02 第二章 单自由度系统的自由振动
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试用能量法确定其固有频率。 试用能量法确定其固有频率。 解： 以摇杆偏离平衡位置的角 位移 θ 为广义坐标 θ max 设： θ = A sin(ω n t + ϕ )
=A
1-摇杆 2-摆轮
& 则：θ = Aω n cos(ω n t + ϕ )
最大动能为： 最大动能为： Tmax
θ&max = Aω n
非线性方程
微幅摆动时 sin θ ≈ θ
线性方程
复摆的振动
& I 0θ& + mgaθ = 0
化为标准形式： 化为标准形式：
系统的固有频率
ωn =
mga I0
&& + mga θ = 0 θ I0 2π 微幅摆动的周期 I0 T= = 2π mga ωn 第二章 单自由度系统的自由振动
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第二章 单自由度系统的自由振动
振动理论与测试技术
88学时
讲课教师
殷祥超
中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二○一○年八月
第二章 单自由度系统的自由振动
§2.1 单自由度力学模型和基本概念
（1）振动系统的自由度数: ）振动系统的自由度数:
能完全确定系统在空间的几何 位置所需要的独立座标的数目。 独立座标的数目 位置所需要的独立座标的数目。 只需一个独立坐标就可完全确 定的其几何位置系统， 定的其几何位置系统 ， 称为单自由 度系统。 度系统。
梁的自由振动频率为：
mgl 3 解： 静变形 δ st = 48EI
ωn =
g
δ st
=
48EI ml 3
设撞击时刻为零时刻 则：t = 0 x0 = 自由振动的振幅为： 自由振动的振幅为：
−δ st ,
& x0 = 2 gh
梁的最大挠度则为： 梁的最大挠度则为：
& x0 A= x + ω n
2 && + ω n x = 0 x
ω 令： n =
标准形式
k m
通解为： 通解为：x (t ) 或者： 或者：
= C1 cos ω n t + C 2 sin ω n t
x = A sin(ω n t + ϕ ) 简谐振动
2 1 2 2
A= C +C
C1 , ϕ = arctg C2
初相位： 初相位：ϕ
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例2-3 扭振系统 已知： 已知 ： 杆件的直径为 d， 长度为 l， 材料的剪切模量为G，圆盘的转动惯 材料的剪切模量为 ， 量为I 。 试求：系统的固有频率。 试求：系统的固有频率。 解： 由材料力学理论可知
d l
&& Iϕ
kr =
GI p l
=
πd G
4
32 l
扭振系统
ϕ
其中振幅为： 其中振幅为：
系统的振动规律为： 系统的振动规律为：
15 × 100 x(t ) = sin ω n t = sin 19.6t 19.6 × 60 ωn = 1.28 sin 19.6t cm 第二章 单自由度系统的自由振动
A = 1.28 cm
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x(t ) =
带入拉格朗日方程
d ∂L ∂L =0 &− dt ∂θ ∂θ
得到： 得到：
& ( ma 2 + I )θ& + ( k1a 2 + k 2 b 2 )θ = 0
化为标准形式： 化为标准形式：
&& + ( k1a + k 2 b ) θ = 0 θ 2 ( ma + I )
2 2
T=Tmax U=0 U=Umax T=0
Tmax = U max
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第二章 单自由度系统的自由振动
例2-6 无定向摆系统 I = 0.176 × 10 −2 kg⋅ cm 2 , 已知： 已知： a = 3.54 cm, k = 0.3 N/cm, m = 0.0856 kg, l = 4 cm
k = 5.78 × 10 4 N/cm v = 15 m/min 匀速下降
试求： 试求：绳的上端突然被卡住时重物 的振动频率、 的振动频率、振动规律及钢 丝绳中的最大张力。 丝绳中的最大张力。 解： 系统的振动频率为： 系统的振动频率为：
ωn =
k = m
t=0
v
gk 9.8 × 5.78 × 10 6 = = 19.6 rad/s 5 1.47 × 10 W & x0 = 0 , x0 = v
微幅摆动的周期 T =
I0 = 2π mga ωn
2π
复摆法测量物体转动惯量的原理： 复摆法测量物体转动惯量的原理：
T2 I 0 = mga 2 4π
由平行轴定理
复摆的振动
2
gT I c = I 0 − ma = ma − 1 2 4aπ
2
2
第二章 单自由度系统的自由振动
ωn
& x0
A= x +
2 0
= x0 , C2 =
ω
&2 x0
2 n
, ϕ = arctg
ω n x0
& x0
通解为： 通解为：
x (t ) = x0 cos ω n t +
第二章 单自由度系统的自由振动
ωn
& x0
sin ω n t
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例2-1 提升系统 W = 1.47 × 10 5 N,
m, I , k1 , k 2 , a, b
1 &) 2 + 1 Iθ& 2 T = m( a cos θ ⋅ θ 2 2 1 1 2 U = k1 ( a sin θ ) + k 2 (b sin θ ) 2 2 2
