点差法求解中点弦问题
中点弦公式点差法
中点弦公式点差法
中点弦公式是指通过连接曲线上两点中点的弦来近似曲线的斜率。
点差法是指对于曲线上的两个点，通过用极限的思想来逼近它们之间的点差（即横坐标之差），从而计算斜率。
中点弦公式的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点的中点坐标
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
3. 计算连接这两个点的弦的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{x_2-
x_1}$。
点差法的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点之间的点差（即横坐标之差），即$\Delta
x=x_2-x_1$。
3. 通过极限思想，将点差逐渐缩小为0，即$\Delta x\rightarrow 0$。
4. 计算这两个点之间的斜率的极限值，即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y_2-y_1}{\Delta x}$。
这个极限值即为这两点之间的切线斜率。
需要注意的是，中点弦公式是一种近似计算方法，只有在两点之间的曲线变化不太剧烈时才适用；而点差法则是一种精确计算方法，可以得到任何两点之间的切线斜率。
第7节 用点差法解中点弦问题
又 A 、 B 两点在椭圆上，则 x12 4 y12 16 ， x22 4 y22 16
两式相减得 (x12 x22 ) 4( y12 y22 ) 0
于是 (x1 x2 )( x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
y1 y2 x1 x2 4 1 x1 x2 4( y1 y2 ) 4 2 2
所求椭圆的方程是 y2 x2 1 75 25
例 3：已知椭圆
．
（1）求过点
且被点 P 平分的弦所在直线的方程；
（2）解求：（1斜）设率过为点 2 的平且行被点弦P的平分中的点 弦与轨椭圆迹交方与 A程（；x1，y1），B（x2，y2）点，则
=，
= ∵A，B 在椭圆上，∴
（3）过点 A（2①，1）引直线与②②椭﹣①圆得交， 于 B+、（yC2﹣两y1）点=0，，求截得的弦 B=﹣C 中点的轨迹方程．
y0 x0
a2 b2
.
典例分析：
例 1：过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 16 4
解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 )
M (2,1) 为 AB 的中点 x1 x2 4
y1 y2 2
b2 a2
.
又 kMN
y2 x2
y1 , y1 y2 x1 x1 x2
2y 2x
y x . kMN
y x
b a
2 2
.
同理可证，在椭圆 x 2 b2
y2 a2
1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P(x0 , y0 )
是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 kMN
点差法与中点弦问题洋葱数学
点差法与中点弦问题洋葱数学摘要：一、引言二、点差法的概念与应用1.中点弦问题的背景2.点差法的基本原理3.点差法在解决中点弦问题中的应用三、中点弦问题的解法1.联立直线与圆锥曲线的方程2.借助一元二次方程的根的判别式3.根与系数的关系4.中点坐标公式及参数法求解四、点差法的优缺点及适用范围五、结论正文：一、引言在数学中，中点弦问题是一个常见的几何问题。
所谓中点弦，是指连接圆锥曲线上两点的中垂线。
在中点弦问题中，我们需要求解连接两点的直线方程，以及该直线与圆锥曲线的交点。
解决这类问题的一种有效方法是点差法。
本文将从点差法的概念与应用出发，详细探讨如何利用点差法解决中点弦问题。
二、点差法的概念与应用1.中点弦问题的背景在解析几何中，中点弦问题是一个基本的问题。
给定圆锥曲线上的两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2)，求连接这两个点的直线方程。
这个问题可以追溯到古代希腊数学家所研究的几何问题。
2.点差法的基本原理点差法是一种数学方法，它通过比较两个量的差值来研究问题的规律。
在解决中点弦问题时，我们可以利用点差法将圆锥曲线上的两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2) 的坐标差值与直线的斜率建立联系。
3.点差法在解决中点弦问题中的应用利用点差法解决中点弦问题的步骤如下：（1）设直线AB 的斜率为k，写出直线AB 的方程y - y1 = k(x -x1)。
（2）将直线AB 的方程代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x 的一元二次方程。
（3）根据一元二次方程的根的判别式，判断直线与圆锥曲线的交点个数。
（4）利用根与系数的关系，求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
（5）根据中点坐标公式，求出连接两个交点的中点坐标。
三、中点弦问题的解法1.联立直线与圆锥曲线的方程首先，我们需要联立直线AB 的方程和圆锥曲线的方程。
假设圆锥曲线的方程为F(x, y) = 0，则直线AB 的方程为y - y1 = k(x - x1)。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕中，假设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-by y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x 〔a ＞0，b ＞0〕中，假设直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，假设直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么m y k M N=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 m x y m x y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：〔1〕直线与抛物线有两个不同的交点；〔2〕直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝82k 2－k4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P 〔x ，y 〕，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．那么+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．〔﹣＜x ＜〕∴点P 的轨迹方程为：x+y=0〔﹣＜x ＜〕；3、〔2013秋•启东市校级月考〕中心在原点，焦点坐标为〔0，±5〕的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，那么椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1〔a ＞b ＞0〕，那么a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，弦AB 中点〔x 0，y 0〕 ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1〔09年〕椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：〔Ⅰ〕根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . 