双曲线的性质A知识讲解
双曲线的简单性质课件
焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04
双曲线知识点abc关系-解释说明
双曲线知识点abc关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是数学中的一种重要曲线形式，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将介绍双曲线的一些基本概念和相关知识点，包括知识点a、知识点b和知识点c。
通过深入研究和探索这些知识点，我们可以更好地理解双曲线的性质和应用。
在知识点a中，我们将讨论双曲线的定义和特点。
双曲线具有两个分支，其形状类似于对称的开口。
我们将探讨双曲线的方程形式、坐标轴、焦点和直角截距等重要概念，并介绍双曲线的几何性质和图形表示。
知识点b将进一步探讨双曲线的特点和应用。
我们将以具体的示例和实际应用为基础，展示双曲线在几何学、物理学、工程学等领域的重要性和用途。
通过深入了解双曲线的应用领域，我们可以更好地认识到双曲线对现实世界的实际意义和价值。
知识点c将围绕双曲线的探索和研究展开。
我们将介绍一些最新的研究成果和进展，包括双曲线的性质和变换、相关矩阵和方程、曲线的拟合等内容。
通过这些深入的研究，我们可以进一步掌握双曲线的数学本质和更高级的应用技巧。
通过本文的阐述，我们希望读者能够对双曲线有一个全面和深入的理解。
同时，我们也希望通过探索和研究双曲线的知识点a、b和c，能够拓宽我们在数学和其他领域中的思维和应用能力。
双曲线知识的掌握对于我们的学习和职业发展具有重要意义。
接下来，我们将深入讨论知识点a，揭示双曲线的定义和特点。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分进行论述。
引言部分主要对文章的主题进行概述，并介绍了文章的结构和目的。
首先会对双曲线的概念进行简单介绍，解释其在数学领域的重要性和应用价值。
接着，会对文章的结构进行说明，具体列出了正文各个部分的内容，以便读者能够清晰地了解文章的逻辑组织。
最后，会明确本文的目的，即通过对知识点a、b和c的探索和研究，揭示它们之间的关系，并展望双曲线知识点的应用前景。
正文部分是本文的核心，主要包括了三个知识点的介绍和分析。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。
2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。
3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。
二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。
双曲线的知识点归纳总结高中
双曲线的知识点归纳总结高中双曲线是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将对双曲线的基本定义、性质、图像以及常用的求解方法进行归纳总结，以帮助高中学生更好地理解和应用双曲函数。
一、基本定义双曲线是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a、b均为实数，并且b≠0。
其中cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，是指数函数的一种。
二、性质1. 双曲余弦函数cosh(x)为偶函数，满足cosh(x)=cosh(-x)。
2. 双曲正弦函数sinh(x)为奇函数，满足sinh(x)=-sinh(-x)。
3. 双曲余弦函数与双曲正弦函数的图像分别为关于x轴对称和关于原点对称的开口向上的曲线。
4. 双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数，即cosh'(x)=sinh(x)，而双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数，即sinh'(x)=cosh(x)。
三、图像1. y=cosh(x)的图像是一条开口向上的曲线，它在x=0处取最小值1，随着x的增大而不断逼近直线y=1，即y=cosh(0)=1。
2. y=sinh(x)的图像是一条对称的曲线，它在x=0处取最小值0，随着x的增大而不断逼近直线y=x。
四、常用求解方法1. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的加减法公式：cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)2. 双曲函数的导数和积分公式：(cosh(x))'=sinh(x)(sinh(x))'=cosh(x)∫cosh(x)dx=sinh(x)+C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C综上所述，双曲线是一种重要的数学函数，在高中数学学习中有广泛的应用。
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
双曲线的基本知识点abc关系
双曲线的基本知识点abc关系引言双曲线是高中数学中的重要内容之一，它是一种具有特殊形状的曲线。
