马氏链预测模型

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第十一章 马氏链模型

第十一章 马氏链模型

设投保 a1(n) 0 时疾病 a2(n) 1
0.7 0.77 0.777 … 7/9 0.3 0.33 0.333 … 2/9
n时状态概率趋于稳定值,稳定值与初始状态无关
健康与疾病
例2. 健康和疾病状态同上,Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病
死亡为第3种状态,记Xn=3 0.8
0.18
0.25
有r个吸收状态的吸收链 的转移概率阵标准形式
P
Irr R
0 R有非 Q 零元素
M(IQ)1
Qs s0
y (y 1 ,y 2 , y k r) M
e(1 ,1 , ,1 )T
yi ~ 从第 i 个非吸收状态出发,被某个 吸收状态吸收前的平均转移次数。
11.2 钢琴销售的存贮策略
背景与问题
钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计,平均每周的钢琴需求为1架 存贮策略:每周末检查库存量,仅当库存量为零时, 才订购3架供下周销售;否则,不订购。
=a:2b:c
状态定义为配对的基因类型组合
动时,最终结果有多大变化。
设Dn服从均值为
的波松分布
状态转移阵
P (D n k ) k e /k !,( k 0 ,1 ,2 )
e 0
1e
P
e
e
1(1)e
2e/2 e 1(2/2)e
第n周(n充分大)失去销售机会的概率 PP(DnSn)
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
P 0.073 0.089 0.105 0.122 0.139
p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02
0.65
1
2

基于马氏链的股票价格预测模型

基于马氏链的股票价格预测模型
2 8年 第1崔 6月 04 第2 0
J OURNAL OF JANGSU TE I ACHERS UNI VERS T OF I Y TECHNOLOG。( a Y t
江 苏技 术师 范学 院学报 ( 自然 科 学 版)inceEdiin e t0 S c
Vo.4. . 11 No2
关键词 : 股票价格 ;马尔科 夫链 ; 预测模型
中图分类号 : 2 1 O 1. 6 文献标识码 : A 文章 编号 :17 — 2 2 2 0 )2 0 3 — 6 6 4 22 (0 80 — 0 3 0
0 引 言
从现象上看, 股票价格与商 品价格一样, 都是由供求关系决定的。 当供过于求时, 股票价格就下跌 ; 当

( 3 )
() 4
选取置信度 , 查表得 ( 一 ) , ( 1 )如果 2 (一 ) 则认 为符合 马 氏链 。可建 立马 氏链 预测模 型 。 ^ ( 1 2 )
+ £ l2 … , , 。 y ( , , J) = 7 、
2 实 例分 析
作为实例, 下面利用该方法采用深市桂林旅游( 0 09 8 04 7 1日一 08 4 3 S 007 ) 0 年 月 Z 2 20 年 月 0日( 0 9 0 个交易 日 的历史行情相关数据( ) 见表 1, )讨论该股的预测问题。
1 马 尔 可 夫 链 预 测 模 型
11 马 尔科 夫链 基本 概 念 .
马尔科夫过程是研究事物的状态及其转移的理论, 它既适合于时间序列, 又适用于空间序列, 一个时
间与状态都是离散的马尔科夫过程 叫马尔科夫链 。马尔科夫链 的特点是作为一种特殊的随机事件序列,
其序列的所有历史信息都可通过其现在的状态来 , 看成是一随机时间序列, t , , Ⅳ) = 通过 M tb画出价格一时间图, aa l 利用

股票价格的马氏链预测模型

股票价格的马氏链预测模型
第3 O卷 第 3期 21 0 0年 9月
数 学理论与应用
MATHEMAnC ALTHE ORY AND P CAT ONS AP LI I
V0. O No 3 】3 . S p 00 e .2 1
股 票 价 格 的 马 氏 链 预 测 模 型
孟银凤 李 i to o lby M a k v Ch i t c i e Pr d c i n M de r o an
Me g Yi fn LiRo g Ha n ne g nh
( col f te a cl ine hni nvri , a un 0 00 ) Sho o h m t a S ec ,Sax ie t T i a , 30 6 Ma i c U sy y
马 氏链 预测模 型 : S = q + 。 () 4
2 实例 分 析
作为一 个实 例 , 以下 将采 用该 方法对 申华 控股 (0 63 2 0 60 5 ) 05年 9月 8日到 20 0 9年 4月 1 日(0 5 90个交 易 日) 的历 史行 情相关 数据 进行分 析 , 测该股 的趋 势 。 预 设 S, t=l … ,0 , 90是股 票价格 的时 间序列 , 利用 多项 式拟 合 ( 不 同 阶次 多项 式 进行 拟 取
收稿 日期 :0 0年 6月 3 21 0日
数学理论与应用
上 下波 动。现令
q 。=S 一尺 ( t= 12 3 …Ⅳ) ,,, 。 () 1
那么 Q 可看作是由许多随机因素影响形成的, q 所能取到的最小值 a 和最大值 口 所限定 | 对 。 的区间划分成若干小区间 : 口 , ,1 , : , n , ) 再记 I [ 。0) [ 口) …[ 口 , 2 k=[ ,I , 口 口) k=12 …, ,,

