随机向量函数
3.3随机向量函数的分布
e y , y 0 Y ~ f2 ( y) y0 0,
因为 X 和 Y 独立,所以
x y
x 0, y 0
其它
求 Z X Y 的密度函数.
b 0时 0, 1 e b be b , b 0时
e e , ( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 0,
ln2 0.2 ln 3 0.2 ln4 0.1
E (2 X Y )2 4 0.1 9 0.1 16 0.3 16 0.2 25 0.2 36 0.1 17.9
E ( XY ) 1 0.1 2 0.3 2 0.2 4 0.1 1.5
x yb b x
f ( x, y )dxdy
0
b x
e y dy
b
x yb
e ( e ) 0 dx e x 1 e x b dx 0
b 0
e x e b dx 1 e b be b 0
b
FZ (b) P Z b P X Y b
例 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从参数为 p 求 的0 — 1分布， max X ,Y 和 min X ,Y 的数学期望.
解 X
0
P 1 p Y P
1 p 1 p
X
0
Y
0
1
Pi X
(1 p )2 p(1 p) 1 p
0
1 p
1
p(1 p)
Y j
p2
p
E max X ,Y
( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 要求 Z max X ,Y 的密度函数.
概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
二维离散随机向量的概率质量函数的定义
二维离散随机向量的概率质量函数的定义概率质量函数是描述随机变量取不同取值的概率分布的函数。
对于二维离散随机向量，概率质量函数描述了两个随机变量同时取不同取值时的概率分布情况。
本文将围绕二维离散随机向量的概率质量函数展开讨论，详细阐述其定义及相关概念。
一、二维离散随机向量的定义我们需要了解二维离散随机向量的概念。
在概率论中，随机向量是指由多个随机变量组成的向量。
二维离散随机向量由两个随机变量构成，在数学上可以表示为(X, Y)，其中X和Y为两个随机变量。
二、概率质量函数的定义概率质量函数是描述随机变量取不同取值时的概率分布情况的函数。
对于二维离散随机向量(X, Y)，其概率质量函数定义为P(X=x, Y=y)，即当随机变量X取值为x，Y取值为y时的概率。
概率质量函数通常用P(X, Y)表示，在不致混淆的情况下也可以简写为P(x, y)。
三、概率质量函数的性质1. 非负性：概率质量函数的取值都是非负数，即P(X, Y) ≥ 0。
2. 规范性：对于所有可能的取值(xi, yj)，概率质量函数的总和为1，即∑∑P(xi, yj) = 1。
3. 可加性：当事件A和事件B互不相容时，它们同时发生的概率为P(A∩B) = P(X=x, Y=y)。
四、如何计算概率质量函数对于二维离散随机向量的概率质量函数，通常需要根据给定的随机变量取值和概率来计算。
在实际问题中，可以通过样本数据来估计概率质量函数，或者通过理论分析来推导。
五、概率质量函数的应用概率质量函数在概率论和统计学中有着重要的应用。
通过概率质量函数，可以描述随机变量取不同取值的概率分布情况，从而进行概率计算、风险评估和决策分析等。
六、总结二维离散随机向量的概率质量函数是描述两个随机变量同时取不同取值的概率分布情况的函数。
其定义及性质为概率论和统计学的基础知识，对于理解随机变量的概率分布以及进行相关应用具有重要意义。
在实际问题中，需要根据具体情况来计算概率质量函数，并结合其他统计方法进行分析和应用。
随机向量的联合分布函数
相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy
大学概率论第三章----随机向量
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
随机向量的特征函数
随机向量的特征函数
随机向量是由多个随机变量组成的向量。
在概率论和统计学中，随机向量是一个重要的研究对象。
特征函数是描述随机变量分布的一种方式，而随机向量的特征函数可以用来描述随机向量的分布。
随机向量的特征函数是一个多元复值函数，定义为所有分量的指数函数的乘积的期望值。
具体来说，如果随机向量X = (X1,
X2, ..., Xn)，则其特征函数φ(t1, t2, ..., tn)定义为：φ(t1, t2, ..., tn) = E[exp(i(t1X1 + t2X2 + ... + tnXn))]
其中i是虚数单位。
特征函数的变量是一个n维向量(t1,
t2, ..., tn)。
随机向量的特征函数具有一些重要的性质。
首先，特征函数是复值函数，因此可以表示为实部和虚部的组合。
其次，特征函数具有唯一性，即如果两个随机向量的特征函数相同，则它们具有相同的分布。
此外，特征函数具有连续性和可微性等性质。
在实际应用中，随机向量的特征函数可以用来求解随机向量的矩、相关系数、协方差矩阵等统计量。
此外，特征函数还可以用于估计随机向量的分布，例如通过逆傅里叶变换将特征函数转换为概率密度函数。
总之，随机向量的特征函数是描述随机向量分布的一种常用工具，具有许多重要的性质和应用。
第3章 第三章随机向量
3 x, 0 x 1, x y x, p ( x, y ) 2 0, 其他 .
