1，∴点B的坐标为(4,1)．当y＝2时，2＝4x，x＝2，∴点A的坐标为(2,2)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b.∴⎩⎨⎧2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝3.∴直线AB 的表达式为y ＝－12x ＋3.②四边形ABCD 是菱形．理由如下： 由题①，知点B 的坐标为(4,1)． ∵BD ∥y 轴，∴点D 的坐标为(4,5)． ∵点P 是线段BD 的中点， ∴点P 的坐标为(4,3)． 当y ＝3时，由y ＝4x ，得x ＝43；由y ＝20x ，得x ＝203.∴PA ＝4－43＝83，PC ＝203－4＝83.∴PA ＝P C.∵PB ＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)能．理由如下：当四边形ABCD 是正方形时，记AC ，BD 的交点为P ， ∴BD ＝A C.当x ＝4时，y ＝m x ＝m 4，y ＝n x ＝n4，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，m 4，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，n 4.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，m ＋n 8. ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8m m ＋n ，m ＋n 8，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8n m ＋n ，m ＋n 8. ∵AC ＝BD ，∴8n m ＋n －8m m ＋n ＝n 4－m 4. ∴m ＋n ＝32.11．(2018·泰州)在平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝k x(x >0)的图象上，点A ′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点A ′.(1)设a ＝2，点B (4,2)在函数y 1，y 2的图象上， ①分别求函数y 1，y 2的表达式； ②直接写出使y 1>y 2>0成立的x 的范围．(2)如图①，设函数y 1，y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA ′B 的面积为16，求k 的值．(3)设m ＝12，如图②，过点A 作AD ⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．解：(1)①∵点B 在y 1的图象上，∴k ＝2×4＝8.∴y 1＝8x.∵a ＝2，点A 在y 1的图象上，∴点A 的坐标为(2,4)，点A ′的坐标为(－2，－4)．将点A ′和B 的坐标代入y 2，得⎩⎨⎧4m ＋n ＝2，－2m ＋n ＝－4，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2.∴y 2＝x －2.②2<x <4.(2)分别过点A ，B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连结O B.∵O 为AA ′的中点，∴S △AOB ＝12S △AA ′B ＝8.∵点A ，B 在双曲线上，∴S △AOC ＝S △BO D . ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8.根据已知，点A ，B 坐标可设为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，k 3a ，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3a ＋k a ×2a ＝8，解得k ＝6. (3)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，则A ′⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－k a .把A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－k a 代入y ＝12x ＋n ，得－k a ＝－12a ＋n ，∴n ＝12a －k a .∴A ′D 的表达式为y 2＝12x ＋12a －ka .当x ＝a 时，点D 的纵坐标为a －ka， ∴AD ＝2ka－a.∵在正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∴点F 和点P 的横坐标为a ＋2k a －a ＝2k a.∴点P 的纵坐标为12×2k a ＋12a －k a ＝12a ，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k a ，12a .把点P 的横坐标2k a 代入y 1＝k x (x >0)，得y 1＝12a.∴点P 在y 1＝kx(x >0)的图象上．12．(自主招生模拟题)如图，反比例函数y ＝kx位于第一象限的图象上有A ，B 两点，从点A 作AD ⊥y 轴于点D ，从点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若△OAB 的面积为56，△OCD 的面积为32，则k 的值为( B )A ．32B ．2C ．52D ．313．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝ －x －1，双曲线y ＝1x.在l 上取点A 1，过A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2.请继续操作并探究：过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，记点A n 的横坐标为a n .若a 1＝2, 则a 2＝ －32 ，a 2013＝ －13 ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是 0，－1 .14．(自主招生模拟题)已知点O 是坐标系的原点，直线y ＝－x ＋m ＋n 与双曲线y ＝1x交于两个不同点A (m ，n )(m ≥2)和B (p ，q )，直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ，求△OBC 的面积S 的取值范围．解：∵直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ， ∴C (0，m ＋n )．∵点B (p ，q )在直线y ＝－x ＋m ＋n 上， ∴q ＝－p ＋m ＋n .又∵点A ，B 在双曲线y ＝1x上，∴1p ＝－p ＋m ＋1m ，即p －m ＝p －m pm.∵点A ，B 是不同的点， ∴p －m ≠0. ∴pm ＝1. ∵mn ＝1， ∴p ＝n ，q ＝m . ∵1＞0，∴在每一个象限内，反比例函数y ＝1x的函数值y 随自变量x 的增大而减小．∴当m ≥2时，0<n ≤12.∵S ＝12(p ＋q )p ＝12p 2＋12pq ＝12n 2＋12，∴当0<n ≤12时，S 随自变量n 的增大而增大．∴12<S ≤58.。
浙教版初中数学八年级下册第六单元《反比例函数》(较易)(含答案解析)
浙教版初中数学八年级下册第六单元《反比例函数》（较易）（含答案解析）考试范围：第六单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数中，y不是x的反比例函数的是( )A. xy=2(x≠0)B. y=2x−1(x≠0)C. y=2xD. y=3x(x≠0)2. 反比例函数y=−3x的比例系数是( )A. −3B. 3C. −13D. 133. 已知一个函数满足下表(x为自变量): x···−3−2−1123···y···34.59−9−4.5−3···则这个函数的表达式为( )A. y=9x B. y=−9xC. y=x9D. y=−x94. 已知点(−2,a)(2,b)(3,c)在函数y=kx(k>0)的图象上，则下列判断正确的是( )A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<b<a5. 如果点(3,−4)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( )A. (3,4)B. (−2,−6)C. (−2,6)D. (−3,−4)6. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点C，则k的值为( )A. 4B. −4C. −3D. 37. 如果反比例函数y=a−2(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是( )xA. a<0B. a>0C. a<2D. a>28. 如图，点A在反比例函数y=k(x>0)图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，xAC，若△AOC的面积为2，则k=( )A. 4B. 8C. 12D. 169. 1888年，海因里希⋅鲁道夫⋅赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ(单位：米)、频率f(单位：赫兹)满足函数关系λf=3×108，下列说法正确的是( )A. 电磁波波长是频率的正比例函数B. 电磁波波长20000米时，对应的频率1500赫兹C. 电磁波波长小于30000米时，频率小于10000赫兹D. 电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹10. 如图，点A是反比例函数y=2(x>0)图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的x动点，则△ABC的面积为( )A. 1B. 2C. 4D. 不能确定11. 如图，点P ，点Q 都在反比例函数y =kx 的图象上，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 作x 轴的垂线，交x 轴于点A ，△OAQ 的面积为S 2，若S 1+S 2=3，则k 的值为( )A. 2B. 1C. −1D. −212. 如图，双曲线y =−32x (x <0)经过▱ABCO 的对角线交点D ，已知边OC 在y 轴上，且AC ⊥OC 于点C ，则▱OABC 的面积是( )A. 32B. 94C. 3D. 6第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数y =20x，当y =14时，x =___________．14. 如果反比例函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2,3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而________.(填“增大”或“减小”)．15. 反比例函数y =5x 的图象在第 象限．16. 如图，点A在反比例函数y=√3x(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC=1时，△ABC的周长为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
考点06 反比例函数应用(解析版)
考点六反比例函数应用知识点整合一、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例引领(1)请求出v与F之间的函数关系式；(2)当它所受牵引力为2400牛时，汽车的速度为多少米【答案】(1)60000 vF =；(2)当它所受牵引力为2400牛时，汽车的速度为x(1)求k的值.(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于k=【答案】(1)240(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于变式拓展(1)求反比例图数的表达式，并求点(2)张老师在一节课上从第10张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少【答案】(1)反比例函数的表达式为(2)当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到(1)求y与x之间的函数关系式：(2)求w与x之间的函数关系式，并求出当日利润为(1)分别求出材料煅烧和锻造时y (2)根据工艺要求，当材料温度低于【答案】(1)燃烧时函数解析式为()48006y x x=≥(2)4min(1)根据函数图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为达式为；（并写出x 的取值范围）(2)求血液中酒精浓度不低于200【答案】(1)y 10004x x ≤＝（＜）。
北师大版九年级上册数学第六章 反比例函数含答案(能力提升)
北师大版九年级上册数学第六章反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果反比例函数y=的图象经过点(-1，-2)，则k的值是( )．A.2B.-2C.-3D.32、在反比例函数的图象的每个象限内，y随x的增大而增大，则k值可以是（）A.－1B.1C.2D.33、如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的点A和点B的坐标为A(1，0)、B(0，3)，点D在双曲线y= (k≠0)上.若正方形沿x轴负方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则m的值是( )A.1B.2C.3D.44、已知是反比例函数，则该函数的图象在( )A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限5、若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＜y2B.y1=y2C.y1＞y2D.无法确定6、已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是( )A.2B.－2C.±2D.－7、根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：①x＜0时，y＝②△OPQ的面积为定值．③x＞0时，y随x的增大而增大．④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤8、反比例函数y＝的图象经过点P(a，b)，其中a，b是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两根，那么点P的坐标是( )A.(1，4)B.(－1，－4)C.(2，2)D.(－2，－2)9、反比例函数的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是（）A. B. C. D.10、下列函数：①；②；③；④中，y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、矩形面积为3cm2，则它的宽y(cm)与x(cm)长之间的函数图象位于（）A.第一、三象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限12、如果双曲线过点（3，－2），那么下列的点在该双曲线上的是（）A.（3，0）B.（0，6）C.（－1.25，8）D.（－1.5，4）13、若反比例函数（k≠0）的图像经过点（-2,6），则下列各点在这个函数图像上的是（）.A. B. C. D.14、如图所示，平行四边形的顶点C在轴的正半轴上，O为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点A，交于点E，连接.若，轴，，则k的值为（）A.12B.16C.18D.2415、某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则y与x之间的函数图象应为图中的（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，面积为6的菱形AOBC的两点A，B在反比例函数（x>0）的图象上,则点C的坐标为________.17、如图，已知点A、C在反比例函数y= 的图象上，点B，D在反比例函数y= 的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB= ，CD= ，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是________．18、在平面直角坐标系xOy中，当m，n满足mn＝k（k为常数，且m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）为“等积点”．若直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且该直线上有且只有一个“等积点”，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点E是直线AC上的“等积点”，点F是直线BC上的“等积点”，若△OEF的面积为，则OE=________．19、如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y= （x＜0）的图象经过点A，S△BEC=8，则k=________．20、把一个长、宽、高分别是3 dm，2 dm，1 dm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(单位：dm2)与高h(单位：dm)之间的函数关系式是________．21、如图，一次函数y=x+m（m＞0）的图像与x轴和y轴分别相交点A和点B，与反比例函数的图像在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D、E，当S四边形ODCE =S△OAB，则m的值为________．22、如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y= 的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=________．23、若点和点在反比例函数的图象上，则与的大小关系为________.24、如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为________．25、若反比例函数y= 的图象经过点A（a，2），则a的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知, 与成正比例, 与成反比例，且当时,; 时, .试求当时, 的值.27、已知：如图所示，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B，作AC⊥ 轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．28、已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．29、若函数y=（m+1）是反比例函数，求m的值．30、已知函数y=是关于x的反比例函数，求m的值并写出函数表达式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、B4、B5、C6、B7、B8、D9、D10、A11、D12、D14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