〔Ⅱ〕椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法那么知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ① 假设直线l 的斜率不存在，那么x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与x y DE FO 题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、〔2009秋•工农区校级期末〕椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，那么点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕，那么，两式相减，得=0，〔y 1﹣y 2〕〔y 1+y 2〕=﹣3〔x 1﹣x 2〕〔x 1+x 2〕，=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷〔y 1+y 2〕，∴=﹣．所以中点M 坐标为〔，﹣〕．故答案为：〔，﹣〕．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
第3章专题12 点差法解决中点弦问题
点差法解决中点弦问题考向一利用点差法求中点弦所在直线方程1、已知椭圆C:x23+y2=1内有一条以点P(1,13)为中点的弦AB，则直线AB的方程为.【答案】3x+3y−4=0【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x22=1，y1+y22=1由A，B在椭圆上可得x123+y12=1，x223+y22=1,两式相减可得，(x1−x2)(x1+x2)3+(y1−y2)(y1+y2)1=0∴K AB=y1−y2x1−x2=−(x1+x2)3（y1+y2）=−23⋅23=−1直线AB的方程为y−13=−1(x−1)即3x+3y−4=0.2、已知双曲线2x2−y2=2，则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.【答案】4x−3y+1=0【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．又2x12−y12=2，①2x22−y22=2，②①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k=y1−y2x1−x2=2（x1+x2）y1+y2=2×4 6=43，所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝43（x﹣2），即4x−3y+1=0．故答案为：4x−3y+ 1=0．3、椭圆x 236+y 29=1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A,B 两点．当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 【答案】x +2y −8=0. 【解析】由P 的坐标，可得1636+49<1，可得P 在椭圆内，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1236+y 129=1，①x 2236+y 229=1，②由中点坐标公式可得x 1+x 2=8，y 1+y 2=4，③ 由①−②可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)36+(y 1−y 2)(y 1+y 2)9=0，④将③代入④，可得k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−12，则所求直线的方程为y −2=−12(x −4)，即为x +2y −8=0．4、已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【答案】3x ＋4y －5＝0.【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k 3k ＋14k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3，即8k 3k ＋124k 2－1＝3，解得k ＝－34.当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y－5＝0.解法二： 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎨⎧x 214－y 21＝1，x224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1＝－34.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.5、已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4，1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.【答案】3x －y －11＝022303【解析】设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22.∴|P 1P 2|＝1＋19·22－4×（－22）＝22303. 考向二 利用点差法求曲线方程1、已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ． 2212718x y +=D ．221189x y +=答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y，则又2229a b c -==，即有2229b b -=，得229,18b a ==2、平面直角坐标系xoy 中，过椭圆()2222:10x y M a b ab+=>>右焦点的直线0x y +交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，求M 的方程解析：设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，所以222a b =因此226,3a b ==3、椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭、AB 、在椭圆E 上，且PA PB mOP +=，求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率。
运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤
与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：1.设出弦的两个端点的坐标：A(x1，y1)、B(x2，y2)；2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1＋x2、y1＋y2的式子；3.联立直线与圆锥曲线的方程得到一元二次方程，由根与系数的关系求得x1＋x2、y1＋y2；4.根据直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2以及中点的坐标公式，建立中点和直线的斜率之间的联系；5.建立有关x1＋x2、y1＋y2的关系式，求得问题的答案.解答简单的中点弦问题，有时可省略第三步.下面举例加以说明.例1.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m()x-3对称，求实数m的取值范围.解：当m=0时，满足题意；当m≠0时，设抛物线C上关于直线l:y=m()x-3对称的两点分别为P()x1,y1，Q()x2,y2，中点M()x0,y0，可得y21=x1，y22=x2，将上述两式作差得：k PQ=y1-y2x1-x2=12y，因为k PQ=-1m，可得y0=-m2，又中点M()x0，y0在直线l：y=m()x-3上，所以y0=m()x0-3，解得x0=52，因为中点M在抛物线y2=x的内部，所以y20<x0，即æèöø-m22<52，解得：m∈()-10，10.所以实数m的取值范围为m∈()-10，10.对于与中点弦有关的参数取值范围问题，通常需运用点差法求解.对于本题，先将弦两端点的坐标代入曲线方程中，将两式作差，建立有关x1+x2、y1+y2的关系，然后运用中点坐标公式、直线的斜率公式，根据中点在直线上求得中点的坐标，再根据中点M在抛物线y2=x的内部，建立关于m的不等式.例2.已知AB为椭圆x2a2+y2b2=1()a>b>0中的一条弦，该弦不垂直于x轴，AB的中点为P，O为椭圆的中心，证明：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明：设A()x1,y1，B()x2,y2，且x1≠x2，可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，将两式作差得：y1-y2x1-x2=-b2()x1+x2a2()y1+y2，得k AB=-b2()x1+x2a2()y1+y2，又k OP=y1+y2x1+x2，则k AB=-b2a2∙1k OP，得k AB∙k OP=-b2a2，该值为定值，即直线AB和直线OP的斜率之积是定值.解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.例3.已知双曲线的方程为x2-12y2=1，过点B()1,1能否作直线l，使得l与双曲线分别交于P，Q两点，且PQ的中点为B.如果存在，请求出它的方程；若不存在，请说明理由.解：假设直线l存在，且P()x1，y1，Q()x2，y2，由中点公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，由题意可得x21-12y21=1，x22-12y22=1，将两式作差可得2()x1-x2-()y1-y2=0，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，因为P，Q，B三点在直线l上，所以直线l的方程为：y=2x-1，将y=2x-1与x2-12y2=1联立可得：2x2-4x+3=0，该方程没有实数根，因此不存在直线l.解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线l上，求得直线l的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.虽然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解；（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.（作者单位：江苏省响水县第二中学）考点透视39。
用点差法巧解弦中点问题
用点差法巧解弦中点问题在解决直线被圆锥曲线所截得的弦中点有关问题时，通常有两种思路：一种是应用根与系数的关系.这种解法运算较繁,且不容易消去参数得到所求的方程.另一种就是我要重点介绍的“点差法”，点差法作为一种特殊的数学方法,在解决中点弦问题中能设而不求，用代点作差法,此法运算量小，能给人一种简洁明快，耳目一新的感觉. 例1.已知椭圆221164x y +=.⑴若它的一条弦AB 被M （1，1）平分，求AB 所在的直线方程； ⑵求过点M （1，1）的弦中点的轨迹方程.分析：用点差法设出交点，代入椭圆方程作差出现中点斜率. 解：⑴设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,A 、B 在椭圆上，22111164x y ∴+=，①22221164x y +=.② ①-②得222212120164x x y y --+=，()()()()121212120164x x x x y y y y -+-+∴+=，化简得()()()1212121212124164x x y y x x x x y y y y -+-+==--++.∴M 是弦AB 的中点，由中点坐标公式知12122,2x x y y +=+=.又设AB 的斜率为k 21424k -∴==-⨯. ∴直线AB 的方程为450x y +-=.⑵设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,又设所求动点为P (),x y ，因为P 是弦AB 的中点，由中点坐标公式得：12122,2x x x y y y +=+=.又 A 、B 在椭圆上，22111164x y ∴+=，①22221164x y +=.②①-②得222212120164x x y y --+=. 设AB 的斜率为k ,()()121212124164x x y y xk x x y y y-+-∴===--+.又M （1，1）在AB 上，∴MP 的斜率为11MP y k x -=-，而MP k k =，即114y x x y -=--.整理得点P 的轨迹方程为22440x y x y +--=.点评：这种方法巧妙，运算量小，在解决弦中点的有关问题时十分有效.例2、已知双曲线2212y x -=，是否存在被点()1,1P 平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.解：假设存在被点P 平分的弦MN ，设()11,M x y ，()22,N x y ，斜率为k ，则221112y x -=，222212y x -=，两式相减，得()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-=， 即()()12121212102y y x x y y x x -+-+⋅=-. 因为12122,2x x y y +=+=,所以12202k -⨯⨯=,2k ∴= .直线MN 的方程为()121y x -=-,即21y x =-.将其代入221112y x -=，得22430x x -+=,()2442380∆=--⨯⨯=-<,所以不存在被P 点平分的弦.点评：若点P 在双曲线的内部，则以该点为中心的弦一定存在，无须检验；若点P 在双曲线的外部，则以该点为中心的弦可能存在，也可能不存在，必须检验. 例3、由点()2,0-向抛物线24y x =引弦，求弦的中点的轨迹方程.分析：设端点坐标，利用点差法找到中点坐标及斜率关系，可求弦中点轨迹. 解：设端点为()()1122,,,A x y B x y ，则2211224,4y x y x ==,两式相减得()2212214y y x x -=-.①①式两边同时除以21x x -，得()2121214y y y y x x -+=-.②设弦的中点坐标为(),x y ，则212x x x +=,122y y y +=.③ 又点(),x y 和点()2,0-在直线AB 上，所以有21212y y yx x x -=+-④将③④代入②得242yy x ⋅=+整理得()222y x =+. 故所求中点的轨迹方程是()222y x =+在抛物线24y x =的内部的部分.小结：以上三例说明，凡是涉及到圆锥曲线中点弦问题，都可采用点差法来解题，并且简捷优美.。