本文将介绍双曲线的基本知识点以及其与参数a、b、c之间的关系。
一、双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线，其定义可以通过以下方程表示： x2/a2 - y2/b2 = 1 （当x > 0时）或 x2/a2 - y2/b2 = -1 （当x < 0时）其中，a和b是正实数，且a不等于b。
双曲线在原点处有一个对称中心，两支曲线分别向无穷远处延伸。
二、双曲线的性质双曲线具有以下几个重要的性质：1. 零点和对称轴双曲线的零点位于对称轴上，对称轴是y轴或者x轴。
2. 渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支曲线无限接近，且不会与双曲线相交。
3. 焦点和准线双曲线有两个焦点和一条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是与双曲线的两支曲线相切的直线。
4. 双曲线的离心率双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c是焦点到准线的距离，a是焦点到中心的距离。
离心率决定了双曲线的形状，离心率越大，曲线越扁平。
三、双曲线的分类根据双曲线的离心率，可以将双曲线分为三种类型：1. e < 1的双曲线当离心率e小于1时，双曲线的形状是两支分离的曲线。
这种双曲线称为椭圆双曲线。
2. e = 1的双曲线当离心率e等于1时，双曲线的形状是两支无限延伸的直线。
这种双曲线称为抛物线双曲线。
3. e > 1的双曲线当离心率e大于1时，双曲线的形状是两支无限延伸的曲线。
这种双曲线称为双曲线。
四、双曲线的参数关系双曲线的参数a、b、c之间存在一定的关系，下面将详细介绍这些关系。
1. a、b与离心率e的关系根据双曲线的定义，a和b是双曲线的半轴长度，而离心率e决定了双曲线的形状。
根据定义可知，e = c/a，其中c是焦点到准线的距离。
因此，离心率e与a的比值决定了焦点的位置，进而决定了双曲线的形状。
2. a、b与焦距f的关系焦距f定义为焦点到中心的距离，根据双曲线的定义可知，f = √(a^2 + b^2)。
高考双曲线基本知识点总结
高考双曲线基本知识点总结在高中数学课程中，双曲线是一个重要的内容，也常常在高考中出现。
双曲线作为一个二次方程的图像，具有许多有趣的性质和应用。
在这篇文章中，我们将总结一些高考双曲线的基本知识点，并探讨一些相关的应用。
一、双曲线的定义和标准方程双曲线可以由一个二次方程的图像表示，其标准方程如下：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴方向的半轴长度。
双曲线的图像具有两支分离的曲线，通过对称轴将平面分成两个部分，分别称为双曲线的两个分支。
对称轴是与x轴和y轴垂直的直线，传统上被称为实轴和虚轴。
二、双曲线的基本性质1. 焦点和准线双曲线上的每个点到焦点F和F'的距离之差等于常数2a，这个常数称为焦距。
焦距是双曲线的一个重要属性，它决定了双曲线的形状。
双曲线的对称轴上存在两个点，它们与焦点的距离之差等于焦距2a，这两个点称为准线。
2. 渐近线双曲线还具有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限接近但永远不会相交。
这两条渐近线分别是对称轴和过焦点的直线。
3. 离心率双曲线的离心率是一个重要的参数，它决定了双曲线的形状。
离心率定义为焦距与准线之比。
当离心率大于1时，双曲线的形状更加扁平；当离心率接近于1时，双曲线的形状更加接近于抛物线。
三、双曲线的应用1. 焦距和接近问题双曲线的焦距特性可以用于解决一些实际问题。
例如，在声学中，可以利用双曲线的焦点和准线来确定声源的位置。
同样地，在雷达技术中，焦距的应用可以用于确定目标的位置和距离。
2. 双曲线的参数方程通过引入参数t，我们可以用参数方程来表示双曲线的图像。
双曲线的参数方程如下：$x = a \sec(t)$$y = b \tan(t)$其中，sec(t)表示余切函数的倒数，tan(t)表示正切函数。
使用参数方程，可以更加灵活地描述双曲线的形状和位置，对于解决一些复杂的几何问题非常有用。
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
双曲线简单几何性质的知识点整理
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点 F ，F 的距离差的绝对值等于常数2a（ 0＜ 2a＜ |F F | ）的点的轨1212迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F F |=2c ，叫做焦距。
12●备注：①当 |PF |-|PF2|=2a 时，曲线仅表示右焦点 F 所对应的双曲线的一支（即右支）；12当 |PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点 F1所对应的双曲线的一支（即左支）；②当 2a=|F 1F2| 时，轨迹为以 F1， F2为端点的 2 条射线；③当 2a＞ |F 1F2| 时，动点轨迹不存在。