决战中考数学压轴题综合提升训练：《反比例函数》(解析版)
决战2020中考数学压轴题综合提升训练：《反比例函数》1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y ＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x 1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k ＝，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：．（2）当时，整理，得5t2﹣16t+12＝0，解得：t1＝2，．（3）经过点D的双曲线的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝3，BC＝4，∴．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴，∴OD＝3．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，，，∴，，∴点D的坐标为，∴经过点D的双曲线的k值为．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B （n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，∴点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；（2）设AB与x轴相交于点C，如图，当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×2×2+×2×6，＝2+6，＝8；（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴点P和点Q不在同一象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA，∴AE＝3，∵EC⊥x轴，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝3，∴C（4，3），∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴D（﹣3，﹣4）．（2）如图，设M（a，a﹣1）．当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴|a﹣1﹣|＝3，解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝（x＞0）经过点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M 的坐标．解：（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．当x＝0时，y＝kx+2＝2，∴OA＝2．∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+2．∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，∴BD∥OA．∵OE＝OB＝2，∴BD＝2OA＝4，∴点D的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴n＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝．（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．∵点D的坐标为（2，4），∴点D′的坐标为（2，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x＝，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；②当CD为对角线时，，解得：，∴点M2的坐标为（，6）；③当CP为对角线时，，解得：，∴点M3的坐标为（，﹣2）．综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A（1，﹣6）把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），设M（m，0），m＞0，∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，∴|m+2|×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C 作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求直线AD对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．解：（1）设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2，0），∴解得∴直线AD的解析式为y＝x+2．（2）∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；（3）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影＝4×3＝12．9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，∴y＝，OA＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：∴y＝2x﹣5；（2）作MD⊥y轴．∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．∵MB＝MC，∴CD＝BD，∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5解得：x＝∴2x﹣5＝，∴点M的坐标为（，）．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△＝S矩形OABC．PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y＝．∵S△PAO＝S矩形OABC，∴×3×y P＝×3×5，∴y P＝3．当y＝3时，＝3，解得：x＝5，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．∵点O的坐标为（0，0），∴点O′的坐标为（0，6）．∵点A的坐标为（3，0），∴AO′＝＝3，∴PO+PA的最小值为3．（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，∴AB不能为对角线，只能为边．设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，解得：m1＝﹣1，m2＝7，∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，解得：m3＝3﹣，m4＝3+，同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，∴y1＝，y2＝．∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，∴x1﹣x2＝．又∵x1＜x2，∴＝1，∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＝OD．（2）解：∵tan∠BOC＝，∴＝．又∵OC＝，∴+＝10，∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为（1，3）．（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，∴tan∠AOD＝，∴＝．∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3，∴x2•y2＝3，∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是8 ，AB的长是 4 ；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF＝6，BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），∴k＝mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A （﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），∴a＝×8＝4，∴点A的坐标为（8，4），∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），∴4＝，得k＝32，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设BP＝b，则AP＝b+2，∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，∴AB＝4，∠ABP＝90°，∴b2+42＝（b+2）2，解得，b＝3，∴OP＝8﹣3＝5，即线段OP的长是5；（3）设点D的坐标为（d，d），∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，∴，解得，d＝，∴d＝，∴点D的坐标为（，）．15．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝＝．得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．（3）如图（2）若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离．解：（1）∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），∴根据两点间的距离公式得，AB＝；（2）设点P（0，a），∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），∵PA＝，PB＝，∵PA＝PB，∴＝，∴a＝5，∴P（0，5）；（3）∵双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，∴OA＝，k＝1×2＝2，∴双曲线L1：y＝（x＞0），双曲线L2：y＝﹣（x＞0），设点D坐标为（m，﹣）（m＞0），∴OD＝，由旋转知，OA＝OD，∴＝，∴m＝±1或m＝±2，∵m＞0，∴m＝1或m＝2，∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．∵A（1，2），∴AD＝4或．。
九年级数学第六章反比例函数反比例函数知能演练提升北师大版
第六章反比例函数1.反比例函数知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.下列函数关系式中,y是x的反比例函数的是()A.y=B.y=-+1C.y=D.y=-2.若y是x的反比例函数,且常数k=,则y与x的函数关系式是()A.y=xB.y=C.y=D.y=3.已知y1=mx(m≠0),y2=(k≠0),当x=1时,y1=y2,当x=2时,y1=y2+9,当x=3时,y1-y2的值为()A.3B.12C.16D.214.若y=(a+1)是反比例函数,则a的取值为()A.1B.-1C.±1D.任意实数5.把一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为.6.在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量的某种气体,当改变容积V时,气体的密度ρ也随之改变.在一定范围内,密度ρ是容积V的反比例函数.当容积为5 m3时,密度是1.4 kg/m3,则ρ与V的函数关系式为.7.已知y=y1-y2,y1与x+2成正比例,y2与x成反比例,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=1,求y与x的函数关系式.8.人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的,车速增加,视野变窄.当车速为50 km/h时,视野为80度.如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数,求f,v 之间的关系式,并计算当车速为100 km/h时视野的度数.创新应用9.在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,取一块含45°角的直角三角板,将45°角的顶点放在△ABC的斜边BC的中点O处(如图①),顺时针方向旋转,使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图②),设BE=x,CF=y.求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.答案：能力提升1.D2.B y=,所以B选项符合题意.3.C根据题意,得解得∴y1=6x,y2=,故当x=3时,y1-y2=18-2=16.4.A∵此函数是反比例函数,∴解得a=1.容易忽略a+1≠0这个条件.5.S=6.ρ=可设ρ=(m为常数,m≠0),把ρ=1.4,V=5代入可得m=7,所以ρ与V的函数关系式为ρ=.7.解设y1=k1(x+2),y2=.所以y=k1(x+2)-.所以所以所以y=x-.8.解设f,v之间的关系式为f=(k≠0).当v=50时,f=80,故k=4 000,所以f=.则当v=100时,f=40.答:当车速为100 km/h时,视野为40度.创新应用9.解因为∠EOC=∠B+∠BEO,所以∠EOF+∠COF=∠B+∠BEO.又因为∠B=∠EOF=∠C=45°,所以∠COF=∠BEO.所以△BEO∽△COF.所以,即CF=.又因为BO=CO=BC=, 又有BE=x,CF=y, 所以y=(1≤x≤2).。
反比例函数练习题(解析版)
基础过关
第149页第1题
难度：基础题
考点：反比例函数的图像和性质
解题思路：本题考查反比例函数的图象和性质，由 即可解得答案.
解析：解：∵ 的图象位于第一、第三象限，∴ ，即 .
答案：A
点拨：本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当 时，图象分别位于第一、三象限；当 时，图象分别位于第二、四象限.
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 .
答案：反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为
点拨：已知函数图象过某个点，则这个点的坐标应适合这个函数解析式.
第141页第9题
难度：基础题
考点：反比例函数的意义
解题思路：根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入 ，再把当 代入关于 的关系式，求出未知数的值，即可求出 与 之间的函数关系式.
第140页第2题
难度：基础题
考点：反比例函数的意义
解题思路：根据每一个选项的题意，列出方程，然后由反比例函数的定义进行一一验证即可.
解析：解：A、根据题意，得 ，所以 与 不是反比例关系，错误；
B、根据题意，得 ，所以 与 不是反比例关系，错误；
C、根据题意，得 ，所以 不是反比例关系，错误；
D。、根据题意，得 ，∴当 一定时， 之间的关系是反比例关系.
答案： ； 是 的反比例函数；人均报酬随人数的增加而减少
点拨：本题考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据总报酬=人均报酬×人数列出函数关系式.
第141页第8题
难度：基础题考点：反比来自函数解析式的求法；一次函数解析式的求法
解题思路：把A(1，1)代入两个函数解析式即可求解.
解析：解：将点A(1，1)代入 ，得 ，解得
(必考题)初中数学九年级数学上册第六单元《反比例函数》检测(答案解析)(3)
