专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
人教版初中数学八年级下册第十六章二次根式知识清单(原卷版+解析)
第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式，“____”称为二次根号. 【深度理解】1.________________________________________________________2.________________________________________________________3.________________________________________________________4.________________________________________________________5.________________________________________________________二、二次根式的有意义的条件1.________2....有意义的条件：_________3.有意义的条件：________4.二次根式与分式的和如B CB有意义的条件：_______________三、二次根式的性质性质一：一般地，__________________即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.注意：___________________________________________________________. 性质二：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的_________.四、代数式及其写法思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？【归纳】代数式书写格式注意事项：1.________________________________________________________________2.________________________________________________________________3.________________________________________________________________4.________________________________________________________________5.________________________________________________________________六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：__________________________即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：____________________________________________________. 2.积的算术平方根的性质：__________________________语言表述：____________________________________________________.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则： ______=ba (a ≥0，b ＞0) 即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：___________________________________________.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得_________(0,0,0).a b n=≥>≠ 2.二次根式的商的算术平方根的性质:_____(0,0).a b =≥> 语言表述：_______________________________________________.八、最简二次根式(1) _________________________；(2) _________________________________________.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为__________，并且______中不含二次根式.九、二次根式的加减1.化成_______________后，被开方数________的几个二次根式，叫做___________________.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______________，再将被开方数_____的二次根式(________________)进行合并.加减法的运算步骤：(1)______________________________________；(2)______________________________________；(3)______________________________________.简单说成“__________________________”十、二次根式的混合运算二次根式的混合运算的顺序：_____________________________________________________ ___________________________________________________________________.第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式，“√ ”称为二次根号. 【深度理解】1.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号√ ；4.a≥0，√a≥0 (双重非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.二、二次根式的有意义的条件1.单个二次根式如√A有意义的条件：A≥02.多个二次根式相加如√A +√B+...+√N 有意义的条件：00...0A B N ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥；≥；≥；3.二次根式作为分式的分母如√A 或√1A 有意义的条件：A ＞0 4.二次根式与分式的和如√AB 或√A +CB 有意义的条件：A ≥0且B ≠0三、二次根式的性质 性质一：一般地，(√a)2=a (a ≥0)即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a ≥0这一限制条件.这是使二次根式√a 有意义的前提条件. 性质二：一般地，根据算术平方根的意义， √a 2=a (a ≥0)，√a 2=−a (a ＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. √a 2=| a |四、代数式及其写法回顾我们学过的式子，如5，a ，a+b ，-ab ，st ，-x 3，√3，√a (a ≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.代数式书写格式注意事项：1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a ×b 通常写作a ·b 或ab.2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a ×2通常写作2a.3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：323×a 通常写作113a.4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: 3y .5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t ℃后是(2+t)℃.六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：√a •√b =√ab (a ≥0，b ≥0)即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.2.积的算术平方根的性质：√ab =√a ⋅√b （a≥0，b ≥0）语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则：√a √b =√ab (a ≥0，b ＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得(0,0,0).a b n=≥>≠2.二次根式的商的算术平方根的性质:(0,0).a b=≥>语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.八、最简二次根式(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.九、二次根式的加减1.同类二次根式:化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.加减法的运算步骤：(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找—找出被开方数相同的二次根式；(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并”十、二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.2.二次根式与乘法公式的综合运用：二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算.运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式.。
二次根式的加减【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)八年级下册
专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (2)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (2)【题型4比较二次根式的大小】 (3)【题型5已知字母的取值化简求值】 (3)【题型6已知条件式化简求值】 (4)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (4)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (4)【题型9二次根式的新定义类问题】 (5)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (6)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与--273不是同类二次根式的是（）A．273B 27C．9D【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55从小到大排列．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…2021+1；(2)设===，，的大小关系．【变式4-3】（2023春·【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅−÷−−的值．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知为奇数，求(+【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=222+4++1的值.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若'={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点'是点M的“横负纵变点”，求点''的坐标．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)×2024+1．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．。
专题01 二次根式重难点题型分类(解析版)八年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1．（2022春·a 的取值范围是（）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2【详解】解：由题意得，a 10,a 2+≥≠，解得，a ≥-1且a ≠2，故答案为：C.2．（2019·1有意义时，x 应满足的条件是______.3.（青竹湖）函数x x y 2-=中，自变量x 的取值范围是.【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4．（2022秋·山东济南）若a ，b 都是实数，b ﹣2，则a b的值为_____．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11，①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6．（2022春·21a -，那么（）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．（2018·广东广州）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a=_____．8．（2021·湖南娄底）2,5,m ）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．49．（2020·四川攀枝花）实数a 、b +-（）．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b10．（2021春·山东淄博）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||a【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.则原式()a a c c a b a b =-++---=-.11．（2021春·全国）探究题：＝_，＝，＝，＝，＝，＝，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若x＜2＝；＝；（3）若a，b，c题型二二次根式的乘除12．（2021春·=____．14．（2022春·=____．_____．15．（2022春·16．（2023春·（）B C D．A19.（2021秋·八年级课时练习）计算:-⋅；（1(-，（2(15)(20．（2022秋·八年级课时练习）计算:21．（2021秋·上海虹口）计算：（1(；（2）0,0)a b ÷>>题型三最简二次根式22．（2022春·天津）下列二次根式中，最简二次根式是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个不是最简二次根式，不符合题意，综上，是最简二次根式的有24．（2022秋·a的值是（）A．2B．3C．4D．5m=__________．25．（2020秋·题型四二次根式的混合运算26．（2021春·全国）计算:（1）1|3|-+---（2）27．（2021春·新疆乌鲁木齐）计算：28．（2021春·全国）(1)﹣529．（2022秋·陕西西安）已知a ＝2b ＝2（1）a 2﹣3ab ＋b 2；（2）（a ＋1）（b ＋1）．30．（2021秋·上海）已知3x =+求：2267x x x x ++++的值．31.（雅实）已知a =b =,求值：（1）a b +；（2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b ab ab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=32.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a ab a ab b a b +-÷++-，其中2a =-2b =+。
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a ＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．。
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式的概念】【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．√−x−2B．√x C．√a2+1D．√x2−2【变式1-1】（2020春•文登区期中）在式子，√x2（x＞0），√2，√y+1（y＝﹣2），√−2x（x＞0），√33，√x2+1，x+y中，二次根式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（2020春•青云谱区校级期中）在式子√π−3.14，√a2+b2，√a+5，√−3y2，√m2+1，√|ab|中，是二次根式的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式1-3】（2019春•平舆县期末）下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点2 二次根式有意义的条件（求取值范围）】【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 以及分式分母不为零．【例2】（2020春•文登区期末）若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1且m ≠2C ．m ≥1且m ≠2D ．m ≠2【变式2-1】（2020•合肥校级期中）要使√2x −1+√3−x 有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．12≤x ≤3B ．12＜x ≤3C ．12≤x ＜3 D ．12＜x ＜3【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【变式2-3】（2020秋•北辰区校级月考）等式√a−3a−1=√a−3√a−1成立的条件是（ ）A ．a ≠1B ．a ≥3且a ≠﹣1C ．a ＞1D ．a ≥3【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】【方法点拨】对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负 数进行求解即可.【例3】（2020春•蕲春县期中）已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为 ． 【变式3-1】（2019春•咸宁期中）若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．1或7D ．7【变式3-2】（2019秋•新化县期末）已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ， （1）求a +b 的值； （2）求7x +y 2020的值．【变式3-3】（2019秋•南江县期末）已知√3x +y −z −8+√x +y −z =√x +y −2019+√2019−x −y ，求（z ﹣y ）2的值．【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简.【例4】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式√−a3b的正确结果是（）A．a√ab B．﹣a√ab C．a√−ab D．﹣a√−ab【变式4-1】（2020春•徐州期末）与根式﹣x√−1x的值相等的是（）A．−√x B．﹣x2√−x C．−√−x D．√−x【变式4-2】（2020春•东湖区校级月考）化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【变式4-3】（2020春•柯桥区期中）把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】【例5】（2020春•河北期末）若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【变式5-1】（2020•攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【变式5-2】（2020春•潮南区期末）若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【变式5-3】（2020春•邗江区校级期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a ﹣c|+√(b−c)2−|b|．