数列基础知识复习.doc

合集下载

数列基础知识点总结大全

数列基础知识点总结大全一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。

数列中的每一个数称为数列的项，用a1, a2,a3, …, an 表示。

数列通常用以下形式来表示：{a1，a2，a3，…，an}其中a1, a2, a3，…，an为数列的项，n表示数列的个数。

二、数列的分类1. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之差都相等。

公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 等比数列等比数列是一种每一项与前一项之比都相等的数列。

公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)3. 通项公式通项公式即能用一个公式来表示数列中任意一项的公式。

对于等差数列和等比数列，都有相应的通项公式。

4. Fibonacci数列Fibonacci数列是一个非常有趣的数列，它的每一项都是前两项之和。

其通项公式为：fn = fn-1 + fn-2，其中f1 = 1, f2 = 1。

5. 幂次数列幂次数列是一种每一项都是前一项的某个幂次方的数列。

其通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

6. 其他特殊数列除了上述的几种常见数列之外，还有各种各样的特殊数列，比如等差递增数列、等差递减数列、等比递增数列、等比递减数列等。

三、数列的性质1. 有界性如果数列的项数有限，则称该数列是有界的。

相反，如果数列的项数无限，则称该数列是无界的。

2. 单调性如果一个数列的每一项都大于或等于其前一项，则称该数列是单调递增的；如果一个数列的每一项都小于或等于其前一项，则称该数列是单调递减的。

3. 求和公式对于等差数列和等比数列，都有求和公式。

等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。

第一讲1数列基础知识.docx

数列的基础知识数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．数列的分类等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(5)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 运用方程的思想求解等比数列的基本量(1)若已知n ，a n ，S n ，先验证q ＝1是否成立，若q ≠1，可以通过列方程(组)⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1q n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，求出关键量a 1和q ，问题可迎刃而解． (2)若已知数列{a n }中的两项a n 和a m ，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，计算时两式相除可先求出q ，然后代入其中一式求得a 1，进一步求得S n .另外，还可以利用公式a n ＝a m ·q n－m 直接求得q ，可减少运算量．公式法与分组转化法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.。

基础知识一、按叫数列,数列中的都叫这个数列的项;在函...

解法3：设递推式an＝3an－1＋2，可以化为：an＋1－t＝3(an－t)．即an＋1＝3an－2t. ∴2 ＝－ 2t ， ∴ t ＝－ 1 ，于是得 an ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3(an ＋ 1) ，
(这是手段之二)
数列 {an ＋ 1} 是公比为 3 的等比数列，其首项为 a1 ＋ 1 ＝2，∴an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
(3)对于递推式为an＋1＝pan＋qn(p，q为常数)．
对于递推式an＋1＝pan＋qn，可两边除以qn＋1，得
＝再解． (4) 当然，本例各小题也可以采取“猜想归纳法”，先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式，最后用数学引辅助数列{bn}，bn＝，得bn＋1
归纳法证明．
[解析] (1)由已知得an＋1－an＝
(3)这个数列的第________项最小；
(4)这个数列前________项的和最小．答案：－18 11 2或3 6或7
3．已知数列{an}的前 4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式an＝________. 答案：2n－1 4．数列 {an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则
总结评述：解这类题需要我们从多角度思考，全方
位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，作为基本数列或特殊数列，方可迅速获解．
【例2】
(1)已知{an}中，a1＝
，an＋1＝
，求an.
(2)数列{an}中，a1＝1，对于n＞1(n∈N*)有an＝3an－1＋
2，求an. (3)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝求an.
令 “ n” ＝ 1,2 ， „ ， (n － 1) ，代入后 (n － 1) 个等式累加，

数列基础知识及例题

三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列一、填空题1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________2. 在等差数列中已知13d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 3. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 4. 正整数前n 个数的和是___________5. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________二、选择题1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（）A.84B.72C.60D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（）A.6B.3C.12D.43. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（）A.160B.180C.200D.2204. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（）A.45B.75C.180D.300三、计算题1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数：（1）151,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ；（2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及2. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式3. 如果等差数列{}n a 的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n 项和的公式。

等比数列一、填空题1. 若等比数列的首项为4，公比为2，则其第3项和第5项的等比中项是______．2. 在等比数列｛a n ｝中，(2)若S 3=7a 3，则q ＝______；(3)若a 1＋a 2＋a 3＝-3，a 1a 2a 3＝8，则S 4=____．3. 在等比数列｛a n ｝中，(1)若a 7·a 12=5，则a 8·a 9·a 10·a 11=____； (2)若a 1＋a 2＝324，a 3+a 4＝36，则a 5＋a 6＝______； 4. 一个数列的前n 项和S n ＝8n-3，则它的通项公式a n ＝____．二、选择题3、已知｛a n ｝是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于 [ ]A ．5B ．10C ．15D ．204、.等差数列｛a n ｝的首项a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于 [ ]A ．3B ．2C ．-2D ．2或-25、.等比数列｛a n ｝中，a 5＋a 6＝a 7-a 5＝48，那么这个数列的前10项和等于 [ ]A ．1511B ．512C ．1023D ．10246、.等比数列｛a n ｝中，a 2＝6，且a 5-2a 4-a 3＝-12，则a n 等于 [ ]A ．6B ．6·(-1)n-2C ．6·2n-2D ．6或6·(-1)n-2或6·2n-2数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝，n；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )，累积法，如a n ＋1a n ＝f (n )；(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法： ①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k =-++③222111*********();12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++⑤=<<=(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项 [题型1] )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

