高三数学模拟考试试题

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2024届高三数学模拟检测(广东专用,2024新题型)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试
高三数学（广东专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2168πcm
C．3
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
⎫
对称
⎪
⎭
单调递减
与平面ABP夹角的余弦值．
2 21
y
b
+=的焦距为2，1F 的周长为8．。

2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题

2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-，(,n a b c =-，且//m n ，则ABC ∆的面积为（）A ．3B ．2C ．2D ．2．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A B ．-C ．12 D ．12- 3．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（）A B ．1 C D ．24．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±5．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（）A B ．1 C ．2 D ．126．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( )A ．4B ．8C ．6D ．128．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.89．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z =A ．1B 5C ．5D ．5510．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -11．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（） A 2 B 5 C 3 D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题(含答案)

河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若A ={x |x 2<1}，B ={x |y =ln (−x 2+2x )}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [0,1)C. (0,1)D. (−1,0)2.下列说法中正确的是( )A. 若函数f (x )为奇函数，则f (0)=0；B. 在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件；C. 若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列；D. 若复数z =2i1−i (i 是虚数单位)，则z =−1−i ．3.已知数列{a n }满足a n +1=23a n +4，且a 1=1，则{a n }的通项公式为( )A. a n =12−(23)n−1B. a n =(23)n +2C. a n =12−11×(23)n−1D. a n =8+(23)n−14.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC =AB =AA 1，∠BAC =120°，D ，E ，F 分别是棱B 1C 1，BC ，A 1C 1的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为( )A. 310B.5110C. 25D. 7105.已知平面向量m ，n 满足：|m |=|n |=2，且m 在n 上的投影向量为12n ，则向量m 与向量n−m 的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘6.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，其图象经过点(2,0)，且对任意x 1、x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2，(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0恒成立，则不等式(x−1)f (x )≥0的解集为( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,0]⋃[1,2]D. [0,1]⋃[2,+∞)7.若函数f(x)=(x 2−22x +a)sin (ax−π3)(a >0)在[0,4]上有3个零点，则a 的取值范围是( )A. [7π12,5π7) B. (0,5π6)C. [π12,π3)∪[2，5π6) D. [π12,π3)∪(2,5π6)8.已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，▵ABD 的三个顶点均在C 上，F 1、F 2分别落在线段AB 、AD 上且AD ⊥x 轴，若AD =8,AB =9，则BD =( )．A. 4B. 5C. 6D. 7二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024年枣庄市高三数学第三次调研模拟考试卷附答案解析

2024年枣庄市高三数学第三次调研模拟考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}20A x x =+>∣，{}220B x x x =--<∣，则A B = （）A ．{21}xx -<<∣B ．{22}x x -<<∣C ．{11}x x -<<∣D ．{12}xx -<<∣2．已知双曲线22:14y x C m-=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（）A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．0B ．12C D ．24．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用πe ϕρα=表达，其中α为正实数，ϕ是极角，ρ是极径．若ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的（）A ．13e 倍B ．12e 倍C ．π2e 倍D ．πe 倍5．己知平面向量(1,1),(2,0)a b =-=，则a 在b 上的投影向量为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(D ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π7．已知复数1212,,z z z z ≠，若12,z z 同时满足||1z =和|1||i |z z -=-，则12z z -为（）A ．1BC ．2D ．8．在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A ．B C D二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆ125 4.25yx =+．，则（）A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数()()()2ln 1ln 1f x x x x=+--+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,0对称B ．()f x 在22⎛ ⎝⎭上单调递增C ．()f x 的极小值点为22D ．()f x 有两个零点11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别为棱1,DD DC 的中点，点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，则（）A ．1AB ∥平面AMNB ．点P 的轨迹长度为π2C ．存在点P ，使得MP ⊥平面AMND ．点P 到平面AMN 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．写出函数()sin cos 1f x x x =+图象的一条对称轴方程．13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为．14．设()()1122,,,A x y B x y 为平面上两点，定义1212(,)d A B x x y y =-+-、已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一动点，点(3,0),(,)Q d P Q 的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则(,)d P M 的最小值为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的底面为菱形，14,3,60AB DD BAD ==∠=︒，点E 为BC 中点，11,D E BC D E ⊥=(1)证明：1DD ⊥平面ABCD ；(2)若112AD =，求平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E 的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为p ．(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；(2)某同学不知道比例p ，为估计p 的值，设计了如下两种方案：方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止．方案二：从袋中进行有放回摸球5次．分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计p 的值更合理．18．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x '为()f x 的导数(1)讨论()f x '的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；(3)若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：sin 1cos 1e e ln(sin cos )1θθθθ--++<．19．若数列{}n a 的各项均为正数，对任意*N n ∈，有212n n n a a a ++≥，则称数列{}n a 为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数231234()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列；(3)若数列{}n c 的各项均为正数，21c c >，记{}n c 的前n 项和为n S ，1n n W S n=，对任意三个不相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得()()()r p q p q W q r W r p W t -+-+-=．证明：数列{}n S 为“对数凹性”数列．1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由220x x --<，即()()120x x +-<，解得12x -<<，所以{}{}21220|B xx x x x <-=-=<-<∣，又{}{}202A xx x x =+>=>-∣∣，所以{}12A B x x =-<< ∣.故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得0m >，令2204y x y x m -=⇒=，即C 的渐近线方程为y x =，21m=⇒=.故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即角α的终边经过点1322P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin α=，1cos 2α=，所以πππ11cos cos cos sin sin 66622ααα⎛⎫-=+== ⎪⎝⎭.故选：D 4．B【分析】设0ϕ所对应的极径为0ρ，10π2ϕϕ=+所对应的极径为1ρ，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得.【详解】设0ϕ所对应的极径为0ρ，则0π0e ϕρα=，则10π2ϕϕ=+所对应的极径为0π2π1eϕρα+=，所以0000ππ222π1πππ1e e e e ϕϕϕϕραρα++-===，故ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的12e 倍.故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出a b ⋅ 和b ，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.【详解】(1,1),(2,0)a b =-=，2a b ⋅=-，2b =,a 在b 上的投影向量为()()22,01,04a b b bb⋅-⋅==-.故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r ，则r =，故该球的表面积为24π8πr =.故选：C 7．C【分析】设()i ,R z x y x y =+∈，根据||1z =和|1||i |z z -=-求出交点坐标，即可求出12,z z ，再计算其模即可.【详解】设()i ,R z x y x y =+∈，则()11i z x y -=-+，()i 1i z x y -=+-，由||1z =和|1||i |z z -=-，所以221x y +=且()()222211x y y x -+=-+，即221x y +=且x y =，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =+、2i 22z =-（或122i 22z =--、222i 22z =+），则21i i 2222z z ⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭（或21z z -=），所以122z z -=.故选：C 8．B【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出CB，CD ，再在BCD △中利用正弦定理得cos sin(60)x θθ-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛⎫<<⎪⎝⎭，令AC x =()0x >，则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，cos sin(60)x θθ==-︒=，可得tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：1.250>，所以y 与x 正相关，即A 正确；由表格数据及回归方程易知32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=，即B 错误；易知560%3⨯=，所以样本数据y 的第60百分位数为898.52+=，即C 错误；由回归直线方程知1,2,3,4,5x =时对应的预测值分别为 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=，对应残差分别为0.5,0.75,0,0.25,0--，显然残差之和为0，即D 正确.故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+，令10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得10x -<<或01x <<，所以函数的定义域为()()1,00,1-U ，又()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为奇函数，函数图象关于()0,0对称，故A 正确；又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，故B 错误；当2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即()f x在,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，根据奇函数的对称性可知()f x 在21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极小值点为22，极大值点为22-，故C 正确；又(()ln 320f x f ==++⎝⎭极小值，且当x 趋近于1时，()f x 趋近于无穷大，当x 趋近于0时，()f x 趋近于无穷大，所以()f x 在()0,1上无零点，根据对称性可知()f x 在()1,0-上无零点，故()f x 无零点，故D 错误．故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒，又1⊄A B 平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以1A B ∥平面AMN ，即A 正确；对于B ，因为点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，11MD =，则1DP =P 点轨迹为以1D所以点P的轨迹长度为132ππ42⨯，故B 正确；对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MP θθ=-=-=，若存在点P ，使得MP ⊥面AMN，则100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解之得sin ,cos θθ=即不存在点P ，使得MP ⊥面AMN ，故C 错误；对于D ，设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12x y z =⇒==，即()1,2,2n =，则点P 到平面AMN的距离()221πtan ,0,3322n MP d n θϕθθϕϕ⋅++⎛⎫++⎛⎫====∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，显然π2θϕ+=时取得最大值max d =D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．π4x =（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知1()sin 212f x x =+，所以()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，不妨取0k =，则π4x =.故答案为：π4x =（答案不唯一）13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为3394416⨯=；第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为14，所以到达第3阶台阶的概率为911316416+=，故答案为：1316.14．232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作//PN x 并构造直角三角形，根据(,)d P M 的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.【详解】设2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，322p⇒-=，即2p =，p m =时取得最小值；易知39:22l y x =-，2:4C x y =，联立有26180x x -+=，显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过P 作//PN x 交l 于N ，过M 作ME PN ⊥，则(,)d P M PE EM PE EN PN =+≥+=（,M N 重合时取得等号），设2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则223,64n n N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()22133336622n PN n n =-+=-+≥，故答案为：2，32【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接DE 、DB ，即可证明BC ⊥平面1D DE ，从而得到1BC DD ⊥，再由勾股定理逆定理得到1DD DE ⊥，即可证明1DD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接DE 、DB ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= 所以BDC 是边长为4的正三角形，因为E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，DE =又因为11,D E BC D E DE E ⊥⋂=，1,D E DE ⊂平面1D DE ，所以BC ⊥平面1D DE ，又1DD ⊂平面1D DE ，所以1BC DD ⊥，又1D E =13DD =，DE =所以22211DD DE D E +=，所以1DD DE ⊥，又因为,,DE BC E DE BC =⊂ 平面ABCD ，所以1DD ⊥平面ABCD.（2）因为直线1,,DA DE DD 两两垂直，以D 为原点，1,,DA DE DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,2,2,0,3D A E C A -，所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=- 设平面11A C E 的一个法向量为(),,n x y z = ，则11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，即43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令3x =，得4y z ==，所以()4n = ，由题意知，()0,0,1m = 是平面ABCD 的一个法向量，设平面11A C E 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos 13m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面11A C E与平面ABCD 16．(1)22143x y +=(2)10x y +-=或10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c ，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121ca a c abc ⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A ==所以122y y =-①设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得()122122634934my y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩，把①式代入上式得222226349234my m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++，解得255m =±，所以直线l 的方程为：10x y -=或10x y -=.17．(1)1p-(2)答案见解析【分析】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，X 的可能取值为11110,,,,,15432，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，则()55,Y B p ~，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.【详解】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，则()()21P A p =-，()()31P B p =-，所以()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--；（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，则X 的可能取值为：11110,,,,,15432，且()()501P X p ==-，()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()3114P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()112P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1P X p ==，所以X 的分布列为：X 0151413121P 5(1)p -4(1)p p -3(1)p p -2(1)p p -()1p p-p 则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯()4321(1)(1)(1)5432p p p p p p p p p ----=++++，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，因为()55,Y B p ~，所以5Y 的分布列为：()555C (1),0,1,2,3,4,5k k k P Y k p p k -==-=，即Y 的分布列为：Y 0152535451P 5(1)p -45(1)p p -3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以()55E Y p =，则()E Y p =，因为()E X p >，()E Y p =，所以“方案二”估计p 的值更合理.18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令()()g x f x '=，求出导函数，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a ≤、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，只需证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+，结合（2）只需证明()ln 1(10)x x x +<-<<，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--'，令()()21x g x f x ax =-'=-e ，则()e 2x g x a '=-，当0a ≤时，()()0,g x f x ''>在区间(),-∞+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ∞∈-时，()0g x '<，当()ln2,x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x '在区间(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增.（2）当0a ≤时，()00f '=，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<在(),0∞-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f '=，由（1）知，当()ln2,0x a ∈时，()()0,f x f x '<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x ∈-∞+∞时，()()0,f x f x '≥在(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f '=；当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '>在(),0∞-上单调递增；当()0,ln2∈x a 时，()()0,f x f x '<在()0,ln2a 上单调递减；所以0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >.（3）要证()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<，只要证()()sin 1cos 122e e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+，只要证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈，所以只要证对任意01x <<，有12e ln x x x -+<，只要证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+（※），因为由（2）知：当1a =时，若0x <，则()()01f x f <=，所以2e 1x x x --<，即2e 1x x x <++①，令函数()()ln 1(10)h x x x x =+--<<，则()1111x h x x x-'=-=++，所以当10x -<<时()0h x '>，所以()h x 在()1,0-单调递增；则()()00h x h <=，即()ln 1(10)x x x +<-<<，由①+②得()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+，所以（※）成立，所以()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；（3）将,p q 互换计算可得0=t ，令1,2p q ==，可证明{}n W 是等差数列，结合等差数列得通项公式可知()11n W c n d =+-，利用1n n W S n=及,n n S c 的关系可得()121n c c d n =+-，并判定{}n c 为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中2234≥⨯不成立，所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；（2）根据题意及三次函数的性质易知2234()23f x b b x b x =++'有两个不等实数根，所以221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>，又0(1,2,3,4)i b i >=，所以2324243b b b b b >>，显然()1000x f b =⇒=>，即0x =不是()f x 的零点，又2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t x =，则()231234f t b b t b t b t =+++也有三个零点，即32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭有三个零点，则()321234g x b x b x b x b =+++有三个零点，所以()212332g x b x b x b =++'有两个零点，所以同上有22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>，故数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列（3）将,p q 互换得：()()()r q p t q p W p vr W r q W t =-+-+-=-，所以0=t ，令1,2p q ==，得()()(2210r W r W r W -+-+-=，所以()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--，故数列{}n W 是等差数列，记221211022S c c d W W c -=-=-=>，所以()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()21n n S nW dn c d n ==+-，又因为11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()121n c c d n=+-，所以120n n c c d +-=>，所以{}n c 为单调递增的等差数列，所以()11210,2,2n n n n n n n n cc c c c c c S ++++>>+==.所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以212n n n S S S ++≥，数列{}n S 是“对数凹性”数列【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定2324243b b b b b >>，再判定()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定2213133b b b b b >>即可；第三问根据条件将,p q 互换得0=t ，利用赋值法证明{}n W 是等差数列，再根据1n n W S n=及,n n S c 的关系可得n c 从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.。