【考点6 最简二次根式的概念】【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．√8B．√2x2y C．√ab2D．√3x2+y2【变式6-1】（2020春•包河区期末）在根式√xy、√12、√ab2、√x−y、√x2y中，最简二次根式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式6-2】（2019秋•新化县期末）若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 ． 【变式6-3】（2019春•望花区校级月考）若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ． 【考点7 同类二次根式的概念】【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并． 【例7】（2019春•潍城区期中）下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3【变式7-2】（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为 ． 【变式7-3】（2019春•随州期中）若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值； （2）求√x 2+y 2的值． 【考点8 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 【例8】（2019春•江夏区校级月考）计算： （1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a +7a √2a【变式8-1】（2019春•硚口区期中）计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【变式8-2】（2019春•江宁区校级月考）计算： （1）2√3+3√12−√48（2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0） 【变式8-3】（2019春•海陵区校级月考）计算 （1）√27−√45−√20+√75 （2）2√a −3√a 2b +5√4a −2b √a 2b(a ≥0，b ＞0) 【考点9 二次根式的乘除运算】【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.【例9】（2019秋•闵行区校级月考）计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【变式9-1】（2019秋•黄浦区校级月考）计算：nm √n3m 3⋅(−1m√n 3m3)÷√n 2m 3．【变式9-2】（2019春•徐汇区校级期中）化简：2x3y√2x3y 3⋅(4x √9xy)÷(4x 2y √3x 2y)【变式9-3】（2019秋•嘉定区期中）计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0） 【考点10 二次根式的混合运算】【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”； 【例10】（2020春•宜春期末）（1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x √x 32+x ÷√x 2．【变式10-1】（2020春•永城市期末）（1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)． 【变式10-2】（2020春•吴忠期末）计算： （1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12．【变式10-3】（2020春•涪城区期末）计算： （1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5； （2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x3． 【考点11 二次根式的化简求值】【例11】（2020春•涪城区校级月考）若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【变式11-1】（2019春•洛南县期末）已知x =√5−√3y =√5+√3，求下列各式的值： （1）x 2﹣xy +y 2； （2）yx+xy ．【变式11-2】（2019春•台安县期中）已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值． 【变式11-3】（2019秋•宝山区校级月考）已知x =b √2a+b−√2a−b ，y =b√2a+b+√2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【考点12 分母有理化】【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 【例12】（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简√27（2）化简√5+√3． （3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【变式12-1】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n （n 为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【变式12-2】（2020春•孟村县期末）观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程． 【变式12-3】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的 例如：化简√3+√2解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】 （1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ；（2）计算： ①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【考点13 复合二次根式的化简】【例13】（2020春•安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【变式13-1】（2020春•思明区校级月考）观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【变式13-2】（2020秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【变式13-3】（2019秋•常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【考点14 含二次根式的数式规律题】【例14】（2019秋•高邑县期末）观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【变式14-1】（2019春•当涂县期末）观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，（1）计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．【变式14-2】（2020春•长岭县期末）观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【变式14-3】（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：√2+23=2√23，验证：√2+23=√2×3+23=√233=2√23；√3+38=3√38，验证：√3+38=√3×8+38=√338=3√38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．。
专题11二次根式-2023年中考数学一轮复习(原卷版)
专题11 二次根式二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。
1. 二次根式(0)a a≥13,,0.02,02都叫做二次根式.2. 最简二次根式①被开方数是整数或整式；②被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.222,,3,ab x a b+是最简二次根式.要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.3.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式.4.二次根式的性质1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用二次根式的有理化因式：①a与a互为有理化因式；②a＋b与a b互为有理化因式；③a＋b与a b互为有理化因式。
一、单选题1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．x B ．21x +C ．21x -D ．352．代数式56x x --有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．5x ≤B ．5x ≥C ．5x >且6x ≠D ．5x ≥且6x ≠3．下列各式中，能与3合并的是（ ） A ．12B ．32C ．23D ．324．下列式子中二次根式有（ ） ①13；②3-；③﹣21x +；④38；⑤21()3-；⑥1m +；⑦221x x ++；⑧1x -(1)x >．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．6B ．0.3C ．23D ．126．下列各式是最简二次根式的是（ ） A ．13B ．12C ．22a bD ．387．下面说法正确的是（ ） A ．14是最简二次根式 B ．2与20是同类二次根式 C ．形如a 的式子是二次根式D ．2a a =8．实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简()2281611a a a -++-结果为（ ）．A ．7B ．7-C ．215a -D ．无法确定二、填空题9．当m ___________时，二次根式13m -有意义． 10．若51024y x x =-+-+，则x y +=_________． 11．函数241x y x +=-的定义域为________． 12．已知函数()23f x x =-，若()2f a =，则=a ________．13．3311x xx x --=++成立的条件是_________． 14．若0m <，化简2mnn=___________． 15．已知0xy >，化简二次根式2yx x -的结果是______． 16．计算：()21203y x y x⋅<=________．6.二次根式的运算①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.23252(135)22=+-=③乘除法： 乘除法法则：类型 法则逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b =≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =≥≥二次根式的除法0,0)a a a b b b=≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a aa b b b=≥>要点：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd⋅=. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式一、单选题1．下列各式的计算正确的是（）A44229339---==---B214293=C 3234=D323113311311311=÷=21153）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间3．下列等式：497648=±，()3322-=-，1829=，52535-=⑤535256=）A．4个B．3个C．2个D．1个4x y+）A x y-B x yC x y D．2x y+ 5．下列各式中，是2a b+的有理化因式的是（）A．2a b B．2a b C．a b+D．2a b-6．下列结论正确的是（）A x y-x y+B2(12)12-C．不等式（25x＞1的解集是x＞﹣（5D7．已知ab ＝a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式80,0)a b>>，分别作了如下变形：甲：()a b-====形过程的说法正确的是（ ） A ．甲、乙都正确 B ．甲、乙都不正确 C ．只有甲正确D ．只有乙正确二、填空题9=___________．10．计算：（1）)11=______；（2）)21=______．（3______；（4=______．1136x -<的解集是________.120a >，0b >）化为最简二次根式：_____．13x y +=______．14的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式(1)b 的值为________．153=，则1a a +=______．16．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：S =式漂亮，便于记忆，而公式里的p 为半周长（周长的一半）即：2a b cp ++=；已知三角形最短边是3，最长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________．三、解答题17．计算：111252733⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭18．计算：327323x x x x-+． 19．计算：(1)1348121634+⨯-(2)21162273x xx x x--÷ 20．计算：3212883632mmm m m +- 21．已知121a =+，求22221211a a a a a a a-+++--+的值． 22．先化简再求值：212x xy y x y x xy y-+÷-++，其中1322x =+， 1322y =-．一、单选题1．（2021·上海徐汇·统考二模）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ） A mB 1m +C ．11m + D 21m +2．（2021·上海奉贤·a ） A 2aB 23aC 3aD 4a 3．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（ ） A 8a B 2aC 2aD 24a -4．（2022·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ） A 2249x y +B 25x y C 12()x y +D 222x xy y -+5．（2021·上海·a b ）A ．+a bB ．a b -C ．a b +D ．a b -6．（2020·上海徐汇·统考二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．22a b +B ．()2a b + C ．44a b +D ．()24a b +7．（2018·上海·校联考模拟预测）下列计算错误的是（ ） A ．22=±2B ．22=2C ．2(2)2-=D ．2(2)2-=8．（2018·上海杨浦·统考三模）下列式子中，与232-互为有理化因式的是（ ） A ．232-B ．232+C ．322+D ．322-二、填空题9．（2018·上海·校联考模拟预测）比较大小：32________2310．（2018·上海杨浦·统考一模）化简：①16=_____；②2(5)-=_____；③510⨯=_____． 11．（2018·上海·校联考模拟预测）计算：2(37)-=____________． 12．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数1x f xx，那么21f _____．13．（2019·上海宝山·统考二模）方程2134x -+=的解为______. 14．（2012·上海黄浦·统考二模）分母有理化：121=+________ 15．（2019·上海金山·统考二模）化简：32(0)4a b b ≥的结果是____．16．（2017·上海宝山·统考二模）计算：132x x ⋅=______．三、解答题17．（2021·上海浦东新·统考二模）计算：121823321+----． 18．（2021·上海金山·二模）计算：22(32)(32)(2)1331--++---+． 19．（2014·上海浦东新·统考二模）计算：20．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：22444424x x x xx x x ++-÷-+-+，其中1x = 21．（2021·上海徐汇·统考二模）先化简再求值：（222222a b ab b a ab b a b -+--+-）•1ab b -，其中a ＝b ＝2。
人教版初中数学二次根式难题汇编附答案
人教版初中数学二次根式难题汇编附答案一、选择题1．2在哪两个整数之间()A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈，即可解答．【详解】222== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．2．把(a b-根号外的因式移到根号内的结果为（）.A B C．D．【答案】C【解析】【分析】先判断出a-b的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数1b a≥-，分母0b a-≠，∴0b a->，∴0a b-<，∴原式(b a=--==故选C．【点睛】=|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．3．下列各式计算正确的是（）A1082==-=B．()()236==-⨯-=C 115236==+=D ．54==- 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断．【详解】解：A 、原式，所以A 选项错误；B 、原式，所以B 选项错误；C 、原式C 选项错误；D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．在下列算式中：=②=；③42==；=，其中正确的是（ ） A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④ 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案.【详解】①错误；=②正确；==，故③错误；==④正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.5．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C【解析】由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.6．有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≥1B ．x≥2C ．x ＞1D ．x ＞2【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x 的不等式组，解不等式组即可得.【详解】由题意得 200x x -≥⎧⎨≠⎩， 解得：x≥2，故选B.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.7．的结果是 A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】=-=22故选:B8x的取值范围是（）A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】Q有意义，∴x+5≥0，解得x≥-5.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.9．下列式子正确的是（）=-A6=±B C3=-D5【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质求解即可.【详解】=，故A错误.解：6B错误.=-，故C正确.3=，故D错误.D. 5故选：C【点睛】此题主要考查算术平方根和立方根的定义及性质，熟练掌握概念是解题的关键.10．下列计算正确的是()A ．3=B =C ．