平均指标与标志变异指标

若资料未分组，简单几何平均数计算公式：
G n x1 x2 x3 xn
若资料已分组，加权几何平均数计算公式：
G
f
x x x x f1 f2 f3
权算术平均数。其计算公式为：
n
X i fi
X
i 1 n
fi
i 1
式中： X（i 或X） fi (或f )
——标志值 ——标志值 Xi(或X )出现的次数或权数
n
——组数
n
Xi fi (或 Xf ) ——标志总量
i1
【例】下表资料是经过分组整理的，已知日产量 及工人人数，则加权算术平均数计算如下：
日产量x（件）
15 16 17 18 合计
工人人数f（人） 12 38 40 20 110
总产量xf（件） 180 608 680 360 1828
该企业加工车间生产工人的平均日产量为：
X 1512 1638 17 40 18 20 1828 16.6件
12 38 40 20
110
【例】设某厂职工按日产量分组后所得组距数 列如下，据此求平均日产量。
按日产量分组 (千克) 60 以下 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100
100 – 110 110 以上 合计
组中值X (千克) 55 65 75 85 95 105 115 -
工人数f (人) 10 19 50 36 27 14 8 164
Xf
550 1235 3750 3060 2565 1470
调和平均数 X h
几何平均数
众数
XG
位置平均数
Mo
中位数
Me
二、算术平均数
算术平均数是指将总体标志总量除以同一总体单 位总数得到的平均指标。算术平均数的基本计算 公式如下：
算术平均数 总体标志总量 总体单位总数
（一）简单算术平均数
将总体各单位的标志值相加，然后除以标志值项数(即总体 单位数)而得到的平均数叫简单算术平均数。其计算公式为：
n
X X1 X 2 X 3 X n i1 X i
N
N
式中：
X ——算术平均数 X i ——第i个单位的标志值，i＝1，2，3,…,n N ——总体单位数
——总和
【例】某企业有5名职工，其月工资分别 为：5000元、5500元、6000元、7000 元、8000元。则5名职工的月平均工资为：
13.85元 / kg
10 15 20
【例】接上例，如果每种水果各买了15元、 20元、25元，则三种水果的平均价格为：
H 15 20 25 14.71元 / kg
15 20 25 10 15 20
算术平均数和调和平均数的选择
联系：
a、两种平均数经济意义相同。
b、调和平均数常作为算术平均数的变形使 用。
第五 平均指标与标志变异指标
第一节 平均指标 第二节 标志变异指标
一、平均指标的概念、作用和种类
（一）平均指标的概念 平均指标是反映同质总体各单位某一数量标志值
或同一总体指标在不同时间上一般水平的一种综 合性指标。 平均指标是反映社会现象和自然现象数量特征一 般水平的一种统计指标，又称平均数。
920 13550
平均日产量 X
X
f
f
13550 82.62(千克) 164
加权算数平均数——适用于总体资料经过分组 整理形成变量数列的情况。
在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数 系数来求加权算术平均数，其公式为：
X Xf X f
f
f
按日产量分组 (千克) 60 以下 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100
100 – 110 110 以上 合计
组中值X (千克) 55 65 75 85 95 105 115 -
工人数f (人)
f
f / ∑f
10
0.06
19
0.12
50
0.30
36
0.22
27
0.16
14
0.09
8
0.05
164
1.00
3.3 7.8 22.5 18.7 15.2 9.45 5.75 82.7
三、调和平均数
调和平均数又称“倒数平均数”，它是指各变量值 倒数的算术平均数的倒数。 分为简单调和平均数和加 权调和平均数。
简单调和平均数的计算公式为：
1
1 X1
1 X2
1 X3
1 Xn
即
XH
N
X H
1
1
N 1
1
N 1
X1 X2 X3
Xn
X
设m为权数，则加权调和平均数的计算公式为：
1
m1 m2 m3 mn
X1 X2 X3
Xn
则
XH
m1 m2 m3 mn
n
X H
m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mn
mi
i1
n mi
X1 X 2 X 3
X n X i1 i
【例】有三种水果的单价每千克分别为10元、15 元、20元，且三种水果各买了1元，则三种水果 的平均价格为：
H
111 11 1
m xf ，f m x
X
xf f
x
m x
m x
m
m x
Xh
区别：
1、计算平均指标时，如果资料中没有直接给出 所计算指标的分子数，就要选择算术平均数的 公式。
2、计算平均指标时，如果没有直接给出所计算 指标的分母数，应选择调和平均数的公式。
四、几何平均数
几何平均数是n个变量连乘只的n次方根。分为简单 几何平均数和加权几何平均数。
(三)算术平均数的数学性质
1、将变量数列中每一个变量值减一个不为零的任意 常数 ，则算术平均数也相应减该任意常数 。
2、将变量数列中的每一个变量值除以一个不为零的 任意常数d，则算术平均数也相应除以该任意常数d。
3、各变量与其算术平均数离差之和为零。 4、各变量值与其平均数离差平方之和为最小值。
X x1 x2 x3 x4 x5 5000 5500 6000 7000 8000 31500 6300元
n
5
5
简单算数平均数——适用于总体资料 未经分组整理、尚为原始资料的情况。
（二）加权算术平均数
用各组变量值乘以各组的单位数(即相应的次数)，加总求出
总体标志总量，然后再除以总体单位数求得的平均数即是加
（二）平均指标的作用
1．用来比较不同国家、地区、单位或部门、行 业之间某种现象一般水平的差距。
2．用来比较同一国家、地区、单位或部门、行 业在不同时期某现象一般水平的发展变化情况。
3．用来分析现象之间的相互依存关系。 4．用来进行有关推算和预测。
（三）平均指标的种类
算术平均数 X
数值平均数