最新初二数学全等三角形辅助线技巧训练五

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专题全等三角形常见辅助线做法及典型例题

全等三角形辅助线做法总结图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..一、截长补短法和;差;倍;分截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相等截取----全等----等量代换补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长 ----全等----等量代换例如：1;已知;如图;在△ABC 中;∠C ＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..2;已知：如图;AC ∥BD;AE 和BE 分别平分∠CAB 和∠DBA;CD 过点E ．求证：1AE ⊥BE ； 2AB=AC+BD ．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行例如：已知：如图;AC 、BD 相交于O 点;且AB ＝DC;AC ＝BD;求证：∠A ＝∠D..三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC ＝BD;AD ⊥AC 于A ;BC ⊥BD 于B;求证：AD ＝BC四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等例如：已知;如图;AC 平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等例如：1如图;AD 为 △ABC 的中线;求证：AB ＋AC ＞2AD..三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半2;已知：AB=4;AC=2;D 是BC 中点;AD 是整数;求AD..3;如图;已知：AD 是△ABC 的中线;且CD=AB;AE 是△ABD 的中线;求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线;常作垂直平分线上一点到线段两端的连线可逆：遇到两组线段相等;可试着连接垂直平分线上的点例如：在△ABC 中;∠ACB=90;AC=BC;D 为△ABC 外一点;且AD=BD;DE ⊥AC 交AC 的延长线于E;求证：DE=AE+BC..七、遇到等腰三角形;可作底边上的高;或延长加倍法“三线合一”“对折”例如：如图;ΔABC 是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BD 平分∠ABC 交AC 于点D;CE 垂直于BD;交BD 的延长线于点E..求证：BD=2CE..八、遇到中点为端点的线段时;延长加倍次线段例如：如图2：AD 为△ABC 的中线;且∠1＝∠2;∠3＝∠4;求证：BE ＋CF ＞EF九、过图形上某点;作特定的平行线“平移”“翻转折叠” 例如：如图;ΔABC 中;AB=AC;E 是AB 上一点;F 是AC 延长线上一点;连EF 交BC 于D; 若EB=CF..求证：DE=DF.. AD BCD CB A 110 图OC A EB D。

八年级数学全等三角形辅助线技巧五个专题汇总

⑵平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将 △ABC 平移至△DEF。
1．在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 边上的点，且 EG⊥FH，求证：EG＝FH。
H
A
D
G
E
B
C
F
2．如图所示，P 为平行四边形 ABCD 内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于 AB 和 BC。
常见辅助线写法：
⑴过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F ⑵过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D ⑶延长 AB 至 C，使 BC＝AC ⑷在 AB 上截取 AC，使 AC＝DE ⑸作∠ABC 的平分线，交 AC 于 D ⑹取 AB 中点 C，连接 CD 交 EF 于 G 点
例1
如图，AB＝CD＝1，∠AOC＝60°，证明：AC＋BD≥1。
∠BPC 的度数。
例3
已知在△ABC 中，AB＝AC，P 为三角形内一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。
有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转 ⑴边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等 ⑵角度能拼成的特殊角指的是 180°，90°等等
例4
已知∠ABC，∠1＝∠2，AB＝2AC，AD＝BD。求证：DC∠AC。
S AOB S BOC S COA
3 4。
最新初二数学全等三角形辅助线技巧训练二
例 1 如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，且∠EAF＝45°，AH∠EF，H 为垂
足，求证：AH＝AB。
例 2∠ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P 是∠ABC 内的一点，且 AP＝3，CP＝2，BP＝1，求

全等三角形常见五种辅助线添法专训(学生版)

全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一倍长中线法辅助线添法二截长补短法辅助线添法三旋转法辅助线添法四作平行线法辅助线添法五作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】1(2023春·吉林·八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)探究得出AD的取值范围．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【变式训练】1(2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB= AC．2(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．3(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①，△ABC 中，AB =7，AC =5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明的解法如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =．又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ，而AB =EC =7，AC =5，∴<AE <．又∵AE =2AD ．∴<AD <．【探索应用】如图②，AB ∥CD ，AB =25，CD =8，点E 为BC 的中点，∠DFE =∠BAE ，求DF 的长为．(直接写答案)【应用拓展】如图③，∠BAC =60°，∠CDE =120°，AB =AC ，DC =DE ，连接BE ，P 为BE 的中点，求证：AP ⊥DP ．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)．【模型图示】(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE1(2023·江苏·八年级假期作业)把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，∠MDN两边分别交AC、BC于点M、N，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．(1)求∠AFC的度数；(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.3(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)，该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求证BM+CN=MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN1(2022秋·湖北孝感·八年级统考期中)已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF= 1∠BAD，此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．22(2021秋·天津和平·八年级校考期中)在△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E，(1)如图(1)所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE=；(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时，(BD<CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直AE绕点A旋转到图(3)的位置，(BD>CE)，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．3(2021秋·河南周口·八年级统考期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE的面积．【经典例题四作平行线法】2(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【变式训练】4(2022秋·江苏·八年级专题练习)P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA =CQ，连PQ交AC边于D．(1)证明：PD=DQ．(2)如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长．5(2022秋·八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB =CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.6(2023春·全国·七年级专题练习)已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图(1)，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图(2)，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图(3)，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上(点D不与A，B重合)，DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【经典例题五作垂直法】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC =AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式训练】1(2022秋·八年级课时练习)如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC =BC，延长CA到点E，使得AE=AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．(1)求证：△EAF≌△DAF；(2)如图2，连接CF，若EF=FC，求∠DCF的度数．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【重难点训练】4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；(2)若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．5(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．(2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．6(2023春·全国·七年级专题练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．7(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．8(2023·江苏·八年级假期作业)课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC，求证：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．9(2023春·江苏·八年级专题练习)如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10(2023·江苏·八年级假期作业)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．11(2023·全国·九年级专题练习)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；(不需要证明)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12(2023春·全国·七年级期末)(1)问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上)，∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．(2)知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD=2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．(3)实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB=∠DCE=60°，若DE=a，AD=b，AE=c，求BE的长．(用含a，b，c的式子表示)13(2022秋·八年级课时练习)如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．14(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．(1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．15(2023·全国·九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG =BE ，在△ABE 与△ADG 中，AB =AD∠B =∠ADG =90°BE =DG∴△ABE ≌△ADG 理由：(SAS )进而证出：△AFE ≌___________，理由：(__________)进而得EF =BE +DF ．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系________________时，仍有EF =BE +DF ．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB =AD ，∠BAD ≠90°，∠EAF ≠45°，但∠EAF =12∠BAD ，∠B =∠D =90°，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．。