1=D 2=【答案】D【解析】【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=⨯=D 2==，正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．11．下列各式中，属于同类二次根式的是（ ）A B ． C ． 3 D ．【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B 、C 、3的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D故选：C ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．12．下列各式中是二次根式的是（ ）A B C D x ＜0）【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A 、38的根指数为3，不是二次根式；B 、1-的被开方数﹣1＜0，无意义；C 、2的根指数为2，且被开方数2＞0，是二次根式；D 、x 的被开方数x ＜0，无意义；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如a （a≥0）叫二次根式．13．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．222()-=-B ．284⨯=C ．2810+=D ．222-= 【答案】B【解析】【分析】根据2a =|a|，a b ab ⨯=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．【详解】A 、()222-=，故原题计算错误；B 、2816⨯==4，故原题计算正确；C 、2832+=，故原题计算错误；D 、2和2不能合并，故原题计算错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．14．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．6C ．236223+--D ．23225+-【答案】D【解析】【分析】 将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积=()()222323⨯-+⨯-=222233-+-=23225+-故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．15．实数,a b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a a b b +++的结果是（ ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a b Q ＜＜＞ 0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．16．下列运算正确的是( )A =B =C 123=D 2=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．=C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．17．下列运算正确的是（ ）A =B 2÷=C ．3=D ．142=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识即可解答. 【详解】=，故错误；2÷=，正确；C. =D. 142故选B.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则.18．有意义的x 的取值范围（ ） A ．x ＞2B ．x≥2C ．x ＞3D ．x≥2且x≠3【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数． 根据题意，得20{30x x -≥-≠解得，x≥2且x≠3． 考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件19．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）AB C D 【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】ABC ，不是最简二次根式；D 2，不是最简二次根式； 故选：A ．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．20．a =-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．0a <D ．0a >【答案】A【解析】【分析】由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.【详解】得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A项.【点睛】本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.。
专题. 二次根式章末八大题型总结(拔尖篇)(人教版)(解析版)
专题16.7二次根式章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】【题型1二次根式双重非负性的运用】 (1)【题型2复合二次根式的化简】 (3)【题型3二次根式的运算与求值技巧】 (7)【题型4二次根式中的新定义问题】 (9)【题型5利用分母有理化求值】 (15)【题型6二次根式中的阅读理解类问题】 (20)【题型7二次根式的规律探究】 (25)【题型8二次根式的实际应用】 (27)【题型1二次根式双重非负性的运用】【例1】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式−199+199−= 2+−+−6，则c＝．【答案】404【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．【详解】解：根据题意，得−199=0199−=0，解得a＝199，则2+−+−6=0，所以2×199+−=0−6=0，解得=6=404，故答案为：404．【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，熟知相关知识点是解题的关键．（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足3−−7+−2−4=+−2022×【变式1-1】2022−−．求+的值及7−2023的值．【答案】15【分析】根据算术平方根的非负性列方程和不等式计算即可．【详解】解：由已知，得+−2022≥02022−−≥0，∴+−2022=0，∴+=2022，∴3−−7+−2−4=0，∴3−−7=0−2−4=0，解得=2=−1，∴7−2023=7×2−−12013=14+1=15．【点睛】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质是解答本题的关键．【变式1-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：3(−p3+3(−p3=−−−，则3+3+3﹣3B的值是（）A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算【答案】A【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值．【详解】解：根据题意得：3−3≥0 3−3≥0−>0−>0∴>>，∴−>0，−<0，∴由3(−p3≥0可得≥0，由3(−p3≥0可得≤0，∴=0，∴−−−=0，∴−−=0，∴=−，∴3+3+3−3B=−3+3=0．【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键．【变式1-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知s s是两两不相等的实数，且满足−+−=−−−，则32+B−22−B+52的值为．【答案】17【分析】根据被开方数是非负数，确定出=0，=−，代入原式即可解决问题．【详解】解：∵，，是两两不相等的实数且满足o−p+o−p=−−−，又∵−≥0−≥0o−p≥0o−p≥0，∴=0，=−，≠0，≠0，∴原式=32−2−22+2+52=17．故答案为：17【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出=0，=−，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．【题型2复合二次根式的化简】【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2=(3+2)2=3+2请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：12+235；(2)化简：17−415；(3)若+65=(+5p2，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】(1)5+7(2)23−5(3)14或46【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【详解】（1）12+235=52+2×5×7+72=(7+5)2=5+7（2）17−415=12−415+5=232−2×23×5+52=23−52=23−5（3）∵+65=2+52+5，∴=2+52，6=2B，∴B=3又∵、、n为正整数，∴=1,=3，或者=3,=1，∴当=1,=3时，=46；当=3,=1时，=14．∴a的值为：14或46．【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．【变式2-1】（2023秋·上海·八年级期中）当=4−）A．1B．3C．2D．3【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=−将=4代入得，原式===−1−11+=33=1.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．【变式2-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为正整数），则有+2=2+22B+22，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若+6=+62，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a ＝，b＝；（2）若+43=+32，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：7−21+80．【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）5﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展开得到+62=2+26B+62，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【详解】解：（1）∵+6=+62=2+26B+62，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为：m2+6n2，2mn；（2）∵+43=+32=2+23B+32，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵21+80=20+45+1=25+12=25+1，则7−21+80=7−25+1=6−25=5−12=5−1．【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.【变式2-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：设+2=+22（其中、、m、n均为正整数），则有+2=2+22+2B2（有理数和无理数分别对应相等），∴=2+22，=2B，这样康康就找到了一种把式子+2化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含、的式子分别表示a、b，得：=________，=________；(2)若7−43=−32，且、均为正整数，试化简：7−43；(3)化简：7+21−80．【答案】(1)2+32，2B(2)2−32(3)1+5【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；（2）将7−43变为22−2×2×3+32即可求解；（3）将7+21−80化为1+52进行求解即可．【详解】（1）解：∵+32=2+23B+32=2+32+23B，∴=2+32，=2B，故答案为：2+32，2B；（2）∵7−43=4−2×2×3+3=22−2×2×3+32=2−32，∴7−43=2−32；（3）7+21−80=7+1−45+20=7+1−252=7+25−1=6+25=1+25+5=1+52=1+5．【点睛】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．【题型3二次根式的运算与求值技巧】【例3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−−2++1=∴4++1=∵>0，∴a2+a4+a+1=−a+3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣2−2016）（y﹣2−2016）＝2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【答案】（1）x=y；（2）-1.【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣2−2016＝y+2−2016，同理得②式：x+2−2016＝y﹣2−2016，将两式相加可得结论；（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．【详解】解：（1）∵（x﹣2−2016）（﹣2−2016）＝2016，∴x﹣2−2016＝K−2016−−2016y+2−2016①，同理得：x+2−2016＝y﹣2−2016②，①+②得：2x＝2y，∴x＝y，（2）把x＝y代入①得：x－2−2016＝x+2−2016，∴x2＝2016，则3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,掌握分母有理化的方法是解题的关键.（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4−1+1−4+【变式3-2】13，求（23x9+4B）﹣（3+25B）的值．【答案】18﹣【分析】首先根据二次根式有意义求出x、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．【详解】解：∵x，y是实数，且y＝4−1+1−4+13，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝14，∴y＝13，∴23x9+4B）﹣（3+25B）的值．＝2x+2B﹣x﹣5B＝x﹣3B＝18−【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当=43−1997−19942019的值为(). A．1B．−1C．22002D．−22001【答案】B【分析】由原式得2−12=1994，得42−4r1=1994，原式变形后再将42−4r1=1994代和可得出答案.【详解】∵=∴2−12=1994，即42−4−1993=0，∴43−1997−1994=42−4−1993+42−4−1993−1=−1．∴原式=−12019=−1．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.【题型4二次根式中的新定义问题】【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：n=−o≥p+o<p，在下列说法中：①27∯12=3；②11∯2+12∯3+⋯+12022∯2023=2023∯1；③(np(np=|−U；④若2∯(2−4+4)=2，则的取值范围为0≤≤1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：①∵27>12，∴27∯12=27−12=33−23=3，∴++...+②等式的左边==232+20232022=2−1+3−2+...+2023−2022 =2023−1．等式的右边=2023−1=2023−1．∴等式成立，∴②的说法正确；③当≥时，左边=(−p(+p=(−p(+p=(p2−(p2=−=|−U=右边，当<时，左边=(+p(−p=(p2−(p2=−=|−U=右边，综上，③的说法正确；④2∯(2−4+4)=2−(−2)2=−(−2)=−+2=2，由题意可知：2≥2−4+4，∴≥1，∴④的说法不正确．综上，说法正确的有①②③，故选：C．【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键．【变式4-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为(p，即：当为非负整数时，如果−12≤<+12，则(p=．如：(0)=(0.48)=0，(0.64)=(1.49)=1，(4)=(3.68)=4，⋯试解决下列问题：①(3)=；②(32+3)=；⋯=．【答案】2320172018【详解】1、(3)=(1.732)=2；2、根据题意，先推导出o2+p（1）∵2+<2++14=，∴2+<+12，（2）再比较2+与−12的大小关系，①当n=0时，2+>−12；②当为正整数时，∵2+−−=2−14>0，∴2+>−，∴2+>−12，综合（1）、（2）可得：−12<2+<+12，∴(2+p=，∴(32+3)=3．3、∵(2+p⋯+=11×2+12×3+13−4+⋯+12017×2018=1−12+12−13+13−14+⋯+12017−12018=1−12018=20172018．故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018.点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，−12< 2+<+12，从而得到(2+p=；（2）解题③的要点是：当n为正整数时，1or1)=1−1r1.【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）将n个0或2排列在一起组成一个数组，记为=1,2,⋯,，其中1，2，…，取0或2，称A是一个n元完美数组（≥2且n为整数）．例如：0,2，2,2都是2元完美数组，2,0,0,0，2,0,0,2都是4元完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于∗=+−−，新运算2：对于任意两个n元完美数组=1,2,⋯,和=1,2,⋯,，⊕=21∗1+2∗2+⋯+∗．例如：对于3元完美数组=2,2,2和=0,0,2，有⊕=12×(0+0+22)=2．(1)①在3,2，2,0，2,2,0中是2元完美数组的有______；②设=2,0,2，=2,0,0，则⊕=______；(2)已知完美数组=2,2,2,0，求出所有4元完美数组N，使得⊕=22；(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足⊕=0，则m的最大可能值是______．【答案】(1)①2,0；②2(2)=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．(3)2023【分析】（1）①根据定义直接判定即可；②根据定义直接计算即可；（2）由定义可知当=时，∗=2，当≠时，∗=0，当∗=22或0，再由此求解即可；（3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可．【详解】（1）解：①∵3,2中有3，∴3,2不是2元完美数组；∵2,0中只有2和0，且有2个数，∴2,0是2元完美数组；∵2,2,0中有3个数，∴2,2,0不是2元完美数组；故答案为：2,0．②⊕=22+0∗0+2∗0=22+2−2+0+0−0−+2+0−=12×22=2．故答案为：2．（2）解：∵∗=+−−，∴当=时，∗=2，当≠时，∗=0，当∗=2时，∗=22或0，∵⊕=22，∴1∗1+2∗2+3∗3+4∗4=42，∵=2,2,2,0，∴=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．（3）解：∵⊕=0，∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，∵C、D是不同的两个完美数组，∴C、D中对应的元都不相等，∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同．