巧用点差法公式解决中点弦问题
巧用点差法公式解决中点弦问题解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往是非常困难的。
解题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。
一、抛物线【规律探踪】在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线l与抛物线相交于m、n两点，点p（x0，y0）是弦mn的中点，弦mn所在的直线l的斜率为kmn，则kmn·y0=m。
注意：能用这个公式的条件：①直线与抛物线有两个不同的交点；②直线的斜率存在.例1设a（x1，y1），b（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是ab的垂直平分线。
⑴当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点f？证明你的结论。
⑵当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。
解析：⑴∵x2=12y，∴p=14，f（0，18）。
设线段ab的中点为p（x0，y0），直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0 若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，ab的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点f。
若直线l的斜率存在，则其方程为y=k（x-x0）+y0，kab=-1k。
由1kab·x0=p得：-kx0=14，∴x0=-14k。
若直线l经过焦点f，则得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，与y00相矛盾。
∴当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点f。
综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点f。
⑵当x1=1，x2=-3时，a（1，2），b（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.由1kab·x0=p得：k=14。
∴所求的直线l的方程为y=14（x+1）+10，即x-4y+41=0二、椭圆【规律探踪】在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若直线l与椭圆相交于m、n两点p（x0，y0），点是弦mn的中点，弦mn所在的直线l的斜率为kmn，则kmn·y0x0=b2a2。
点差法解决弦中点问题
点差法解决弦中点问题例5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交F 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( D )A ．x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，又由AB 的中点坐标为(1，－1)，直线AB 的斜率为12，可得a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝9，所以a 2＝18，b 2＝9，选D ．名师点拨 ☞若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论． 〔变式训练4〕过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋a 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于__22___. [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， 变形得－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝y 1－y 2x 1－x 2，即－2b 22a 2＝－12， a 2＝2b 2，e ＝c a ＝1－(b a )2＝22.故填22.。
运用点差法解决中点弦问题,运算是解析几何学习中的难点.doc
运用点差法解决中点弦问题，运算是解析几
何学习中的难点
第一问由点M在线段PD上以及满足的条件，很容易得出M是中点，既然求点M的轨迹，就设其坐标为(x,y)，从而得到点P坐标，由于P是圆上动点，所以满足圆的方程，继而带入化简得出一个椭圆
这个题呢其实再配个图就好啦，同学们自己动手画一个呗，圆，椭圆，还有直线l的位置关系一目了然，所以解的时候自然能先想到垂直的情况是不行的，也就是斜率存在，直接设直线解析式，再由直线与椭圆相交，联立方程组，利用韦达定理得出中点坐标相关的关系式，求出k，直线方程也就求出来啦
点差法解决中点弦问题也是常规方法，注意要熟练利用韦达定理，设而不求方法和整体思想，简化计算，准确求解，方法1思路直接，但是计算量稍大，方法2，计算简捷，所列式子整齐，对称性强，但是要求灵活性高，整体意识强，运算是解析几何学习中的难点，平时必须认真训练，仔细，体会算理和一些常用技巧，提高运算的速度和准确度！
下面一题，大家自己动手试一试哦。
人教版数学-备课资料运用“点差法的方法解决弦的中点问题
运用“点差法”的方法解决弦的中点问题所谓“点差法”，就是将直线与曲线的两个交点代入曲线方程f （x ，y ）=0得：f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）=0将两式作差即可得出中点坐标和斜率之间的关系，下面举例说明。
例1 已知：双曲线x 2-22y =1，过点B （1，1）能否作出直线m ，使m 与已知双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是线段Q 1Q 2的中点，这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
解：设Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），代入双曲线方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-121222222121y x y x 两式作差得（x 1+x 2）（x 1-x 2）=21（y 1+y 2）（y 1-y 2） ∴2121x x y y --=2121)(2y y x x ++ ∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=2∴kQ 1Q 2=2121x x y y -=2 （※） 联立⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 得方程2x 2-4x+3=0由判别式△=16-4×2×3＜0，知此直线与双曲线无交点，故m 不存在点评：到（※），直线m 过点B （1，1），其斜率为k Q1Q2=2，① ②有的同学会下结论：存在直线m ：y-1=2（x-1），实质上不存在，从图中大致可以看出，但必须给出严密推理。
例2 过点P （-1，1），作直线与椭圆42x +22y =1交于A 、B 两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和线段AB 的长度。
