整数与整除
数的整除
一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。
2、 正整数、零、负整数，统称为整数。
3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。
整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。
（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。
二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。
2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。
一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。
（2） 一个整数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身，没有最大倍数。
3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。
2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
整数和整除的意义
1.1 整数和整除的意义教学目标1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义．2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念．3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。
重点、难点理解和掌握整除的概念。
一、 建立整数和自然数的概念：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。
在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数，统称为整数。
2、把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数归纳：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除10÷3 48÷8 6÷43、一展身手：（1） 有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？为什么？1.2 因数和倍数教学设计因数和倍数是在整除基础上的进一步研究，因此在学生原有知识的基础上建立因数和倍数的概念，关键是使学生理解因数和倍数之间的相互依存关系，同时也是对整除概念的进一步巩固。
在教学设计中通过一些辨析题是学生更透彻的理解概念。
在求一个数的因数和倍数的过程中培养学生的观察和归纳问题的能力，在学生学和解决问题的同时培养良好的学习习惯。
沪教版六年级上册 第一章 1.1 整数和整除 讲义(无答案)
整数与整除（后附难点题型）一、知识要点：要点1：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……叫做正整数.在正整数1、2、3、4…，的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……叫做负整数.要点2：零和正整数统称为自然数.正整数、零和负整数，统称为整数.要点3：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.（1）注意整除的两种表述方法（2）归纳整除的条件；除数、被除数都是整数.被除数除以除数，商是整数而且没有余数.要点4：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）.例如：35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数一个数的因数是有限，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（倍数和因数是相互依存的）例如：10的因数有：1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例如：3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
要点5：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数.个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除.例如：202、480、304，都能被2整除.个位上是0或者是5的整数都能被5整除.例如：5、30、405都能被5整除.整数：自然数（正整数、0）、负整数自然数：0和正整数正整数：奇数和偶数（按能否被2整除分）二、例题讲解：例1：把下列各数填在适当的圈内： 12、 -6、 0、 1.23、76、 2005、 -19.6、 9 正整数 自然数 整数思考：1、最小的自然数、最小的正整数是同一个数吗？不是同一个数，那么分别是什么？2、是否有最大的正整数、负整数、自然数？3、是否有最小的正整数、负整数、自然数？例2：观察下面两组算式卡片中的运算有什么异同？ （1）24÷2 = 12 （2） 6÷5 = 1.2 48÷8 = 6 17÷5 = 3.416÷4 = 4 35÷6 = 5 (5)例3：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？10÷3 48÷8 6÷4 解：因为10÷3＝3……1 48÷8＝6 6÷4＝1.5所以，被除数能被除数整除的算式是48÷8思考：2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？说明理由 2.5÷5=0.5，能说2.5被5整除？ 6÷4＝1.5，能说6被4整除？例4：找因数和倍数（1）找出36的所有因数？方法1：想乘法算式：36×1=36，36和1是36的因数；18×2=36，18和2是36的因数；12×3=36，12和3是36的因数；9×4=36，9和4是36的因数；6×6=36，6是36的因数。
数的整除复习
数的整除复习一．知识梳理1、整数：“零”既不是正整数，也不是负整数 2、整除：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
3、因数和倍数：归纳：一个数的因数是有限的。
一个数的倍数的个数是无限的。
一个数的因数通常是成对出现的。
最小的因数是1，最大的因数是它本身。
最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4、区别除尽和整除：除尽：最后结果是一个有限数；整除：最后结果是一个整数。
5、偶数与奇数如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。
如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。
整数的分类⎩⎨⎧偶数奇数 整数正整数 零 负整数 自然数 条件： 除数、被除数都是整数 被除数除以除数，商是整数而且余数为零一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身定义：整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 因数（也称为约数） 一个整数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身 因数倍数6、能被2、3、5整除的数的特征：7、素数、合数：我们把只含有因数1如果除了1分解素因数的方法：8、公因数与最大公因数如果两个整数只有公因数19、公倍数和最小公倍数：例题解析例1、填空题（1）有一个直角三角形，两条直角边是两个质数，长度和是18分米，这个三角形的面积是( )平方分米。
（2）一堆苹果，已知比50个多，比70个少，把它们可以平均分成两堆，也可以平均分成三堆，还可以平均分成五堆，这堆苹果有（）个（3）六年级同学站队，每排5人多2人，每排6人多3人，每排7人则差2人，六年级学生人数不超过150人，那么他们应是( )人。
（4）某长途汽车站向北线每20分钟发一辆汽车，向南线每15分钟发一辆汽车，如果同时向两线发车，至少要经过( )分钟又同时发车。
巩固练习：（1）一盒铅笔可以平均分给2、3、5、6个小朋友，这盒铅笔最少有（）人。
（2）一筐梨，按每份2个梨分多1个，每份3个多2个，每份5个多4个，筐里至少有（）个梨。
01-1.1整数与整除的意义
一、复习回顾
1、正整数：在数物体的时候，用来表示物体个数的数 1、2、3、4……；
2、负整数：在正整数 1、2、3、4……的前面添上“-”号，得到的数-1、-2、-3、-4……；
3、0 既不是正整数，也不是负整数.那么 0 究竟是什么含义呢？
（1）0 表示没有物体； （2）0 表示计算过程中某种量的基准数.
