拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用

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拉格朗日证明定律

拉格朗日证明定律拉格朗日证明定律，也被称为拉格朗日中值定理，是微积分中的重要定理之一。

它是法国数学家拉格朗日在18世纪提出的，并以他的名字命名。

拉格朗日证明定律是微积分中关于函数导数和原函数之间关系的基本定理，对于理解函数的性质和解决相关问题具有重要意义。

拉格朗日证明定律的表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c，使得a<c<b，且f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

换句话说，定理指出在开区间内存在一点，该点的导数等于函数在区间两端点的函数值之差与区间长度的比值。

定理的证明过程可以通过构造辅助函数来完成。

首先，我们定义辅助函数g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a)。

这个辅助函数的构造是为了让g(x)在区间两端点的函数值相等，即g(a)=g(b)。

然后，我们利用拉格朗日中值定理，证明在开区间(a, b)内存在一个点c，使得g'(c)=0。

由此可得g(x)在(a, b)内的某点c处取得极值，进而得到f(x)在[a, b]上存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日证明定律的应用非常广泛。

首先，它可以用于证明其他重要的数学定理，如柯西中值定理和罗尔定理。

其次，它在求解函数的最大值和最小值、证明函数的单调性、解决优化问题等方面具有重要作用。

例如，通过应用拉格朗日证明定律，可以证明在一定条件下，函数的最大值和最小值一定在函数的极值点或者区间的端点处取得。

拉格朗日证明定律也为我们理解微积分提供了一种思路和方法。

通过证明过程，我们可以看到导数和函数值之间的关系，以及导数的几何意义。

通过拉格朗日证明定律，我们可以更深入地理解函数的变化规律和性质。

这对于我们进一步研究微积分和应用微积分解决实际问题具有重要意义。

总结起来，拉格朗日证明定律是微积分中的重要定理，它描述了函数导数和原函数之间的关系。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁,在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数．实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个,因此如果以引入辅助函数的个数来计算,证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分,我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述． 1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件:()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导;(３）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf罗尔中值定理的几何意义:如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么,在弧 ⋂AB 上至少有一点()(),Cf ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴,如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备,就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的,但非必要的.2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件:()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导;则在()b a ,内至少存在一点ζ,使()()()ab a f b f f--=ζ'拉格朗日中值定理的几何意义:函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧⋂AB 上至少有一点C ,曲线在C 点的切线平行于弦AB ．如图2,从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等,即()()b f a f =,则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此,我们只须对函数()x f 作适当变形,便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理3．1 教材证法证明作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=--显然,函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =.于是由罗尔中值定理知道,至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=ab a f b f f F ζζ.即()()()ab a f b f f --=ζ'. 3．２用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x ϕ 显然,函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ϕϕ，因此,由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ab a f b f f ζζϕ，即 ()()()ab a f b f f --=ζ'推广1 如图３过原点O 作OT ∥AB ,由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ϕ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：()()ab a f b f K K AB OT --==，OT 的直线方程为:()()x ab a f b f y --=，于是引入的辅助函数为：()()()()x ab a f b f x f x ---=ϕ．（证明略)推广2 如图４过点()O a ,作直线''B A ∥AB ，直线''B A 的方程为:()()()a x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线函''B A 数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有:()()()()()a x ab a f b f x f x ----=ϕ. （证明略）推广3 如图5过点作()O b ,直线''B A ∥AB ,直''B A 线的方程为()()()b x ab a f b f y ---=,由()x f 与直线A B ''函数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()b x ab a f b f x f x ----=ϕ. 事实上，可过y 轴上任已知点()m O ,作//B A ∥AB 得直线为()()m x ab a f b f y +--=，从而利用()x f 与直线的''B A 函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数()x ϕ都可以用来证明拉格朗日中值定理．因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个．３.３用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数()x f 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数()x f ,即可得与之对称的辅助函数如下：⑴ ()()()()()()x f a x a b a f b f a f x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=ϕ ⑵ ()()()()x f x ab a f b f x ---=ϕ⑶()()()()()x f a x a b a f b f x ----=ϕ ⑷ ()()()()()x f b x ab a f b f x ----=ϕ 等等．这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明显然,函数()x ϕ满足条件:()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导;()3()()()()ab a bf b af b a --==ϕϕ.由罗尔中值定理知,至少存在一点()b a ,∈ζ,使得()()()()0''=---=ζζϕf a b a f b f ，从而有()()()ab a f b f f --=ζ'，显然可用其它辅助函数作类似的证明．3.4 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy 逆时针旋转适当的角度α,得新直角坐标系XOY ,若OX 平行于弦AB ，则在新的坐标系下()x f 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.证明作转轴变换ααsin cos Y X x -=,ααcos sin Y X y +=，为求出α,解出Y X ,得()()x X x f x y x X =+=+=ααααsin cos sin cos ① ()()x Y x f x y x Y =+-=+-=ααααcos sin cos sin ② 由()()b Y a Y =得()()ααααcos sin cos sin b f b a f a +-=+-，从而()()ab a f b f --=αtan ，取α满足上式即可.由()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导,知()x Y 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导,且()()b Y a Y =,因此,由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ,使得()()0cos sin '=+-=αζαζf Y ,即()()()ab a f b f f --==αζtan '3．5 用迭加法引入辅助函数法让()x f 迭加一个含待顶系数的一次函数m kx y +=,例如令()()()m kx x f x +-=ϕ或()()m kx x f x ++-=ϕ，通过使()()b a ϕϕ=，确定出m k ,,即可得到所需的辅助函数.