三角形全等添加辅助线的5种常用方法

三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。

全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。

下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。

一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。

它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。

我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。

倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。

如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。

可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。

在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。

看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。

五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

八年级数学上册第十二章全等三角形专题训练(五)作辅助线构造三角形全等的常见技巧课件

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(2)过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E.同(1) 可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD ＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1，∴C(4，1)
(3)过点 A 作 AD⊥x 轴，AE⊥ y 轴，垂足分别为 D， E.同(1)可证 △BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4， OC＝1，∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE，∴AE＝32 ， ∴A(－32 ，32 )
∠CFP＝∠DEP，在△CFP 和△DEP 中，PF＝PE，
∠1＝∠2，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD
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2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分(píngfēn)∠ABC，求证：∠A ＋∠C＝180°.
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证明：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 BA 的延长线于点 F，
(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8.∴1<AD<4
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方法2：倍延过中点的线段 8．如图，在△ABC中，D是BC边上(biān shànɡ)的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF.
(一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型(móxíng)构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线 OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.

2022-2023学年八年级数学上册《全等三角形中的辅助线与常考模型问题》精讲与精练高分突破

专题强化训练二：全等三角形中的辅助线与常考模型问题题型一：连接两点做辅助线问题1．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．2．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠P AB度数．题型二：倍线中线模型问题3．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，请补充完整证明“△ABD ≌△ECD ”的推理过程．(1)求证：△ABD ≌△ECD证明：延长AD 到点E ，使DE ＝AD 在△ABD 和△ECD 中 ∵AD ＝ED （已作）∠ADB ＝∠EDC （） CD ＝（中点定义） ∴△ABD ≌△ECD （）(2)由（1）的结论，根据AD 与AE 之间的关系，探究得出AD 的取值范围是；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如下图，ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，AD 是ABC 的中线，CE BC ⊥，4CE =，且90ADE ∠=︒，求AE 的长．4．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．题型三：旋转模型5．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，90≠︒∠BAD，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF 与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由．(3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC 、CD 上分别有景点E 、F ．且AE ⊥AD ，()4031DF =-米，现要在E 、F 之间修一条笔直道路，求这条道路EF 的长．6．综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN ＝45°，则MN ，AM ，CN 的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AB ＝BC ，∠A +∠C ＝180°，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN ＝12∠ABC ，试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC +∠ADC ＝180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN ＝12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为．题型四：垂线模型7．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．8．如图1，已知ABC 中，90BAC ∠=，AB AC =，DE 是过A 的一条直线，且B ，C 在D ，E 的同侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于()E BD CE <．（1）证明：ABD CAE ≅；（2）试说明：BD DE CE =-；（3）若直线DE 绕A 点旋转到图2位置（此时B ，C 在D ，E 的异侧）时，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请证明；（4）若直线DE 绕A 点旋转到图3位置（此时B ，C 在D ，E 的同侧）时()BD CE >其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．题型五：其它技巧模型9．已知：ACB △和DCE 都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE 交于点H ，AD 与EC 交于点G ，BE 与AC 交于点F ．（1）如图1，求证：AD BE =；（2）如图2，若AC DC =，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．10．如图1，△ABC 和△ABD 中，∠BAC ＝∠ABD ＝90°，点C 和点D 在AB 的异侧，点E 为AD 边上的一点，且AC ＝AE ，连接CE 交直线AB 于点G ，过点A 作AF ⊥AD 交直线CE 于点F ．（Ⅰ）求证：△AGE ≌△AFC ；（Ⅱ）若AB ＝AC ，求证：AD ＝AF +BD ；（Ⅲ）如图2，若AB ＝AC ，点C 和点D 在AB 的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD ，AF ，BD 的数量关系．专题训练精练一、单选题11．如图，已知：AB AC =，BD CD =，60A ∠=︒，140D ∠=︒，则B ∠=（）A ．50B ．40C ．40或70D ．3012．如图：△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CE ＝CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ＝3，AC ＝6，则AD 的长为（）A ．37B ．6C ．9D ．4713．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是（）A ．2＜AD ＜3B ．3＜AD ＜5C ．1＜AD ＜4 D ．2＜AD ＜814．如图，已知BP 是ABC ∠的平分线，AP BP ⊥，若BPC △的面积为26cm ，则ABC 的面积（）A ．28cmB ．210cmC ．212cmD ．214cm15．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到AFB △，连接EF ．以下结论：①ADC AFB △△≌；②ABE ACD △△≌；③AED AEF △△≌；④+BE DC DE =．其中正确的是（）A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③16．如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上的两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到△AFB ，连接EF ，有下列结论：①BE ＝DC ；②∠BAF ＝∠DAC ；③∠F AE ＝∠DAE ；④BF ＝DC ．其中正确的有（）A ．①②③④B ．②③C ．②③④D ．③④二、填空题17．如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝6，AC ＝8，则AD 的取值范围是________________．18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AEF ，延长BC 交EF 于点D ，若BD ＝5，BC ＝4，则DE ＝___．19．（2016育才周测）如图，正三角形ABC ∆和CDE ∆，A ，C ，E 在同一直线上，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．①AD =BE ；②PQ ∥AE ；③AP =BQ ；④DE =DP ；⑤∠AOB =60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．20．