一、选择题1．如图，反比例函数k y x=(0)k ≠图象经过A 点，AC x ⊥轴，CO BO =，若6ACB S =△，则k 的值为（ ）A ．-6B ．6C ．3D ．-3【答案】A【分析】 根据反比例函数k y x =(0)k ≠图象经过A 点，可设A 点的坐标是,k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得k AC x =，CO BO x ==-，2CB x =-，再根据162ACB S AC CB ==△，化简求值即可． 【详解】解：∵反比例函数k y x=(0)k ≠图象经过A 点， ∴设A 点的坐标是：,k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵A 点在第二象限，则：k AC x=，CO BO x ==-， ∴2CB x =-， ∵162ACB S AC CB ==△， 即：()262k x x⨯-=⨯ ∴6k =-，故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟悉相关性质是解题的关键．2．若反比例函数1y k x+=（k 是常数）的图象在第一、三象限，则k 的取值范围是（ ）A ．0k <B ．0k >C ．1k <-D ．1k >-【答案】D【分析】 先根据反比例函数的性质得出k+1＞0，再解不等式即可得出结果．【详解】解：∵反比例函数1y k x+=（k 为常数）的图象在第一、三象限， ∴k+1＞0，解得k>-1．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．3．已知反比例函数y ＝6x-，下列说法中正确的是（ ） A ．图象分布在第一、三象限 B ．点（﹣4，﹣3）在函数图象上C ．y 随x 的增大而增大D ．图象关于原点对称 【答案】D【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，再逐个判断即可．【详解】解：A ．∵反比例函数y ＝6x-中﹣6＜0， ∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B ．把（﹣4，﹣3）代入y ＝6x -得：左边＝﹣3，右边＝32，左边≠右边， 所以点（﹣4，﹣3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意； C ．∵反比例函数y ＝6x-中﹣6＜0， ∴函数的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；D ．反比例函数y ＝6x -的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4．若函数k y x =的图象经过点A （－1，2），则k 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】D【分析】 把已知点的坐标代入计算即可．【详解】∵函数k y x =的图象经过点A （－1，2）， ∴21k =-， ∴k= -2；故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数与点的关系，根据图像过点，点的坐标满足函数的解析式求解是解题的关键．5．已知反比例函数5y x =-，下列结论不正确的是（ ） A ．其图象经过点(1,5)-B ．其图象位于第二、第四象限C ．当0x < 时，y 随x 的增大而增大D ．当1x >- 时，5y >【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，图像与点的关系，逐一判断即可．【详解】∵反比例函数5y x=-， ∴xy= -5，∵1×（-5）=-5；∴图象经过点(1,5)-，∴选项A 正确；∵k= -5＜0，∴图象分布在二、四象限，∴选项B 正确；∵k= -5＜0，∴图象分布在二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵当0x < 时，图像分布在第二象限，∴选项C 正确；∵当0＞1x >- 时，5y >；当0x > 时，y 5＜0＜，∴选项D 错误；故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，性质，熟记图像分布与性质是解题的关键．6．如图，点A 在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，若OAB ∆的面积为3，则k 的值为（ ）A ．-6B ． 6C ．-3D ．3 【答案】A【分析】 设出点A 的坐标，用坐标表示面积列方程即可．【详解】解：设A 点坐标为（a ，k a ），则AB=k a，OB=-a ， 12OAB S AB OB ∆=⨯, 13()2k a a=⨯⨯-， 解得，k=-6，故选：A ．【点睛】 本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，解题关键是设反比例函数图象上点的坐标，用坐标表示面积．7．已知反比例函数8y x=-，下列结论中不正确的是（ ） A ．函数图象经过点()2,4-B ．函数图象分别位于第二、四象限D ．若4x <-，则02y <<【答案】C【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、∵k=-2×4=-8，∴此函数图象过点（-2，4），故本选项不符合题意；B 、∵k=-8＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项不符命题意；C 、∵k=-8＜0，∴在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，故本选项符合题意；D 、当4x <-，则02y <<，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．8．反比例函数1y x =-的图象上有两点()111,P x y ，()222,P x y ，若120x x <<，则下列结论正确的是（ ）A ．110y y <<B ．120y y <<C ．120y y >>D ．120y y >> 【答案】D【分析】由反比例函数的解析式可知xy=-1，故x 与y 异号，于是可判断出y 1、y 2的正负，从而得到问题的答案．【详解】解：∵1y x =-， ∴xy=-1．∴x 、y 异号．∵x 1＜0＜x 2，∴y 1＞0＞y 2．故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，确定出y 1、y 2的正负是解题的关键．9．对于反比例函数2y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点()2,1--B ．已知点()12,P y -和点()26,Q y ，则12y y <C ．其图象既是轴对称图形也是中心对称图形D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】C【分析】根据反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解: A 、把点 ()2,1-- 代入反比例函数y=2x -,得-1≠2--2，故不正确； B 、把点 ()12,P y - 代入反比例函数y 1=221--=，把点 ()26,Q y 代入反比例函数y 2=2361-=-，12y y ＞，故不正确； C 、其图象既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；D 、k=-2＜0，∴在每一象限内y 随x 的增大而增大，故不正确;故选C ．【点睛】 本题考查了反比例函数y= k x(k≠0)的性质: ①当k>0 时，图象分别位于第一、 三象限;当k<0时， 图象分别位于第二、 四象限；②当k>0时，在同一个象限内， y 随x 的增大而减小；当k<0时， 在同一个象限， y 随x 的增大而增大．10．如图，直线y kx b =+与双曲线21(0)m y x x+=>交于()11,A x y ，()()2212,B x y x x <，直线AB 交x 轴于()0,0C x ，下列命题：①1221x x y y =；②当12x x x <<时，21m kx b x++>；③若(,)M t s 为线段AB 的中点，则012t x =，其中正确的命题有（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】D【分析】根据反比例函数上的点横纵坐标之积相等，可得x 1y 1=x 2y 2，整理即可判断①； 结合函数图象一次函数在反比例函数上的的部分可对②进行判断； 根据线段的中点公式可得122x x t +=，联立反比例函数和一次函数整理后得一元二次方程2210kx bx m +--=，根据根与系数关系可得12b x x k +=-，由此可得2t kb =-，由一次函数与x 轴的交点可得0b x k=-，由此可判断③． 【详解】 解：∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在双曲线21(0)m y x x+=>上， ∴x 1y 1=x 2y 2=m 2+1， ∴1221x x y y =，①正确； ∵当x 1＜x ＜x 2时，直线y=kx+b 在双曲线21(0)m y x x+=>上方， ∴当12x x x <<时，21m kx b x++>，②正确； ∵M （t ，s ）为线段AB 的中点， ∴122x x t +=， 当21m kx b x++=时， 即2210kx bx m +--=， 此时，12b x x k +=-， ∴2t kb =-， 把C （x 0，0）代入y=kx+b 得kx 0+b=0， 解得0b x k=-， ∴x 1+x 2=x 0， ∴012t x =，所以③正确． 故选：D ．【点睛】 本题考查判断命题的真假，一次函数与反比例函数综合．理解函数上点的坐标特征，能借助这些特征表示点的坐标是解题关键．③中用到了两个函数交点坐标即联立它们所成方程组的解．11．对于反比例函数y=3x ，下列判断正确的是( ) A ．图象经过点(-1，3)B ．图象在第二、四象限C ．不论x 为何值，y>0D ．图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数k y x=的性质：当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，以及凡是反比例函数经过的点横纵坐标之积k =进行分析即可．【详解】A 、133k -⨯=-≠，该选项错误；B 、∵30k =>，∴图象在第一、三象限，该选项错误；C 、∵30k =>，∴当0x >时，0y >，该选项错误；D 、∵30k =>，∴图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小，该选项正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数k y x=的性质：（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．12．如图，点A (m ，m +1)、B (m +3，m −1)是反比例函数(0)k y x x=>与直线AB 的交点，则直线AB 的函数解析式为（ ）A ．142y x =-+B ．263y x =-+C．162y x=-+D．243y x=-+【答案】B【分析】根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出m的值，便可求出一次函数的解析式；【详解】由题意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1）解得m=3．∴A（3，4），B（6，2）；设AB的解析式为y ax b=+∴3462a ba b+⎧⎨+⎩＝＝解得236ab⎧=-⎪⎨⎪⎩＝∴AB的解析式为263y x=-+故选B.【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，比较简单．二、填空题13．如图，点A在双曲线2(0)y xx=-<上，连接OA，作OB OA⊥，交双曲线(0)ky kx=>于点B，若2OB OA=，则k的值为_________．14．如图，点A在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD=2：1，S△AD C=53．则k 的值为________．15．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()P kpa 是气球体积V 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kpa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积V 的范围是__________．16．若点(4,3)A ，(2,)B m 在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为_______． 17．如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过等边ABC 的顶点A ，B ，且原点O 刚好在线段AB 上，已知点C 的坐标是()3,3-，则k 的值为________．18．如图，直角坐标系中，A 是反比例函数12(0)y x x=>图象上一点， B 是y 轴正半轴上一点，以OA ，AB 为邻边作ABCO 若点C 及BC 中点D 都在反比例函数 k y x =（0k <，0x <）图象上，则k 的值为 ________ ．19．双曲线2y x=-经过点A(-1，1y )，B(2，2y )，则1y ________2y (填“>”，“<”或“=”). 20．已知反比例函数6y x=，在其位于第三像限内的图像上有一点M ，从M 点向y 轴引垂线与y 轴交于点N ，连接M 与坐标原点O ，则ΔMNO 面积是_____．三、解答题21．在平面直角坐标系平面中，直线12y x =经过点(),2A m ，反比例函数()0ky k x =≠的图像经过点A 和点()8,B n ． （1）求反比例函数的解析式；（2）在x 轴上找一点C ，当AC BC =时，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，求ACB ∆的面积．22．在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于A ，B 两点，若()4,1A ，点B 的横坐标为2-，求反比例函数及一次函数的解析式． 23．如图，一次函数y x b =+的图象与y 轴正半轴交于点C ，与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，若2OC =，点B 的纵坐标为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积．24．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式．（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？25．如图，反比例函数myx=与一次函数y kx b=+的图象交于A（1，3）和B（－3，n）两点．（1）求m、n的值；（2）当x取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）求出△OAB 的面积．26．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数2||y x =的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1． 列表：下表是x 与y 的几组对应值； x…-3-2-112- 121 2 3 …y …231 2 442 123…描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察下图，写出该函数的两条性质； ①_________________________________________； ②_________________________________________； （3）①观察发现：如图，若直线2y =交函数2||y x =的图象于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作//BC OA 交x 轴于C ．则OABC S =四边形______；②探究思考：将①中“直线2y =”改为“直线(0)y a a =>”，其他条件不变，则OABC S =四边形______；③类比猜想：若直线(0)y a a =>交函数(0)||ky k x =>的图象于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作//BC OA 交x 轴于C ，则OABC S =四边形______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．无 2．无 3．无 4．无 5．无 6．无 7．无 8．无 9．无 10．无 11．无 12．无二、填空题13．8【分析】过点A 作轴过点B 作轴利用相似三角形的性质求解即可；【详解】过点A 作轴过点B 作轴∵∴∴∵∴∴∵A 在上设∴∵∴∴∴B 的坐标为将点B 的坐标代入则；故答案是8【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用 解析：8 【分析】过点A 作AE x ⊥轴，过点B 作BF x ⊥轴，利用相似三角形的性质求解即可； 【详解】过点A 作AE x ⊥轴，过点B 作BF x ⊥轴，∵OB OA ⊥， ∴90AOB ∠=︒， ∴2390∠+∠=︒， ∵1290∠+∠=︒， ∴13∠=∠，∴AEOOFB ， ∵A 在2(0)y x x=-<上，设()1112,＜0A x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴1OE x =，12AE x -=，∵2OB OA =， ∴12EO AE AO FB OF OB ===， ∴11222FB EO x x ===-，112422OF AE x x -===-，∴B 的坐标为114,2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入(0)ky k x=>， 则()11428k x x =-⨯-=；故答案是8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，准确计算是解题的关键．14．8【分析】作AE ⊥OD 于ECF ⊥OD 于F 由BC ：CD=2：1S △ADC=可求S△ACB=由OA=OBS△AOC=S△ACB=设B（2m2n）可得A（mn）由AC在y=上BC=2CD可求k=mnC（m解析：8【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．由BC：CD=2：1，S△ADC=53，可求S△ACB=103，由OA=OB，S△AOC=S△ACB=103，设B（2m，2n），可得A（m，n），由A、C在y=kx上，BC=2CD，可求k=mn，C（32m，23n），可推得S△AOC= S梯形AEFC即可解决问题．【详解】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．∵BC：CD=2：1，S△ADC=53，∴S△ACB=103，∵OA=OB，∴B（2m，2n），S△AOC=S△ACB=103，A（m，n），∵A、C在y=kx上，BC=2CD，∴k=mn，∴C（32m，23n），∵S△AOC=S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF=S梯形AEFC，∴12•（n+23n）×12m=103，∴mn=8，∴k=8．故答案为：8．【点睛】过反比例函数y=kx（k ≠0），图像上一点P （x,y ），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S=x y k =.过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为12k .所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数从而有k 的绝对值.在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便．15．【分析】利用待定系数法结合反比例函数图象上的点（1564）可求得反比例函数的解析式再根据题意即可求出当时V 的范围【详解】解：设球内气体的气压P （kPa ）和气体体积V （m3）的关系式为∵图象过点（15 解析：0.6V ≥【分析】利用待定系数法结合反比例函数图象上的点（1.5，64）可求得反比例函数的解析式，再根据题意即可求出当160P ≤时V 的范围． 【详解】解：设球内气体的气压P （kPa ）和气体体积V （m 3）的关系式为k P V=， ∵图象过点（1.5，64）， ∴ 1.56496k =⨯=， ∴96P V=． ∵在第一象限内，P 随V 的增大而减小， ∴当160P ≤时，96160V≤， ∴0.6V ≥． 故答案为：0.6V ≥． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．16．；【分析】设反比例函数解析式为y=根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=4×3=2m 然后解关于m 的方程即可【详解】解：设反比例函数解析式为y=根据题意得k=4×3=2m 解得m=6故答案为6【点睛】解析：6； 【分析】设反比例函数解析式为y=kx，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=4×3=2m ，然后解关于m 的方程即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为y=kx，根据题意得k=4×3=2m，解得m=6．