北师大版八年级数学下册应用题方案设计优化专项训练：《一元一次不等式》(解析版)

应用题方案优化专项训练： 《一元一次不等式》 解题步骤：

1. 列方程组

2. 列不等 式求未知量范围

3. 列方案所需费用 /利润的一次函数表达式

4. 讨论最优的方案

1．某商店计划一次购进两种型号的手机共 110部，销售一部 A 型手机比销售一部 B 型手机

获得的利润多 50元，销售相同数量的 A 型手机和 B 型手机获得的利润分别为 3000元和 2000 元，其中 A 型手机的进货量不超过 B 型手机的 2 倍，且商店最多购进 B 型手机 50 台．

（1）求每部 A 型手机和 B 型手机的销售利润分别为多少元？

2）设购进 B 型手机 n 部，销售手机的总利润为 y 元，怎么进货才能使销售总利润最大？ 3）实际进货时，厂家对 B 型手机出厂价下调 m （30

根据题意，得： ，

解得：

2）设购进 B 型手机 n 部，则购进 A 型手机（ 110﹣n ）部，

则 y ＝ 150（ 110﹣ n ）+100 n ＝﹣ 50n+16500，

其中， ∴ y 关于 n 的函数关系式为 y ＝﹣

50n+16500

∵﹣ 50< 0，

∴ y 随 n 的增大而减小，

解： 1）设每部 A 型手机的销售利润为 x 元，每部 B 型手机的销售利润为 y 元，

答：每部 A 型手机的销售利润为 150 元，每部 B 型手机的销售利润为 100 元；

110﹣ n ≤ 2n ，即 n ≥

∵ n≥36 ，且n 为整数，

∴当n＝37 时，y 取得最大值，最大值为﹣50× 37+16500＝14650（元），答：购进 A 型手机73 部、B 型手机37部时，才能使销售总利润最大；

（3）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，

根据题意，得：y＝150（110﹣n）+（100+m）n＝（m﹣50）n+16500，

其中，36 ≤n≤50（n为整数），

①当30

∴当n＝37 时，y 取得最大值，

即购进 A 型手机73 部、B 型手机37部时销售总利润最大；

②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500，

即商店购进B型电脑数量满足36 ≤n≤50 的整数时，均获得最大利润；

③当50

∴当n＝50 时，y 取得最大值，

即购进 A 型手机60 部、B 型手机50部时销售总利润最大．

2．某班决定购买一些笔记本和文具盒做奖品．已知需要的笔记本数量是文具盒数量的 3 倍，购买的总费用不低于220 元，但不高于250 元．

（1）商店内笔记本的售价 4 元/本，文具盒的售价为10元/个，设购买笔记本的数量为x，按照班级所定的费用，有几种购买方案？每种方案中笔记本和文具盒数量各为多少？

（ 2 ）在（ 1 ）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？

（3）经过还价，老板同意 4 元/本的笔记本可打八折，10元/个的文具盒可打七折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少笔记本和文具盒？

解：（1）依题意，得：，

解得：30≤x≤34 ．

∵x 为正整数，

∴x可取30，31，32，33，34．

30 本，文具盒 10 个；方案二：笔记本 33 本，文具

盒 11 个． （ 2）在（ 1）中，方案一购买的总数量最少，

∴总费用最少，最少费用为： 4×30+10× 10＝220（元）． 答：方案一的总费用最少，最少费用为 220 元．

（ 3）设用（ 2）中的最少费用最多还可以多买的文具盒数量为 y ，则笔记本数量为 3y ， 依题意，得： 4× 80%（ 30+3y ） +10×70%（10+y ）≤220，

解得： y ≤ 3 ，

∵y 为正整数，

∴y 的最大值为 3，

∴ 3y ＝ 9．

答：用（ 2）中的最少费用最多还可以多买 9 本笔记本和 3 个文具盒．

3．某文具店购进 A 、B 两种文具进行销售．若每个 A 种文具的进价比每个 B 种文具的进价

少 2 元，且用 900 元正好可以购进 50 个 A 种文具和 50 个 B 种文具，

（ 1）求每个 A 种文具和 B 种文具的进价分别为多少 元？

（2）若该文具店购进 A 种文具的数量比购进 B 种文具的数量的 3倍还少 5个，购进两种 文具的总数量不超过 95 个，每个 A 种文具的销售价格为 12 元，每个 B 种文具的销售价 格为 15元，则将购进的 A 、B 两种文具全部售出后，可使总利润超过 371元，通过计算 求出该文具店购进 A 、B 两种文具有哪几种方案？

解：（1）设每个 A 种文具的进价为 x 元，每个 B 种文具的进价为 y 元， 依题意，得：

， ，

解得：

．

答：每个 A 种文具的进价为 8 元，每个 B 种文具的进价为 10 元．

（ 2）设购进 B 种文具 m 个，则购进 A 种文具（ 3m ﹣5）个，

依题意，得： ，

解得： 23< m ≤ 25．

∵m 为整数，

又∵ x 也必须是整数

x 可取 10 ， 11．

∴有两种购买方案，方案一：笔记本

∴m ＝24或 25，3m ﹣ 5＝67或 70，

∴该文具店有两种进货方案： ①购进 A 种文具 67个， B 种文具 24个； ②购进 A 种文具 70个， B 种文具 25个．

4．我校为响应“全民阅读”的号召，计划购入 A 、B 两种规格的书柜用于放置所购图书． 经

市场调查发现，若购买 A 种书柜 3 个、B 种书柜 2 个，共需资金 1020元；若购买 A 种书 柜 5 个、 B 种书柜 3 个，共需资金 1620 元．

（1）A 、B 两种规格的书柜，每个的价格分别是多少？

（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共 20个，其中 B 种书柜的个数不少于 A 种书柜 的个数，学校至多有 4320 元的资金，请设计几种购买方案供学校选择．

解：（ 1）设 A 种书柜的单价为 x 元， B 种书柜的单价为 y 元，

依题意，得：

解得：

答： A 种书柜的单价为 180 元， B 种书柜的单价

为 2）设学校购买 m 个A 种书柜，则购买（ 20﹣m ）个 B 种书柜，

， ，

解得： 8≤ m ≤ 10．

∵m 为整数，

∴ m ＝ 8， 9，10 ． ∴该学校有 3种购买方案，方案 1：购买 8个A 种书柜， 12个 B 种书柜；方案 2：购买 9 个 A 种书柜， 11 个 B 种书柜；方案 3：购买 10 个 A 种书柜， 10 个 B 种书柜． 5．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县政府部门决定，招标一工程队负责

完成一座水库的土方施工任务． 该工程队有 A ，B 两种型号的挖掘机，已知 1 台 A 型和 2 台 B 型挖掘机同时施工 1 小时共挖土 80 立方米， 2 台 A 型和 3 台 B 型挖掘机同时施工 1 小时共挖土 140 立方米．每台 A 型挖掘机一个小时的施工费用是 350 元，每台 B 型挖掘 机一个小时的施工费用是 200 元．

（ 1）分别求每台 A 型，B 型挖掘机一小时各挖土多少立方米？

（2）若 A 型和 B 型挖掘机共 10 台同时施工 4小时，至少完成 1360立方米的挖土量， 且 总费用不超过 14000 元．问施工时有哪几种调配方案？且指出哪种调配方案的施工费用

240 元．

依题意，得：