双曲线 x 2y 21与 y 2x21（a>0,b>0）的区别和联系a 2b2 a 2b2标准方程x2y21（ a>0,b>0）y 2x21（a>0,b>0 ）a2 b 2a2b2y yF2A2图像F1A1O A2 F2x O xA1F1范围对称性顶点坐标焦点坐标实、虚轴渐近线性质准线方程离心率焦半径通径a，b，c 之间的关系（二）双曲线的简单性质1．范围：由标准方程 x2y 21 （ a ＞ 0， b ＞ 0），从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的a 2b 2方向来看，随着 x 的增大， y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围 ________ ,y的取值范围 ______2. 对称性： 对称轴 ________ 对称中心 ________ y3．顶点： (如图)顶点： ____________ N特殊点： ____________Q B 2M实轴： A 1A2长为 2a, a 叫做半实轴长虚轴：B 1B2 长为 2b ， b 叫做半虚轴长A 1OA2x双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点B 14．离心率：2c cea ，叫做双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比2a范围： ___________________bc 2 a 2c 2 12kaa 2 e 1双曲线形状与e 的关系：a，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数ec(ca 0)a的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数 e 是双曲线的离心率．准线方程：x 2y 2 1l 1 a 2 对于 a 2b 2F 1 ( c,0): x来说，相对于左焦点对应着左准线c ，a 2F 2(c,0)对应着右准线l 2 : x相对于右焦点c ；6．渐近线x 2 y 21a ，经过 B 1, B2作 y 轴的垂线y过双曲线 a2b2b，四条直线的两顶点A 1, A2 ，作 x轴的垂线 xxy 0围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是____________ 或（ ab），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义FF2a2a,a 0 的距离之差的绝对值等于定长、 F的点的轨迹称为双曲线，其中两）平面内，到两定点（ 1F2121F F 的长称为双曲线的焦距 .此定义为双曲线、 F称为双曲线的实轴长，线段称为双曲线的焦点，定长2a F定点2121 .的第一定义F PFFPF P 2a【注】.点轨迹为两条射线，此时1212（ 2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值1 的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦e ee 称为双曲线的离心率 .此定义为双曲线的第二定义 .点，定直线称为双曲线的准线，定值、双曲线的简单性质22222xyxy 1 a,b 001 a,b标准方程2222aabb顶点坐标Aa,0B0, ac,0上焦点 F 0, c F，下焦点左焦点 F，右焦点 F焦点坐标0,cc,02211实轴长 2a 2b、虚轴长 2b实轴长 2a 、虚轴长虚轴与虚轴a ，有界性xyay .轴对称，同时也关于原点对称轴对称，关于 x 关于对称性、渐近线3bx2222xx x . 0 ，即y y0 ，或y1 a, by0的渐近线为双曲线2222a b b aaa b【注】2222x具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；0xy1y①与双曲线2222bba a22yxb；0的双曲线方程可以设为x ②渐近线为y22a ba.共轭双曲线具有相同实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，③共轭双曲线：.的渐近线④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.、焦半径422x为双曲线 , y ) y F P P( x.若1 a, b 0 的距离称为焦半径到双曲线焦点上的任意一点，双曲线上任意一点2200ba.c e，其中 | PF | ex a a F ( c,0) ， F (c,0) 为双曲线的左、右焦点，则，ex|PF |012201a5、通径22xy F A B AB 为双曲线的通径，、焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于两点，称线段01 a,b过双曲线22ab.2b AB2且a6、焦点三角形22xy P 为双曲线c,0) ， F (c,0)PFF 为双曲线的焦点双曲线的左右焦点，称上的任意一点，为 (01 a,bF212122ba2 S ，则焦点三角形的面积为： cot .bPF若 .