15-4简谐振动的合成
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第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
简谐运动的合成
x = ( 2 A1 cos 2 π
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
第五章 振动与波 基本知识点
o受迫振动振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。
受迫振动的频率等于驱动力的频率cos()d A t ψωϕ=+tF F d ωcos 0=当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。
这种现象称为共振。
共振2)若两分振动反相(位相 相反或相差的奇数倍)x即 φ2φ1=(2k+1) (k=0,1,2,…)ox2x1T 2T合成振动3T 22T则A=|A1-A2|, 两分振动相 互减弱, 合振幅最小; 如果 A1=A2，则 A=0t11同方向不同频率简谐振动的合成1、分振动为简单起见，令A1 A2 Ay1 A cos(1t ),y2 A0 cos(2t )2、 合振动y y1 y2 1 2 1 2 y 2 A cos t t cos 2 2 合振动不是简谐振动12当1 、2很大且接近时, 2 1 2 1 令：y A(t )cos t2 1 )t 式中 A(t ) 2 A0 cos( 2 2 1 cos t cos( )t 2随t 缓慢变化 随t 快速变化合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动 当频率 1 和 2 相近时，两个简谐振动的叠加，使得 合振幅时而加强、时而减弱，形成所谓拍现象。
13ψ1 t ψ2 t ψ t拍 拍： 合振动忽强忽弱的现象。
拍频 ：单位时间内强弱变化的次数。
1 拍 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 14波的产生与传播1、波的产生 波：振动在媒质中的传播，形成波。
产生条件：1) 波源—振动物体; 2) 媒质—传播振动的弹性物质.2、机械波的传播机理(1) 波的传播不是媒质中质点的运输, 而是“上游” 的质点依次带动“下游”的质点振动 (2) 某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某处出现——波是振动状态的传播153、机械波的传播特征 波传播的只是振动状态，媒质中各质点并未 “随波逐流”。
阻尼振动和受迫振动ppt课件
但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不 断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而 使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时， 这能量转变为共振质点的能量，也叫共振 吸收。
陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168
21
通常称 A p 与 p 的关系曲线为频率响应曲线。
当 Ap maxAp()/ 2时，即相对振幅为 0.707 (即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振 峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情
18
讨论：p 0, ApH p /2mp h2 较小
p 0,
H/m H
Ap 2 0
k
p0, Ap 2 H/ m 0 若很小，A p 很大。
3-2 共振
求振幅 Ap 得出
h
对频率的极值，
(02p2)242p2
振幅有极大值：
Ar 2
h
02 2
共振的振幅。
pr 02 22 共振的角频率。
19
pr 02 22 共振的角频率。
k2 A20co 2xsd x1k2 A
2T0 0
4
4
求出势能的时间平均值:
E pT 10 T1 2k2 A co 2(s0t0)d t
k2 A20co 2xsd x1k2 A
2T0 0
4
结论：
* 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
co s co s2 co s co s
2
2
合成振动表达式：
x ( t) A co 1 t s ) A (co 2 t s )(
30
附录：三角函数关系式的证明
4 cos cos
22
陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168
21
通常称 A p 与 p 的关系曲线为频率响应曲线。
当 Ap maxAp()/ 2时，即相对振幅为 0.707 (即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振 峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情
18
讨论：p 0, ApH p /2mp h2 较小
p 0,
H/m H
Ap 2 0
k
p0, Ap 2 H/ m 0 若很小，A p 很大。
3-2 共振
求振幅 Ap 得出
h
对频率的极值，
(02p2)242p2
振幅有极大值：
Ar 2
h
02 2
共振的振幅。
pr 02 22 共振的角频率。
19
pr 02 22 共振的角频率。
k2 A20co 2xsd x1k2 A
2T0 0
4
4
求出势能的时间平均值:
E pT 10 T1 2k2 A co 2(s0t0)d t
k2 A20co 2xsd x1k2 A
2T0 0
4
结论：
* 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
co s co s2 co s co s
2
2
合成振动表达式：
x ( t) A co 1 t s ) A (co 2 t s )(
30
附录：三角函数关系式的证明
4 cos cos
22
振动学基础-大学物理
2
A cos (t
)
7
8
特征量：
x 位移
A 振幅
广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量
9
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2π
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相
初相位
初位相
取决于时间零点的选择
10
小结
S. H. V. 的判据
= /4 = /2 = 3/4
P··Q
= = 5/4 = 3/2 = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
§3 平面简谐波 一 机械波产生的条件 1 机械波的基本概念