广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题含答案

柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i i a ++为实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-3．已知()()12,3,3,,1AB AC t BC ===，则AB BC ⋅= （）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知,,,P A B C 是半径为2的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为4，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A ．334B ．934C．D ．153410．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的,x y R ∈，都有()()f x f y x y -<-，若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析

安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e2．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,77．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．已知全集，，则（）A ．B ．C ．D ．12．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（） A ．12B ．32C ．12±D ．32±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

2024届高三数学仿真模拟卷(天津卷)(全解全析)

2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题(柳州一模)(含答案)

广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z =1+i ，则1z 的虚部为( )．A. −12B. 12C. −i2D. 12−i22.对于非零向量a ，b ，“a +b =0”是“a //b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y 24−x 2m =1的一条渐近线方程为y =−2x ，则m =( )．A. 1B. 2C. 8D. 164.若过点(23,0)与圆x 2+y 2=4相切的两条直线的夹角为α，则cos α=( )．A.55B. 255C. 13D. 235.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为( )．A. x 225−9y 2100=1(x ≠±5)B. x 225−3y 2100=1(x ≠±5)C. y 225−3x 2100=1(x ≠±5) D. y 225−9x 2100=1(x ≠±5)6.设函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)，已知f(x 1)=−1，f(x 2)=1，且|x 1−x 2|的最小值为π4，则ω=( )．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知正四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为763，AB =2，A 1B 1=1，则AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为( )．A.32B.3 C. 23 D. 48.设函数f(x)=x ln x−(a +b)ln x ，若f(x)≥0，则5a +5b 的最小值为( )．A. 1B. 2C.5D. 25二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

江苏省镇江市丹阳高级中学2025届高三上学期模拟一考试数学试题

江苏省镇江市丹阳高级中学2025届高三上学期模拟一考试数学试题一、单选题1．过点()2,1A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（） A ．1x y -=B ．3x y +=C ．20x y -=或3x y +=D ．20x y -=或1x y -=2．设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，259,,a a a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（）A ．1011B ．1110 C ．34D ．433．若两平行直线20(0)x y m m ++=>与260x ny --=，则m n +=（） A ．12-B ．2C ．0D ．2-4．已知圆C ：()()22349x y -+-=，直线l ：230mx y m +--=．则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（） A．BC．D5．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为22 1.x y -=若直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（） A．()1-B．⎡⎣C．(1)-⋃ D．(6．设数列 a n 的前n 项和为n S，若11n a +=，且11a =，则（） A ．55a <B ．510a >C ．1001000S >D ．10010000S <7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两焦点为12,,F F P 为其渐近线上一点，满足：1212,2PF PF PF PF ⊥=，则此双曲线的渐近线的方程为（）A ．32y x =±B ．23y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?8．抛物线C ：2(0)y mx m =>的焦点为()40F ，，直线 l 经过点F ，交C 于A B ，两点，交y 轴于点P ，若2PB BF =u u u r u u u r，则错误的是（）A ．16m =B ．弦AB 的中点到y 轴的距离为133C ．503AB =D ．点B的坐标为83⎛ ⎝⎭二、多选题9．已知数列{}n a 是等比数列，则（） A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C ．数列{}1n n a a ++是等比数列D ．数列{}2lg n a 是等比数列10．（多选）已知椭圆22:1259x y C +=，12,F F 分别为它的左右焦点，点,A B 分别为它的左右顶点，已知定点()4,2Q ，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．存在点P ，使得12120F PF ∠=︒B ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值C ．12125PF PF +有最小值185D ．1PQ PF +的范围为⎡⎤⎣⎦11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线12,l l 分别与抛物线C 交于点A ，B 和点D ，E ，其中点A ，D 在第一象限，过抛物线C 上一点()0,3P x 分别作12,l l 的垂线，垂足分别为M ，N ，O 为坐标原点，若274OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，则（） A ．抛物线C 的准线方程为32x =- B ．若3AF FB =u u u r u u u r ，则直线1l 的倾斜角为π3C ．四边形ADBE 的面积的最小值为64D ．四边形PMFN的周长的最大值为三、填空题12．设等差数列 a n 的前n 项和为n S ，若10331035,7S S a a -=+=，则 a n 的公差． 13．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的上顶点为B ，两个焦点为1F ，2F ，线段2BF 的垂直平分线过点1F ，则椭圆的离心率为．14．已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=-u u u r u u u r ，则12PF F V 的面积为.四、解答题15．已知数列{}n a 满足11a =，1,4,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； (2)求{}n a 的前20项和． 16．已知圆O ：22 4.x y +=(1)过圆外一点()21P ，引圆的切线，求切线方程； (2)设点P 是直线1:40l x y -+=上的一点，过点P 作圆的切线，切点是M ，求OPM ∆的面积最小值以及此时点P 的坐标．17．已知双曲线22:14x C y -=，(),2M m ，斜率为k 的直线l 过点M .(1)若0m =，且直线l 与双曲线C 只有一个公共点，求k 的值；(2)双曲线C 上有一点P ，12F PF ∠的夹角为120︒，求三角形12PF F 的面积.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y a bC a b =>>+的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，连接BF 并延长交椭圆C 于点椭圆P ． (1)若85,P ⎛ ⎝⎭，16||5BP =，求椭圆C 的方程; (2)若直线AB 与直线AP 的斜率之比是-2，证明：BO FAPFS S V V 为定值，并求出定值． 19．已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >． (1)若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；(2)当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离； (3)直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P 的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．。

湖南省郴州市一中2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析

湖南省郴州市一中2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大2．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭3．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（） A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-4．若复数()()31z i i =-+，则z =（） A ．B ．CD ．205．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭6．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-7．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 8．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（） A ．3 B ．3 C ．1D ．59．若，则（） A ．B ．C ．D ．10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+11．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A ．54B ．43C ．32D ．212．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．250x y ±=B ．250x y ±=C ．520x y ±=D ．50x y ±=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)