故答案为6．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．17．3【分析】连结OC过C作CD⊥x轴于DBE⊥x轴于E由对称性可知：OA＝OB由△ABC是等边三角形得三线合一知OC⊥AB再根据C点坐标求出OCOB的长利用直角三角形OCD求出∠DOC=45º∠EOB解析：3【分析】连结OC，过C作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由对称性可知：OA＝OB，由△ABC是等边三角形得三线合一知，OC⊥AB，再根据C点坐标，求出OC,OB的长，利用直角三角形OCD，求出∠DOC=45º，∠EOB=45º，得到OE=BE在Rt△BEO中OE2+BE2=OB2=6求出，根据点B所在象限求出B点坐标，再代入即可求出k值．【详解】解：连结OC，过C作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由对称性可知：OA＝OB，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵C（-3，3），∴OC＝∴OB，∵OD=CD=3，∴∠DOC=∠DCO=45º，∴∠EOB=90º-∠DOC=90º-45º=45º，∴OE=BE，在Rt△BEO中OE2+BE2=OB2=6，∴∵点B在第三象限，∴B（把B点坐标代入y＝kx，得到k＝3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像和性质，等腰直角三角的性质，勾股定理，解题的关键是利用反比例函数的对称性与等边三角形的三线合一．18．-6【分析】设根据平行四边形的性质可得出CD 的坐标将其带入反比例函数解析式求解即可【详解】设根据平行四边形对角线互相平分可得OB 的中点即为AC 的中点而OB 的中点为由此可得：∵D 为BC 的中点∴∵CD 均解析：-6 【分析】 设()120A a,,B ,m a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据平行四边形的性质可得出C 、D 的坐标，将其带入反比例函数解析式求解即可． 【详解】 设()120A a,,B ,m a ⎛⎫⎪⎝⎭， 根据平行四边形对角线互相平分，可得OB 的中点即为AC 的中点， 而OB 的中点为0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得：12C a,m a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵D 为BC 的中点， ∴62aD ,m a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵C 、D 均在反比例函数图象上， ∴1262a k a m m a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：18am =，6k =-，故答案为：-6． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质，熟练结合平行四边形的性质设出各点的坐标是解题关键．19．【分析】把点AB 的坐标代入函数解析式求出比较大小即可【详解】解：把点AB 的坐标代入函数解析式得∴＞故答案为：＞【点睛】本题考查了根据函数解析式比较函数值的大小本题也可以画出函数图象描点借助图象比较函 解析：>【分析】把点A 、B 的坐标代入函数解析式求出1y ，2y ，比较大小即可． 【详解】解：把点A 、B 的坐标代入函数解析式2y x=-得 122y =x 1=2=---，222y ==1x 1=---，∴1y ＞2y ． 故答案为：＞ 【点睛】本题考查了根据函数解析式比较函数值的大小，本题也可以画出函数图象，描点，借助图象比较函数值的大小．20．3【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到：△MNO 的面积为|k|即可得出答案【详解】∵反比例函数的解析式为∴k=6∵点M 在反比例函数图象上MN ⊥y 轴于N ∴S △MNO=|k|=3故答案为：3【点睛解析：3 【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到：△MNO 的面积为12|k|，即可得出答案． 【详解】∵反比例函数的解析式为6y x=， ∴k=6，∵点M 在反比例函数6y x=图象上，MN ⊥y 轴于N ， ∴S △MNO =12|k|=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．三、解答题21．（1）8y x =；（2）C (458，0)；（3）5116【分析】（1）先把(),2A m 代入12y x =求出m ，再把(),2A m 代入k y x=求出k 即可； （2）先求出点B 的坐标，设C (x ，0)，根据两点间的距离公式求出x 即可； （3）连接AC ，BC ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥x 轴于F ，根据S △ABC =S 梯形ABFE -S △ACE -S △BCF 求解即可；【详解】解：（1）把(),2A m 代入12y x =，得 122m =， ∴m =4， 把()4,2A 代入k y x=，得 24k =， ∴k =8， ∴8y x=； （2）把()8,B n 代入8y x=，得 818n ==， ∴()8,1B ，设C (x ，0)，∵AC BC =，∴=∴458x =， 经检验45x 8=是原方程的根， ∴C (458，0)； （3）连接AC ，BC ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥x 轴于F ， ∵()4,2A ，()8,1B ，C (458，0)， ∴AE =2，BF =1，EF =8-4=4，CE =458-4=138，CF =8-458=198，∴S △ABC =S 梯形ABFE -S △ACE -S △BCF =()11131191242122828⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ =5116．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，以及割补法求图形的面积等知识，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．22．反比例函数的解析式为：4y x =;一次函数的解析式的解析式为112y x =- 【分析】把点A 的坐标代入反比例函数的解析式，确定其解析式，利用解析式确定点B 的坐标，从而利用A ，B 两点的坐标确定直线的解析式即可．【详解】 解：点()4,1A 在反比例函数m y x=的图象上， 14m ∴=， 解得：4m =，∴反比例函数的解析式为：4y x=点B 的横坐标为2-， 422y ∴==--， ∴点()2,2B --，将点A 与B 代入一次函数解析式得4122k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得121 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴一次函数的解析式的解析式为：112y x=-．【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，一次函数的解析式，交点坐标的意义，熟练掌握待定系数法，灵活运用解析式与点的坐标的关系是解题的关键．23．（1）3yx=；（2）4【分析】（1）先求出b=2，得一次函数关系式，代入3y=得x值，从而可得点B坐标，把点B坐标代入反比例函数关系式可得解；（2）分别求出A，B，D的坐标，根据AOB AOD BODS S S=+求解即可．【详解】解：（1）点C在y轴正半轴，2OC=，2b∴=，∴一次函数解析式为2y x=+．将3y=代入2y x=+，得1x=，(1,3)B∴．将点()1,3B代入kyx=，得31=k，3k∴=，∴反比例函数的解析式为3yx=．（2）将0y=代入2y x=+，得2x=-，∴点D的坐标是(0,2)-，2OD∴=．如图，将2y x =+代入3y x =，得32x x+=， 解得11x =，23x =-．当3x =-时，321y ，∴点A 的坐标是(3,1)--，∴点A 到x 轴的距离是1．点B 的纵坐标为3，∴点B 到x 轴的距离是3，112123422AOB AOD BOD S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△△． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．24．（1）100y x=（05x <<，且x 为整数），1030y x =-（5x >且x 为整数）；（2）第13个月；（3）5个月．【分析】（1）结合图像利用待定系数法求函数解析式；（2）把y=100代入y=10x-30即可得到结论； （3）对于100y x=，y=50时，得到x=2，得到x ＜2时，y ＜50，对于y=10x-30，当y=50时，得到x=8，于是得到结论．【详解】 解：（1）由题意得，设前5个月中y=k x ， 把x=1，y=100代入得，k=100，∴y 与x 之间的函数关系式为y=100x（05x <<，且x 为整数）， 把x=5代入，得y=20，由题意设5月份以后y 与x 的函数关系式为y=10x+b ，把x=5，y=20代入得，20=10×5+b ，解得：b=-30，∴y 与x 之间的函数关系式为y=10x-30（5x >且x 为整数）；（2）在函数1030y x =-中，令100y =，得1030100x -=解得：13x =答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元． （3）在函数100y x=中，当50y =时，2x =， ∵1000>，y 随x 的增大而减小，∴当50y <时，2x >在函数1030y x =-中，当50y <时，得103050x -<解得：8x <∴28x <<且x 为整数；∴x 可取3，4，5，6，7；共5个月．答：该化工厂资金紧张期共有5个月．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 25．（1）m=3，n=-1；（2）x>1或－3<x<0；（3）4【分析】（1）把A ，B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）由△AOB 的面积S ＝S △AOC ＋S △BOC ，即可求解．【详解】解：（1）由题意，得m 31m n 3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：3m =，1n =- （2）由（1）可求得反比例函数解析式为：3y x=，一次函数解析式为：2y x =+， 观察函数图象知，当1x ＞或30x -＜＜时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）设直线AB 交y 轴于C ，把0x =代入2y x =+，得：2y =，∴OC=2，∴△OAB 的面积AOC BOC 11S S 2132422∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，关键是掌握数形结合思想．26．（1）补全图象见解析；（2）①函数的图象关于y 轴对称；②当0x <时，y 随x 的增大而增大，当0x >时，y 随x 的增大而减小；（3）①4；②4；③2k ．【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x ＜0时，xy ＝−2，而当x ＞0时，xy ＝2，求出m 的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）由图象的对称性，和四边形的面积与k 的关系，得出答案．【详解】解：（1）补全图象如图所示：（2）由函数图象的对称性可知，函数的图象关于y 轴对称，从函数的增减性可知，在y 轴的左侧（x ＜0），y 随x 的增大而增大；在y 轴的右侧（x ＞0），y 随x 的增大而减小；故答案为：①函数的图象关于y 轴对称，②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；（3）如图，①由A ，B 两点关于y 轴对称，由题意可得四边形OABC 是平行四边形，且OABC S 四边形＝4OAM S ＝4×12|k|＝2|k|＝4， ②同①可知：OABC S 四边形＝2|k|＝4，③OABC S 四边形＝2|k|＝2k ，故答案为：4，4，2k ．【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．。
北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数知识点解析含习题练习
第01讲_反比例函数图象和性质知识图谱反比例函数的概念知识精讲一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三点剖析一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三．易错点1.注意自变量的取值范围2.注意区分反比例函数与成反比例关系北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数反比例函数例题1、下列函数中，能表示y 是x 的反比例函数的是（）A.y=12x B.y=11x - C.y=2xD.【答案】A【解析】根据反比例函数的定义判断即可．y=12x 表示y 是x 的反比例函数，A 正确；y=11x -不能表示y 是x 的反比例函数，C 错误；y=2x 是正比例函数，C 错误；不能表示y 是x 的反比例函数，D 错误，故选：A ．例题2、若2(1)zay a x -=+是反比例函数，则a 的取值为（）A.1B.﹣1C.±lD.任意实数【答案】A【解析】∵此函数是反比例函数，∴21021a a +≠⎧⎨-=-⎩，解得a=1．随练1、已知函数y 与1x +成反比例，且当2x =-时，3y =-．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当12x =时，求y 的值．【答案】（1）31y x =+（2）2【解析】该题考查的是反比例函数．（1）设1k y x =+，把()2,3--代入得，3k =，∴31y x =+．（2）把12x =，代入解析式得：2y =．随练2、下面的函数是反比例函数的是（）A.31y x =+B.22y x x=+ C.2xy = D.2y x=【答案】D 【解析】该题考查的是反比例函数定义．反比例函数形如()0ky k x=≠，本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选D ．随练3、若函数11m y x -=(m 是常数)是反比例函数，则m =____________，解析式为_____________．【答案】2；1y x=【解析】由反比例函数的定义可知11m -=，所以2m =，1y x=．随练4、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】wy x=；反比例【解析】由题意可得wy x=，是反比例函数．成反比例关系例题1、已知y 与x 成反比例，当3x =时，4y =，那么3y =时，x 的值等于（）A.4B.4- C.3D.3-【答案】A【解析】因为y 与x 成反比例，所以可设k y x =（0k ≠），因为当3x =时，4y =，所以43k =，即12k =，所以12y x =，当3y =时，4x =，故答案为A 选项．例题2、下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）A.小明完成100m 赛跑时，时间t （s ）与他跑步的平均速度v （m ／s ）之间的关系B.菱形的面积为48cm 2，它的两条对角线的长为y （cm ）与x （cm ）的关系C.一个玻璃容器的体积为30L 时，所盛液体的质量m 与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600N 时，压强P 与受力面积S 之间的关系【答案】C【解析】暂无解析反比例函数的图象和性质知识精讲一．反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．反比例函数的性质：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于y x =±这两条直线轴对称．二．反比例函数k 的几何意义反比例函数k y x =(k 为常数，0k ≠)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线ky x=上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为k ．三点剖析一．考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数k 的几何意义．二．重难点：反比例函数k 的几何意义．三．易错点：1．k 的几何意义求出面积时注意k 的正负；2．反比例函数图像隐藏的对称性．反比例函数的图象和性质例题1、关于反比例函数y=﹣2x，下列说法正确的是（）A.图象过（1，2）点B.图象在第一、三象限C.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D.当x ＜0时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】∵k=﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，图象是轴对称图象，故A 、B 、C 错误．例题2、己知k ＞0，则函数y ＝kx ，ky x=-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】暂无解析例题3、已知（﹣1，y 1）（﹣2，y 2）（12，y 3）都在反比例函数y=﹣2x的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_________．【答案】y 3＜y 2＜y 1【解析】∵反比例函数y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．∵﹣2＜﹣1＜0，12＞0，∴点A （﹣2，y 2），B （﹣1，y 1）在第二象限，点C （12，y 3）在第四象限，∴y 3＜y 2＜y 1．例题4、点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是____________．【答案】﹣1＜a ＜1【解析】∵k ＞0，∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，①当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＞a+1，解得：无解；②当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a ＜1．随练1、对于反比例函数y=kx（k≠0），下列说法正确的是（）A.当k＞0时，y随x增大而增大B.