【精选】三阶行列式与代数余子式的关系课件.ppt

由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或 任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.
精
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
(2). 三阶行列式与代数余子式的关系
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11 a31 a32 a33 (a11a22a33 a11a23a32 ) (a12a21a33 a12a23a31 ) (a13a21a32 a13a22a31 )

x1


x2

b1a22
a11a22 b2a11
a11a22

b2a12
a12a21 b1a12
a12a21
(当a11a22 a12a21 0时)
(1.1.2)
ab
为了便于表示上式,我们引入记号 c d ,
规定:
ab ad bc
cd
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排
87 0
元素5的代数余子式为
A21


1 21
M21


M21


3 7
4 28
0
元素-4的代数余子式为
A13


1 13
M13

M13

5 8
2 51
7
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2. 行列式与代数余子式的关系
(1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11 a21
2 1 0
D1 1 2 5 13, D2 3 1 5 47, D3 3 2 1 21
4 3 2
1 4 2
134
于是,该方程组的解为
x1

13 28
,
x2

47 28
,
x3

21 28
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线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
二、n阶行列式定义
1.余子式与代数余子式
例2 解方程组

2 x1 x2 3 x1 2 x2

x3 0 5x3 1
x1 3 x2 2 x3 4
解 系数行列式
2 1 1
D 3 2 5 8 5 9 2 6 30 28 0 1 3 2
0 1 1
20 1
2.三阶行列式
1 12 4 16
6
对于三元一次线性方程组
aa2111
x1 x1

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
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线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义
的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的
线称为主对角线.每一个数均称为一个元素.如
(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为
第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线
上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义
式.
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13
例如
4
1 (2) 3 4 14 2
a12 a22
a11a22 a12a21
a11(1)11 M11 a12 (1)12 M12
a11A11 a12 A12
同理可推出
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21 a21 A21 a22 A22
a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
在一个行列式中,称去掉某个元素 aij所在的行 和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 a ij
的余子式,记作 M ij ,而 1 i j Mij 称为元素a ij 的 代数余子式,记作 Aij ,即 Aij 1 i j Mij
1 3 4
如在行列式 5 2 6 中
本节首先由二元与三元一次线性方程组
引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给
出一般 n 阶行列式定义.
一、二阶与三阶行列式
1.二阶行列式
在初等数学中,大家都学过二元一次线性方 程组
aa2111
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 b2
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
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于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 , a12
x2
a21 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
其中 a11 a12 a11a22 a12a21 0 称其为方程组(1.1.1)
a21 a22
的系数行列式
注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式.
第九章 矩 阵
§§§89.1.91.1 行矩列矩阵式阵的的的定概概义念念 §§8§9.2.92.2行矩列矩式阵阵的的的性运运质算算 §§§89.3.93.3 行矩列矩阵式阵的的的计逆逆算 §§9.94.4 矩矩阵阵的的秩秩
§8.4 克莱姆法则
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线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
§8.1 行列式的定义
仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组
(8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、
二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2、b3 后便得到
行列式 D1、D2 和 D3 ,于是方程组(8.1.6)的解可表
示为 :
x1

D1 D
,
x2

D2 D
,
x3

D3 D
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线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
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例1解方程组
2x 3 y 1

4x

5
y

6
解 易见系数行列式
23
D
10 12 22 0
4 5
又
1 3
2
D1 6
5 18 13, 5
D2 4
于是其解为
x1

13 22
,
x2


16 22


8 11
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11
a31 a32 a33
(8.1.7)
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行, 纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右 下角的线称为主对角线.