三角形F F PF 212127、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.22xy0 的焦点三角形的内心的轨迹为xa y 01 a, b、双曲线822ab9、直线与双曲线的位置关系22y x 1 a,b0 l : AxCBy，则0，双曲线直线：22ab22222 Ba AC；b相交l 与22222 Ba AC；b相切与 l22222 Aa B相离 l 与Cb.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.4条、3条、2条，或者 0条.过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为【注】、焦点三角形角平分线的性质111 a, b2 F , F b FPF M P(x,22x点y是双曲线y)是双曲线的焦点，上的动点，是a0的角平分线上一点，且21221x2 a M22的点的轨迹为，即动点yFM MP OM0axa ，则.212、双曲线上任意两点的坐标性质22222x byy21 , yA x , B x , y xx为双曲线y.上的任意两点，且0 ，则1 a, b2121122 2 222xxaab 21P 为双曲线上的任两点，的中心，与双曲22yx线交于 , yA x , y1a, b 0, B x过双曲线【推广 1】直线l 212122bab2 k , k 意一点，则 kk.均存在）（BPAP BPAP 2a22x】设直线 2【推广l：yk x E E D 两点，交直线l 1 a,b 0 于 C、．若于点 y：交双曲线k x m m 0 y121222ba2b的中点，则 CD 为.kk21 2a13、中点弦的斜率222yx b x0 A, B , yAM交于两点，且 0与双曲线 M x过直线 l y.1 a, b 0 k的斜率BM ，则直线 l 000AB222aba y0P M,N、点14两上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线22x于y是双曲线220)P( x, y) ( x0, y b a01 a, b2 PM PN a定值点，则.x22是双曲线PM , NP(x,y)( x0, y 0)两交渐近线于作渐近线的平行线，上的动点，0 过 15、点 y1 a, b22ba ab . S 定值点，则OMPN2【典型例题】10 x 2 y 0 ，这双曲线的方程为、双曲线的渐近线方程为，焦距为例1_________.22xy k _________.的取值范围是1 】若曲线1【变式表示双曲线，则1 k4 kxy221的两条渐近线的夹角为【变式2】双曲线_________. 482222xxyy11有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为和双曲线_________.】已知椭圆【变式322225n3m3n2mxx2222 1(m n 0) 和双曲线】若椭圆4P yy 为两曲线的一个交，、 F F1(a 0, b 0) 有相同焦点【变式21banm PFPF点，则_________.2122 4 yyx 2 C : x恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是的图像与曲线【变式5】如果函数）（1,0 (, 1] [0,1) [ 1,0] (1, [1,1) )D.A． B.C.x2 C :2 2与双曲线y 1P C x A, B 上的任意一点，若直线6】的渐近线交于为双曲线两点，设【变式4OPaOA bOB a, bR,O )为坐标原点(，则下列不等式恒成立的是（）2222ba a1 2b A. B.22222ba a1 2 b C. D.22222xxy y S 1,连接其四个焦点的四边形面积为的四个顶点为四边形面积为1 1】设连接双曲线7【变式与2222ababS1 S_________.，则的最大值为2S21 P PFPF =0在双曲线上，,的左右焦点若点2122F、xFy 分别是双曲线、设例2且 PFPF =_________.，则21219x22【变式 1】过双曲线y 的弦 AB6 ，则ABF （ F 为右焦点）的周长为 _________. F1 的左焦点212910 x22【变式 2】双曲线P y 是双曲线上的动点，且，、FPF 9 ，则 PF _________.F的左、右焦点1 212120162x1y F、F F PF PF F P 2的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且是双曲线、设例3的面积 .，求21211243221 A、B y3x AB 1 y kx O 为直径的圆恰好过原点两个不同的交点，如果以有与双曲线4、已知直线例,k .的值试求22 1 A、B y3x k A、 B 1 y kx 两点，那么是否存在实数相交于与双曲线例5、已知直线两点关于直线使得k 0 x 2 y 的值；若不存在，说明理由对称？若存在，求出. x22例6、已知双曲线y F F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率若过点的右焦点为1,124的取值范围为 _________.2 y y1( x4) xC ；:【变式 1】已知曲线C ）画出曲线 1（的图像；lC k 1 kx y有两个公共点，求：（ 2）若直线与曲线的取值范围；P 0，pp 0 C PQ Q.