例如由 ()()()m kx x f x +-=ϕ，令()()b a ϕϕ=得()()()()m kb b f m ka a f +-=+-，从而()()ab a f b f k --=，而m 可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数()()()m x ab a f b f x ---=ϕ，由m 的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数,这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.３．6 用行列式引入辅助函数法证明构造一个含()x f 且满足罗尔中值定理的函数()x ϕ，关键是满足()()b a ϕϕ=.我们从行列式的性质想到行列式()()()111xf x af a bf b 的值在,x a x b ==时恰恰均为0,因此可设易证()()()()111xf x x af a bf b ϕ=,展开得 ()()()()()()()x f b x bf a af x af b f a x bf x ϕ=++---.因为()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,所以()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0a b ϕϕ==，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ,使得()0'=ζϕ．因为()()()()()0''=---=ζζϕf b a b f a f即: ()()()ab a f b f f --=ζ'３．７数形相结合法引理在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()(),A a f a ，()(),B b f b ,()(),C c f c ，则ABC ∆面积为()()()1112ABCa f a Sb f b a cf c ∆=, 这一引理的证明在这里我们不做介绍,下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明．这种方法是将数形相结合,考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图，设()(),c f c 是直线AB 与()y f x =从A 点开始的第一个交点,则构造()()()()211141af a x c f c xf x ϕ=，易验证()x ϕ满足罗尔中值定理的条件:在闭区间[],a c 上连续，在开区间(),a c 内可导,而且()()b a ϕϕ=,则至少存在一点()b a ,∈ζ,使()/0ϕζ=,即:()()()()()()01111111'=ζζζf c f c a f a f c f ca f a但是()()()1101a f a cf c f ζζ≠，这是因为，如果 ()()()1101a f a c f c f ζζ=，则()()()()f f c f c f a c c aζζ--=--，这样使得()(),f ζζ成为直线AB 与()y f x =从A 点的第一个交点,与已知矛盾）．故()()()0111=ζζf c f ca f a，即()()()()()ac a f c f a b a f b f f --=--=ζ'. 若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造()()()()111af a x bf b xf x ϕ=来解决问题,从而使形式更简洁,而且启发我们做进一步的推广：可构造()()()()()()()111g a f a x g b f b g x f x ϕ=来证明柯西中值定理．3．８区间套定理证法证明将区间[],I a b =二等分，设分点为1ζ，作直线1x ζ=,它与曲线()y f x = 相交于1M ,过1M 作直线11L M ∥弦b a M M ．此时,有如下两种可能:⑴ 若直线11M L 与曲线()y f x =仅有一个交点1M ,则曲线必在直线11M L 的一侧.否则,直线11M L 不平行于直线a b M M . 由于曲线()y f x =在点1M 处有切线,根据曲线上一点切线的定义,直线11M L 就是曲线()y f x =在点1M 处的切线，从而()()()ab a f b f f --=1ζ．由作法知,1ζ在区间(),a b 内部,取ζζ=1 于是有 ()()()ab a f b f f --=ζ ⑵ 若直线11M L 与曲线()y f x =还有除1M 外的其他交点,设()111,N x y 为另外一个交点，这时选取以11,x ξ为端点的区间,记作[]111,I a b =,有1,112b al I b a -⊇-<, ()()()()1111f b f a f b f a b a b a--=--,把1I 作为新的“选用区间”，将1I 二等分,并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点ζ,要么又得到一个新“选用区间”2I ．如此下去,有且只有如下两种情形中的一种发生:(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中,遇到某一个分点k ζ，作直线k x ζ=它与曲线()y f x =交于k M ,过点k M 作直线k k L M ∥弦b MM , 它与曲线()y f x =只有一个交点k M ，此时取ζζ=k 即为所求.(b ）在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点,则得一闭区间序列{n I },满足：① 12I I I ⊇⊇⊇ []n n n b a I ,=② ()02n n n b ab a n --<→→∞ ③()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=-- 由①②知，{n I }构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点() 3,2,1=∈n I n ζ，此点ζ即为所求．事实上ζ==∞→∞→n n n n b a lim lim ，()fξ存在()()()ζf a b a f b f nn n n n =--∞→lim ，由③lim n →∞()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=--，所以()()()a b a f b f f --=ζ，从“选用区间”的取法可知，ζ确在(),a b 的内部. ３.9 旋转变换法证明引入坐标旋转变换A : cos sin x X Y αα=- ⑴ ααcos sin Y X y += ⑵ 因为 22cos sin cos sin 10sin cos αααααα-∆==+=≠所以A 有逆变换/A :()()cos sin cos sin X x y x f x X x αααα=+=+= ⑶()()sin cos sin cos Y x y x f x Y x αααα=-+=-+= ⑷ 由于()x f 满足条件: ()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导，因此⑷式中函数()Y x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导.为使()Y x 满足罗尔中值定理的第三个条件,只要适当选取旋转角α，使()()Y a Y b =，即()()sin cos sin cos a f a b f b αααα-+=-+，也即()()tan f b f a b aα-=-.这样,函数()Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点()b a <<ζζ，使()()0cos sin =+=αζαζf Y 即()αζtan =f . 由于所选取旋转角α满足()()a b a f b f --=αtan ,所以()()()ab a f b f f --=ζ．结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的,而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充. 通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏,里面包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三,不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人!总之,数学的发展并非是无可置疑的,也并非是反驳的复杂过程,全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献［1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）(第二版）[M ］.北京:高等教育出版社.19９１：1５3-16１[2] 吉林大学数学系．数学分析(上册)[M].北京:人民教育出版社.１9７9:194-196[3］同济大学应用数学系. 高等数学（第一册）[M]．北京:高等教育出版社(第五版）.２０04：143-１53[4］周性伟,刘立民. 数学分析[M].天津:南开大学出版社.1９86：1１3-1２4［５］林源渠，方企勤. 数学分析解题指南［M ］.北京:北京大学出版社.2003：5８－67[6］孙清华等. 数学分析内容、方法与技巧（上)［M].武汉:华中科技大学出版社．２003:98－1０６[7］洪毅．数学分析（上册)［M ］．广州:华南理工大学出版社.２00１：11１-113［8] 党宇飞. 促使思维教学进入数学课堂的几点作法[J].上海：数学通报．2０0１,1:15-１8[9] 王爱云．高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J].西安：数学通报.２００2,2:84-8８[10] 谢惠民等. 数学分析习题课讲义[Ｍ］.北京：高等教育出版社.2０03:1２6－135[11] 刘玉莲，杨奎元等. 数学分析讲义学习指导书（上册）［Ｍ］.北京：高等教出版社．1994:98-1１2[12］北京大学数学力学系. 高等代数. 北京:人民教育出版社. 197８:124－1３5[1３] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社．1993:10２－1１0[14] 郑琉信．数学方法论[M].南京：广西教育出版社.199６:112－１23［1５] 陈传璋等. 数学分析（上册）［M].北京：人民教育出版社.19８3:８7-９2[16] 李成章,黄玉民．数学分析（上)[Ｍ].北京:科学出版社.1995:77-86附录柯西中值定理若 ⑴ 函数()f x 与()g x 都在闭区间[]b a ,上连续;⑵ ()x f'与()x g '在开区间()b a ,内可导； ⑶ ()x f ' 与()x g '在()b a ,内不同时为零；⑷ ()()g a g b ≠，则在()b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()()a b a f b f g f --=ζζ''. 区间套定理若[]{},n n a b 是一个区间套,则存在唯一一点ζ，使得[],n n a b ζ∈，1,2,n = 或 n n a b ζ≤≤，1,2,n =。

拉格朗日辅助函数的构造方法

拉格朗日辅助函数的构造方法
拉格朗日中值定理需要引入一个辅助函数，该辅助函数可以通过以下三种方式之一进行构造:
1. 构造辅助函数 F(x) = f(x) - [f(b) - f(a)](b - a)ml，其中 ml 为任意常数。