故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键．【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将+与−称为一对“对偶式”．因为+−=2−2=−，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知18−−11−=1，求18−+11−的值，可以这样解答：因为18−−11−×18−+11−=18−2−11−2=18−−11+=7，所以18−+11−=7．(1)已知：20−+4−=8，求：①20−−4−=________；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−+4−=8；(2)代数式10−+−2中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；(3)+⋯【答案】(1)①2；②=−5(2)2≤≤10，10，2(3)12−【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；（3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案．【详解】（1）解：①∵20−+4−20−−4−=20−2−4−2=20−−4+= 16，∴20−−4−=2；故答案为：2②由①得20−−4−=2，已知20−+4−=8，两式相加得到，220−=10，即20−=5，则20−=25，解得=−5，经检验，=−5满足题意，即方程20−+4−=8的解是=−5；（2）解：由二根式有意义的条件得到10−≥0−2≥0，解得2≤≤10，即的取值范围是2≤≤10，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案为：2≤≤10，10，2++⋯+（3+⋯+=++⋯+2023−2021202320212023+20212023−2021=35375+20232021−⋯+−==21−12023=12−20234046【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．【题型5利用分母有理化求值】【例5】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．==23−13−1==3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．(1)+++(2)已知m是正整数，=r1+=r1−++3B=2021，求m．(3)已知15+2−26−2=1，则15+2+26−2的值为?【答案】(2)504(3)9【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；（2）、互为倒数，分母有理化后可得+的值，代入所求式子即可；（3）设=15+2，=26−2，则2+2=41，利用已知等式导出2B=40，根据完全平方公式计算出+即为所求．+【详解】（1=+5375+⋯20192017+5−3+7−5+⋯+2019−2017==1=（2）∵=r1+=r1−∴=(+1−p2，=(+1+p2，B=1，∴+=(+1−p2+(+1+p2=4+2，∴++3B=2021，∴4+2+3=2021，∴=504；（3）设=15+2，=26−2，则2+2=41，∴15+2−26−2=1，∴−=1，∴(−p2=1，∴2+2−2B=1，∴2B=40，∵(+p2=2+2+2B=41+40=81，∴+=±9．（−9舍去），∴15+2+26−2=9．【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法．【变式5-1】（2023秋·山西临汾·八年级校联考期末）阅读下列解题过程：==5−452−42=5−4==6−562−52=6−5请回答下列问题：（1=______；（2+（3）12−11和13−12的值哪个较大，请说明理由．【答案】（1）+1−；（2）2021−1；（3）12−11>13−12，见解析【分析】（1）把分子分母都乘以(5+2)，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1）的方法可得，12−11=13−12=，根据12+11<13+12可得>【详解】解：（1==+1−；（21++2+3+3+4+⋅⋅⋅+2019+2020=2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020=2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020=2021−1（3）由（1）的方法可得，12−11=13−12=13+12∵12+11<13+12>即，12−11>13−12．【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．【变式5-2】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：2−1>3−2，3−2>2−3，2−3>5−2，5−2>6−5，…根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：=2−1，==3−2，=＝4−3，…n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：−+−3−5+4【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）2−101+9【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；（2）把分子分母同时乘以−−1，然后化简即可得到答案；=2−1=3−2，…=101−100分别把绝对值（3）根据（2里面的式子化简计算即可．【详解】解：（1）∵2−1>3−2，3−2>4−3，4−3>5−4，5−4>6−5，…，∴+1−>+2−+1，∴2021−2020>2022−2021，故答案为：＞；（2r K1K=−−1；（3）原式=|(2−1)−(3−2)|+|(3−2)−(4−3)|++…+|(100−99)−(101−100)| =(2−1)−(3−2)+(3−2)−(4−3)+…+(100−99)−(101−100)=(2−1)−(101−100)=2−1−101+10=2−101+9．【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：=7−6=分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【题型6二次根式中的阅读理解类问题】【例6】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）阅读材料：基本不等式B≤r2(>0，>0)当且仅当a=b 时，等号成立，其中我们把r2叫做正数a，b的算术平均数，B叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，+1有最小值？最小值是多少？解：∵x＞0，1＞0，∴x+12+1≥2，当且仅当＝1时，即x=1时，有+1有最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）填空：当>0时，设=+4，则当且仅当=____时，y有最____值为_______；（2）若＞0，函数=2+1，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．【答案】（1）2，小，4；（2y有最小值22【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；（2）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值．【详解】（1）∵x>0∴=r42≥∴y=+4≥4当且仅当=4即x=2时，y有最小值4．故答案为：2，小，4（2）∵x＞0∴2r12≥2×∴y=2+1≥22当且仅当2=1即x y有最小值22．【点睛】本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题．【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当s都是正数时，①若>1，则>；②若=1，则=；③<1，则<．我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．(1)请用上述方法比较57与75的大小；(2)r3为正整数）的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)57＜75【分析】（1）由5<7，得到=5<1，即可得到答案；（2÷r3=r22−1r2+22−1<+22即可得到结论．【详解】（1）解：∵5<7，5=<1，∴57<75；（2r2÷===+2−+2∵+221<+22，÷1，<【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【变式6-2】（2023秋·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：计算：2+3+12+2−3−12．设=2+3，=2−3．原式=+12+−12=2+2+1+2−2+1=2+2+2−+2．因为=2+3，=2−3，所以2+2=10，−=23．原式=10+2×23+2=12+43．(1)填空：①3+53−5=__________；②3+52+3−52=__________．(2)请仿照上面的方法计算：3+5+22+3−5−22．【答案】(1)①−2②16(2)24+85【分析】（1）①运用平方差公式解答；②运用完全平方公式解答；（2）设=3+5，=3−5，原式化为+22+−22，运用完全平方公式展开，根据阅读材料说明的方法解答．【详解】（1）①原式=32−52=3−5=−2；②原式=3+5+3−52−23+53−5=232−2×−2=16；故答案为：①−2；②16（2）设=3+5，=3−5，原式=+22+−22，=2+4+4+2−4+4，=2+2+4−+8，因为2+2=16，−=25，所以原式=16+4×25+8=24+85．【点睛】本题主要考查了复杂二次根式的乘法与平方和的简化计算，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．【变式6-3】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：1−32−1−．解：隐含条件1−3≥0,，解得≤13，∴1−>0，∴原式=1−3−1−=1−3−1+=−2．(1)试化简：(−3)2−(2−p2；(2)已知a、b满足(2−p2=+3,−+1=−+1，求B的值．【答案】(1)1(2)B=±14【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得2−≥0，解得≤2，再化简二次根式，再合并即可；（2）根据二次根式的非负性先求解≥−3，由−+1=−+1，可得−+1=0或−+1=1，再分−3≤≤2,>2两种情况讨论求解即可．【详解】（1）∵2−≥0,则≤2,∴−3<0∴−32−2−2=−3−2−=3−−2+=1（2）∵2−2=+3,−+1=−+1，∴2−=+3≥0,∴≥−3,−+1≥0,∴当−3≤≤2时，则2−=+3,解得：=−12，∵−+1=−+1，∴−+1=0或−+1=1,解得：=12或=−12,∴B=−14或B=14,当>2时，则−2=+3无解，舍去，综上：B=−14或B=14【点睛】本题考查二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．【题型7二次根式的规律探究】【例7】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期末）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…（2）深入探究，观察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：1+2+3+⋯++(+1)=__________．（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：①13+23+33+…+993+1003；②113+123+133+…+193+203．【答案】（1）10；（2）(r2)(r1)2；（3）①5050；②41075【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．【详解】解：（1）10；（2）(r2)(r1)2；（3）①原式=1+2+3+4+5+⋯+99+100=(1+100)×1002=5050；②原式=13+23+33+⋯+183+193+203−13+23+33+⋯+103=202×2124−102×1124=400×4414−100×1214=44100−3025=41075．【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键【变式7-1】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A．2−1B．2−2C．2−3D．2−4【答案】C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：2−3故选：C．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．【变式7-2】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）观察下列各式：1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……请利用你所发现的规律，计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212，其结果为．【答案】202020202021【分析】根据已知等式将各式分别化简，得到1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021，再将等式写成1×2020+（11×2+12×3+13×4+…+12020×2021）进行计算得到答案.【详解】∵1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……，∴1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212=1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021=1×2020+（11×2+12×3+13×4+…+12020×2021）=2020+（1-12+12-13+13-14+⋯+12020−12021）=2020+1-12021=202020202021，故答案为：202020202021.【点睛】此题考查运算类规律，有理数的混合运算，根据已知等式得到计算的规律，由此将各代数式化简，再根据特殊公式法进行计算得到答案，正确分析得到等式的计算规律是解题的关键.【变式7-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）====按此规律，请表示出第2021个式子．【详解】∵第1=第2第3=第4∴第n当n=2021=【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键.【题型8二次根式的实际应用】【例8】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记=rr2，则其面积−−−．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．(1)当三角形的三边=3，=5，=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；(2)一个三角形的三边长依次为5、6，7，请求出三角形的面积；(3)若=8，=4，求此时三角形面积的最大值．【答案】(1)2142(3)82【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案；（2）将=−−−变形为=（3）根据公式计算出+=12，再表示成=12−，代入公式即可求出解．．【详解】（1）解：∵=3，=5，=6，则：=rr2=3+5+62=7，∴=−−−=7×7−3×7−5×7−6=56=214；（2）=−−−======则三边长依次为5、6，7，代入====262（3）∵=rr2，=8，=4，∴+=12，则=12−，∴=−−−=88−48−8−=42×8−8−12+=42×8−−4=42×4−−62，∴当=6时，有最大值，为=82．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．【变式8-1】（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC 为72米，宽AB为32米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为8+1米，宽为8−1米．(1)求长方形BB的周长；（结果化为最简二次根式）(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【答案】(1)长方形BB的周长为202米(2)购买地砖需要花费204元【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．【详解】（1）解：72+32×2=62+42×2=102×2=202（米）．答：长方形BB的周长为202米．（2）72×32−2×8+1×8−1=62×42−2×8−1=48−14=34（平方米）．6×34=204（元）．答：购买地砖需要花费204元．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【变式8-2】（2023秋·四川资阳·八年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知557=767，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是767的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[p．这里[p=−，[p+=，其中[p是一个整数，0≤<1，a称为实数x的小数部分，记作，所以有=[p+{}．例如，[−14.3]=−15，{2.45}=0.45．关于取整运算有部分性质如下：①−1<[p⩽②若n为整数，则[+p=[p+请根据以上材料，解决问题：(1)[10]=___________；若=[−p，={−}，则2+B=___________；(2)记=⋯+[p；(3)解方程：[3r49]=6K73．【答案】(1)3，4(2)43(3)=53或=76【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）先进行分母有理化，再求和即可；（3）根据题意可得3r49−1<6K73≤3r49，求出的取值范围可得−335<6−7≤15，再由6K73是整数，可求的值．【详解】（1）解：∵3<[10]<4，∴[10]=3，∵−3<−<−4，∴=[−p=−4，={−}=4−，∴2+B=o+p=−4×−=4，故答案为：3，4；（2）=2+1+3++3+⋯2022+2021=2−1+3−2+2−3+…+2022−2021=2022−1，∵44<2022<45，∴43<2022−1<44，∴[p=43；（3）∵−1<[p≤，。
人教版八年级数学下册 第16章 二次根式重难点解析(含答案)