如图，在平面直角坐标系中，以A （2，0），B （0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC （其中∠ABC ＝90°，且点C 落在第一象限），则点C 关于y 轴的对称点C'的坐标为______．21．如图，线段AB =8cm ，射线AN ⊥AB ，垂足为点A ，点C 是射线上一动点，分别以AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，得△ACD 与△BCE ，连接DE 交射线AN 于点M ，则CM 的长为__________．22．如图， BD 是ABC ∆的角平分线，延长BD 至点E ，使DE AD =，若60ADB ∠=，78BAC ∠=，则BEC ∠=__________．三、解答题23．在BAC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 的一条直线，BD AE ⊥于点D ，CE AE ⊥于E ，（1）如图（1）所示，若B ，C 在AE 的异侧，易得BD 与DE ，CE 的关系是DE =____________；（2）若直线AE 绕点A 旋转到图（2）位置时，（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请予以证明；（3）若直AE 绕点A 旋转到图（3）的位置，（BD CE >），问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需证明．24．如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC =∠ACB =45°．MN 是经过点A 的直线，BD ⊥MN 于D ，CE ⊥MN 于E ．（1）求证：BD =AE ．（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点G （如图2），其他条件不变，求证：BD =AE ．（3）在（2）的情况下，若CE 的延长线过AB 的中点F （如图3），连接GF ，求证：∠1=∠2．25．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ．（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD ＝BC ；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若AG ＝3，CG ＝1，求证：E 点为BC 中点．（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交子G 点，若BC ＝4，BE ＝3，则AGCG= ．（直接写出结果）26．如图，P 为等边ABC 的边BC 延长线上的一动点，以AP 为边向上作等边APD △，连接CD ．（1）求证：ABP ACD ≌△△；（2）当PC AC =时，求PDC ∠的度数；（3）PDC ∠与PAC ∠有怎样的数量关系？随着点P 位置的变化，PDC ∠与PAC ∠的数量关系是否会发生变化？请说明理由．27．已知Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ⊥AE ，过点B 作BD ⊥AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求∠EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ⊥FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，∠EHB =∠BHG ，求线段EH 的长．28．A 、B 是POQ ∠的边OP 上两定点，E 是边OQ 上一动点，分别以AB 、AE 为边在OP 上方同侧作正方形ABCD 、正方形AEFG ．(1)如图①，45POQ ∠=︒，6OB =，2OA =，连接BG 、DE ．①求证：BG DE =；②当点E 在边OQ 上运动时，线段BG 的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由；(2)如图②，90POQ ∠>︒，连接CG ，当点E 在边OQ 上运动时，线段CG 的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点E 的位置；若不存在，请说明理由．29．如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=．(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上．①如图1，若∠BCA ＝90°，90α=︒，则BE_________CF ．②如图2，若0°<∠BCA <180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；简述理由30．我们知道两个全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一个等腰三角形（如图1），那么对其中一个直角三角形作适当改变又能得到什么结论呢？现在我们一起来探究吧．(1)如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC，求证：MB＝MC．(2)将CE向上平移，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC．①如图3，当∠CAE=∠BAD时，求证：MB＝MC；②当∠CAE＞∠BAD时，在图4中补全相应的图形，并直接写出MB、MC的数量关系_______．参考答案：1．（1）见详解；（2）图2：=DH BH DE -，图3：+DE DH BH =【分析】（1）在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ，证明DMC DEC △≌△，可得到DE DM =，即可求解．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得=B AED ∠∠，即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DH BH DE =-；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得B AED ∠=∠，即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DE DH BH =+．【详解】解：（1）证明：在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =∴B CMB ∠=∠∵AB AC =∴B ACB ∠=∠∵//DE BC∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠∴AED BMC ∠=∠∴DEC DMC ∠=∠∵BD BC =∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠∵CD CD =∴CDM CDE △≌△∴=DM DE∴+BH DE DM HM DH =+=（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH BH DE =-如图2：在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵BD BC =∴BDC DCB =∠∠∵//DE BC∴E ACB B EDB ===∠∠∠∠∵=CH CH ，BH MH =，BHC CHM =∠∠∴BHC CHM △≌△∴=B M ∠∠∴E M =∠∠∵+MDC B DCB =∠∠∠，EDC BDC EDB =+∠∠∠∴MDC EDC =∠∠又∵E M =∠∠，DC CD =∴DEC DMC △≌△∴DE DM =∵=DH MH DM -∴DH BH DE =-当点D 在线段AB 延长线上时，DE DH BH =+如图3：当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD∵BH HM =，CH CH =，90CHB MHC ==︒∠∠∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵BD BC =∴BDC BCD ∠=∠∵//BC DE∴BCD CDE ∠=∠，ACB AED ∠=∠∴BDC CDE ∠=∠，BMC AED =∠∠，且CD CD =∴CDM CDE △≌△∴DE DM =∵DM DH HM =+∴DE DH BH =+【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．2．（1）BM ＝AN ，BM ⊥AN ．（2）结论成立.（3）90°．【分析】(1)根据已知条件可证△MBP ≌△ANP ，得出MB ＝AN ，∠PAN ＝∠PMB ，再延长MB 交AN 于点C ，得出MCN 90∠=︒,因此有BM ⊥AN ；(2)根据所给条件可证△MPB ≌△APN ，得出结论BM ＝AN ；(3) 取PB 的中点C ，连接AC ，AB ，通过已知条件推出△APC 为等边三角形，∠PAC ＝∠PCA ＝60°，再由CA ＝CB ，进一步得出∠PAB 的度数.【详解】解：（Ⅰ）结论：BM ＝AN ，BM ⊥AN ．理由：如图1中，∵MP ＝AP ，∠APM ＝∠BPN ＝90°，PB ＝PN ，∴△MBP ≌△ANP （SAS ），∴MB ＝AN ．延长MB 交AN 于点C ．∵∠P AN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝P A，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴2PC＝2P A＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠P AC＝∠PCA＝60°，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠P AB＝∠P AC+∠CAB＝90°．【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键. 3．(1)对顶角相等；BD；SAS(2)17<<AD(3)6【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．(1)延长AD到点E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）CD＝BD（中点定义）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案为：对顶角相等；BD；SAS(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，∴==，CE AB6-<<+，8686AE∴<<，1AD7<<；故答案为1AD7(3)延长AD交EC的延长线于F，AB BC ⊥，EF BC ⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABD ∴≌FCD ，2CF AB ∴==，AD DF =，又∵∠FDE ＝∠ADE ＝90°ED ＝ED∴△ADE ≌△FDEAE EF ∴=，426EF CE CF CE AB =+=+=+=，6AE ∴=．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件． 4．