3电子的波函数
19-(3)波函数 薛定谔方程
1
一 波函数
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设 沿X轴），其动量、能量保持恒定。 X
E const
P const
E h
h p
恒定！ 恒定！
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波。
2
自由粒子的波函数 X
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 注意：波函数一般要用复数表示!
5
二 波函数的统计解释（波恩Born）
代表什么？
粒子的观点 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波动的观点 波强度大 波强度小 介于二者之间
b
x
p h
大量粒子的一次性行为和一个粒子多 次性重复性行为是等价的。 统一地看：粒子出现的几率正比
E Ek
Px
2m
i
t
2
2 2
2m x
( 6)
15
2 势场中的薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
E Px
2
U ( x , t )(7)
Px
2
2m
E U ( x , t ) ( 8)
2m
将（5）式看成一般情况下的特例：
2
( x , y , z ) U ( x , y , z ) E ( x , y , z )(18)
2
2m
定态薛定谔方程： 2
2m
2
( E U ) 0(19)
19
2
(np) 3电子组态的光谱项
状态只有一个 电子 ，则在粒 子 数 表 象 中非耦 合表象 的反
对于 （ ｐ 电子组 态 ，由于所用 方法 的 限制 得到 了三 不 能得到 （ ｐ ’电子组 态的 光谱 项。在 量子 力学 中由于全 ｎ） ｎ） 项不满足 泡利不相容原 理 ，即量 子力 学 中费米 子应构成 反对 同粒子 的不 可分性 ，上述 第二 个 中括号 中的三项 是等 价 的 ， 称波 函数要求 的光 谱项 、Ｄ和 ，而文 献 只给 出正 确结 同属 （ ｐ 电子组 态 的光 谱项 ，如 同文 献… 中的讨 论 ，此 Ｐ Ｆ ｎ）
２ 印 ）电子 组态的光谱项 ．（ ’
在 量子力学 中 ，原子状 态 用 ［ ｎｍ』 ） （ ｌ ￣ ）… ］ （ ｆ ， ｎｍｍ，
多 的电子组态更是如 此 ，关键要找 出符 合泡利不 相容原 理的 或 （ ， ， ）来描述 ，分别称 为非耦 合表 象和耦 合表 象 ， ｜ ｓ， 已
论没有具体讨论。 因此本文首先讨论文献 …所用 定性方 法的 种耦合的光谱项分别为
局限 ，它无 法解 决多电子组态的光谱项 ，然后 用二 次量子化 ［Ｄ（ ，， ） ３ Ｉ２ ，Ｄ（ ， ， ） ， （ ， ， ） （ ，， Ｉ２ ３ ， Ｄ（ ， ， ） ２ ３ Ｉ ］ ［Ｐ Ｉ２ ３ ，Ｐ ３ Ｉ 定量讨论 （ ｐ 电子组 态的光谱 项。 ｎ）
（ 延安 职业技 术学院 ，陕西 延安 ７ ６０ ） １０ ０ ［ 摘 要］ 根 据泡利不相 容原理 ，费米子所满足 的反对 称波 函数 ，用二 次量 子化的 方法讨论 （ ｐ ’电子组 态 ｎ） 光谱 项；电子组 态 ；二次量子化 ０ ３ ４３ ［ 文献标识码 ］ Ａ ［ 文章编号 ］ １０ ０ ９—３０ ２０ ）０ ０５ ０ ０ １（０ ７ ２— ０ ４— ４
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】
第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。
无机化学强化练习题
无机化学强化练习题第八章原子结构一、是非题1、电子在原子核外运动的能量越高，它与原子核的距离就越远。
任何时候1s电子总比2s电子更靠近原子核，因为E2s > E1s。
2、在电子云图形中，黑点越密的地方其几率密度就越大，电子出现的机会就越多；反之，黑点越稀的地方，电子出现的机会就越少。
3、3p电子的电子云图象代表了它在核外空间几率密度的分布而不是径向几率分布。
4、原子中某电子的各种波函数，代表了该电子可能存在的各种运动状态，每一种状态可视为一个轨道。
5、n=2的原子轨道离核的平均距离是n=1的原子轨道离核距离的2倍；m=+2说明该轨道的方向是+2，m=0说明该轨道无方向。
6、氢原子中，2s与2p轨道是简并轨道，其简并度为4；在钪原子中，2s与2p 轨道不是简并轨道，2px，2py，2pz为简并轨道，简并度为3。
7、根据原子轨道能级图和能级高低的顺序，氟原子2p电子能量应比铍原子2s电子能量高。
8、在元素周期表中，每一周期的元素个数正好等于该周期元素最外电子层轨道可以容纳的电子个数。
9、元素在化合物中的最高氧化数，不一定等于该元素在周期表中的族次。
10、就热效应而言，电离能一定是吸热的，电子亲和能一定是放热的。
11、原子中某电子所受到的屏蔽效应可以认为是其它电子向核外排斥该电子的效应。
12、根据原子轨道的能级，人们将能量相近的轨道划为同一能级组。
周期表中同一周期各元素的最外层电子，属于同一能级组，它们的能量也很相近。
13、铬原子的电子排布为Cr：[Ar]4s13d5，由此得出，洪特规则在与能量最低原理出现矛盾时，首先应服从洪特规则。
14、s区元素原子丢失最外层的s电子得到相应的离子，d区元素的原子丢失处于最高能级的d电子而得到相应的离子。