二次根式重难点解析1．二次根式的定义:一般地,0)a ≥叫做二次根式,可以从以下几个方面理解：（1a 可以是一个非负数，也可以是代数式，这个代数式的值必（2）0)a ≥既是二次根式，又表示非负数a 的算术平方根，0≥.2．二次根式的基本性质: 2(0)a a =≥，该公式也可以倒过来,即2(0)a a =≥,也就是说,可以利用它把任何一个非负数或式子写成一个数或式子的平方的形式.3．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.4．商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.例1 函数1y x=+x 的取值范围是 . 解：变量x 的取值范围,须使120x -≥(即被开方熟大于或者等于零)且10x +≠(即分母不等于零),即12x ≤且x≠-1. 所以应填12x ≤且x≠-1. 评注：①考虑二次根式有意义；②考虑分式有意义，只有同时有意义，才能求出自变量的取值范围.例2 已知x ＞2,( ).(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x解： 选(A)=,∵x ＞2,=x-2故应选(A)评注：解此类题,被开方数能化成完全平方式的.可根据2(0)a a =≥进行化简.例3 已知a ＞b,( )(A) -(B)-(C)(D) 解：选(D).评注：理解并熟练运用2(0)a a =≥,化简二次根式时,要判断或讨论根号内字母的符号,然后进行化简.此题也可以根据二次根式化简的法则,采取观察、分析符号两个步骤，运用排除法解答：（1）观察被开方数：由于被开方数中只有平方因式可以从根号内移到根号外，根号内的符号并不发生变化，观察原根式内的符号易知根号内不可能去掉负号，故可排除(B)、(C)；（2ab ＜0,而a ＞b,故a ＞0,观察原来根号外为省略的“+”号，应保持正数性，故根号外必为a ，综合可得.例4 若x 、y为实数，且12y x =+解: 由x 的取值范围可知: 22404020x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪+≠⎩∴x=2，y=1342==. 评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：240x -≥，240x -≥，20x +≠，即x 的取值范围，求出x 和y 的值.例5把(a -(a-1)移到根号内得( )(A) (B) (C) (D) 解: 根据二次根式的定义,被开方数11a -≥0,即a-1＞0∵(a -=故选(A) 评注：根号外面的因式移到根号内,运用根式化简的逆向思维,即2(0)a a =≥,所以应选判断(a-1)的正负,若为正,则把这个数写成它的平方移到根号内.课堂检测1、 已知y +6，则y x＝ .2、 已知3x -+y 2+4y ＝0，求x y z x y z -+++的值.3a 、x 、y 是两两不同的实数，求22223yxy x y xy x +--+的值.4、若实数x 、y 、a ，试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.参考答案1、根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x ≥0且x －3≥0，即x ≤3且x ≥3，所以x 只能等于3，所以y ＝6.故y x ＝63＝2.2、本题可变形为3x -+(y +2)20，因为是三个非负数的和为0，所以x －3＝0，y +2＝0，z －1＝0，即x ＝3，y ＝－2，z ＝1，故x y z x y z -+++＝3(2)1321--+-+＝3.3、由a (x －a )≥0及x －a ≥0得a ≥0；由a (y －a )≥0及a －y ≥0得a ≤0，故a ＝0，，x ＝－y ≠0，故原式＝2222223y y y y y y ++--＝31. 4、由x +y －8≥0，8－x －y ≥0，得x +y ≥8，x +y ≤8.所以8≤x+y ≤8，x +y ＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，，00.从而3x －y －a ＝0，x －2y +a +3＝0.这两个等式相加，得4x －3y ＝－3.联立x +y ＝8和4x －3y ＝－3，得8,43 3.x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得3,5.x y =⎧⎨=⎩这时a ＝3x －y ＝4.因为x 、y 、a 中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个三角形.因为x 2+a 2＝y 2，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.。
人教版初中数学二次根式重点题型及知识点
人教版初中数学二次根式重点题型及知识点单选题1、如果一个三角形的三边长分别为1、k、4. 则化简|2k－5|－√k2−2k+36的结果是……（）A．3k－11B．k+1C．1D．11－3k答案：A解析：试题解析：∵三角形的三边长分别为1，k，4，∴{1+4>kk<5，4−1<k，解得3<所以，2k–5>0，k–6<0，∴|2k–5|–√k2−12k+36=2k–5–√(k−6)2=2k–5–[–（k–6）]=3k–11．故选A．2、√(−3)2化简后的结果是（）A．√3B．3C．±√3D．±3答案：B解析：试题分析：“√a”表示的是a的算术平方根，“±√a”表示的是a的平方根．√(−3)2=√9=3，故选B．3、下列计算正确的是（）4=√2A．√8÷√2=2√2B．√9=±3C．√(−3)2=3D．√2答案：C解析：根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断．A、√8÷√2=√4=2，故此选项错误；B、√9=3，故此选项错误；C、√(−3)2=3，正确；D、√2×4=√22×4=2√2，故此选项错误；故选：C．小提示：本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键．4、下列计算正确的是（）A．√22=2B．√(−2)2=−2C．√22=±2D．√(−2)2=±2答案：A解析：由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．解：√22=√4=2，故A正确，C错误；√(−2)2=2，故B、D错误；故选：A．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．5、下列计算正确的是（）A．3√10−2√5=√5B．√711⋅(√117÷√111)=√11C．(√75−√15)÷√3=2√5D．13√18−3√89=√2答案：B解析：根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．解：A、3√10与−2√5不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、√711⋅(√117÷√111)=√711⋅√117×11=√711×117×11=√11，此选项正确；C、(√75−√15)÷√3=（5√3-√15）÷√3=5-√5，此选项错误；D、13√18−3√89=√2−2√2=−√2，此选项错误；故选B．小提示：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．6、对于无理数√3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（）．A．2√3−3√2B．√3+√3C．(√3)3D．0×√3答案：D解析：分别计算出各选项的结果再进行判断即可．A．2√3−3√2不能再计算了，是无理数，不符合题意；B．√3+√3=2√3，是无理数，不符合题意；C．(√3)3=3√3，是无理数，不符合题意；D．0×√3=0，是有理数，正确．故选：D．小提示：此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．7、√(−3)2化简后的结果是（）A．√3B．3C．±√3D．±3答案：B解析：试题分析：“√a”表示的是a的算术平方根，“±√a”表示的是a的平方根．√(−3)2=√9=3，故选B．8、下列计算正确的是（）A．√22=2B．√(−2)2=−2C．√22=±2D．√(−2)2=±2答案：A解析：由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．解：√22=√4=2，故A正确，C错误；√(−2)2=2，故B、D错误；故选：A．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．填空题9、若a、b为实数，且b＝√a2−1+√1−a2+4，则a+b＝_____．a+7答案：5或3解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．由被开方数是非负数，得{a 2−1≥01−a2≥0，解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，当a＝1时，a+b＝1+4＝5，当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．小提示：本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10、一个三角形的三边长分别为√8cm，√12cm，√18cm，则它的周长是___________cm．答案：5√2+2√3解析：试题解析：√8+√12+√18=2√2+2√3+3√2=5√2+2√311、若a，b都是实数，b＝√1−2a+√2a−1﹣2，则a b的值为_____．答案：4解析：直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．解：∵b＝√1−2a+√2a−1﹣2，∴{1−2a≥02a−1≥0∴1-2a=0，，则b=-2，解得：a=12）-2=4．故a b=（12故答案为4．小提示：此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．12、计算：√12x＝_____，（﹣√a）2＝_____，√(−7)2＝_____．答案： 2√3x a 7解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：√12x＝2√3x、（﹣√a）2＝a、√(−7)2＝7，所以答案是：2√3x、a、7．小提示：本题考查了二次根式的性质，即√a2=|a|,(√a)2=a，熟练掌握性质是解题的关键．=_____．13、计算：√32−√8√2答案：2解析：先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后再进行二次根式的除法运算即可得出答案．原式＝（4√2﹣2√2）÷√2＝2√2÷√2＝2．故答案为2．小提示：本题考查了二次根式的混合运算.把二次根式化为最简二次根式，再根据混合运算顺序进行计算是解题的关键． 解答题14、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3， √23=√2×33×3=√63，√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：2√3+1=3−1√3+1=(√3)2−12√3+1=(√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1 （1）请用不同的方法化简√5+√3； （2）化简：√3+1√5+√3√7+√5+⋅⋅⋅√2n+1+√2n−1． 答案：（1）√5−√3；（2）√2n+1−12解析：（1）分母有理化的两种方法：①分子因式分解达到约分的目的；②同乘分母的有理化因式达到约分的目的；（2）先分母有理化，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．（1）①√5+√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=√5−√3；②√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)2=√5−√3；（2）原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋅⋅⋅+√2n+1−√2n−12=√3−1+√5−√3+√7−√5+⋅⋅⋅+√2n +1−√2n −12 =√2n+1−12． 小提示：本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．15、已知二次根式–√x −2（1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围；（2）已知–√x −2为最简二次根式，且与√52为同类二次根式，求x 的值，并求出这两个二次根式的积． 答案：（1）x ≥2；（2）x =12，–5．解析：（1）根据二次根式有意义的条件求解即可； （2）先把√52化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可．解：（1）要使–√x −2有意义，必须x –2≥0，即x ≥2，所以使得该二次根式有意义的x 的取值范围是x ≥2； （2）∵√52=12 √10， 所以x –2=10，解得：x =12，这两个二次根式的积为：–√10×√52=–5．。
(带答案)人教版初中数学二次根式历年考试复习重点
（带答案）人教版初中数学二次根式历年考试复习重点（文末附答案）单选题1、使√x −3有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≤3B ．x ＜3C ．x ≥3D ．x ＞32、下列各式中一定是二次根式的是( )A ．√−32B ．√(−0.3)2C ．√−2D ．√x3、若a 、b 为实数，且√1-3a +√3a −1−b =5，则直线y ＝ax −b 不经过的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、下列计算正确的是（ ）A ．√8÷√2=2√2B ．√9=±3C ．√(−3)2=3D ．√24=√25、若a 、b 为实数，且√1-3a +√3a −1−b =5，则直线y ＝ax −b 不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、下列运算正确的是（ ）A ．√a +√b =√a +bB ．2√a ×3√a =6√aC ．(a +b )2=a 2+b 2D ．(x 2)5=x 107、下列二次根式中与√3是同类二次根式的是（ ）A ．√12B ．√32C ．√23D ．√188、若代数式√xx−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．x ＞0B ．x ≥0C ．x ≠0D ．x ≥0且x ≠1填空题9、观察下列运算过程： 1+√2=√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1 1√2+√3=1√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2 ……请运用上面的运算方法计算：1+√3√3+√5√5+√7+⋯+√2015+√2017√2017+√2019 =_____．10、如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________cm 2.11、若√17−n 的值是整数，则自然数n 的值为_____． 12、若一个长方体的长为2√6，宽为√3，高为√2，则它的体积为_______．13、一个三角形的三边长分别为√8cm ，√12cm ，√18cm ，则它的周长是___________cm ．解答题14、已知x ＝2−√3，y ＝2+√3，求下列代数式的值． （1）x 2﹣3xy+y 2．（2）1x −1y ． 15、计算（1）√48÷√3+√12×√12−√24（2）(√5−√7)(√5+√7)+2（带答案）人教版初中数学二次根式_01E参考答案1、答案：C解析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵式子√x−3有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选C．小提示：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．2、答案：B解析：二次根式要求被开方数为非负数，易得B为二次根式.故选B.3、答案：D解析：依据√1-3a+√3a−1−b=5即可得到a=13,b=−5进而得到直线y=13x+5不经过的象限是第四象限．解：∵√1-3a+√3a−1−b=5∴{1−3a≥03a-1≥0解得a=1 3 ,∴b=−5，∴直线y=13x+5不经过的象限是第四象限．故选D．小提示：本题主要考查了一次函数的性质，解决问题的关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．4、答案：C解析：根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断．A、√8÷√2=√4=2，故此选项错误；B、√9=3，故此选项错误；C、√(−3)2=3，正确；D、√2×4=√22×4=2√2，故此选项错误；故选：C．小提示：本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键．5、答案：D解析：依据√1-3a+√3a−1−b=5即可得到a=13,b=−5进而得到直线y=13x+5不经过的象限是第四象限．解：∵√1-3a+√3a−1−b=5∴{1−3a≥03a-1≥0解得a=1 3 ,∴b=−5，∴直线y=13x+5不经过的象限是第四象限．故选D．小提示：本题主要考查了一次函数的性质，解决问题的关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．6、答案：D解析：A.根据同类二次根式的定义解题；B.根据二次根式的乘法法则解题；C.根据完全平方公式解题；D.幂的乘方解题．解：A. √a与√b不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B. 2√a×3√a=6a，故B错误；C. (a+b)2=a2+2ab+b2，故C错误；D. (x2)5=x10，故D正确，故选：D．小提示：本题考查实数的混合运算，涉及同类二次根式、二次根式的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7、答案：A解析：根据同类二次根式的定义进行选择即可．A 、√12＝2√3，与√3是同类二次根式，故正确；B 、√32＝√62，与√3不是同类二次根式，故错误；C 、√23=√63，与√3不是同类二次根式，故错误；D 、√18＝3√2，与√3不是同类二次根式，故错误；故选：A ．小提示：本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．8、答案：D解析：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x-1≠0，x≥0，解得x≥0且x≠1.故选D.9、答案：√2019−12 解析：先分母有理化，然后合并即可．原式=12（√3-1）+12（√5-√3）+12（√7-√5）+……+12（√2017-√2015）+12（√2019-√2017） =12（√3-1+√5-√3+…+√2019-√2017）=√2019−12 所以答案是：√2019−12小提示：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，要能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.10、答案：8√3-12解析：根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB 、BC ,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 2和12cm 2，∴它们的边长分别为4cm ，√12＝2√3cm ，∴AB ＝4cm ，BC ＝（2√3＋4）cm ，∴空白面积＝（2√3＋4）×4－12－16＝8√3＋16－12－16＝（8√3－12）cm 2，故答案为8√3－12.小提示：本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB 、BC 的长度，从而求出空白部分面积.11、答案：17或16或8或1解析：先根据二次根式的定义求出x 的取值范围，再根据√17−n 的值是整数这一条件对n 的值进行讨论即可．由题意得：17-x≥0，解得，x≤17，当x=0时，原式=√17，不合题意；当x=1时，原式=√16=4，符合题意；当x=2时，原式=√15，不合题意；当x=3时，原式=√14，不合题意；当x=4时，原式=√13，不合题意；当x=5时，原式=√12=2√3，不合题意；当x=6时，原式=√11，不合题意；当x=7时，原式=√10，不合题意；当x=8时，原式=√9=3，符合题意；当x=9时，原式=√8=2√2，不合题意；当x=10时，原式=√7，不合题意；当x=11时，原式=√6，不合题意；当x=12时，原式=√5，不合题意；当x=13时，原式=√4=2；符合题意；当x=14时，原式=√3，不合题意；当x=15时，原式=√2，不合题意；当x=16时，原式=1；当x=17时，原式=0．综上所述，x=1、8、13、16或17．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义：概念：式子√a （a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12、答案：12解析：直接根据长方体体积公式求解可得．∵长方体的长为2√6，宽为√3，高为√2∴长方体的体积=2√6×√3×√2=12所以答案是：12小提示：本题考查求长方体的体积，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长．13、答案：5√2+2√3解析：试题解析：√8+√12+√18=2√2+2√3+3√2=5√2+2√314、答案：（1）11；（2）﹣2√3解析：（1）原式利用完全平方公式变形，把x 与y 的值代入计算即可求出值；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，把x 与y 的值代入计算即可求出值．解：x ＝2−√3＝2+√3，y ＝2+√3＝2﹣√3，（1）原式＝（x+y）2﹣5xy＝（2+√3+2﹣√3）2﹣5（2+√3）（2﹣√3）＝16﹣5＝11；（2）原式＝y−xxy＝√3−2√3(2+√3)(2-√3)＝﹣2√3．小提示：本题考查二次根式的化简求值，一定要先分母有理化将条件化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．15、答案：（1）4−√6；（2）0解析：（1）先算乘除并化简，再算加减法；（2）先利用平方差公式计算，再作加减法．×√12−√24解：（1）√48÷√3+√12×12−2√6=√48÷3+√12=4+√6−2√6=4−√6；（2）(√5−√7)(√5+√7)+2=5−7+2=0小提示：本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．。
