【精选】三阶行列式与代数余子式的关系课件.ppt
三阶行列式PPT优秀课件 沪教版
如果要组成一个三阶行列式,需要几个数 (式)?它们应如何排列?你能模仿二阶行列式 的定义,给出三阶行列式的定义吗?
1、三阶行列式
由 9 个 数 排 成 3 行 3 列 的 方 阵
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
abc i 1 ,2 ,3 叫做行列式的元素 i, i, i
a1 a2 a3
三阶行列式
二阶行列式 由四个数排成二行二列的方阵
主对角线
a1 D a2
b 1 ab ab 1 2 2 1 b2
副对角线
将下列行列式按对角线展开
b2 b3
a2 a3 a2 a3
c2 c3
b2
bc 2 3 bc 3 2
ab 2 3 ab 3 2
b3 c2 ac 2 3 ac 3 2 c3
b1 b3
c1 a2 c 2 b1 c3
a3
c1 c3
b2
a1 a3
c1 c3
a1 b3 a2
c1 b2
3
4
4、余子式与代数余子式
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 abc abc c 2 abc 1 2 3 2 3 1 312
abc abc abc c3 3 2 1 2 1 3 13 2 ,
2、对比、分析以上几个行列式展开式，
你能将三阶行列式
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
表示成含有几个二阶行列式运算的式子 吗？
3、知识解析：
a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
c1 b2 c 2 a1 c3
b3
c2 c3
高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
行列式及其性质PPT课件
上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
第10页/共32页
下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得
三阶行列式
●余子式和代数余子式 定义 将3阶行列式中的元素 aij 所在的行和列划去 阶行列式中的元素 后得到的2阶行列式称为元素 余子式， 后得到的 阶行列式称为元素 aij 的余子式，记为 M ij ; i+ j 并称 Aij = (−1) M ij 代数余子式。 为元素aij 的代数余子式。 如 a21 a23 = M 12 元素 a12 的余子式 a11 a12 a13 a31 a33 a21 a22 a23 元素 a12 的代数余子式 a31 a32 a33 ( −1)1+ 2 M = A12
1 Da = 0 −1 1 Db = 4 0 1 = −1 2 1 =5 9 −2 1 1 −1 1 −2 3 1 Dc = 4 2 0 = −18 9 3 −2
三阶行列式的性质与应 用
例 证明对角行列式
a11 0 0 0 a 22 0 0 0 = a11 a 22 a 33 a 33
证明： 证明： a11
按某一行（或某一列） 按某一行（或某一列）展开求行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
= a21 A21 + a22 A22 + a23 A23
= a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
三阶行列式的值等于它的任意一行（或一列） 三阶行列式的值等于它的任意一行（或一列）的所 有元素与各自的代数余子式的乘积之和 。
12
●行列式与代数余子式的关系
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 = a11a 22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a 21a32 a33 − a a a − a a a 13 22 31 12 21 33 − a11 a 23 a32 a13
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数完整版ppt课件
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
三阶行列式代数余子式
三阶行列式代数余子式行列式，哎呀，听起来是不是有点高深？别担心，今天咱们聊聊三阶行列式和代数余子式，保证让你听了不想打瞌睡。
你知道吗？三阶行列式就像一个调皮的小孩子，虽然不大，但它的玩法可多了。
先来个简单的介绍。
三阶行列式就是一个三行三列的方阵，想象一下，这个方阵就像是一个小广场，广场上有三个摊位，分别卖着不同的东西。
行列式的值就像这个广场的热闹程度，越热闹，值就越大。
说到代数余子式，这个名字听起来是不是有点唬人？其实啊，它的意思很简单。
代数余子式就是在某一行某一列去掉之后，剩下的行列式。
就像你去逛一个朋友的派对，结果发现那个朋友没在了，你只能看看其他人玩得怎么样。
去掉一个元素之后，剩下的部分依然有趣。
这玩意儿怎么计算呢？简单得很，先把你要去掉的那一行和那一列删掉，然后算剩下的行列式。
其实就像拿掉一个蘑菇，看看剩下的比萨到底好不好吃。
现在来点实际的例子，让我们动手实践一下。
假设你有一个三阶行列式，里面的元素都是一些数字，比如说，1、2、3、4、5、6、7、8、9。