15、元素的电子亲和能和电离能的递变趋势完全一致，电子亲和能大意味着容易得到电子而不易失去电子，电离能也应该比较大。
电离能小的元素，它的电子亲和能也小。
二、选择题1、玻尔在他的原子理论中：A、证明了电子在核外圆形轨道上运动B、推导出原子半径与量子数平方成反比C、应用了量子力学的概念和方法D、解决了氢原子光谱和电子能量之间的关系问题2、波函数和原子轨道二者之间的关系是：A、波函数是函数式，原子轨道是电子轨迹B、波函数和原子轨道是同义词C、只有轨道波函数与原子轨道才是同义的D、以上三种说法都不对3、轨道上的电子在xy平面上的电子几率密度为0：A、3PzB、3dz2C、3sD、3Px4、估计一电子受屏蔽的总效应，一般要考虑的排斥作用是：A、内层电子对外层电子B、外层电子对内层电子C、所有存在的电子对该电子D、同层和内层电子对该电子5、电子的钻穿本领和受其它电子屏蔽的效应之间的关系是A、本领越大，效应越小B、本领越大，效应越大C、上述两种关系都可能存在D、没有一定关系6、多电子原子的原子轨道能级顺序随着原子序数的增加：A、轨道能量逐渐降低，但能级顺序不变B、轨道能量基本不变，但能级顺序改变C、轨道能量逐渐增加，能级顺序不变D、轨道能量逐渐降低，能级顺序也会改变7、下列电子构型中，电离能最低的是：A、ns2np3B、ns2np4C、ns2np5D、ns2np68、下列元素中，第一电离能最大的是A、BB、CC、AlD、Si9、下列元素中，其电负性依次减小的是：A、K Na LiB、O Cl HC、As P HD、三者都是10、原子轨道中“填充”电子时必须遵循能量最低原理，这里的能量主要是指：A、亲合能B、电能C、势能D、动能11、各元素原子的电子排布中有的出现“例外”的现象，对于这些元素：A、电子填充的三原则不适用B、电子填充的三原则互相矛盾C、通常使用的能级图不准确D、三者都有可能12、在周期表中，氡(86号)下面一个未发现的同族元素的原子序数应该是：A、150B、136C、118D、10913、下列哪一原子的原子轨道能量与角量子数无关?A、NaB、NeC、FD、H14、零族元素中原子序数增加电离能随之减少，这符合哪条规律?A、原子量增加致使电离能减小B、核电荷增加致使电离能减小C、原子半径增加致使电离能减小D、元素的金属性增加致使电离能减小15、下列原子中，第一电子亲合能最大(放出的能量最多)是：A、NB、OC、PD、S16、用来表示核外某电子运动状态的下列各组量子数中哪一组是合理的?A、(2,1,-1,-1/2)B、.(0,0,0,+1/2)C、(3,1,2,+1/2)D、(2,1,0,0)三、填空题1、宏观物体的运动可用方程F=ma 描述,但微观物体的运动要用量子力学中的描述。
3-3波函数及其物理意义jm
x u
)
借助电磁波波函数概念，量子力学提出了如下假设： （1）、描述微观粒子一切状态的物理量——波 函数Ψ ；
（2）、波函数满足的方程——薛定谔方程。
一门新的理论“量子力学”于1925年诞生了。
3
二、自由粒子的波函数 德布罗意假设： E m c 2 h
p mv h
自由粒子具有确定E 和P，则有确定ν 和 λ 。
(r , t ) A e
i ( p r E t )
波阵面
r
v
y
rn
推导： 0 co s( t
0 cos(2 t
v
rn )
rn )
x
( / 2 )
2
v
0 co s 2 ( t
y
x
0e
或： 0 e 常用：
2 i ( t k r )
r cos
2 i ( t
)
0e
2 i ( k r t )
1 波矢：k n
复数形式的自由 粒子的波函数：
z
波阵面
r
v ,( n )
2、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。 2．归一化条件： ( x , y , z , t ) dV 1
i
2
3、自由粒子的波函数
e 0
(r pE t)
17
§3.3 波函数及其物理意义
一、波函数的提出 • 同时具有波、粒二象性的粒子，该用什么物理 量描述？
p mv r
不同轨道三玻色子全对称波函数的展开式
不同轨道三玻色子全对称波函数的展开式元的计算,在将量子理论用于实际问题中起着极为重要的作用.通过它的计算.可以得到实际问题的一些具体结果.在一般情况下.相互作用矩阵元的计算是相当复杂的.但是,对于普遍存在的两体算符来说,它所对应的矩阵元,则可以通过将其化为关于两个粒子的矩阵元来完成.其中的要点就是解除波函数的全对称性,即对波函数进行展开,由非全对称波函效来组成全对称波函数.文献[1-4]分别给出了3十费米子和3个玻色子在同一轨道时全对称波函数的展开式.本文就更复杂的情况——不同轨道,给出三玻色子全对称波函数的这种展开式.1问题的提出设有3个全同玻色子的两体相互作用对称标量算符y:三y=,=(1)当我们要计算这种算符y在三玻色子全对称波函数和妒之间的矩阵元<fyI妒>时,要把它化成两玻色于的矩阵元<1Vd1>来进行.这就要解除和,的对称性,即对波函数进行展开.把与,无关的玻色子分离出来,其波函数由正交归一性而积分掉.剩下的就为两玻色子的矩阵元了.对于只有1个轨道的三玻色子和四玻色子体系,文献[3—5】用类似于费米子体系的做法,引入亲态比系数,将全对称波函数寝开成非全对称波函数之和的形式(即将全对称波函数看作是由一些非全对称波函效组合而成).这种非全对称波函数已把与V无关的玻色子从对称波函数中分离出来了.在实际情况当中.存在着大量的不同轨道的玻色子体系.如计算~CMmM三玻色子核收穑日期:1995年9月12日2长沙交通学院g12卷的核谱时就遇到了这种情况.