这种构造方法通常用于构造拉格朗日中值定理的反函数。

2. 构造辅助函数 F(x) = f(x) - f(a) - [f(b) - f(a)](x - a) - k(x - b),其中 k 为任意常数。

这种构造方法通常用于构造拉格朗日中值定理的迭代公式。

3. 构造辅助函数 F(x) = xf(x)1 - [f(a) - f(b)](a - b)1，其中 1 为任意常数。

这种构造方法通常用于构造拉格朗日中值定理的奇函数。

在证明拉格朗日中值定理时，需要使用辅助函数的导数，通常使用拉格朗日中值定理的迭代公式或奇函数来构造辅助函数。

拉格朗日中值定理的证明及其应用

拉格朗日中值定理的证明及其应用【摘要】拉格朗日中值定理是微积分中重要定理之一，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算、区间套定理四个方面分析构造辅助函数的思路和方法，利用该辅助函数证明了拉格朗日中值定理，并以具体实例说明如何应用拉格朗日中值定理.【关键词】罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；辅助函数1 引言拉格朗日中值定理是微分学的重要定理之一，它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件，证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.罗尔定理中这个条件很特殊，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把这个条件取消，但仍保留另外两个条件，并且相应改变结论，即得微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算三种方法证明了拉格朗日中值定理，并从具体实例说明了如何应用拉格朗日中值定理.2 拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数（该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件）应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同，拉格朗日中值定理的证法有多种.首先我们给出罗尔中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下：罗尔中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导；（3）.则至少存在一点，使.拉格朗日中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导，则在内至少存在一点，使.2.1 利用坐标旋转构造辅助函数如果函数在闭区间上连续；在内可导.图2.1如图2.1所示，由坐标旋转图形的不变形可知，只要把坐标轴旋转到与直线重合，在新坐标下图形显然满足罗尔定理条件，通过罗尔定理即可得出结论.为此可引入旋转坐标变换[2].因为，所以有逆变换.记.取旋转角时，在上连续；在内可导，由，可得，即，因此，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点使，亦即，.2.2 利用分析表达式构造辅助函数由拉格朗日中值定理结论可知，欲证，即要证，换言之即证在区间内有零点.据此利用罗尔定理可得拉格朗日中值定理.证明令，则在区间连续，在内可导，且，即.故由罗尔定理知，至少存在一点，使.即.注意这辅助函数所表示的曲线是曲线和直线之差，而这直线通过原点且与曲线在上两端点的连线平行，从而使得满足罗尔中值定理的条件.2.3 利用向量运算构造辅助函数引理 2.1[3]在平面直角坐标系中，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC面积为.于是可以引用引理证明拉格朗日中值定理如下：若在内连续，在内可导，则在内连续，在内可导，且，所以由罗尔中值定理知：在内至少存在一点使得，而.故.通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结，发现证明方法的确多种多样.一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角度加以分析总结，分析法构造辅助函数主要有原函数构造法；几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异曲同工之妙，同时也可以认为是上面某些分析方法的几何解释.另外我们还总结了一些特殊方法，它们不需要构造辅助函数，仍可以得证，如区间套定理证明法.通过分类总结，有助于开阔我们的思路，对微分中值定理的认识也会更加深入.3 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础.它作为中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用.下面通过举例说明拉格朗日中值定理在四个方面的应用.3.1 证明不等式证明不等式的方法很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定解得出来.拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的应用，往往能够化难为易.在应用中关键是取适当函数，利用中值公式将所要证明的不等式与导函数联系起来，在根据的某些性质证出所要求的不等式.比如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等题型.例 3.1 证明对一切都成立.证明设，取闭区间.因为在上满足拉格朗日中值定理条件.所以，至少存在一点，使得.即. （3.1）因为，即，又.所以，（3.2）又因为，所以由（3.1）﹑（3.2）知，即.3.2 函数单调性的判定由拉格朗日中值定理得到下面的结论：设函数上连续，在内可导，则（1）如果，则上单调递增.（2）如果，则上单调递减.下面我们具体的看一下它的应用.例 3.2 证明在上单调增加.证明若令，则只需证明单调增加.，对函数应用拉格朗日中值定理得到，得到.因此，由上面结论推出单调增加，从而在上单调增加.3.3 证明方程根的存在性在拉格朗日中值定理的条件下，若加上条件，则可知在开区间内至少存在一点，使得这是拉格朗日中值定理的特殊情形，称为罗尔中值定理，可用于证明方程的根的存在性.证明方程根的存在性时所给根的范围就是区间，把所给方程设为函数，就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.例 3.5 证明若方程有正根，则方程必有一个小于的正根.证明设= ，.易证在上满足拉格朗日中值定理条件，并且.所以，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，即方程，有一个小于的正根.由上面的例题，我们见到了中值定理在求解初等数学题中的优越性.因此，将微积分的方法应用于初等数学中，将它作为教学的辅助手段是可取的.3.4 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是拉格朗日中值定理应用中很重要的一项，在证明等时中起到了化繁为简的作用，为以后的等式证明提供了方面.例 3.7 设在上连续，在内可导，且，试证，，使得.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，由条件，可得，再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，综合上述两式可得，即.用初等数学的方法解数学题，有时需要很高的技巧，并且很繁琐，往往此时利用微积分方法会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.结束语著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有着及其重要的意义.该定理叙述简单明了，并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度.熟练掌握定理本质，在解题时会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.参考文献：[1]刘士强.数学分析（上）[M].南宁：广西民族出版社，2000.[2]刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明[J].天津商学院学报，2002，22（3）：35-36.[3]张娅莉，汪斌.拉格朗日中值定理的证明和应用[J].信阳农业高等专科学校学报，2005，15（4）：88-90.。

数学证明中的构造辅助函数方法

数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。

遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。

文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。

这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。

拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。

具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。

在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。

拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。

拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。

在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。

1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。

在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。

拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。

通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。

这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。

拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。

通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。

今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。

首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。

因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。

至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。

一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。

说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。

还不懂？没事，举两个例子。

例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。

解析：这是非常常见的一道题。

估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。

其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。

首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。

拉格朗日中值定理与应用

拉格朗日中值定理与应用拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。

这个定理在数学领域有着广泛的应用，特别是在求解函数的极值、证明函数的性质以及优化问题等方面起到了重要的作用。

拉格朗日中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

换句话说，函数在开区间内的某一点的导数等于函数在闭区间上的平均变化率。

这个定理的证明思路相对简单，我们可以通过引入一个辅助函数g(x) = f(x) -(f(b) - f(a))/(b - a) * (x - a)，来进行证明。

首先，我们可以发现g(a) = g(b)，因为f(a) = f(b)。

其次，由于g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得g'(c) = 0。

进一步计算g'(c)，可以得到g'(c)= f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0，即f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