马尔可夫链模型及其在预测模型中的应用

马尔可夫链模型及其在预测模型中的应用

马尔可夫链模型及其在预测模型中的应用马尔可夫链模型是一个重要的数学模型,在各种预测问题中都有广泛应用。

该模型描述的是一个随机过程,在每一个时间步骤上,其状态可以从当前状态转移到另一个状态,并且转移的概率只与当前状态有关,而与历史状态无关。

这种性质被称为“马尔可夫性”。

本文将介绍马尔可夫链模型的基本原理和应用,以及相关的统计方法和算法。

马尔可夫链模型的构造方法通常是通过定义状态空间和状态之间的转移概率来完成的。

状态空间是指可能的状态集合,而状态之间的转移概率则是指在一个时间步骤上从一个状态转移到另一个状态的概率。

这些转移概率通常被表示为一个矩阵,称为转移矩阵。

转移矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。

马尔可夫链模型的重要性在于它对于许多实际问题的数学描述,因为很多现象都符合马尔可夫过程的特点,即时间上的无后效性,即系统的当前状态仅仅依赖于它的上一个状态。

比如,一个天气预测问题,天气系统的状态可以描述为“晴、雨、阴”,在每一个时间步骤上,系统可能会转移到另一个状态,转移概率可以根据历史天气数据进行估计。

马尔可夫链模型可以用于各种预测问题,如下一个状态的预测、状态序列的预测以及时间序列的预测。

对于下一个状态的预测问题,我们可以使用当前状态的转移矩阵来计算目标状态的概率分布。

对于状态序列的预测,我们可以利用当前状态的转移概率估计下一个状态的状态分布,并重复该过程,直到预测的序列达到一定的长度为止。

对于时间序列的预测,我们可以将时间序列转化为状态序列,并将时间作为状态的一个特征进行建模,在此基础上进行预测。

马尔可夫链模型也可以用于分析时间序列数据的特性。

例如,可以使用马尔可夫过程来检测时间序列数据中的周期性、趋势和季节性等特征。

这些特征可以反映时间序列数据的长期和短期变化情况,为精确的预测提供了基础。

对于马尔可夫链模型的参数估计问题,通常使用统计学习方法来完成。

常见的方法包括极大似然估计、贝叶斯估计以及最大后验估计等。

《马氏链模型》课件

《马氏链模型》课件
以用于天气预测, 根据历史天气数据预测未来的天 气情况。
马氏链模型的求解
1
平稳分布
马氏链模型的平稳分布是指随着时间的推移,状态转移概率趋于稳定的情况。
2
极限行为
马氏链模型在假设条件下,其极限行为会收敛到一个稳定的状态。
马氏链模型的改进
1
非齐次马氏链模型
非齐次马氏链模型考虑了不同时间段的状态转移概率的变化。
2
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是马氏链模型的扩展,同时考虑了状态转移和决策的影响。
总结
马氏链模型的优点
马氏链模型能够描述状态转移的概率,并用于解决 实际问题。
马氏链模型的应用前景
马氏链模型在各个领域具有广泛的应用前景,可以 帮助解决实际问题。
《马氏链模型》PPT课件
马氏链模型是概率论中的重要工具,它描述了一个系统按照一定的概率从一 个状态转移到另一个状态的过程。
什么是马氏链模型?
马氏链模型是描述系统状态转移的数学模型,它具有马氏性质,即下一个状 态只依赖于当前状态,与之前的状态无关。
马氏链模型的特点
状态转移概率
马氏链模型中的每一个状态都有一定的概率转移到其他的状态。
马链的齐次性
马氏链模型的转移概率在时间上保持不变,不受时间影响。
时间齐次性
时间齐次性指的是马氏链模型的转移概率与时间的长度无关,只与当前状态有关。
马氏链模型的应用
随机游走问题
随机游走问题是马氏链模型的一 个重要应用领域,它可以描述在 随机环境下的随机漫步过程。
网站访问模型
马氏链模型可以用于描述网站访 问行为,帮助优化页面设计和内 容推荐。

