第六章613迭代法的收敛性
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由于BG的形式不易确定 ,
12
BG的特征值满足 det(I BG ) 0
即
det[I ( D L)1U ] 0
从而 det(D L)1 det[( D L) U ] 0
因此 由于
det[( D L) U ] 0
|aii | |aij |
k 0,1,2,
1
一阶定常迭代法的收敛性
则: ( k 1) B ( k ) B 2 ( k 1) B k 1 ( 0 )
注意 ( 0) x ( 0) x * 为非零常数向量
因此迭代法收敛的充要条件
lim ( k 1) lim( x ( k 1) x*) 0
雅克比迭代解一定收敛。 解：当线性方程组的系数矩阵为对角占优阵 时，Jacobi迭代法收敛，所以|a|>6。
15
补充例题
例：方程组
x1 x2 b1 x1 2 x2 b2
(1)写出解该方程组的Jacobi迭代的迭代
阵，并讨论迭代收敛的条件；
(2)写出解该方程组的G-S迭代的迭代阵，
即Jaobi迭代法收敛。
7
一阶定常迭代法的收敛性
(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩阵
1 1 BG ( D L) U 1 2
0 BG 0 0 2 2 0 2 3 2
0 1 2
0 0 0 0 0 1
k k
可转变为
lim B k 1 0
k
2
一阶定常迭代法的收敛性
定理：迭代格式 x( k 1) Bx ( k ) f 收敛
的充要条件为：lim B k 0
k
lim B k 0
k
B的所有特征值的绝对值 小于 1
即:
( B) 1
B的谱半径
根据矩阵与其Jordan标准形及特征值的关系
一阶定常迭代法的收敛性
设解线性方程组的迭代格式
x ( k 1) Bx ( k ) f
而方程组的精确解为 x*,则
x* Bx * f
将两式相减,得：
x ( k 1) x* Bx ( k ) Bx * B( x ( k ) x*)
令 ( k ) x ( k ) x *
j i
i 1 n
可得
|||aii | |||aij | || |aij |
j 1 j i 1
|||aij |
j 百度文库1
i 1
j i 1
|a | (||1) |a |
ij j i 1 ij
13
n
n
如果|| 1, 则有
|||aii | |||aij |
定义：如果矩阵A的元素满足
| aii | | a ij |
j 1 ji jn
i 1,2,3, , n
则称A为严格对角占优矩阵。
9
特殊方程组迭代法的收敛性
定理：若线性方程组AX=b的系数矩阵A为 严格对角占优矩阵，则解该方程组的Jacobi
迭代法和G-S迭代法均收敛。
10
证: 因为系数矩阵 A严格对角占优 , 所以
6
2 0 2
2 1 0
0 1 2
一阶定常迭代法的收敛性
de t( I BJ ) de t 1 2 2
2
2 1 3 0
所以
0
( BJ ) max(| |) 0 1
|aii | |aij | i 1,2,3,, n
j i
1 |aij | 1 i 1,2 ,3, , n |aii | j i
(1)对于Jacobi迭代法,其迭代矩阵为 BJ D1 ( L U )
11
0 a21 BJ a22 a n1 a nn
j 1
i 1
j i 1
|a |
ij
n
则[( D L) U ]为严格对角占优矩阵 从而det[( D L) U ] 0
所以|| 1, 即( BG ) 1,
矛盾
G—S迭代法收敛
14
特殊方程组迭代法的收敛性
例：当a满足条件 时，线性方程组
10x1 x 2 3 x 3 7.2 x1 7 x 2 3 x 3 8.3 2 x 4 x ax 9.2 2 3 1
3
一阶定常迭代法的收敛性
定理：设B为n阶实矩阵，则 lim B k 0
k
的充要条件是 ( B ) 1 定理：迭代格式 x( k 1) Bx ( k ) f 收敛 的充要条件为： ( B) 1
4
一阶定常迭代法的收敛性
例：判别下列方程组用Jacobi迭代法和G-S 法求解是否收敛。
1 1 2 2 1 2 2 x1 1 1 x 2 1 x 1 1 3
5
一阶定常迭代法的收敛性
解: (1) 求Jacobi法的迭代矩阵
1 BJ D1 ( L U ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 2 2 1 0
并讨论迭代收敛的条件。
16
补充例题
例：AX=b为二元线性方程组， 证明：解该方程组的Jacobi迭代与G-S迭 代同时收敛或同时发散。
17
1
2 0 0
2 1 0
0
2
( BG ) max(| |) 2 1
所以Gauss-Seidel迭代法发散。
8
特殊方程组迭代法的收敛性
4 1 1 问题：该矩阵具有怎样的特点？ 2 5 2 结论：该矩阵是严格对角占优阵 1 1 3
a12 a11 0 an 2 ann
a1 n a11 a2 n a22 0
1 |aij | 1 BJ max i |a | ii j i
Jacobi迭代法收敛
由定理：谱半 径小于任何一 种算子范数
(2)对于G—S迭代法,其迭代矩阵为 BG ( D L)1U
12
BG的特征值满足 det(I BG ) 0
即
det[I ( D L)1U ] 0
从而 det(D L)1 det[( D L) U ] 0
因此 由于
det[( D L) U ] 0
|aii | |aij |
k 0,1,2,
1
一阶定常迭代法的收敛性
则: ( k 1) B ( k ) B 2 ( k 1) B k 1 ( 0 )
注意 ( 0) x ( 0) x * 为非零常数向量
因此迭代法收敛的充要条件