一、波的产生 二、横波和纵波 三、波长 波的周期和频率 波速
36
一、机械波的产生 1、机械波——机械振动在弹性介质（固体、液 体和气体）内的传播
45
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:
yP (t)
A c os
t
x u
0
利用关系式 2 T 和 2 ，并uT概括波的两种可能的
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直 向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
12
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y)Sg mg ySg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
Sg
m
因 m Sh,
同方向、不同频率的简谐振动的合成
02 x
h cos
pt
• 共振
同方向、同频率的简谐振动的合成(干涉)
A A12 A22 2A1A2 cos2 1
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
同方向、不同频率的简谐振动的合成(拍) 21
垂直方向、同(不同)频率简谐振动的合成
李萨如图
23
mghsin I
O
mgh 0Iຫໍສະໝຸດ 2 0mgh IC
简谐振动的能量
mg
E
Ek
E p
1 4
kA2
1 4
kA2
1 2
kA2
* 任一简谐振动总能量 与振幅的平方成正比
22
• 谐振子的阻尼振动
mx kx x
令
2 0
k ;
m
；h
2m
H m
• 谐振子的受迫振动
d 2x dt 2
2
dx dt
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
24
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。13
x2 A12
用李萨如图形在 无线电技术中可 以测量频率：
Tx :Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入 两个振动，已知其中一个频率，则可根据所 成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就 可得知另一个未知的频率。
简谐振动
I
G A
H
简谐振动曲线如图 以上描述简谐振动的方法称为简 谐振动的矢量图解法.
T
N
J
M
K T
L
t
12
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
18
解：设物体沿x 轴作简谐振动
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当t = 0 时 ，x = A ，cos =1 ，
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m
k
32.0
rad s
1
8.00 rad s
-1
即 =0
速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.00×0.100 m s1 = 0.800 ms1 am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m s2 = 6.40 ms2 所以 v = 0.800 sin 8.00 t ms1
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 Asin
v0 t an x0
10
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
x
T 2
G A
H
简谐振动曲线如图 以上描述简谐振动的方法称为简 谐振动的矢量图解法.
T
N
J
M
K T
L
t
12
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
18
解：设物体沿x 轴作简谐振动
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当t = 0 时 ，x = A ，cos =1 ，
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m
k
32.0
rad s
1
8.00 rad s
-1
即 =0
速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.00×0.100 m s1 = 0.800 ms1 am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m s2 = 6.40 ms2 所以 v = 0.800 sin 8.00 t ms1
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 Asin
v0 t an x0
10
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
x
T 2
大学物理振动和波
MM
M M
M
M
M
M M
PP
PP
M
M
PPAAAPPAAAAAPAPAAAPAAAAPPAAAAAPPAAPP
M
PP
M M
PPPM
M
x
M M M MM MM
.
19
2、用旋转矢量分析位相与振动的关系
A2
x1AC (to s 1)
x2AC (to s2) 0
φ
A1
2 φ1
x
若周相差ΔΦ= φ2-φ1＞0
则称振动 2 超前振动 1，振动 1 滞后振动 2
三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成
利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）
[例5]已知
xx2 1 6 8cco o1 1ss00((tt00 3 44 )m )m,m ,m
求：合振动的振幅及初相位，并写出合振动的表达式。
解：
2
1
,
2
cos( ) 0
2
A
A A 1 2A 2 26 2 8 2 1m 0m A1 3
第 十五章 机械振动
机械振动： 物体在一定位置附近来回往复的运动。 其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。
机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单 的机械振动是周期性的直线振动——简谐振动。任何复杂 的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的。
基本内容：
谐振动的特征 谐振动的描述 谐振动的合成
若周相差ΔΦ= 0，则称两振动同步
若周相差ΔΦ=π，则称两振动反相
0
A1 A2
A2
.