6、20 以内能被 3 整除的数有__________________.
7、与 15 相邻的两个自然数是_________.
（二）选择题
8、下列整除与除尽的关系表达式正确的是（ ）
A、整除就是除尽
B、整除一定能除尽 C、除尽一定能整除
D、整除与除尽一样
9、根据算式 4.2÷0.7=6，下列表述正确的是（ ）
5
7
负整数
自然数
整数
12、下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（ ）内打“√”.
①27 和 3（ ）
②3.6 和 1.2（ ）
③11 和 55（ ）
④20 和 5（ ）
⑤51 和 17（ ）
⑥18 和 4（ ）
附加题：小张在计算一道有余数的题目时，把被除数 113 错写成 131，结果商比原来多 3，但余数不变.那么余数
（3）从 3 起 5 个连续的自然数是____________.
3、下列哪些算式的被除数能被除数整除？
323÷17
203÷3
42÷5
121÷11
54÷4
22÷2
4、除式 9÷1.5=6 表示（ ）
A、9 能被 1.5 整除 B、1.5 能整除 9 C、9 能被 1.5 除尽 D、以上说法都不正确
5、学校新购 48 台电脑，要把他们平均分成几个小组整齐地摆放到电脑教室，如果你是管理员，你会怎么摆放呢？
1.整数与整除
练习：
知识点6：求一个数的倍数的方法：
1、定义:就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。
2、因数和倍数的性质：
①、任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数。
②、1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数。
4、一个自然数与4的和是6的倍数，与4的差含有因数8，求满足上述条件的最小自然数是（）。
学生总结评定
1.学生本次课对老师的评价：
○特别满意○满意○一般○差
2.本
1.学生上次作业完成情况：
2.学生本次上课表现情况:
3.老师对本次课的总结：
教师签字：课前审阅：课后检查：
一个整数的倍数的个数是的(填:有限或无限)，其中最小的倍数是，
一个整数最大的倍数。
练习：1、在四位数12□中的括号内填上一个数字，使它能同时成为2、3、5的倍数，最多有（）填法。
A.2 B.3 C.4 D.无数
2、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，求另一个数。
3、已知公因数只有1的两个数的最小公倍数是56，这两个数分别是（）和（）。
列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。
例：1、18的因数有哪几个？（试练习12,16,36）
2、24的因数36的因数
18和24的最大公因数是
3、判断：任何一个正整数至少有两个因数。（）
2、结论：①.一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
注意点:0除以任何不为0的整数都等于0，因此它符合整除的定义：
被除数和除数都是整数，商0为整数且余数为0，所以0能被任何不为0的整数整除。
小学数学整数和整除(含答案)
第1课时整数与整除课时目标1.理解和掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念；2.理解和掌握整除的条件，会区分整除和除尽；3.在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数；4.理解和掌握求一个整数的所有因数的方法，理解整数的最小和最大的因数；5.理解和掌握求一个整数在一定范围内的倍数，理解整数的最小的倍数.知识精要1.整数：正整数、零、负整数，统称为整数.零和正整数统成为自然数.正整数「整数y零丄自然数♦负整数2.整除：整数a除以整数b如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注：（1）整除的条件：（3整1零）①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零.（2）凡是整除一定能除尽，但除尽的不一定能整除；3.因数与倍数：如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数（也称为约数）.注：（1）因数、倍数是互相依存的•不能说a是倍数、b是因数！（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（3）一个正整数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身.（4）1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数.（5）一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数.（6）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数.（7）0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数.4.能被2、5整除的数：（1）能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8；（2）能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0；（3）能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.（4）能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数.5.奇数和偶数：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.6.素数、合数与分解素因数：（1）正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.（2）素数（质数）：只有1和它本身两个因数；合数：至少要有3个因数.