马氏链模型

马氏链模型

完全 优势 基因 遗传
完全优势基因遗传
3种基因类型:dd~优种D, dr~混种H, rr~劣种R 父母基因类型决定后代各种基因类型的概率
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R 0 1 0 0 1/4 1/2 D H DD 1 0 RR 0 0 DH 1/2 1/2 DR 0 1 HH 1/4 1/2 HR 0 1/2
该稳定值与初始状态无关。
a1 ( n + 1) p11 a ( n + 1) = p 1 2 12 p21 a1 ( n) p11 a ( n) = p p22 2 12
p21 a1 (0) p22 a2 (0)
n
马氏链模型理论
马氏链的基本方程
随机繁殖
假设
讨论基因类型的演变情况
设群体中雄性、雌性的比例相等,基因类 型的分布相同(记作D:H:R) 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配, 其后代随机地继承它们的各一个基因 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c (a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R 0 1 0 0 1/4 1/2 D H DD 1 0 RR 0 0 DH 1/2 1/2 DR 0 1 HH 1/4 1/2 HR 0 1/2
当父母均为DD时,子女为DD的概率为1,其他为零 当父母均为RR时,子女为RR的概率为1,其他为零
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R D H
5 2 2 5 y = Me = ( 4 , 6 , 5 , 4 ) 6 3 3 6

(完整版)马氏链模型及matlab程序

(完整版)马氏链模型及matlab程序

一、用法,用来干什么,什么时候用 二、步骤,前因后果,算法的步骤,公式 三、程序 四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链(Markov chain )的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律,并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。

什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析, 主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向,来预测它在未来某特定区间可能产生的变动,作为提供某种决策的依 据。

马尔可夫链的基本原理我们知道,要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况,比如说第n 季度是畅销还是滞销,用一个随机变量X n 便可以了,但要描述未来所有时期的情况,则需要一系列的随机变量 X 1,X 2,…,X n ,….称{ X t ,t ∈T ,T 是参数集}为随机过程,{ X t }的取值集合称为状态空间.若随机过程{ X n }的参数为非负整数, X n 为离散随机变量,且{ X n }具有无后效性(或称马尔可夫性),则称这一随机过程为马尔可夫链(简称马氏链).所谓无后效性,直观地说,就是如果把{ X n }的参数n 看作时间的话,那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关,而与过去取什么值无关.对具有N 个状态的马氏链,描述它的概率性质,最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率:N j i n p i X j X P j i n n ,,2,1,)()|(1若假定上式与n 无关,即 )()1()0(n p p p j i j i j i ,则可记为j i p (此时,称过程是平稳的),并记N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211(1) 称为转移概率矩阵.转移概率矩阵具有下述性质:(1)N j i p j i ,,2,1,,0 .即每个元素非负.(2)N i p Nj j i ,,2,1,11.即矩阵每行的元素和等于1.如果我们考虑状态多次转移的情况,则有过程在n 时刻处于状态i ,n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率:N j i n p i X j X P k j i n k n ,,2,1,)()|()(同样由平稳性,上式概率与n 无关,可写成)(k j i p .记)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P(2)称为k 步转移概率矩阵.其中)(k j i p 具有性质:N j i p k ji ,,2,1,,0)( ; N i p Nj k j i ,,2,1,11)( .一般地有,若P 为一步转移矩阵,则k 步转移矩阵)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P(3) (2)状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中,系统状态的转移概率的估算非常重要.估算的方法通常有两种:一是主观概率法,它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解,对事件发生的可能性大小的一种主观估计,这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用.二是统计估算法,现通过实例介绍如下.例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况,得到表1.试求其销售状态的转移概率矩阵.表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 (畅销) 7 1(畅销) 13 1(畅销) 19 2(滞销)2 1(畅销) 8 1(畅销) 14 1(畅销) 20 1(畅销)3 2(滞销) 9 1(畅销) 15 2(滞销) 21 2(滞销)4 1(畅销) 10 2(滞销) 16 2(滞销) 22 1(畅销)5 2(滞销) 11 1(畅销) 17 1(畅销) 23 1(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据,其中有15个季度畅销,9个季度滞销,连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7,连续滞销的次数为2.