江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

衡水金卷2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析

衡水金卷2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 2．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（） A ．52B ．4C ．2D ．54．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度5．已知函数()(N )k f x k x +=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．56．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+ B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 8．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．9．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．23B ．1C ．43D ．8312．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案

浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。

高三数学模拟考试题

高三数学模拟考试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7的导数是：A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 + 3x - 7C. 3x^2 - 3x + 5D. 6x^2 - 6x + 12. 若圆心在原点，半径为1的圆的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. (x-1)^2 + y^2 = 1D. (x+1)^2 + y^2 = 13. 已知集合A={1,2}，B={2,3}，则A∪B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若直线y=2x+b与曲线y=x^2-3x+2相切，则b的值为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知等差数列的前三项分别为3, 5, 7，则该数列的通项公式为：A. an = 3 + 2(n-1)B. an = 2 + 3(n-1)C. an = 4 + 2(n-1)D. an = 5 + 2(n-1)6. 若复数z满足|z-1-i|=1，则z的轨迹表示的图形是：A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线7. 函数y=|x-1|+|x-2|的最小值是：A. 1B. 2C. 3D. 48. 抛物线y^2=4x的焦点坐标是：A. (1,0)B. (2,0)C. (0,1)D. (0,-1)9. 已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，则a·b的值为：A. -1B. 1C. 3D. 510. 若方程x^2-2x+1=0有实根，则实根的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，当x=______时，函数取得最小值。