注：（1）最小的素数是2；最小的合数是4；（2）1既不是素数也不是合数；7.分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数.分解素因数常用的方法有：树枝分解法、短除法、口算法等.热身练习一、整数1、下列说法中，错误的是：（）A.最小的整数是0B.最大的正整数不存在C.最大的负整数是－1D.最大的自然数不存在2、最小的正整数是，最大的负整数是.3、把下列各数填入相应的横线上：－3，18，－143，0，5，100.负整数：;正整数：整数：.二、整除4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是：D.91和7()A.4和12B.24和5C.35和85、除式9三1.5=6表示()A.9能被1.5整除B.1.5能整除9C.9能被1.5除尽D.以上说法都不确切6、28能被a整除，a一定是()A.4或7B.2、4或7C.2、4、7、14或28D.1、2、4、7、14或287、18^9=2，我们就说能被整除或能整除8、能整除14的数是三、因数和倍数9、6的因数有A.8个B.6个C.4个D.2个()10、6的倍数有()A.1个B.2个C.3个D.无数个11、已知14能整除a，那么a是()A.1和14B.2和14C.14的因数D.14的倍数12、下列说法错误的是()A.一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身B.一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身C.12在100以内的倍数共有10个D.一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16四、能被2、5整除的数13、末位数字是的数一定能被2整除.14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是.15、能被5整除的最大的两位数是，最小的两位数是16、奇数与偶数的积必定是.17、两个连续自然数的和是.18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数.五、素数、合数与分解素因数：19、在正整数1到20中，奇数有个，偶数有个，素数有个,合数有个.20、在1、2、9这三个数中，既是素数又是偶数，既是合数又是奇数,既不是素数也不是合数.21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学,你认为六(2)班有同学位.精解名题例1下列算式中，被除数能被除数整除的是()A.25詁B.25三0.5C.2.5三5D.5三5例212^4=3，下列说法不正确的是()A.12是4的倍数B.4是12的因数C.4是12的约数D.12是倍数例3下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？35、85、60、108、321、1234、2010能被2整除：能被5整除：能同时被2和5整除：例4下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？13、24、37、10、9、123、88、0、345奇数：偶数：例5两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？例6除式21一5=4……1,如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加，这时候商为.1+线段图解例71到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？巩固练习一、填空题1、24的因数有.2、若口27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是.3、在20的所有因数中，最大的是，最小的是.4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有个.二、选择题5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是：()A.14和7B.2.5和5C.9和18D.0.4和86、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是：()A.91B.89C.11D.97、一个正方形的边长是奇数，它的周长是：()A.偶数B.奇数C.无法确定D.我承认我不知道8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是()A.11B.9C.12D.8三、解答题9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：整数正整数负整数10、写出63的所有因数.11、已知：A=2x3x5,B=3x3x5，则A和B相同的因数有哪些？12、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.（1）能被2整除，但不能被5整除；（2）能被5整除，但不能被2整除；（3）既能被2整除，又能被5整除；答案热身练习一、整数1、下列说法中，错误的是A.最小的整数是0 C.最大的负整数是－1(A)B.最大的正整数不存在D.最大的自然数不存在3、最小的正整数是1,最大的负整数是一13、把下列各数填入相应的横线上：－3，18，－143，0，5，100.负整数：一3,—143；正整数：18,5,100；整数：一3,18,—143, 0,5,100.二、整除4、下列各组数中,第一个数能被第二个数整除的是：(D)A.4和12B.24和5C.35和8D.91和75、除式9三1.5=6表示(C)A.9能被1.5整除B.1.5能整除9C.9能被1.5除尽D.以上说法都不确切6、28能被a整除，a一定是(D)A.4或7B.2、4或7C.2、4、7、14或28D.1、2、4、7、14或287、18三9=2,我们就说18能被9整除或9能整除18.8、能整除14的数是1、2、7、14.三、因数和倍数9、6的因数有(C)A.8个B.6个C.4个D.2个10、6的倍数有(D)A.1个B.2个C.3个D.