咱们可以把它写成这样：begin{vmatrix1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix好吧，这个行列式看起来可能有点复杂，但没关系，咱们一步一步来。
我们可以用一种叫做“展开”的方法来计算。
你可以选择任何一行或者一列，咱们就挑第一行来试试。
那第一行的每一个元素，乘上它的代数余子式，然后再加起来。
这就像你在市场上买菜，首先得选个摊位，然后再看每样菜的价格。
选了第一行，咱们开始计算。
第一个元素1的代数余子式，就是去掉第一行和第一列，剩下的行列式。
也就是：begin{vmatrix5 & 68 & 9end{vmatrix计算这个小行列式，你就会发现它的值是 (5 times 9 6 times 8)，也就是45减去48，结果是3。
接下来是2，计算它的代数余子式：begin{vmatrix4 & 67 & 9end{vmatrix这个计算下来就是 (4 times 9 6 times 7)，结果是36减去42，结果是6。
行列式的余子式和代数余子式的关系
Understanding the relationship between the determinant and the cofactor of a matrix is like uncovering the secret sauce of matrix magic. The cofactor of each element in a matrix is like a little detective, solving the mystery of the submatrix formed by removing the row and column containing that element. It's likea crucial clue in a detective novel, helping to express the determinant of a matrix in terms of its cofactors. The cofactor expansion along a row or column is like a powerful spell for calculating the determinant of a matrix, breaking it down into a sum of products of elements and their corresponding cofactors. By unraveling the relationship between the determinant and the cofactor, we can unlock the hidden potential of cofactors in matrix theory and their role in various applications. It's like discovering the treasure map to the heart of matrix mysteries!了解一个矩阵的决定因素和共构物之间的关系就像揭开矩阵魔法的秘密酱。
高等数学线性代数行列式教学ppt(1)
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
行列式和余子式关系
行列式和余子式关系行列式是线性代数中的一个重要概念，它与线性方程组的解、向量的线性无关性、矩阵的秩等很多问题都有着紧密的联系。
而余子式和伴随矩阵则是行列式的一种重要推论和应用。
1. 行列式的定义和基本性质行列式可以看做是一个正方形矩阵所构成的向量空间的一个映射，它将这个向量空间中的每个向量映射到一个标量上。
行列式的定义用到了代数余子式的概念，它由矩阵中每个元素的代数余子式所组成。
行列式具有以下基本性质：（1）行列式与它的转置矩阵的值相等。
（2）交换矩阵的两行（列），行列式的值变号。
（3）如果矩阵的两行（列）成比例，则行列式的值为0。
（4）对于任意的矩阵，将其中某一行（列）乘以一个常数k，行列式的值也相应地乘以k。
2. 余子式的定义和性质对于一个nxn的矩阵A，将其任意一个元素a[i,j]划去所得到的n-1阶矩阵的行列式称为a[i,j]的代数余子式M[i,j]，即M[i,j]=(-1)^(i+j)Det(A[i,j])。
其中A[i,j]是将a[i,j]元素所在的第i行和第j列除去后的矩阵。
余子式具有以下基本性质：（1）如果i+j为偶数，则M[i,j]等于它所在子矩阵的行列式值；（2）如果i+j为奇数，则M[i,j]的值等于它所在子矩阵的行列式值的相反数。
3. 行列式与余子式的关系在原矩阵中，将第i行和第j列的元素都去掉，得到的n-1阶矩阵就是代数余子式M[i,j]所对应的子矩阵。
根据行列式的定义，可以知道，行列式的值等于该矩阵中每个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：Det(A) = ∑_(i=1)^n a[1,i]M[1,i]即行列式的值可以表示成其中任意一行或一列的元素与该行或该列的代数余子式的乘积之和。
4. 伴随矩阵的定义和性质伴随矩阵是一个n阶矩阵，它的元素是原矩阵中所有元素的代数余子式所组成的矩阵的转置矩阵。
伴随矩阵与原矩阵的乘积等于原矩阵的行列式乘以一个单位矩阵，即Det(A)I=A*adj(A)。
第三章 行列式 第四节 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开课件
n 1
但 1 x a1 x a1 ,所以
n x a1 x
n
an .