12. 若方程x^2+2x+1=0的根为x1和x2，则x1+x2=______。

13. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，那么数列的通项公式an=______。

四川省成都市2023-2024学年高三下学期模拟测试数学试题含答案

2023-2024年度高三模拟测试数学（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}241,S y y s s s +==-+∈N ，{}23,T y y tt +==-∈N ，则（）A.S T = B.S T⊆ C.S T⊇ D.S T ⋂=∅【答案】C 【解析】【分析】由()()2232421y t t t =-=+-++结合s +∈N ，t +∈N 即可得.【详解】()()2232421y t t t =-=+-++，故对t +∀∈N ，都有2s t =+，使22341t s s -=-+成立，又当2s =时，有2413s s -+=-，此时，不存在t +∈N 使233t -=-，故T S ⊆，即S T ⊇.故选：C.2.命题“2x y x y ++-≤”是“1x ≤，且1y ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断.【详解】若2x y x y ++-≤，22x y x y x y x y x ++-≤++-≤=，即1x ≤，22x y x y x y x y y +-+≤++-≤=，即1y ≤，则充分性成立；若1x ≤且1y ≤，当()()0x y x y +-≥时，22x y x y x y x y x +++-==-+≤，当()()0x y x y +-<时，22x y x y x y x y y ++++==--≤，则必要性成立；综上所述：“2x y x y ++-≤”是“1x ≤，且1y ≤”的充分必要条件.故选：C.3.若13i z =+，则22z z z=（）A.13i +B.13i -C.D.10【答案】A 【解析】【分析】根据复数四则运算和乘方运算以及共轭复数的定义即可.【详解】()2213i 86i z =+=-+，21910z =+=，()()2286i 13i 13i10z z z-+-==+，故选：A.4.函数22tan ()1tan xf x x=-的最小正周期是（）A.π4B.π2C.πD.2π【答案】C 【解析】【分析】借助正切函数的二倍角公式可得()tan 2f x x =，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得.【详解】22tan ()tan 21tan x f x x x==-，()ππ2x k k ≠+∈Z ，又tan 1x ≠±，可得()ππ42kx k ≠+∈Z ，即()tan 2f x x =，且()ππ2x k k ≠+∈Z 、()ππ42kx k ≠+∈Z ，故πT =.故选：C.5.已知抛物线²4y x =的焦点为F ，其上有两点,A B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则BF 的最大值是（）A.7 B.8C.5+D.10【答案】D 【解析】【分析】设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，利用韦达定理得出AB 中点M 的坐标，再根据条件得出222k k b k+-=-，再利用求根公式得出22211)x k=，再分1k >-或1k <两种情况，通过构造函数，利用函数单调性即可解决问题.【详解】由题知，直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消y 得到222(24)0k x kb x b +-+=，由222(24)40kb k b ∆=-->，得到1kb <①，由韦达定理知，212122224,kb b x x x x k k -+=-=，所以12124()2y y k x x b k +=++=，又由题知00221211y k kb x k ==----，得到222k k b k+-=-②，由①②得到2210k k +->，即1k >或1k <.由抛物线定义知，21BF x =+，又由222(24)0k x kb x b +-+=，得到x =取2x =，将222k k b k +-=-代入并化简得到222221)k k x k k++==，当1k >-，则2111k k=，且101k <<，令(01)y x x =<<，则11y '==，由0y '=，得到220x x -=，解得2x =或0x =（舍），当(0,1]x ∈时，0'>y ，当(1,2)x ∈时，111y '===-，由(1,2)x ∈时，22(1,2)21x x ∈-++，221(0,1)21x x -+∈-++，所以(1,2)x ∈时，0'>y ，即有(0,2)x ∈时，0'>y ，当1)x ∈时，1y '=，22(2,)21x x ∈+∞-++，所以221(1,)21x x -+∈+∞-++，得到0'<y ，所以当2x =时，(0)y x x =>有最大值为3，所以2x 的最大值为9，得到2110BF x =+≤，当1k <-，则11k k=，且110k -<<，令(10)y x x =-<，则1111y '====-，因为10x <，所以22(2,)21x x ∈+∞-++，得到221(1,)21x x -+∈+∞-++，所以，0'<y 在(1x ∈-上恒成立，此时(1,1y ∈--，则2(3x ∈-，故212BF x =+<，综上，10BF ≤，故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于找出k 的范围后，用k 表示出2x ，即222211)k k x k+-+=，再根据k 的范围，构造相应的函数，借助函数的单调性来解决问题.6.已知,a b ÎR ，函数11(),,22f x x ax b x x ⎡⎤=+-+∈⎢⎥⎣⎦的最大值为f M ，则f M 的最小值是（）A.18B.14C.12D.25【答案】B 【解析】【分析】首先由题得1max (1),(2),()2f M f f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，再得到(1)2f M f a b ≥=-+，2211(253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，再将以上三式两边相加可得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥.【详解】设max ()f M f x =，则1max (1),(2),(2f M f f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由于1511(252222f M f a b a b ≥=-+=--，(1)2f M f a b ≥=-+，1(2)4252f M f a b ≥=--，则(1)2f M f a b ≥=-+，2211()253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，所以将以上三式两边相加可得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥，所以14f M ≥.故选：B【点睛】(1)本题主要考查函数最值的求法，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是得到(1)2f M f a b ≥=-+，2211(253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，其二是利用三角不等式求得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥.7.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr的最大值是（）A.1+B.1+C.1+D.1+【答案】D 【解析】【分析】由题意画出草图，求出球心坐标，分析受力情况，从而得出0≤，由此即可得解.【详解】以碗的大圆圆心，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：上面球的球心、下面4个球之一的一个球心分别为()()12,0,O O r r ，以球2O 为对象分析它的受力情况：球1O给它的压力为4mg F = ，它自身受到的重力为()0,,0G mg =，由对称性可知碗给它的支持力为5,,4mg N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0≤，解得(1R r ≤+，所以Rr的最大值是1.故选：D.【点睛】关键点睛：关键是准确分析受力情况，列出不等式，由此即可顺利得解.8.已知a ，b ，c 满足()5log 23b ba =+，()3log 52bb c =-，则（）A.a c b c -≥-，a b b c -≥-B.a c b c -≥-，a b b c -≤-C.a c b c -≤-，a b b c -≥-D.a c b c -≤-，a b b c-≤-【答案】B 【解析】【分析】构造函数23()55x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性，分1b >，1b =，1b <讨论即可.【详解】由题意得520bb->，即52bb>，则2015b⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则0b >，令23(),(1)155x xf x f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据减函数加减函数为减函数的结论知：()f x 在R 上单调递减，当1b >时，可得23155bb⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，235b b b ∴+<，两边同取以5为底的对数得()55log 2og 53l b b b b a =+<=，对235b b b +<通过移项得523b b b ->，两边同取以3为底的对数得()3log 52b bb c =->，所以c b a >>，所以b a -<-，所以c b c a -<-，且0,0c b c a ->->，故此时，a c b c ->-，故C,D 选项错误，2b =时，533371log 13log 21log 212log ,132a c c b ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭，，，552512log 13log 0,,132b a c b b a ⎛⎫-=-=∈∴->- ⎪⎝⎭，且0,0c b c a ->->，故A 错误,下面严格证明当1b >时，0b a c b <-<-，()55551log 23log log 232355b b b b b b b b a b ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=-+== ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3352log 52log 33b bb bc b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦根据函数()5233x xh x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递增，且()11h =，则当1b >时，有52133bb⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，230155bb⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭< ，112355bb∴<⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明：552233b b bb b b-<+，1b >要证：552233b b bb b b-<+，即证：()()152352bb bbb +-<，等价于证明4610b b b <+，即证：23155bb⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此式开头已证明，对552233b b bb b b-<+，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b 得152332355bbb b⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则553152520log log log 33332355b b b b b bb ac b ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪<-=<-<-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1b >时，0b a c b <-<-，则a b b c-<-当01b <<时，可得23155b b⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，235b b b ∴+>，两边同取以5为底的对数得()55log 2og 53l b b b b a =+>=，对235b b b +>通过移项得523b b b -<，两边同取以3为底的对数得()3log 52b bb c =-<，所以c b a <<，所以b a ->-，所以c b c a ->-，且0,0c b c a -<-<，故0b c a c <-<-，故此时，a c b c ->-，下面严格证明当01b <<时，0c b b a -<-<，当01b <<时，根据函数23(),(1)155x xf x f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且其在R 上单调递减，可知23155b b⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则51log 02355b b b a ⎛⎫⎪ ⎪-=< ⎪⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1012355b b <<⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数函数()5233xxh x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递增，且()11h =，则当01b <<时，520133bb⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明：552,(1)233b b bb b bb -><+，要证：552233b b bb b b->+即证：()()152352bb bbb >+-，等价于证4610b b b +>，即证：23155bb⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此式已证明，对552233b b b b b b->+，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b得152332355b bb b⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35552521log log log 033332355b b b b b b c b b a ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-<-<-=<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故01b <<时，0c b b a -<-<，则a b b c-<-当1b =时，53log 51,log 31a c ====，则||||a c b c -=-，||||a b b c -=-，综上||||a c b c -≥-，a b b c -≤-，故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数23()55x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性及(1)1f =，从而得到,,a b c 之间的大小关系，同时需要先求出b 的范围，然后再对b 进行分类讨论.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知ABC 中，4AB =，3A π=．下列说法中正确的是（）A.若ABC 是钝角三角形，则02AC <<B.若ABC是锐角三角形，则BC <<C.AC BC的最大值是3D.2AC BC +的最小值是2+【答案】BC 【解析】【分析】根据B 为钝角时即可判断A ，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD.【详解】对于A,若B 为钝角，则AC AB >,故4AC >，A 错误，对于B,由正弦定理可得sin sin sin sin sin BC AB AB A BC A C C C=⇒==，由于ABC 是锐角三角形，所以π02C <<且2ππ032C <-<，故ππ62C <<，故1sin ,12C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而(sin BC C=∈，故B 正确，对于C,sin sin AC B B BC A ==,由于2π03B <<，所以sin 1B =时，取最大值，故最大值为3AC BC ==，C 正确，对于D，由正弦定理可得4sin 4sin ,sin sin sin sin sin sin BC AB AC A BBC AC A C B C C C==⇒===)2π4sin cos 24sin 2sin 4322sin sin sin sin sin sin sin C C B C C AC BC C C C C C C C⎛⎫- ⎪++⎝⎭+=+=+=++当π2C =时，)cos 22222sin C AC BC C ++=+=+<+D 错误，故选：BC10.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足128a a +=，1211n n a n a n +-=+.则（）A.5640a =B.{}n a 是递增数列C.1(1)24n n S n +≥-⋅+ D.1(2)24n n S n +≥-⋅+【答案】ABD 【解析】【分析】累乘法可计算出数列{}n a 的通项公式判断A ，利用数列单调性定义判断B ，举反例判断C ，利用错位相减法求和判断D.