系统的拉格朗日函数为： 系统的拉格朗日函数为： 1 1 1 1 L = T − U = m( a cos θ ⋅ θ&) 2 + Iθ& 2 − k1 ( a sin θ ) 2 − k 2 (b sin θ ) 2 2 2 2 2 sin θ ≈ θ 微幅振动时： 微幅振动时：cos θ ≈ 1 ,
其中动张力
kA = k
v
ωn
= v mk
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第二章 单自由度系统的自由振动
例2-2 复摆 已知： 已知：质量为m，转动惯量为Io ， 求： 复摆的运动微分方程及微幅 摆动的周期T 。 解：由刚体定轴转动微分方程得
a
& I 0θ& = − mga sin θ & I 0θ& + mga sin θ = 0
v
ωn
sin ω n t = 1.28 sin 19.6t
cm
钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张 力和振动引起的动张力之和： 动张力之和 力和振动引起的动张力之和：
Tmax = Ts + kA = W + kA = 1.47 × 10 5 + 5.78 × 10 4 × 1.28
= 1.47 × 10 5 + 0.74 × 10 5 5 = 2.21 × 10 N
P(t )
x 惯性元件 m ，惯性力 m&&
弹性元件 k ，弹性力 阻尼元件
& m&& = −k ( x + δ st ) − cx + mg + P(t ) x
静平衡时
k∆x
第二章 单自由度系统的自由振动
& c ，阻尼力 cx
mg = kδ st
m&& + cx + kx = P(t) x &
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质量弹簧系统
为任意常数，由初始条件确定。 式中 C1 , C 2 或A, ϕ 为任意常数，由初始条件确定。 相位： 相位： (ω n t 振幅： 振幅：A
+ϕ )
圆频率： 圆频率： ω n
弧度／ 弧度／秒（rad/s） ）
无阻尼自由振动（固有振动）的特性： 无阻尼自由振动（固有振动）的特性： 1、简谐振动。 、简谐振动。 2、振动频率 ω n = 、
实际振动系统的简化
第二章 单自由度系统的自由振动
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质量弹簧系统
拖拉机驾驶员的胃的垂直振动 第二章 单自由度系统的自由振动
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根据振动形式的不同， 根据振动形式的不同，独立座标可以选取线 来表示。 位移 x 或者角位移 ϕ 来表示。
其它形式的振动系统 第二章 单自由度系统的自由振动
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m&& + cx + kx = P (t ) x &
对于不同的广义坐标，采用： 对于不同的广义坐标，采用： 等效质量 等效刚度 等效阻尼系数
me ke ce
描述系统的广义坐标 对应于广义坐标的广义激振力
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&& & me q + ce q + ke q = Q(t )
系统的固有频率为： 系统的固有频率为： ω n
=
( k1a + k 2 b ) 2 ( ma + I )
2 2
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第二章 单自由度系统的自由振动
§2.3 固有频率的计算
一、静变形法
静变形
δ st
由静平衡条件： 由静平衡条件：
mg − kδ st = 0
k= mg
弹簧原长位置
kr
为扭转刚度系数
由达朗伯原理
&& Iϕ + k r ϕ = 0
ωn =
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扭振系统的固有频率为： 扭振系统的固有频率为：
kr I
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第二章 单自由度系统的自由振动
测振仪， 例2-4 测振仪，已知
试建立该系统的运动微分方程， 试建立该系统的运动微分方程， 并求系统的固有频率。 并求系统的固有频率。 解：单自由度系统 取 θ 为广义坐标
2 0
2 = δ st + 2hδ st
2
第二章 单自由度系统的自由振动
δ max = A + δ st
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二、能量法 1 2 保守系统 T + U = 常数 系统的动能 T = mx & 2 x 系统的势能 U = − mgx + ∫ k (δ st + x )dx 0
第二章 单自由度系统的自由振动
1 1 &2 1 1 2 &2 2 2 2 2 L = ma θ + Iθ − k1a θ − k 2 b θ 2 2 2 2
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1 1 &2 1 1 2 &2 2 2 2 2 L = ma θ + Iθ − k1a θ − k 2 b θ 2 2 2 2
1 &2 1 2 2 = Iθ max = IA ω n 2 2
最大势能为： 最大势能为： 1 max = 2 ⋅ 1 k ( a sin θ max ) 2 U U 2 max = − mgl (1 − cos θ max ) 2 总势能为： 总势能为： max = U 1 max + U 2 max = k ( a sin θ max ) 2 − mglHale Waihona Puke Baidu(1 − cos θ max ) U
k m
仅与系统本身的固有参数有关， 仅与系统本身的固有参数有关，
