探究存在性问题(数学)

探究存在性问题“三部曲”

（江苏 杨大为）

存在性开放问题大多数是运用类比的方法，通过类比归纳、猜想、论证，即通过分析类比、提出猜想，再进行必要的论证。具体的思路是，假设结论存在或成立，若推证出矛盾，则结论确实存在或成立；若推证出矛盾，则结论不存在或不成立。说的明白一点就是，探究“存在性”问题，一般遵循“三部曲”：假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情形）。但任何事情都不是绝对的，有的存在性问题很明显，并不需要严格按照上面的三个步骤进行。现以几道中考压轴大题为例，相信对你的中考复习会有所帮助。 例1（2007年湖北省荆门市第28题）．如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．

(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

分析：此题将矩形纸片放在平面直角坐标系中操作，利用折叠探究函数关系式，融对称、相似、函数等众多知识点于一体，属常规的存在性问题探究题，难度不是太大，相信同学们能顺利求解。（下面给出详细解答，有的还附上了原分值，以供同学们参考。）

解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．

∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．……………………………………………………………………2分 ∴PO BA OE AP =．即34x y x =-．∴y =2114(4)333

x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值1

3

．………………………………………………………………4分

(2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．……6分 设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩

图

2 图

1

y =213122

x x -+．……………………………………………………………………………8分 (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．………………………………9分 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)．

将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)，

∴该直线为y =x ＋1．………………………………………………………………………10分 由21,131,22y x y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩

得5,6.x y =⎧⎨=⎩∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．……………………………………12分

例2（2007年扬州市第26题）．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．

（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；

（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．

分析：此题仍然以矩形为依托，放弃了上例的平面直角坐标系，融入了物理上的运动、数学上的相似、梯形、面积、方程等知识点。与上例类似，作为中考压轴大题，也不是很难。

解：（1）34

PM =，

（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2

（3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥，⊥，，

AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a

--==Q ，， (1)3t a QM a

-=-Q 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM ++=

N

()33(1)()22t a t t a a t t t a a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭==化简得66a t a

=+， 3t Q ≤，636a a

∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a

∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =

()3t a t t a ∴-=-，把66a t a

=+

代入，解之得a =±

a = 所以，存在a ，

当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等． 例3（2007年辽宁省十二市第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；

（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．

写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

分析：此题与例1类似，但它加入了作图、中心对称、确定最值等知识点，难度要比例1大一点，但由于第（4）小问降低了要求，所以得分应该不是太难。

解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ．。。。。。。 1分

∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，

∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ··················· 3分

（写错一个点的坐标扣1分）