为曲线）若 3 ，的最小值上的点，求（22xlC2y1ax y 1 0：：与曲线 2【变式】直线 .a lC的取值范围；有且仅有一个交点，求实数与曲线（ 1）若直线2a aPQ 2 1Cl的取值范围；，求实数 2 被曲线）若直线截得的弦长（a a PQ为直径的圆经过原点，若存在，求出，使得以.（ 3）是否存在实数的值；若不存在，请说明理由xy PF22PA 1 P A(14)F，是双曲线右支上的动点，求的左焦点，,例7、已知是双曲线.的最小值4 1222221上的点，2y x 54 P 则和是双曲线的右支上一点，1 【变式】yx2x 5分别是圆M , N y169PMPN 的最大值等于 _________.yy49P x 5 x 5P1.的轨迹方程都外切，求动圆圆心2222和、已知动圆例8 与两个定圆ABC A 5，0 B 5,0 ABC x 3 C 上，则顶点【变式,，的顶点为】1的内切圆圆心在直线的轨迹方程是_________.M 、N MN1x 7,0yF与其相交于，直线】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为【变式 2 两点，线段2，求此双曲线的方程的中点的横坐标为.22xy 1 _________.M、已知双曲线例9为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为，若点169C 2) x P(0,的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以轴上的双曲线1 为半径的、焦点在例10C P x y对称关于直线的一个焦点与圆相切，又知双曲线（ 1）求双曲线的方程；AB 的中点，求直线及在经过点）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线（Cll M ( 2,0)y mx 1A, B2n .轴上的截距的取值范围222 ya xl C 2,01 ykx 右焦点为：，等轴双曲线【变式】设直线的方程为.（1）求双曲线的方程；lA、 B k k MABM的表示点中点为,记，求实数2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点的取值范围，并用（坐标；Q1,0 yQM轴上的截距的取值范围在，求直线（ 3）设点.22xCy1方程为：例11、已知双曲线.222 xB A、y 5 C m AB 0 x y m的中点在圆，且线段的值；上，求交于不同的两点与双曲线）已知直线（ 1 P( x ) x yly2CA B, y0x）设直线（ 2：是圆00002 2Ol、，（上动点）处的切线，交于不同的两点与双曲线AOB .的大小为定值证明23x x 、A A y P 6,6轴上，其渐近线方程是在、已知中心在原点，顶点12例.，双曲线过点213（ 1）求双曲线的方程；PA G M 、 N l G MN Al，与双曲线交于不同的两点的重心，，使平分线段，问：是否存在直线经过）动直线（ 2 21.证明你的结论2y 2F x xFCF轴的直线，在作垂直于x 1 b 0为双曲线：例13、已知点、轴上方交双的左、右焦点，过2122b222M b O C x ．F y 的方程是，且曲线．圆于点MF3021 C的方程； 1（）求双曲线C 上任意一点（）过双曲线作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P P P PP PP 的值；、，求22112O MABAB OCl Q x上任意一点）过圆（ 3，求证：于中点为交双曲线作圆两点，的切线、．, y00xy22b3a 1 a 0,b C例14、已知双曲线：． F 2,0 ，且的一个焦点是0 222ab的方程；）求双曲线 C （ 1l(m,1) 的右支相交于C与双曲线当直线lA, B F，的一个法向量为的直线不同的两点时，求实）设经过焦点（ 22223( x 1)y 3 m AB M 在曲线中点上．的取值范围；并证明数lm AOB A, B为锐角？若存在，请两点，问是否存在实数与双曲线 C 的右支相交于，使得 2 3（）设（）中直线m 的范围；若不存在，请说明理由．求出。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结本文档将对双曲线的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。
1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，其方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0) \]其中，\[ a \] 和 \[ b \] 分别为椭圆的半轴。
2. 双曲线的基本性质- 双曲线有两个分支，分别向左右两个方向无限延伸。
- 双曲线的焦点为椭圆的焦点，焦点到曲线上任意一点的距离之差等于常数 \[ 2a \]。
- 双曲线的渐近线是通过焦点的直线，其斜率为 \[ \pm\frac{b}{a} \]，与曲线的交点即为曲线的渐近点。
3. 双曲线的图像特征- 当 \[ a > b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ x \] 轴。
- 当 \[ a < b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ y \] 轴。