问X, Y是否独立？ 解
x 3 2 x x d y 3 x , 0 x 1, p X ( x ) p ( x, y ) d y 2 0, 其他 .
例3 设 (X, Y) 的联合分布列如下, 问X, Y是否独立？
X Y
0 1 2
1 2 20 2 20 4 20
0 1 20 1 20 2 20
2 2 20 2 20 4 20
解
X p
易得X和Y的边缘分布律分别为：
0 1 4 1 1 4 2 2 4 Y p 1 2 5 0 1 5 2 2 5
3.4 条件分布与随机变量的独立性
e
dt
1 e 2
( x ).
pY ( y )
1 e 2
y2 2
( y ).
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3.3 连续型随机向量及分布
本章
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3.4 条件分布与随机变量的独立性
1.离散型条件分布
2.连续型条件分布
3.随机变量的独立性
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3.4 条件分布与随机变量的独立性
( xi , yi )(i, j 1,2,), 且 P( X xi ,Y y j ) pij ,
则我们把它称为(X,Y)的联合分布列.
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3.2 离散型随机向量及分布
联合分布列:
X
Y
x1 xi
随机向量的函数的分布
PART 03
函数的分布
REPORTING
WENKU DESIGN
一元函数的分布
离散型随机变量
对于离散型随机变量，其函数分布可 以通过概率质量函数来描述，表示随 机变量取各个值的概率。
连续型随机变量
对于连续型随机变量，其函数分布可 以通过概率密度函数来描述，表示随 机变量在某个区间内取值的概率密度。
自然语言处理
随机向量的函数在自然语言处理中用于文本表示、情感分析、机器 翻译等任务。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
随机向量与函数的
复合
随机向量和函数可以相互复合， 形成更复杂的数学对象，如随机 过程和随机场等。
PART 05
随机向量的函数的分布求 解方法
REPORTING
WENKU DESIGN
直接法
通过定义或性质直接求解
利用随机向量的函数的定义或性质，直接推导出其分布函数或概率密度函数。
适用范围
适用于一些简单的随机向量函数，如线性函数、二次函数等。
母函数法
母函数的定义与性质
母函数是一种用于描述离散随机变量概率分 布的数学工具，具有独特的性质和运算规则 。
利用母函数求解随机向量的 函数的分布
通过构造随机向量的函数的母函数，并利用母函数 的性质进行求解，可以得到其分布函数或概率密度 函数。
适用范围
适用于离散型随机向量及其函数，且函数的 表达式较为复杂的情况。
协方差和相关系数
函数的变换
对于随机变量的函数，可以通过一些变换得 到新的随机变量，其分布也会发生相应的变 化。常见的变换包括线性变换、非线性变换 等。
对于多元函数的分布，还需要考虑不 同随机变量之间的相关性，通过协方 差和相关系数来衡量。
概率论第3章 随机向量及其分布
例3 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回 两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
设(X, Y)的联合分布律为P{X=xi , Y=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(X, Y)关于X的边缘分布律有
PX xi PX xi ,Y
P X xi , (Y y j )
j 1
P ( X xi ,Y y j )
FX1,X2,L ,Xn x1, x2,L , xn P : X1() x1, X 2 () x2,L , X n () xn
I P : n Xi () xi
i 1
定理3.1.1 设,F, P为概率空间, 随机向量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数为FX1,X2,L ,Xn ,则
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
定理3.1.2 设,F, P为概率空间, X1, X 2,L , X n
为其上的随机向量。
(1) 若X1, X 2,L
,
X
都为离散型随机变量，有分布列
n
P Xi aji ，j 1,2,L ，i 1,2,L ,n，
随机向量的变换
随机向量的变换设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为(,)p x y ，函数(,),(,)u f x y v g x y ==有连续偏导数，且存在惟一的反函数(,),(,),x x u v y y u v ==若(,),(,),U f X Y V g X Y == 则(,)U V 的联合概率密度函数为((,),(,),(,),(,)0,p x u v y u v J u v f g q u v else ⎧=⎨⎩属于的值域，其中J 为坐标变换的雅可比行列式(,)0.(,)xy x y u uJ xy u v vv∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂ 求二维连续型随机变量的函数的分布密度函数有以下两种常用方法：① 直接法：可先求U 的分布函数，这一般是一个二重积分，再通过求导求得U 的密度函数.