由此,可得到下面的市场状态转移情况表(表2).表2 市场状态转移情况表现计算转移概率.以频率代替概率,可得连续畅销的概率:1170.5151p连续出现畅销的次数出现畅销的次数分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销,无后续记录,需减1.同样得由畅销转入滞销的概率:1270.5151p畅销转入滞销的次数出现畅销的次数滞销转入畅销的概率:2170.789p滞销转入畅销的次数出现滞销的次数连续滞销的概率:2220.229p连续滞销的次数出现滞销的次数综上,得销售状态转移概率矩阵为:22.078.05.05.022211211p pp p P 从上面的计算过程知,所求转移概率矩阵P 的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到,即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可:77711p 77712p 27721p 77222p Matlab 程序:format rat clca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1]; for i=1:2 for j=1:2f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end fni=(sum(f'))' for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p由此,推广到一般情况,我们得到估计转移概率的方法:假定系统有m 种状态S 1,S 2,…,S m ,根据系统的状态转移的历史记录,得到表3的统计表格,以j i pˆ表示系统从状态i 转移到状态j 的转移概率估计值,则由表3的数据计算估计值的公式如下:表3 系统状态转移情况表(3)带利润的马氏链在马氏链模型中,随着时间的推移,系统的状态可能发生转移,这种转移常常会引起某种经济指标的变化.如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种,在时间变化过程中,有时呈连续畅销或连续滞销,有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销,每次转移不是盈利就是亏本.假定连续畅销时盈r 11元,连续滞销时亏本r 22元,由畅销转为滞销盈利r 12元,由滞销转为畅销盈利r 21元,这种随着系统的状态转移,赋予一定利润的马氏链,称为有利润的马氏链.对于一般的具有转移矩阵N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211的马氏链,当系统由i 转移到j 时,赋予利润r ij (i ,j =1,2,…,N ),则称N N N N N N r r r r r r r r r R212222111211 (5) 为系统的利润矩阵,r ij >0称为盈利,r ij <0称为亏本,r ij = 0称为不亏不盈.随着时间的变化,系统的状态不断地转移,从而可得到一系列利润,由于状态的转移是随机的,因而一系列的利润是随机变量,其概率关系由马氏链的转移概率决定.例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵,得到一步利润随机变量)1(1x 、)1(2x 的概率分布分别为:其中 p 11+ p 12 = 1 ,p 21+ p 22 = 1.如果药品处于畅销阶段,即销售状态为i =1,我们想知道,经过n 个季度以后,期望获得的利润是多少?为此,引入一些计算公式.首先,定义)(n i v 为抗病毒药现在处于)2,1( i i ,经过n 步转移之后的总期望利润,则一步转移的期望利润为:212211)1()1()(j j i j i i i i i i i p r p r p r x E v其中)()1(i x E 是随机变量)1(i x 的数学期望.二步转移的期望利润为:21)1(2)1(221)1(11)2()2(][][][)(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v其中随机变量)2(ix (称为二步利润随机变量)的分布为:2,1,)()1()2( j p v r x P j i j j i i例如,若6.04.05.05.0P ,7339R则抗病毒药销售的一步利润随机变量:抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为:65.035.09)(12121111)1(1)1(1 p r p r x E v 36.074.03)(22222121)1(2)1(2 p r p r x E v二步利润随机变量为:抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为:12)1(21211)1(111)2(1)2(1][][)(p v r p v r x E v5.75.0)33(5.0)69(22)1(22221)1(121)2(2)2(2][][)(p v r p v r x E v4.26.0)37(4.0)63(一般地定义k 步转移利润随机变量),2,1()(N i x k i的分布为:N j p v r x P ji k j j i k i ,2,1)()1()(则系统处于状态i 经过k 步转移后所得的期望利润)(k iv 的递推计算式为:j i k j Nj j i k i k i p v r x E v )()()1(1)()(Nj j i k j i Nj j i k j Nj j i j i p v v p v p r 1)1()1(1)1(1(6)当k =1时,规定边界条件0)0( iv .称一步转移的期望利润为即时的期望利润,并记N i q v i i ,2,1,)1( .可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象(购买力相当的医院、药店等)中,买A 、B 、C 三药厂的各有400家、300家、300家,预测A 、B 、C 三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。