因此，拉格朗日中值定理得证。

拉格朗日中值定理的应用非常广泛。

首先，它可以用来证明函数的性质。

例如，如果一个函数在某个区间上导数恒为零，那么根据拉格朗日中值定理，这个函数在该区间上必然是一个常数函数。

其次，它可以用来求解函数的极值。

根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某个开区间上导数存在且不变号，那么函数在该开区间上的极值点必然存在。

通过求解导数等于零的方程，我们可以找到这些极值点。

此外，拉格朗日中值定理还可以用来证明其他重要的数学定理，例如泰勒定理等。

除了理论上的应用，拉格朗日中值定理在实际问题中也有着广泛的应用。

例如，在经济学中，我们经常需要求解某个函数在某个区间上的平均增长率，这时就可以利用拉格朗日中值定理来求解。

拉格朗日中值定理证明导数

拉格朗日中值定理证明导数1. 引言拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，用于研究函数在某区间上的平均变化率与其导数之间的关系。

本文将详细介绍拉格朗日中值定理的推导过程，并证明了导数存在的条件。

2. 拉格朗日中值定理的表述首先，我们来看一下拉格朗日中值定理的表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

那么存在ξ∈(a,b)，使得：f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a其中，ξ为(a,b)内的某个数。

从定理的表述中，我们可以看出拉格朗日中值定理是关于函数导数和函数值之间的关系的定理。

3. 证明过程为了证明拉格朗日中值定理，我们将分步进行证明。

步骤 1：构造辅助函数首先，我们构造辅助函数：F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)辅助函数F(x)与原函数f(x)的作用是相辅相成的。

步骤 2：使用罗尔定理由于辅助函数F(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，我们可以应用罗尔定理来证明存在一个ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0。

根据罗尔定理，F(x)在闭区间[a,b]上可导，且F(a)=F(b)，则存在一个ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0。

步骤 3：推导辅助函数的导数根据辅助函数F(x)的定义：F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)对其求导，得到：F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a步骤 4：辅助函数的导数为零根据步骤 2 和步骤 3 的结果，我们得到：F′(ξ)=0代入辅助函数的导数表达式，得到：f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0经过整理，可以得到：f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a这就是拉格朗日中值定理的结论。

4. 导数存在的条件根据拉格朗日中值定理的证明过程，我们可以得出导数存在的条件：•函数f(x)在闭区间[a,b]上连续•函数f(x)在开区间(a,b)上可导只有满足这两个条件，才能使用拉格朗日中值定理求得导数的值。

罗尔定理与拉格朗日中值定理解读

罗尔定理与拉格朗日中值定理解读罗尔定理和拉格朗日中值定理是微积分中重要的基本定理，它们在求解函数的性质和应用中起着重要的作用。

本文将对这两个定理进行解读，并探讨其应用。

一、罗尔定理的解读罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理的特例。

罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且满足f(a)=f(b)，则存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)=0。

罗尔定理的证明思路是通过利用连续函数在闭区间上取得最大值和最小值的性质，结合导数的定义，找到一个点c使得f'(c)=0。

这个定理的意义在于，当一个函数在两个端点的函数值相等时，必然存在一个点使得其导数为零。

罗尔定理的应用非常广泛，例如在求解方程的根、证明函数的性质等问题中都可以使用罗尔定理。

通过罗尔定理，我们可以将一个复杂的问题转化为求解导数为零的方程，简化了问题的求解过程。

二、拉格朗日中值定理的解读拉格朗日中值定理是微积分中的另一个重要定理，它是基于罗尔定理而推广得到的。

拉格朗日中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。

拉格朗日中值定理的证明思路是通过构造辅助函数g(x)=f(x)-kx，其中k为常数，使得g(a)=g(b)，然后利用罗尔定理找到一个点c使得g'(c)=0。

由于g'(c)=f'(c)-k，因此可以得到f'(c)=k，进而得到f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。