【详解】由1211n n a n a n +-=+可得：23213a a =，34224a a =，45235a a =，L ，32242n n a n a n ---=-，21231n n a n a n ---=-，122n n a n a n--=，则当2n ≥时，()332124345212222221234322345211n n n n n n a a a a a a n n n a a a a a a n n n n n --------⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--- ，化简得()22221n n a a n n -=-，又128a a +=，1220a a =，则120,8a a ==，所以()12(2)nn a n n n =-⋅≥，又1n =时也成立，所以()12nn a n n =-⋅，所以55452640a =⨯⨯=，故A 正确；因为()()()111212320n n n n n a a n n n n n n ++-=+⋅--⋅=+>，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；令()()()123102226221212n n n S n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅-⋅+-⋅⋅ ，则()()()2341202226221212nn n S n n n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅-⋅+-⋅⋅ ，两式相减得()()23412222321212n n n S n n n +⎡⎤-=⨯+⨯+⨯++---⋅⋅⎣⎦ ，所以()()23412222321212n n n S n n n +⎡⎤=-⨯+⨯+⨯++-+-⋅⋅⎣⎦，记()2342223212nn T n =+⨯+⨯++- ，则()()34512222322212nn n T n n +=+⨯+⨯++-+- ，两式相减得()()()2123451112222222121222412n nn n n n T n n n ++++--=+++++--=--=--- ，所以()1224n n T n +=-+，所以()()()11212224123428n n n n S n n n n n +++⎡⎤=-⨯-++-⋅⋅=-+-⎣⎦，11110(11)244S a +==<-⋅+=，不满足1(1)24n n S n +≥-⋅+，故C 错误；因为()121(2)2446212n n n S n n n ++--⋅-=-+-，且()(){}()22212114162124621220n n n n n n n n +++⎡⎤⎡⎤+-++---+-=>⎣⎦⎣⎦，所以(){}2146212n nn +-+-是递增数列，所以121(2)24(12)240n n S n S +--⋅-≥--⋅-=，即1(2)24n n S n +≥-⋅+，故D 正确.故选：ABD11.设12,,,n P P P ⋯为椭圆22:143x y C +=上逆时针排列的n 个点，F 为椭圆C 的左焦点，且线段12,,,n FP FP FP …把周角分为n 等份．则（）A.当4n =时，12FPP面积的取值范围是8181,4949⎡-+⎢⎥⎣⎦B.当4n =时，四边形1234PP P P 的面积最大值为6C.当6n =时，26P P 与1FP 交于点M ，则FM 的取值范围是3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.对n +∀∈N ，且2n ≥，都有1123ni i n FP ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】以点F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，应用焦半径公式21cos (1)e a e θρ+=-；选项A ，当4n =时，12FPP 面积为1212ρρ，代入焦半径公式即可求最值；选项B ，举出反例，当四边形1234PP P P 恰为椭圆的顶点构成的四边形时推翻结论；选项C ，因为2626FP P FP M FP M S S S =+ ，应用三角形的面积公式得到26111||FM ρρ=+，代入焦半径公式即可；选项D ，112(1)π2cos[]13n n i i ii nFP θ==--+=∑∑，求和即可.【详解】以点F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，且线段12,,,n FP FP FP …把周角分为n 等份，设11(,)P ρθ，则22332π4π(,),(,)P P n n ρθρθ++，……，2(1)π(,n n n P nρθ-+，其中n +∈N ，且2n ≥，极坐标系下，若椭圆2222:1(0),x y C a b c a b+=>>=对于点(,)P ρθ，则其焦半径公式是：21cos (1)e a e θρ+=-，其中ce a=，所以211(1)||1cos a e FP e ρθ-==-，222(1)||2π1cos()a e FP e nρθ-==-+，……，2(1)||2(1)π1cos[]n n a e FP n e nρθ-==--+，对n +∀∈N ，且2n ≥，且椭圆方程为：22:143x y C +=，12,1,2a b c e ====，有21112[1(]32||12cos 1cos 2FP ρθθ⨯-===--，同理223||2π2cos()FP nρθ==-+，……，3||2(1)π2cos[]n n FP n nρθ==--+，对于选项A ，当4n =时，此时，椭圆22:143x y C +=的弦13PP 和弦24P P 过焦点F ，且互相垂直，113||2cos FP ρθ==-，2233||π2sin 2cos()2FP ρθθ===+-+，12FPP 面积为：1212ρρ=133922cos 2sin 84(sin cos )2sin cos θθθθθθ⨯⨯=-++--，1212ρρ=29(sin cos )4(sin cos )7θθθθ=-+-+，构造函数247y t t =++，且πsin cos 2π4t θθθθ=-=-≤<，得[t ∈，显然函数247y t t =++在区间[上单调递增，从而99y -≤≤+所以128118149249ρρ-+≤≤≤，故12FPP 面积的取值范围是8136281362,4949⎡-+⎢⎣⎦，选项A 正确；对于选项B ，4n =，当弦13PP 和弦24P P 所在直线中有一条斜率不存在且另一条斜率为零时，此时四边形1234PP P P 恰为椭圆的顶点构成的四边形，面积为：11222422a b ab ⋅⋅==⨯⨯=，由于6>，四边形1234PP P P 的面积最大值为6不正确，选项B 错误；对于选项C ，当6n =时，11(,)P ρθ，22π(,)3P ρθ+，635π(,3P ρθ+，且椭圆方程为：22:143x y C +=，此时113||2cos FP ρθ==-，223||π2cos()3FP ρθ==-+，663||5π2cos()3FP ρθ==-+，因为2626FP P FP M FP M S S S =+ ，其中26262πππ,,333P FP P FM MFP ∠=∠=∠=，则242612π1π1πsin||sin ||sin 232323FM FM ρρρρ=⋅⋅+⋅⋅，得2626()||FM ρρρρ=+⋅，得到26π5π2cos()2cos()11133||33FM θθρρ-+-+=+=+2ππcos()cos()144cos 33||3333FM θθθ+-+=+=-，其中02πθ≤<，可得151||3FM ≤≤，FM 的取值范围是3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C 正确；对于选项D ，有：1112(1)π2cos[]1212(1)πcos[]333nnn i i i i i n i n FP nθθ===--+-==-⋅+∑∑∑，若在单位圆上取等分圆周的逆时针排列的n 个点：设2(1)π2(1)π(cos[1,2,1)i i i T i n n nθθ--++=-…,，这n 个点定构成正n 边形，它的中心恰为坐标原点，原点的横坐标为零，可得：12(1)πcos()0ni i nnθ=-+=∑，即12(1)πcos()0ni i nθ=-+=∑，所以1123ni i n FP ==∑，故选项D 正确；故选：ACD.12.已知,a b ÎR ，O 为坐标原点，函数()222()f x a x b x a b =++--+．下列说法中正确的是（）A.当1a b =+时，若()f x x ≥的解集是(],2-∞，则0b <B.当2a b =+时，若2()f x x =有5个不同实根，则3a >+C.当a b +=时，若a b >，曲线()y f x =与半径为4的圆O 有且仅有3个交点，则2b =-D.当4a b +=时，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积的最小值是33【答案】BD 【解析】【分析】去掉绝对值化简函数得()()()4,2(),224,2a b x a x f x a b x x a b x b x ⎧-+-≤-⎪=--<≤⎨⎪+->⎩，然后依不同条件，结合图象进行分析求解.【详解】A 选项，由题意，()()()4,2(),224,2a b x a x f x a b x x a b x b x ⎧-+-≤-⎪=--<≤⎨⎪+->⎩，当1a b =+时，()()()2141,2(),22214,2b x b x f x x x b x b x ⎧-+-+≤-⎪=-<≤⎨⎪+->⎩，若()f x x ≥的解集是(],2-∞，当22x -<≤时，()f x x =显然成立，当2x ≤-时，令()()()2141f x b x b x =-+-+≥，即()()()22442141b x b b x b -+≥+⇒-+≥+在2x ≤-上恒成立，则要()210b -+≤，解得1b ≥-，且2x >时，()214b x b x +-<恒成立，即24bx b <恒成立，故20b <，解得0b <，综上，10b -≤<，A 错误；B 选项，当2a b =+时，()()()214,2()2,222142,2a x a x f x x x a x a x ⎧---≤-⎪=-<≤⎨⎪--->⎩，因为2()f x x =有5个不同实根，当22x -<≤时，22x x =，得0x =或2x =，有两个根，当2x >时，()()22142a x a x ---=，即()()2220x x a ⎡⎤---=⎣⎦，得()22x a =-或2x =，当<2x -时，()2214a x a x ---=，方程最多两个根，要想保证有5个不同实根，故()222x a =->为其中一个根，故3a >，此时()222x a =->，满足要求，而()22140x a x a +-+=，方程需要在(),2∞--有两个不同的实数根，设()2()214g x x a x a =+-+，则()2(2)8Δ4116012g a a a -=⎧⎪=-->⎨⎪-<-⎩，解得3a >+，B 正确；C选项，当a b +=()(41,2()2,224,2b x f x b x x b x ++≤-⎪=---<≤⎨⎪->⎪⎩，若a b >，则0b <，且曲线()y f x =与半径为4的圆O 有且仅有3个交点，如下图，可能是()4,2y b x =->与圆相切，则4d ==，得2b =-或2b =（舍），也可能，点()2,(2)f 在圆上，如下图，则(222222234b +--=，解得3b =或0b =（舍）所以C 错误；D 选项，当4a b +=时，()()44,2()22,22444,2x a x f x a x x x a x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪-->⎩,且(2)84,(2)48f a f a -=-=-，当2x =-时，2262y =-⨯+=，当2x =时，22610y =⨯+=，当()()22210f f ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，即32a ≤时，画出两函数图象如下：曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积三角形ACD 的面积，令()2226a x x -=+，解得33x a =-，故33C x a =-令()44426x a x --=+，解得112x a =-，故112A x a =-，则()()924314112533a a AC a a a--=+--=--，点()2,48D a -到直线26y x =+的距离为4864145a h ---==+故()()()()292492411522335ACDa a a a S AC h a a ----=⋅==-- ，令()()()29243a a u a a--=-，32a ≤，则()()()()()()()()22249249239243a a a a a a u a a ⎡⎤-----⋅-+--⎣⎦-'=()()22392649203a a a a ⎡⎤-+--⎣⎦=<-，故()()()29243a a u a a--=-在32a ≤上单调递减，故最小值为()2393432603232u ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==⎪⎝⎭-，当48226a -≥⨯+，即92a ≥时，此时245BD k a =-≥，42DE k =>，如图，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积三角形ABC的面积，令4426x a x --=+，解得233a x +=-，233C a x +=-，令()2226a x x -=+，解得33x a =-，故33A x a =-，因为92a ≥，所以22323339a a a AC a +-=+=-，故点()2,84B a --到直线26y x =+的距离d ==故此时曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积为232123412923939a a a a a AC d a a --+⋅==--，令()32412939a a a w a a -+=-，则()()()()()()232322212249393412941293939a a a a a aa a aw a a a -+-'--+-+==--()322241442168139a a a a -+-=-，令()322414421681q a a a a =-+-，则()()227228821672430q a a a a a =-=-+'+>在92a ≥上恒成立，故()322414421681q a a a a =-+-在92a ≥单调递增，又9729819241442168121872916972811602842q ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-=-+-=⎪⎝⎭，故()0w a '>在92a ≥上恒成立，故()32412939a a aw a a -+=-在92a ≥上单调递增，故最小值为729819729814129243984222362792922w ⨯-⨯+⨯-+⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，当4810a -<且842a -<，即3922a <<时，此时245BD k a =-<，42DE k =>，当342a <≤时，()(]221,4a -∈-，如图，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积四边形BCED的面积，令4426x a x --=+，解得233a x +=-，233C a x +=-，故4612426633C C a a y x +-=+=-=，即23124,33a a C +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令()44426x a x --=+，解得112x a =-，故112E x a =-，262246284E E y x a a =+=-+=-，故()112,284E a a --，故2336411233a aCE a +-=-+=，设直线BC 与直线DE 相交于点H ，令()44444x a x a --=--，解得2x a =-，此时()444248y x a a a =--=---=-，故()2,8H a --，点H 到直线26y x =+的距离为1d ==，故()211821364233ECHa a S CE d --=⋅== ，其中()2,84B a --，()2,48D a -，故BD ===，点H 到直线BD 的距离为2d =，故()21442BDHS BD d a a =⋅=- ，则四边形BCED 的面积为()()2182443ECHBDH a SS a a --=-- ，当342a <≤时，()()22221821616154440108333334ECH BDH a a S S a a a a -⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当154a =时，面积取得最小值，最小值为33，当942a <<时，()()224,5a -∈，画出图象如下：四边形BCED 的面积为()()22221821616154440108333334ECH BDH a a S S a a a a -⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当942a <<时，21615333334a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，综上，当4a b +=时，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积的最小值是33，D 正确.故选：BD【点睛】方法点睛：函数零点或方程根的问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.26(1)x x ++的展开式中6x 的系数是________．【答案】141【解析】【分析】26(1)x x ++表示6个因式2(1)x x ++连乘的积，要得到含6x 的项，对各因式中项的选择分类讨论，结合组合数公式求解.【详解】26(1)x x ++表示6个因式2(1)x x ++连乘的积，要想得到含6x 的项，有以下4种情况：在这6个因式中，有3个因式选2x ，其余因式均选1；在这6个因式中，有2个因式选2x ，2个因式选x ，2个因式选1；在这6个因式中，有1个因式选2x ，4个因式选x ，1个因式选1；在这6个因式中，全选x .故展开式中6x 的系数为322146664656C C C C C C 141+++=.故答案为：14114.已知n 个人独立解决某问题的概率均为14，且互不影响，现将这n 个人分在一组，若解决这个问题概率超过910，则n 的最小值是_____【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，n 个人都没有解决问题的概率为1(14n -，因此这个小组能解决问题的概率为31(4n-，于是391(410n ->，整理得4()103n >，函数4()(,N 3n f n n *=∈是递增的，而88465536(8)1036561f ==<，994262144(9)10319683f ==>，因此4(103n >成立时min 9n =，所以n 的最小值是9.