例6 计算行列式
1 a1 Dn a12 1 a2 2 a2 1 an 2 an
作业
P88-89
3，4，5
an1 an 2
an1 an 2
an1 an 2
在这n个行列式的每一个中，除了第i行外，其余 的行都与D的相应行相同. 因此，每一行列式的 第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元 素的代数余子式相同. 这样，由定理3.4.1，
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2,, n)
a 21 a31 a 41
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于 这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式
a 21 a 24 M . a31 a34
定义2
n (n>1)阶行列式
a11 D ai1 an1 a1 j aij anj a1n ain ann
的某一元素 a ij 的余子式 M ij 指的是在D中划去 a ij 所在行和列后所余下的n－1阶子式. 例2 例1的四阶行列式的元素 a 23 的余子式是
D1 ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn , ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0. 因而
例4 计算四阶行列式 3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3 在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由 第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四 列上，得：
高代--行列式代数余子式展开.ppt
a11
a1j
a1n
an1 an j ann
j – 1次
其中
a11 a1j a1n
0 aij 0
an1 an j ann
aij Aij
aij
(1)ij 2
a1j
an j
00 a11 a1n Mij an1 ann
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
(2, 3) 元的代数余子式 A23
A23 (1)23 M23
• 在 n 阶行列式中, 划去第 i 行, 第 j 列, 余下的元素按原次序排成的 n - 1 阶 行列式称为 ( i , j ) 元的余子式, 记为 M i j .
行列式值不变.
作业：
§2.3 1 (2) (3), 2 (2), 3 (2), 4 (2) §2.4 1 (2) (4), 2, 4, 6, 9
补充题: 求 M12 3M22 2M32
1842 3425 A 2462 0706
Matlab 求简化阶梯矩阵
>> B = [ 2,4,1,5; 3,2,6,9; 3,7,1,8 ] B=
| A | ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 ain
an1 an2 ann an1 an2 ann
证明:
a11 a12 a1n
三阶行列式(课堂PPT)
D x Dx
D
y
D
y
D z D z
①若 Dx，Dy，Dz 至少一个不为0，则方程组无解 ②若 DxDyDz0，则方程组有无穷多解
例题讲解
x y z 6 例4 用行列式解三元一次方程组： 3 x y 2 z 7
5 x 2 y 2 z 1 5
例题讲解
例6 求关于x，y，z的方程组
2 3 1
（2）按第一列展开
巩固练习 练习9.4（2） P99
例题讲解
3 0 2 例1 用对角线法则计算行列式： 2 1 3
2 3 1
例题讲解
例2 在平面直角坐标系中，A x 1 ,y 1 ,B x 2 ,y 2 ,C x 3 ,y 3
求△ABC的面积公式
1 x1 SVABC 2 x2
x3
a3x b3 y c3z d3
x
当
D0时，方程组有唯一解
y
z
Dx
D Dy
D Dz
D
D D
x y
D D
x y
D z D z
知识讲解
四、利用三阶行列式解三元一次方程组
aa12xx
b1y c1z d1 b2 y c2z d2
a3x b3 y c3z d3
当 D0时，
例题讲解
(2)对角线法则 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
注意：①红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． ②对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
知识讲解
（3）按行（列）展开
a1 b1 c1 a2 b2 c2a1b2c3a2b3c1a3b1c2a3b2c1a2b1c3a1b3c2 a3 b3 c3
《高等代数行列式》课件
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
《阶与三阶行列式》课件
第三行乘以相应的代数余子式，得到
|(-7)
所以，原行列式的值为：-1 -17 -34 = -52。
01
02
03
|3 4|
因为其第二行乘以相应的代数余子式为0，所以该行列式等于0。
解：原行列式为
|1 2 3|
第三题解答
03
02
01
|4 5 6|
|7 8 9|
将第一行乘以相应的代数余子式，得到
习题与解答
03
|4 5 6|
01
计算下列行列式的值
02
|1 2 3|
|3 4|
|1 2 3|
计算下列三阶行列式的值
01
02
03
01
02
03
|1 2 3|
|4 0 6|
|7 -1 9|
01
|4 5 6|
02
|7 8 9|
03
将第一行乘以相应的代数余子式，得到
|1 (-6) + (-3) (-2) + (-1) * (1)| = -6 + 6 -1 = -1
记作：|a11 ... a1n|
|a21 ... a2n|
| ... ... |
|an1 ... ann|
01
02
01
将行列式拆分成若干个子行列式，然后计算每个子行列式的代数余子式，最后将所有代数余子式相乘并求和。
将行列式按某一行或某一列展开，将其化为二阶或三阶行列式，然后利用二阶或三阶行列式的计算公式进行计算。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
确定向量空间的基
行列式可以用于确定向量空间的基，通过计算向量空间中一组基的行列式值，可以判断这组基是否线性无关，从而确定向量空间的维数。
【精选】三阶行列式与代数余子式的关系课件
14
(1)
2 3 (2) 4 5
1
2 0 5 1
1 3 3 2
2
(3)
0 2 0 1 4 1 8 1
2 0 3
1 1 2
3 4 5
a
b a 0
0 b b
(4) 0
a
2.设
D
请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一 种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.