0
A1
20
[例4] 一谐振动的振动曲线如图所示，求ω、φ以及振动
机械振动知识
2
0 — 固有频率， — 阻尼因子
则运动方程写为
d2x dx 2 2 0 x 0 dt dt 2
第十章 机械振动
与微分方程对应的特征方程为
2 2 02 0
特征根为
2 02
1. 阻尼振动
若阻尼较小，即 2 < 02 则
j 02 2 j
1 2 1 2 2 kx kA cos ( t 0 ) 2 2
Ep
系统的动能和势能都随时间周期变化，当位移最大时，势 能达到最大，动能为零；过平衡位置时，动能最大，势能为 零。动能和势能的幅值相等。
第十章 机械振动
系统的总能量
1 2 1 E E K E p kA m 2 A 2 2 2
T
0
第十章 机械振动
§10-2 阻尼振动
在恢复力和阻力共同作用下的振动为阻尼振动，系统的 能逐渐衰减，振幅不断减小，最终停止。
当运动速度不太大时，阻力与速度成正比
f dx dt
—阻尼系数
运动方程
dx d2 x kx m 2 dt dt
k 令 0 , 2 m m
的相差为 2n。
相位概念的重要性还在于比较两个振动的步调： = 2n，两个振动完全同步调，称这两个振动同相； = 2n +1，两个振动完全反步调，称这两个振动反相。
第十章 机械振动
四. 简谐振动的旋转矢量表示
旋转矢量的一个空间特定位置，代表振动的一个特定状 态。例如：
过平衡点向负方向运动
第十章 机械振动
任一时刻， L 上的自感电动势和 C 上的电压分别为
L L
dI dt UC q C
0 — 固有频率， — 阻尼因子
则运动方程写为
d2x dx 2 2 0 x 0 dt dt 2
第十章 机械振动
与微分方程对应的特征方程为
2 2 02 0
特征根为
2 02
1. 阻尼振动
若阻尼较小，即 2 < 02 则
j 02 2 j
1 2 1 2 2 kx kA cos ( t 0 ) 2 2
Ep
系统的动能和势能都随时间周期变化，当位移最大时，势 能达到最大，动能为零；过平衡位置时，动能最大，势能为 零。动能和势能的幅值相等。
第十章 机械振动
系统的总能量
1 2 1 E E K E p kA m 2 A 2 2 2
T
0
第十章 机械振动
§10-2 阻尼振动
在恢复力和阻力共同作用下的振动为阻尼振动，系统的 能逐渐衰减，振幅不断减小，最终停止。
当运动速度不太大时，阻力与速度成正比
f dx dt
—阻尼系数
运动方程
dx d2 x kx m 2 dt dt
k 令 0 , 2 m m
的相差为 2n。
相位概念的重要性还在于比较两个振动的步调： = 2n，两个振动完全同步调，称这两个振动同相； = 2n +1，两个振动完全反步调，称这两个振动反相。
第十章 机械振动
四. 简谐振动的旋转矢量表示
旋转矢量的一个空间特定位置，代表振动的一个特定状 态。例如：
过平衡点向负方向运动
第十章 机械振动
任一时刻， L 上的自感电动势和 C 上的电压分别为
L L
dI dt UC q C
简谐振动的合成
2、次谐频：
(1)振动的分解在大多数情况下都是按福里哀谐频分解，即这时分振动的频率都 是某个基频的整数倍。但在另外一定的条件下，其分振动的频率是某个分数基频 （例ν/2）的“谐频”──这种现象叫做次谐频。
(2)出现福里哀谐频和次谐频现象，都是一种非线性效应。但二者有区别；无论多 么弱的非线性都可产生福里哀谐频。但要产生次谐频，则对非线性有阈值限制。
2
由 1cos2 2 cos1
得
x A1
cos2
y A2
cos1
sint sin(2
1)
311Βιβλιοθήκη 由 1 sin2 2sin1
得
x A1
s in 2
y A2
s in 1
cost sin(2
1)
4
32 42 并整理可得
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1)
sin2 (2
1)
Acos(t 0 )
两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动。
其中 合振幅
A A12 A22 2 A1A2 cos(20 10 )
初位相
0
tg 1
A1 sin10 A1 cos10
A2 sin20 A2 cos20
2
2、旋转矢量合成法
两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度 旋转，故形成稳定的平 形四边形。
谐振动，这种分解叫做谐波分析，其中ω—基频，nω—泛频（倍频）或福里哀谐频。
15
16
一个任意的周期性复杂运动，分解后是一组包含一系列谐泛频振动的无穷级数。
一个随机的振动分解后只能用福里哀积分表示，即其频谱线不是分立的，而是 连续的，即
高二物理竞赛两个同方向同频率简谐运动的合成PPT(课件)
x1 5 cos(20 t 2) cm
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
同方向、不同频率的简谐振动的合成
合振幅 Acos cost Asin sin t