lim ( k 1) lim( x ( k 1) x*) 0
雅克比迭代解一定收敛。 解：当线性方程组的系数矩阵为对角占优阵 时，Jacobi迭代法收敛，所以|a|>6。
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补充例题
例：方程组
x1 x2 b1 x1 2 x2 b2
(1)写出解该方程组的Jacobi迭代的迭代
阵，并讨论迭代收敛的条件；
(2)写出解该方程组的G-S迭代的迭代阵，
即Jaobi迭代法收敛。
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一阶定常迭代法的收敛性
(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩阵
1 1 BG ( D L) U 1 2
0 BG 0 0 2 2 0 2 3 2
0 1 2
0 0 0 0 0 1
k k
可转变为
lim B k 1 0
k
2
一阶定常迭代法的收敛性
定理：迭代格式 x( k 1) Bx ( k ) f 收敛
的充要条件为：lim B k 0
k
lim B k 0
k
B的所有特征值的绝对值 小于 1
即:
( B) 1
B的谱半径
根据矩阵与其Jordan标准形及特征值的关系
一阶定常迭代法的收敛性
设解线性方程组的迭代格式
x ( k 1) Bx ( k ) f
而方程组的精确解为 x*,则
x* Bx * f
将两式相减,得：
x ( k 1) x* Bx ( k ) Bx * B( x ( k ) x*)
令 ( k ) x ( k ) x *
j i
i 1 n
可得
|||aii | |||aij | || |aij |
j 1 j i 1
|||aij |
j 百度文库1
i 1
j i 1
|a | (||1) |a |
ij j i 1 ij
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n
n
如果|| 1, 则有
|||aii | |||aij |
定义：如果矩阵A的元素满足
| aii | | a ij |
j 1 ji jn
i 1,2,3, , n
则称A为严格对角占优矩阵。
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特殊方程组迭代法的收敛性
定理：若线性方程组AX=b的系数矩阵A为 严格对角占优矩阵，则解该方程组的Jacobi
迭代法和G-S迭代法均收敛。
10
证: 因为系数矩阵 A严格对角占优 , 所以
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2 0 2
2 1 0
0 1 2
一阶定常迭代法的收敛性
de t( I BJ ) de t 1 2 2
2
2 1 3 0
所以
0
( BJ ) max(| |) 0 1
|aii | |aij | i 1,2,3,, n
j i
1 |aij | 1 i 1,2 ,3, , n |aii | j i
(1)对于Jacobi迭代法,其迭代矩阵为 BJ D1 ( L U )
11
0 a21 BJ a22 a n1 a nn
j 1
i 1
j i 1
|a |
ij
n
则[( D L) U ]为严格对角占优矩阵 从而det[( D L) U ] 0
所以|| 1, 即( BG ) 1,
矛盾
G—S迭代法收敛
14
特殊方程组迭代法的收敛性
例：当a满足条件 时，线性方程组
10x1 x 2 3 x 3 7.2 x1 7 x 2 3 x 3 8.3 2 x 4 x ax 9.2 2 3 1
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一阶定常迭代法的收敛性
定理：设B为n阶实矩阵，则 lim B k 0
k
的充要条件是 ( B ) 1 定理：迭代格式 x( k 1) Bx ( k ) f 收敛 的充要条件为： ( B) 1
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一阶定常迭代法的收敛性
例：判别下列方程组用Jacobi迭代法和G-S 法求解是否收敛。
1 1 2 2 1 2 2 x1 1 1 x 2 1 x 1 1 3
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一阶定常迭代法的收敛性
解: (1) 求Jacobi法的迭代矩阵
1 BJ D1 ( L U ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 2 2 1 0
并讨论迭代收敛的条件。
16
补充例题
例：AX=b为二元线性方程组， 证明：解该方程组的Jacobi迭代与G-S迭 代同时收敛或同时发散。
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1
2 0 0
2 1 0
0
2
( BG ) max(| |) 2 1
所以Gauss-Seidel迭代法发散。
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特殊方程组迭代法的收敛性
4 1 1 问题：该矩阵具有怎样的特点？ 2 5 2 结论：该矩阵是严格对角占优阵 1 1 3
a12 a11 0 an 2 ann
a1 n a11 a2 n a22 0
1 |aij | 1 BJ max i |a | ii j i
Jacobi迭代法收敛
由定理：谱半 径小于任何一 种算子范数
(2)对于G—S迭代法,其迭代矩阵为 BG ( D L)1U