(2021年整理)人教版初二数学下册二次根式常考题及答案
人教版初二数学下册二次根式常考题及答案
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专题16 二次根式的加减【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题16.3 二次根式的加减【八大题型】【人教版】【题型1 同类二次根式的判断】 (1)【题型2 求同类二次根式中的参数】 (1)【题型3 二次根式的加减运算】 (2)【题型4 二次根式的混合运算】 (3)【题型5 已知字母的值化简求值】 (3)【题型6 已知条件式化简求值】 (4)【题型7 二次根式的新定义运算】 (4)【题型8 二次根式的应用】 (4)【题型1 同类二次根式的判断】【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（）A．√3与√32B．√6与√12C．√5与√75D．√12与√27【变式1-1】（2022春•郯城县期中）下列根式中，与√6x不是同类二次根式的是（）A．√x6B．√6xC．√16xD．√6+x【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（）A．√8与√32B．√45与√20C．√27与√75D．√24与√80【变式1-3】（2022春•河西区校级月考）下列各式中与√a+b是同类二次根式的是（）A．1a √(a+b)2B．13√3(a+b)C．√a+b2D．√9a+b【题型2 求同类二次根式中的参数】【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式−√x −2． （1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围；（2）已知−√x −2为最简二次根式，且与√52为同类二次根式，求x 的值，并求出这两个二次根式的积．【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式√3a +8与√12−a 是同类二次根式，那么3√a 的值为 ．【变式2-2】（2022春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题： 如果√16(2m +n)和√m +7m−n−1在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m 、n 的值．解：因为√16(2m +n)与√m +7m−n−1可以合并所以{m −n −1=216(2m +n)=m +7即{m −n =331m +16n =7解得{m =5547n =−8647问：（1）以上解是否正确？答 ． （2）若以上解法不正确，请给出正确解法．【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值； （2）求√x 2+y 2的值．【题型3 二次根式的加减运算】 【例3】（2022春•普兰店区期中）计算： （1）√18−√32+√2 （2）7a √8a −4a 2√18a+7a √2a ．【变式3-1】（2022春•高密市校级月考）计算： （1）√0.25+√925+√0.49+|−√1100|（2）√0.01−√1100+（﹣1）3√(−0.01)2+√0（3）4√5+√45−√8+4√2．【变式3-2】（2022秋•浦东新区期中）化简：√8ab −b√2a b−a√b2a（a ＞0，b ＞0）【变式3-3】（2022秋•浦东新区期末）计算下列各式： （1）√5−√6−√20+√23+√95 （2）√12−√0.5−2√13−√18+√18（3）√27a −a√3a +3√a 3+12a √75a 3（4）23x √9x +6x √y x +y √x y −x 2√1x ．【题型4 二次根式的混合运算】 【例4】（2022春•安庆期末）计算：（1）√48÷√3+2√15×√30−（2√2+√3）2（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−√2)0−√(−4)2+√25【变式4-1】（2022春•岳池县期中）计算：√2×√6√3（√3−2）2−√2（√2−√6）【变式4-2】（2022春•天心区校级期中）计算： （1）（√20+√5+5）÷√5−√13×√24−√5；（2）√18−√92√3+√6√3+（√3−2）0+√(1−√2)2．【变式4-3】（2022秋•昌江区校级期末）（√a √ab √a+√b）÷（√ab+b√ab−a√aba ≠b ）．【题型5 已知字母的值化简求值】【例5】（2022秋•如东县期末）已知x ＝1−√3，求代数式（4+2√3）x 2+（1−√3）x +8√3． 【变式5-1】（2022秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知a =2+√3，求a 2−2a+1a−1−√a 2−2a+1a 2−a的值．【变式5-2】（2022春•容县校级月考）已知a ＝2，b ＝3，求式子√a 3b −√ab +√a 3b 3的值． 【变式5-3】（2022秋•天河区校级月考）已知x =√2021−√2020，则x 6﹣2√2020x 5−x 4+x 3−2√2021x 2+2x −√2021的值为（ ） A ．0B ．1C ．√2020D ．√2021【题型6 已知条件式化简求值】 【例6】（2022秋•虹口区校级期中）已知x−b a=2−x−a b，且a +b ＝2，请化简并求值以下代数式：√x+1−√x √x+1+√x√x+1+√x√x+1−√x．【变式6-1】（2022春•阳信县期中）已知√x−69−x =√x−6√9−x，且x 为奇数，求（1+x ）•√x 2−5x+4x 2−1的值．【变式6-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a ，b ，c 满足a +4√ab +3b ﹣2√bc −c ＝0，则√a+√b√c的值是 ．【变式6-3】（2022春•芝罘区期末）若实数a ，b 满足（√a +√b ）（√a +√b −2）＝3，则√a +√b 的值是 ． 【题型7 二次根式的新定义运算】【例7】（2022春•郧阳区期中）对于任意的正数m ，n 定义运算*为：m *n ={√m −√n(m ≥n)√m +√n(m ＜n)，计算（3*2）+（8*12）的结果为 ．【变式7-1】（2022春•江岸区校级月考）对于实数a 、b 作新定义：a @b ＝ab ，a ※b ＝a b ，在此定义下，计算：（√43−√32）@√12−（√75−4√3）※2＝ ．【变式7-2】（2022秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a ＞b 时，a △b ＝a +b ；当a ≤b 时，a △b ＝a ﹣b ，其它运算符号的意义不变，计算：（√3△√2）﹣（2√3△3√2）＝ ． 【变式7-3】（2022秋•厦门期末）若a +b ＝2，则称a 与b 是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，5−√2与 是关于1的平衡数；（2）若（m +√3）×（1−√3）＝﹣5+3√3，判断m +√3与5−√3是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【题型8 二次根式的应用】【例8】（2022春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m 2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为√243m 、宽为√128m ． （1）求该长方形土地的周长；（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：√6≈2.45）【变式8-1】（2022春•岱岳区期末）在一个边长为（2√3+3√5）cm 的正方形的内部挖去一个长为（2√3+√10）cm ，宽为（√6−√5）cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【变式8-2】（2022春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p =a+b+c 2，那么这个三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【变式8-3】（2022秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC 为8√3米，宽AB为√98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为√13+1米，宽为√13−1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）。
人教版八年级下册数学第十六章《二次根式》章末复习高频考点分类专题精准练习
人教版八年级下册数学《二次根式》章末复习高频考点分类专题精准练习考点一：二次根式的定义 1．式子5x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．5x ≥-B ．5x ≥C ．0x ≥D ．2x ≤ 2. 要使式子2m +有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．2m ≥-且2m ≠ B ．2m ≠C ．2m ≥-D ．2m ≥ 3.下列说法正确的是（ ）A ．若2a a =，则a 可取一切实数B ．当34a ≥时，34a -才有意义 C ．若0,0ab <>，则2a b a b =-D ．5的平方根是5 4. 使2-x 有意义的x 的取值范围是____________． 5. 当代数式4x -有意义时，x 应满足的条件__________．考点二：二次根式的化简1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．13B ．35bC ．x y -D ．221x x ++2. 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：22(1)||2(1)|+|++-+--a a b b a b 的结果是（ ）A ．2a ﹣b+1B ．a ﹣2b+1C ．﹣a+2b ﹣1D ．2a+b ﹣13．已知17a -+217a -＝b +8，则a ﹣b 的平方根是（ ）A ．±3B ．3C ．5D ．±54. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简21a a -+的结果为_________．5. 已知22|2||1|9(5)(1)x x y y ++-=---+，则x y +的最小值为_______．6.若a ，b ，c 是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．考点三：二次根式的基本运算1．下列运算正确的是（ ）A ．（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a b B ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2C 2D ．222a a b -＋222b b a -＝2a b -2．下列整数中，与（-的值最接近的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63. 我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，S 为面积，则该三角形的面积公式为S ABC 的三边分别是3，则ABC 的面积是（ ）．A ．2B ．2C ．D ．34. 1在3和4x 的取值范围是1x ≥-3；④5=-；⑤1528>．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 计算：（1）1）1）+）2 ；（26．先化简，再求值：2244422x x x x x x ⎛⎫+++÷ ⎪--⎝⎭．其中2x =．考点四：二次根式的综合运用1有意义，且2x +（a ﹣2）x +9是一个完全平方式，则满足条件的a 值为（ ）A ．±8B ．±4C ．8D ．﹣42.如图．从一个大正方形中裁去面积为8m 2和18cm 2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．12cm 2C ．8cm 2D ．24cm 23.已知实数x y ，满足50x -=，则x y ，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．21或18B ．21C ．18D ．以上均不对．4.设ab21b a-的值为（ ） A1 B1 C1- D1+5.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）123A ．BC ．D6.对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b＝),()a b ab a b ≥<⎪⎩，例如3◆2，因为3＞2，所以x ，y 满足方程组2353210x y x y +=⎧⎨+=⎩，则（x ◆y ）◆x ＝_______．7.甲容器中装有浓度为a，乙容器中装有浓度为b，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．8.观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：11OA =2OA ==；1111122S =⨯⨯=3==OA2112S ==4==OA；31122S ==（1）推算出5=OA ____________；（2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？（3）用含n （n 是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即n S =____________；（4）求出2222122100++++S S S S 的值．9.小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如23(1+=+．善于思考的小明进行了以下探索：设2(a m +=+（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有2222a m n +=+．222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了把总分a +的代数式化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为整数时，若2(a m +=+，用含m 、n 的代数式分别表示a 、b ，则：a =______，b =_________；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：2____(________+=+．（3）若2(a m +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值。
专题16 二次根式【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题16.1 二次根式【九大题型】【人教版】【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】........................................................................................................ 1 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】........................................................................................................ 1 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 ...................................................................................................... 2 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 .......................................................................................................... 2 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】 ................................................................................................ 3 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 .................................................................................... 3 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 ................................................................................ 4 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 ................................................................................................ 4 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】 (5)【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ） √3，√m ，√x 2+1，√43，√−m 2−1，√a 3（a ≥0），√2a +1（a ＜12） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ） A ．√−2B ．−√2C ．√23D ．√x【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子√2，√33，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式：√5、√a 2，√−3，√83，√x −1(x ⩾1)，√x 2+2x +1中，一定是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】【例2】（2022春•莱州市期末）若√12n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A ．1B ．3C ．6D ．12【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若√80n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x ＝ −12 时，代数式3−√2x +1有最大值，其最大值是 ． 【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a 为实数，则代数式√27−12a +2a 2的最小值为（ ） A ．0B ．3C ．3√3D ．9【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式√15x −1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ≠5D ．x ＜5【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子√a+1a−2有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．