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
两个相互垂直的简谐运动的合成
消第1项
③ ④
③ cos 2 ④ cos 1 A1 A2
1
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
x A1 (cos t cos 1 sin t sin 1 )
③
y A2 (cos t cos 2 sin t sin 2 ) ④ x cos 2 y cos 1 得 sin t sin( 2 1 ) ⑤
3） 2 1 π 2
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
A2 y
o
π y A2 cos(t ) 2
7
x A1 cos t
A1
x
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
2 1
2
y
x
8
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
质点运动轨迹 （椭圆方程）
2） 2 1 π
A2 y x A1
A2
y
o
x
A1
5
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
2 1 π
y
x
6
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2 2
第17章
振动
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
消第1项得消第2项得有质点运动轨迹1或椭圆方程讨论质点运动轨迹椭圆方程23用旋转矢量描绘振动合成图简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差二两相互垂直不同频率的简谐运动的合成合成的结果比较复杂但如果二者的频率具有整数比时即此外二者的相位不同图形也不一样
③ ④
③ cos 2 ④ cos 1 A1 A2
1
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
x A1 (cos t cos 1 sin t sin 1 )
③
y A2 (cos t cos 2 sin t sin 2 ) ④ x cos 2 y cos 1 得 sin t sin( 2 1 ) ⑤
3） 2 1 π 2
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
A2 y
o
π y A2 cos(t ) 2
7
x A1 cos t
A1
x
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
2 1
2
y
x
8
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
质点运动轨迹 （椭圆方程）
2） 2 1 π
A2 y x A1
A2
y
o
x
A1
5
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
第17章
振动
2 1 π
y
x
6
17.9 两个相互垂直的简谐运动的合成
2 2
第17章
振动
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
消第1项得消第2项得有质点运动轨迹1或椭圆方程讨论质点运动轨迹椭圆方程23用旋转矢量描绘振动合成图简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差二两相互垂直不同频率的简谐运动的合成合成的结果比较复杂但如果二者的频率具有整数比时即此外二者的相位不同图形也不一样
同方向的简谐振动的合成
旋转矢量图示法
A A 2A 1
2A
02
A 1
O
1
01
2
x
x
x
X
A 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
讨论： (1) 当 D 20102kp (k=0 及 正 负整数)，cos(20-10)=1, 有
2A
A A 2A 1
O
1A
X
同相迭加，合振幅最大。 (2) 当 D 2010(2k+1)p (k=0 及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
2
1A
A 1A A
O
2A
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 2A 1A 和 2A 1A 之间。
两个简谐振动合成得：
x = x 1+ x 2
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
同方向不同频率的两个简谐振动的合成
拍
因1
~ 2 , 2 1 1 或 2 , 有
2 1