(完整版)马氏链模型及matlab程序

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一、用法,用来干什么,什么时候用 二、步骤,前因后果,算法的步骤,公式 三、程序 四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链(Markov chain )的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律,并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。

什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析, 主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向,来预测它在未来某特定区间可能产生的变动,作为提供某种决策的依 据。

马尔可夫链的基本原理我们知道,要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况,比如说第n 季度是畅销还是滞销,用一个随机变量X n 便可以了,但要描述未来所有时期的情况,则需要一系列的随机变量 X 1,X 2,…,X n ,….称{ X t ,t ∈T ,T 是参数集}为随机过程,{ X t }的取值集合称为状态空间.若随机过程{ X n }的参数为非负整数, X n 为离散随机变量,且{ X n }具有无后效性(或称马尔可夫性),则称这一随机过程为马尔可夫链(简称马氏链).所谓无后效性,直观地说,就是如果把{ X n }的参数n 看作时间的话,那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关,而与过去取什么值无关.对具有N 个状态的马氏链,描述它的概率性质,最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率:N j i n p i X j X P j i n n ,,2,1,)()|(1若假定上式与n 无关,即 )()1()0(n p p p j i j i j i ,则可记为j i p (此时,称过程是平稳的),并记N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211(1) 称为转移概率矩阵.转移概率矩阵具有下述性质:(1)N j i p j i ,,2,1,,0 .即每个元素非负.(2)N i p Nj j i ,,2,1,11.即矩阵每行的元素和等于1.如果我们考虑状态多次转移的情况,则有过程在n 时刻处于状态i ,n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率:N j i n p i X j X P k j i n k n ,,2,1,)()|()(同样由平稳性,上式概率与n 无关,可写成)(k j i p .记)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P(2)称为k 步转移概率矩阵.其中)(k j i p 具有性质:N j i p k ji ,,2,1,,0)( ; N i p Nj k j i ,,2,1,11)( .一般地有,若P 为一步转移矩阵,则k 步转移矩阵)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P(3) (2)状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中,系统状态的转移概率的估算非常重要.估算的方法通常有两种:一是主观概率法,它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解,对事件发生的可能性大小的一种主观估计,这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用.二是统计估算法,现通过实例介绍如下.例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况,得到表1.试求其销售状态的转移概率矩阵.表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 (畅销) 7 1(畅销) 13 1(畅销) 19 2(滞销)2 1(畅销) 8 1(畅销) 14 1(畅销) 20 1(畅销)3 2(滞销) 9 1(畅销) 15 2(滞销) 21 2(滞销)4 1(畅销) 10 2(滞销) 16 2(滞销) 22 1(畅销)5 2(滞销) 11 1(畅销) 17 1(畅销) 23 1(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据,其中有15个季度畅销,9个季度滞销,连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7,连续滞销的次数为2.由此,可得到下面的市场状态转移情况表(表2).表2 市场状态转移情况表现计算转移概率.以频率代替概率,可得连续畅销的概率:1170.5151p连续出现畅销的次数出现畅销的次数分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销,无后续记录,需减1.同样得由畅销转入滞销的概率:1270.5151p畅销转入滞销的次数出现畅销的次数滞销转入畅销的概率:2170.789p滞销转入畅销的次数出现滞销的次数连续滞销的概率:2220.229p连续滞销的次数出现滞销的次数综上,得销售状态转移概率矩阵为:22.078.05.05.022211211p pp p P 从上面的计算过程知,所求转移概率矩阵P 的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到,即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可:77711p 77712p 27721p 77222p Matlab 程序:format rat clca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1]; for i=1:2 for j=1:2f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end fni=(sum(f'))' for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p由此,推广到一般情况,我们得到估计转移概率的方法:假定系统有m 种状态S 1,S 2,…,S m ,根据系统的状态转移的历史记录,得到表3的统计表格,以j i pˆ表示系统从状态i 转移到状态j 的转移概率估计值,则由表3的数据计算估计值的公式如下:表3 系统状态转移情况表(3)带利润的马氏链在马氏链模型中,随着时间的推移,系统的状态可能发生转移,这种转移常常会引起某种经济指标的变化.如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种,在时间变化过程中,有时呈连续畅销或连续滞销,有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销,每次转移不是盈利就是亏本.假定连续畅销时盈r 11元,连续滞销时亏本r 22元,由畅销转为滞销盈利r 12元,由滞销转为畅销盈利r 21元,这种随着系统的状态转移,赋予一定利润的马氏链,称为有利润的马氏链.对于一般的具有转移矩阵N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211的马氏链,当系统由i 转移到j 时,赋予利润r ij (i ,j =1,2,…,N ),则称N N N N N N r r r r r r r r r R212222111211 (5) 为系统的利润矩阵,r ij >0称为盈利,r ij <0称为亏本,r ij = 0称为不亏不盈.随着时间的变化,系统的状态不断地转移,从而可得到一系列利润,由于状态的转移是随机的,因而一系列的利润是随机变量,其概率关系由马氏链的转移概率决定.例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵,得到一步利润随机变量)1(1x 、)1(2x 的概率分布分别为:其中 p 11+ p 12 = 1 ,p 21+ p 22 = 1.如果药品处于畅销阶段,即销售状态为i =1,我们想知道,经过n 个季度以后,期望获得的利润是多少?为此,引入一些计算公式.首先,定义)(n i v 为抗病毒药现在处于)2,1( i i ,经过n 步转移之后的总期望利润,则一步转移的期望利润为:212211)1()1()(j j i j i i i i i i i p r p r p r x E v其中)()1(i x E 是随机变量)1(i x 的数学期望.二步转移的期望利润为:21)1(2)1(221)1(11)2()2(][][][)(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v其中随机变量)2(ix (称为二步利润随机变量)的分布为:2,1,)()1()2( j p v r x P j i j j i i例如,若6.04.05.05.0P ,7339R则抗病毒药销售的一步利润随机变量:抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为:65.035.09)(12121111)1(1)1(1 p r p r x E v 36.074.03)(22222121)1(2)1(2 p r p r x E v二步利润随机变量为:抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为:12)1(21211)1(111)2(1)2(1][][)(p v r p v r x E v5.75.0)33(5.0)69(22)1(22221)1(121)2(2)2(2][][)(p v r p v r x E v4.26.0)37(4.0)63(一般地定义k 步转移利润随机变量),2,1()(N i x k i的分布为:N j p v r x P ji k j j i k i ,2,1)()1()(则系统处于状态i 经过k 步转移后所得的期望利润)(k iv 的递推计算式为:j i k j Nj j i k i k i p v r x E v )()()1(1)()(Nj j i k j i Nj j i k j Nj j i j i p v v p v p r 1)1()1(1)1(1(6)当k =1时,规定边界条件0)0( iv .称一步转移的期望利润为即时的期望利润,并记N i q v i i ,2,1,)1( .可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象(购买力相当的医院、药店等)中,买A 、B 、C 三药厂的各有400家、300家、300家,预测A 、B 、C 三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。

