微积分同步练习

§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4） 一、设2,2u a b c v a b c =-+=++ ，试用,,a b c 表示24u v - ．

二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++= 成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．

三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a == 、表示向量12D A D A 、

和3D A ．

四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M - ．

五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，

()2,3,4C ---，()3,4,5D --．

六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，

)0,8,0(D ．

七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．

§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积

一、

试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．

二、 设已知两点()

()1224,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与

12M M 方向一致的单位向量．

三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++ 及，求232a m n p =+- 在x 轴上的投影

及在z 轴上的分向量．

四、

已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++= ，求a b b c c a ++

之值．

五、 已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+ 和，计算： ()()()1a b c a c b - ； ()()()2a b b c +⨯+ ； ()()

3a b c ⨯ ．

六、

设()()2,1,3,1,2,1a b =-=-- ，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+ 与z 轴垂直？

七、

已知()1,2,3OA = ，()2,1,1OB =- ，求△AOB 的面积．

§8.3曲面及其方程

一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．

二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？

三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方

程．

四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？

1.24y x =+； 22

2.326x y -=．

五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？

2221.226x y z ++=； ()2

222.z a x y +=+．

六、

指出下列方程所表示的曲面： 2221.22x y z +-=； 2222.33x y z --=； 223.345

x y z +=．

§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)

一、填空题：

1．曲面22

x y +-2

09z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．

2．曲线222221(1)(1)1

x y x y z ⎧

+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．

4．上半锥面z =

（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在yoz 面上的投影为 ．

二、选择题： 1．方程22

149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩

在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线

2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩

的一般方程是 ．

（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b z

y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

3．平面20x z -=的位置是 ．

（Ａ）、平行xoz 坐标面。 （Ｂ）、平行oy 轴

（Ｃ）、垂直于oy 轴 （Ｄ）、通过oy 轴

4．下列平面中通过坐标原点的平面是 ．

（Ａ）、1x = (Ｂ)、2340x y z +++= (C)、3(1)(3)0x y z --++= (D)、1x y z ++=

三、化曲线2229x y z y x

⎧++=⎨=⎩为参数方程．

四、画出下列曲线在第一卦限内的图形：

１．12x y =⎧⎨=⎩； ２.

222222x y a x z a

⎧+=⎪⎨+=⎪⎩．

五、求通过三点(1,1,1)、(2,2,2)--和(1,1,2)-的平面方程．

§8.5平面及其方程(2)(3) §8.6空间直线及其方程

一、填空题：

１．过点(4,1,3)P -且平行于直线

5

1232-==-z y x 的直线方程为 ． ２．过点(2,0,3)P -且与直线2773521

x y z x y z -+=⎧⎨+-=-⎩垂直的平面方程为 ．

３．过点(0,2,4)P 且与二平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程是 ．

4．当m = 时，直线13241z y x =+=-与平面3510mx y z +-+=平行． 二、选择题：

1．下列直线中平行与xoy 坐标面的是 ．

（A ）233211+=+=-z y x （C ）10101z y x =-=+ （B ）44040x y x z --=⎧⎨--=⎩ （D ）1234x t y t z =+⎧⎪=⎨⎪=⎩

2．直线:L 3

7423z y x =-+=-+与平面:4223x y z π--=的关系是 ． （A ）平行 （B ）垂直相交 （C ）L 在π上 （D ）相交但不垂直

3．设直线1158:121x y z L --+==与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩

，则1L 与2L 的夹角为 ． （A ）π/6 （B ）π/4 （C ）π/3 （D ）π/2

4．两平行线t z t y t x =+=+=

,12,1与

1

12112-=+=-z y x 之间的距离是 ． （Ａ）1 （Ｂ）2 （Ｃ）23

（Ｄ）3 三、设直线L 通过(1,1,1)，且与1:632L x y z ==相交，又与2:L 431221-=-=-z y x 垂直，求直线L 的方程．

四、求通过z 轴，且与平面270x y +-=的夹角为3

π的平面方程．