1 2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 1或 的简谐函 2 2 数。合振动可视为是角频率为 (1 2 )、振幅为 2 A cos ( 2 1 )t 2 的简谐振动。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 初相分别为0, a, 2a, ..., 依次差一个恒量a，振动表达式可 写成 t soc a x
wyf振动
相位和初相 ( t +0)是 t 时刻的相位
0是t =0时刻的相位 — 初相
5
设已知在t=0时，x=x0 , v=v0 ，
代入以上方程得：
x0=Acos0
v0= - A sin0
两式联立可解得：
振动的初始条件
A
x02
2 0
2
0
arctan( 0 x0
)
②通常取 0
1 0
2
0, π 8
,π 4
, 3π 8
,π 2
1 m
测量振动频率
2 n
和相位的方法
71
李萨如图
72
合振动的位移
x x1 x2
A1
cos( t
1
)
A2
cos( t
2
) 56
用三角函数展开，并合并整理：
x Ac A12 A22 2A1 A2 cos( 2 1 )
初位相
tg0
A1 sin1 A1 cos1
解： 旋矢图： OA2
A1 A1 A2
合振动：
X
0= -/2
63
[例5] 两条谐振动的曲线如图所示，求合振动的方程。
[解] 由谐振动曲线可写出 两个分振动方程：
-x-(-cm)
I
------
t(s)
0.5
今用旋转矢量法来求合振动
合振幅 A
A12
A
2 2
10cm
A2 5cm
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
振动学基础(复习)
第十五章振动学基础§15-1简谐振动【基本内容】一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。
kxf-=, k为比例系数。
2、简谐振动的微分方程222=+xdtxdωmk=ω3、简谐振动的判据判据一kxf-=动力学判据判据二运动学判据判据三)cos(φω+=tAx运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。
)cos(φω+=tAx)cos()sin(2φωωφωω+-=+-=tAatAv2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。
角频率：mk=ω周期：ωπ2=T频率：T1=ν振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅A 和初相ϕ由初始条件决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-)(0012202x v tg v x A ωϕω 度ω（1（2（3（4123、谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。
【典型例题】【例15-1】半径为R 的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求： （1）木球振动的微分方程；22222)31(dtxd m g R x x R =--ρπ平衡位置时：ρπ33421R m ⋅=，故 0)31(232222=-+Rx x R g dt x d 此即木球的运动微分方程。
当R x <<时，0322→R x02322=+x R gdtx d 木球作简谐振动g R T R g 3222,23πωπω===【例15-2】 弹簧下挂g m 1000=的法码时，弹簧伸长cm 8。
一同频率同一直线上的简谐振动的合成
§4.4 简谐振动的合成
一.同频率、同一直线上的简谐振动的合成 分振动：x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )
合振动： x= x1+x2 = Acos( t+ )
A A1 A2 2 A1 A2cos( 2 1 )
2
2
A1sin1 A2sin 2 tg A1cos1 A2cos 2
x y 2 1 2 A1 A2
y
2
2
合振动不再是谐振动。
y
x
x 左旋
右旋
2 -1=/2
2 -1=-/2
21
两个频率相同、 振幅不同的互
相垂直简谐
Δ=0 Δ=/4 Δ=/2 Δ=3/4
振动的合成
Δ=
Δ=5/4
Δ=3/2
Δ=7/4
22
四.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 x =A1cos(1 t+1 ) y =A2cos(2 t+2 )
2， = 0 （临介阻尼）
x e t C1 C 2 t
3， < 0 （欠阻尼）
xe
e
t
t
C cos
1
C e
1
i 0 2 2 t
C2 e
2
i 0 2 2 t
2 2
0 t C2 sin 0 t
2
2 2
( 2 1 )
2
o
x
10
例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相 位差均为的N个谐振动的合振动方程。 光的衍射 解