[学习笔记]马氏链模型

[学习笔记]马氏链模型

[学习笔记]马⽒链模型引例:(带有反射壁的随机徘徊)如果在原点右边距离原点⼀个单位及距原点 s(s > 1)个单位处各⽴⼀个弹性壁。

⼀个质点在数轴右半部从距原点两个单位处开始随机徘徊。

每次分别以概率 p(0 < p < 1) 和 q(q = 1− p) 向右和向左移动⼀个单位;若在+1 处,则以概率 p 反射到 2,以概率q 停在原处;在 s 处,则以概率 q 反射到 s −1,以概率 p 停在原处。

由该例⼦可以看出,我们所做的,是根据质点的移动⽅向和⽅向对应的概率,对质点的运动⽅向进⾏预测。

在这背景下,球移动的⽅向与概率只与当前的点有关,与它历史运动轨迹⽆关。

因此,这种现象可以⽤⼀句话来概括:某⼀系统在已知现在情况的条件下,系统未来时刻的情况只与现在有关,⽽与过去的历史⽆直接关系。

描述这类随机现象的数学模型称为马⽒模型。

概念以及定理:时齐性:它的含义是:系统由状态i 到状态j 的转移概率只依赖于时间间隔的长短,与起始的时刻⽆关。

在此马⽒链假定都是时齐的,因此省略“时齐”⼆字。

n可以理解成起点的位置n=1,2… m表⽰从n开始的时间间隔,i与j分别表⽰n点的状态与n+m点的状态。

由式⼦可以看出,概率与n⽆关,只与起点状态,终点状态,以及两点之间的距离有关。

转移概率矩阵: m 步转移概率 p (m) ij 为元素的矩阵 为马尔可夫链的m 步转移矩阵。

当m = 1时,记 P(1) = P 称为马尔可夫链的⼀步转移矩阵,或简称转移矩阵。

(下⾯是⼀个转移矩阵)并且由上⾯的图可以看出⼀些性质:(1)上次购买的A对应下次购买的A、B、C的概率,每⼀个都在范⽂[0,1],⽽且总和是1.(2)当步数为0时,若前后状态相同,概率为1。

状态不同概率为0。

吸收链:如果马⽒链⾄少含有⼀个吸收状态,并且从每⼀个⾮吸收状态出发,都可以到达某个吸收状态,那么这个马⽒链被称为吸收链。

如图,当状态到4的时候就会停留到4,状态4也就被称为吸收状态。

马氏链预测模型的代数处理方法

马氏链预测模型的代数处理方法

由 假 设 ( )可 得 , 任 意 的 自然 数 , 以 及 i ∈ I有 3 对 k, ,
P( X 一 I x 一 ) = ( X^一 l X。一 )
因 此 X 一 { ( ) 一 0, 2, , )为 时 齐 马 氏 链 , X n , 1, 3 … 记
() 2
1y』
就 是 E 出 现 的 频 率 , 即
≈ Pl i一 1, … , )。 ( 2,
( ) 计 算 状 态 的 一 步 转 移 概 率 , 先 计 算 状 态 i 状 态 的 频 率 厂 从 第 二 步 知 道 E 一 1 2 … , ) 3 首 到 。 ( , , 咒
共 出 现 了 次 , 着 从 个 E 接 出 发 , 算 下 一 步 转 移 状 态 E 的 个 数 M ( 要 具 体 数 一 下 所 给 数 据 就 可 计 只
( )在 实 际 问 题 中 , 析 历 史 资 料 所 得 到 的 状 态 概 率 , 为 初 始 概 率 , 设 有 个 状 态 E , z … , 2 分 称 假 E ,
E 观 察 了 M 个 时 期 , 中 状 态 E i 1 2 … , , 其 ( 一 , , )共 出 现 了 次 , 是 一 于
V .6N 1 OI 1 O.
马氏链预测模型的代数处理方法
吴 蓓
( 徽师范大学 数学与计算机科学学院 , 徽 芜湖 210) 安 安 4 0 0

要 :马 氏 链 预 测 法 是通 过 对 事 物 不 同 状 态 的 初 始 概 率 及 状 态 之 间 的 转 移 概 率 的 研 究 , 测 事 物 的未 来 状 态 。 预
状 态 i 在的 时刻完 全无 关 。 所
由 假 设 ( )可 得 , , 一, i ∈ I 其 中 I为 状 态 空 间 , 2 Vi i 。 i, , 有 P( x l— ll X 一 i, , … Xl= l Xo— i)一 P( : , =i 0 X¨1= lIx^一 i) : = ^ () 1

