上海高考数学理科试卷(带详解)

2013年全国普通高等学校招生统一考试

上海 数学试卷（理工农医类）

一、填空题 1．计算：20

lim

______313

n n n →∞+=+.

【测量目标】数列极限的运算.

【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法则算出极限. 【难易程度】容易 【参考答案】

13

【试题解析】根据极限运算法则，20

1201lim lim 133133

3n n n n n n

→∞→∞+

+==++

． 2．设m ∈R ，2

2

2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =. 【测量目标】复数的基本概念.

【考查方式】给出复数，由纯虚数的基本概念算出m 的值. 【难易程度】容易 【参考答案】2m =-

【试题解析】22

20

210

m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若

221

1

x x

x y y y

=

--，则______x y +=.

【测量目标】行列式的初步运算.

【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法则计算出x y +的大小. 【难易程度】容易 【参考答案】0

【试题解析】2

2

20x y xy x y +=-⇒+=．

4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________.（结果用反三角函数值表示） 【测量目标】余弦定理，反三角函数.

【考查方式】利用余弦定理解出角C ，再用反三角函数值表示. 【难易程度】中等

【参考答案】1πarccos

3

C =- 【试题解析】2222222

323303

a a

b b

c c a b ab ++-=⇒=++

，

故11cos ,πarccos

33

C C =-=-． 5．设常数a ∈R ，若5

2a x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =.

【测量目标】二项式定理.

【考查方式】根据某一项的系数，利用二项式展开式的通项公式求出未知量的值. 【难易程度】容易 【参考答案】2-

【试题解析】2515C ()(),2(5)71r

r r r a

T x r r r x

-+=--=⇒=，故15C 102a a =-⇒=-．

6．方程

1

313313

x x

-+=-的实数解为________. 【测量目标】指数方程.

【考查方式】给出了指数方程，化简求值. 【难易程度】容易 【参考答案】3log 4x =

【试题解析】原方程整理后变为233238034log 4x x x x --=⇒=⇒=．

7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________. 【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式. 【考查方式】给出参数方程，联立方程组得到两点的距离. 【难易程度】容易

【参考答案】

12

【试题解析】联立方程组得(1)1ρρρ-=⇒=

1）， 又0

ρ

．（步骤2） 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）. 【测量目标】古典概型，随机事件的的概率

【考查方式】所求事件为一个随机事件，利用随机事件概率的求法求出答案 【难易程度】容易 【参考答案】

1318

【试题解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为2529C 13

1C 18

-=．

9．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且

π

4

CBA

∠=，若AB=4

，BC=，则Γ的两

个焦点之间的距离为________.

【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的性质.

【考查方式】写出椭圆标准方程，根据其性质求出焦点间的距离. 【难易程度】容易

【参考答案】2

3

c=

【试题解析】不妨设椭圆Γ的标准方程为

22

2

1

4

x y

b

+=，于是可算得(1,1)

C（步骤1）

，得2

4

,2

3

b c

==．（步骤2）

10．设非零常d是等差数列

12319

,,,,

x x x x的公差，随机变量ξ等可能地取值

12319

,,,,

x x x x，则方差_______

Dξ=.

【测量目标】随机变量的期望和方差.

【考查方式】给出等差数列，求出随机变量的方差.

【难易程度】中等

|d

【试题解析】

1

1219

110

1918

19

+2

9

1919

x d

x x x

E x d x

ξ

⨯

+

++

===+=

…

（步骤1）

2

2222222

(981019)30

19

d

D d

ξ=+++++++=．（步骤2）

11．若

12

cos cos sin sin,sin2sin2

23

x y x y x y

+=+=，则sin()________

x y

+=.

【测量目标】两角和与差的正余弦，二倍角公式.

【考查方式】给出三角函数的值，利用两角和与差的余弦公式和等量代换求出值.

【难易程度】中等

【参考答案】

2

3

【试题解析】

1

cos()

2

x y

-=，

2

sin2sin22sin()cos()

3

x y x y x y

+=+-=，故

2

sin()

3

x y

+=．

12．设a为实常数，()

y f x

=是定义在R上的奇函数，当0

x<时，

2

()97

a

f x x

x

=++，若