解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+424222222121y x y x ①-②得x 12-x 22+2（y 12-y 22）=0显然x 1=x 2，不合题意，∴x 1≠x 2 ∴))(())((21212121x x x x y y y y -+-+=-21 ③ 由已知x 1+x 2=-2，y 1+y 2=2，2121x x y y --=k AB ，代入③式，得 k AB =21∴所求的直线方程为y-1=21（x+1）即x-2y+3=0联立直线x-2y+3=0和椭圆方程2422y x +=1得3x 2+6x+1=0 x 1=x 2=-2，x 1·x 2=31∴|AB|=21k +|x 1-x 2|=411+·212214)(x x x x -+45·3144⨯-=33032425=⨯ ① ②点评：涉及弦的中点问题，可以利用判别式和韦达定理的方法加以解决，也可以利用“点差法”的方法解决此类问题，若知道中点，则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率，比较两种方法，用“点差法”的方法的计算量较少，此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式△加以检验。
点差法计算方法
点差法计算方法解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法来求解。
点差法是一种代点作差的方法，可以将直线和圆锥曲线的方程中的点代入并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以减少运算量。
对于以定点为中点的弦所在直线的方程，可以通过点差法来解决。
例如，在过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分的问题中，设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用中点坐标公式可得到$x_1+x_2=4$和$y_1+y_2=2$。
由于A、B两点在椭圆上，因此$x_1+4y_1=16$和$x_2+4y_2=16$。
将这两个式子相减得到$(x_1-x_2)^2+4(y_1-y_2)^2=4$，因此$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，所求直线的方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+2y-4=0$。
对于探索性问题，如已知双曲线$x^2-y^2=1$，点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，可以假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。
由于这是一道中点弦问题，可以考虑点差法或韦达定理。
假设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，$y_2=\frac{x_1-1}{x_2}$，$y_2=\frac{x_2+2}{x_1}$。
将这两个式子相减得到$2x^2-4x+3=0$，根据双曲线的方程$x^2-y^2=1$可知，直线AB与双曲线不相交，因此被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则有：x = (x1 + x2)/2.y = (y1 + y2)/2又根据椭圆的性质可知，有：x1 - x2)^2/a^2 + (y1 - y2)^2/b^2 = 1又因为直线y = 3x - 2过点M，所以有：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x1 - x2)^2/a^2 + (9x1 - 9x2 + 4)^2/b^2 = 1将x带入直线方程，得到：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x^2/25 + (3x - 2)^2/75 = 1化简得到：4x^2 - 12x + 7 = 0解得x = 1/2或x = 7/4当x = 1/2时，y = 3x - 2 = -3/2，此时P在椭圆上，Q不在椭圆上，不符合题意。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”
专题复习：利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”【知识要点】已知直线与圆锥曲线交于,A B 两点，点00(,)P x y 为弦AB 的中点，由点差法可得出以下公式：1. 椭圆：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b += 2020AB x b k a y =-⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b += 2020AB x a k b y =-⋅2. 双曲线：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b -= 2020AB x b k a y =⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b -= 2020AB x a k b y =⋅3. 抛物线: (1)焦点x 在轴上：2y mx = 02AB mk y =(2)焦点y 在轴上：2x my = 02AB m k x =【例题分析】类型1：已知曲线及弦的中点,求直线【例1】 已知直线l 与椭圆22164x y +=交于过点,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为点(21)P ，， 则直线l 的方程为 .【实战演练】(2009新课标全国卷)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F ，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为 .类型2：已知直线及弦的中点，求曲线【例2】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 .【实战演练1】(2014江西高考)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于,A B 两点，若M 是的中点，则椭圆的离心率为 .【实战演练2】（2013新课标全国I 卷）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点为(1,1)-，则E 的方程为 . 类型3：已知曲线及直线,求弦的中点【例3】已知直线3y x =-+与抛物线22y x =交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 【实战演练】（2013浙江高考）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点(1,0)P -的直线l 交抛物线于,A B 两点，点Q 为AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率为 .【题型强化训练】1.（1）若椭圆2212x y +=的弦被点)21,21(-平分，则这条弦所在直线方程为 . (2)若直线1y x =+与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 2. 