- 当 \[ a = b \] 时，双曲线为特殊情况，即为双曲线的渐近线。
4. 双曲线的应用双曲线的应用非常广泛，包括但不限于以下领域：- 数学分析：双曲线是解析几何研究的重要方向，应用于函数的图像分析、曲线的参数化等。
- 物理学：双曲线广泛应用于描述物体的运动轨迹、电磁场的传播等。
- 经济学：双曲线模型被应用于市场供需曲线、货币供给曲线等的分析与建模。
- 工程学：双曲线被应用于设计天地线、曲线形状的构造等。
5. 参考文献1. 张三, "双曲线的基本性质研究", 《高等数学学报》, 2010.2. 李四, "双曲线在物理学中的应用研究", 《物理学杂志》, 2012.以上是对双曲线知识点的简要归纳总结，希望能对读者理解和应用双曲线有所帮助。
双曲线标准方程中的abc的含义
双曲线标准方程中的abc的含义在双曲线的标准方程中，abc分别是曲线的参数，用来确定双曲线的特征和性质。
双曲线的标准方程通常表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1其中，a和b是正实数，表示曲线的形状和大小。
下面将详细解释abc在双曲线中的含义。
1. a的含义：a是双曲线的主轴半长轴，也被称为“大半轴”。
双曲线的主轴是将曲线分为两部分的对称轴，而半长轴是主轴上曲线的一半长度。
在双曲线的标准方程中，a的平方表示横坐标的标度。
具体来说：-当a>0时，双曲线的主轴是x轴，且横轴左右两侧无限延伸；-当a<0时，双曲线的主轴是y轴，且纵轴上下两侧无限延伸。
2. b的含义：b是双曲线的次轴半短轴，也被称为“小半轴”。
次轴是与主轴垂直的对称轴，半短轴是次轴上曲线的一半长度。
在双曲线的标准方程中，b的平方表示纵坐标的标度。
具体来说：-当b>0时，双曲线的次轴是y轴，且纵轴上下两侧无限延伸；-当b<0时，双曲线的次轴是x轴，且横轴左右两侧无限延伸。
3. c的含义：c是双曲线的焦点距离，表示焦点离曲线中心的距离。
双曲线的焦点是曲线上两个特殊的点，被称为焦点F1和F2。
焦点具有以下特点：-焦点到曲线上任一点的距离之差始终保持不变，等于2c；-焦点与曲线的中心点在主轴上形成对称关系。
4. a、b和c之间的关系：在双曲线的标准方程中，a、b和c之间存在一定的关系，由椭圆的定义可得：c^2 = a^2 + b^2这是椭圆方程的一个基本性质，也被称为焦半径定律。
它表示双曲线上任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，也等于主轴的长度。
5.双曲线的形状：通过改变a和b的值，可以调整双曲线的形状和方向。
具体来说：-当a<b时，双曲线的形状更加“扁平”，主轴与x轴的夹角变大；-当a>b时，双曲线的形状更加“狭长”，主轴与x轴的夹角变小；-当a=b时，双曲线变为抛物线。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面解析几何中的一种二次曲线，它可以用以下方程表示：双曲线方程双曲线方程其中，a表示横轴半轴长度，b表示纵轴半轴长度。
双曲线以原点为中心，在横轴和纵轴上分别有两个焦点。
2. 双曲线的性质2.1 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支趋于无穷远。
这两条渐近线的斜率分别为渐近线斜率。
2.2 双曲线的离心率双曲线的离心率可以通过以下公式计算得出：离心率公式离心率公式当离心率大于1时，双曲线是实双曲线；当离心率等于1时，双曲线是抛物线。
2.3 双曲线的焦距双曲线的焦距可以通过以下公式计算得出：焦距公式焦距公式焦距表示了焦点与原点之间的距离。
3. 双曲线的图像双曲线的图像特点如下：•当a > b时，双曲线的两个分支打开向左右两侧；•当a < b时，双曲线的两个分支打开向上下两侧；•当a = b时，双曲线为一对直线。
双曲线的图像在横纵轴上对称。
4. 双曲线的应用4.1 数学双曲线在数学中有多种应用，例如：•函数图像：一些函数的图像可以是双曲线，如双曲正弦函数；•几何问题：双曲线可以用于解决一些几何问题，如求解焦点坐标等；4.2 物理双曲线在物理学中也有广泛应用，例如：•光学：双曲线可以用于描述光线的传播和反射，例如双曲面镜的形状；•电磁场：双曲线可以用于描述电磁场的分布和行为，例如电磁波的传播等；4.3 工程在工程领域，双曲线也有很多应用，例如：•通信：双曲线可以用于通信系统中的信号传输和接收，例如双曲线编码；•电路设计：双曲线可以用于电路的分析和设计，例如传输线的特性阻抗等；5. 总结双曲线是一种重要的二次曲线，在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
了解双曲线的定义、性质和图像特点，能够帮助我们更好地理解和应用双曲线。
在实际问题中，我们可以利用双曲线来解决各种数学、物理和工程上的难题，为科学和技术的发展做出贡献。
高考数学 双曲线及其性质 讲解
16 9
例2 (2022广东茂名调研三,14)若双曲线经过点(1, 3 ),其渐近线方程为y
=±2x,则双曲线的方程是
.
x2 y2
13
解析 ①若双曲线的焦点在x轴上,则设 a2 - b2 =1(a>0,b>0),则 a2 - b2 =1且
b
1
a =2,联立解得a= 2 ,b=1,则双曲线的方程为4x2-y2=1;
③若Δ<0,则l与C相离.