当k＜0时，y随x增大而减小C.当k＞0时，该函数图象在二、四象限D.若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上【答案】D【解析】A、当k＞0时，在每个单调区间内，y随x增大而减小，∴A不正确；B、当k＜0时，在每个单调区间内，y随x增大而增大，∴B不正确；C、当k＞0时，该函数图象在第一、三象限，∴C不正确；D、∵1×2=2=2×1，∴若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上，即D正确．随练2、反比例函数y=1mx-的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=12m-；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A.①②③B.①③④C.①②③④D.①④【答案】D【解析】由图象可知，反比例函数1myx-=在一、三象限，则1﹣m＞0，得m＜1，故①正确；由图象可知，反比例函数1myx-=在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误；求不出三角形的面积，故③错误；因为反比例函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上，故④正确；由上可得，结论正确的是①④，故选D．反比例函数k的几何意义例题1、如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A.3B.﹣3C.32D.﹣32【答案】A【解析】∵点P 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的一点，分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．若四边形OAPB 的面积为3，∴矩形OAPB 的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=3．例题2、如图，已知反比例函数ky x=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB的面积为1，则k ＝________．【答案】－2【解析】依据比例系数k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于1||12k =，解得k ＝－2．例题3、如图，点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1+S 2=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】∵点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 2=2+2﹣1×2=2．随练1、如图，在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1+S 2+S 3=．【答案】．【解析】由题意，可知点P 1、P 2、P 3、P 4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S 1=1×（2﹣1）=1，S 2=1×（1﹣）=，S 3=1×（﹣）=，∴S 1+S 2+S 3=1++=．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1=．随练2、如图，点A 、B 在反比例函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为_________．【答案】4【解析】设OM=a ，∵点A 在反比例函数y=k x，∴AM=k a，∵OM=MN=NC ，∴OC=3a ，∴S △AOC =12•OC •AM=12×3a ×k a =32k=6，解得k=4．随练3、如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．【答案】（1）4;y x yx=-=-；（2）6【解析】（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC=×BO×x C=×3×4=6．反比例函数的应用知识精讲一．利用反比例函数解决实际生活问题用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证三点剖析一．考点：反比例函数的应用．二．重难点：反比例函数的应用．三．易错点：注意自变量取值范围要符合实际意义．利用反比例函数解决实际生活问题例题1、某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷【答案】D【解析】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，∴y随x的增大而减小，∴A，B错误，设y=kx（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，∴y=50 x，把y=2代入上式得：x=25，∴C错误，把x=50代入上式得：y=1，∴D正确．例题2、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是____．【答案】R≥3.6【解析】设反比例函数关系式为：I=k R，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：I=36 R，当I≤10时，则36R≤10，R≥3.6．例题3、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y （mg/L ）与时间x （天）的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ？为什么？【答案】（1）当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．【解析】（1）分情况讨论：①当0≤x ≤3时，设线段AB 对应的函数表达式为y=kx +b ；把A （0，10），B （3，4）代入得b=103k+b=4⎧⎨⎩，解得：k=-2b=10⎧⎨⎩，∴y=﹣2x +10；②当x ＞3时，设y=m x，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=12x；综上所述：当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．随练1、某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为（）A.100y x =B.100y x=C.100100y x=-D.100y x=-【答案】B【解析】由题意可得100y x =，故答案为B 选项．随练2、家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC 发热材料，它的电阻R （k Ω）随温度t （℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω．（1）求当10≤t ≤30时，R 和t 之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R 的值；并求出t ≥30时，R 和t 之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k Ω？【答案】（1）10≤t≤30时，R=；（2）当温度为30℃时，R=2；R=t ﹣6；（3）温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ【解析】（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R 和t 之间的关系式为R=，将（10，6）代入上式中得：6=，k=60．故当10≤t ≤30时，R=；（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．∴温度在30℃时，电阻R=2（k Ω）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω，∴当t ≥30时，R=2+（t ﹣30）=t ﹣6；（3）把R=6（k Ω），代入R=t ﹣6得，t=45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．拓展1、下列函数关系式中，一定是反比例函数的是（）A.32+2y x = B.27y x=-+ C.1k y x += D.2y x =-【答案】D【解析】该题考查的是反比例函数的概念．只有形如()0k y k x=≠的才是反比例函数，故答案选D ．2、函数y=k x的图象经过点（2，3），则k=（）A.2B.3C.6D.﹣6【答案】C【解析】∵函数y=k x 的图象经过点（2，3），∴2k =3，解得k=6．3、当m ＝________时，函数y ＝（m －2）x |m|－3是反比例函数．【答案】－2【解析】暂无解析4、若函数25(2)k y k x -=-（k 为常数）是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______________．【答案】2-；14y x -=-【解析】由反比例函数定义可知251k -=-且20k -≠，所以2k =-，14y x -=-．5、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】w y x =；反比例【解析】由题意可得w y x=，是反比例函数．6、如图，已知直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是（） A.（－1，－2）B.（－1，2）C.（1，－2）D.（－2，－1）【答案】A【解析】∵直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点，∴M ，N 两点关于原点对称，∵点M 的坐标是（1，2），∴点N 的坐标是（－1，－2）．7、函数y=k x 与y=﹣kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【解析】由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．8、函数y=ax（a≠0）与y=ax在同一坐标系中的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．9、如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y=6x（x＞0）的图像上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为______．【解析】∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴S 矩形APBO =|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，90PBC COD BC OC PCB OCD ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD =S 矩形APBO =6．10、如图，点A 是反比例函数图象上y=K X一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则k=__________．【答案】﹣3【解析】设点A 的坐标为（m ，n ），∵AB ⊥y 轴，CD ⊥y 轴，∴AB ∥CD ，又∵BC ∥AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．S 平行四边形ABCD =AB •OB=﹣m •n=3，∴k=mn=﹣3．11、如图，点A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数y 2=k x（x ＞0）的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则k 的值为___________．【答案】5【解析】延长BA ，与y 轴交于点C ，∵AB ∥x 轴，∴BC ⊥y 轴，∵A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，B 为反比例函数y 2=k x （x ＞0）的图象上的点，∴S △AOC =12，S △BOC =2k ，∵S △AOB =2，即2k ﹣12=2，解得：k=5．12、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．【答案】3【解析】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=12四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=12△OBE的面积=32，∴k=313、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数myx的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．【答案】（1）y=x+1；y=6x；（2）OP=1．【解析】（1）∵反比例函数y=mx的图象经过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=6 x，∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=6x的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，∴23 32k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得：11 kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=12PC×2+12PC×3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．14、甲、乙两地间的公路长为300km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为(/)v km h，到达时所用的时间为()t h，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为_____________．【答案】反比例；300 tv =【解析】由题意得300tv=，是反比例函数．15、如图，点A在反比例函数6yx=图象第一象限的分支上，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，若△OAD与△BCD的面积相等，则点A的横坐标是（）B.2 D.【答案】A【解析】连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于F点，如图：由反比例的性质可知，A 、B 两点关于中心O 对称，即OA ＝OB ，又∵△ACB 为等腰直角三角形，∴CO ⊥AB ，且OC ＝OA ．设直线AB 的解析式为y ＝ax （a ＞0），则OC 的解析式为1y x a=-，设点A （m ，am ），点C （an ，﹣n ），∵OA ＝OC ，即m 2＋（am ）2＝（an ）2＋n 2，解得n ＝±m ，∵A 在第一象限，C 在第三象限，∴n ＝m ＞0，即C （am ，﹣m ）．∵AE ∥x 轴，CE ∥y 轴，∴∠CDF ＝∠CAE ，∠CFD ＝∠CEA ＝90°，∴△CDF ∽△CAE ，∴CF CD CE CA=，又∵△OAD 与△BCD 的面积相等，△OAD 与△BOD 的面积相等，∴S △ABD ＝2S △BCD ，∴2AD CD=，∵AC ＝AD ＋CD ，∴13CF CD CE CA ==，∵点A （m ，am ），点C （am ，﹣m ），∴点E （am ，am ），点F （am ，0），∴0()11()13CF m CE am m a --===--+即a ＝2．∵点A （m ，am ）在反比例函数6y x=的图象上，且a ＝2，∴2m 2＝6，解得m =，∵m ＞0，∴m =，∴点A 所以选A ．16、如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y 与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】（1）y=9x+15（05x ≤≤），y=（x≥5）；（2）对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b （k ≠0），∵该函数图象经过点（0，15），（5，60），∴，解得，∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x ≤5），设加热停止后反比例函数表达式为y=（a ≠0），∵该函数图象经过点（5，60），∴=60，解得：a=300，∴反比例函数表达式为y=（x ≥5）；（2）∵y=9x+15，∴当y=30时，9x+15=30，解得x=，∵y=，∴当y=30时，=30，解得x=10，10﹣=，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．第02讲_反比例函数的代几综合知识图谱反比例函数的代数综合知识精讲一．反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12k k x b x+>的解为120x x x x ><<或．二．反比例函数与一次函数已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可．当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即1212,x x y y =-=-．三点剖析一．考点：反比例函数与代数综合二．重难点：反比例函数与代数综合三．易错点：1．注意反比例函数解析式中0k ≠；2．反比例函数与一次函数结合经常会出现要解分式方程的情况，注意分式方程增根的情况；3．利用图像解反比例函数与不等式的问题．与方程，不等式综合例题1、如图，反比例函数y 1=的图象与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（）A.0＜x ＜2B.x ＞2C.x ＞2或﹣2＜x ＜0D.x ＜﹣2或0＜x ＜2【答案】D 【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵A （2，1），∴B （﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜﹣2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜2．故选D ．例题2、已知直线y=x ﹣3与函数2y x =的图象相交于点（a ，b ），则代数式a 2+b 2的值是（）A.13B.11C.7D.5【答案】A【解析】根据题意得b=a ﹣3，b=2a，所以a ﹣b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a ﹣b ）2+2ab=32+2×2=13．故选A ．