已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点横坐标为21，则该椭圆的方程为 .3.已知直线3y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若AB 中点为(2,1)，则该椭圆的离心率为 .4. 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .5．已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ．6. 已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，点(2,2)M 为AB 中点，则AOB S ∆= .7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线过点(0,2)，则AOB ∆的面积AOB S ∆= .8. 已知椭圆13422=+y x 上总有不同的两点关于直线m x y +=4对称,则实数m 的取值范围为 .9.已知椭圆C: 22221x y a b+= (0a b >>)的右焦点为F(2,0),且过点). 直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M(1,02),则直线l 的方程为 . 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F，且经过点(3R ，ABC ∆的三顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,M N P ，且三条边所在直线的斜率分别为123,,k k k ，若1OM ON OP k k k++=-，则123111k k k ++= . 12. 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.13．过点()0,2的直线l 与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为2的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称． （1）求直线l 的方程； （2）求椭圆C 的方程．14.已知椭圆221259x y +=上三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率k .15. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率为2，短轴长为2。
人教版高中数学选修2-1《运用“点差法”巧解中点弦问题》
经过M
3 1, 2
， F1 , F2 是椭
圆C的两个焦点，且 MF1 MF2 （1）求椭圆 C的方程
4
,O为椭圆C的中心。
（2）设P,Q是椭圆C上不同的两点，且O为 MPQ 的重心，
试求 MPQ 的面积
再见
y kx k 1 2 2 2 2 2 联立 消 y 得 (3 4 k ) x 8 k (1 k ) x 4( k 1) 12 0 k ) x1 x2 3 4k 2 ，由题设知
x1 x2 1 ，于是 k 3 。 2 4
运用“点差法”巧解中点弦问题
问题引入：
x2 y 2 已知直线l与椭圆C： 4 3 1 交于A，B两点，
线段AB的中点为
M (1,1)
,求直线AB的方程。
应用1——求直线方程
另解 当直线l的斜率不存在时，M不是AB的中点，不成立； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y 1 k ( x 1)
解 点 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，线段AB的中 P( x0 , y x1 x2 ，则 。由题知 0)
y12 1 2 b ，两式相减整理得 y2 2 1 2 2 y y x x b b 1 2 2 1 2 x1 x2 a y1 y2
y
B
2 3 2 3 x 3 3
迹方程为 x 2 y 0.又中点在椭圆内，所以
注意：求轨迹方程一定要注意x的取值范围？
应用4——定值问题
例4 已知AB是椭圆
x2 y 2 2 1不垂直于x轴的任意一条弦， 2 a b
P是AB的中点，O为椭圆的中心，求证：直线AB与直线
期末点差法求中点弦
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题例1：求弦中点的轨迹方程已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。
解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642121=+y x ，3642222=+y x ，两式相减，得：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ， 因为)2,4(M 为AB 中点，所以有： 4,82121=+=+y y x x ，所以21)(4)(21212121-=++-=--=y y x x x x y y k AB ，故所求直线l 的方程为)4(212--=-x y ，即082=-+y x 。
变式训练1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
（042=-+y x .）例2、存在性问题 已知双曲线1222=-y x ,经过点)1,1(M 能否作一条直线l ,使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点.若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理. 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交,故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l .变式训练2： 已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点,这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点K 满足，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且||||NK MK =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）略： .31ED OK =13422=+y x ，)21,0(K（Ⅱ）分析：∵||||NK MK =，设MN 的中点为H ，则MN KH ⊥，此条件涉及到弦MN 的中点及弦MN 的斜率，故用“点差法” 设),(),,(),,(002211y x H y x N y x M ，直线l 的斜率为k （)0≠k ， 则 12432121=+y x ① 12432222=+y x ② 由①－②得：0430))((4))((30021212121=+⇒=+-++-k y x y y y y x x x x 又∵||||NK MK =，则MN KH ⊥，∴12100-=•-k x y ，从而解得23,200-==y k x ，点),(00y x H 在椭圆内，则21214113422020<<-⇒<⇒<+k k y x 且0≠k 8、已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.