这时要计算两体相互作用矩阵元.跟前面一样也必须把与V无关的玻色子分离出来,将不同轨道玻色子体系的全对称波函数展开成非全对称波函数之和的形式,以便方便地进行矩阵元的计算.虽然处理多轨道的粒子体系有二次量子化的方法.但在轨道数不太多的情况下(如此处的三轨道),本文的方法要比二次量子化方法简单,实用.因此具有一定的实用价值.特别是在编制计算程序方面较为便利.2符号表示为了叙述方便,单粒子波函数用表示,而耦合波函数用表示.另外.用s 脚标表示全对称波函数,且粒子间的轨道角动量无逗号分开;脚标表示归一化全对称波函数.无脚标时则表示非全对称波函数.粒子间的轨道角动量有lz2z3;LM)=√暑[z2,z3;LM)+u(lz2Lz3;L0L)(z2z3.Ii;LM)+∑U(12zlu3;L0L)(z㈣ll2;LM)】(8)这样.在展开式(7)和(8)中,由于已将k玻色子从对称波函数中分离出来了.计算两体相互作用矩阵元时,只要根据式<P一(e),();I11l一(e).();I1>=<一(E);j’lv,jlP一(e);I1>乱.,札就可以根方便地算出来.4结语以上我们对不同轨道三玻色子全对称波函数的展开进行了讨论.并分别得到了展开式(7)和(8).事实上对四玻色子,五玻色子等在轨道数不是太多的情况下可类似地进行讨论.此外,在角动量不是太高的情况下,如l:.d等,(实际当中多数是这样的情况).(7)和(8)两式还将得到大大的简化.最后,我们还注意到在(7)或(8)式中若取同一轨道,则可得到文献[3],【4]中的亲态比系数.感谢莫克威副教授所给予的帮助.第3期符力平:不同轨道三玻色子全对称波函数的展开式5参考文献1Bn1龇d?PJ?Glaudemarts.PWM.ShellModelApplieatlonsinNuelem-Speetroseop yNca-th—Holland.Amsterdam.19772KLGHeydeTheNuclearShellModelSpringer—V evl~.1990t3陈小林,张庆营玻色于亲态比系数的公式(I).湖南大学,1992.19. 95—974张庆营,冯芒,陈小林等玻色于亲态比系数公式的公式(II).湖南大学,1995,22.32～355冯芒.张庆营.四粒子亲态比系数的显式.见:第四届垒国桉结构学术讨论会论文集.原子胎出版社.1993 EXPANSIONFORMULASOFFULL YSYMMETRICWA VEFUNCTIONFORDESCRIBINGTHREEBOSONSINDIFFERENTORBITSFuLiping(Bs.fleCotm~esDeparhIImt)ABSTRACTBasedonthepreviouswork,twoexpa~ionformulasoffullysTmmetrlewaveJ 0nfordescribingthreebc∞丑8_mdiff∞ttsareobtained—which~2111beteedtoealcdatethenuce 盯3P酣哪.Keywords:expansion;bosons;nuelerspectroscopy。
半导体物理第三章半导体中的电子状态
有化运动：2s能级引起“2s”的共有化运动，2p能级引起
“共2有p化”的运动。
2p
• 2s • • •
► 晶体中电子的运动
► 晶体中电子做共有化运动时的能量是怎样的？
a: 考虑一些相同的原子，当它们之间的距离很大时，可以 忽略它们之间的相互作用，每个原子都可以看成孤立的， 它们有完全相同的电子能级。如果把这些原子看成一个 系统，则每一个电子能级都是简并的。(2个原子构成的 系统，为二度简并（不计原子本身的简并时）；N个原 子构成的系统，为N度简并）。
b: 能带的形成：原子相互靠近时，由于之间的相互作用， 使简并解除，原来具有相同能量的能级，分裂成具有不 同能量的一些能级组成的带，称为能带。原子之间的距 离愈小它们之间的相互作用愈强，能带的宽度也愈大。 (图3.2)
• 原子能级和能带之间并不一定都存在一一对应的关系。 当共有化运动很强时，能带可能很宽而发生能带间的重 叠，碳原子组成的金刚石就是属于这种情况。(图3.3)
3：处于低能级的内壳层电子共有化运动弱，所以能级分裂小， 能带较窄；处于高能级的外壳层电子共有化运动强，能级分 裂大，因而能带较宽。
4：每个能带都是共有化电子可能的能量状态，称为允带；各允 带之间有一定的能量间隙，电子能量不可能在这一能量间隙 内，称之为禁带。
5：每个允带包含的能级数一般等于孤立原子相应能级的简并度 （不计自旋简并）× 组成晶体的原子数目。
设一维晶格长为L，
则有：
L
0
(
x
)
2
dx
1
( 归一化）
即：
L
0
2
A dx 1，
取A
1, L
则 ( x )＝
1 exp(ikx) L
第3节_波函数的电子云图形
界面图
取电子出现的 总几率在90% 范围为一界面， 用界面图表示。
等密度面
将电子云几率密度 分布相等的各点连 起来,就形成了空间 的曲面。
0.4 0.5 0.6 0.75 1.0
考查半径为r、厚度为dr的球壳内电子出现的几率，靠核近处，几率密度很大， 但是球面太小，电子出现的几率未必大；反之，离核远的地方球面很大，但该处 几率密度较小，因此几率也不会最大。可以想象，一定在空间某个r处会出现几 率最大的情况，我们用径向分布函数D来描述这种情况。
将2(r,,)d在和的全部区域积分，即表示离核为r， 厚度为dr的球壳内电子出现的几率。 将(r,,)＝R(r)()()和d＝r2sindrdd代入， 并令