（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可；（2）由（1）知，△MDB ≌△ADC ，可知∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC ∥BM ；（3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=，∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，∴∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，∴AC ∥BM ；（3）EF ＝2AD ，理由：如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）知，△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ，∵AC ＝AF ，∴BM ＝AF ，由（2）知：AC ∥BM ，∴∠BAC +∠ABM ＝180°，∵∠BAE ＝∠F AC ＝90°，∴∠BAC +∠EAF ＝180°，∴∠ABM ＝∠EAF ，在△ABM 和△EAF 中，AB EA ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△EAF （SAS ），∴AM ＝EF ，∵AD ＝DM ，∴AM ＝2AD ，∵AM ＝EF ，∴EF ＝2AD ，即：EF ＝2AD ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． 5．(1)见解析(2)∠BAD ＝2∠EAF ，理由见解析(3)这条道路EF 的长为40340米．【分析】（1）先证明()ABE ADG SAS ≅，得到AE =AG ， ∠BAE ＝∠GAD ，从而证明∠GAF =∠EAF ，可证()AEF AGF SAS ≅得出EF ＝GF ＝GD ＋DF 即可；（2）仿照（1）的方法延长CB 至M ，使BM ＝DF ，则可通过的相同的方法证明△ABM ≌△ADF 、△EAF ≌△EAM ，即可证出；（3）把△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，先通过证明△BAE 是等边三角形得出BE ＝AB ，再利用（2）的结论得到EF BE DF =+，将BE 、DF 的值代入即可求出．（1）解：延长FD 到点G 使DG ＝BE ，连接AG ，如图（1）中，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠ADC ＝∠B ＝90°，在△ABE 和△ADG 中，AB AD ABE ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADG SAS ≅，∴∠BAE ＝∠GAD ，AE ＝AG ，∴∠GAD ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝90°−45°＝45°，∴∠GAF =∠EAF =45°，在△AEF 和△AGF 中，GA EA GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≅，∴EF ＝GF ＝GD ＋DF ＝BE ＋DF ；（2）解：∠BAD ＝2∠EAF ，理由如下：如图（2），延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°，∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中，AB AD ABM D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ADF ，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠BAM ＋∠BAE ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠EAM ，在△EAF 和△EAM 中，AF AM EAF EAM AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△EAM ，∴EF ＝EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ，即EF ＝BE ＋DF ；（3）解：如图3，把△ABE 绕点A 逆时针旋转150°至△ADG ，连接AF ．∵∠BAD ＝150°，AE ⊥AD ，∴∠BAE ＝150°-90°=60°，又∵∠B ＝60°，∴△BAE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝80，∵∠ADC =120°，∴∠ADC +∠B =120°+60°=180°，由（2）得，()80403140340EF BE DF =+=+-=+（米），即这条道路EF 的长为40340+米．【点睛】本题考查了全等三角形，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段．6．（1）MN =AM +CN ；（2）MN =AM +CN ，理由见解析；（3）MN =CN -AM ，理由见解析【分析】（1）把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，可得到点M'、C 、N 三点共线，再由∠MBN =45°，可得∠M'BN =∠MBN ，从而证得△NBM ≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，由∠A +∠C ＝180°，可得点M'、C 、N 三点共线，再由∠MBN ＝12∠ABC ，可得到∠M'BN =∠MBN ，从而证得△NBM ≌△NBM'，即可求解；（3）在NC 上截取C M'=AM ，连接B M'，由∠ABC +∠ADC ＝180°，可得∠BAM =∠C ，再由AB ＝BC ，可证得△ABM ≌△CB M'，从而得到AM =C M'，BM =B M'，∠ABM =∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC ，再由∠MBN ＝12∠ABC ，可得∠MBN ＝∠M'BN ，从而得到△NBM ≌△NBM'，即可求解．【详解】解：（1）如图，把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM'，BM =BM'，∠A =∠BCM'，∠ABM =∠M'BC ，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∠ABC，∵∠MBN＝12∠ABC＝∠MBN，∴∠ABM+∠CBN=12∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CB M'，∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，∴∠MA M'=∠ABC，∵∠MBN＝1∠ABC，2∠MA M'=∠M'BN，∴∠MBN＝12∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N=CN-C M'，∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．7．(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明△ADC ≌△CEB ，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS 推知△ACD ≌△CBE ，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE +BE =AD ；（3）由题意可知DE 、AD 、BE 具有的等量关系为：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠DAC +∠ACD =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∵ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB ；∴DC =BE ，AD =EC ，∵DE =DC +EC ，∴DE =BE +AD ．(2)解：DE +BE =AD ．理由如下：如图2，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°．又∵AD ⊥MN 于点D ，∴∠ACD +∠CAD =90°，∴∠CAD =∠BCE ．在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD =BE ，AD =CE ，∴DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ．(3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下：如图3，易证得△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，DC =BE ，∴DE =CD -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．8．（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE【分析】（1）根据题意可得ABD EAC ∠=∠，结合BDA AEC ∠=∠，AB AC =直接用AAS 证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =-；（3）方法同（1）证明ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =+（4）方法同（1）结论同（2）证明ABD CAE ≌，进而可得BD DE CE =-．【详解】（1）证明：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD EAC ∠=∠．又∵AB AC =，∴()ABD CAE AAS ≌．（2）解：∵ABD CAE ≌，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．（3）解：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD EAC ∠=∠．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌．∴BD AE =，AD CE =，AE AD DE =+，∴BD DE CE =+．（4）解：BD DE CE =-．理由如下：∵90BAC ∠=，∴90BAD EAC ∠+∠=．又∵BD AE ⊥ ，CE AE ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=，90BAD ABD ∠+∠=，∴ABD CAE ∠=∠．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）△ACB ≌△DCE ，△BCF ≌△DCG ，△AHF ≌△EHG ，△EHD ≌△AHB【分析】（1）根据SAS 可证明△ACD ≌△BCE ，从而可知AD =BE ；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形．【详解】解：（1）∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，∴AC =BC ，DC =EC ，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在△ACD 与△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD =BE ；（2）△ACB ≌△DCE ，△BCF ≌△DCG ，△AHF ≌△EHG ，△EHD ≌△AH B ．理由：∵AC =DC ，∠ACB =∠DCE ，∴AC =CD =EC =CB ，∴△ACB ≌△DCE （SAS ）；由（1）可知：∠EBC =∠DAC ，∠ADC =∠BEC ，∴∠AHF =90°，∵∠EBC =∠CEB =∠CDA ，∴△BCF ≌△DCG （ASA ），∴CF =CG ，∴AF =EG ，∵∠AHF =∠EHG ，∠F AH =∠HEG ，∴△AHF ≌△EHG （AAS ），∴AH =EH ，又∵DE =AB ，∴Rt △EHD ≌Rt △AHB （HL ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定条件． 10．