a b c d
(1.1.2)
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a c b ad bc d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排 的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的 线称为主对角线 . 每一个数均称为一个元素 . 如 (1.1.3) 中有四个元素 , 排为两行两列 , 分别称为 第一行、第二行和第一列、第二列 , 而主对角线 上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义 式.
称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式 .
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
4
例1解方程组
2 x 3 y 1 4x 5 y 6
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
3
1 3 例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12 b2 a22 x1 , x2 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a a a a 0 其中 11 22 12 21 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
《线性代数》基础阶段课件(完整)
T
D 的转置行列式.
7、行列式的性质
表明行与列是 对等的，行具 有的性质，列 性质1 行列式转置后，其值不变。 也具有. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3 若行列式中某行（列）的所有元素有公因子，则公因 子可以提到行列式外面。 推论1 若行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列式的 值为零. 性质4 若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列 式的值为零. 推论2 若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行 列式的值为零. 推论3 若行列式中某行（列）的所有元素都乘以同一数K,等 于用数K乘以此行列式.
对角线法则
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
例 利用对角线法则求下列行列式
5 3
1
4 2
2 1
2 0
5 2 2 1 (1)(2) 4 3 0
4 2 (2) 1 3 2 5 (1) 0 32
练习 求下列行列式
3 1 9 7 1 0 1 5 （2）已知行列式 ，求A11 , A21 , A33 . 2 3 3 1 0 0 1 2
1 3 2 （3）已知行列式 7 0 6 ，求A21 , A22 , A23 . 11 9 4
5、特殊形式的行列式
下三角行列式
a11 a21 an1 0 0 0 a22
0 7 9
0 0 16
3 1 1 2 5 1 3 4 （2）解： 2 0 1 1 1 5 3 3
c1 c2
1 3 1 2 r (1) r2 1 5 3 4 1 0 2 1 1 r1 5 r4 5 1 3 3
1 3 1 2 0 8 4 2 0 2 1 1 0 16 2 7
代数余子式与行列式
代数余⼦式与⾏列式⾏列式(记为|A |)定义⼀个矩阵的⾏列式我们定义为∑p is permutaion (−1)σ(p )×∏n i =1a i ,p i其中σ(p )表⽰p 的逆序对个数性质求法⾼斯消元余⼦式(记为m i ,j )定义m i ,j 表⽰远矩阵去除第i ⾏和第j 列之后剩下矩阵的⾏列式代数余⼦式(记为M i ,j )定义我们称M i ,j =m i ,j ×(−1)i +j 为代数余⼦式与⾏列式的关系任意⼀个n 阶矩阵的⾏列式可以⽤某⼀⾏或者某⼀列的代数余⼦式展开，即|A |=n∑i =1M x ,i ×A x ,i证明⾸先考虑有⼀个n 阶矩阵A =A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…A 2,n …A n ,1A n ,2A n ,3…A n ,n考虑|A |可以⽤某⼀⾏按照以下⽅式展开A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…A 2,n …A x ,10…0…A n ,1A n ,2A n ,3…A n ,n+A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…A 2,n …A x ,20…0…A n ,1A n ,2A n ,3…A n ,n+…+A 1,1A 1,2A 1,3…A 1,n A 2,1A 2,2A 2,3…A 2,n…0…A x ,n …A n ,1A n ,2A n ,3…A n ,n 这个直接根据⾏列式的定义我们可以得到|A |的某种展开式()|||||||A |=n∑i =1A x ,i ×m x ,i ×(−1)y其中y 是⼀个未知变量，接下来我们考虑y 的取值应该是什么⾸先考虑⼀个这样矩阵的⾏列式A 0BC明显这样的矩阵的⾏列式就是|A |×|C |然后考虑⾏列式有个性质:交换矩阵中任意两⾏或者两列，⾏列式取反。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例2 解方程组
2 x1 x2 3 x1 2 x2
x3 0 5x3 1
x1 3 x2 2 x3 4
解 系数行列式
2 1 1
D 3 2 5 8 5 9 2 6 30 28 0 1 3 2
0 1 1
20 1
2.三阶行列式
1 12 4 16
6
对于三元一次线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义