故答案为：915.已知,,A B C 是边长为1的正六边形边上相异的三点，则AB BC ⋅的取值范围是________．【答案】94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】一方面224BA BC BA BC ⋅≤⋅≤⨯= ，而,,A B C 不重合，所以4BA BC ⋅<；另一方面，设AC中点为M ，那么224AC BA BC BM⋅=-，设A 在六边形的端点上，同理妨设C 在六边形的端点上.分四种情况即可得916BA BC ⋅≥- ，剩下的只需证明何时取等并且BA BC ⋅ 可以遍历9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭中的每一个数.【详解】首先，224BA BC BA BC ⋅≤⋅≤⨯=，这里2是最长的那条对角线的长度，等号取到当且仅当,BA BC同向，且||||2BA BC ==，而这意味着,A C 重合，矛盾.所以4BA BC ⋅<.另一方面，我们先舍弃,,A B C 互不重合的条件，然后证明916BA BC ⋅≥- ：设AC 中点为M ，那么224AC BA BC BM ⋅=- ，然后，设A 所在的边的端点为12,A A ，则()12min ,BA BC BA BC BA BC ⋅≥⋅⋅，（这是因为，记12(1)OA t OA tOA =-+，其中O 为原点，确定的()BA BC f t ⋅= ，那么()f t 是一次函数，从而t 属于[]0,1时，有()()()()min 0,1f t f f ≥）所以我们可以不妨设A 在六边形的端点上.同理，我们可以不妨设C 在六边形的端点上.此时分以下四种情况：(1),A C 重合，此时220004AC BA BC BM⋅=-≥-= ，(2),A C 为相邻顶点，此时22110444ACBA BC BM ⋅=-≥-=- ，(3),A C 相隔一个顶点，此时22339416416AC BA BC BM ⋅=-≥-=- ，(4),A C 为对径点，此时22311444AC BA BC BM ⋅=-≥-=- ，综上，916BA BC ⋅≥- ，所以，即使去掉,,A B C 互不重合的条件，我们仍有916BA BC ⋅≥- ，这就说明，,,A B C 互不重合时，有9416BA BC -≤⋅<，然后，取等条件如图所示：具体说明如下：构造一个[]0,1到六边形的函数(),(),()A t B t C t （即从数映射到点），使得111222((0),(0),(0))(,,),((1),(1),(1))(,,)A B C A B C A B C A B C ==，并且只沿着最近的轨道，这样在01t ≤<的情况下，()(),(),A t B t C t 互不重合同时设()()()()()g t B t A t B t C t =⋅，那么9(0),(1)416g g =-=，而()g t 连续，所以在01t ≤<的情况下，()g t 必定取遍9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，这就意味着，BA BC ⋅ 的取值范围就是9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，所以AB BC ⋅ 的取值范围是94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：关键是先舍弃,,A B C 互不重合的条件，然后分类讨论说明916BA BC ⋅≥- ，由此即可顺利得解.16.已知三棱锥-P ABC 中，232PA BC ==，45APC ∠= ，PA PB ⊥，二面角A PC B --的余弦值是33-．则当三棱锥-P ABC 的体积最大时，其外接球的表面积是________．【答案】36π【解析】【分析】先根据()()MA NB MP PA NP PB⋅=+⋅+展开计算求出MA NB ⋅，再代入cos ,3MA NB MA NB MA NB⋅==-⋅可得60NPB ∠= ，进而分析出要要体积最大，则PBC S 最大，利用基本不等式得到PB PC =，过O 作面β的垂线，则三棱锥-P ABC 的外接球球心必在该垂线上，根据PO AO =列方程求出半径即可.【详解】如图：平面APC 即平面α，平面BPC 即平面β，即二面角PC αβ--的余弦值为3-，过A 作AM PC ⊥，垂足为M ，过B 作BN PC ⊥，垂足为N ，则cos ,3MA NB =-，又PA =，45APC ∠= ，则3AM MP ==，设NPB θ∠=则()()MA NB MP PA NP PB MP NP MP PB PA NP PA PB⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅33cos 2NP PB θ=--⨯3333NP NP NP NP =--=- ，所以3cos ,33NP MA NB MA NB MA NB NB -⋅===-⋅，即3NP NB= ，所以tan NBNPθ== ，则60NPB θ∠== ，过A 作面β的垂线，垂足为E ，连接EM ，则sin ,3AE AM MA NB ===，即三棱锥-P ABC 当以A，要体积最大，则PBC S 最大，13·sin 60·24PBC S PB PC PB PC =︒= ,要PBC S 最大，则需·PB PC 最大，在PBC 中，222222cos 602BC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC=+-⋅=+-⋅≥⋅-⋅=⋅ 所以29PB PC BC ⋅≤=，当且仅当PB PC =时等号成立，此时PBC 为等边三角形，即3PB PC BC ===，又3MP =，所以,M C 重合，图形如下：设PBC 的中心为O '，连接,EO CO ''在EO C ' 中，333EC AC ==，323323CO '=⨯⨯=，120ECO '∠= ，所以3EO '=，过O '作面β的垂线，则三棱锥-P ABC 的外接球球心必在该垂线上，设为点O ，设球的半径为r ，则PO AO =，所以22226r PO r EO ''-+-=即22396r r -+-=，解得3r =，所以外接球的表面积是24π6π3r =.故答案为：36π【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用cos ,MA NB MA NB MA NB⋅=⋅求出NPB ∠的大小，然后设出球心，列方程求出半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．（1）求甲最终获胜的概率；（2）记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）1808 2187（2）分布列见解析；期望为4012 729【解析】【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（2）求出X的所有可能取值及其对应概率即可得分布列，借助期望公式计算即可得其数学期望.【小问1详解】因为甲四局比赛后获胜的概率为4216 381⎛⎫=⎪⎝⎭，甲五局比赛后获胜的概率为4342164C 33243⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，甲六局比赛后获胜的概率为4235 21160C 33729⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲七局比赛后获胜的概率为433621320C 332187⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲最终获胜的概率166416032018088124372921872187 P=+++=；【小问2详解】X的所有可能取值是4，5，6，7，因此有442117 (4)3381P X⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(5) P X==443344 21128C C 333327⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(6) P X==42423355 2112200C C 3333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(7)P X ==434333662112160C C 3333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的分布列为：X4567P1781827200729160729于是()178200160401245678127729729729E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量X 的数学期望是4012729.18.已知{}n p 是所有素数从小到大排列而成的数列，满足12p =，23p =．（1）比较50p 和150的大小，并说明理由；（2）证明：2221211112n p p p +++< ．【答案】（1）50150p >，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，探讨不超过150的正整数中含有因数2或3或5的合数个数即可推理得证.（2）由已知可得21n p n >-，利用放缩法，结合裂项求和法求和即得.【小问1详解】50150p >，理由如下：对于1150,k k *≤≤∈N ，满足是2的倍数，或是3的倍数，或是5的倍数的整数k 的个数是150150150150150150150[][][][][[[235232535235k N =++---+⨯⨯⨯⨯⨯110=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1到150中合数的个数大于1103107-=，因此对于[]1,150m p ∈，有15010743m <-=，又{}n p 是单调递增数列，所以5043150p p >>.【小问2详解】由21n p n >-，得22(21)4(1)n p n n n >->-，则当1n =时，2111142p =<，不等式成立，当2n ≥时，211111()4(1)41n p n n n n<=---，因此2111111111111(1)442231242ni i p n n n =<+-+-++-=-<-∑成立，所以原不等式对n *∀∈N 恒成立.19.已知ABC 是斜三角形．（1）证明：222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=；（2）若cos 2cos 22cos 22A B C ++=-，求tan C 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）)+∞【解析】【分析】（1）根据积化和差与和差化积公式，二倍角的余弦公式化简即可得证；（2）根据（1）及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系，均值不等式求解.【小问1详解】因为2cos cos cos 2cos cos cos()πA B C A B A B =--[cos()cos()]cos()A B A B A B =-++-+()()()2cos cos cos C A B A B =----+()21cos cos 2cos 22C A B =--+22211cos cos cos 22C A B ⎛⎫=---+-⎪⎝⎭()2221cos cos cos A B C =-++，所以222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，原式得证.【小问2详解】由cos 2cos 22cos 22A B C ++=-，由二倍角的余弦公式可整理得：22222(cos cos cos )3(2cos 1)2A B C C ++-+-=-．结合（1）得212cos cos cos 1cos A B C C -=-．由题设知cos cos cos 0A B C ≠，则2cos cos cos cos()sin sin cos cos A B C A B A B A B ==-+=-．所以3cos cos sin sin A B A B =，故tan tan 3A B =，且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以tan tan tan tan tan tan()tan tan 12A B A BC A B A B ++=-+==-≥=(当且仅当tan tan A B ==时取等)．所以tan C 的取值范围是)+∞．20.如图，圆锥SO 的底面半径为2，高SO =,,A B C 为底面圆周上三点，且2AC =．P 是线段SB 的中点，满足OP AC ⊥．（1）求三棱锥S ABC -的体积；（2）记二面角S AC P --的大小为α，二面角S PC A --的大小为β．求sin sin αβ+的值．【答案】（1）4363+（2【解析】【分析】（1）根据题意判断出OB AC ⊥，进而求出ABC 的面积，从而得出三棱锥S ABC -的体积；（2）建立空间直角坐标系，依次求解出二面角S AC P --、二面角S PC A --即可.【小问1详解】解：因为SO 为高，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO AC ⊥，因为OP AC ⊥，且OP SO O = ，OP SO ⊂，平面SOB ，所以AC ⊥平面SOB ，OB ⊂面SOB ，所以AC OB ⊥，延长OB 交AC 于H ，则BH 垂直平分AC ，故OH ==2HB =+所以(12222ABC S =⨯⨯+=+所以(16233S ABC V -+=⨯+⨯=；【小问2详解】以O 为原点，OH 、AC 、OS为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,S，)1,0A-，)C，()2,0,0B -，(P -，则()0,2,0AC =，1,SA =--，(1AP =--，(1,0,SP =-，SC =-，设平面SAC 的法向量为()1111,,n x y z = ，则110n AC n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111200y y =⎧⎪--=，令11z =，故()12,0,1n =，设平面PAC 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(22222010y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令21z =，故2n ⎛⎫=⎪⎪⎭，所以121212cos ,n nn n n n ⋅==⋅sin α=设平面SPC 的法向量为()3333,,n x y z = ，则3300n SP n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333330x y ⎧--=⎪+-=，令31z =，故()3n =+，所以232323cos ,n nn n n n ⋅==⋅=，所以sin β===所以sin sin αβ+==.21.已知双曲线22122:1x y C a b-=上有一点()A ，1C 在点A 处的切线为0x =．（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设椭圆2222:1,24x y C m m+=≠±．过点A 作椭圆2C 的两条切线,AM AN ，切点为,M N 直线,AM AN分别交双曲线1C 于点,PQ ．证明：直线PQ 过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析，定点)【解析】【分析】（1）由()A 在双曲线上，得到22811a b-=，再由1C 在点A 处的切线为0x =，与双曲线方程联立，利用判别式为零求解；（2）不妨设,AM AN 的方程分别为(11y k x =-+与(21y k x =-+，与椭圆方程联立，由相切，利用判别式为零，得到12,k k是方程22410k m -+-=的两不等实根，利用韦达定理得到12k k +，取122k k ==，得直线:12PQ y x =-过点)．再设过点)且不与x 轴重合的直线l 交1C 于点','P Q，其方程为x ty =+，与1C方程联立，再论证直线''AP AQ k k +=即可.【小问1详解】由()A 在双曲线上，得22811a b-=．联立22221,0,x y a b x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩得22222214210y y a b a a ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．由相切知方程中422216221Δ410a a a b ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．于是解得2241a b ⎧=⎨=⎩所以双曲线1C 的方程是2214xy -=．【小问2详解】容易知道直线,AM AN 的斜率存在，如图所示：不妨设,AM AN的方程分别为(11y k x =-+与(21y k x =-+．联立(22211,41,x y m y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2222211114814140m kx k x m++-+--=．由相切知()()()2222221111Δ64116410km km ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦，整理得2211410k m -+-=．同理有2222410k m -+-=．又12k k ≠，故12,k k是方程22410k m -+-=的两不等实根．由韦达定理得12k k +．取122k k ==，得直线:12PQ y x =-过点)．取122121,22k k -==，得直线PQ 与x 轴重合，则所求定点在x 轴上．所以定点)是必要的，下证其充分性：设过点)且不与x 轴重合的直线l 交1C 于点','P Q，其方程为x ty =+联立221,4x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得22(4)20t y -+-=，其中2t ≠±．由韦达定理得122122,42.4y y t y y t ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩而直线','AP AQ的斜率分别为'1k =='2k =．所以''12k k +=22224)4)242(4)t t t t t t -++-=-++-=于是充分性得证．综上，直线PQ过定点)．22.已知函数()ln(1)f x a x a =--∈R.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；。