Ddr
2
0 0
2 2
(r , , )d
2
2
0
0
[ R(r )( )( )] r 2 sin drdd
3 cos 2 1
d zx ~ sin cos cos
0,
sin cos
氢原子d-轨道( l = 2 )角度分布
d yz ~ sin cos sin
3 , 2 2
sin cos
d x 2 y 2 ~ sin cos 2
2
dxy ~ sin 2 sin 2
作法：以原子核所处的位置为坐标原点，在每一个方向（θ、φ）
引一条直线，直线的长度等于Ylm （θ、 φ ）绝对值的大小，所有 这些直线的端点在空间构成一个曲面即为角度分布图，再适当地 标出正负号。
3 例：作pn轨道的角度分布图，由查表可知Ypz cos 4
解：一般作图前可先讨论图形的特点，如节面、极值、拐点、对称性等。
波函数与傅里叶变换
波矢定义为：k 2 / 所以看出自由粒子的频率和
波矢均为常量。
改写de Broglie关系为
h
p
h
e
k
2 , h / 2
14
三、自由粒子的波函数（3）
函数 描和述k都为Ac常os量(k 的 r 波应t) 该或是平 面Ae波xp[，i(k可 r用以t)下]
在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全 确定的位置、动量、能量等。然而，对于微观粒 子，其波动性远远大于宏观粒子，以致于它的某 些成对的物理量（如位置坐标和动量、时间和能 量等）不可能同时具有确定的量值。这就叫不确 定度关系或测不准原理。
下面以电子 单缝衍射为 例讨论这个 问题
多晶 铝 箔
汤姆逊（1927）：电子圆孔衍射实7 验
对于de Broglie波，有关系： k 2 / 2m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
vg
k / m
dvg dk
m
0
根据波包说：粒子为三维空间中连续分布的一
种物质波包，波包的大小即粒子的大小。由于
dvg / dk 0 ，则波包会随着运动发生扩散，即： 粒子的大小随时间会变大。
难道电子会随着时间 “变胖”？ 22
四、一般粒子的波函数及其物理意义（7）
代入de Broglie关系得到：
k
A exp[ i
(pr
Et)]
即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能
量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。
15
三、自由粒子的波函数（4）
总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据de
Broglie关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，
原子轨道(波函数)4dz的三个量子数为
原子轨道(波函数)4dz的三个量子数为原子轨道（波函数）的三个量子数是描述原子内电子状态和运动的重要参数。
它们为主量子数（n）、角量子数（l）和磁量子数（m）。
主量子数（n）代表了电子所处的能级，它决定了电子离原子核的距离和能量大小。
主量子数越大，电子能量越高，相应的轨道半径也越大。
角量子数（l）代表了电子在原子内的角动量大小，它决定了电子在轨道上的形状。
角量子数的取值范围为0到（n-1），即角动量量子数不能超过主量子数。
例如，当主量子数为3时，角量子数的可能取值为0、1和2，对应的轨道形状分别为s、p和d。
磁量子数（m）代表了电子角动量在空间中的方向，它决定了电子在轨道上的取向。
磁量子数的取值范围为-l到l，即在给定的角量子数下，磁动量量子数在其取值范围内变化。
例如，当角量子数为1时，磁量子数的可能取值为-1、0和1，对应的轨道取向分别为px、py和pz。
以原子轨道4dz为例，主量子数为4，角量子数为2，磁量子数为0。
这意味着该电子所处的能级为第4能级，轨道形状为d，取向为z轴方向。
d轨道通常呈现出复杂的形态，由于对称性的原因，它具有多个互相垂直的取向（dxz、dyz、dxy等）。
应用量子数可帮助我们理解原子的行为，并描述原子内电子的能级分布和排布。
它们也是确定化学性质和化学反应的基础。
总之，原子轨道的三个量子数（主量子数、角量子数和磁量子数）为我们提供了一种全面描述电子状态和运动的方法。
了解这些量子数的含义和应用，有助于加深我们对原子结构及化学性质的理解，并为实验设计和理论研究提供指导。
波函数
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
(
px
px
)
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
e i [
Ex
E
x
]t
px *( x) px ( x)dx
i [ px2 px2 ]t
e 2 2
px * ( x) px ( x)dx
px * ( x) px ( x)dx
e dx i (
p
x
px
)
x
II 平面波 归一化
p(r , t)
i [ p•r Et ]
Ae
p(r )e
i
Et
t=0 时的平面波
写成分量形式
p(r )
i [ p•r]
Ae
px ( x) py ( y) pz (z)
A e A e A e i [
p
x
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
考虑电子双缝衍射