基础数列知识点归纳总结

基础数列知识点归纳总结数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照特定规律排列的数字所组成。

数列是数学建模和问题求解中的基础工具，对理解数学和解决实际问题具有重要意义。

本文将对基础数列的知识点进行归纳总结，帮助读者深入理解和掌握数列的性质和应用。

一、等差数列等差数列是一种最常见的数列，它的特点是任意两个相邻元素之间的差值都相等。

等差数列的通项公式可表示为：an = a1 + (n-1)d其中，a1为首项，d为公差，n为项数，an为第n项。

等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和。

举例来说，2, 5, 8, 11, 14就是一个等差数列，其中首项a1为2，公差d为3。

二、等比数列等比数列是一种常见的数列，它的特点是任意两个相邻元素之间的比值都相等。

等比数列的通项公式可表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，a1为首项，r为公比，n为项数，an为第n项。

等比数列的求和公式为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)其中，Sn表示前n项和。

举例来说，1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，其中首项a1为1，公比r为2。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两个元素为1，从第三项开始，每个元素都是前两个元素之和。

斐波那契数列的通项公式可表示为：an = an-1 + an-2其中，a1 = 1，a2 = 1，n为项数，an为第n项。

斐波那契数列在自然界和艺术领域中有广泛应用，如植物的生长规律、音乐的构成等。

四、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学建模和实际问题求解中经常被使用。

它们的应用涉及到各个领域，如经济学、物理学、计算机科学等。

1. 经济学中，等差数列和等比数列常用于描述人口增长、财富分配等问题。

2. 物理学中，等差数列和等比数列常用于描述运动速度、加速度、光的衰减等问题。

3. 计算机科学中，等差数列和等比数列常用于算法设计、程序优化等问题。

数列基础知识点总结

数列基础知识点总结一、概念及基本性质1. 什么是数列数列是按照一定的顺序排列的一组数，这些数依次排列在一条直线上，每个位置都有一个数与之对应。

一般用a1, a2, a3,...an表示数列的各个元素，其中ai称为数列的项，i称为项的序号。

2. 数列的概念数列中的每一个数称为数列的项，这些项的次序具有规律性，规律性可以通过公式、图形、语言等方式来表示。

3. 数列的基本性质数列中的数可以是有限个也可以是无限个。

数列中的数包括有序数列和无序数列。

有序数列又包括等差数列、等比数列、等比对数数列、斐波那契数列等。

二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，如果an的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

3. 等差数列的前n项和公式对于等差数列{an}，其前n项和为Sn=n(a1+an)/2。

4. 等差数列的性质（1）等差数列的前两项和后两项等于同一个数。

（2）等差数列的前后两项相等。

（3）等差数列的和的公式Sn=n(a1+an)/2。

5. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有很多应用，比如金融领域的利息计算、交通领域的运输成本计算等。

三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。

2. 等比数列的通项公式对于等比数列{an}，如果an的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

3. 等比数列的前n项和公式对于等比数列{an}，如果q≠1，则其前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；如果q=1，则Sn=na1。

4. 等比数列的性质（1）等比数列的前后两项比相等。

（2）等比数列的和的公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

（3）等比数列的连乘公式Πn=a1q^(n-1)。

数列概述及基础知识

对应的一列函数值注：数列是特殊的函数
①本质上是定义域特殊：{1,2,3,…}或{1,2,…,n}
②表象上是解析式特殊： an f n y f x
2.项与项数：
①数列中的每一个数叫做这个数列的项
②第n项的序号n又称为该项的项数
排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项) 排在第二位的数称为这个数列的第2项… 排在第n位的数称为这个数列的第n项. 注：数列中的项与项数；如同函数中的因变量与自变量
项
an f n
项数
因变量
y f x
自变量
3.分类：
①按单调性分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列
②按项数分：有穷数列，无穷数列
③按特殊性分：等差数列，等比数列，周期数列，递归数列，…
④按界分：
有界数列和无界数列
练习1.数列的定义:
下列数列是否为同一个数列？ ① 1，2，…，5，6 ② 1，2，3，4，5，6 ③ 1，2，3，4，5，6… ④ 6，5，4，3，2，1
简记法： {2n} 或 {an} …… 通项公式： an 2n 递推公式： a1 2, an1 an 2
列表法：
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
(1)课本P：30 引例 2，4，6，8，…，2n，… 列表法：
n1 2 3 4… k …
an 2
4
6 8 … 2k …
图象法： an 2n an( y)
y 2x
数列的图象：是一系列孤立的点
n (x)
练习2.数列的表示：(3)(课本P：31 例例 3)3.已知a1 1, a
例3.已知a1 1, an 的前5项.
1