浙江省金华市十校2024届高三4月模拟考试数学试卷含答案

金华十校2024年4月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}220B x x x =-<，则A B = （）A.{}0B.{}1C.{}1,2 D.{}1,2,3【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式求解{}02B x x =<<，即可由交集求解.【详解】{}{}22002B x x x x x =-<=<<，故A B = {}1，故选：B2.i2i =+（）A.12i 55+ B.12i 55-C.12i 33+ D.12i 33-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，故选：A3.设()0,πα∈，条件1:sin 2p α=，条件:cos 2q α=，则p 是q 的（）A.充分不要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．【详解】由于()0,πα∈，若1sin 2α=，则cos 2α==±，充分性不成立，若cos 2α=，则1sin 2α==，必要性成立，故p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．4.设直线2:20l x y a --=，圆()()22:121C x y -+-=，则l 与圆C （）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l 的距离，与半径比较即可判断求解．【详解】圆22:(1)(2)1C x y -+-=的圆心为(1,2)C ，半径1r =，则圆心C 到直线l 的距离221d r ===，故直线l 与圆C 相离．故选：C ．5.等差数列{}n a 的首项为正数，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，若23a =，且2S ，13S S +，5S 成等比数列，则d =（）A.1B.2C.92D.2或92【答案】B 【解析】【分析】由等比中项的性质得到()22513S S S S =+，结合求和公式得到13d a =-或12d a =，再由23a =，10a >计算可得.【详解】因为2S ，13S S +，5S 成等比数列，所以()22513S S S S =+，即()()()2111510243d a d a d a ++=+，即()()11320a d a d +-=，所以13d a =-或12d a =，又23a =，10a >，当13d a =-，则11133a d a a +=-=，解得132=-a （舍去），当12d a =，则11123a d a a +=+=，解得11a =，则2d =.故选：B6.在ABC △中，sin 7B =，120C =︒，2BC =，则ABC △的面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式求出sin A ，再由正弦定理求出b ，代入面积公式即可得解.【详解】由题意，()312121sin sin 60sin 60cos cos 60sin 22714A B B B =︒-=︒-︒=⨯⨯，由正弦定理，sin sin a bA B =，即2sin 74sin 2114a Bb A⨯===，所以11sin 24222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△故选：D7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）A.72种B.48种C.36种D.24种【答案】A 【解析】【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成22A 组，然后分给剩余2个不同学校有22A 种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有1234C C 种不同的方法，剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有22A 种，这2组分配到2个不同学校有22A 种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有12223422C C A A 362272⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=种不同的分法.故选：A8.已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（）A.12B.13 C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cos cos αβ，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．【详解】由1cos()3αβ-=得1cos cos sin sin 3αβαβ+=，又1sin sin 12αβ=-，所以5cos cos 12αβ=，所以[][]22cos ()()cos ()()1cos 21cos 2cos 2cos 2cos sin 2222αβαβαβαβαβαβαβ++-++--+-+-=-==cos()cos()αβαβ=+-(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )αβαβαβαβ=-+5151111(()12121212236=+⨯-=⨯=．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50350KW h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为i s （1i =，2，L ，6），则（）A.x 的值为0.0044B.这100户居民该月用电量的中位数为175C.用电量落在区间[)150,350内的户数为75D.这100户居民该月的平均用电量为61(5025)ii i s =+∑【答案】AD 【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A ，根据中位数的计算即可求解B ，根据频率即可求解C ，根据平均数的计算即可判断D.【详解】对于A ，由频率分布直方图的性质可知，(0.00240.00360.00600.00240.0012)501x +++++⨯=，解得0.0044x =，故A 正确；对于B ，因为(0.00240.0036)500.30.5+⨯=<，(0.00240.00360.0060)500.60.5++⨯=>，所以中位数落在区间[150,200)内，设其为m ，则0.3(150)0.0060.5m +-⨯=，解得183m ≈，故B 错误；对于C ，用电量落在区间[150，350)内的户数为(0.00600.00440.00240.0012)5010070+++⨯⨯=，故C 错误；对于D ，这100户居民该月的平均用电量为61261(5025)(50225)(50625)(5025)ii s s s i s=++⨯+++⨯+=+∑ ，故D 正确.故选：AD ．10.已知01a b <<<，1m n >>，则（）A.a bb a > B.n mm n >C .log log b m na > D.log log ab n m>【答案】ACD 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】对于A ，因为01a b <<<,所以指数函数x y b =在R 上单调递减，且a b <，所以a b b b >，因为幂函数b y x =在(0,)+∞上单调递增，且a b <，所以b b a b <，所以a b b a >，故A 正确，对于B ，取5m =，2n =，则2552<，故B 错误；对于C ，因为对数函数log b y x =在(0,)+∞上单调递减，log m y x =在(0,)+∞上单调递增，所以log log 1b b a b >=，log log 1m m n m <=，所以log log b m a n >，故C 正确；对于D ，因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，所以ln ln 0a b <<，ln 0m >，则ln ln log log ln ln a b m mm m a b=>=，因为对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，所以log log log a a b n m m >>，故D 正确．故选：ACD ．11.在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE △从起始到结束的翻折过程中，（）A.存在某位置，使得1DE A C ⊥B.存在某位置，使得1CE A D ⊥C.MB 的长为定值D.MB 与CD 所成角的正切值的最小值为12【答案】BCD 【解析】【分析】当1A C DE ⊥时，可得出DE ⊥平面1A OC ，得出OC DE ⊥推出矛盾判断A ，当1OA ⊥平面BCDE时可判断B ，根据等角定理及余弦定理判断C ，建系利用向量法判断D.【详解】如图，设DE 的中点O ，连接,OC OA ，则1OA DE ⊥，若1A C DE ⊥，由111A O A C A = ，11,AO AC ⊂平面1A OC ，可得DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，则可证出OC DE ⊥，显然矛盾()CD CE ≠，故A 错误；因为CE DE ⊥，所以当1OA ⊥平面BCDE ，由CE ⊂平面BCDE 可得1O A CE ⊥，由1O A DE O = ，1,O A DE ⊂平面1A DE ，即可得CE ⊥平面1A DE ，再由1A D ⊂平面1A DE ，则有1CE A D ⊥，故B 正确；取CD 中点N ，1//MN A D ，112MN A D =，//BN ED ，且1,MNB A DE ∠∠方向相同，所以1MNB A DE ∠=∠为定值，所以BM =C 正确；不妨设AB =，以,OE ON 分别为,x y 轴，如图建立空间直角坐标系，设1A ON θ∠=，则()10,cos ,sin A θθ，()()1cos sin 2,1,0,1,2,0,,1,,(1,0,0)222B C M D θθ⎛⎫+-⎪⎝⎭，()2,2,0DC =，3cos sin ,,,2222BM BM θθ-⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设MB 与CD 所成角为ϕ，则cos 5DC BM DC BMϕ⋅==≤⋅ ，即MB 与CD 所成最小角的余弦值为5，此时1tan 2ϕ=，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可考虑向量法计算后得解.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a ，b满足|2|a b -=，则a 与b 的夹角为________．【答案】3π（或写成60︒）【解析】【分析】将等式|2|a b -=两边平方即可.【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉=r r ，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.13.已知函数()2,0,ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若()f x 在点()()1,1f 处的切线与点()()00,x f x 处的切线互相垂直，则0x =______．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.【详解】当0x >时，1()0f x x'=>，所以(1)1f '=，且点()()00,x f x 不在ln y x =上，否则切线不垂直，故00x ≤，当0x <时，()2f x x '=，所以00()2f x x '=，由切线垂直可知，0211x ⨯=-，解得012x =-.故答案为：12-14.设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的焦距，它们的离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 的焦点为1F ，2F ，1C ，2C 在第一象限的交点为P ，若点P 在直线y x =上，且1290F PF ∠=︒，则221211e e +的值为______．【答案】2【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，先根据题意得出点P 的坐标()0c >，再将点P 分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，则2222221122,a b c a b c +=-=，又1290F PF ∠=︒，所以121||||2OP F F c ==，又点P 在第一象限，且在直线y x =上，所以22,22P c c ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以22221122221c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22222112c c a a c +=-，整理得422411240a a c c -+=，即22211112410e e ⎛⎫⋅-⋅+= ⎪⎝⎭，解得2114242e ±±==，因为101e <<，所以21122e =，同理可得点P 在双曲线上，所以22222222221c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即22222222c a c a c -=-，解得2122e -=，所以22121122222e e +-+=+=.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．（1）记两次点数之和等于7为事件A ，第一次点数是奇数为事件B ，证明：事件A ，B 是独立事件；（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X 的分布列和期望．【答案】（1）证明见解析（2）分布列见解析；152【解析】【分析】（1）根据古典概型分别计算(),(),()P A P B P AB ，由()P AB ，()()P A P B 的关系证明；（2）根据n 次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.【小问1详解】因为两次点数之和等于7有以下基本事件：()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6个，所以()61366P A ==，又()12P B =．而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是()()()163452,,,,,共3个，所以()313612P AB ==，故()()()P AB P A P B =，所以事件A ，B 是独立事件．【小问2详解】设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X ，则X 可取6，9，12，15，()30311256C 16216P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311759C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()223151512C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331115C 6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以分布列为：X691215P12521675216152161216所以()12575151156912152162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.设()sin cos cos f x x x a x =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若1a =，求()f x 的值域；（2）若()f x 存在极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0,4⎡⎢⎣⎦（2）()1,-+∞【解析】【分析】（1）求导，得()()()sin 12sin 1f x x x =-+-'，即可根据π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，（2）将问题转化为()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即可分离参数得12sin sin a x x=-，利用换元法，结合函数单调性即可求解.【小问1详解】若1a =，()πsin cos cos 0,2f x x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，()()()222cos sin sin 2sin sin 1sin 12sin 1f x x x x x x x x =--=--+=-+-'当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >-<，则()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >->，则()0f x '<，()f x 单调递减又π3364f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()01f =，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()0,4f x ⎡∈⎢⎣⎦，即()f x 的值域为0,4⎡⎢⎣⎦【小问2详解】()222cos sin sin 12sin sin f x x x a x x a x =--=--'．()f x 存在极值点，则()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即12sin sin a x x =-有解．令sin t x =，则12a tt =-在()0,1t ∈上有解．因为函数12y t t=-在区间()0,1上单调递减，所以()1,a ∞∈-+，经检验符合题意．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．（1）求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【小问1详解】分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB AO ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．【小问2详解】因为三棱柱111ABC A B C -的体积为1263AO =，以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EB 为y 轴正方向，过点E 且与1OA 平行的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)()()1,0,1,0,0,1,0,,0,33AB C A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11AA B B 的法向量1n，因为()1,,0,33AB AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭．则1110033AB n y AA n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，可得)1n = ，又11,1,33AC AA AC ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为θ，所以111111sin cos ,3n AC n AC n AC θ⋅====.18.设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x -是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：BP BQ =：（3）记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析（3）10x ±+=【解析】【分析】（1）根据准线方程可得p ，即可求解；（2）设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交求出,P Q 坐标，转化为求0P Q y y +=即可得证；（3）由（2）可得2S PQ =，再由112S MN d =，根据122S S =可得t ，即可得解.【小问1详解】因为=1x -为抛物线的准线，所以12p=，即24p =，故抛物线C 的方程为24y x=【小问2详解】如图，设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty -+=，则()2Δ1610t =->，且121244y y ty y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x --=--，令=1x -得()1121,1y n P n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤----+=-+-=-+⎢⎥----⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty --+--=--⋅-，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t --++-=-=-=-++-，故BP BQ =.【小问3详解】由（2）可得：()()122122222y n y n S PQ ty ty --==-=--1112222S MN d nt ==⨯-，由122S S =，得：212t-=，解得t =，所以直线l 的方程为10x ±+=．【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出,P Q 点的坐标（含参数），第二个关键点在于将BP BQ =转化为,P Q 关于x 对称，即0P Q y y +=.19.设p 为素数，对任意的非负整数n ，记0101kk n a p a p a p =++⋅⋅⋅+，()012p k W n a a a a =+++⋅⋅⋅+，其中{}()0,1,2,,10i a p i k ∈⋅⋅⋅-≤≤，如果非负整数n 满足()p W n 能被p 整除，则称n 对p “协调”．（1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；（2）判断并证明在2p n ，21p n +，22p n +，…，()221p n p +-这2p 个数中，有多少个数对p “协调”；（3）计算前2p 个对p “协调”的非负整数之和．【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调”（2）有且仅有一个数对p “协调”，证明见解析（3）522p p -【解析】【分析】（1）根据n 对p “协调”的定义，即可计算()()()333194,195,196W W W ，即可求解，（2）根据n 对p “协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可根据引理求证．（3）将()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数，根据引理证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可求解.【小问1详解】因为012341942313031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3194210126W =++++=，012341950323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3195020125W =++++=，012341961323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3196120126W =++++=，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.【小问2详解】先证引理：对于任意的非负整数t ，在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设012012kk pt b p b p b p b p =++++ ，由于pt 是p 的倍数，所以00b =，所以01212k k pt j jp b p b p b p +=++++ ，即pt j +对于0p 这一项的系数为()01j j p ≤≤-，所以()()()1201p k W pt j b b b j j p +=++++≤≤- ，根据整除原理可知，在()()01p W pt j j p +≤≤-中有且仅有一个数能被p 整除，所以在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．接下来把以上2p 个数进行分组，分成以下p 组（每组p 个数）：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p “协调”，所以共有p 个数对p “协调”．【小问3详解】继续考虑()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p “协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设某一列第一个数为()201,01p n t n p t p +≤≤-≤≤-，则20120p n t tp p np +=++，所以()2p W p n t n t +=+，同理当01s p ≤≤-时，()2p W p n sp t n s t ++=++，所以当01s p ≤≤-时，集合{}201p n sp t s p ++≤≤-中的p 个数中有且只有1个数对p “协调”．注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p ，所以p个数对p “协调”的数之和为：()()()()232112112112p n p p p p np p p ⋅++++-++++-⋅=+- ，进一步，前2p 个对p “协调”的非负整数之和为：()()()22152323011112222p n p p p p p p np p p p -=---⎡⎤=-=⋅+=⎢⎥⎣⎦∑【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