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态，Ψ 是这两种状 态的叠加。
S1
电子源
S2
Ψ1 Ψ2
P
Ψ
感 光 屏
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是：
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
电子穿过狭缝
电子穿过狭缝 相干项
１出现=在|CＰ1 点Ψ1|2+ |C2Ψ２2|2出+现[C在1*CＰ2Ψ点1*Ψ2 +正C是1C由2*Ψ于1Ψ相2干*] 项的
高等电磁理论课件第3章 基本波函数
几类柱贝塞尔函数的大宗量渐进分别为 J n ( x )®
x
2 2n + 1 π) cos( x πx 4 2 2n + 1 π) sin( x πx 4 2 j ( xe πx 2 e πx
2 n+ 1 π) 4
(3-22a)
N n ( x)®
x
(3-22b)
H ( x) ®
(1) n x
(3-22c)
'' kx = 0 ' kx = 0 '' kx = 0 ' kx = 0
标量亥姆霍兹方程的解
基本波函数的线性组合必定也是标量亥姆霍兹方程的解。式（3-4）中的分离 常数只有两个是独立的，因此，对两个分离常数的可能选择求和，就能构成更一 般的波函数。 如果分离常数具有一些离散值，标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成求和 形式，例如 (3-6) Ψ = 邋 Ak x ,k y h(k x x)h(k y y )h(k z z )
第1章 电磁理论基本方程
* 第1章 电磁理论基本方程 *1.1 麦克斯韦方程 1.2 物质的电磁特性 *1.3 边界条件和辐射的条件 1.4 波动方程 *1.5 辅助位函数及其方程 #1.6 赫兹矢量 1.7 电磁能量和能流
第2章 基本原理和定理
式中 h 表示正弦函数、余弦函数或指数函数中的任一种谐函数。各种谐函数 的性质[以 h(k x x) 为例]在表 3-1 中列出。对于具体问题的给定边界条件，必 须适当选择谐函数的类型。式（3-5）通称为基本波函数。
表3-1
h(k x x )
ejk x x
谐函数的类型及对应的性质
原子轨道符号怎么表示量子数m=-3
原子轨道符号是表示原子轨道的一种简短符号，用来描述原子中电子运动的特性。
在原子物理学中，原子轨道符号通常用来表示一些与径向运动和角动量有关的量子数。
而量子数m=-3则是指第三个电子子壳的角动量量子数。
读者们也许会好奇，究竟原子轨道符号是如何表示量子数m=-3的呢？接下来，我们将结合相关理论知识，为大家详细解释该问题。
一、原子轨道符号的表示在量子力学中，原子轨道符号通常由四个量子数组成，分别是主量子数（n）、角量子数（l）、磁量子数（m）、自旋量子数（s）。
而原子轨道符号通常采用以下方式表示：nl，其中n代表主量子数，l代表角量子数。
1s、2p、3d等原子轨道符号分别表示主量子数1、2、3，角量子数s、p、d对应l=0、1、2。
二、量子数m=-3的表示方法1. 角动量量子数和磁量子数的关系在量子力学中，角动量量子数l代表了电子绕原子核旋转的轨道角动量大小，而磁量子数m则代表了这一轨道角动量在空间中的取向。
对于一个给定的角动量量子数l，其对应的磁量子数m的取值范围为从-l到l的整数。
即：-l ≤ m ≤ l。
2. 量子数m=-3的具体情况量子数m=-3表示角动量量子数l的值很大，大到足以使得m小于-2。
在原子物理中，一般来说，我们遇到的角动量量子数l都是比较小的，因此m=-3的情况相对较少见。
3. 实际示例举一个实际的示例来说明量子数m=-3的情况。
3d原子轨道中，角动量量子数l=2，那么根据上面提到的规律，其对应的磁量子数m的取值范围为-2、-1、0、1、2。
当m=-3时，即超出了这一范围，因此在正常情况下是不会出现量子数m=-3的情况。
量子数m=-3的情况在常见的原子轨道中较为罕见，通常出现在角动量量子数较大的情况下。
而对于特殊情况下的量子数m=-3的表示方法，需要结合实际问题具体分析。
通过以上分析，我们希望能够对原子轨道符号中量子数m=-3的表示有所了解。
在学习和研究相关领域时，我们应该注重基础理论知识的掌握，提高对于复杂问题的分析和解决能力。
多电子原子的波函数描述和角动量理论
多电子原子的波函数描述和角动量理论在原子物理学中，多电子原子是指具有多个电子的原子系统。
为了描述和理解多电子原子的性质和行为，科学家们提出了波函数描述和角动量理论。
本文将探讨这两个重要概念在多电子原子中的应用。
一、波函数描述波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
对于多电子原子，波函数描述了每个电子的位置和运动状态。
多电子原子的波函数可以通过Hartree-Fock方法或密度泛函理论等计算方法得到。
波函数的形式是由薛定谔方程决定的。
薛定谔方程是描述微观粒子的运动和行为的基本方程。
对于多电子原子，薛定谔方程可以写成如下形式：HΨ = EΨ其中，H是原子的哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
通过求解这个方程，可以得到多电子原子的波函数和能级。
在多电子原子中，波函数的形式可以通过一组基函数的线性组合得到。
这些基函数可以是Slater行列式、分子轨道或自旋轨道等。
波函数的形式决定了电子的空间分布和运动状态。