(完整word版)高中数学数列知识点总结(经典),推荐文档

高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中：ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、三角公式： (1) 倍角公式： (2) 两角和、差公式：1正弦定理：a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理： b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义：a n 1 and （ d 为常数），通项公式： a n ai n 1 d(2)等差中项： x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和： S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质： a n 是等差数列① 任意两项间的关系式； a n = a m + （n — m ）d （m 、n € N ） ② 若 m n p q ，贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列，公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列，可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n , T n ，则空乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn （ a,b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值；或者求出a .中的正、负分界项,a o即：当a ,, d 0，解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义：也a nq （ q 为常数，q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质： a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ，贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy（要注意！）(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列，公比为ql注意：由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时，a 1 S i ； n 2 时，a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解：n 1时, n 2时，為 2 1 / 1尹214 2n①-②得：寺a n2，…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ，代入得S n［练习］数列a n 满足S n a 1 n 2 时，a nS n S n 14，求 a n又S 4 , • S n 是等比数列，S n 4(2)叠乘法如：数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o，求a n，用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……［练习］数列a n中，a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数，可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如：a11,an 12a n求a n 2由已知得：1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列，11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2，求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附：公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ，求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

数列基础知识公式大全(必修五第二章)

数列基础知识公式1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个表示式子表示成a n ＝f (n )，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．5．已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；若m+n=2p(m ，n ，p ∈N *)，a m ＋a n ＝2a p ；此等差数列的性质还可以推广到3个：若m ＋n ＋k ＝p ＋q ＋r ，则a m ＋a n ＋a k ＝a p ＋a q ＋a r .甚至推广到4个，5个，…，只要是有限个都行．(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．若给出等差数列的第m 项和第n 项a m 和a n ，则d ＝a m －a nm －n. (3){a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋a n －i ＋1＝….(4)若数列{a n }为等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是公差为λd 的等差数列． (5)若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)组成公差为md 的等差数列．(6)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，则{Aa n ＋Bb n }也是等差数列若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列；(2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列；偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列；(3)若{k n }成等差数列，则{ak n }也是等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列前n 项和的性质数列{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和具有下列性质： 1．S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ， S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 是公差为n 2d 的等差数列，且有S n ＋S 3n －S 2n ＝2(S 2n －S n )． 2．若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1＝d ＋d ＋…＋d ＝nd ， S 奇S 偶＝n2(a 1＋a 2n －1)n 2(a 2＋a 2n )＝2a n 2a n ＋1＝a na n ＋1. 3．若项数为2n －1，则S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －2＝n －12(a 2＋a 2n －2)＝n －12×2a n ＝(n －1)a n ， S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n2×2a n ＝na n ，S 奇－S 偶＝na n －(n －1)a n ＝a n (这里a n ＝a 中)， S 奇S 偶＝na n (n －1)a n ＝n n －1. 4．如果等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则有12112122--++==n n n n n n b b a a b a b a 2))(12(2))(12(121121--+-+-=n n b b n a a n 1212--=n n T S 如何求S n 的最值(1)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则S n 必有最大值；若a 1<0，d >0，则S n 必有最小值．(2)S n 的最值的求法①用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝An 2＋Bn ，通过配方或求二次函数最值的方法求得．②在等差数列中有关S n 的最值问题除了借助二次函数图象求解，还常用邻项变号法来求解．当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值．7．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-21d a .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． [难点正本疑点清源] 1．等差数列的判断方法证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法：利用a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)等价于{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N ＋)等价于{a n }是等差数列． (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)等价于{a n }是等差数列． 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d;若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．3．等差数列与函数在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.。

高中数学知识点总结(第六章数列第一节数列的概念与简单表示)

第六章数列第一节数列的概念与简单表示一、基础知识 1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：⎩⎪⎨⎪⎧有限数列：项数有限个；无限数列：项数无限个；(2)按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧递增数列：a n ＋1>a n ，递减数列：a n ＋1<a n，常数列：a n ＋1＝a n＝C常数，摆动数列.3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1并不是所有的数列都有通项公式；2同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. (2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n 的值，直接代入求出a n 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的二、常用结论(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. (2)在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 考点一由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________. [解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 (2)－2n －1[解题技法]1．已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n .2.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________. 解析：因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. 答案：22n －1考点二由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________________． (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________． [解析] (1)累加法由题意得a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，以上各式相加，得a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．(2)累乘法∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．(3)构造法∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．[答案] (1)a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *) (2)a n ＝1n (n ∈N *) (3)a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)[解题技法]1．正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．[题组训练] 1.累加法设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，则通项公式a n ＝________. 解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n－1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .答案：4－1n2.累乘法设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.解析：由a n ＋1＝2n a n ，得a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n n －12.答案：2nn －123.构造法在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0，即a n＋1＝4a n ＋1，得a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为a 1＋13＝103，公比为4的等比数列，所以a n ＋13＝103·4n －1，故a n ＝103·4n －1－13.答案：a n ＝103·4n －1－13考点三数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，a a 1＝35，则数列的第 2 019项为________．[解析] 因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.[答案] 25考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [解析] (1)∵2S n ＝4a n －1,2S n －1＝4a n －1－1(n ≥2)，两式相减可得2a n ＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)．又2a 1＝4a 1－1，∴a 1＝12，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －2，设b n ＝(log 2a n )2＋λlog 2a n ＝(n －2)2＋λ(n －2)， ∵{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝2n －3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n 恒成立， ∵(3－2n )max ＝1，∴λ>1，故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．(2)当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧n ＋2⎝⎛⎭⎫78n≥n ＋1⎝⎛⎭⎫78n －1，n ＋2⎝⎛⎭⎫78n≥n ＋3⎝⎛⎭⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，∴当a n 取得最大值时，n ＝5或6. [答案] (1)(1，＋∞) (2)5或6[解题技法]1．解决数列的单调性问题的3种方法2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．[题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 因为a n ＝na bn ＋c＝a b ＋c n ，而函数f (x )＝ab ＋c x(a >0，b >0，c >0)在(0，＋∞)上是增函数，故数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( )A ．－1 B.12C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 019＝a 3×673＝a 3＝－1.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：选D 由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23，故选D. 2．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.－1n ＋1n ＋1B.－1nn ＋1C.－1nnD.－1n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为－1n ＋1n ＋1.故选A. 3．(2019·莆田诊断)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 由题意可得，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1，a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1，a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2.故选A.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)，所以b <2n ＋1(n ∈N *)，所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[2,3)解析：选C 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x32≤2，12≤4x≤2，解得2≤x ≤3，故x 的取值范围为[2,3]．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎨⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝⎛⎭⎫192，32.答案：⎝⎛⎭⎫192，329．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2，得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0，令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－110．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)且数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n (n ＋2－λ)>0，所以n ＋2－λ>0，则λ<n ＋2.又n ∈N *，所以λ<3，因此实数λ的取值范围为(－∞，3)．答案：(－∞，3)11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4a n ＋1a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 级1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：972．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：283．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．解：(1)由题意，知a n >0，令a na n －1>1(n ≥2)，即n ＋1⎝⎛⎭⎫1011nn ⎝⎛⎭⎫1011n －1>1(n ≥2)，解得2≤n <10，即a 9>a 8>…>a 1.11令a n a n ＋1>1，即n ＋1⎝⎛⎭⎫1011n n ＋2⎝⎛⎭⎫1011n ＋1>1，整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9，即a 10>a 11>…. 又a 9a 10＝1，所以数列{a n }从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119为数列{}a n 的最大项．。