拉格朗日中值定理的应用也非常广泛，例如在求解函数的极值、证明函数的性质等问题中都可以使用拉格朗日中值定理。

通过拉格朗日中值定理，我们可以将一个函数在一个闭区间上的平均变化率与其导数联系起来，从而研究函数的变化趋势。

辅助函数在数学分析中的应用

摘要：本文主要研究辅助函数在数学分析中的一些应用，如辅助函数在数学分析中的基本定理、极限、恒等式、不等式以及微分中值定理的证明等方面的具体应用等.关键词：数学分析，辅助函数，极限，不等式，微分中值定理，应用.Abstract: This article mainly studies the applications of the auxiliary function in mathematical analysis such as the proof of fundamental theorems, limit, equalities, inequalities and differential mean value theorems.Keywords: mathematical analysis, auxiliary function, limit, inequality, differential mean value theorem, applications.目录1引言 (4)2辅助函数在数学分析中的一些应用 (4)2.1辅助函数在几个定理证明中的应用 (4)2.2辅助函数在极限运算中的应用 (5)2.3辅助函数在恒等式证明中的应用 (6)2.4辅助函数在不等式证明中的应用 (7)2.5辅助函数在根的存在性问题中的应用 (9)2.6辅助函数在微分中值定理中的应用 (10)3辅助函数在数学分析中的应用的意义 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言在数学分析中,辅助函数有着广泛的应用.辅助函数在数学分析中的应用,使问题的解决简单化,方便了分析与处理问题.而辅助函数也是数学分析中解决问题的一种重要方法.通过构作辅助函数,反映了事物内部数量特征和制约关系,揭示了其内在的关系.在处理和解决问题时常用此法,并在现代数学理论中发挥着重要作用.2 辅助函数在数学分析中的一些应用辅助函数是数学分析中解决问题的一种重要方法,在证明和计算当中,有些问题直接去做往往很困难,而构造适当的辅助函数去进行证明和计算往往就可以化难为易,使问题迎刃而解. 下面就从辅助函数在数学分析中各类方面的应用进行具体说明.2.1 辅助函数在几个定理证明中的应用例 1 罗尔定理[]1 若函数)(x f 满足以下条件:1)在闭区间[]b a ,连续; 2)再开区间()b a ,可导; 3）()()b f a f =.则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ使得0)(='ξf . 拉格朗日中值定理[]1 若函数)(x f 满足以下条件： 1)在闭区间[]b a ,连续; 2)在开区间()b a ,可导; 则在开区间内至少存在一点c,使 ab a f b fc f --=')()()(.分析：不难看到,当)()(b f a f =时,拉格朗日中值定理就成为了罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况.为了应用特殊的罗尔定理证明一般的拉格朗日中值定理,需要作一个辅助函数)(x ϕ,使它满足罗尔定理的条件.由平面解析几何知,通过())(,a a f A 与())(,b f b B 的割线方程是:)()()()(a x ab a f b f a f y ---+=.设辅助函数)(x ϕ是函数)(x f 与割线AB 的方程之差,即)()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ.证明作辅助函数)()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ.已知函数)(x ϕ在[]b a ,连续,在()b a ,可导,又有0)()(==b a ϕϕ,根据罗尔定理,在()b a ,内至少存在一点c,使得0)(='c ϕ.而 ab a f b f x f x ---'=')()()()(ϕ,于是 0)()()()(=---'='ab a f b fc f c ϕ,即 ab a f b fc f --=')()()(.因为不论b a >或者b a <,比值ab a f b f --)()(不变,所以a b a f b fc f --=')()()(恒成立.利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理是构造辅助函数证明定理的一个典型.它充分体现了辅助函数的作用.在此例中，辅助函数形成了一座桥梁，沟通了罗尔定理与拉格朗日中值定理.例 2 定积分基本公式[]1的证明.设在[]b a ,上连续,若F 是f 在[]b a ,上得一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰.证明因为⎰xadt t f )(是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数,而f 在任意原函数只能相差一个常数,所以 ⎰+=xaC dt t f x F )()(.若在此式中令a x =,则⎰=aadx x f 0)(,从而得到)(a F C =,移项后为 ⎰=-xadt t f a F x F )()()(.再令b x =,得到⎰=-b adx x f a F b F )()()(,即 )()()(a F b F dx x f ba-=⎰.从以上的证明中我们可以看出定积分的基本公式——牛顿-莱布尼兹公式的证明中用到了辅助函数即积分上限函数dt t f x xa ⎰=)()(ϕ ),(b a x ∈.2.2 辅助函数在极限运算中的应用例 3 求 n n n ∞→lim .解作辅助函数 x x x f 1)(= , 则 xInx e x f =)(,所以 1lim )(lim 01limlim=====+∞→+∞→+∞→+∞→e eeex f x x Inx xInx x x x x ,故1)(lim lim ==∞→∞→n f n n n n . 例 4 求 n n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→12111lim . 分析：此例求数列的极限,如果直接用数列极限的有关方法来求比较麻烦,但是如果利用辅助函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题.解因为 n 1ni 11n n 12n 11n 1n1i ⋅+=+++++∑= . 又因为xx f +=11)(在[]1,0上连续,从而可积,于是有： 101111111lim lim 21211n n n i n dx In i n n n n n x n→∞→∞=⎛⎫+++=⋅== ⎪++++⎝⎭+∑⎰. 在求极限值的运算中,合理构造辅助函数,并与其他的相关知识结合,将求极限值的问题转化为一些简单的基本知识,方可轻易解决.2.3 辅助函数在恒等式证明中的应用例 5 设函数)(x f 在[]b a ,可导,证明存在),(b a ∈ξ,使 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-.分析：观察结论 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-, 变形得 []0)()(2)()(22=--'-a f b f f a b ξξ.不难想到，它是[]222)()()()()(x a f b f x f a b x F ---=的导数,结合罗尔定理推得的结论.于是令 []222)()()()()(x a f b f x f a b x F ---=,可计算)()()()(22b f a a f b b F a F -==，并且)(x F 在[]b a ,连续,在()b a ,可导,满足罗尔定理的条件，此问题即可解决.证明令[]222)()()()()(x a f b f x f a b x F ---=.因为)(x F 在[]b a ,连续,在()b a ,可导,且)()()()(22b f a a f b b F a F -==, 所以由罗尔定理得,存在),(b a ∈ξ,使得[]02)()()()()(22=⋅--'-='ξξξa f b f f a b F ,即 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-.例 6 设)(x f 与)(x g 在[]b a ,连续,在()b a ,可导,且0)(≠'x g ,试说明至少存在一点ξ,使得)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 证明把结论变形为)()()()()()()()(a f g f g g f b g f ξξξξξξ'-'='-', 移项得 )()()()()()()()(a f g b g f g f g f ξξξξξξ'+'='+',上式正是 [][]ξξ=='+='x x a g x g b g x f x g x f )()()()()()(, 从而令 )()()()()()()(a f x g b g x f x g x f x F --=.因为)(x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件,所以存在),(b a ∈ξ,使得 0)()()()()()()()()(='-'-'+'='ξξξξξξξg a f b g f g f g f F , 即)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 根据恒等式的形式,合理的构造辅助函数,使将要解决的问题转移到另一类问题,再进行一系列简单的推理,原问题就会迎刃而解.2.4 辅助函数在不等式证明中的应用例 7 设函数)(x f 在[]1,0上连续且单调减少,证明：对于任意()1,0∈a ,均有 ⎰⎰>1)()(dx x f a dx x f a.分析：仔细观察所要证明的不等式,发现不等号主要是由于定积分的上限变化所致,故可以利用变上限积分构造辅助函数,再利用导数确定该辅助函数的单调性的方法加以证明.证明令 ⎰=tdx x f t t F 0)(1)( ()10≤≤t , 则 tf t f t t f t t f tdxx f t t f t F t)()()()()()()(220ξξ-=⋅-⋅=-⋅='⎰ ()t <<ξ0. 因为)(x f 在[]1,0上单调减少,所以当t <<ξ0时,)()(ξf t f <；当10≤<t 时,0)(<'t F ,故)(t F 在[]1,0上单调减少,于是对于任意的)1,0(∈a ,有)1()(F a F >,即⎰⎰>adx x f dx x f a 010)()(1,亦即⎰⎰>100)()(dx x f a dx x f a .例 8 设)x (f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导，且1)x (f 0≤'<,0)0(f =,试证:()21130()()f x dx f x dx ≥⎰⎰分析：此例的结论极为复杂,常规思路已经走投无路了.此时,活用辅助函数将是问题的突破口.观察结论的左侧,存在平方,利用变积分上限函数,令)()(2)(20x f dt t f x F x-=⎰,对其求导后,推得结论1)()(22≥⎰x f dtt f x.