②（增补变量）变换法：可以引入新的随机变量(,)V h X Y =，先求的联合密度函数，再求关于U 的边缘分布密度函数.例1 设(,)(,),X Y p x y 求U X Y =+的密度函数.解：设,,U X Y V Y =+⎧⎨=⎩ 则1111,01x y xyu u J v v -===-(,)((,),(,)(,).q u v p x u v y u v J p u v v ==- 所以U X Y =+的密度函数()(,).U p u p u v v dv +∞-∞=-⎰特别，当,X Y 独立时U X Y =+的密度函数为()()().U X Y p u p u v p v dv +∞-∞=-⎰例2 设(,)(,),X Y p x y 求U X Y =-的密度函数.解：设,,U X Y V Y =-⎧⎨=⎩ 则1111,01x y xyu u J v v --===(,)((,),(,)(,).q u v p x u v y u v J p u v v ==+所以U X Y =-的密度函数()(,).U p u p u v v dv +∞-∞=+⎰特别，当,X Y 独立时U X Y =-的密度函数为()()().U X Y p u p u v p v dv +∞-∞=+⎰例3 设(,)(,),X Y p x y 求U XY =的密度函数.解：设,,U XY V Y =⎧⎨=⎩ 则1,01x y xyu u y xJ y v v v -====1(,)((,),(,),.u q u v p x u v y u v J p v v v ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以U XY =的密度函数1(),.U u p u p v dv v v+∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰特别，当,X Y 独立时U XY =的密度函数为()1().U X Y u p u p p v dv v v +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰例4 设(,)(,),X Y p x y 求U X Y =的密度函数.解：设,,U X V Y =⎧⎨=⎩ 则21111,01x y xyu u y x y J v v y v--==== ()(,)((,),(,),.q u v p x u v y u v J p uv v v == 所以U X =的密度函数()(),.U p u v p uv v dv +∞-∞=⎰特别，当,X Y 独立时U X Y =的密度函数为()()().U X Y p u v p uv p v dv +∞-∞=⎰。
第三章02二维随机向量函数的分布
i 1
e
1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i）P（Y r i )
i 0
r
e-1
i 0
r
i 1
i!
r
e-2
例5 设( X , Y )服从区域D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 1} 0 上的均匀分布，Z 1
1 f ( x, y ) 2 0
X Y X Y
, 求Z的概率分布。
解 ( X , Y )的密度函数为 ( x, y )D 1 其他
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例8 设随机变量 X 与Y 相互独立，X ~ N 0， 1，Y ~ N 0， 1，
令 Z X Y，试求随机变量 Z 的密度函数．
2
P{Z 0} P{ X Y }
x y
f ( x, y )dxdy (
0
1
1
x
1 1 dy )dx 2 4
3 P{Z 1} 1 P{Z 0} 4
可知Z 服从0 1分布。
1 2
若(X,Y)为连续型二维随机变量，并且Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量，则需要由(X,Y)的密度函 数f(x,y)求随机变量Z的密度函数，通常采用分布 函数法。一般步骤为：
证： 由二项分布知
i pi q n1 i , i 0,1, 2, , n P{ X i} C 1 n1
第11讲 随机向量函数的分布
类似地，可得 N = min {X,Y} 的分布函数 FN(z) = P{N≤z} = 1-P{N>z} = 1-P{X>z, Y>z} = 1- P{X>z} P{Y>z} . 即有 FN(z) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] = FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z) . 下面推广到 n 个相互独立的随机变量的 情况。
2
T的密度函数为：
[( n 1) 2] x f ( x; n ) (1 ) n (n 2) n
2 n 1 2
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常 要比正态分布平坦和分散。随着自由度的增 大，分布也逐渐趋于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t ( n = 13)
t 分布
t (n = 5)
z z ( e e ) ， z 0 ， 故 fZ ( z) 0， z 0.