3.2 马尔可夫预测模型

3.2  马尔可夫预测模型


pij1 p j1 j2 p jk j
。n步转移概率矩阵 P( n ) 与一步转移概率矩阵P的关
系为 P( n ) Pn 。
定义3.2.2 马尔可夫链 X T {X n , n 0,1,2,} ,初始时刻
取各状态的概率 P{ X 0 i} pi , i I .称为 X T 的初始概
其中状态空间为 I ={0,1,2,} ,若对任意的正整数
ti ti 1 ( i 0,1, 2,,k 1 ) k,任意 ti T ,
及任意非负整数 i0 , i1 , , ik 1 ,
有 P{X t
k 1
ik 1 | X t0 i0 , X t1 i1 ,, X tk ik } P{ X tk 1 ik 1 | X tk ik }
条件概率称为在时刻n系统从状态i经过k步转移到状态j的k步转移概率记为一般地转移概率不仅与状态i和j有关而且与时刻n有关当与n无关时表明马尔可nknpxjxikijnknpnpxjxiijikijpnkijpn夫链具有平稳的转移概率此时称马尔可夫链为时间齐次的马尔可夫链并把记为
数学模型
安徽大学数学科学学院 周礼刚 lg_zhou@
3.2 马尔可夫预测模型
马尔可夫(Markov)链模型是1906年由俄国
数学家Markov对其研究而命名的,后来
Kolmogorrov、Feller、Doob等数学家对其进行了
进一步的研究与发展。马尔可夫链的定义如下:
T {0,1, 2,} 定义3.2.1 设有随机过程 X T { X T , t T },
i 0
,满足条件 ( j) 0
的惟一解,即该有限状态空间的马尔可夫链平稳分布 存在且惟一。

马氏链模型简介与案列分析

马氏链模型简介与案列分析
…… …… …… ……
9
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n)
0 0
1 0.7 0.3
2 0.77 0.23
3 0.777 0.223
… … …
∞ 7/9a2ຫໍສະໝຸດ n)12/910
健康与疾病模型
综上,状态概率a(n)如下表
设投保时
n
a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
0
1 0 0 1
…… …… …… ……
7
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n) a2(n)
0 1 0
1 0.8 0.2
2
0.78 0.22
3
0.778 0.222

… …
∞ 7/9 2/9
8
健康与疾病模型
② 设投保时疾病,即a1(0)=0,a2(0)=1由马氏链的基本方程
a1 (1) a1 (0) p11 a2 (0) p21 0 0.8 1 0.7 0.7 a2 (1) a1 (0) p12 a2 (0) p22 0 0.2 1 0.3 0.3 a1 (2) a1 (1) p11 a2 (1) p21 0.7 0.8 0.3 0.7 0.77 a2 (2) a1 (1) p12 a2 (1) p22 0.7 0.2 0.3 0.3 0.23
Xn+1只取决于 Xn 和 pij, 与 Xn-1, …无关 状态转移具有无后效性
14
状态概率 ai (n) P( X n i ), i 1,2; n 0,1,
转移概率 pij P( X n1 j X n i ), i , j 1,2; n 0,1,

马氏链模型专业知识讲座

马氏链模型专业知识讲座

• 显然,P 旳每一元素均为非负,且其行 和为1。( 称P矩阵为随机矩阵 )
• 这里,一旦有了P,那么给定初始状态 概率a(0),就可计算任意时间n旳状态概 率。
a(n 1) a(n) p
有关定义和有关定理
• Def1.一种有k个状态旳马氏链假如存在正 整数N,使从任意状态i经N次转移都以不 小于零旳概率到达状态j(i,j=1,2,…,k),则 称为正则链。
p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02
0.65
1
2
p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1
0.02 3 0.1
p31=0, p32=0, p33=1
1
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
钢琴销售量很小,商店旳库存量不大以免积压资金
一家商店根据经验估计,平均每七天旳钢琴需求为1 架 存贮策略:每七天末检验库存量,仅当库存量为零 时,才订购3架供下周销售;不然,不订购。

Def3.假如记 pn 旳元素为
p(n ij
)

k
p(n) ij
j
0, 且
j 1,则称 j 1,2,
• 为极限分布。j1
, k
TH2.正则链存在唯一极限分布 1, , k 使a(n) ,
且与初始状态概率a(0)无关,还是平稳分布。记
Tij inf n:X (0) i, X (n) j, n 1
若某人投保时健康, 问23年后他仍处于健康状态旳概率