x1
x2
b1a22
a11a22 b2a11
a11a22
b2a12
a12a21 b1a12
a12a21
(当a11a22 a12a21 0时)
(1.1.2)
ab
为了便于表示上式,我们引入记号 c d ,
规定:
ab ad bc
cd
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排
仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组
(8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、
二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2、b3 后便得到
行列式 D1、D2 和 D3 ,于是方程组(8.1.6)的解可表
示为 :
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 , a12
x2
a21 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
其中 a11 a12 a11a22 a12a21 0 称其为方程组(1.1.1)
a21 a22
的系数行列式
注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式.
2 1 0
D1 1 2 5 13, D2 3 1 5 47, D3 3 2 1 21
4 3 2
1 4 2
134
于是,该方程组的解为
x1
13 28
,
x2
47 28
,
x3
21 28
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
二、n阶行列式定义
1.余子式与代数余子式
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
例1解方程组
2x 3 y 1
4x
5
y
6
解 易见系数行列式
23
D
10 12 22 0
4 5
又
1 3
2
D1 6
5 18 13, 5
D2 4
于是其解为
x1
13 22
,
x2
16 22
8 11
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11
a31 a32 a33
(8.1.7)
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行, 纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右 下角的线称为主对角线.
第九章 矩 阵
§§§89.1.91.1 行矩列矩阵式阵的的的定概概义念念 §§8§9.2.92.2行矩列矩式阵阵的的的性运运质算算 §§§89.3.93.3 行矩列矩阵式阵的的的计逆逆算 §§9.94.4 矩矩阵阵的的秩秩
§8.4 克莱姆法则
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
§8.1 行列式的定义
由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或 任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
(2). 三阶行列式与代数余子式的关系
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11 a31 a32 a33 (a11a22a33 a11a23a32 ) (a12a21a33 a12a23a31 ) (a13a21a32 a13a22a31 )
a12 a22
a11a22 a12a21
a11(1)11 M11 a12 (1)12 M12
a11A11 a12 A12
同理可推出
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21 a21 A21 a22 A22
a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的
线称为主对角线.每一个数均称为一个元素.如
(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为
第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线
上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义
式.
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
13
例如
4
1 (2) 3 4 14 2
87 0
元素5的代数余子式为
A21
1 21
M21
M21 Nhomakorabea3 7
4 28
0
元素-4的代数余子式为
A13
1 13
M13
M13
5 8
2 51
7
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
2. 行列式与代数余子式的关系
(1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11 a21
本节首先由二元与三元一次线性方程组
引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给
出一般 n 阶行列式定义.
一、二阶与三阶行列式
1.二阶行列式
在初等数学中,大家都学过二元一次线性方 程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
在一个行列式中,称去掉某个元素 aij所在的行 和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 a ij
的余子式,记作 M ij ,而 1 i j Mij 称为元素a ij 的 代数余子式,记作 Aij ,即 Aij 1 i j Mij
1 3 4
如在行列式 5 2 6 中