再观察结论的右侧,存在三次方,不易直接使用辅助函数,但是再联系柯西中值定理可推得 )()(2)()(20103210x f dt t f dxx f dx x f x ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡.结论即可得. 证明因为(0)0f =,()0f x '>,所以()0f x >. 作辅助函数 20()2()()xF x f t dt f x =-⎰.则 []()2()2()()2()1()0F x f x f x f x f x f x '''=-=-≥. 又0)0(=F ,故()0F x ≥，即22()1()xf t dtf x ≥⎰.令 20()()t xg x f t d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰,30h()()0x x f t dt =>⎰.由柯西中值定理知:322()()2()g(1)(0)()1(1)(0)()()()f f t dtf t dtg g h h h f f ξξξξξξξ'-===≥'-⎰⎰,）（1,0∈ξ,而 210(1)()g f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰,0)0(g =,且130(1)()h f x dx =⎰,(0)0h =. 因此, 211300()()f x dx f x dx ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰.例 9 已知函数)(x f 在[]b a ,连续,在),(b a 内可导,且M x f ≤')(,0)(=a f ,求证： M dx x f a b ba≤-⎰)()(22.分析：把M dx x f a b ba≤-⎰)()(22变形为⎰>-b a dx x f a b M )()(212,所以要证明M dx x f a b ba≤-⎰)()(22,只要构造辅助函数⎰±-=t a dx x f a t M t F )()(21)(2,[]b a t ,∈,再利用)(x F 在[]b a ,的单调性即得本体证明.证明作辅助函数 ⎰±-=t a dx x f a t M t F )()(21)(2,[]b a t ,∈.得到任意[]b a t ,∈都有 [])()()()()()(a f t f a t M t f a t M t F -±-=±-=',即有 0))(()()(≥-'±-='a t f a t M t F ξ []()b a ,∈ξ, 即 )(t F 在[]b a ,时增函数,从而0)()(=≥a F b F ,即M dx x f a b ba≤-⎰)()(22.在数学分析的不等式中,观察结论与已知知识的联系,利用辅助函数将两者联系到一起解决问题,这在解决一些较麻烦的不等式问题中有重要应用.2.5 辅助函数在根的存在性问题中的应用解方程0)(=x f ,实质上就是求函数)(x f 的零点,关于零点的问题一般是利用连续函数的性质及微分中值定理来解决.例 10 已知()f x 在[]1,0上非负连续,且(0)(1)0f f ==,求证对任意的实数()01a a <<,必存在[]00,1x ∈,使得[]00,1x a +∈,且00()()f x f x a =+.证明做辅助函数 ()()()F x f x f x a =-+,则有 (0)()0F f a =-≤，(1)(1)0F a f a -=-≥.而)x (F 在[]0,1a -连续,由连续函数介值定理有[]00,1x a ∃∈-，使得0()0F x =，即 00()()f x f x a =+. 例 11 证明方程03162715=-+-+-x x x 在)2,1(与)3,2(内各有一个实根. 证明令)2)(1(16)3)(1(7)3)(2(5)(--+--+--=x x x x x x x F . 则)(x F 在[]2,1内至少有一个实根,在()3,2内也至少存在一个实根,故方程03162715=-+-+-x x x 在()2,1与()3,2内各有一个实根. 例 12 已知01210=++++n C CC n ()n i C ,,1,0 =为常数,证明方程010=+++n n x C x C C 在()1,0内至少有一个实根.分析：若是将已知1210++++n C C C n 变为121012+++++n n x n C x Cx C ，当1=x 时,即为已知.故，令 121012)(++++=n n x n C x C x C x f ，又可知0)1()0(==f f ,且)(x f 在()1,0连续，在()1,0可导. 再结合连续函数的性质，即可证明.证明令12101121)(+++++=n n x C n x C x C x f ,则n n x C x C C x f +++=' 10)(.因为)(x f 在()1,0上连续,在()1,0内可导,且0)0(=f ,012)1(10=++++=n C CC f n ,根据罗尔定理,0)(='x f 在[]1,0内至少有一个实根,即方程010=+++n n x C x C C 在)1,0(内至少有一个实根.根的存在性问题,常常和连续函数的性质、微分中值定理有关,如果能够构造合理的辅助函数,将根的存在性问题转化,变为有关于连续函数的性质和微分中值定理的问题,原问题将得到简化.2.6 辅助函数在微分中值定理中的应用例 13 设函数)(x f 在闭区间[]1,0上连续,在开区间()1,0内有二阶导数,证明存在)1,0(∈a ,使得 )(41)0()21(2)1(ξf f f f ''=+-.分析：将)(41)0()21(2)1(ξf f f f ''=+-的ξ换成变量x ,并变形的二阶常微分方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-='')0()21(2)1(4)(f f f x f .记 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)0()21(2)1(4f f f k ,得二阶常微分方程： k x f ='')(,其通解为： 21221)(c x c kx x f ++=. 作辅助函数 21221)()(c x c kx x f x F ---=.为了使得)(x F 满足罗尔定理条件,令0)1()21()0(===F F F ,即可得)0(21)1(1f k f c --=,)0(2f c =.于是 )0()0(21)1(21)()(2f x f k f kx x f x F -⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=.证明记⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)0()21(2)1(4f f f k .作辅助函数)0()0(21)1(21)()(2f x f k f kx x f x F -⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=,则)(x F 在闭区间[]1,0上连续,在开区间)1,0(内可导,且0)1()21()0(===F F F ,由罗尔定理可知,存在)21,0(1∈ξ,)1,21(2∈ξ,使得0)()(21='='ξξF F ,再由罗尔定理,存在)1,0(),(21⊂∈ξξξ,使得0)(=''ξF ,即k f ='')(ξ.即 )(41)0()21(2)1(ξf f f f ''=+-. 例 14 设函数)(x f 在[]1,0可微,且⎰=-2100)(2)1(dx x xf f ,试证明在()1,0内至少存在一点ξ使得 ξξξ)()(f f -='.证明因为 0)()(=+'ξξξf f .令 )()(x xf x F =.因为 ⎰==210)(2)1()1(dx x xf f F ,而由积分中值定理,存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,00ξ,使得)()()021)((2)(200002100ξξξξξF f f dx x xf ==-⋅=⎰. 所以)1()(0F F =ξ,在[]1,0ξ上对)(x F 应用罗尔定理,可知存在()()1,01,0⊂∈ξξ,使得0)()()(=+'='ξξξξf f F ,即 ξξξ)()(f f -='. 例 15 设函数)(x f 在闭区间[]2,0上连续,在区间()2,0内有二阶导数,试证明：)2,0(∈∀c ,存在)2,0(∈ζ,使得()()()()())2(0)(022)2(020)0()(21--+--+--=''c c c f c f c f f ζ. 证明将上式的ζ换成变量x ,并变形得二阶常微分方程： )2()(22)2()0()(c c c f c f c f x f -+-+=''. 记 )2()(22)2()0(c c c f c f c f k -+-+=得二阶常微分方程：k x f =)(,其通解为： 21221)(c x c kx x f ++=. 作辅助函数 )0()0(21)2(2121)()(2f x f k f kx x f x F -⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=. 则)(x F 在闭区间[]1,0上连续,在开区间()1,0内可导,且0)2()()0(===F c F F由罗尔定理可知,存在),0(1c ∈ζ,)2,(2c ∈ζ,使得0)(=''ζF ,即k f ='')(ζ,即 )2)(0()()02)(2()2()20()0()(21--+--+-=''c c c f c f f f ζ. 众所周知,微分中值定理作为数学分析的基础之一,其重要性不言而喻.所以活用中值定理就是解决问题的关键所在.而在中值定理的应用中,通过构造合适的辅助函数,再结合微分中值定理的理论,进行一系列推理,问题将会迎刃而解.3 辅助函数在数学分析中的应用的意义辅助函数作为一种工具,是搭建命题条件与结论的桥梁.辅助函数以一种“中间量”的身份出现在形形色色的数学问题中.作为一种介质,辅助函数可以将结论与条件紧紧的联系在一起,是一个关键的连接点.有了辅助函数,我们在解决问题时尤为方便.而在数学分析的相关问题中,辅助函数的特点更是格外突出.因为它在进一步的加强了结论与条件之间的关系的同时,又给予了人们更多的探索途径以及新的数学猜想.因此,辅助函数是推动数学分析发展的一种重要方法.结论简单地研究辅助函数在数学分析中的应用之后,可以知道,构筑辅助函数的方法已渐渐被人们所熟知与运用.有时候,它就像一盏引航灯,指引问题的突破口,直至到达目的;它也是一种桥梁,建立已知与结论的道路.可以看出,辅助函数的方法在数学分析当中的应用极为宽泛与灵活.活用辅助函数,将是辅助函数在数学分析中应用的焦点.人们已经在数学分析各方面中了解与使用了辅助函数,各方面的应用使我们了解到,利用辅助函数,将问题简单化,灵活化,在处理问题时,常常事半功倍.在数学分析中,其实还有许多关于辅助函数的应用,由于作者能力有限,只是进行了简单地研究与探讨.参考文献[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义(上册)[M]).北京:高等教育出版社,2008.[2]欧阳光中,姚允龙,周渊.数学分析[M].上海:复旦大学出版社,2003.[3]李山.微分中值定理及辅助函数[J].宿州教育学院学报,2001,(2):99-101.[4]王艳萍,佘学军.应用罗尔定理时的一种辅助函数构造法[J].南阳师范学院报,2003:1-2.[5]陈少元.妙用辅助函数实例[J].孝感教院学报,1998:1-3.[6]黄淑林.浅谈构造法在微积分中的应用[J].广西民族学院学报,2002,(3):180-182.。