无数个11、已知14能整除a,那么, a是(D)A.1和14B.2和14C.14的因数D.14的倍数12、下列说法错误的是(C)A.一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身B.一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身C.12在100以内的倍数共有10个D.一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16四、能被2、5整除的数13、末位数字是0、2、4、6、8的数一定能被2整除.14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是0.15、能被5整除的最大的两位数是95，最小的两位数是10.16、奇数与偶数的积必定是偶数.17、两个连续自然数的和是奇数.18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数30、60、90.五、素数、合数与分解素因数：19、在正整数1到20中，奇数有10个,偶数有10个,素数有8个,合数有11个.20、在1、2、9这三个数中，既是素数又是偶数，_9__既是合数又是奇数,1既不是素数也不是合数.21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学,你认为六(2)班有同学37位.精解名题例1下列算式中，被除数能被除数整除的是(D)A.25^4B.25^0.5C.2.5三5D.5三5例212^4=3，下列说法不正确的是(D)A.12是4的倍数B.4是12的因数C.4是12的约数D.12是倍数例3下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？35、85、60、108、321、1234、2010能被2整除：60、108、1234、2010能被5整除：35、85、60、2010能同时被2和5整除：60、2010例4下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？13、24、37、10、9、123、88、0、345奇数：13、37、9、123、345偶数：24、10、88、0例5两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？解：216=2x2x2x3x3x3=12x18所以这两个数就是12和18,它们和是30.例6除式21一5=4……1,如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加4，这时候商为5.55551+__人___人___人A线段图解—例71到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？解：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100(都是平方数).巩固练习一、填空题1、24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24.2、若口27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是9270.3、在20的所有因数中，最大的是20，最小的是1.4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有31个.二、选择题5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是：(C)A.14和7B.2.5和5C.9和18D.0.4和86、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是：(A)A.91B.89C.11D.97、一个正方形的边长是奇数，它的周长是：(A)A.偶数B.奇数C.无法确定D.我承认我不知道8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是(D)A.11B.9C.12D.8三、解答题9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：11、已知：A=2x3x5,B=3x3x5，则A和B相同的因数有哪些?解：1、3、5、1512、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.(1)能被2整除，但不能被5整除；5304(2)能被5整除，但不能被2整除；4305(3)既能被2整除，又能被5整除；5430。
常见整数的整除规律
常见整数的整除规律（1）被“1”整除：任何数都能被1整除。
（2）被“2”整除：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
即偶数（3）被“3”整除：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）被“4”整除：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
（5）被“5”整除：个位上是0或5的数都能被5整除。
（6）被“6”整除：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
（7）被“7”整除：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
（8）被“8”整除：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
（9）被“9”整除：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
（10）被“10”整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除（11）被“11”整除：a.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