二、角动量理论角动量是描述物体旋转和自旋的物理量。
在多电子原子中，电子的角动量对于原子的性质和行为具有重要影响。
角动量理论可以帮助我们理解多电子原子的能级结构和光谱现象。
在量子力学中，角动量是由角动量算符表示的。
对于多电子原子，总角动量算符可以表示为L = L1 + L2 + ... + Ln，其中L1、L2、...、Ln是每个电子的角动量算符。
角动量算符具有一些重要的性质，如对易关系和本征值问题。
通过求解角动量算符的本征值问题，可以得到多电子原子的角动量量子数和角动量的取值范围。
多电子原子的角动量量子数包括轨道角动量量子数l和自旋角动量量子数s。
轨道角动量量子数决定了电子在原子中的运动方式，而自旋角动量量子数决定了电子的自旋状态。
根据角动量理论，多电子原子的能级结构可以分为不同的能级和能级分裂。
这些能级和能级分裂对应着原子的光谱线和光谱现象。
通过观察和研究原子的光谱，科学家们可以推断出原子的内部结构和电子的行为。
固体物理期末复习题目及答案
第一章 晶体结构1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。
（1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()32R ，所以 ()33344330.5262n R R K V R πππ⋅==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以43a R =3334423330.68843n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫⎪⎝⎭（3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a,所以42a R =3334442330.74642n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫⎪⎝⎭(4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线14长，体对角线为83R a = 3334483330.341683n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫⎪⎝⎭2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。
09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 2109918033、证明：倒格子原胞体积为()3*2cvvπ=，其中v c为正格子原胞的体积。
4、证明正格子晶面 与倒格矢正交。
5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。
见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求：（1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数；（2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。
密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。
第3节 波函数及其物理意义
波函数 考虑一个自由粒子的波
平面单色波表示为： o cos (t
表示为复数形势： 量子力学中常采用：
Hale Waihona Puke ro r ) o cos 2 ( t 0 ) v
)
oe
2 i ( t
r cos
oe
z
2 i ( t k r )
互补原理
几乎与海森堡提出不确定关系的同时，玻尔提出了互补原理， 如果说海森堡的不确定关系从数学上表达了物质的波粒两象性， 那末玻尔的互补原理则从哲学的角度概括了波粒两象性。
玻尔认为，既然光和粒子都有波粒两象性，而波性和粒子性又 决不会在同一测量中同时出现，那么，波和粒子这两种(经典的) 概念在描述微观现象时就是互斥的；一方面，既然波和粒子这 两种形象不能同时存在，它们就不会在同一实验中直接冲突。 但这两种概念在描述微观现象、解释实验时又都是不可缺少的， 扔掉哪一个都不行，在这种意义上它们就是“互补的”。
1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了 一个非常精确的弱电子流衍射实验。
电子几乎是一个一个地通过双缝， 底片上出现一个一个的点子。 （显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子“无规”分布，随着 电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。
7个电子
100个电子
3000
20000
说明衍射图样不是电子 相互作用的结果,它来源 于单个电子具有的波动性。
对互补原理比较概括的叙述是：一些经典概念的应用不可避免 地将排除另一些经典概念的应用，而这“另一些经典概念”在 一些条件下又是描述现象所不可缺少的；必须而且只须将所有 这些既互斥、又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成现 象的详尽无遗的描述。
量子化学第三章多电子波函数.