例题3、求一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】由x 3﹣x ﹣1=0得：x 3﹣x=1方程两边同时除以x 得：x 2﹣1=，在同一坐标系中作出y=x 2﹣1和y=的图象为：观察图象有一个交点，∴可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有1个，随练1、小兰画了一个函数y=1a x -的图像如图，那么关于x 的分式方程1a x -=2的解是（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【答案】A【解析】由图可知当x=3时，y=0，即13a -=0，解得a=3，当31x-=2时，解得x=1．随练2、如图所示，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A.（12，0） B.（1，0） C.（32，0） D.（52，0）【答案】D 【解析】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12，∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：k=﹣1，b=52，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+52，当y=0时，x=52，即P （52，0），1、反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（）A.t＜B ．t＞C ．t≤D ．t≥【答案】【解析】将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x 2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t ＞．与一次函数综合例题1、已知反比例函数k y x=（k≠0）和一次函数y ＝x －6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P （2，m ），求m 和k 的值；（2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点．【答案】（1）m ＝－4；k ＝－8（2）k ＜－9【解析】（1）把点P （2，m ）代入y ＝x －6，得m ＝－4，所以P （2，－4）．将点P （2，－4）代入反比例函数k y x =，得k ＝－8；（2）根据,6,k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得6k x x =-，∴260x x k --=，∵两图象没有交点，∴()()26410k --⨯⨯-<，即k ＜－9．例题2、如图，在直角坐标系中，直线y ＝mx 与曲线n y x =相交于A （－1，a ），B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1．（1）求m，n的值；（2）求直线AC的解析式．【答案】（1）m＝－2；n＝－2（2）y＝－x＋1【解析】（1）∵直线y＝mx与曲线nyx=相交于A（－1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（－1，2），将A（－1，2）代入y＝mx，nyx=可得m＝－2，n＝－2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A（－1，2）、C（1，0）∴2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1．例题3、已知反比例函数5myx-=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．【答案】（1）m＜5（2）－1【解析】（1）∵在反比例函数5myx-=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m－5＜0，解得：m＜5；（2）将y＝3代入y＝－x＋1中，得x＝－2，∴反比例函数5myx-=图象与一次函数y＝－x＋1图象的交点坐标为（－2，3），将（－2，3）代入5myx-=得532m-=-，解得1m=-．随练1、已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=1x的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】如图，设P（m，1m），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，∵A（﹣2，0），∴OA=2，OC=1，∴AC=1，BC∥y轴，∴12 AB ACAP AO==，∴P1，P3在y轴上，这样的点P 不存在，点P 4在AB 之间，不满足AP=2AB ，过P 2作P 2Q ⊥x 轴于Q ，∴P 2Q ∥B 1C ，∴1212AB AC AP AQ ==，∴1122m =--，∴m=﹣4，∴P （﹣4，﹣14），∴满足条件的点P 的个数是1，随练2、图中给出的直线1y k x b =+和反比例函数2k y x=的图像，判断下列结论正确的个数有（）①2k ＞b ＞1k ＞0；②直线1y k x b =+与坐标轴围成的△ABO 的面积是4；③方程组12y k x b k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解为11x 6y 1=-⎧⎨=-⎩，22x 2y 3=⎧⎨=⎩；④当－6＜x ＜2时，有21k k x b x +>A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】暂无解析随练3、如图，双曲线x m y =与直线b kx y +=相交于点M ，N ，且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程x m ＝b kx +的解为（）A.1=x B.1=x 或3-=x C.3=x D.1-=x 或3=x 【答案】B【解析】暂无解析随练4、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）y=2x-；y=﹣x ﹣1（2）x ＜﹣2或0＜x ＜1【解析】（1）∵A （﹣2，1）在反比例函数y=m x的图象上，∴1=2m -，解得m=﹣2．∴反比例函数解析式为y=2x-，∵B （1，n ）在反比例函数h 上，∴n=﹣2，∴B 的坐标（1，﹣2），把A （﹣2，1），B （1，﹣2）代入y=kx+b ，得212k k b b -==-++⎧⎨⎩，解得：11b k =--=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象知：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数．随练5、如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y=m x的图象交于点B 、E ．（1）求反比例函数及直线BD 的解析式；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）y=﹣2x ；y=﹣x ﹣1（2）E （﹣2，1）【解析】（1）边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边在AD 在x 轴上，点B 在第四象限，∴A （1，0），D （﹣1，0），B （1，﹣2）．∵反比例函数y=m x 的图象过点B ，∴1m =﹣2，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣2x，设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∵y=kx+b 的图象过B 、D 点，∴-2-k+b=0k b +=⎧⎨⎩，解得=-1b=-1k ⎧⎨⎩．直线BD 的解析式y=﹣x ﹣1；（2）解方程组2y=-x y=-x 1⎧⎪⎨⎪-⎩，解得-2y=1x =⎧⎨⎩或x=1y=-2⎧⎨⎩，∵B （1，﹣2），∴E （﹣2，1）．随练6、定义运算max{a ，b}：当a≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b}=b ．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=____________；（2）已知y 1=1k x 和y 2=k 2x+b 在同一坐标系中的图象如图所示，若max{1k x ，k 2x+b}=1k x，结合图象，直接写出x 的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x ﹣2}的值．【答案】（1）3（2）﹣3≤x ＜0或x≥2（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．【解析】（1）3}=3．故答案为：3；（2）∵max{1k x ，k 2x+b}=1k x，∴1k x≥k 2x+b ，∴从图象可知：x 的取值范围为﹣3≤x ＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．反比例函数与几何综合知识精讲一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．三点剖析一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．四．易错点：1.涉及到特殊三角形与动点问题时，一般都为多个解，注意不要漏解2.在求三角形和四边形面积用坐标表示线段长度时，注意正负号的问题．与三角形综合例题1、在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数y=2x 的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（）A.2个B.4个C.5个D.6个【答案】D。
反比例函数 北师大版数学九年级上册素养提升卷(含解析)
第六章反比例函数单元大概念素养目标1反比例函数基础过关全练知识点1反比例函数1.(2023四川成都十八中月考)下列函数中,不是反比例函数的是()A.xy=-5B.y=−5x C.y=x5D.y=13x2.若y=m+1x是y关于x的反比例函数,则m的取值范围是()A.m>-1B.m≠-1C.m<-1D.m≠03.在下列关系式中,x均为自变量,哪些是反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?(1)y=5x ;(2)y=0.4x-1;(3)y=x2;(4)xy=2;(5)y=6x+3;(6)xy=-7;(7)y=5x2;(8)y=13x.知识点2反比例函数表达式的确定4.已知y是x的反比例函数,且x=-2时,y=3,则y与x的函数关系式为.5.【教材变式·P150T3】y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值.(1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式;(2)根据函数关系式完成上表.知识点3根据实际问题列反比例函数的表达式6.(2022山东泰安泰山期中)若等腰三角形的面积为6,底边长为x,底边上的高为y,则y与x的函数关系式为()A.y=12x B.y=x12C.y=6xD.y=3x7.下列各组的两个变量间满足反比例函数关系的是()A.圆的面积S与它的半径rB.等腰三角形的周长l一定时,它的底边长y与腰长xC.三角形面积S一定时,它的一边长a与该边上的高hD.圆的周长C与它的半径r8.【新课标例72变式】(2023河南漯河临颍月考)某工人打算利用一块不锈钢加工一个面积为0.8 m2的矩形模具.假设模具的长与宽分别为y m 与x m.(1)你能写出y与x之间的函数表达式吗?变量y与x之间是什么函数?(2)若想使此模具的长比宽多1.6 m,分别求它的长和宽.能力提升全练9.(2023贵州铜仁石阡质检,18,★★☆)已知函数y=(m2-2m)x m2−m−1.(1)若y是关于x的正比例函数,求m的值;(2)若y是关于x的反比例函数,求m的值,并写出此时y与x的函数关系式.10.(2021上海静安期末,23,★★☆)已知y=y1+y2,y1与(x-1)成反比例,y2与x成正比例,且当x=2时,y1=4,y=2.(1)求y关于x的函数解析式;(2)求当x=3时y的值.素养探究全练11.【模型观念】在生活中不难发现这样的例子:三个量a,b和c之间存在着数量关系a=bc.例如:长方形的面积=长×宽,匀速运动的路程=速度×时间.(1)如果三个量a,b和c之间有着数量关系a=bc,那么:①当a=0时,必须且只需;②当b(或c)为非零定值时,a与c(或b)之间是函数关系;③当a(a≠0)为定值时,b与c之间是函数关系.(2)请你编一道有实际意义的应用题,解题所列的方程符合数量关系:ax =bx−c(其中x为未知数,a,b,c为已知数,不必解方程).答案全解全析基础过关全练(k为常数,k≠0);②xy=k(k为常1.C反比例函数的三种形式为①y=kx数,k≠0);③y=kx-1(k为常数,k≠0).由此可知:只有y=x不是反比例函数,其5他都是反比例函数,故选C.2.B∵y=m+1是y关于x的反比例函数,∴m+1≠0,∴m≠-1,故选B.x3.解析(1)(2)(4)(6)是反比例函数,相应的k值分别是5,0.4,2,-7.4.y=-6x(k≠0),因为x=-2时,y=3,所以k=-6,解析设y与x的函数关系式为y=kx.所以y=-6x,5.解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx.由题表可知,当x=1时,y=4,∴k=4,∴y与x之间的函数关系式为y=4x (2)补全表格如下:xy=6, 6.A∵等腰三角形的面积为6,底边长为x,底边上的高为y,∴12.∴y与x的函数关系式为y=12x7.C选项A,S=πr2,不是反比例函数关系,故本选项不符合题意;选项B,y=l-2x,不是反比例函数关系,故本选项不符合题意;,是反比例函数关系,故本选项符合题意;选项C,a=2Sℎ选项D,C=2πr,不是反比例函数关系,故本选项不符合题意.故选C.8.解析 (1)由题意可得xy =0.8,∴y =0.8x,∴y 是x 的反比例函数.(2)∵长比宽多1.6 m ,∴y =x +1.6,∴x (x +1.6)=0.8,解得x 1=-2(不合题意,舍去),x 2=0.4,∴y =0.4+1.6=2.答:长为2 m ,宽为0.4 m . 能力提升全练9.解析 (1)由y =(m 2-2m )x m 2−m−1是正比例函数,得m 2-m -1=1且m 2-2m ≠0,解得m =-1. (2)由y =(m 2-2m )xm 2−m−1是反比例函数,得m 2-m -1=-1且m 2-2m ≠0,解得m =1.故y 与x 的函数关系式为y =-x -1. 10.解析 (1)设y 1=k 1x−1(k 1≠0),y 2=k 2x (k 2≠0),∴y =k 1x−1+k 2x ,把x =2,y 1=4和x =2,y =2分别代入得{k 1=4,k 1+2k 2=2,解得{k 1=4,k 2=−1,∴y 关于x 的函数解析式为y =4x−1-x.(2)当x =3时,y =43−1-3=-1.素养探究全练11.解析 (1)①b 或c 中至少有一个为零.②正比例.③反比例. (2)(答案不唯一)某零件厂举行零件加工竞赛,参赛的有甲、乙两名选手,甲选手每小时比乙选手多加工c 个零件,已知甲选手加工a 个零件用的时间和乙选手加工b 个零件用的时间相同,请问甲选手每小时加工多少个零件?解:设甲选手每小时加工x 个零件,则乙选手每小时加工(x -c )个零件, ∵甲选手加工a 个零件用的时间和乙选手加工b 个零件用的时间相同,∴ax =b x−c.。
2024-2025北师大版九年级(上)第六单元 反比例函数 单元测试卷(含答案)
第六单元反比例函数测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的)1.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( )A. x(y-1)=1B.y =1x +1 C.y =1x2 D.y =13x 2.已知甲、乙两地相距s( km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度 v( km/h)的函数关系图象大致是 ( )3.已知反比例函数 y =kx(k ≠0)的图象经过点(2，3)，若点(1，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( )A.(-2,3)B.(-2,-3)C.(2,3)D.(3,2)5.已知反比例函数 y =−3x,则下列描述不正确的是 ( )A.图象位于第二、第四象限B.图象必经过点(-3,1)C.图象不可能与坐标轴相交D. y 随x 的增大而增大6.如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高y ，则y 与x 的函数关系式为( ）A.y =10xB.y =5xC.y =20xD.y =x 207.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y =k ₁x (k ₁≠0)与双曲线y =k 2x(k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点 A 的坐标为(1,2),则点B 的坐标为 ( )A.(-1,-2) B.(-2,-1) C.(-1,-1) D.(-2,-2)8.如图所示，A ，B 是函数 y =1x的图象上关于原点O 的任意一对对称点,AC 平行于y 轴,BC平行于x 轴,△ABC 的面积为S ，则 ( )A. S=1 B. S=2 C.1<S<2 D. S>29.在同一直角坐标系中，函数y= kx-k 与 y =kx (k ≠0)的图象大致是 ( )10.如图，在第一象限内，A 是反比例函数y= k1x (k 1⟩0)图象上的任意一点，AB 平行于 y 轴交反比例函数 y =k 2x(k 2<0)的图象于点 B ，作以 AB 为边的平行四边形 ABCD,其顶点 C,D在 y 轴上,若 S ABCD =7,则这两个反比例函数可能是 ( )A.y =2x 和y =−3x B.y =3x 和y =−4x C.y =4x 和y =−5x D.y =5x和y =−6x 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11.反比例函数 y =(m +2)x m 2−10的图象分布在第二、四象限内,则m 的值为 .12.若A(-2,y ₁),B(--1,y ₂),C(1,y ₃)三点都在函数 y =kx(k<0)的图象上,则 y ₁,y ₂,y ₃的大小关系是 (用“>”“<”或“=”连接)。