数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λnd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·，∴21n a n =+( 附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………，（2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

数列基础知识

基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。

数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。

定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。

定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。

2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。

等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

高中基础知识单元复习总结-数列

数列【复习要求】1、理解数列的概念和数列的通项公式，会求常见的数列通项公式，了解有穷数列和无穷数列。

2、掌握等差数列和等比数列的概念及公差或公比，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式及等差中项和等比中项。

【主要内容】一、数列的概念1、熟练的定义按照一定的顺序排列的一列数，叫做数列。

其中的每一个数都叫做数列的项，项在数列中的序号叫做项术项数，数列a1，a2，a3，…an，记作｛an｝，它是一个以正整数集的子集为其定义域的函数。

2、数列的通项公式用项数n来表示数列的第n项的公式，叫做这个数列的通项公式，记作an＝f（n）（n∈A，A⊆N＋）3、数列的前n项和在数列｛an ｝中a1＋a2＋a3，＋…＋an叫做这个数列的前n项和，记作Sn，即Sn ＝a1＋a2＋a3，＋…＋an4、数列的通项公式与前n项和的关系an＝⎩⎨⎧∈≥-=+-NnnSSnSnn,2,1,11二、数列的类型1、有穷数列和无穷数列项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

2、等差数列和等比数列（1）定义如果一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫做等差数列；如果一个数列从第2项起每一项与它前一项的比都等于同一常数，则这个数列叫做等差数列。

（2）公比或公差等差数列中从第2项起每一项与它前一项的差叫做公差；等比数列中从第2项起每一项与它前一项的比叫做公比。

（3）等差中项与等比中项（4）公式表【例题选讲】例1、选择题1、已知数列a n ＝n （n ＋1），则1980在该数列中的项数是（）（A ）43 （B ）44 （C ）45 （D ）462、在条件（1）a n 是n 的一次函数；（2）a n ＝a n －1＋b ；（3）S n 是n 的二次函数；（4）2a n ＝a n －1＋a n ＋1；（5）a n ＋1＝a n －c （c 为常数）；是数列｛a n ｝成等差数列的充要条件的是（）（A ）（1）（2）（3）（4）（5）（B ）（2）（3）（4）（C ）（2）（4）（5）（D ）（1）（2）（4）（5） 3、数列｛a n ｝成等比数列的充要条件的是（）（A ）a n 是n 的指数函数（B ）a n ＝a 1q n －1 （C ）n n a a 1+＝1-n n a a （n ≥2，n ∈N ＋）（D ）2n a ＝a n ＋1·a n －1 4、设lga ，lgb ，lgc 三个数成等差数列，则（）（A ）b ＝2c a + （B ）b ＝2lg lg ca + （C ）b ＝ac ± （D ）a ，b ，c 成等比数列5、数列23，2，38，…，23·134-⎪⎭⎫⎝⎛n ，…（）（A ）是等差数列，不是等比数列（B ）是等比数列，不是等差数列（C ）既是等差数列，又是等比数列（D ）既不是等差数列，又不是等比数列6、在等差数列中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，则a 6＋a 7＝（）（A ）12 （B ）16 （C ）20 （D ）247、如果a ，b ，c ，d 成等比数列，公比为2，那么ba dc ++33＝（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）88、若不相等三数a ，b ，c 成等差数列，则三数2a ，2b ，2c （）（A ）成等差数列，不成等比数列（B ）成等比数列，不成等差数列（C ）既成等差数列，又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 9、能被3整除的两尾数的和是（）（A ）18 （B ）1683 （C ）1665 （D ）1701 10、已知数列a n ＝25－2n ，则S n 取最大值时，n ＝（）（A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）13 例2 填空题1、数列21，－32，43，－54，…的通项公式a n ＝；2、已知数列a n ＝n 2＋（－1）n ，则a 5＝；3、已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2，则通项公式a n ＝；4、在数列｛a n ｝中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，则a 5＝；5、在数列｛a n ｝中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ，则a 5＝；6、在等差数列｛a n ｝中，已知a 4＝7，则S 7＝；7、在等差数列｛a n ｝中，已知a 4＝2，则a 1a 2…a 7＝；8、在等差数列｛a n ｝中，已知a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，则a 11＋a 12＋…＋a 15＝；9、在等比数列｛a n ｝中，已知a 1a 6＝； 10、若lga 1，lga 2，lga 3，lga 4，是公差为2的等差数列，则14a a ＝。