b.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）被“12”整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
组合判。
（13）被“13”整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）被“17”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
b.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（15)被“19”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
第一讲：整除与整数的性质
第一讲 整除与整数的性质【知识点金】一．整数的基本性质1.整数集关于加、减、乘运算的封闭性，即整数的和、差、积仍为整数（两个整数的商不一定是整数）。
2.奇数和偶数的简单性质能被2整除的整数称为偶数，可表示为2n ()n Z ∈形式；不能被2整除的整数称之为奇数，可表示为21n -()n Z ∈形式。
对于奇数和偶数有以下性质：（1）任意多个偶数的和、差、积仍为偶数； （2）奇数个奇数的和、差仍为奇数； （3）偶数个奇数的和、差为偶数； （4）奇数与偶数的和为奇数，其积为偶数；（5）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；3.整数集的离散性两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在 完全平方数。
任一个整数有限集中必有最大数和最小数。
二．整除的定义和基本性质1．定义：设a 、b 是整数(0)b ≠，若存在整数q ，0q ≠，使a bq =，则称b 整除a ，或a 能被b 整除，记为b a ，这时b 叫做a 的因数或约数，a 叫做b 的倍数。
2.整除的基本性质（1）若b a ，则()b a -，b a -，()()b a --，b a ； （2）若a b ，b c ，则a c ；（3）若,,,a b c m Z ∈，且a b ，a c ，则()a b c ±，a mb ，a mc ，()a m b c ±。
事实上可推广到一般情形：若,,i i a b x Z ∈(1,2,,)i n =，且i a b ，则1ni i i a b x =∑；（4）设,a b Z ∈，且a b ，则对于任何m Z ∈，都有am bm ；反之，若am bm ，则a b 。
（5）若a b <，且b a ，则0a =； （6）若a 、b 互素，且a bc ，则a c ；（7）若p 是素数，且1ni i p a =∏，则至少有一个i a ，使得i p a (1)i n ≤≤；（8）若12,,,n a a a 两两互素，且i a A ，1,2,,i n =，则1ni i a A =∏；例1.求证：如果P 和2P +都是大于3的素数，那么6是1P +的因数。
1.1整数和整除的意义
一、引例：
小明家装修新房，客厅的地面是长6米、宽4.8米的 长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市 场上地砖有30×30、40×40、60×60、80×80（单位： 厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖， 该选哪一种尺寸呢？
二、新授：
（一）整数：
整数和整除的意义：
三整一零
练习 2． 下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ √ 10÷3； 48÷8； 6÷4． 24÷6．√ 51÷17． √ 2.6÷1.3．
3． 下列说法对吗？为什么 （2）51能整除17 × （1）3能被6整除 × （3）2.5能被5整除 × （4）51能整除17 × （5）10能被100整除 × （6）10能整除20 √
零既不是正整数，又 不是负整数
自然数也叫做非负整数
2．自然数：
正整数 自然数 零
3．注意整除的条件：“三整一零”．
4．在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除， 请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”． 72和36（√ ）； 20和5（ √ ）； 18和3（ √ ）；
×
17和34（ ）；
× ×
0.5和5（
0.2和4（
）.
17和3（
×
19和38（
×
）； ）.
）.
三、小结： 1．整数分类：
正整数 整数 零 负整数
自然数有时也叫 做非负整数!
练习：
1．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内．
12，－7，0，0.4，－23，
12，91
3 4
，91，－8.75．
-7，-23
正整数
12，-7，0，-23，91
数的整除知识梳理
第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。
2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。
除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。
2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。
☆整除是除尽的一种特殊情况。
1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。
a叫做b的因数。
☆倍数和因数是相互依存的。
1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。
素数：除1与本身外没有其他因数的数。
合数：除1与本身外有其他因数的数。
分解素因数用短除法。
（用等式些写结论，分解的书写在最前。
）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。
1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。