这一讲，我们介绍了求随机向量函数 的分布的原理和方法，需重点掌握的是： 1.已知联合概率密度f(x,y) ，会求函数Z=X+Y 的概率分布 f ( z ) f ( x, z x)dx .
Z
2. X与Y独立时卷积公式
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx.
3. 最大值、最小值的分布 FM(z) = FX(z) FY(z) .
第6节随机向量函数的分布
例:设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 X0 1
11
p
22
试求 Z maxX ,Y的分布律.
解:Z 可能取的值为 0,1,而 P Z 0 P max X ,Y 0 P X 0,Y 0
P X 0 P Y 0 1 1 1
步骤
2.
fZ
z
FZ'
0，
z ， FZ存在
FZ不存在
y
例(和的分布):设 X ,Y 的联合概率密度为
f x, y ,求 Z X Y 的概率密度 fZ z .
z
解: FZ z P X Y z f x, ydxdy D
第 6 节.随机向量函数的分布
本节讨论已知 X ,Y 的联合分布, g x, y 为实值函数,求 Z g X ,Y
的分布,基本方法:分布函数法,即根据事件相等概率相等原则,将函数的 概率转化为随机自变量的相应概率.
一. 离散型随机向量函数的分布:
例:设 X ,Y 的联合分布律为
X+Y -2
0
1
1
3
4
X-Y 0
-2
-3
3
1
0
从而得到
(1) X+Y -2 0 1 3 4
P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
X-Y -3 -2 0 1 3
(2)
P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
例:设 X,Y 离散相互独立, X ~ P 1 ,Y ~ P 2 ,求 Z X Y 的分布律.
i 1
概率论与数理统计第3章
y
(2)
{Y X } {( X ,Y ) G },
YX
G
O
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
x
f ( x , y ) d x d y
G
0
( 2 x y ) d x y 2e d y
1 . 3
2e ( 2 x y ) , f ( x, y) 0,
(2)
p
i j
ij
1
二维离散型随机向量的联合分布函数为
xi x y j y
p
13
例1
一袋中装有2只白球 则( X , Y )的联合概率分布为 和3只黑球,进行有放 回取球 Y 0 1
X 0 1
1 第一次取出白球 X 0 第一次取出黑球 1 第二次取出白球 Y 0 第二次取出黑球
Y 的边缘概率密度.
25
3 x 3 e x0 边缘密度函数为 例6 求随机向量 (X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数， ( x) f X ( x ) FX x0 已知其联合分布函数为 0
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
9
三、边缘分布函数
( X , Y )为二维随机向量, 联合分布函数为F ( x, y)
X和Y分别也是随机变量 X , Y的分布函数分别记为 FX ( x)和FY ( y) FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } lim F ( x , y ) F ( x , )
4
二、联合分布函数的性质
设 ( X , Y ) 是二维随机向量, 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P { X x , Y y } 称为二维随机向量 ( X , Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
随机向量组具有完全线性函数关系的判定
则Ｐ ｛ Ｙ一 ∑ ａ ｉ ｘ ＋ ｝ 一１ ．
ｉ １
证 明 由已知可 以得 随机 向量 组 Ｘ ， Ｘ ， …，
，
在样本 空 间 Ｓ上 的 ”个 随机 变 量 ， 则称 ｛ Ｘ Ｑ ｏ ） ， Ｘ （ ） ， …， （ ∞ ） ｝ 为定 义在 Ｓ上 的 维 随机 向量 ． 定义 ４ ［ ４ 有 限个 维 数 相 同 的随 机 向量 构 成 的集 合称 为 随机 向量组 ． 记随 机 向量组 Ｘ ， Ｘ ， …， Ｘ ， ｙ 的相 关 系 数
一 一
ｙ线性相关 ， 由 定 理 １即 可得 结 论 成 立 ． 推 论 ２ 若 随机 向量 组 中有 一 部分 随 机 向量
线 性相 关 ， 则整个 随机 向量 组 具有 完 全 线性 函数
关系， 即Ｐ ｛ Ｙ一 ∑ａ ｉ Ｘ ＋ ｝ 一１ ．
ｚ ＝ ｌ
证 明 略 ．
在线 性代 数 中 ， 讨 论 了 向量 组 的线 性 相 关 判 定定 理及 推论 ， 在 概率 论 中讨 论 了两 个 随机 变
证 明 已知存 在一 组不 全 为 ０的数 ｚ ， ｋ ”，