数列的概念-高考数学复习

(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
2. 具体策略:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)
拆项后的特征;(4)各项的符号特征和绝对值特征;(5)化异为同，对于分式
还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系;(6)
对于符号交替出现的情况，可用(－1) k 或(－1) k ＋1， k ∈N*处理.
(*)，当 n ＝1时(*)式成立，
(+1)
2
所以 an ＝
.
(+1)
法二(特值验证法)：由 a 1＝1，{ Sn ＋ nan }为常数列，可得 S 1＋1× a 1＝1
＋1＝2，
故 Sn ＋ nan ＝2.
当 n ＝1时， a 1＝1，排除C；当 n ＝2时， S 2＋2× a 2＝2，
−1
3
3
3
2
2 −1
2
∴ an ＝ ×
＝
.
3
3
3
方法总结
1. 已知 Sn 求 an 的3个步骤
(1)先利用 a 1＝ S 1求出 a 1；
(2)用 n －1替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an ＝ Sn － Sn －1( n ≥2)便
可求出当 n ≥2时 an 的表达式；
(3)注意检验 n =1时的表达式是否可以与 n ≥2时的表达式合并.
公式
通项公式
数列{ an }从第1项起到第 n 项止的各项之和，称为数列{ an }
前 n 项和的前
n 项和，记作 Sn ，即 Sn ＝ a 1＋ a 2＋…＋ an
⁠
⁠
⁠
⁠
2. 数列的分类
分类标准

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义： a n 1a n d （d为常数）， a n a1n 1 d等差中项： x， A， y 成等差数列 2 A x y前 n 项和 : S n a1a n n n n 1d 2na12性质： a n是等差数列（1）若m n p q ，则a m a n a p a q；（2）数列 a2n 1, a2n , a2n 1仍为等差数列， S ， S S ，S S⋯⋯仍为等差数列，公n2 n n3n 2 n差为 n 2 d ；（3）若三个成等差数列，可设为 a d， a， a d（4）若 a n，b n是等差数列，且前 n 项和分别为 S n，T n，则amS2m 1 b mT2m 1（5） a n为等差数列S n an2bn（a，b为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）S n的最值可求二次函数 S n an2bn 的最值；或者求出a n中的正、负分界项，即：当a1，，解不等式组a n0可得S n达到最大值时的n 值. 0d an 10当 a10， d0 ，由a n0可得 S n达到最小值时的 n 值 .a n 1 0(6)项数为偶数2n的等差数列a n，有S2 n n( a1a2n )n(a2a2 n 1)n(a n a n 1 )( a n , a n 1为中间两项 )S偶S奇nd ，S奇an. S偶an 1（7）项数为奇数2n 1 的等差数列a n，有S2n 1(2n1)a n (a n为中间项 ) ，S奇S偶a nS奇n ，.S偶n 12. 等比数列的定义与性质定义：an 1q （ q 为常数， q0 ）， a n a 1qn 1a n.等比中项： x 、 G 、 y 成等比数列2G xy ，或 Gxy .na 1 ( q 1)前 n 项和： S na 1 1qn（要注意！）1( q 1)q性质： a n 是等比数列（1）若 m np q ，则 a m · a na p ·a q（2） S n ， S 2n S n ，S 3n S 2 n ⋯⋯ 仍为等比数列 ,公比为 q n.注意：由 S n 求 a n 时应注意什么？n 1 时， a 1 S 1 ；n 2 时， a n S nSn 1 .3．求数列通项公式的常用方法（ 1）求差（商）法如：数列 a， 1a 11a 2⋯⋯1a n2n5 ，求 an2222nn解: n 1 时， 1 2 1 5 ，∴ a 114①2 a 1n 2 时，11a 2 ⋯⋯1a n 1 2n 1 5②a 122 n 122①—②得：12 ，∴ a nn 1，∴ a n14(n 1)2n 1(n 2)2nan2［练习］数列54 ，求 a nSn 13 a n 1， a 1a n 满足 S n注意到 a n 1Sn 1S n ，代入得S n14 又 S 14 ，∴ S n是等比数列， S n 4nS n；n 2 时， a nS nSn 1⋯⋯ 3·4n 1（2）叠乘法如：数列 a n 中， a 1a n 1n ，求 a n3，n 1a n解 :a 2·a3⋯⋯an1·2⋯⋯n 1，∴a n1又 a 1 3，∴ a n3（3）迭加法由 a n a n 1f (n)，a 1 a 0 ，求 a n ，用迭加法a 2 a 1 f (2)a 3 a 2 f (3)两边相加得 a na 1 f (2) f (3) ⋯⋯f (n)n 2 时， ⋯⋯ ⋯⋯a nan 1f (n)∴ a n a 0 f (2)f (3) ⋯⋯ f (n)［练习］数列 a n 中， a 1 1，a nn 1a n 1 n 2 ，求 a na n1 3n13（2）（4）等比型递推公式(待定系数法 )a n ca n 1 d （ c 、 d 为常数， c 0， c 1， d 0 ）可转化为等比数列，设 a n x c a n 1xa n ca n1c 1 x令 (c 1)xd ，∴ xd ，∴ a n d是首项为 a 1d ， c 为公比的等比数列c 1c 1c 1 ∴ a nda 1d · c n 1，∴ a na 1c d c n 1c dc 1c 111（5）倒数法如： a 1 1， a n 12a n ，求 a na n 2由已知得：1a n 2 11 ，∴11 1an 12a n2 a nan 1a n2∴1为等差数列，11 ，公差为 1 ，∴11 n 1·1 1n 1 ， ∴ a n2a na 12a n2 2n 1(附：公式法、利用 anS 1(n 1)S n S n 1 ( n 2) 、累加法、累乘法、构造等差或等比 a n 1 pa n q或 a n 1 pa nf (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 )4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.a n1 a n1 ; a n1a n1;;4n2;n23n 2n n 11n 2n 1a n2n;a n n 1n 1;a nn11n1 如： a n 是公差为 d 的等差数列，求1 a k ak 1k解：由111 1 1da k · a k 1 a k a kdd a kak 1n 1 n1 1 11 1 11 1⋯⋯1 1 ∴k 1d a ka k 1d a 1a 2a 2a 3a na n 1k 1a k a k 11 1 1da 1 a n1［练习］求和： 111⋯⋯121 2 1 2 3⋯⋯n1 3a n⋯⋯ ⋯⋯ ， S n121n（2）错位相减法若 a n 为等差数列， b n 为等比数列，求数列a nb n （差比数列）前 n 项和，可由 S n qS n ，求 S n ，其中 q 为 b n的公比 .如： S n 1 2x 3x24 x 3 ⋯⋯ nx n1①x · S nx 2x23x34x4⋯⋯ n 1 xn 1nxn②① —② 1 x S n1 x x2⋯⋯ xn 1nxn1xn nn n 1nx， x1 时， S n1 2 3 ⋯⋯ nx 1 时， S nx 2211 x（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加 .S n a 1 a 2 ⋯⋯ a n 1a n相加 2S na 1 a n a 2an 1⋯ a 1a n ⋯S n a n a n 1 ⋯⋯a 2 a 1［练习］已知 f (x)x2，则f (1) f (2) f1f (3) f 11 1 x22f (4)f341 2x2x2由 f ( x)1x11fx1 x21 2 1 x21 x21x∴原式f (1)f (2)f1f (3) f1f (4)11 1 1 1 123f2 342数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。