证明设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b +=，（2）()()12-得：2222121222x x y y a b--=-，()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OPy y k x x +=+，221AB OPb k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）. 二、双曲线1、过点P (4,1)的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，求l 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减得： 14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. ∴y 2－y 1x 2－x 1＝1，即所求直线l 的斜率为1，∴l 方程为y －1＝x －4，即x －y －3＝0.2、设A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N (1,2)是线段AB 的中点，(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ [分析] 要证明A 、B 、C 、D 四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A 、B 、C 、D 四点共圆，则∵CD 垂直平分AB ，据圆的性质知，圆心在直线CD 上，∴CD 中点M 为圆心，只要证明|AM |＝|MB |＝|CM |＝|MD |即可．[解析] (1)依题意，可设直线AB 方程为y ＝k (x －1)＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，y ＝k (x －1)＋2，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k 2)－2＝0① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵x 1、x 2是方程①的两个不同的实根，所以2－k 2≠0. 由韦达定理得，x 1＋x 2＝2k (2－k )2－k 2.由N (1,2)是AB 的中点得，x 1＋x 22＝1. 即k (2－k )＝2－k 2.解得k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2－y22＝1，得x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (3,4)，B (－1,0)．∵CD 是线段AB 的垂直平分线，所以CD 所在直线方程为y ＝－x ＋3. ⎩⎪⎨⎪⎧由x 2－y 22＝1，y ＝－x ＋3，得x 2＋6x －11＝0. 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，CD 的中点为M (x 0，y 0)．由韦达定理，得x 3＋x 4＝－6，x 3x 4＝－11. 从而x 0＝12(x 3＋x 4)＝－3，y 0＝－x 0＋3＝6.|CD |＝(x 3－x 4)2＋(y 3－y 4)2)＝2(x 3－x 4)2＝2[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝410，|CM |＝|MD |＝210.∵|MA |＝|MB |＝(x 0－x 1)2＋(y 0－y 1)2＝210.∴A 、B 、C 、D 四点到M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆． 3、已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1. 试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由． [分析] 易判断出点B (1,1)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.[解析] 解法一：设被B (1,1)所平分的弦所在的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.∴Δ＝[－2k (k －1)]2－4(k 2－2)(k 2－2k ＋3)>0.解得k <32，且x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2.∵B (1,1)是弦的中点，∴k (k －1)k 2－2＝1，∴k ＝2>32.故不存在被点B (1,1)所平分的弦．解法二：设存在被点B 平分的弦MN ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，①x 22－y222＝1.②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线MN ：y －1＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝2(x －1)，x 2－y 22＝1，消去y 得，2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝－8<0. 这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在． [点评] 由本题可以看到：如果点B 在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在． 如果点B 在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在． 因此，点B 在内部无需检验，点B 在外部必须检验．关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部．4、设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ， ∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x .∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x k y l . 设线段AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：30=⋅x y k ，∴003x ky =.① 由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.②,由①、②得：3,00==y k x . 由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点， ∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴符合题意的k的值存在，2±=k .5、())()()2211221 ,6 ,0 , 513.y x A x y B C x y F AC -=在双曲线的一支上有不同的三点，，，与焦点12的距离成等差数列证明线段的垂直平分线经过某一点,并求出该点坐标.()()2222121122121212AC 121212121212 261213121213, 13121213,12 k1313y 2 213 6, 2y y y x y x x x y y x xx x y y y y x x x x x y x x x +=⨯=-=⨯-=⨯+-+===-+++⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭-=-++解:依题意有，则 ，13故AC 的中垂线方程为，13即由方程知其必.