2019届九年级数学上册第六章反比例函数6.2(第3课时)知能演练提升(新版)北师大版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……3.反比例函数的应用知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图,当V=10 m3时,气体的密度是()A.5 kg/m3B.2 kg/m3C.100 kg/m3D.1 kg/m32.如图,P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线交双曲线y=于点Q,连接OQ.当点P沿x 轴的正方向运动时,Rt△QOP的面积()A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定3.已知甲、乙两地相距s(km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,假设汽车每小时耗油量为a(L),那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是图中的()4.一块蓄电池的电压为定值,使用此蓄电池为电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图,如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A,那么此用电器的可变电阻应()A.不小于4.8 ΩB.不大于4.8 ΩC.不小于14 ΩD.不大于14 Ω5.一辆汽车从甲地开往乙地,随着汽车平均速度v(km/h)的变化,到达所用的时间t(h)的变化情况如图,那么行驶过程中t与v的函数关系式为.(第5题图)(第6题图)6.在对物体做功一定的情况下,力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系,其图象如图,点P(5,1)在图象上,则当力达到10 N时,物体在力的方向上移动的距离是.7.某物体质量一定,若体积V=40 m3,则密度ρ=1.6 kg/m3.(1)写出此物体的体积V与密度ρ的函数关系式.(2)当物体密度ρ=3.2 kg/m3时,它的体积V是多少?(3)若为了将物体的体积控制在4~80 m3,则该物体的密度在哪一个范围内?8.将油箱注满k L油后,轿车可行驶的总路程s(km)与平均耗油量a(L/km)之间是反比例函数关系,且s=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为0.1 L/km的速度行驶,可行驶700 km.(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数关系式;(2)当平均耗油量为0.08 L/km时,该轿车可以行驶多长距离?9.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象交于点B,且点B的横坐标为1.过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=(k≠0)的图象于点C,连接BC.(1)求反比例函数的表达式;(2)求△ABC的面积.创新应用10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55~0.75元,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元)成反比例,又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%[收益=用电量×(实际电价-成本价)]?答案：能力提升1.D2.C3.C4.A5.t=6.0.5 m7.解 (1)该物体的质量m=40×1.6=64(kg),所以V=(ρ>0).(2)当ρ=3.2 kg/m3时,V==20(m3).(3)当4≤V≤80时,4≤≤80,解得0.8≤ρ≤16,即该物体的密度在0.8~16 kg/m3.8.解 (1)由题意,得a=0.1,s=700,代入反比例函数关系式s=中,解得k=sa=70,所以函数关系式为s=.(2)将a=0.08代入s=,得s==875,故该轿车可以行驶875 km.9.解 (1)∵点B在一次函数y=3x+2的图象上,且点B的横坐标为1,∴y=3×1+2=5,∴点B的坐标为(1,5).∵点B在反比例函数的图象上,∴5=,∴k=5,∴反比例函数的表达式为y=.(2)∵一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,∴当x=0时,y=2,∴点A的坐标为(0,2).∵AC⊥y轴,∴点C的纵坐标为2.∵点C在反比例函数的图象上,∴当y=2时,2=,∴x=,∴AC=.过点B作BD⊥AC于点D,则BD=y B-y C=5-2=3,∴S△ABC=AC·BD=×3=.创新应用10.解 (1)设y=,由x=0.65,y=0.8,得k=0.8×(0.65-0.4)=0.2,故y与x之间的函数关系式是y=,即y=.(2)设电价调至每度x元时,今年度的收益比上年度增加20%.因为上年度的收益为1×(0.8-0.3)=0.5(亿元),所以本年度的收益为0.5×(1+20%)=0.6(亿元),故(x-0.3)+1×(x-0.3)=0.6,整理,得10x2-11x+3=0,即(5x-3)(2x-1)=0,解得x1=0.6,x2=0.5.又0.55≤x≤0.75,故x=0.6.答:电价调至每度0.6元可使收益比上一年度增加20%.。
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第六单元反比例函数（能力提升）考试时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是A． B．C．D．【答案】C【解析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．解：∵函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）∴当k＞0时，y=-x+k经过第一、二、四象限，y=kx经过第一、三象限，故选项A、B错误，∴当k＜0时，y=-x+k经过第二、三、四象限，y=kx经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．2、如图，点A是反比例函数y＝kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是( ) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【答案】D【解析】连结OA，如图，∵AB x ⊥轴，∴OC ∥AB ，∴4OABABCS S==，而12OABSk ，=∴142k =， ∵0k <， ∴8k ．=- 故选D ．3．（2020·富顺县赵化中学校初三一模）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x ，y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象．【解析】∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20， ∴xy=10，∴y 是x 的反比例函数， ∵2≤x ≤10，∴答案为A ．【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．4．如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO ＝90º，点A 的坐标为(1，2)．将△AOB 绕点A 逆时针旋转90º，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y ＝kx(x ＞0)上，则k ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B .【解析】 ∵点A 的坐标为（1，2）．Rt △AOB 绕点A 逆时针旋转90°， ∴OB +AD =3，AB -CD =1，故C （3，1），将C （3，1）代入y =kx中，得k =3×1=3． 故选B .【考点】求反比例函数的解析式；旋转的运用 5．如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A ，B 重合)，过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设AOC ∆面积是1S ，BOD ∆面积是2S ，POE ∆面积是3S ，则（ ）.A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．123S S S =>D ．123S S S =<【答案】D【解析】记PE 与双曲线交于Q ，连接OQ ，则S 4=S △OQE <S 3，.设A （x 1，y 1)，因为A 在双曲线上，有x 1y 1=k ，则S 1=21OC ·AC =21x 1y 1=2k ，同理，S 2=S 4=2k，故S 1=S 2<S 3.故选D . 【考点】1.反比例函数（双曲线）的性质；2.直角坐标系中求三角形的面积. 6、在反比例函数xmy 31-=图象上有两点A(1x ，1y )、B(2x ，2y )，1x ＜0＜2x ，1y ＜2y ，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞31B ．m ＜31C ．m ≥31D ．m ≤31【答案】B[来源:Z,xx,] 【解析】对于反比例函数y=kx，当k ＞0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.本题根据题意可得：k ＞0，即1－3m ＞0，解得：m ＜13.【考点】反比例函数的性质. 7、如图，反比例函数xky =（x ＜0）的图象经过点A （﹣1，1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B ′在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ） A ．152 B ． C ． D ．152【答案】A【解析】设直线与x 轴的交点为点Q ， 根据题意可得反比例函数的解析式为y =－1x，△OAB 为等腰直角三角形，则∠AOB =45°，∵PQ ⊥OA ，∴∠OPQ =45°，点B 和点B `关于直线对称，则PB =PB `，BB `⊥PQ ，∴∠BPQ =∠B `PQ =45°，即∠B `PQ =90°，∴B `P ⊥y 轴，∴B `的坐标为（－1t ，t ），∵PB =PB `，∴t －1=1t，整理得：2t －t －1=0，解得：1152t ，2152t （舍去）．【考点】1.对称图形的性质；2.反比例函数的性质；3.一元二次方程的应用． 8、已知点A （﹣2，0），B 为直线x =﹣1上一个动点，P 为直线AB 与双曲线xy 1=的交点，且AP =2AB ，则满足条件的点P 的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】B．【解析】如图，设P（m，1m），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，∵A（﹣2，0），∴OA=2，OC=1，∴AC=1，BC∥y轴，∴12AB CAP AO==，∴P1，P3在y轴上，这样的点P不存在，点P4在AB之间，不满足AP=2AB，过P2作P2Q⊥x轴于Q，∴P2Q∥B1C，∴1212AB ACAP AQ==，∴1122m=--，∴m=﹣4，∴P（﹣4，14-），∴满足条件的点P的个数是1，故选B．【考点】1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．平行线分线段成比例．9.若反比例函数2yx=-的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜﹣2C．m＞2或m＜﹣2 D．﹣2＜m＜2【答案】C【解析】∵反比例函数2yx=-的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数2yx=的图象上，∴解方程组2yxy x m⎧=⎪⎨⎪=-+⎩得x2﹣mx+2＝0，∵2yx=的图象与一次函数y＝﹣x+m有两个不同的交点，∴方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，∴△＝m2﹣8＞0，∴m＞22或m＜﹣22，故选：C．【考点】反比例函数与一次函数的交点个数问题；10、如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数xky=的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【答案】C【解析】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°[来源:学,科,网Z,X,X,K]易证△ADF∽△GFE∴AF DFEG FE=，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数xky=的图象上，∴E（4k，4）、D（﹣8，-8k）∴OG＝EC＝-4k，AD＝﹣8k，∴BD＝4+8k，BE＝8+4k∴4884kDB AF DFkBE EG FE+===+，∴AF＝12EG=2，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣8k ）2+22＝（4+8k ）2解得：k ＝﹣12，故选：C ．【考点】求反比例函数解析式；三角形全等及相似比问题；勾股定理11．（2020·浙江省初三月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中， Rt ABO ∆的直角顶点B 在x 轴上，反比例函数1y x=的图象与AO 和AB 边分别交于点,C D ，连结CD 并延长交x 轴于点E ，连结CB ．若OCm AC=，则下列关于BCE ∆的面积说法正确的是（ ）A ．BCE ∆的面积为mB ．BCE ∆的面积随m 的增大而减小C ．BCE ∆的面积与ABO ∆的面积之比为21mD ．BCE ∆的面积与m 无关 【答案】D【分析】过点C 作CM OB ⊥，设点C 的坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据OCm AC =，可求出MB 的长度，继而求出点D 的坐标，根据待定系数法求出CD 所在直线的解析式，可得出OE 的距离，继而求出BE ，最后利用面积计算公式即可； 【解析】过点C 作CM OB ⊥，∵点D 、C 在反比例函数1y x =上，∴设点C 的坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据AB OB ⊥可得，CM ∥AB ，根据平行线分线段成比例可得：OC OMAC MB=， ∵OC m AC =，∴m a MB =，得到：=a MB m ，∴a am aOB a m m+=+=， 可得D 点的坐标为,am a m m am a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 设直线CD 所在直线的关系式为1=y kx b +，把点C 、D 代入可得：1ka b am am a k bam a m ⎧=+⎪⎪⎨+⎪=+⎪+⎩，解得()()21211m k a m m b a m ⎧=-⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 所以直线所在解析式为：()()1221=11m m y x a m a m +-+++，可得点E 的坐标为2,0ma a m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2ma aOE m +=, ∴()211a m ma BE OE OB a mm++=-=-=， ∴△1111222BEC S BE CM a a =⨯⨯=⨯⨯=， ∴BCE ∆的面积与m 无关．故答案选D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质应用，准确找准点的坐标，求出一次函数的解析式是解题的关键．12.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃后停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如右图，为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50 ℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( )A.7:20B.7:30C.7:45D.7:50【分析】第1步：求出两个函数的解析式；第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；第3步：求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段；第4步：结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论．【解析】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟，设一次函数关系式为：y=k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30 ∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；设反比例函数的解析式是y=kx，将（7，100）代入y=kx，得k=700，∴y=700x，将y=30代入y=700x，解得x=703；∴y=700x（7≤x≤703），令y=50，解得x=14．所以，饮水机的一个循环周期为703分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，水温不超过50℃．逐一分析如下：选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85-703×3=15，位于14≤x≤703时间段内，故可行；选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75-703×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，故不可行；选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60-703×2=403≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x ≤703时间段内，故不可行；选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55-703×2=253≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤703时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．【点评】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（2020·陕西省初三其他）如图，在x轴上方，平行于x轴的直线与反比例函数y＝1kx和y＝2kx的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，若△AOB的面积为6，则k1﹣k2＝_____．【答案】-12．【分析】根据AB∥x轴，设1211k k x kA x Bx k x（，），（，），得到21k xAB xk-＝，根据△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．