选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初 相为零，则有
一.同频率、同一直线上的简谐振动的合成 分振动：x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )
合振动： x= x1+x2 = Acos( t+ )
A A1 A2 2 A1 A2cos( 2 1 )
2
2
A1sin1 A2sin 2 tg A1cos1 A2cos 2
x y 2 1 2 A1 A2
y
2
2
合振动不再是谐振动。
y
x
x 左旋
右旋
2 -1=/2
2 -1=-/2
21
两个频率相同、 振幅不同的互
相垂直简谐
Δ=0 Δ=/4 Δ=/2 Δ=3/4
振动的合成
Δ=
Δ=5/4
Δ=3/2
Δ=7/4
22
四.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 x =A1cos(1 t+1 ) y =A2cos(2 t+2 )
2， = 0 （临介阻尼）
x e t C1 C 2 t
3， < 0 （欠阻尼）
xe
e
t
t
C cos
1
C e
1
i 0 2 2 t
C2 e
2
i 0 2 2 t
2 2
0 t C2 sin 0 t
2
2 2
( 2 1 )
2
o
x
10
例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相 位差均为的N个谐振动的合振动方程。 光的衍射 解
选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初 相为零，则有
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15.5 简谐振动的合成
x ( A1 cos1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t A cos cos t A sin sin t A cos( t )
其中令
A cos A1 cos 1 A2 cos 2 A sin A1 sin 1 A2 sin 2
演示程序：多个同方向同频率简谐振动的合成
15.5 简谐振动的合成
例题1 三个同方向、同频率和同振幅的简谐振动分 别为x1=0.08cos (314t+/6)m，x2=0.08cos(314 t+/2)m和x3=0.08cos(314t+5/6)m。求：（1）合振 动的圆频率、振幅、初相位及振动方程；（2）合振 动由初位置运动到 x 2 A / 2 所需的最短时间（A 为合振幅）。 A3 解 （1）t=0时刻的旋转矢量位置 π π A2 A A1 sin A2 A3 sin A 6 6
A2 A
2
A2 sin 2
cos 1
x
15.5 简谐振动的合成
二、合振动(几何方法)
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
合振动的初相位 = /2
π A1 2 A1 sin 0.16m 6
o
A1 /6 x
合振动的圆频率 =314rads1
15.5 简谐振动的合成
合振动的运动方程
π x 0.16 cos(314t )m 2
（2）合振动由初始位置( = /2) 运动到 x 2 A / 2 的过程中， 旋转矢量转过的角度
作变换
x cos 2 A1 x sin 2 A1
y cos1 sin t sin( 2 1 ) A2 y sin 1 cos t sin( 2 1 ) A2
15.5 简谐振动的合成
上述两式平方后相加，得到
2 2
椭圆方程
x y 2 xy 2 2 cosΔ sin Δ 2 A1 A2 A1 A2
A 2 A cos
2 1
2
t
2 1 2 2 1 2
2 1
拍频
1 T 2 1
15.5 简谐振动的合成
显示拍现象的演示实验：取两个固有频率稍有差异的 音叉，现用小锤敲击这两个音叉，由于两音叉的振动 在空间叠加，会使我们听到时高时低的嗡嗡声，这种 声音叫作“拍音”
15.5 简谐振动的合成
利用标准音叉可以校准钢琴，当钢琴发出的频率 与音叉发出的标准频率有些微小差别时，叠加后就会 产生拍音，调整到拍音消失，就校准了钢琴的一个琴 键。
15.5 简谐振动的合成
复音口琴也是利用两个簧片振动频率的微小差 别，产生出优美动听的颤音
15.5 简谐振动的合成
选择题9. 为测定某音叉C的频率，可选定两个频率已 知的音叉 A和B；先使频率为800Hz的音叉A和音叉C 同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz 音叉B和C同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C 的频率应为：
x
x
o A
o
A
A2
1
t
合振幅最大
A A1 A2
15.5 简谐振动的合成
(2) 2 1 (2k 1)π , k 0,1,2, x x