总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。
1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。
2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。
整数与整除的定义
第一章数的整除第一节整数和整除§1.1 整除和整除的定义一、填空题1. 比3小的自然数是0、1、2。
2. 18÷9=2我们就说18能被9整除或9能整除18 。
3. 既不是正整数，又不是负整数的数是0。
4. 在-7、-2、-0.5、0、0.5、1、6各数中，自然数有0、1、6。
5. 比-3大的负整数有-2、-1。
6. 写出两个能被7整除的数14、21。
7. 能整除12的整数有1、2、3、4、6、12 (全部写出来)。
二、选择题8 下列算式中表示整除的算式有( C)A．0.8÷0.4=2 B. 16÷3=5……1 C. 2÷1=2 D. 8÷16=0.59. 下列各组数中，第二个数能整除第一个数的是( D)A．4和12 B. 24和5 C. 35和8 D. 91和710. 下列说法中，错误的是( A)A. 最大的整数是0B. 最大的正整数不存在C. 最大的负整数是-1D. 最大的自然数不存在11. 最小的正整数与最大的负整数的和是( B)A. -1B. 0C. 1D. 2三、简答题12. 从下列数中选择适当的数填入相应的圈内-200，18，-1，0，1.23，-19.6，913. 把下列各算式按“除尽”，“除不尽”，“整除”填入相应的横线上。
27÷3，6÷1.2，40÷3，35÷0.5，1.6÷8，52÷13，30÷7，17÷68除尽：36÷1.2 3.6÷0.5 35÷0.5 17÷68除不尽：40÷3整除：27÷314. 求25以内被3整除的所有数的和。
(3+24)×(24 3)÷2=27×8÷2=10815. 210能被几个小于10的数整除，分别是多少？210=1×210=2×105=3×70=5×42=6×35=×30∴分别是1，2，3，5，6，7四、解答题16. 一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数相同，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，小马虎统计的数字对吗？为什么？342 4=85（个）∴小马虎记错了，每组糊的个数一样，而342不能被4整除。
整数的整除
整数的整除整数的整除：设a,b是任意两个整数，且，如果存在一个整数q，使得等式成立，就称b整除a，或a被b整除，记作b｜a.例如：6｜30 （a=30,b=6,q=5，有）如果不存在整数q, 使成立，就说a不能被b整除，记作约数和倍数:若整数a能被整数b整除（b｜a），称a为b的位倍数，b为a的约数。
因为整数都是的倍数，所以是任何整数的约数。
又由于零是任何不等于零的整数的倍数，所以任何一个不为零的的整数都是零的约数。
约数也叫因数。
整数整除的性质：设a、b、c、d均为整数。
①｜b，则（－a）｜b; a｜(-b); (-a) ｜(-b); ｜; . ②若｜b，b｜c, 则｜c。
③若｜b，c是任何整数，则｜bc。
④若｜b，，则c｜bc. ⑤c｜bc，且，则｜b。
⑥若｜b， 且，则。
⑦，又｜，则a=0。
⑧若d｜a1， d｜a2, d｜a3，，d ｜a n, 则 d｜, 以及d｜ ⑨d｜，又d｜a，则d｜b. ⑩若且这项中有项是是d的倍数，则剩下的一项也是d的倍数。
（11）若内有一项不是d的倍数，则至少还有一项也不是d的倍数。
（12）m个连续整数中，必有一个能被m整除。
例如：4个连续整数，14,15,16,17中16能被4整除。
（13）若a、b是两个连续整数，且，则有且只有两个整数q, r，使得成立。
其中a为被除数, b为除数，r为余数，显然b｜a的充要条件是。
能被2、5、4、8整除的数的整数 ①若一个整数的末位数字是偶数，则这个数就能被 2整除。
如12，24等。
②若一个数的末位数字是“0”或“5”，则这个数能被5整除。
如：15, 70等。
③若一个整数的末二位数字所表示的数能被4整除，则这个就能被4整除，如：124, 1004等。
④若一个整数的末三位数字所表示的数能被8整除，则这个数字就能被8整除。
如：1512， 20088等。
能被 3,9整除的整数：若一个数的各位数字之和能被 3或9整除，则这个数字就能被3或9整除。
整数和整除的意义
1.1 整数和整除的意义教学目标1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义．2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念．3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。
重点、难点理解和掌握整除的概念。
一、 建立整数和自然数的概念：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。
在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数，统称为整数。
2、把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数归纳：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除10÷3 48÷8 6÷43、一展身手：（1） 有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？为什么？1.2 因数和倍数教学设计因数和倍数是在整除基础上的进一步研究，因此在学生原有知识的基础上建立因数和倍数的概念，关键是使学生理解因数和倍数之间的相互依存关系，同时也是对整除概念的进一步巩固。
在教学设计中通过一些辨析题是学生更透彻的理解概念。
在求一个数的因数和倍数的过程中培养学生的观察和归纳问题的能力，在学生学和解决问题的同时培养良好的学习习惯。
教学目标1、理解和掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系。
会根据因数和倍数的意义描述两个数之间的关系。