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF ＝AD +BD【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF ＝∠AEG ，再用同角的余角相等判断出∠CAF ＝∠EAG ，即可得出结论；（Ⅱ）先用ASA 判断出△ACM ≌△ABD ，得出AM ＝AD ，CM ＝BD ，由（Ⅰ）知，△AGE ≌△AFC ，得出∠AGE ＝∠AFC ，再判断出CM ∥AB ，得出∠MCF ＝∠AGC ，进而判断出MF ＝CM ，即可得出结论；（Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论．【详解】解：（Ⅰ）∵AC ＝AE ，∴∠ACF ＝∠AEG ，∵AF ⊥AD ，∴∠DAF ＝90°＝∠CAB ，∴∠DAF ﹣∠F AG ＝∠CAB ﹣∠F AG ，∴∠CAF ＝∠EAG ，在△AGE 和△AFC 中，AEG ACF AE ACEAG CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGE ≌△AFC （ASA ）；（Ⅱ）如图1，过点C 作CM ⊥AC ，交AF 延长线于点M ，∴∠ACM ＝90°＝∠ABD ，由（Ⅰ）知，∠CAF ＝∠EAB ，在△ACM 和△ABD 中，90CAF BAE AC AB ACM ABD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△ABD （ASA ），∴AM ＝AD ，CM ＝BD ，由（Ⅰ）知，△AGE ≌△AFC ，∴∠AGE ＝∠AFC ，∴180°﹣∠AGE ＝180°﹣∠AFC ，∴∠AGC ＝∠AFG ，∵∠CFM ＝∠AFG ，∴∠AGC ＝∠CFM ，∵∠BAC ＝90°＝∠ACM ，∴∠BAC +∠ACM ＝180°，∴CM ∥AB ，∴∠MCF ＝∠AGC ，∴∠CFM ＝∠MCF ，∴MF ＝CM ，∴AM ＝AF +CM ，∴AD ＝AF +BD ；（Ⅲ）AD ＝AF ﹣BD ；过点C 作CM ⊥AC ，交AF 于点M ，∴∠ACM ＝90°＝∠ABD ，由（Ⅰ）知，∠CAF ＝∠EAB ，在△ACM 和△ABD 中，90CAF BAE AC AB ACM ABD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△ABD （ASA ），∴AM ＝AD ，CM ＝BD ，由（Ⅰ）知，△AGE ≌△AFC ，∴∠G ＝∠F ，∵∠BAC ＝90°＝∠ACM ，∴CM ∥AB ，∴∠MCF ＝∠G ，∴∠F ＝∠MCF ，∴MF ＝CM ，∴AF ＝AM +CM ＝AD +BD ，故答案为：AF ＝AD +BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 11．B【分析】连接AD ，可证ABD △≌ACD △，根据全等三角形对应角相等可以得到12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，ADB ADC ∠=∠，代入角度即可求出BAD ∠和ADB ∠的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．【详解】连接AD ，如图，在ABD △与ACD △中AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD △≌ACD △()SSS ， ∴12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，ADB ADC ∠=∠， 60A ∠=，∴30BAD CAD ∠=∠=，140D ∠=，∴()136********ADB ADC ∠=∠=-=， 180BAD ADB B ∠+∠+∠=，∴40B ∠=．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 12．A【分析】首先证明ECA DCB SAS ≌（），再利用勾股定理即可求解．【详解】如图连接BD ，90CA CB CE CD ECA ACD DCB ∠︒∠∠＝，＝，＝﹣＝，ECA DCB SAS ∴≌（），345DB AE CDB E ∴∠∠︒＝＝，＝＝，90ADB ADC CDB ∴∠+︒＝＝，在Rt ABC 中，6CA CB ＝＝，∴62AB =在Rt ADB 中，62AB =3BD =，∴2272937AD AB BD =--=故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的证明和勾股定理，解题的关键是能通过已知的条件结合三角形全等的判定方法来证明三角形全等，结合垂直关系和边的等量代换运用勾股定理求边长．13．C【分析】如图，延长AD 至,E 使,AD ED =再证明,ACD EBD ≌可得3,BE AC == 再利用三角形的三边关系可得：53253,AD -<<+从而可得答案.【详解】解：如图，延长AD 至,E 使,AD ED =AD 为ABC 的中线，,BD CD ∴=,ADC BDE ∠=∠,ACD EBD ∴≌3,AC EB ==5,AB =53253,AD ∴-<<+1 4.AD ∴<<故选：C【点睛】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键.14．C【分析】延长AP 交BC 于点C ，根据题意，通过ASA 判定ABP DBP ≌△△，因为APC △和DPC △同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出212ABC BPC S S ==△△．【详解】解：延长AP 交BC 于点C ，如图所示，，∵AP BP ⊥，∴90APB DPB ∠=∠=︒，∵BP 是ABC ∠的角平分线，∴ABP DBP ∠=∠，在ABP △和DBP 中，ABP DBP BP BPAPB DPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABP DBP ASA ≌（）△△，∴AP DP =,∴ABP DBP S S =△△，∵APC △和DPC △同底等高，∴APC DPC S S =△，∴PBC DPB DPC ABP APC S S S S S =+=+△△△△，∴212ABC BPC S S ==△△，故选C ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．15．D【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS 定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④．【详解】解：∵△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得△AFB ，∴△ADC ≌△AFB ，①正确；∵EA 与DA 不一定相等，∴△ABE 与△ACD 不一定全等，②错误；∵∠FAD ＝90°，∠DAE ＝45°，∴∠FAE ＝∠DAE ＝45°，在△AED 和△AEF 中AF AD EAF EAD AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△AED ≌△AEF ，③正确；∵△ADC ≌△AFB ，∴BF ＝CD ，∵BE ＋BF ＞DE∴BE ＋DC ＞DE ，④错误；故选：D ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键．16．C【分析】利用旋转性质可得△ABF ≌△ACD ，根据全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵△ADC 绕A 顺时针旋转90°后得到△AFB ，∴△ABF ≌△ACD ，∴∠BAF ＝∠CAD ，AF ＝AD ，BF ＝CD ，故②④正确，∴∠EAF ＝∠BAF +∠BAE ＝∠CAD +∠BAE ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE 故③正确无法判断BE ＝CD ，故①错误，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．1＜AD ＜7【分析】延长AD 到E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE =AB ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中,BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴CE =AB ，∵AB =6，AC =8，∴8-6<AE <8+6，即2<2AD <14，∴1<AD <7，故答案为：1<AD <7．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．18．3【分析】如图，连接AD ．证明Rt △ADF ≌Rt △ADC （HL ），推出DF ＝DC ＝1，可得结论．【详解】解：如图，连接AD ．在Rt △ADF 和Rt △ADC 中，AD AD AF AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADF ≌Rt △ADC （HL ），∴DF ＝DC ，∵BD ＝5，BC ＝4，∴CD ＝DF ＝5﹣4＝1，∵EF ＝BC ＝4，∴DE ＝EF ﹣DF ＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19． ①②③⑤ △ACD ≌△BCE ，△BCQ ≌△ACP ，△CDP ≌△CEQ【分析】①可证明△ACD ≌△BCE,从而得出AD=BE ；②可通过证明△BCQ ≌△ACP ，从而可证明△PCQ 为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ ∥AE ． ③由②中△BCQ ≌△ACP ，可证AP =BQ ；④通过证明△CDP ≌△CEQ 可得DP=EQ ，又由图可知DE ＞QE ，从而④错误；⑤通过三角形外角定理和前面△ACD ≌△BCE 可得该结论．由前面的证明过程可得出三个全等三角形．【详解】解：①△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点A ，C ，E 在同一条直线上，∴AC=BC ，EC=DC ，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD ≌△BCE∴AD=BE ，故本选项正确；②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CBQ=∠CAP ，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC ，∴△BCQ ≌△ACP ，∴CQ=CP ，又∠PCQ=60°，∴△PCQ 为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB ，∴PQ ∥AE ，故本选项正确；③由②△BCQ ≌△ACP 可得AP =BQ ，故本选项正确；④∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC=∠BEC ，∵CD=CE ，∠DCP=∠ECQ=60°，∴△CDP ≌△CEQ （ASA ）．∴DP=EQ ，∵DE ＞QE∴DE ＞DP ，故本选项错误；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确；∴正确的有：①②③⑤．由上面证明过程可知△ACD ≌△BCE ，△BCQ ≌△ACP ，△CDP ≌△CEQ ．故答案为：①②③⑤；△ACD ≌△BCE ，△BCQ ≌△ACP ，△CDP ≌△CEQ ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键．20．()1,3-【分析】过点C 向y 轴，引垂线CD ，利用△OAB ≌△DBC ，确定DC ，DO 的长度，即可确定点C 的坐标，对称坐标自然确定.【详解】如图，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，。