高中数学知识点总结(第六章数列第四节数列求和)

第四节数列求和一、基础知识1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －1d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．考点一分组转化法求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n .又a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝21－22n 1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. [解题技法]1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型[题组训练]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －⎝⎛⎭⎫12n，则其前20项和为( ) A ．379＋1220B ．399＋1220C ．419＋1220D ．439＋1220解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋1220＝420－⎝⎛⎭⎫1－1220＝419＋1220. 2．(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×1－2101－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.考点二裂项相消法求和考法(一) 形如a n ＝1nn ＋k型 [典例] (2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)因为c n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3，所以c n ＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝n6n ＋9. 考法(二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型[典例] 已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋1＋f n ，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )A. 2 018－1B. 2 019－1C. 2 020－1D. 2 020＋1[解析] 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋1＋f n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－ 1 )＋(3－ 2 )＋(4－ 3 )＋…＋( 2 019－2 018)＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1. [答案] C[解题技法]1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律 2．常见的拆项公式(1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1；(2)12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)2n2n－12n ＋1－1＝12n－1－12n ＋1－1. [题组训练]1.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为( )A.n ＋1n ＋2B.n n ＋2C.n n ＋1D.2n n ＋1解析：选C 因为a 3＋a 5＋a 7＝6，所以3a 5＝6，a 5＝2，又a 11＝8，所以等差数列{a n }的公差d ＝a 11－a 511－5＝1，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝n －3，所以1a n ＋3·a n ＋4＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋3·a n ＋4的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选C.2.各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)． ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列，∴2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ， ∴2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)，∴a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 考点三错位相减法[典例] (2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知， S 2n ＋1＝2n ＋1b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .[变透练清]1.变结论若本例中a n ，b n 不变，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：由本例解析知a n ＝2n ，b n ＝2n ＋1，故T n ＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ，2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)×2n ＋1，上述两式相减，得，－T n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1 ＝6＋81－2n－11－2－(2n ＋1)2n ＋1＝(1－2n )2n ＋1－2 得T n ＝(2n －1)×2n ＋1＋2.2．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8. ① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16. ② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，有 T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1，上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×1－2n 1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16，得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．[课时跟踪检测]A 级1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )A ．80B ．81C ．79D ．82解析：选B a n ＝1n ＋n －1＝n －n －1，故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15，故选A.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得91－q 31－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.4．在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项之和S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝5，a 1＋6d ＝11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2⇒a n ＝2n－3⇒b n ＝(－1)n (2n －3)⇒S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D.5．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 023解析：选C ∵2n ＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝n ＋1－12n ，∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013， ∴整数m 的最小值为1 024.6．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．解析：设所求的前n 项和为S n ，则 S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝nn ＋12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n n ＋12－12n ＋1. 答案：nn ＋12－12n ＋1 7．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2nn ＋1.答案：2nn ＋18．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3·21 009－3.答案：3·21 009－39．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝3，S 4＝16， ∴a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1. (2)由题意知，b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 10．(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2n ＋1－2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 又a 1＝2＝21，∴a n ＝2n .(2)由(1)知，b n ＝a n S n ＝2·4n －2n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋...＋b n ＝2(41＋42＋43＋...＋4n )－(22＋23＋ (2)＋1)＝2×41－4n 1－4－41－2n 1－2＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.B 级1．(2019·潍坊统一考试)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ·2n －1.(2)∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1 ＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n 3＋2n ＋12＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)，∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43.2．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2)，所以S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1(n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝2n ＋1，则a n ＝2n ，当n ＝1时，也满足，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝n ＋12n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n，所以T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，② ①－②得12T n ＝2×12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋111＝12＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋1－⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝32－n ＋32n ＋1. 故数列{b n }的前n 项和为T n ＝3－n ＋32n .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一.高考要求基础知识专题训练十二二.基础知识1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N* （或它的有限子集｛1,2, 3, •・・，“）的特殊函数，数列的 __________ 也就是相应函数的解析式。