a ≥﹣1B ．a ≠2C ．a ≥﹣1且a ≠2D ．a ＞﹣1【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若√(3x −4)2=4−3x ，则x 的取值范围是 ． 【变式3-3】（2022春•睢县期中）若√4x6−|x|有意义，则x 的取值范围为 ．【题型4 根据二次根式有意义条件求值】【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a ，b 都是实数，b =√1−2a +√4a −2−2，则a b 的值为 ． 【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式√a 2=|a|后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）A ．在a ＞1的条件下化简代数式a +√a 2−2a +1的结果为2a ﹣1B ．a +√a 2−2a +1的值随a 变化而变化，当a 取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6C ．当a +√a 2−2a +1的值恒为定值时，字母a 的取值范围是a ≤1D ．若√a 2−2a +1=(√a −1)2，则字母a 必须满足a ≥1【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x ，y 是实数，且y ＜√x −1+√1−x +12，求|1−y|y−1的值为 ． 【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a 满足|2017﹣a|+√a −2018=a ，则a ﹣20172的值是 ．【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】【例5】（2022春•平山县期末）二次根式√(−2)2的值是（）A．﹣2B．2或﹣2C．4D．2【变式5-1】（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（）A．√9=±3B．√22+32=5C．√4=2D．√(−3)2=−3【变式5-2】（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式√4+a的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【变式5-3】（2022春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（）A．√25=±5B．√−(√5)2=√5C．√1614=412D．√(18)23=14【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】【例6】（2022•泗水县二模）已知y=√(x−3)2−x+4，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和是（）A．2026B．2027C．2028D．2029【变式6-1】（2022秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：−√−m3−m√−1m解：原式=−m√−m−m⋅1m√−m=(−m−1)√−m．【变式6-2】（2022春•凤凰县月考）若式子√4−4a+a2与√a2−8a+16的和为2，则a的取值范围是．【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式√x2(x+1)=−x√x+1成立的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】【例7】（2022春•黄骅市期中）已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|的值为【变式7-1】（2022•宁波）已知：a＜0，化简√4−(a+1a )2−√4+(a−1a)2=．【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值√a2−√(c−a+b)2+|b+c|−√b33=．【变式7-3】（2022春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求√1−2x+x2+√x2−8x+16的值．【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m是某三角形三边的长，则√(m−4)2−√(m−8)2等于（）A．2m﹣12B．12﹣2m C．12D．﹣4【变式8-1】（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x√−yx2=．【变式8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：√(a−b+c)2+√(b−c−a)2=．【变式8-3】（2022春•靖江市期末）已知：m是√5的小数部分，求√m2+1m2−2的值．【题型9 复杂的复合型二次根式化简】【例9】（2022•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=√20192+2020+2021，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【变式9-1】（2022•兴平市期中）像√4−2√3，√√96−√63...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：√4−2√3=√3−2√3+1=√(√3)2−2×√3+12=√(√3−1)2=√3−1；再如：√5+2√6=√3+2√6+2=√(√3)2+2×√6+(√2)2=√(√3+√2)2=√3+√2．请用上述方法探索并解决下列问题：（1）化简：√11+2√30=，√24−6√15=；（2）若a+6√5=（m+√5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．【变式9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知x=√a2−6a+23，其中实数﹣4≤a≤10，则√x+5−4√x+1√x+10−6√x+1的值为．【变式9-3】（2022春•郧西县期末）像√4−2√3，√√48−√45这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：√4−2√3=√3−2√3+1=√(√3)2−2√3×1+12=√(√3−1)2=√3−1．再如：√5+2√6=√3+2√6+2=√(√3)2+2×√3×√2+(√2)2=√(√3+√2)2=√3+√2．请用上述方法探索并解决下列问题：（1）化简：√10+2√21；（2）化简：√14−8√3．（3）若a+6√5=（m+√5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．。
专题16 二次根式的乘除【九大题型】(举一反三)(人教版)(解析版)
专题16.2 二次根式的乘除【九大题型】【人教版】【题型1 求字母的取值范围】 ............................................................................................................................... 1 【题型2 二次根式乘除的运算】 ........................................................................................................................... 2 【题型3 二次根式的符号化简】 ........................................................................................................................... 3 【题型4 最简二次根式的判断】 ........................................................................................................................... 5 【题型5 化为最简二次根式】 ............................................................................................................................... 6 【题型6 已知最简二次根式求参数】 ................................................................................................................... 7 【题型7 分母有理化】 ........................................................................................................................................... 8 【题型8 比较二次根式的大小】 ......................................................................................................................... 10 【题型9 分母有理化的应用】 .. (11)【题型1 求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式√x x−8=√x√x−8成立，则x 的取值范围是 x ＞8 ．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x 的不等式组求出答案． 【解答】解：∵等式√xx−8=√x√x−8成立，∴{x ≥0x −8＞0， 则x 的取值范围是：x ＞8． 故答案为：x ＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知√(x −3)⋅(−x −2)=√3−x ⋅√x +2，使等式成立的x 的取值范围是 ﹣2≤x ≤3 ．【分析】根据二次根式的性质得出关于x 的不等式组，进而求出答案． 【解答】解：∵√(x −3)⋅(−x −2)=√3−x ⋅√x +2， ∴{3−x ≥0x +2≥0， 解得：﹣2≤x ≤3． 故答案为：﹣2≤x ≤3．【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式√x−2x=√x−2√x成立的x 的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x ≥0C ．x ＞2D ．x ≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：由题意得： {x −2≥0x ＞0， 解得：x ≥2， 故选：D ．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x 满足√2x 2−x 3=x •√2−x ，则x 的取值范围是 0≤x ≤2 ． 【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和√a 2=a （a ≥0）列不等式组求解即可． 【解答】解：∵原式=√(2−x)x 2=x •√2−x ， ∴x ≥0且2﹣x ≥0． 解得：0≤x ≤2． 故答案为：0≤x ≤2．【题型2 二次根式乘除的运算】 【例2】（2022•长宁区期中）计算： （1）5√827•√827•3√54； （2）2√112÷5√16⋅√12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可． （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝5×827×3×3√6=40√63． （2）原式＝2×15×√32×6×12=12√35．【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：2√23m ÷16√6m•√8m3．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×6√23m ×16m×8m3＝12√8m9＝8√2m．【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35√xy3÷(−415√yx)⋅(−56√x3y)（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=35√xy3•（−154√xy）•（−56√x3y）=−94√x2y2•（−56√x3y）=−94xy•（−56x√xy）=158x2y√xy．【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2b √ab3(−32√a3b)÷3√ab（b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2b •（﹣b）√ab•（32a√ab）÷3√ab−b＝﹣3a2b÷3√ab−b＝﹣3a2b×（3√ab）＝a2b2×√abab＝ab√ab．【题型3 二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x√−yx2根号外的因式x移到根号内的正确结果为（）A．√y B．√−y C．−√y D．−√−y【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−yx2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴x√−yx2=−√−yx2⋅x2=−√−y．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a√−1a3根号外的因式移到根号内为（）A．√−1a B．√1aC．−√1aD．−√−1a【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−1a3＞0，∴a＜0，∴a√−1a3=a•1−a√−1a=−√−1a，故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）√1x−2根号外的因式移到根号内，得（）A．√x−2B．√2−x C．﹣2√2−x D．−√x−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−√(x−2)2×1x−2=−√x−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）√−1a−b根号外的因式移到根号内结果为−√b−a．【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1a−b ＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a）√−1a−b，然后利用二次根式的性质得到−√(b−a)2•√−1a−b ，再利用二次根式的乘法得到−√(b−a)2⋅1b−a，再约分即可．【解答】解：∵−1a−b＞0，∵a ﹣b ＜0，∴原式＝﹣（b ﹣a ）√−1a−b=−√(b −a)2•√−1a−b=−√(b −a)2⋅1b−a=−√b −a ．故答案为−√b −a ．【题型4 最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在√25、√aba、√18x 、√x 2−1、√0.6中，最简二次根式是 √aba、√x 2−1 ．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：√aba、√x 2−1是最简二次根式，故答案为：√aba、√x 2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．√48B ．√14C ．√abD ．√4a +4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A 、√48=4√3，故A 不符合题意； B 、√14是最简二次根式，故B 符合题意； C 、√ab =√abb，故C 不符合题意；D 、√4a +4=2√a +1，故D 不符合题意； 故选：B ．【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①√25②√2n +1③√2b4④√0.1y 是最简二次根式的是 ②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案． 【解答】解：②√2n +1③√2b4是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式√12、√12、√30、√x+2，√40x2，√x2+y2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．【解答】解：二次根式√12、√12、√30、√x+2，√40x2，√x2+y2中，是最简二次根式的是√30、√x+2，√x2+y2，故答案为：3【题型5 化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．√2B．5√8C．√28D．√12【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵√2是最简二次根式，5√8=10√2，√28=2√7，√12=√22．∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）√3100（2）√32（3）√4x33【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1）√3100=√310；（2）√32=4√2；（3）√4x33=√x√3=2x√3x3．【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275√132−12227；（2）−abc2√c32a4b．【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式=275√2527=275×53×√13=9√13=3√3；（2）当b，c同为正数时，原式=−abc2×ca2×√c2b=−c24a√2bc．当b，c同为负数时，原式=−abc2×（−ca2）×√c2b=−c24a√2bc．当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）√x2−1xy−y 化成最简二次根式是±√y(x+1)y．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式=√(x−1)(x+1)y(x−1)=√x+1y；①当y＞0时，上式=√y(x+1)y②当y＜0时，上式=−√y(x+1)y；故答案是：±√y(x+1)y．【题型6 已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式√5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式√5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若√a是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A 选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意； B 选项，√32=√62，故该选项不符合题意； C 选项，√2是最简二次根式，故该选项符合题意； D 选项，√8=2√2，故该选项不符合题意； 故选：C ．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若√2m+n−2和√33m−2n+2都是最简二次根式，则m ＝ 1 ，n ＝ 2 ． 【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m 与n 的值． 【解答】解：∵若√2m+n−2和√33m−2n+2都是最简二次根式， ∴{m +n −2=13m −2n +2=1， 解得：m ＝1，n ＝2， 故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式√4a +b 与√23a−b的被开方数相同，则a +b ＝ 8 ． 【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：{a −b =24a +b =23解得：{a =5b =3，∴a +b ＝8．