第三章 多电子波函数3．1 电子问题——对于一个N 电子，M 核的体系，在原子单位下，哈密顿Hamiltonian ，可以写为：221111111221NM N Mi AA i A i A A iAN NM MA B i j iA B A ij ABZ H M r Z Z r r =====>=>∇=--∇-++∑∑∑∑∑∑∑∑其中A M 是核A 相对于电子的约化质量A Z 为核A 的原子数第一项为电子动能项 （算符） 第二项为核动能项第三项为电子与核相互作用能 第四项为电子与电子相互作用能 第五项为核之间的相互作用能——为了使问题简化，Born Oppeheimer 提出假设（B O Approach ） 利用BO 近似，可以将核与电子运动分离，从而使我们只讨论电子问题，解决了电子问题后，我们还可以接着解决核问题。
——具体看一下BO 近似上式中，由于核与电子相比，质量很大，因此由动量守恒，其运动与电子相比就慢很多。
这样就可以假设电子是在由定核构成的场中运动。
因此：第二项： 核动能项可以忽略 第五项： 核排斥能为常数由于常数加在算符上，只改变算符本征值而不改变本征函数，因此，我们可以从总Hamiltonian 中减掉它，得到电子哈密顿，或描述N 电子在M 点电荷场中的哈密顿：21111112NN MN N A eleci i A i j i i iA ijZ H r r ====>=-∇-+∑∑∑∑∑其相对应的Schrodinger 方程为:elec elec elec elec H εΦ=Φ这时的Hamiltonian 的本征值不是多电子体系的总能。
为了求得体系总能量，我们需要加上1M MA BA B A ABZ Z r =>∑∑一项，我们以后只考虑电子问题，因此省略掉下标“elec ”。
由于电子Hamiltonian 含有双粒子坐标项11N Ni j i ijr =>∑∑，因此不能简单地利用变量分离法求解，只能用近似法求解。
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O
$
=K
O σyΨ = σyψsχs = σy ψ [ χ [ C ψ Y χ Y = ψ[ = ψ[ 0 K I I 0 I 0 C ψY 1 0 C ψY K I 0 0 K I I 0 0 1
= I$ψ [ $χ Y K I$ψ Y $χ [ O σ = σx C σy C σz = 0 1 1 0 3 0 0 3
56. 将后面两个相加，和相减，有： O F[Y C FY[ = ψ1 $ψ2 K ψ2 $ψ1 O F[Y K FY[ = ψ1 $ψ2 C ψ2 $ψ1
α β α α β α β β
2 2
$ χ [ $χ Y C χ Y $χ [ $ χ [ $χ Y K χ Y $χ [
1 2 1
1
2
1
2 2
α 2 2 2 2 2 2
C
I 0 K
I 0
C
0 1 1 0
2
=
2
O σ $χs = 3$χs 24. 如果ψ O ψ[ =
s
是轨道波函数空间的一组“完备基”,可以将轨道波函数写成：
α [α
>c $ψ O ψ = >c $ψ
α α
,
ψY =
>c
α
Yα
$ψ
α
sα
α
O ψs = csα$ψ 25. 总的电子波函数是： O 26. 27. 28. Ψ = ψs$χs = csα$ψ $χs 注意系数csα是一些复数。 用线性代数的话来概括这些，就是： 我们有两个现象空间，
α
α
29. 30. 31. 32. 33.
一个是（无穷维数）的“平方可积”函数空间, 一个是（二维的）“1/2自旋空间” 它们相乘，得到一个更大的线性空间， 单电子波函数是这个大空间里的矢量。 两个不同的线性空间的“乘法”(直积)
1
O V
5V
1
2
34. 这种乘法在现代理工领域，经常遇到。 35. --------------------------------------------36. 两个电子： O F r O F , r
αs
βs
O Ψ1 O Ψ2
= ψ1 $χs = ψ2 $χs
β
α
1
"和: 将1换成2"
2
O 54. 代入上面的行列式，有： O F = ψ1 $χs $ψ2 $χs K ψ2 $χs $ψ1 $χs
α 1 β 2 α 2 β 1
= ψ1 $ψ2 $χs $χs K ψ2 $ψ1 $χs $χs 55. 对不同的自旋，可以得到下面四个双电子波函数： O F[[ = ψ1 $ψ2 K ψ2 $ψ1
α β α β
α
β
1
2
α
β
1
2
$ χ [ $χ [ $ χ Y $χ Y
1 2 β β 1 1
1
2
FYY = ψ1 $ψ2 K ψ2 $ψ1
α α β β 1 1 2 2
α
β
α
β α α
F[Y = ψ1 $ψ2 $χ[ $χ Y K ψ2 $ψ1 $χ Y $χ [ FY[ = ψ1 $ψ2 $χY $χ [ K ψ2 $ψ1 $χ [ $χ Y
= Ψ1 $Ψ2 K Ψ1 $Ψ2 这就是：从单电子波函数，构造多电子波函数的办法！ 总是用行列式来做这个分离变量！(以保证不违反包利原理) 如果a=b，上面的F=0。也就是说有：包利不相容原理 形象地解读是： 同一个单电子波函数上，不允许有两个电子。等等说法。 它来自“电子交换反对称”这个自然法则。 ----------------------------------------------现在我们看看，用单电子的“基矢量”，能构造出多少。 分成“轨道”和“自旋”来写，单电子的基矢量就是：
O 58. 和一个自旋反对称，轨道对称的波函数：（单态；仲氦态） O 59. 60. 61. 62. 63. 64. ψ1 $ψ2 C ψ2 $ψ1 $ χ [ $χ Y K χ Y $χ [ 如果α=β, 只有单态。0 基态是单态 激发态：可以有三重态 --------------------------------------------------------------多电子系统的波函数：都可以用单电子（或氢原子）的“基矢量”构造出来： 1,2,3,4,... a,b,c,d,...