综合篇
考法一 求双曲线的标准方程 1.定义法:由已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用双曲线的定 义求出参数a,b的值,从而得到所求的轨迹方程,求轨迹方程时,满足条件 “|PF1|-|PF2|=2a(0<2a<|F1F2|)”的轨迹为双曲线的一支,应注意合理取舍; 2.待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标 准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方 程. 方程的常见设法:
高考 数学
专题九 平面解析几何
9.3 双曲线及其性质
基础篇
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线.
2.标准方程
焦点在x轴上: x2 - y2 =1(a>0,b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: y2 - x2 =1(a>0,b>0).
双曲线C的渐近线方程为y=±
bx.∵
a
F1B·F2 B=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示,不妨设点B在第一象限,
数学人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质(焦半径、离心率)课件
且PF1F 2的最小内角为 ，求离心率 e
6
2、双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的右支上总存在到双曲
线中心与有焦点距离
相等的两个相异点，求 离心率e的范围。
小结：
焦点在x轴上
渐进线 特征量
x2 a2
y2 b2
1 (a
b 0)
x a或x a, y R
上始终存在一点P，使得| oP || PF | .求双曲线离心率范围。
解：过点P作PH OF于点H OP PF
| OH | c 2
| OH | a
c a 2
e c 2 a
p OH F
课堂练习：
1、双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左焦点 F，右顶点 A，
虚轴的一个端点为 B，若ABF为等腰三角形，求离心 率e
ya x b
THANK YOU
a 1 e 3
四、合作探究：（离心率）
1、双曲线离心率：
e c a
a2 b2 a2
1 (b)2 a
2、双曲线离心率范围： e 1
通过解不等式得c 或 b 的范围求离心率的范围 aa
五、例题讲 授：
例3：ABC是等腰三角形，ABC 2 双曲线以AB为焦点，且过了点C。求双曲线离心率
3
解：ABC中| AB || BC | 2c, ABC 2
双曲线的右支上，且|F1F2 |=4， |PF1|-|PF2|=3，求|PF1|的最小值
解：设P( x0 , y0） | PF1 | PF2 | 3
2a 3, a 3 2
| F1F2 | 4 c 2
双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课件 高二上数学人教A版(2019)选择性必修第一册
y=± x
b
2 2
2.(1)双曲线16-y =1 的顶点坐标是(
A.(4,0),(0,1)
B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1)
D.(-4,0),(0,-1)
2
(2)若双曲线
4
是
.
−
)
2
=1(m>0)的渐近线方程为
3
y=± x,则双曲线的离心率
2
解析:(1)由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,
−
2
=1
2
的离心率为 3,则其渐近线方程
)
A.y=±2x
B.y=± 2x
1
C.y=±2x
2
D.y=± 2 x
(2)已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m=
.
解析:(1)在双曲线中,离心率
e=
=
1+
2
故所求的双曲线的渐近线方程是 y=± 2x.
2
2
(2)双曲线方程化为标准方程得 x - 1 =1,
当所求双曲线的焦点在 y
2
轴上时,可设其方程为
64
将点(2,0)的坐标代入方程得
1
λ=- <0(舍去).
4
2 2
综上可知,所求双曲线的标准方程为 4 -y =1.
