2020-2021学年人教A版高中数学必修3：2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关

课时分层作业(十四)变量间的相关关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是()A．①③B．②③C．②D．③C[①是负相关；②是正相关；③不是相关关系．]2．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到的回归直线方程为y^＝b^x＋a^，那么下面说法不正确的是()A．直线y^＝b^x＋a^必经过点(x，y)B．直线y^＝b^x＋a^至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点C．直线y^＝b^x＋a^的斜率为∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n x2D．直线y^＝b^x＋a^是最接近y与x之间真实关系的一条直线B[回归直线一定经过样本点的中心，故A正确；直线y^＝b^x＋a^可以不经过样本点中的任何一点，故B错误．由回归方程的系数可知C正确；在直角坐标系中，直线y^＝b^x＋a^与所有样本点的偏差的平方和最小，故D正确；] 3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④D[由正负相关的定义知①④一定不正确．]4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：则y对xA．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋12x D．y＝176C[x＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y＝175＋175＋176＋177＋1775＝176.根据回归直线过样本中心点(x、y)验证知C符合．]5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元B[x＝14(4＋2＋3＋5)＝3.5，y＝14(49＋26＋39＋54)＝42，所以a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1.所以回归方程为y^＝9.4x＋9.1.令x＝6，得y^＝65.5(万元)．]二、填空题6．若回归直线y^＝b^x＋a^的斜率估值为1.23，样本中心点为(4,5)，当x＝2时，估计y的值为________．2.54[因为回归直线y^＝b^x＋a^的斜率估值为1.23，所以b^＝1.23，y^＝1.23x＋a^.因为样本中心点为(4,5)，所以5＝1.23×4＋a^，a^＝0.08，y^＝1.23x＋0.08，代入x＝2，y＝1.23×2＋0.08＝2.54.]7．如图，有5组(x，y)数据，去掉________点对应的数据后，剩下的4组数据的线性相关程度最大．D[去掉D点对应的数据后，其余四点大致在一条直线附近，相关性最强．] 8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x 12345命中率y 0.40.50.60.60.4李该月6号打6h篮球的投篮命中率为________．0.50.53[y＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5，x＝1＋2＋3＋4＋55＝3.由公式，得b^＝0.01，从而a^＝y－b^x＝0.5－0.01×3＝0.47.所以回归方程为y^＝0.47＋0.01x.所以当x＝6时，y^＝0.47＋0.01×6＝0.53.]三、解答题9．两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．表1A 261813104－1B 202434385064C 05101520253035D 541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421 034.75从图中可以看出两图中的点各自分布在一条曲线附近，因此两对变量都具有相关关系．图(1)中，当A的值由小变大时，B的值却是由大变小，故A和B成负相关；图(2)中，当C的值由小变大时，D的值也是由小变大，故C和D成正相关．10．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 3456y 2.534 4.5(1)(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线．[解](1)散点图如图：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， 所以b^＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.1．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1C [由数据知变量X 与Y 成正相关，U 与V 成负相关即r 1>0，r 2<0.∴r 2<0<r 1.] 2．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b^>b ′，a ^>a ′ B.y ^>b ′，a ^<a ′C.b^<b ′，a ^>a ′ D.y ^<b ′，a^<a ′ C [由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b^，a ^时， ∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a^＝136－57×3.5＝136－52＝－13， ∴b^<b ′，a ^>a ′.] 3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝7.8x ＋40.2.零件数x (个) 1 2 3 4 5 加工时间y (min)50677179A ．55B ．55.8C ．59D ．51D [设表中模糊的数据为m .由表中的数据可得x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝50＋m ＋67＋71＋795＝267＋m5，又由回归直线的方程为y ^＝7.8x ＋40.2，所以267＋m5＝7.8×3＋40.2，解得m ＝51.即表中模糊的数据为51.故选D.]4．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．20 [令两人的总成绩分别为x 1，x 2.则对应的数学成绩估计为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.]5．根据《中国统计年鉴》计算整理某城市最近十年蔬菜需求量的统计数据，截取部分统计数据如下表：(2)根据(1)画出的散点图判断需求量与年份是否线性相关，若相关，求出线性回归方程，若不相关，说明理由；(3)利用(2)中所求的线性回归方程预测该市2020年的蔬菜需求量． 附：参考公式b ^＝∑ni ＝1 (t i －t )(m i －m )∑ni ＝1 (t i －t )2，a ^＝m －b ^t . [解] (1)画出散点图如图．(2)由散点图可知，需求量与年份线性相关．将所给表格中的数据进行处理如下表：t(年份－2013)－4－2024 m(需求量－357)－21－1101929由表可知t＝15(－4－2＋0＋2＋4)＝0，m＝15(－21－11＋0＋19＋29)＝3.2.所以b^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.242＋22＋22＋42－5×02＝6.5，所以a^＝3.2－0×6.5＝3.2，∴m^＝6.5t＋3.2，所以线性回归方程是y^－357＝6.5(x－2 013)＋3.2，即y^＝6.5x－12 724.3.(3)当x＝2 020时，y^＝6.5×2 020－12 724.3＝405.7，即预测该地2020年蔬菜需求量是405.7万吨．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。