利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法

，使
。分析所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a，，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1）又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2）得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积分法”构造辅助函数

微分中值定理辅助函数类型的构造技巧

辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。

因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。

为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。

(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数)()(x f e x F kx -=.例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ，而[])()()()()(ζζζζζkf f e e x kf e x f F k x kxkx -'=-'='-=--，则['()()]0k e f kf ζζζ--=，即'()()f kf ζζ=.(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数()()F x f x =，()n G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件所以(,)a b ζ∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ζζ-=-，即222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈使得1()'()()()a b f f f a f b a b ζζζ=--,证明:因为2)()()(x x f x f x x x f -'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈，使得)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--即221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-.分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-得证.(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =.例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得()()'()lnbf b f a f aζζ-= 证明:由我们熟悉的xx 1)(ln ='，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(b a ∈∃ζ，使得()()'()1ln ln f b f a f b aζζ-=-，即()()'()lnbf b f a f aζζ-=，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈∃ζ使得)()(ζζζf f '=.证明:设)()(1x f x x -=ϕ，显然ϕ在[]b a ,上连续，而2)()()(xx f x f x x -'='ϕ在在),(b a 内存在，且)()()(11b f b a f a a --==ϕ，故ϕ在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件，于是必),(b a ∈∃ζ使得0)()(2=-'='ζζζζζϕf f ）（，所以0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.证毕.（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：),(b a ∈∃ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='，因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，所以由罗尔中值定理知：必),(b a ∈∃ζ使0)(=''ζF ，而[]0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，即0)()()(2=''+'ζζζf f f .证毕.(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)()()(x f x f x F '='，再次求导后得到.)()()()()(2x f x f x f x f x F '-''='' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，)()()()(b f a f a f b f '⋅='⋅，试证：必),(b a ∈∃ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f证明：设)(ln )(x f x F =，得)()()(x f x f x F '='，显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则)()()()()()(b F b f b f a f a f a F '='='='，故满足罗尔中值定理条件，因此必),(b a ∈∃ζ使得0)(=''ζF ，而0)()()()()(22='-''=''=ζζx x f x f x f x f F ，即.0)()()(2='-''ζζζf f f证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0=+⎰ζζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0⎰=xx dt t f ex ϕ例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且⎰=a dx x f 0.0)(证明：),0(a ∈∃ζ使得0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证明：作辅助函数⎰=xxdt t f e x 0)()(ϕ，显然)(x ϕ在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且)0(0)()(0ϕϕ===⎰aa dt t f e a ，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a ∈∃ζ使得0)(='ζϕ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+='⎰⎰)()()()()(00x f dt t f e x f e dt t f e x xx x x x ϕ，由于0≠ζe ，故0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证毕.(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ.例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈∃ζ，使得).()(ζζf f =''证明：因为0)()(>'⋅'b f a f ，所以)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，即0)(lim _)()(lim >-=-++→→ax x f a x a f x f a x ax ，所以),,(,01δδ+∈∃>∃a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----→→bx x f b x b f x f b x bx ，所以),(,02b b x δδ-∈∃>∃，使得.0)(2<x f 又因为f 在[]b a ,上可导，故f 在[]b a ,上连续，即f 在),(21x x 上连续, 而0)(,0)(21<>x f x f ，所以由介值定理（或零点定理），),(21x x ∈∃η使得.0)(=ηf再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为)()()(ηf b f a f ==，所以0)()()(===b g g a g η，故),(1ηηa ∈∃，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈∃，使得.0)(2='ηg因为[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，由0)()(21='='ηηg g ，可得.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f令[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ，所以有[]0)()()(1111='+=-ηηηϕηf f e ，[],0)()()(2222='+=-ηηηϕηf f e即0)()(21==ηϕηϕ，又因为)(x ϕ在[]21,ηη上连续可导，所以),()(2,1b a ⊂∈∃ηηζ，使得0)(='ζϕ，即[]0)()()(=-''='=-ζζϕx x x f x f e ，而0≠-ζe ，故0)()(=-''ζζf f .证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .题型一：设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证0)()(=-'k f f ξξ，即0)()(=-'=ξx k x f x f .而要0)()(=-'=ξx k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，k x f x f x F -'=')()()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξG ，而[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x ϕ为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ϕ，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλϕζϕ.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ϕλ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，又因为[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ϕλϕϕϕλλλλ'+='+='在()c c ,-内存在，且0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ϕϕ），所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλϕζϕ.证毕.证法二:若设dt t x x G xc⎰-+=)()()(ϕλϕ，则)(x G 在[]c c ,-上连续，且)()()(x x x G λϕϕ+'='在()c c ,-内存在，又因为0)()()(=+=⎰-dt t c c G ccϕλϕ，0)()()()()(=-=-=+-=-⎰--c c dt t c c G ccϕϕϕλϕ，所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)()()(=+'='ζλϕζϕζG .证毕.题型二:证明),(b a ∈∃ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有0)()()(='+'=ζx x g x f x f ，而)()()(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2()()x F x e f x -=.证明:取辅助函数2()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理，故必),(k k -∈∃η使得)(ηF '0=，由于[])(2)()(2x xf x f e x F x -'='-，将η=x 带入上式，并去掉非零因子2η-e ，即得证原式成立.附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.题型三：证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数()()k F x x f x =例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1(1)2f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=，由于12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，将x ζ=带入上式，即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.证毕.附注:由题型三可以演变出一系列的题型.如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理，则必存在(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，因为(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈⊂使得'()0F ζ=，由于2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，证毕.题型四:证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=证明:由()()0>'⋅'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >，由导数的几何意义，在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ，在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=<b f B f ，且令21B B <，则由应用零点定理可知存在()21B B B ，∈，使得 ()0=B f ，取2()()x F x e f x =，则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈∃η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈∃η，使得()02='ηF . 因此11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+，则()G x 在(,)a b 内可导，由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈⊂，使得'()0G ζ=，由于()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+⎡⎤⎣⎦，故有''()4()f f ζζ=，证毕.提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即)(')()(ξf ab a f b f =--成立.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：存在ζ使得1(,)()'()n a b f f ηηηζζζζ-⎡⎤∈∍=+⎢⎥⎣⎦. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在),(b a ∈ξ使得⇒--='ab a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n nb f b a f a n f f b a ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==，所以1()'()n nn nb a n f f b aζζζζ--+=- （1）取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，则()()(,)'()n ng b g a b a a b g b a b aηη--∈∍==-- （2）比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+，即1()'()n f f ηζζζζη-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，证毕.。