初中几何全等三角形常见辅助线作法

全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.【例2】、如图，已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。

求证：ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。

平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。

是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。

求证：AC = 2AEo 证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

八年级数学几何图形第05讲全等三角形的常见辅助线(学生版)

第05讲全等三角形的常见辅助线（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一倍长中线和类倍长中线1．（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．针对训练11．（2016秋•宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8B．0＜AD＜8C．1＜AD＜4D．3＜AD＜52．（2021秋•江州区期末）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（）A．1＜AB＜9B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13D．9＜AB＜133．（2021秋•微山县期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD是△ABC的中线，BA＝BC，点E在BC的延长线上，EC＝BC．写出AD与AE 之间的数量关系并证明．类型二过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形典例2如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF＝AC．求证：∠DFE＝∠DAC．针对练习24．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F （1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．类型三中点加平行线构造8字全等典例3如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，E为CD的中点，若用S1、S2、S3分别表示△ADE、△EBC、△ABE的面积，则S1、S2、S3的关系是（）A．S1+S2＞S3B．S1+S2＝S3C．S1+S2＜S3D．以上都不对针对训练35．（2021•行唐县模拟）如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；类型四截长补短法构造全等典例4 已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．求证：BC＝AB＋CD．针对训练46．（2021秋•阳谷县期末）如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC＝AB．。

三角形全等证明,10道考试真题,6种常用辅助线添加的方法和技巧.doc

三角形全等证明，10道考试真题，6种常用辅助线添加的方法和技巧以下六种常用的辅助线添加方法和技巧。

相互学习，一起进步。

方法一、双垂直构造三角形全等。

遇见角平分线，角平分线上的点向角两边做垂直，必出三角形全等。

例题1，是最基础，最简单的题型。

有些，需要我们证明角平分线的时候，同样可以向角两边做垂直，那么只要两个垂线段相等，到角两边距离相等的点在角平分线上。

例题2，过点P做MN平行BC，则出现在AB边和CD 边上，双垂直。

根据题意，证明三角形QNP全等于三角形PMB，结论得证。

方法二，倍长中线。

三角形中，遇见中点，很容易想到倍长中线。

例题3，倍长中线后，得出三角形ACE全等于三角形ACM。

例题4，延长AD至E，使DE=AD。

得出三角形ADC全等于三角形EDB。

第2小题，根据三角形的三边关系，等量代换，即可求出AD的取值范围。

方法三、截长补短法。

求证两个线段和等于一个线段的时候，很容易想到截长补短的辅助线添加方法。

截长补短法，包括了截长法和补短法，两种方法。

一般来说，一道题，既可以用截长法，也可以用补短法。

例题6、解析中用了延长AD至M，使MD=FD。

请认真看解答过程。

再请按照图3的辅助线，自行练习推理，举一反三，得出结论。

方法四、平行线发或者平移法。

解题方法1，过点O做OD平行BC。

还有两个方法，请自行推理，如图3和图4.方法五，旋转法。

把一个三角形，经过旋转，旋转后必出三角形全等，得出结论。

例8和例9，其实也就是，最近经典的半角模型。

之前也专门讲过，这个几何模型。

请认真参考，这个两个例题。

从中总结规律和解题方法。

方法六、翻折法，或者叫对称法。

例题10，看起来很难，当你认真看完解题过程，肯定会有所收获。

全等三角形中做辅助线技巧窍门要点大汇总

全等三角形中做协助线技巧重点大汇总口诀：三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

线段垂直均分线，常向两头把线连。

线段和差及倍半，延伸缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延伸中线等中线。

一、由角均分线想到的协助线口诀：图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

角均分线拥有两条性质： a 、对称性； b 、角均分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角均分线的协助线的作法，一般有两种。

①从角均分线上一点向两边作垂线；②利用角均分线，结构对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

往常状况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其余状况下考虑结构对称图形。

至于选用哪一种方法，要联合题目图形和已知条件。

与角有关的协助线EA（一）、截取构全等如图 1-1 ，∠ AOC=∠BOC ，如取 OE=OF ，并连 ODC接 DE 、 DF ，则有△ OED ≌△ OFD ，从而为我们证FBA图1-1明线段、角相等创建了条件。

E例1．如图 1-2 ，AB//CD ， BE 均分∠ BCD ，CE 均分∠ BCD ，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD 。

BF例2．已知：如图 1-3 ， AB=2AC ，∠ BAD=图1-2∠ CAD ，DA=DB ，求证 DC ⊥ACD C.\例3．已知：如图1-4，在△ ABC中，∠ C=2∠ B,AD均分∠ BAC，求证：AB-AC=CD剖析：本题的条件中还有角的均分线，在证明A中还要用到结构全等三角形，本题仍是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的E线段上截取短的线段，来证明。