正则马氏链模型

正则马氏链模型

正则马氏链模型正则马氏链模型是一种常用的概率模型,它是一种离散时间、离散状态的随机过程。

该模型的基本假设是:在任意时刻,系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

正则马氏链模型可以用来描述许多实际问题,比如天气预报、股票价格变化、人口迁移等。

一、基本概念1. 马氏性质马氏性质是指一个随机过程中,在任意时刻,系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

这种性质也称为无后效性。

2. 状态转移矩阵状态转移矩阵是一个n×n 的矩阵,其中第 i 行第 j 列表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

对于正则马氏链模型而言,每个状态可以转移到任何其他状态,因此矩阵中所有元素都大于等于 0,并且每行元素之和为 1。

3. 平稳分布平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后,其概率分布不再发生变化,并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言,其平稳分布存在且唯一。

二、模型定义正则马氏链模型可以用一个四元组来表示,即(S, P, π, T)。

其中:1. S 表示状态集合,每个状态都有一个唯一的标识符。

2. P 表示状态转移矩阵,P(i,j) 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

3. π 表示初始分布,π(i) 表示初始时系统处于状态 i 的概率。

4. T 表示时间步数,表示模型运行的时间长度。

三、模型计算1. 状态转移概率计算对于正则马氏链模型而言,任意时刻系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

因此,在已知 t 时刻系统处于某一特定状态 i 的条件下,t+1 时刻系统处于某一特定状态 j 的概率可以用如下公式计算:P(i,j,t+1) = Σ P(i,k,t) × P(k,j)其中 k 是所有可能的中间状态。

2. 平稳分布计算平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后,其概率分布不再发生变化,并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言,其平稳分布可以通过不断迭代计算得到。

8.马氏链

8.马氏链

八、马氏链预测法
(一)基本概念 (二)马氏链模型 (三)例子
(一)基本概念
1、转移概率——系统由状态 i 转移到状态 j 的概率, 、转移概率 的概率, 系统由状态 记作 。pij 转移概率的本质是条件概率, 转移概率的本质是条件概率,即在状态 i 发生 的条件下, 发生的概率。 的条件下,状态 j 发生的概率。 2、转移概率矩阵——由转移概率组成的矩阵,简 、转移概率矩阵 由转移概率组成的矩阵, 由转移概率组成的矩阵 称转移矩阵。 称转移矩阵。
(二)马氏链模型
根据大量的统计数据建立转移矩阵, 根据大量的统计数据建立转移矩阵,由初始状 态向量预测未来任意时刻系统发生各种状态的概 从而采取相应的对策。 率,从而采取相应的对策。但建立马氏链模型是 以下列假定为前提的: 以下列假定为前提的: 1、转移矩阵不随时间变化而变化; 、转移矩阵不随时间变化而变化; 2、预测期内状态数量不变; 、预测期内状态数量不变; 3、系统变化过程具有无后效性。 、系统变化过程具有无后效性。
租 还 知春亭(1) 石舫(2) 龙王庙(3) 知春亭( ) 石舫( ) 龙王庙( ) 0.80 0.20 0.30 0.10 0.70 0.05 0.10 0.10 0.65
知春亭( ) 知春亭(1) 石舫( ) 石舫(2) 龙王庙( ) 龙王庙(3)
0.80 0.10 0.10 P = 0.20 0.70 0.10 0.30 0.05 0.65
设稳态概率向量 U = ( u1 , u2 , u3 ) ,则 UP = U , 联立, 与 u1 + u2 + u3 = 1 联立,解得
u1 = 0.556 u2 = 0.222 u = 0.222 3
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马氏链预测模型:
马氏链分为正则链和吸收链
正则链即任意状态都可通过正概率到达其他状态,吸收链为存在一个状态,当到达此状态时,就不能再向其他状态转移,其他任意状态都可经过一个正概率向此状态转移,且经过足够长时间后,所有状态都将变为这个状态。

基本模型:
状态⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=4
3
21n X ,分别表示四种水质,状态概率)()(i X P n a n i ==,
状态转移概率..2,1,0;,...,2,1,)),(|)((1=====+n k j i i X j X P P n n ij
经n 次转以后状态概率:
k i P n a n a k j ij j i ...,2,1,*)()1(1
==+∑=
当经过足够长时间达到稳态时,对于正则链,假设w 为稳态概率,则满足:
w P w =*
利用MATLAB 程序实现:
function Markov_Chain=f1(P,n,A0)
%P 为转移概率矩阵,n 为递推时间,A0为初始状态列向量
b=size(A0,1);%确定初始状态矩阵A0行数
A=zeros(b,n);
A(:,1)=A0;
p=P';%按照递推公式,需将转移概率矩阵P 转置
j=1;
while j<=n
A(:,j+1)= p*A(:,j)%第j 列代表递推j 次后的状态向量
j=j+1;
end
A_n=A(:,n) %得到递推n 次后的状态向量
根据数据可分别求出四个地区四种水质的转移概率:
P1=。

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