O s zψ [ r =
Z
2
ψ[ r
O s zψ Y =K ψ Y 2 O 19. 写成矩阵形式，就是： O 1 0 $ ψ[ 0 = ψ[ 0
Z
0 K 1
O
1
0
0 $ ψY 1 0 0 =K
0 ψY
0 K 1 1 0
20. 或者： O 0 K 1 1 0 $ = 1 0 0
0 K 1 1 1 21. 或用“包利矩阵”，写成： O σzχs = s$χs; s =G 1 O 22. 其他自旋算符对波函数的作用，都可以用包利矩阵计算了。 23. 例如： O σxχ [ = 0 1 1 0 $ 1 0 = 0 1 = χY
O 57. 这样，得到三个自旋对称，轨道反对称的波函数：（三重态；正氦态） O O O ψ1 $ψ2 K ψ2 $ψ1 ψ1 $ψ2 K ψ2 $ψ1 ψ1 $ψ2 K ψ2 $ψ1
α β α α β α α β α β β β
$ χ [ $χ [ $ χ Y $χ Y
1 1
1
2 2 2 1 2
$ χ [ $χ Y C χ Y $χ [
从自变量可以看出，这里的Ψ是单电子波函数。 但是如果F a s F b , 这样的分离变量既不对称，也不反对称 怎么办？ 换一种分离变量的办法,就OK了： Ψ Ψ
b a b
O F = det
a
r r
b
1 1
, s , s
a
1 1
Ψ Ψ
a b
r r
2 2
, s , s
2 2
45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53.
电子的波函数
1. 2. 3. 4. 电子：基本粒子。有：电荷，质量，1/2自旋 为简单和便于学习，这里略去与时间有关的内容。 中子和质子的波函数，也和下面的一样。 即想象没有时间坐标t,只有空间的。 1 5. 自旋“坐标”：只有两个值。s =G 1, G , "或者" [,Y 2 6. 通常的默认约定（default）: 自旋“坐标”s的值= sz 的本征值。 7. -----------------------------------------------8. 一个电子的波函数： O ψ x, y, z, s O ψ x, y, z,[ , ψ x, y, z,Y O ψs r O ψ[ r , ψY r 9. 或写成2x1矩阵的形式： O ψ[ ψY = ψ[$ 1 0 CψY$ 0 1 = ψ [ $χ [ C ψ Y $χ Y
12 1
F r
2
1
, r
1
2 2
, s
1 1
,s
2
=K F r
1
1
, r
2
2 1
, s
1 2
,s
2
F r
, r , s ,s =K F r , r , s ,s 如何得到（构造）满足这些“反对称”要求的东西？ 具体办法是： 先考虑可对每个电子“分离变量”的"函数"：
a
Ψ
r
1
, s
1
$Ψ
b
r
2
, s
2
α β α β 1 2 1 2
10. 故有：“电子波函数有两个分量”的说法。 11. 这里的记号： 0 1 12. 是“自旋空间的两个基矢量”。 13. 或写成“求和”的形式： O Ψ= O 14. 15. 16. 17. 18.
s =[,Y
O χ[ =
1
;
χY =
0
>ψ
s
x, y, z $χs
Ψ = ψs$χs 后一个是爱因斯坦发明的“偷懒” “爱因斯坦重复指标自动求和约定”。 读成：“轨道部分”和“自旋部分” s是“自旋角动量算子的z分量本征值”。 那么逻辑地，ψs r 就是相应的本征态：
2
, s
1
1
,s
2
2
s 1 ,s 2
r
,
2
37. 交换算符：的定义是 O P 12 F r 1 , r , s 1 , s 2 = F r 2 , r , s 2 , s 1 38. 泡利原理：多电子系统的波函数必须关于交换反对称： O P O 39. 40. 41. O O 42. 43. 44.