试一试看能否把短的延伸来证明呢？CB D练习图 1-41．已知在△ ABC中，AD均分∠ BAC，∠ B=2∠C，求证： AB+BD=AC2．已知：在△ ABC中，∠ CAB=2∠B，AE均分∠ CAB交BC于E，AB=2AC，求证： AE=2CE3．已知：在△ ABC中，AB>AC,AD为∠ BAC的均分线，M为AD上任一点。

初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换旋转

初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换—旋转一：如何构造旋转图形1、遇中点，旋180°，构造中心对称图形，即倍长中线。

2、遇90°，旋90°，构造垂直—等腰直角三角形、正方形。

3、遇60°，旋60°，构造等边。

口诀：边相等，就旋转。

二：倒角（旋转后，常见图形）、如图，边长为的正方形AB=AD，由图形旋转的性质可知AD=AB′，故可得出Rt△ADE≌Rt△AB′E，由直角三角形的性质可得出DE的长，再由S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB′即可得出结论．解答：解：连接AE，∵∠BAB′=30°，∴∠DAB′=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°，∵正方形AB′C′D′是正方形ABCD旋转而成，∴AD=AB′，∠B′=90°，在Rt△ADE与Rt△AB′E中，AD=AB′，AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E，∴∠DAE==30°，∴DE=AD?tan∠DAE=×=1，∴S四边形ADEB′=2S△ADE=2××AD×DE=，∴S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB=3-．2、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PA C绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为????，∠APB=????°.答案此题答案为：6；150°.解：连接PP′.∵△P′AB是△PAC绕点A旋转得到的，∴△P′AB≌△PAC.∵△P′AB≌△PAC，PA=6，PB=8，PC=10，∴P′A=PA=6，P′B=PC=10，∠PAC=∠P′AB.∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAC+∠BAP=60°.∵∠PAC=∠P′AB，∴∠P′AB+∠BAP=∠P′AP=60°.∵∠P′AP=60°，PA=P′A，∴△PAP′是等边三角形，∴PP′=PA=6，∴∠P′PA=60°.∵在△PBP′中PP′=6，PB=8，P′B=10，∴△PBP′是直角三角形，∴∠BPP′=90°，∴∠APB=∠P′PA+∠BPP′=60°+90°=150°.3、如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对答案此题答案为：A.解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．4、如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接。

八年级数学上册第十二章专题(五)构造全等三角形常用的辅助线作业课件新版新人教版

－AC＜AE＜CE＋AC，即 6－2＜2AD＜6＋2，∴4＜2AD＜8，∴2＜AD＜4.
2．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，已知AC＝BF，∠DAC＝35°，∠EBC＝40°，求∠C的度数．
解：如图，延长 AD 到点 M，使得 DM＝AD，连接 BM.∵AD 是△ABC
°，∠CFA＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝180°－12 (∠BAC＋∠ACB)＝180°
－12 (180°－∠ABC)＝180°－12 (180°－60°)＝120°，∴∠DFE＝∠CFA
＝ ∠MFN ＝ 120 ° . 又 ∵∠MFN ＝ ∠MFD ＋ ∠DFN ， ∠ DFE ＝ ∠DFN ＋
类型二：利用角平分线截长补短构造全等方法技巧：因角平分线已具备全等三个条件中的两个(角等、公共边等) 条件，故在角的两边截取相等的线段构造SAS全等三角形．
5．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．
(1)求∠AEB的度数； (2)求证：CE＝DE.
解：(1)∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°.∵AE 平分∠CAB，BE 平分∠DBA，∴∠EAB＝12 ∠CAB，∠EBA＝12 ∠ABD.∴∠EAB＋∠EBA ＝90°，∴∠AEB＝90°.
在△DEB 和△FEB 中，∠EBD＝EEBB＝，∠FEB， ∴△DEB≌△FEB(ASA).∴ED ∠DBE＝∠FBE，
＝EF.∴ED＝CE.
6．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB－PC.
证明：在 AB 上截取 AN ＝ AC ，连接 PN ，图略．易证 △ APN≌△APC(SAS) ， ∴ PN ＝ PC ， ∵ 在 △ BPN 中， PB － PN ＜ BN ， ∴PB－PC＜AB－AN.∴AB－AC＞PB－PC.