一 一
量 ｘ， ｙ 以概率 １ “ 线性相关 ” 的条件 为 Ｉ ｜ Ｄ ｘ ｙ ｌ 一
函 数 关系 ， 即Ｐ ｛ 一∑ａ ｉ ＋ ） 一１ 成立 的 几 个 定 理．
ｉ＝ ｌ
关键词 ： 随机向量组 ； 线性 关 系 ； 判 定 定理
［ 中图分类－ ￣＇ １ ０１ ５ １ ． ２ ４
［ 文 献 标 志码 ］ Ａ
［ 文章编号］ １ ０ ０ ３ — ６ １ ８ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ０ ０ ３ — ０ １
２ ０ １ ３年 第 ４期 （ 总第 ８ ５期 ）
10-第10讲 随机向量函数的分布
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第10讲 随机向量函数的分布
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第三章 随机向量及其分布
理解多维随机变量的定义。 理解多维随机变量的分布函数及其性质。 了解多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握多维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、随机变
FY(y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y } FX( y ) FX( y ).
将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为
1 2 y [fX( y ) fX( y )], fY(y) 0,
例如设X~N(0,1), 其概率密度为
时上述积分的被积函数不等于零.
x x=10
x=z
x=z10
O
10
20
z
z 因此 f(z)f(z x)dx, 0 z 10, 0 10 fR(z) f(z)f(z x)dx, 10 z 20, z10 0, 其它. 将f(z)的表达式代入上式得
10 x 50 , 0 x 10, f(x) 0, 其它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
解 由(5.4)式, R的概率密度为
fR(z) f(x)f(z x)dx.
易知仅当
0 x 10, 0 x 10, 即 0 z x 10, z 10 x z
i
~N(0,1) (i 1,2, ,n), 则称随机变量
χ X X X
2 2 1 2 2
2 n
服从自由度为n的c2分布, 记为c2~c2(n).
随机向量
布. 2） X , X ,, X ) ~ F ( x , x ,, x ) （ ( 1 2 n 1 2 n
Fi ( xi ) F (,, , xi , ,, ),
i 1, 2, , n
例3.1.1 设二维随机向量 X , Y 的联合分布 函数为
对于x,当y2 y1时，有F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
3 F ( x, y)关于变量 x 和 y 右连续。
o
即F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4 0 F ( ,) xlim F ( x , y ) 1.
即 P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
xi x , y j y
pij
4、边缘概率分布
p P{ X xi } P{ X x ,Y } i
X i
P{ X xi ,Y y j } pij , i 1, 2,
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0,
x
y
x
o y
x
F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个 二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。
x, y
x
记作( X , Y ) ~ F ( x, y)
3-3随机向量函数的分布与期望
xz y
y
0, 其他
当z
0时，FZ (z)
P{ X Y
z}
o
xx z
y
x z y
f ( x, y)dxdy 0 xz y
当z 0时，
F (z)
P{ X Y
z}
f ( x, y)dxdy xz y
1 S(DG) 2
1
z 4
, 1
,
z
0 z 2 z2
y
xz y
o
x z y
ex , x 0
X1
~
f
X1
(
x)
0,
其它
,
ey , y 0
X2
~
f
X2
(
y)
0,
其它
由卷积公式得 fZ (z)
fX1 ( x) fX2 (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
x0
z
x
0
即 0 xz
f Z
(z)
z e x e ( z x )dx
0
0,
aX
bY
~
N (a1
b2
,
a
2
2 1
b2
2 2
),
其中a, b不全为0.