2、知道一个数的因数和倍数的求法．3．知道一个数的因数是有限个，一个数的倍数是无限个．4、渗透初步的辩证唯物主义思想教育。
整数和整除意义
01整数和整除意义、因数和倍数【基本概念】1、整数分类正整数、零和负整数，统称为整数。
【注】“零”既不是正整数，也不是负整数2、整除、因数、倍数：在除法算式：cba=÷中，整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数c而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
我们也可以说a是b 和c的倍数，b 和 c 是a的因数。
条件：（1）除数、被除数都是整数；（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
或者说：在乘法算式中：acb=⨯中，整数b乘以整数c,所得积是整数a，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
我们也可以说a是b 和c的倍数，b 和 c 是a的因数。
3、区别除尽和整除：4、因数和倍数的性质：（1）任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数。
（2）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数。
（3）0是任何一个不等于0的整数的倍数。
0=÷m (m位整数) 中m可以是任何一个不位0的整数。
（4）0没有因数。
因为分解因数不考虑0，研究因数和倍数时，不考虑0。
【例题分析】1、从-1，2.01，32，81，0.01，0，-3.9，100，选出适当数填入相应的圈内。
自然数 整数 正整数2、写出下列各数的因数（1）12 （2）36 （3）18 （4）173、将下列各式的编号填入相应的横线上①49÷7 ②3.6÷9 ③6÷12 ④10÷0.1 ⑤8÷8 ⑥13÷2 ⑦54÷3 ⑧2.1÷2.1（1）被除数能被除数整除的（2）被除数能被除数整除的4、将下列各数按要求填入相应的横线上1，2，0，5，8，6，15，3，2.7，45，57（1）自然数（2）奇数（3）45的因数（4）能被3除尽的数5、如果两个整数a 、b （a>b ）都能被c 整除，那么它们的和、差、积也能被c 整除吗？为什么？6、40、68 和 96 分别除以一个自然数 a ，所得的余数都是 5，则这个自然数 a 是多少？7、是一筐苹果，2个一拿还剩1个，3个一拿还剩2个，4个一拿还剩3个，5个一拿还剩4个，则这筐苹果最少应有（ ）A ．31B ．59C ．61D ．121【概念理解】 1、下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）A ．4和9B ．16和64C ．1.6和3.2D ．7.2和3.6 2、4.80.224÷=，所以说4.8能被0.2 ______．（填“整除”或“除尽”或“除不尽”）3、能整除6的数有____________．4、下列说法中正确的个数是（）①一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；②一个正整数的倍数一定能被它的因数整除；③一个正整数的因数至少有两个．A．0个B．1个C．2个D．3个5、已知三个正整数a、b、c满足a=bc，则下列书法正确的有（）个。
整数和整除的意义
第一讲整除和整除、因数和倍数、能被2、3、5整除的数以及分解素因数第一部分：整除和整除的意义1、六（1）班同学分成四个小组制作世博会中国馆模型，每组做的一样多，小沈统计后说：全班共做了42个模型，他的统计正确吗？2、在1到180之间找出所有36的倍数，并求出36的所有因数。
3、96名同学报名参加世博志愿者活动，需平均分成若干组，每组不少于4人，也不多于6人，应怎样分组？4、鲁迅纪念馆的小纪念册每本5元，大纪念册每本7元，王刚买了这两种纪念册共花142元，求两种纪念册最少买了多少本？5、2010年教师节正好是星期五，师生们可以利用下午的班会课好好庆祝一下节日，有同学问了，那明年呢？你能不能不翻日历就能知道明年的教师节是星期几？6、用1,2,3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数是多少？第二部分：因数和倍数1、李海区世博会参观，可以在同一个车站乘坐世博21路和869路，世博21路每4分钟发车一次，869路每6分钟发车一次，现在这两路车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？2、为庆祝国庆，六年级同学买来336支红花，252枝黄花，210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少枝同样的花？在每束花中，红、黄、粉共有多少枝？3、小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方形，最后没有多余，请问这些正方形的边长为多少？一共可以折出多少个正方形？4、五年级一班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班级的人数吗？5、今天是9月19号，正好是星期天，这是小明最高兴的一天，因为他和爸爸妈妈一起去公园玩了一天，小明想：下次什么时候才能和爸爸妈妈一起去玩呢？小明知道爸爸妈妈工作很忙，只有在休息的时候才能和他一起玩，爸爸工作4天休息1天；妈妈工作3天，休息1天；小明学习5天，休息2天（周一至周五学习，星期六、日休息），你能帮他算出来吗？（要说出是几月几号？星期几）第三部分：能被2、5、3整除的数1、某个七位数1993 能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是多少？2、在1—199中，有多少个奇数？多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？3、（！）不算出结果，判断数（524+42-429）是偶数还是奇数？（2）数（42 +30-147）能被2整除，那么，应该填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×154、1＋2＋3＋4＋…＋999＋1000＋1001的和是奇数还是偶数？5、□△○□▽○…，则第2001个图形是什么形状？第四部分：素数、合数与分解素因数1、两个素数的和是40，求这两个素数的乘积最大值是多少2、自然数123 456 789是素数还是合数？3、把5、6、7、14、15这5个数分成两组，使每组数的乘积相等。