−
2
=λ(λ>0),
16
2
− =λ(λ>0),
16
探究三
【例 3】
求双曲线的离心率
2
(1)已知双曲线 2
线的离心率为
(2)设 F1,F2 是双曲线
数学双曲线知识点总结
数学双曲线知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\(a\) 是实轴的一半长度，\(b\) 是虚轴的一半长度。
2. 焦点和焦距双曲线的两个焦点位于实轴上，其坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中\(c\) 是焦距，满足 \(c^2 = a^2 + b^2\)。
3. 实轴和虚轴双曲线有两个主轴：实轴和虚轴。
实轴是连接两个焦点的直线，虚轴垂直于实轴并通过双曲线的中心。
4. 离心率双曲线的离心率 \(e\) 是一个大于1的数，定义为焦距与实轴半长度的比值，即 \(e = c/a\)。
5. 渐近线双曲线有两条渐近线，它们的方程为 \(y = \pm (b/a)x\)。
渐近线是双曲线的对称轴，双曲线永远不会与渐近线相交。
6. 等轴双曲线当 \(a = b\) 时，双曲线变成等轴双曲线，其方程简化为 \(x^2 - y^2 = a^2\)。
7. 双曲线的性质- 双曲线是对称的，关于实轴和虚轴对称。
- 双曲线是开放的，没有封闭的边界。
- 双曲线的两个分支是镜像对称的。
8. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学中的电磁波传播。
- 工程学中的曲线设计。
- 天文学中描述行星轨道。
9. 双曲线的绘制可以通过以下步骤绘制双曲线：- 确定焦点位置。
- 画出实轴和虚轴。
- 确定渐近线的方程。
- 在满足标准方程的点上绘制双曲线的分支。
10. 双曲线的方程变形双曲线的方程可以变形为其他形式，例如：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = k\]其中 \(k\) 是任意实数，表示双曲线的开口大小和方向。
11. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以表示为：\[x = a \sec(t)\]\[y = b \tan(t)\]其中 \(t\) 是参数。
50A 知识讲解双曲线的性质
双曲线的性质【学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质范围22221xx aax a x aQ即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x ya b-=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得22222()11b c a c e a a a-==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
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双曲线的性质编稿：希勇审稿：霞【学习目标】1.理解双曲线的对称性、围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质围22221xx aax a x a即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x ya b-=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得22222()11b c a c e a a a -==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线a b =，所以离心率2=e 。
渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x=±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y=±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±。
我们把直线x aby ±=叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
22=--||b bMN x a x a a2222=--=→+-b x a x aabx x a【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点一、3】 要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==+2212||2()F F c c a b ==+围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±(0,)a ±轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b离心率 (1)ce e a=> 渐近线方程x ab y ±= a y x b =±要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
要点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为12222=-b y a x ，则其渐近线方程为⇒=-02222b y a x 0=±b y a x ⇒x aby ±=已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可。
（3）与双曲线12222=-by a x 有公共渐近线的双曲线与双曲线12222=-by a x 有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠. 要点四、双曲线中a,b,c 的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=b 2+a 2。
双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ,焦距12||2F F c =，（2）离心率：21211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+⇒>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.（5）与焦点三角形21F PF ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系.【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质356749例1】例1．求双曲线22169144-=x y 的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.【解析】把方程化为标准方程221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c == ∴双曲线的实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-， 离心率53c e a ==，渐近线方程为34y x =± 【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示.举一反三：【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于() A ．14-B ．－4C ．4 D.14 【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k 的值等于（） A ．－2 B ．1 C ．－1 D ．32- 【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2.已知双曲线方程，求渐近线方程。
（1）221916x y -=；（2）221916x y -=- 【解析】（1）双曲线221916x y -=-的渐近线方程为：220916x y -=即43y x =±（2）双曲线221916x y -=的渐近线方程为：220916x y -=即43y x =±【总结升华】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为b x y a =±，即ay x b =±；若双曲线的方程为2222x y m n λ-=（00m n λ>>、，，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上），则其渐近线方程为22220x y m n -=⇒0x y m n ±=⇒ny x m=±.举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程（1）2211636x y -=；（2）2228x y -=；（3）22272y x -=【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（） A ．54y x =± B ．45y x =± C ．43y x =± D ．34y x =±【答案】D例3.根据下列条件，求双曲线方程。
（1)与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M 【解析】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b-=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪--=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(3,-代入得14λ=， 所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=. 故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴284λ-=，解得4λ=， ∴所求双曲线方程为2211636x y -=. 【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。
若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）.举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（） A.225513654x y -= B.225513654x y -+= C.22131318136x y -= D.22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线1222=-y x 有公共渐近线的双曲线是 ( )A.14222=-x yB.12422=-y xC.12422=-x yD.14222=-y x【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值围例4.已知21,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,求双曲线的离心率。