练习：X ~ N(2,1),Y ~ N(2,1),且X与Y相互独立，
设Z X 2Y 7,则Z ~
(2)例题讲述
例1
P114 26
X1
~
e(1 ),
X2
~
e(2
)，且X1与X
相互独立，
2
求X1
X
的密度函数。
2
解：令Z X1 X2 ,设Z ~ fZ (z)
随机向量函数的分布与数学期望
0
G1 yz
G2
f ( x , y ) d x d y yz f ( x , y) d x d y, O
0
x
G2
令u x y ,
f ( x , y ) d x d y 0 f ( x, y ) d x d y
G1
yz
0
z
yf ( yu, y ) d u d y
i , j: g ( xi , y j ) z k
P{ X xi , Y y j }.
表上作业法
Z X Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解
P (Z r) P (X Y r)
z y
y y 0
化成累次积分,得
x
x y z
FZ ( z )
得
[
f ( x , y ) dx ]dy
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
FZ ( z )
[
z
z
f ( u y , y ) du ]dy
变量代换
交换积分次序
P ( X i,Y r i ) P ( X i ) P (Y r i )
i0 i0 r
r
由独立性
=a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
水瓶座是一个富有开拓 精神的人。水瓶座的人 思维能力高于本能，是 个先锋派人 b(n, p)，且独立， 则 Z = X+ Y b(m+n, p).
随机向量的特征函数
随机向量的特征函数随机向量是指由多个随机变量构成的向量。
特征函数是指一个随机变量的复值函数，可以唯一地确定该随机变量的分布，同时也可以用于研究随机变量间的独立性和相关性等。
那么，随机向量的特征函数又是什么呢？首先，我们可以将随机向量表示为$\textbf{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T$，其中$X_i$为随机变量，$n$为该随机向量的维数。
然后，我们可以定义该随机向量的特征函数为：$$\phi_{\textbf{X}}(\textbf{t})=\mathbb{E}[e^{i\textbf{t}^T\textbf{X}}]=\mathbb{E}\left[e^{it_1X_1+it_2X_2+\cdots+it_nX_n}\r ight]$$其中，$\textbf{t}=(t_1,t_2,\cdots,t_n)^T$为一个实值向量。
特别地，当$\textbf{t}=\textbf{0}$时，我们有：$$\phi_{\textbf{X}}(\textbf{0})=\mathbb{E}[e^0]=1$$这也是特征函数的一个性质：特征函数在原点处的值始终为1。
特征函数有以下几个重要的性质：1. 独立性：若$\textbf{X}$和$\textbf{Y}$为两个独立的随机向量，则$\phi_{\textbf{X}+\textbf{Y}}(\textbf{t})=\phi_{\textbf{X}}(\ textbf{t})\cdot\phi_{\textbf{Y}}(\textbf{t})$。
2. 稳定性：若$\textbf{X}$和$\textbf{Y}$具有相同的分布，则它们的特征函数相同，即$\phi_{\textbf{X}}(\textbf{t})=\phi_{\textbf{Y}}(\textbf{t})$。
3. 连续性：若$\textbf{X}$的特征函数$\phi_{\textbf{X}}(\textbf{t})$在某一点$\textbf{t}_0$处可微，则其在该点的导数$\frac{\partial}{\partial\textbf{t}}\phi_{\textbf{X}}(\textbf {t})|_{\textbf{t}=\textbf{t}_0}$等于该点处的特征函数$\phi_{\textbf{X}}(\textbf{t}_0)$的傅里叶变换。
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2012-11-21
第三章 二维随机变量
(ii)并联情况
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
由于当且仅当 L1 , L2 都损坏时, 系统 L 才停止工作, 所以这时 L 的寿命为 Z max( X ,Y ). Z max( X ,Y ) 的分布函数为
(1 e αz )(1 e βz ), z 0, Fmax ( z ) FX ( z ) FY ( z ) z 0. 0, αe αz βe βz (α β )e ( α β ) z , z 0, fmax ( z ) z 0. 0,
设一年中7、8月份的长江最高洪峰分别为X,Y, Z=max(X,Y)有助于安全标准的制定。
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
1、和的分布Z=X+Y 2、极值分布Z=min(X,Y),max (X,Y)
2012-11-21
第三章 二维随机变量
二、离散型随机变量函数分布
2012-11-21
第三章 二维随机变量
故有
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ),
Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
2012-11-21
第三章 二维随机变量
设系统L由两个相互独立的子系统 L1 , L2
第五讲 二维随机变量函数
周世祥 山东理工大学理学院 2012年11月22日
2006-05-15
一、问题的引入
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
二、离散型二维随机变量的函数 三、连续型二维随机变量的函数
四、小结
2012-11-21
第三章 二维随机变量
一、问题的引入
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
即: 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则 X+Y～B(n1+n2,p)
二项分布的可加性
类似可得: 若X,Y相互独立,X~π(λ1),Y~π(λ2), 则 X+Y~π(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
P{ X C
k1 n1
1
k1 , X 2 k 2 }
k1 n1 k1
p (1 p )
C p (1 p )
k2 n2 k2
n2 k 2
k1 k 2 k
2012-11-21
k1 k 2 k
k k C n11 C n22 p k (1 p) n1 n2 k
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 Y 2 4 X 1 3
P P 0.3 0.7 求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解答略： Z X Y pk
0.6
0.4
3 0.18
5 0.54
7 0.28
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
例1 设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为 X Y 0 1
0
1
3/10
3/10
3/10
1/10
求 (1) Z1 X Y , (2) Z 2 XY , （3）Z 3 max{ X , Y } 的分布律.