整数与整除的意义C
整数与整除的意义C
整除是数学的一个基本概念，它指的是一个数字被另一个数字除以另一个数字所得的结果是一个整数，而不是一个小数。
例如，十被二除，结果就是五，这就是整除，因为结果是一个整数。
整除和不整除在数学中的应用非常广泛。
其中一个最常见的数学应用是在解决分数除法问题时使用它，用整除可以帮助我们更容易地求解分数除法问题，例如，除以三分之一，在不使用整除时，很难解决这个问题，因为无论如何，最终结果都是一个分数。
但是，使用整除，我们只需要将分子和分母都除以三，就会得到一个整数，因此可以更容易地解决分数除法问题。
另外，在现代数学研究中，例如密码学，整除运算也有所应用。
在密码学中，整除运算可以用来检查一个数字是否可以被另一个数字整除。
另外，整除运算可以用来计算出模运算的结果，例如，一个数字与另一个数字相乘，然后再用第二个数字去除，结果就是模运算的结果。
此外，在日常生活的许多领域，整除也得到了广泛的应用。
例如，当两个人要分摊一笔费用时，可以用整除来更容易地计算出每个人需要付多少钱；或者，在公司中，若要分配一定的费用，可以用整除来确定每个部门应得的分配多少。
整数和整除的意义
整数和整除的意义
教学目标
1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义．
2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念．
3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。
重点、难点
理解和掌握整除的概念。
1、建立整数和自然数的概念：
在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。
在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数，统称为整数。
2、把下列各数填在适当的圈内：
12、-6、0、1.23、2005、-19.6、9
正整数自然数整数
归纳：
整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除
10÷3 48÷8 6÷4
3、一展身手：
（1）有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？
有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？
（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，
小马虎统计错了？为什么？。
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【知识点1】
1、整数和整除的意义
整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数；
(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2、自然数和整数
零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.
3.除尽
没有余数
4.整除与除尽
相同点：都没有余数；除尽中包含整除
不同点：整除中，被除数、除数和商都是整数，余数为0；
除尽中，被除数、除数和商不一定是整数，余数为0.
【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。
【基本习题限时训练1】
1、下列算式中表示整除的算式是（）
（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3
2、下列各组数中，均为自然数的是（）
（A）1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）2
3，3
4
，4
5
（D）2，4，6
3、下列说法正确的是……………………………………………（）
（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1
（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是1
4、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；
（3）3248
÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？
6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
【拓展题1】
1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
2、试证明：能被3整除的三位数各数位上数的和能被3整除。
一、填空题
1.统称为自然数。
2.统称为整数。
3.用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句。
（1）2 整除4 （2）2 整除5
（3）5 被2整除（4）6 被2整
4.把下列各数填在指定的圈内：
2,125，-7,0.4，101
，0，-1.6，-97，43
，-1
自然数 负整数 整数
二、选择题 1. 6÷5=1.2，表示（ ）
A.6能被5整除
B.6能被5除尽
C.6不能被5除尽
D.5能整除6
2.和11相邻的整数是（ ）
A.9、10
B.10、12
C.12、13
D.都是
3.下列四句话中，正确的是（ ）
A.最小的整数是1
B.整数一定比小数大
C.4能被0.8整除
D.负整数、0、正整数都是整数
4.把下列各算式填入相应的方框里。
45÷9=5，4÷8=0.5，,14÷5=2·4，,3.6÷0.9=4，
10÷0.5=20，-27÷3=-9,32÷（-8）=-4
整除 除尽。