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高三数学模拟试题（理科）班别：姓名： .一．选择题（12小题，每小题5分共60分）1、设集合},02|{},01|{2≤-=<-=x x x B x x A 则=B A（A ）}21|{<<x x （B ）}21|{≤<x x （C ）1|{<x x 或}2≥x （D ）1|{≤x x 或}2>x2、已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=x（A ）2或3 （B ）–1或6 （C ）6 （D ）23、若x x x 44cos sin ,12-=则π的值为（A ）21 （B ）21- （C ）23-（D ）23 4、i 是虚数单位，复数ii z -+=1)1(2等于（A ）i --1 （B ） i +-1 （C ）i -1 （D ）i +15、以抛物线x y 82=的焦点为焦点，且离心率为21的椭圆的标准方程为（A ）1121622=+y x （B ）1161222=+y x （C ）141622=+y x （D ）116422=+y x6、若数列{}n a 的通项公式为=+++++=99531,32a a a a n a n 则（A ）5150（B ）2700 （C ）9270 （D ）48607、设P （x ，y ）是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+023y x y y x 所表示平面区域内任意一点，则目标函数y x z +=2的最大值是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）68、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（A ）280种（B ）240种（C ）180种（D ）96种 9、已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11A ACC 所成角的正切值是（A ）515 （B ）315 （C ）46 （D ）410 10、抛物线c bx x y ++=2在点（1，2）处的切线与其平行直线0=++c y bx 间的距离是（A ）42（B ）22（C ）223 （D ）211、设函数1)( , )0( )0( 7)21()(<⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=a f x x x x f x若，则实数a 的取值范围是 (A) )3,(--∞ (B)),1(+∞ (C))1,3(- (D)),1()3,(+∞--∞ 12、设|2|)(2x x f -=，若b a <<0,且)()(b f a f =,则ab 的取值范围是（A ）)2,0(（B ]3,0( （C ）]4,0( （D ）]2,2(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，满足2)9(=f ,则)1(1-f的值是 .14、已知双曲线122=+my x 的一个焦点是)0 , 3(，则实数m 的值是 .15、)()13(6R a x ax ∈-的展开式的常数项是–20，则=++++∞→)(lim 32n n a a a a ；16、球O 的内接三棱锥P —ABC 底面的三个顶点A 、B 、C 在球O 的同一个大圆上，如果AB=AC=5，BC=8，点P 在平面ABC 上的射影恰是球心O ，则此三棱锥的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分17、（10分）三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若.3))((bc a c b c b a =-+++（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若.322cos =B 求)2sin(B A +的值.18、（12分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布列和数学期望；19、(12分) 如图，三棱锥ABC V -中，VAB ∆是边长为2的正三角形，点V 在平面ABC 上的射影D 在AB 边上，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形（Ⅰ）求证：面⊥VAB 面VBC ；（Ⅱ）求二面角C VA B --的大小.20、（12分）已知数列*).(212121:}{2221N n n n a a a a n n n ∈+=-++-+- 满足求：（Ⅰ）数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和n S .21、（12分）已知).2()()(2≤++=-m e m mx x x f x （Ⅰ）当0=m 时，求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0≥x 时，2)(≤x f 恒成立.22、（12分）如图所示，已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0 , 1(A ，M 为圆上一动点，P 为AM 的中点，AM 的垂直平分线PN 交CM 于点N . （Ⅰ）求点N 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若过定点)2 , 0(F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FG FH λ=，求实数λ的取值范围..数学参考答案一、BDCBA ADBAC CA二、13、3 ；14、 81- ；15、 21； 16、350三、17、（Ⅰ）由已知,1800212cos 222︒<<=-+=A bc a c b A 及 ∴A =60°（Ⅱ）由322cos =B 及0<B <90°， ∴sin B =31 ∴6136sin 21cos 23)120sin()2sin(-=-=+︒=+B B B B A18、解：(Ⅰ)P （A ）=3231012121235=C C C C C . （Ⅱ）ξ有可能的取值为：2，3，4，5. 301)2(31022121222=+==C C C C C P ξ，152)3(31022141224=+==C C C C C P ξ 103)4(31022161226=+==C C C C C P ξ，158)5(31022181228=+==C C C C C P ξ 随机变量ξ的概率分布（略）；ξ的数学期望为.3131585103415233012=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 19、（Ⅰ）证明：⊥VD 面ABC ，⊂VD 面VAB ， ∴面VAB ⊥面ABC ，交线为.ABAB BC ⊥ ， ⊥∴BC 面VAB ，又VBC BC 面⊂， ∴面VAB ⊥面VBC（Ⅱ）解：过B 作VA BE ⊥于E ,连结CE ,，由（Ⅰ）知,CE VA ⊥,CEB ∠∴就是二面角C VA B --的平面角.VAB AB ∆=,2 是正三角形3=∴BE .又AB BC ==2,332tan =∠∴CEB ,. 二面角的大小为332arctan .20、解：（Ⅰ）*)(2121212221N n n n a a a n n ∈+=-++-+-*),2()1()1(2121212211221N n n n n n n a a a n n ∈≥-=-+-=-++-+-∴-- *),2(122211N n n n a n a n n nn ∈≥+=⇒=-+在（1）中令适合有511==a n （3）式，故*)(121N n n a n n ∈+=+（Ⅱ）设,21+=n n n b 其前n 项和为,n T 则42)1(2222222215432+-=⋅+------=+++n n n n n n T 42)1(2++-=+=∴+n n n T S n n n21、解：（Ⅰ）0=m 时，)2()(2/x x e x f x +-=-，由0)(/>x f 得：f (x )的单调递增区间为（0，2），∴单调递减区间为（－∞，0）和（2，+∞）（Ⅱ）])2([)()2()(22x m x e m mx x e e m x x f x x x -+-=++-+='---2=m 时，0)(2≤-='-x e x x f 0[)(在x f ，)∞+2)0()(=≤∴f x f 成立；2<m 时，令m x x x f -==='20,0)(或得，2max )4()2()(--=-=m e m m f x f 设2)4()(--=m e m m g ，0)3()(2/>-=-m e m m g ，∴)(m g 在]2,(-∞上是增函数，∴2)2()(=≤g m g ，∴0≥x 时，2)(≤x f 恒成立 22、解：（Ⅰ）NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.∴222||||>=+AN CN ∴动点N 的轨迹是以点C （–1，0），A （1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为222=a ,焦距2c=2.1,1,22===b c a ∴点N 的轨迹E 的方程为1222=+y x （Ⅱ）当直线GH 的斜率存在时，GH 方程为2+=kx y 代入椭圆方程得：034)21(22=+++kx x k ，由0>∆得：232>k ，设),(11y x G ，),(22y x H 又→-→-=FH FG λ，∴)2,()2,(2211-=-y x y x λ，∴21x x λ=，∴221)1(x x x λ+=+， 2221x x x λ=，∴λλ2122221)1(x x x x x ==++ ∴λλ22)1()121(316+=+k ，由于232>k ，∴316)1(42<+<λλ，即331<<λ 又10<<λ，∴131<<λ，又当直线GH 的斜率不存在时，31=λ，∴)1,31[∈λ（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。