三.基础训练1.数列1, 3, 7, 15,…的通项公式禺等于( ).(A) 2"(B) 2"+1(C) 2"-1(D) 2'L 】1. %与S “的关系：S“ = qo Q” = S\ 5 = 1)Sn~ S n-1(刃》2)2. 记数列｛aj 的前n 项和为S ；・，且a^n +2zrl,则S n =设S 〃是等差数列｛色｝的前斤项和，若S 7=35,则勺在等差数列｛色｝中，已知Q] =2卫2+。

3 =13,则。

4+。

5+。

6等于（）A. 40B- 42C. 43D. 456. 已知等差数列仏｝的公差为2,若⑷、為成等比数列，则色等于（）A. -4B. -6C. -8D. —107. 已知｛匕｝是等差数列，坷0=1°，其前10项和5。

=70,则其公差〃=（） A.丄B. 一丄C. 1D.-33338. 等差数列｛/｝中，血二1, &汁型=14,其前刀项和$=100,则严（）A. 9B. 10C- 11D. 129.设等差数列｛匕｝的前斤项和为S 「若S 3=9, S 6=36,则坷+俶+购=（）A. 63B. 45C. 36D. 2763 1 S Q10. 设，是等差数列6｝的前/7项和，若三=?则石7=()& 3 S1231 11 AToB3c8 D 911. 等比数列仏｝中,a 2 =99a 5 = 243,则&”｝的前4项和为()A.B. 刀• (6/+2/7-1)C. 2/?3+2/rl)D. /?• (2/+4卅 1)3. 等差数列一3, 1, 5,…的第15项的值是（）A. 40B. 53C. 63D. 764.A. 8B. 7C. 6 5.A. 81B. 120C. 168D. 192A. 1B. —1C. i 1D.—213.已知一等比数列的前三项依次为x,2x + 2,3x + 3,那么-13丄是此数列的第（）2项A. 2B. 4C. 6D. 814. 在公比为整数的等比数列曲｝中，如果^+為=18卫2+冬=12,那么该数列的前8项 Z 和为()A. 513 C. 51()15. 己知等差数列&”｝的公差为2,若％,如卫4成等比数列，则勺=（）A. —4B. - 6C. —8D. —1016. 在等比数列｛aj 中,a 5a 7=6, a 2+aio=5,则也生等于（a 】。

A. — Z 或一丄B. —C.—3 23217. 在MBC 屮，tanA 是以-4为笫三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB 是以丄为3 第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对18. _____________________________________ 等差数列中，S 10=120,则a {+a lQ = 19. 已知数列的通项=-5/7 + 2,则其前〃项和S”二 ________________ .20. 己知｛匕｝是等差数列，偽+。

6=6,其前5项和S 5 =10,则其公差〃= _______________ . 21. 已知等差数列｛%｝的前比项和为S”，若S 12 =21，则色+%+$+如= __________________B. 512门2258D.22.________________________________________________ 在等比数列｛%｝中，若@ =3卫9=75,则®（）二_________________________________________23.在等比数列仏“｝中，若e，4o是方程3X2-2X-6= 0的两根，则勺•①—24.在正项等比数列也“｝中,aq +2。

3。

5+。

3。

7 = 25 ,则+。

5 =___________ OX2 1 1 1 25.已知函数f(x) = -~ ,那么/(1) + /(2)+ /(-) + /⑶+ f( )+ f(4) + /(：) =1+x 2 3 4基础知识专题训练十四-、考试要求二、基础知识1、函数/（兀）在区间［西，勺］上的平均变化率为 __________ ；（导数的背景：切线的斜率、瞬时速度、边际成本）2、定义：设函数y = /（x）在区间（a,b）上有定义，兀0丘（。