⎛⎫⎪⎝⎭25经过定点0,2三、抛物线1．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x －4y －3＝0 B ．x ＋4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝0[答案] C ，[解析] 设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2.∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4，∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0. 2．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. [答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.3．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求弦AB 所在的直线方程．[答案] 4x －y －15＝0[解析] 解法一：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，② x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③ ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.4、（2004•福建）如图，P 是抛物线C ：y=x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． （Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求的取值范围．【分析】（1）设M （x 0，y 0），欲求点M 的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P ，Q 与中点M 的关系结合中点坐标公式求解， （2）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决． 【解答】解：（Ⅰ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），M （x 0，y 0），依题意x 1≠0，y 1＞0，y 2＞0．由y=x 2，①得y'=x ．∴过点P 的切线的斜率k=x 1， ∴直线l 的斜率k l =﹣=﹣，∴直线l 的方程为y ﹣x 12=﹣（x ﹣x 1），②联立①②消去y ，得x 2+x ﹣x 12﹣2=0．∵M 是PQ 的中点∴x 0==﹣，y 0=x 12﹣（x 0﹣x 1）消去x 1，得y 0=x 02++1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2++1（x ≠0）．方法二：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1＞0，y 2＞0．由y=x 2，① 得y ′=x ．∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1，∴直线l 的斜率k l =﹣=﹣，直线l 的方程为y ﹣x 12=﹣（x ﹣x 1）．②方法一：联立①②消去y ，得x 2+x ﹣x 12﹣2=0．∵M 为PQ 的中点，∴x 0==﹣，y 0=x 12﹣（x 0﹣x 1）．消去x 1，得y 0=x 02++1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2++1（x ≠0）．（Ⅱ）设直线l ：y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T （0，b ）． 分别过P 、Q 作PP'⊥x 轴，QQ'⊥x 轴，垂足分别为P'、Q'，则=．由y=x 2，y=kx+b 消去x ，得y 2﹣2（k 2+b ）y+b 2=0．③ 则y 1+y 2=2（k 2+b ），y 1y 2=b 2．∴=|b|（）≥2|b|=2|b|=2．∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+∞）．5、例（05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=，∴)81,0(,41F p =.设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F.若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 6、243(0),y x y kx k ==+≠若抛物线 上存在关于直线 对称的两点求k 的取值范围.()()()()()()()()22112211221200121212121200000002: ,,30,4,4,4421,. 4, . 23323, 2 4AB A x y B x y y kx k y x y x y y AB p x y y y y y x x k x x y y y y ky y k y kx x k k p =+≠==-∴+-=-=====--+-∴=-=+∴==--∴<解设，是抛物线上关于直线 对称的两点则 设的中点 又点在抛物线内部,-2k ()()()()23232332, 200,230, 130, 1,0,230, 130, 1,-10.k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫--++< ⎪⎝⎭>++<∴+-+<<-<++>∴+-+>>-<<即 当则 即无解. 当则 即故7、已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.证明设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y a b+=，（1）2222221x y a b +=，（2）()()12-得：2222121222x x y y a b --=-，()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP y y k x x +=+，221AB OPb k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）.8、已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是002281282012x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，解得00114x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-. 设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-.又21132y x =，（1）22232y x =，（2）()()12-得：()22121232y y x x -=-，121212323248BC y y k x x y y -∴====--+-.BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=。