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第三章 二维随机变量
当 z 0 时, f ( z ) 0,
于是 Z X Y 的概率密度为 αβ [e αz e βz ], z 0, f (z) β α 0, z 0.
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第三章 二维随机变量
推广
设 X 1 , X 2 ,, X n 是 n 个相互独立的随机变
解 (i)串联情况
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为
Z min( X ,Y ).
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
αe αx , x 0, 由 f X ( x) x 0, 0,
第三章 二维随机变量
k k k 由 C n11 C n22 C n1 n2得 k1 k 2 k
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
P{Y k} C
k n1 n2
p (1 p)
k
n1 n2 k
所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2,p)
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
量, 它们的分布函数分别为 FX i ( xi ), ( i 1,2,, n)
则M max( X 1 , X 2 ,, X n )及N min( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布函数分别为 Fmax ( z ) FX1 ( z ) FX 2 ( z ) FX n ( z ),
fZ (z) 或 fZ (z)
f X ( z y ) fY ( y ) d y ,
f X ( x ) fY 第三章 二维随机变量
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
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第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
αe αx , x 0, f X ( x) x 0, 0,
βe βy , y 0, fY ( y ) y 0, 0,
其中 α 0, β 0 且 α β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
联接而成, 连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用(当系统 L1 损坏时, 系统L2 开始工作 ), 如 图所示. X L1
Y L2
L1 L2
X Y
L1 X Y L2
设 L1 , L2 的寿命分别为 X ,Y ,已知它们的概率密 度分别为
第三章 二维随机变量
得
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
1 fZ (z) e 2
1 e 2
z2 4
x2 2
e
( z x )2 2
dx
dx
e
z 2 x 2
z t x 2
1 e 2
z2 4
e
t 2
fZ (z)
z
由此可得概率密度函数为
f ( z y, y ) d y.
由于X 与Y 对称, f Z ( z )
f ( x , z x ) d x .
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第三章 二维随机变量
当 X, Y 独立时, f Z (z )也可表示为
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
解
1 e 由于 f X ( x ) 2 1 fY ( y ) e 2
x2 2
, x , , y ,
y2 2
由公式
fZ (z)
f X ( x ) fY ( z x ) d x ,
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Z ~ N ( μ1 μ2 , σ σ ).
2 1 2 2
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.
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第三章 二维随机变量
3. M max( X , Y )及N min( X , Y )的分布
设 X ,Y 是两个相互独立的随机变量, 它们
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
例3* 设随机变量X1与X2相互独立，分别服 从二项分布b(n1,p)和b(n1,p)，求Y=X1+X2 的 概率分布.
解 依题知Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因 此对于k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由独立性有
P{Y k}
k1 k 2 k
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第三章 二维随机变量
三、连续型随机变量函数分布
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为f ( x , y ), 则Z X Y 的分布函数为
FZ ( z ) P{ Z z }
[
z y
Fmin ( z ) 1 [1 FX1 ( z )][1 FX 2 ( z )][1 FX n ( z )]. 若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立且具有相同的分布函数
dt
1 2
e
z2 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
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第三章 二维随机变量
说明
2 一般 , 设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1 , σ1 ),Y ~ 2 N ( μ2 , σ 2 ).则 Z X Y 仍然服从正态分布 , 且有
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量