专项练习(五) 证明三角形全等四种添加辅助线的方法

专项练习(五)证明三角形全等四种添加辅助线的方法►方法一直接连线构造全等三角形1．如图5－ZT－1所示，AB＝AD，BC＝DC.求证：∠ABC＝∠ADC.图5－ZT－12．如图5－ZT－2，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点．图5－ZT－23．如图5－ZT－3，AC，BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB.求证：∠ABO＝∠DCO.图5－ZT－3►方法二倍长中线构造全等三角形4．如图5－ZT－4，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝4，AC＝8，求中线AD的取值范围．图5－ZT－45．如图5－ZT－5，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB ＝AC.求证：CD＝2CE.(提示：等腰三角形的两底角相等)图5－ZT－5►方法三作垂直构造全等三角形6．如图5－ZT－6，四边形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC.求证：∠A＋∠C＝180°.图5－ZT－67．如图5－ZT－7，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边与OA，OB分别交于点C，D，PC 与PD相等吗？试说明理由．图5－ZT－7►方法四翻折构造全等三角形8．如图5－ZT －8所示，BE 平分∠ABC ，E 为AD 的中点，且BC ＝B A ＋CD.求证：CE 平分∠BCD.图5－ZT －89．2019·南京二模命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称〝等角对等边〞)．：如图5－ZT －9，△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.三名同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD ，可证△ABD ≌△ACD ，得AB ＝AC ；小亮的方法：作BC 边上的高AD ，可证△ABD ≌△ACD ，得AB ＝AC ；小莉的方法：作BC 边上的中线AD.(1)请你写出小刚与小亮的方法中△ABD ≌△ACD 的理由：________________；(2)请你按照小莉的思路完成命题的证明．图5－ZT －9详解详析1．证明：连接AC ，在△ABC 与△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ，(SSS) ∴∠ABC ＝∠ADC.2．证明：如图，连接AC ，AD. 在△ABC 和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED ，(SAS) ∴AC ＝AD.∵AF ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ACF 和Rt △ADF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △ACF ≌Rt △ADF ，(HL)∴CF ＝DF ，∴F 是CD 的中点．3．证明：连接BC. 在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB ，(SSS) ∴∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC ，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DCB －∠ACB ，即∠ABO ＝∠DCO.4．[解析] 通过作辅助线，把AB ，AD ，AC 转化到同一个三角形中，如图，证△ADB ≌△EDC ，推出EC ＝AB ，在△ACE 中，利用三角形的三边关系求解．解：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD. 在△ADB 和△EDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△EDC ，(SAS) ∴EC ＝AB ＝4，∴AC －EC ＝AC －AB ＝8－4＝4，AC ＋EC ＝AC ＋AB ＝12.在△ACE 中，根据三角形的三边关系，得4<AE<12.∵AE ＝2AD ，∴2<AD<6.5．证明：延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝EB. 在△AEC 和△BEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EB ，∠AEC ＝∠BEF ，CE ＝EF ，∴△AEC ≌△BEF ，(SAS) ∴∠A ＝∠EBF ，AC ＝BF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF.∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD ，又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD. 在△CBF 和△CBD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BD ，∠CBF ＝∠CBD ，CB ＝CB ，∴△CBF ≌△CBD ，(SAS) ∴CD ＝CF ＝CE ＋EF ＝2CE.6．证明：如图，过点D 作DE ⊥BA 于点E ，DF ⊥BC 交BC 的延长线与点F.∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠DBF.∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED ＝∠BFD ＝90°. 在△DBE 和Rt △DBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BED ＝∠BFD ，∠DBE ＝∠DBF ，BD ＝BD ， ∴△DBE ≌△DBF ，(AAS)∴DE ＝DF. 在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt △DEA ≌Rt △DFC ，(HL)∴∠A ＝∠DCF.∵∠BCD ＋∠DCF ＝180°，∴∠A ＋∠BCD ＝180°.7．解：PC 与PD 相等．理由如下：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F.∵OM 平分∠AOB ，∴∠POE ＝∠POF. 在△OPE 与△OPF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OEP ＝∠OFP ，∠POE ＝∠POF ，OP ＝OP ，∴△OPE ≌△OPF ，(AAS)∴PE ＝PF.∵∠AOB ＝90°，∠PEO ＝∠PFO ＝90°，∴∠EPF ＝90°，∴∠EPC ＋∠CPF ＝90°.又∵∠CPD ＝90°，∴∠CPF ＋∠FPD ＝90°，∴∠EPC ＝∠FPD ＝90°－∠CPF. 在△PCE 与△PDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠PEC ＝∠PFD ，PE ＝PF ，∠EPC ＝∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF ，(ASA)∴PC ＝PD.8．[解析] 在BC 上截取BF ＝BA.根据SAS 证明△BAE ≌△BFE ，再证明△CEF ≌△CED 即可．证明：如图，在BC 上截取BF ＝BA ，连接EF.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBE. 在△BAE 和△BFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BF ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△BAE ≌△BFE ，(SAS)∴AE ＝FE.∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE ＝FE.又∵BC ＝BA ＋CD ，BA ＝BF ，∴CD ＝CF. 在△CED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CF ，DE ＝FE ，CE ＝CE ，∴△CED ≌△CEF ，(SSS) ∴∠FCE ＝∠DCE ，即CE 平分∠BCD.9．解：(1)AAS(2)证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD.在△BDE 和△CDF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BED ＝∠CFD ＝90°，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ， ∴△BDE ≌△CDF ，(AAS)∴BE ＝CF ，DE ＝DF. 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，(HL)∴AE ＝AF ，∴AE ＋BE ＝AF ＋CF ，即AB ＝AC.。

八年级数学上册第十三章全等三角形专题练习五全等三角形中常见辅助线的作法课件

2．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD， ∠ABC＋∠AED＝180°.求证(qiúzhèng)：DA平分∠CDE.
第六页，共二十页。
证明：延长DE至点F，使EF＝BC，连结(lián jié)AC，AF. ∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠AED＋∠AEF＝180°， ∴∠ABC＝∠AEF.∵AB＝AE，∴△ABC≌△AEF(SAS). ∴AC＝AF.∵BC＋DE＝CD，DE＋EF＝DF，∴CD＝DF. 又AD＝AD，∴△ACD≌△AFD(SSS). ∴∠CDA＝∠FDA，即DA平分∠CDE
第十二页，共二十页。
5．如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，并且 AE＝12 (AB＋AD)，求∠ABC＋∠ADC 的度数．
第十三页，共二十页。
解：过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.∵AE＝12 (AB＋AD)， ∴AB＋AD＝2AE.∵AC 平分∠BAD，即∠DAC＝∠CAB，且 CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.又∵AC＝AC， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL).∴AF＝AE.∴AB＋AD＝AE＋AF. ∴AB－AE＝AF－AD，即 BE＝DF.∴Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS). ∴∠ABC＝∠CDF.∴∠ABC＋∠ADC＝∠CDF＋∠ADC＝180°
第七页，共二十页。
3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量(shùliàng)关系，并加以证明．
第八页，共二十页。
解：BC＝BE＋CD，证明：在 BC 上截取 BF＝BE，连结 OF. ∵BD 平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.∴△EBO≌△FBO(SAS). ∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12 ∠ABC－12 ∠ACB＝180° －12 (180°－∠A)＝120°.

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

三角形全等添加辅助线的技巧和方法

三角形全等添加辅助线的技巧和方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊三角形全等添加辅助线的那些超棒技巧和方法。

比如说，当遇到两个看起来不太好直接证明全等的三角形时，咱就可以巧妙地加条辅助线呀！就好像走在迷宫里突然找到了一条捷径一样。

比如在一个三角形里，有一条边特别长，而另一个三角形里对应的边较短，这时候怎么办呢？咱就在长边上截取一段，让它和短边一样长，这不就多了个等量关系嘛！
还有哦，要是两个三角形有共同的边或者角，那辅助线简直就是开启全等大门的钥匙呀！像有两个三角形，它们有一条公共边，但是其他条件不好用，这时候把公共边延长或者作垂线，哇塞，全等的条件可能一下子就冒出来啦！比如说小明和小红一起做数学题，小明就被一道题难住了，后来小红提醒他加个辅助线，结果一下子就豁然开朗了，这不就像是在黑暗中找到了明灯嘛！
总之呀，三角形全等添加辅助线真的太神奇啦，只要你掌握了这些技巧和方法，那些原本难搞的题目就会变得轻而易举啦！。