o 2
A 2
A1
o
A A1 A2
合振幅最小
A
t
演示程序：两个同方向同频率简谐振动的合成
15.5 简谐振动的合成
2 2
2 2
——直线
s x y A1 A2 cos(t )
——振幅为
A1 A2 的简谐振动
2
2
15.5 简谐振动的合成
（2） 21= ：反相
y A
2
A2 y x A1
——直线
y A
2
O
A1
x
A1
O
x
15.5 简谐振动的合成
x y 2 1 （3）2 1/2： 2 A1 A2
2 1 2 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
15.5 简谐振动的合成
二、合振动(几何方法)
x1 (t ) A1 cos( t 1 ) x2 (t ) A2 cos( t 2 )
一、合振动(代数法)
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) ( A1 cos 1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t A cos cos t A sin sin t A cos( t )
A3
A o
A2
A1 /6 A
x
所需时间
5π 4 t 12.5 ms
15.5 简谐振动的合成
例题2 N 个同方向、同频率的简谐振动，它们的 振幅相等，初相分别为0，，2，· · · ，依次差一 个恒量，振动表达式可写成
x1 sA o t 0c
x2 (sA o 0c x3 (sA o 0c
√
A. 800 Hz C. 798 Hz
B. 799 Hz D. 797 Hz
15.5 简谐振动的合成
15.4.3 垂直方向同频率的简谐振动合成
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
x cos t cos1 sin t sin 1 A1 y cos t cos 2 sin t sin 2 A2
15.5 简谐振动的合成
15.4 简谐振动的合成
15.4.1 同方向同频率的简谐振动合成
15.4.2 同方向不同频率的简谐振动合成 拍
15.4.3 垂直方向同频率的简谐振动合成
15.4.4 垂直方向不同频率的简谐振动合成
15.5 简谐振动的合成
15. 4.1 同方向同频率的简谐振动合成
x1 (t ) A1 cos( t 1 ) x2 (t ) A2 cos( t 2 )
设某一时刻 则 t 后
2
2
——正椭圆
t 1 0 x A1 , y 0
y A
2
A1
O
(t Δt ) 2 (t Δt ) 1 π / 2
(t t ) 1 0 x 0
x
y 0
t )
t 2 )
xn [sA o 0c
t (n 1) ]
求它们的合振动的振幅和初相位。
15.5 简谐振动的合成
x1 A0 cost
x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
An
O
A4
A3
A2
15.5 简谐振动的合成
四、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
A A0 sin
Q
x
sin
2 2
1 1 COM ( π N ) COP ( π ) 2 2
N 1 COP COM 2
15.5 简谐振动的合成
x A cos( t )
N sin N 1 2 A0 cos t 2 sin 2
x1 (t ) A1 cos(1t 1 ) x2 (t ) A2 cos( 2 t 2 )
合振动
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) A1 cos(1t 1 ) A2 cos(2t 2 )
演示程序：同方向不同频率简谐振动的合成
15.5 简谐振动的合成
2 t )
合振动随时间周期性缓慢地变化。 (2)
cos(
2 1
作角频率近于1或2的简谐振动
合振幅在0到2A范围内变化，忽强忽弱的现象称为拍
15.5 简谐振动的合成
演示程序：拍
15.5 简谐振动的合成
(3) 拍的频率：
A | 2 A cos( 2 1 )t / 2 |
拍的周期T 合振动振幅变化的周期
15.5 简谐振动的合成
概念检测 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 A. B. C. D. 3/2 /2 0
B
15.5 简谐振动的合成
A 6 2 10 2 10 10
2 2
2
2
tan 3
108.5
归纳如下：
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
(1)
2 1 2k π
k 0,1,2,
相互加强！
A A1 A2
(2)
2 1 (2k 1) π
k 0,1,2,
相互削弱!
A A1 A2
(3) A1 A2 A ( A1 A2 )
A
A1
A2
o
x
15.5 简谐振动的合成
除了采用平行四边形法则对旋转矢量合成外， 还可以采用三角形法则对旋转矢量合成