拉格朗日中值定理的两种证明

拉格朗日中值定理的两种证明罗萍(重庆师范大学～重庆400047)摘要:给出两种辅助函数的构造方法～运用罗尔定理～证明拉格朗日中值定理。

关键词:罗尔定理,拉格朗日中值定理,辅助函数拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。

理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。

一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。

怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。

罗尔定理:函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点?，使f(?)==o (如图1)。

拉格朗日定理:若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ?，(如图2).使比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。

我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:1.首先分析要证明的等式:我们令 (1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点?，使f(? t就可以了。

由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2)分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。

从而，可设辅助函数x)=f(x)-tx。

该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b) 。

根据罗尔定理，F(则在(a，b)内至少存在一点?，使F。

(?)=O。

也就是f(?)-t=O，也即f(? )=t，代人(1 )得结论2.考虑函数我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0.作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。

根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点?，使F’ 从而有结论成立.参考文献[]毕永青(拉格朗日中值定理的简单证明与应用[J]，河南教育学院学报，2002(3):13—14([2]杜明芳(拉格朗日中值定理证明方法的思考[J]上北京印刷学院学报，2002(2):56-57([3]同济大学数学教研室主编，高等数学(第三版)作者介绍:罗萍(1973,)，女，重庆铜梁人，重庆师范大学数计学院副教授，主要从事高等数学和金融系统分析方面的研究。

拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。

拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。

在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。

拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。

发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。

著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。

最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。

这是拉格朗日定理最初的证明。

下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。

如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。

例1：函数，即′。

当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。

在，有′，。

由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

精选练习题，涵盖各种难度和题型
学会举一反三，掌握解题思路
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注重解题技巧和方法的掌握
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及时总结错题，避免重复犯错
总结与展望
解题方法：利用导数研究函数单调性、构造辅助函数等
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用：证明不等式、求参数范围等
解题技巧：灵活运用定理，结合其他数学知识
如何掌握和运用拉格朗日中值定理解题
公式：若函数f(x)在 [a,b]上连续，且对所有x∈[a,b]，满足f'(c) = f(b)-f(a)/b-a，则称c 为f(x)在[a,b]上的拉格朗日中值。
常见形式：在高考数学中，拉格朗日中值定理常常以如下形式出现：证明函数在某个区间内单调，或者证明函数在某个区间内的值域。
解题思路：通过构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理证明不等式
解题步骤：根据不等式的特点，选择适当的辅助函数，利用拉格朗日中值定理推导不等式
结论：利用拉格朗日中值定理证明不等式是一种有效的解题方法，能够简化证明过程
原理：利用拉格朗日中值定理，通过构造辅助函数，将函数的最值问题转化为求解方程的问题。
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用
汇报人：XX
目录
拉格朗日中值定理的概述
拉格朗日中值定理在高考题中的常见形式
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用举例
如何掌握和运用拉格朗日中值定理解题
总结与展望
拉格朗日中值定理的概述
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拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
适用范围：适用于函数在闭区间上连续、开区间上可导的情况，且函数的最值存在。

中值定理命题证明中的辅助函数构造

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图３是运行是系统生成的排课数据所见即所得的界面，界面上部可以按照班级、教师和教室选择的控件，下部是具体数据信息浏览效果．
３结论
图３输出运行结果
ｘＭＬ以其合理的数据组织结构和可扩展特性，结合目前的ｎｅｔ和Ｊａｖａ技术，使得开发的过程更加便捷．但由于ｘＭＬ推出时问较短，特别是大多数行业
证明在区间（口，ｃ）内存在一点ｆ，使
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证明拉格朗日定理构造辅助函数的五种方法

作者：陈凤启
作者机构：长丰一中
出版物刊名：中学数学教学
页码： 1-2页
主题词：辅助函数;拉格朗日定理;罗尔定理;微分中值定理;Rolle;初等方法;闭区间;菲赫金哥尔茨;几何意义;开区间
摘要：<正> 拉格朗日(Lagrange)微分中值定理的证明,关键在于构造一个辅助函数,使之满足罗尔(Rolle)定理三条件,然后通过罗尔定理使其获证。

然而,辅助函数如何构造,则常使学生困惑莫解。

本文介绍五种易为学生接受的构造辅助函数的初等方法,并指出不同辅助函数间的本质联系。