【题型7 分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把√3a√12ab化去分母中的根号后得（ ） A ．4bB ．2√bC ．12√bD ．√b2b【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵a ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0； ∴√3a √12ab=√3⋅√a 2√3⋅√a⋅√b=2√b=√b2b ．故选：D ．【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化： （1）3√2= √26；（2）√12= √36；（3）√102√5=√22．【分析】根据分母有理化的一般步骤计算即可． 【解答】解：（1）3√2=√23√2×√2=√26， （2）√12=√3√12×√3=√36， （3）√102√5=√10×√52√5×√5=√22， 故答案为：√26；√36；√22．【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ） A ．√a +b 和√a −b B ．−√a 和√aC ．√5−√2和−√5+√2D ．x √a +y √b 和x √a +y √b【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A .√a +b •√a −b =√(a +b)(a −b)，因此√a +b 和√a −b 不是有理化因式，故选项A 不符合题意；B ．−√a •√a =−a ，所以−√a 和√a 是有理化因式，因此选项B 符合题意；C ．（√5−√2）（−√5+√2）＝﹣（√5−√2）2，所以√5−√2和−√5+√2）不是有理化因式，因此选项C 不符合题意；D ．（x √a +y √b ）•（x √a +y √b ）＝（x √a +y √b ）2，因此x √a +y √b 和x √a +y √b 不是有理化因式，所以选项D 不符合题意； 故选：B ．【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：√2−√3+√5√2+√3+√5【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式=√2+√5−√3)2(√2+√5+√3)(√2+√5−√3)=√2+√5−√3)2(√2+√5)2−3=√10−√6−√15+5√10+2=√10−√6−√15+5)(√10−2)(√10+2)(√10−2)=3√10−3√66=√10−√62【题型8 比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a =2√2−3，b =1a ，则a 、b 大小关系是（ ） A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b 的值，再与a 比较得出结果． 【解答】解：∵a ＝2√2−3 ∴b =1a=2√2−3=−（2√2+3）所以a ＞b ． 故选：B ．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a =√5−2，b ＝2+√5，则a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式【分析】求出a 与b 的值即可求出答案． 【解答】解：∵a =√5−2=√5+2，b ＝2+√5，∴a ＝b ， 故选：A ．【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式√25，√5，√25的大小关系是（ ）A ．√25√5√25 B ．√5√25＜√25 C ．√25＜√25√5 D ．√25√5√25 【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小． 【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较： ∵√25=√105，√5=2√55=√205，√25； ∴√25＜√25√5．故选：C ．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小 比较√a+1√a+2与√a+2√a+3的大小． 【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题． 【解答】解：√a+1√a+2√a+2√a+3=√a+1√a+2×√a+3√a+2=√aa+4+4√a1， ∴√a+1√a+2√a+2√a+3． 【题型9 分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如√3=√3√3×√3=√33，√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是 4−√7 ，3√2分母有理化得√23．（2）计算： ①1+√2√2+√3+√3+√4⋯√1999+√2000．②已知：x =√3−1√3+1，y =√3+1√3−1，求x2+y 2的值． 【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可； （2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果； ②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+√7的有理化因式可以是4−√7，3√2分母有理化得：√23；故答案为：4−√7；√23（2）①原式=√2−1+√3−√2+⋯+√2000−√1999=√2000−1＝20√5−1； ②∵x =√3−1√3+1=2−√3，y =√3+1√3−1=2+√3，∴x 2+y 2＝7﹣4√3+7+4√3=14．【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：√32−√3=√3)(2+√3)(2+√3)(2−√3)=7+4√3；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简√4+√7−√4−√7，可以先设x=√4+√7−√4−√7，再两边平方得x2＝（√4+√7√4−√7）2＝4+√7+4−√7−2√(4+√7)(4−√7)=2，又因为√4+√7＞√4−√7，故x＞0，解得x=√2，√4+√7√4−√7=√2，根据以上方法，化简√6−√3√6+√3+√8+4√3√8−4√3的结果是（）A．3﹣2√2B．3+2√2C．4√2D．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x=√8+4√3−√8−4√3，两边平方得x2=(√8+4√3√8−4√3)2=8+4√3+8−4√3−2√(8+4√3)(8−4√3)=8，∵√8+4√3＞√8−4√3，∴x＞0，∴x＝2√2，原式=√6−√3√6+√32√2=√6−√3)2(√6+√3)(√6−√3)2√2=9−6√23+2√2＝3﹣2√2+2√2＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：√2=√2√2⋅√2=√2(√2)2=√22，（1）将√2+1分母有理化可得√2−1；（2）关于x的方程3x−12=1+√3√3+√5√5+√7+⋯√97+√99的解是√112．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．【解答】解：（1）√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1故答案为：√2−1； （2）3x −12=1+√3√3+√5√5+√7⋯+√97+√99，3x −12=√3+1√5+√3√7+√5+⋯+√99+√97，3x −12=√3−1(√3+1)(√3−1)+√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)+⋯√99−√97(√99+√97)(√99−√97)，3x −12=12（√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√99−√97），6x ﹣1＝﹣1+√99， 6x ＝3√11， x =√112， 故答案为：√112． 【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将√a ±2√b 化简，如果你能找到两个数m 、n ，使m 2+n 2＝a 且mm =√b ，则将a ±2√b 将变成m 2+n 2±2n ，即变成（m ±n ）2开方，从而使得√a ±2√b 化简．例如，5±2√6=3+2±2√6=（√3）2+（√2）2±2√2×√3=（√3±√2）2，所以√5±2√6=√(√3±√2)2=√3±√2；材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如√3，√23，√3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3（一）；√23=√2×33×3=√63（二）；√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）√3−2√2= √2−1 ；√4+2√3= √3+1 ． （2）化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2n+1+√2n−1．【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣2√2=2+1﹣2√2=（√2−1）2，∴√3−2√2=√(√2−1)2=√2−1，∵4+2√3=3+1+2√3=（√3+1）2，∴√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1，故答案为：√2−1，√3+1；（2）√3+1+√5+√3√7+√5⋯+√2n+1+√2n−1=√3−1)(√3+1)(√3−1)√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)+•••√2n+1−√2n−1)(√2n+1+√2n−1)(√2n+1−√2n−1)=√3−1+√5−√3+√7−√5+•••+√2n+1−√2n−1＝﹣1+√2n+1．。
二次根式(人教版)(含答案)
二次根式（人教版）试卷简介:二次根式，二次根式的加减，二次根式的乘除一、单选题(共9道，每道5分)1.下列计算正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：A．由得，故选项正确；B．被开方数不相同的二次根式（非同类二次根式）不能合并，故选项错误；C．，故选项错误；D．，故选项错误．试题难度：三颗星知识点：二次根式的乘除法2.已知下列式子:,,,,,,其中是最简二次根式的有( )个.A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：最简二次根式首先满足是二次根式，其次需要满足（1）被开方数不含分母，（2）被开方数不含开方能开的尽的因数；所以只有，符合，共两个试题难度：三颗星知识点：最简二次根式3.若式子有意义,则x的取值范围是( )A. B.C.且D.答案：A解题思路：首先需要满足，再次需要满足分母试题难度：三颗星知识点：二次根式有意义的条件4.已知为正整数,若,,,则下列有关于的大小关系,正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：∵，，∴∴．故选D．试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：∵，且，则∴=，，∴===试题难度：三颗星知识点：实数与数轴6.下列说法正确的是( )A.一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数B.一个有理数的立方根,不是正数就是负数C.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1,0,1中的一个D.如果一个数的平方根是这个数本身,那么这个数一定是1或者0答案：C解题思路：正数有两个平方根，他们互为相反数，负数是不存在平方根的，所以A选项错误；0的立方根是0，所以B选项错误；-1，0，1的立方根分别是他们本身，所以C选项正确；1的平方根有两个，不是他本身，所以D选项错误试题难度：三颗星知识点：立方根7.已知和互为相反数,则以x,y,z为边的三角形为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解题思路：由题意可知，即，所以，，即，，，∴，则此三角形为直角三角形试题难度：三颗星知识点：非负数的性质8.已知b<0,则二次根式的化简结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意得，又∵b<0，∴则试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简求值9.已知,则a的取值范围是( )A.a≦1且a≠0B.a≦1C. D.答案：C解题思路：由题意知且，得且；又以为，即，也就是，所以，则a的取值范围是试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简求值二、填空题(共10道，每道5分)10.若有意义，则x的值为____．答案：3解题思路：由题意知，而，所以，则x=3试题难度：知识点：二次根式有意义的条件11.计算的值为____.答案：15解题思路：原式==试题难度：一颗星知识点：二次根式的化简求值12.若x=，则=____．答案：2解题思路：∵，∴原式=试题难度：知识点：二次根式的化简求值13.计算：____.答案：3解题思路：试题难度：知识点：实数的综合运算14.计算：=____.答案：0解题思路：原式=试题难度：一颗星知识点：实数的综合运算15.计算：____.答案：0解题思路：试题难度：知识点：实数的综合运算16.计算=____.答案：0解题思路：原式=试题难度：知识点：实数的综合运算17.已知1<x<3，则<3，则=____<3，则答案：3解题思路：因为1<x<3<3，则，则x-1>0,，原式==<3，则试题难度：一颗星知识点：二次根式的双重非负性18.计算的值为____.答案：0解题思路：原式==试题难度：一颗星知识点：实数的综合运算19.若在两个连续整数a和b之间，即a<<b,则a+b=____答案：7解题思路：由于，则，所以，则a+b=7 试题难度：三颗星知识点：估算无理数的大小。
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的正确结果是（ ）
A．2b﹣c
B．2b+c
C．2a+c
【变式 4-3】（2018 春•汉阳区期中）若 0＜x＜1，则
A．
B．﹣
【考点 5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则
（1） a b ab （a 0，b 0）
C．﹣2x
（2） a a （a 0，b 0） bb
【例 5】（2019 春•邗江区校级期中）计算： （1） ÷
【例 3】（2019 春•海阳市期中）把 a 根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【变式 3-1】（2019 春•汉阳区期中）已知 ab＜0，则
化简后为（ ）
A．a
B．﹣a
C．a
D．﹣a
【变式 3-2】（2018 春•宜兴市期中）（a﹣1】（2019 春•城区校级期中）化简
﹣＝
﹣＝
因为 ﹣ ＞ + ，所以 ﹣ ＜ ﹣
（1）（ （2）（3
）2﹣（
）÷
）（
）
【变式 8-2】（2019 春•杭锦后旗期中）计算：
（1）
﹣× +
（2）（2﹣ ）2018（2+ ）2019﹣2×|﹣ |﹣（ ）0 【变式 8-3】（2019 春•莱州市期中）计算：
（1）
（2） 【考点 9 分母有理化的应用】 【例 9】（2019 春•西城区校级期中）阅读下述材料：
（2）
÷3 ×
D．﹣2a﹣c
﹣
等于（ ）
D．2x
3
【变式 5-1】（2018 秋•松江区期中）计算：
•（﹣
）÷ （a＞0）
【变式 5-2】（2019 秋•闸北区期中）计算：
【变式 5-3】（2019 春•新泰市期中）化简下列式子：
•3
．
【考点 6 利用二次根式性质求代数式的值】
【例 6】（2019 春•萧山区期中）已知
的结
果是（ ）
A．a﹣b+3
B．a+b﹣1
C．﹣a﹣b+1
【变式 4-1】（2019 春•丰润区期中）若 2＜a＜3，则
D．﹣a+b+1 ＝（ ）
A．5﹣2a
B．1﹣2a
C．2a﹣1
D．2a﹣5
【变式 4-2】（2018 秋•海淀区校级期中）实数 a、b、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c+a|+ ﹣
C．﹣ ﹣x
，得（
D．﹣ ）
A．（x﹣1 ）
B．（1﹣x ）
【考点 4 利用二次根式的性质化简】
C．﹣（x+1 ）
D．（x﹣1 ）
2
【方法点拨】二次根式的性质：
（1）（ a）2 a（a 0）
（2）
a （a 0）
a2
a
0
（a 0）
a （a 0）
【例 4】（2019 春•庐阳区校级期中）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简
【例 1】（2019 春•浉河区校级月考）在式子 ，
，
，
（y≤0），
和 （a＜
0，b＜0）中，是二次根式的有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
【变式 1-1】（2019 春•莱芜期中）二次根式：①
；②
D．6 个 ；③
；④ ；
⑤
中最简二次根式是（ ）
A．①②
B．③④⑤
C．②③
【变式 1-2】（2019 春•左贡县期中）二次根式：① ； ②
【例 2】（2019 春•泰山区期中）式子
在实数范围内有意义的条件是（ ）
A．x≥1
B．x＞1
C．x＜0
D．x≤0
【变式 2-1】（2019 春•西湖区校级期中）为使
有意义，x 的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 且 x≠2 B．x＞﹣2 且 x≠2 C．x＞2 【变式 2-2】（2018 春•西华县期中）使代数式
，
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣30b+b2；
（3）（a﹣2）（b﹣2）．
【变式 6-1】（2019 春•芜湖期中）已知
，
（1）x2+y2；
（2）
．
，求下列式子的值： ，分别求下列代数式的值；
【变式 6-2】（2019 春•长白县期中）已知 ﹣ ＝2，求
的值．
【变式 6-3】（2018 秋•通川区校级期中）已知 x＝
（1）
；
（2） +4 ﹣ + ．
【变式 7-2】（2018 春•襄城区期中）计算：
（1）
﹣+﹣
（2） ﹣
﹣ +2
【变式 7-3】（2018 春•罗山县期中）（1）
4
（2） 【考点 8 二次根式的混合运算】 【例 8】（2019 春•泰兴市校级期中）计算：
（1）
（2）3
【变式 8-1】（2019 春•广东期中）计算
D．x＞2 或 x≤﹣2 有意义的整数 x 有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【变式 2-3】（2019 秋•安岳县校级期中）如果
有意义，则 x 的取值范围（ ）
A．x≥3
B．x≤3
C．x＞3
D．x＜3
【考点 3 利用二次根式性质化简符号】
【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
，y＝
，求：（1）x2y﹣xy2 的值；（2）x2﹣
xy+y2 的值． 【考点 7 二次根式的加减运算】 【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并． 【例 7】（2019 春•武昌区期中）计算：
（1） （2）
【变式 7-1】（2019 春•萧山区期中）计算下列各式：
专题 1.1 二次根式章末重难点题型
【人教版】
【考点 1 二次根式相关概念】
【方法点拨】1．二次根式：形如 a （ a 0 ）的代数式叫做二次根式．
2．最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类 二次根式．
D．只有④ ； ③ ； ④ 中，与 是同类二次
1
根式的是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．②和④
【变式 1-3】（2019 春•海阳市期中）若两个最简二次根式
D．③和④
和
是同类二次根式，则 n 的值是
（）
A．﹣1
B．4 或﹣1
C．1 或﹣4
D．4
【考点 2 二次根式有意义条件】
【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分
母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
﹣＝
＝
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
﹣ 和 ﹣ 的大小可以先将它们分子有理化如下：