力）,当心无限趋近于0时比值0= /（% +心）—/（儿）无限趋近于一个常数A,则称/（兀）在点兀=兀。

处可导，并称A Y Ar该常数A为函数/（x）在点x = x Q处的导数,记作f f（x0） o导数广(X。

)的几何意义就是曲线y = /(兀)在点(x0,/(x0))处的切线的斜率。

3、若/(%)对于区间(a,b)内的任一点都可导，则/(%)在各点的导数也随着自变量无的函数，该函数称为/(兀)的导函数，记作O①叩)二/⑴表示瞬时速度；a(t) = v\t)表示瞬时加速度；② 尸⑴与广(兀。

为常数)指数函数：(加丫二(Q>0,且QH1 ) 特例：(◎〕=对数函数：(log n xY =(。

>0,且d#l)特例：(lnx)' =正弦函数：(sinx)z =余弦函数：(cosx)' =三、基础训练1.曲线/(x)= x3 + %- 2在#0处的切线平行于直线》=4兀・1,则#0点的坐标为( )A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(-1,-4)D. (2,8)和(―1,—4)2.函数y=ax^ 1的图象与直线相切，则自=( )A. —B. —C. —D. 1 8 4 23./(兀)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若/(x), g⑴满足/ (x) = ^ (%),则/(兀)与g(x)满足()A. /(兀)=g(x)B. /(x)-g(x)为常数函数C. /(兀)=g(无)=0D. /(x)4- g(x)为常数函数4.函数/(x) = sinx + lnx的导函数f\x) = _____________5、一物体的运动方程是s = \-t + t2,其小$的单位是米，/的单位是秒，那么物体在t = 3时的瞬时速度为—6、曲线—拧八屁+1在日处的切线的倾斜角为 -------------------------------7、如图，函数fCx)的图像是折线段其中儿B, C的坐标分别为(0, 4), (2, 0), (6, 4),则/(/(0)) = __________________ ；函数在x=3处的导数广(3) = ___________________8、己知曲线y = ^x2-3\nx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为_____________ .9、曲线f(x) = x\nx在点兀=1处的切线方程为___________________10、____________________________________________________________________________ 设曲线y = 在点1 ° 411、曲线y = -x3+x在点(1,-)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为____________________12、已知函数y = /(X)的图像在点(1,/(1))处的切线方程是x-2y + \ = Q ,则/⑴+ 2.厂(1)的值是__________________13、在曲线y =疋+3兀2+6兀一1()的切线中，斜率最小的切线方程为___________________基础知识专题训练十五-、考试要求内容等级要求A B C导数及其应用导数的运算V 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值V 导数在实际问题中的应用V二、基础知识(1)导数与函数的单调性：①/©)>0=> /(Q为增函数(f\x) < 0 => /(尤)为减函数).②/(兀)在区间仏b)上是增函数=> O) 2 0在仏b)上恒成立；f（x）在区间（a,b）上为减函数=> f\x） W 0在（a,b）上恒成立.若厂（兀）=0恒成立，则/（%）为常数函数；若f\x）的符号不确定，则/（%）不是单调函数。

（3）求函数y = /（兀）在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数f\x）；（ii）求方程f （x）= 0的根兀°； 6"）检査广（兀）在方程f（x）= 0的根勺的左右的符号：“左正右负” O /（X）在尢（）处取极大值；"左负右正” O /（X）在尢（）处取极小值。

（4）求函数y = /（兀）在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：①求函数歹=/（兀）在（d"）内的极值；②将y = /（x）的各极值与/（a）, /（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

（5）导数的三大应用：①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率；②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为0；③单调性的判断：/\x） > 0, /（兀）单调递增；f（x） < 0 ,于（兀）单调递减。

三、基础训练° 11.函数y = 4x2+-单调递增区间是( )xA・(0,+oO) B. (—8,1) C. (― ,4-00) D. (l,+8)2In r2.函数y =—的最大值为( )A. e~xB. eC. JD.—3.已知函数f(x)=x2(ax+b) (a, b e R)在x=2时有极值,其图象在点(l,f(l))处的切线与直线3x+y二0平行，则函数f(x)的单调减区间为( )A. (一8, 0)B. (0, 2)C. (2, +8)D. (-8, +8)4、设/'(X)是函数/⑴的导函数，y = /©)的图象如图所示，则y = J\x)的图象最有可能5、若函数f(x) = x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则其导函数/'&)的图象可能是( )6、若函数/(x) = -x3 -广(一1) • F + 无 + 5,则/z(l) = _________________7、设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为则点尸横坐标的取值范围为 __________8、若点P是曲线y = x2-\nx±任意一点，则点P到直线y = x-2的最小距离为_____________9、函数/(兀)=_? -3/ + 2在区间［-1,1］上的最大值是_____________10、____________________________________________ 函数/(x) = xlnx(x>0)的单调增区间11、已知/(兀)=2疋一6/+加5为常数)在［—2, 2］上有最大值3,那么此函数在［一2, 2］上有最小值为13> 设/(x) = xlnx ,若广(兀)=2,则％= __________________14、函数/(兀)的定义域为开区间(a,b),导函数广(劝在⑺小)内的图象如图所示，则函数/(x)在开区间(⑦历内有极15、已知函数/(x) = x3 + ax在R上有两个极值点，则实数d的収值范围是_____________16、函数y 二f(x)二x'+ax'+bx + J,在x=l 时，有极值10,则a二____________ ,b= _____ 。