【解析】∵AB∥x轴，∴设1211k k x kA x Bx k x（，），（，）∴21k xAB xk-＝，∵△AOB的面积为6，∴（2111•62k x kxk x-（）＝，∴k1﹣k2＝﹣12，故答案为：﹣12．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2y k=，且保持不变． 14.如图，点A ，C 分别是正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数4y x=的图象的交点，过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，过C 点作CB ⊥x 轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为 ．【答案】8【解析】∵A 、C 是两函数图象的交点，∴A 、C 关于原点对称，∵CD ⊥x 轴，AB ⊥x 轴，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴S △AOB ＝S △BOC ＝S △DOC ＝S △AOD ， 又∵反比例函数4y x=的图象上，∴S △AOB ＝S △BOC ＝S △DOC ＝S △AOD ＝12×4＝2，∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×2＝8，故答案为：8． 【考点】反比例函数系数k 的几何意义综合运用． 15.如图，双曲线9y x=（x ＞0）经过矩形OABC 的顶点B ，双曲线x k y =（x ＞0）交AB ，BC 于点E 、F ，且与矩形的对角线OB 交于点D ，连接EF ．若OD ：OB ＝2：3，则△BEF 的面积为 ．【答案】2518【解析】设D （2m ，2n ），∵OD ：OB ＝2：3，∴A （3m ，0），C （0，3n ），∴B （3m ，3n ）， ∵双曲线9y x=（x ＞0）经过矩形OABC 的顶点B ，∴9＝3m •3n ，∴mn ＝1，[来源:学科网]∵双曲线x k y =（x ＞0）经过点D ，∴k ＝4mn ∴双曲线y ＝4mn x（x ＞0）， ∴E （3m ，43n ），F （53m ，3n ），∴BE ＝3n ﹣43n ＝53n ，BF ＝3m ﹣43m ＝53m ，∴S △BEF ＝12BE •BF ＝2518mn ＝2518，故答案为2518．【考点】反比例函数系数k 的几何意义综合运用．15. 如图，平面直角坐标系中，O 为原点，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点P ，P 在反比例函数9y x=的图象上，则点P 的坐标为_______．【答案】（3，3）【分析】先判断出四边形MONP 是矩形，再利用角平分线定理判断出PM ＝PN ，进而得出矩形MONP 是正方形，设出点P 的坐标，代入反比例函数解析式中即可得出结论．【解析】如图，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PH ⊥AB 于AB ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∵∠MON ＝90°，∴∠PMO ＝∠PNO ＝∠MON ，∴四边形MONP 是矩形，∵PM ⊥OA ，PH ⊥AB ，∵AP 是∠BAM 的平分线，∴PM ＝PH ，[来源:Z|xx|] 同理：PN ＝PH ，∴PM ＝PN ，∴矩形MONP 是正方形， 设点P （m ，m ），∵P 在反比例函数y ＝9x ﹣1的图象上， 设点P （m ，m ），∵P 在反比例函数9y x=的图象上 ∴m ＝9m m=，∴m ＝﹣3（舍）或m ＝3，∴P （3，3），故答案为：（3，3）．【点睛】本题属于解析几何综合题，主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是通过证明正方形得到目标点的坐标特征．17、已知一次函数y x m =-+的图像与反比例函数2y x=的图像交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 为x 轴上一动点，当有且只有一个点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的值为______.【答案】4±【解析】设点()11,A x y ，()22,B x y ，则11y x m =-+，22y x m =-+，联立2y x m y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，得220x mx -+=，则12x x m +=，122x x =， 当有且只有一个点P ，使得90APB ∠=︒，所以点P 为CD 中点 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C 、D ，则ACP PDB ∆∆∽， ∴AC CPPD BD=，即AC BD PC PD ⋅=⋅， 2122x x CD PC PD -===，11AC y x m ==-+，22BD y x m ==-+， 且1y ，2y 同号∴()()221122x x x m x m -⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，将12x x m +=，122x x =代入，解得：4m =±.【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形相似、韦达定理等18.设双曲线()0ky k x=>与直线y x =交于A ，B 两点（点A 在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA 的方向平移，使其经过点A ，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB 的方向平移，使其经过点B ，平移后的两条曲线相交于点P ，Q 两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ 为双曲线的“眸径”当双曲线()0ky k x=>的眸径为6时，k 的值为 .【分析】以PQ 为边，作矩形PQQ ′P ′交双曲线于点P ′、Q ′，联立直线AB 及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，由PQ 的长度可得出点P 的坐标（点P 在直线y =﹣x 上找出点P 的坐标），由图形的对称性结合点A 、B 和P 的坐标可得出点P ′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】以PQ 为边，作矩形PQQ ′P ′交双曲线于点P ′、Q ′，如图所示．联立直线AB 及双曲线解析式成方程组，y x k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1212x k x k y k y k ⎧⎧=-=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ ∴点A k k ），点B k k ）． ∵PQ =6，∴OP =3，点P 的坐标为（﹣322，322）． 根据图形的对称性可知：AB =OO ′=PP ′，∴点P ′的坐标为32k ，32k ． 又∵点P ′在双曲线xky =32k •32k =k ，解得：k=32．故答案为：32．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．三、解答题（共46分）19、（6分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD 为双曲线的一部分）：（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．曲线CD的解析式为：y2=1000x（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【解析】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x+20，把B （10，40）代入得，k 1=2，∴AB 解析式为：y 1=2x+20（0≤x ≤10）． 设C 、D 所在双曲线的解析式为y 2=2k x， 把C （25，40）代入得，k 2=1000，∴曲线CD 的解析式为：y 2=1000x（x ≥25）； （2）当x 1=5时，y 1=2×5+20=30，当x 2=30时，y 2=100030，∴y 1＜y 2∴第30分钟注意力更集中． （3）令y 1=36，∴36=2x+20，∴x 1=8 令y 2=36，∴36=1000x ，∴x 2=100036≈27.8，[来源:] ∵27.8-8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用．解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围．20. （8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x b =+的图象经过点()2,0A -，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于(),4B a .（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M 是直线AB 上一点，过M 作//MN x 轴，交反比例函数()0ky x x=>的图象于点N ，若,,,A O M N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.【分析】（1）根据一次函数y=x+b 的图象经过点A （﹣2，0），可以求得b 的值，从而可以解答本题；（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M 的坐标，注意点M 的横坐标大于0．【解析】（1）∵一次函数y=x+b 的图象经过点A （﹣2，0）， ∴0=﹣2+b ，得b=2，∴一次函数的解析式为y=x+2，∵一次函数的解析式为y=x+2与反比例函数()0ky x x=>的图象交于B （a ，4）， ∴4=a+2，得a=2，∴4=2k ，得k=8，即反比例函数解析式为：y=8x（x ＞0）；（2）∵点A （﹣2，0），∴OA=2，设点M （m ﹣2，m ），点N （8m，m ），当MN ∥AO 且MN=AO 时，四边形AOMN 是平行四边形，|()822m m--=， 解得，m=22或m=23+2，∴点M 的坐标为（22﹣2，22）或（23，23+2）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21、（8分） 如图，反比例函数y =2x的图象和一次函数的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是1．（1）在第一象限内，写出关于x 的不等式kx +b ≥2x的解集；（2）求一次函数的表达式；（3）若点P （m ，n ）在反比例函数图象上，且关于y 轴对称的点Q 恰好落在一次函数的图象上，求m 2+n 2的值．【解析】（1）∵反比例函数y =2x的图象和一次函数的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是1，∴A （1，2），B （2，1）， ∴在第一象限内，不等式kx +b ≥2x的解集为1≤x ≤2，故答案为：1≤x ≤2． （2）设一次函数的解析式为y =kx +b ，∵经过A （1，2），B （2，1）点，∴221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y =-x +3．（3）∵点P （m ，n ），∴Q （-m ，n ）， ∵点P 在反比例函数图象上，∴mn =2，∵点Q 恰好落在一次函数的图象上，∴n －m =3， ∴m 2+n 2=（n －m ）2+2mn ==9+2×2=13．【点评】本题考查待定系数法求解析式，韦达定理等．22、（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2my m 0x=≠ 的图象相交于第一、三象限内的()()A 3,5,B a,3-两点，与x 轴交于点C .⑴.求该反比例函数和一次函数的解析式；⑵.在y 轴上找一点P 使PB PC -最大，求PB PC -的最大值及点P 的坐标；⑶.直接写出当12y y >时，x 的取值范围.yBC A O【考点】待定系数法求解析式、最值、勾股定理、利用函数图象确定自变量的取值范围.【分析】⑴.先利用已知点的坐标求出反比例函数的解析式，在此基础上求出点B 的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式 ；⑵.根据题意和函数图象PB PC -的最大值先利用勾股定理分别求PB PC 、的长度再代入相减，本题就是BC 的长度 ；⑶.直接根据两图象相交上下位置可以读出12y y >时的x 的取值范围.，注意在每一个象限内来认识.【解析】⑴.∵()A 3,5在反比例函数()2my m 0x=≠ ∴m 3515=⨯= ∴ 反比例函数的解析式为15y x= 把()B a,3-代入15y x=可求得()a 1535=÷-=- ∴()B 5,3--. 把()()A 3,5,B 5,3--代入y kx b =+为3k b 55k b 3+=⎧⎨-+=-⎩ 解得k 1b 2=⎧⎨=⎩.∴一次函数的解析式为y x 2=+.⑵. PB PC -的最大值就是直线AB 与两坐标轴交点间的距离. 设直线y x 2=+与y 轴的交点为P .令y 0=，则x 20+=，解得x 2=- ，∴()C 2,0- 令x 0=，则y 022=+=，，∴()P 0,2∴22PB 5552=+=22PB 2222=+=来源:学##网Z#X#X#K] ∴PB PC -的最大值为522232-=⑶.根据图象的位置和图象交点的坐标可知： 当12y y >时x 的取值范围为;5x 0-<<或x 3>【点评】本题的⑴问利用待定系数法可求；⑵问抓住已知直线外两点，要在直线上求作一点使这两点到这点的距离之差最大有两种情况：①.若两点在直线同侧，就是作射线，找交点；②.若两点在直线的异侧，则要先作对称点，再作射线，找交点.；本问属于第一种情况；⑶问主要注意在每一个象限内来认知.23、（8分）如图，直线y ＝k 1x +5（k 为常数，并且k ≠0）与双曲线y ＝2k x交于A （﹣2，4），B 两点．（1）求直线AB 的解析式；（2）求点B 的坐标；（3）若直线y ＝k 1x +m 与双y 3-5A BCPO曲线y＝2k x有且只有一个公共点，求m 的值．【答案】（1）y ＝12x+5；（2）点B 的坐标为（﹣8，1）；（3）m ＝±4． 【分析】（1）根据直线y ＝k 1x +5过点A （﹣2，4）得方程，解方程即可得到结论；（2）由于点A （﹣2，4）在双曲线y ＝2k x上，得到k 2＝﹣2×4＝﹣8，求得双曲线的解析式为y ＝﹣8x，解方程组即可得到结论；（3）将y ＝12x +m 代入y ＝﹣8x得到x 2+2mx +16＝0，根据题意即可得到结论．【解析】（1）∵直线y ＝k 1x +5过点A （﹣2，4）， ∴﹣2k 1+5＝4，∴k 1＝12，∴直线AB 的解析式为y ＝12x +5； （2）∵点A （﹣2，4）在双曲线y ＝2k x上，∴k 2＝﹣2×4＝﹣8， ∴双曲线的解析式为y ＝﹣8x， 解方程组8152xy y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得，1124x y =-⎧⎨=⎩，281x y =-⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为（﹣8，1）； （3）将y ＝12x +m 代入y ＝﹣8x得，x 2+2mx +16＝0， ∵直线y ＝12x +m 与双曲线y ＝﹣8x有且只有一个公共点，∴△＝（2m ）2﹣4×1×16＝0，∴m ＝±4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据交点个数求参数值，函数图象上点的坐标特征．24、（8分）如图，已知一次函数y 1＝kx +b 与反比例函数y 2＝mx （x ＞0）的图象分别交于点A （2，4）和点B （4，n ），与坐标轴分别交于点C 和点D ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；（3）若点P 是x 轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y2＝8x，y1＝﹣x+6；（2）0＜x＜2或x＞4；（3）P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）．【分析】（1）先把A点坐标代入y2＝mx中求出m得到反比例函数解析式为y2＝8x，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）在第一象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；（3）设P（t，0），利用两点间的距离公式得到PA2＝（t﹣2）2+42，PB2＝（t﹣4）2+22，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2，讨论：根据勾股定理，当∠PAB＝90°时，t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20；当∠PBA＝90°时，t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20；当∠APB＝90°时，t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，然后分别解关于t的方程可得到P点坐标．【解析】（1）把A（2，4）代入y2＝mx得m＝2×4＝8，∴反比例函数解析式为y2＝8x，把B（4，n）代入y2＝8x得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2），把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得2442k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得-16kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6；（2）根据函数图象可得：当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；（3）设P（t，0），∵A（2，4），B（4，2）∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8，当∠PAB＝90°时，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0），当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0），当∠APB＝90°时，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解，综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质．。