称为系统的固有频率。 称为系统的固有频率。
由初始条件确定。 3、振幅A，相位 ϕ 由初始条件确定。 、 初始条件： t 初始条件： 带入 求得： 求得：C1
ωn 1 fn = = 2π 2π
k m
& & = 0 x ( 0) = x 0 , x ( 0) = x 0 = v 0 x (t ) = C1 cos ω n t + C 2 sin ω n t
1 2 1 2 = −mgx + kδ st x + kx = kx 2 2
d & x 、 带入得到： (T + U ) = 0 将T、U 带入得到： ( m&& + kx ) x = 0 dt
即：
m&& + kx = 0 x
平衡位置 最大位移处
势能是一个相对量。 势能是一个相对量。 取系统静平衡位置处的 势能为零点， 势能为零点，即U=0 机械能守恒
δ st
静平衡位置
弹簧的刚度系数： 弹簧的刚度系数：
δ st
质量弹簧系统
系统的固有频率为： 系统的固有频率为：
ωn =
k g = m δ st
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第二章 单自由度系统的自由振动
自由落下， 例2-5 质量为 m 的物体从高处 h 自由落下 ， 与一根抗弯刚 的简支粱作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量， 度为 EI 、长 l 的简支粱作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量， 求梁的自由振动的频率和最大挠度。 求梁的自由振动的频率和最大挠度。
（2）基本系统和力学模型 ）
质量——弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。 弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。 质量 弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型
第二章 单自由度系统的自由振动
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k ( x + δ st ) cx &
δ st
k
c
m
mg
x m
x
P(t )
单自由度系统的力学模型
q
Q(t )
第二章 单自由度系统的自由振动
本章研究： 本章研究：
1、振动系统的固有频率 2、系统在初始条件下的响应 3、有阻尼系统的自由振动
第二章 单自由度系统的自由振动
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§2.2 单自由度无阻尼系统的自由振动
m&& m&&x+ kx = 0 (t ) x + c & + kx P x
=A
1-摇杆 2-摆轮
& 则：θ = Aω n cos(ω n t + ϕ )
最大动能为： 最大动能为： Tmax
θ&max = Aω n
非线性方程
微幅摆动时 sin θ ≈ θ
线性方程
复摆的振动
& I 0θ& + mgaθ = 0
化为标准形式： 化为标准形式：
系统的固有频率
ωn =
mga I0
&& + mga θ = 0 θ I0 2π 微幅摆动的周期 I0 T= = 2π mga ωn 第二章 单自由度系统的自由振动
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第二章 单自由度系统的自由振动
振动理论与测试技术
88学时
讲课教师
殷祥超
中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二○一○年八月
第二章 单自由度系统的自由振动
§2.1 单自由度力学模型和基本概念
（1）振动系统的自由度数: ）振动系统的自由度数:
能完全确定系统在空间的几何 位置所需要的独立座标的数目。 独立座标的数目 位置所需要的独立座标的数目。 只需一个独立坐标就可完全确 定的其几何位置系统， 定的其几何位置系统 ， 称为单自由 度系统。 度系统。
梁的自由振动频率为：
mgl 3 解： 静变形 δ st = 48EI
ωn =
g
δ st
=
48EI ml 3
设撞击时刻为零时刻 则：t = 0 x0 = 自由振动的振幅为： 自由振动的振幅为：
−δ st ,
& x0 = 2 gh
梁的最大挠度则为： 梁的最大挠度则为：
& x0 A= x + ω n
2 && + ω n x = 0 x
ω 令： n =
标准形式
k m
通解为： 通解为：x (t ) 或者： 或者：
= C1 cos ω n t + C 2 sin ω n t
x = A sin(ω n t + ϕ ) 简谐振动
2 1 2 2
A= C +C
C1 , ϕ = arctg C2
初相位： 初相位：ϕ
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例2-3 扭振系统 已知： 已知 ： 杆件的直径为 d， 长度为 l， 材料的剪切模量为G，圆盘的转动惯 材料的剪切模量为 ， 量为I 。 试求：系统的固有频率。 试求：系统的固有频率。 解： 由材料力学理论可知
d l
&& Iϕ
kr =
GI p l
=
πd G
4
32 l
扭振系统
ϕ
其中振幅为： 其中振幅为：
系统的振动规律为： 系统的振动规律为：
15 × 100 x(t ) = sin ω n t = sin 19.6t 19.6 × 60 ωn = 1.28 sin 19.6t cm 第二章 单自由度系统的自由振动
A = 1.28 cm
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x(t ) =
带入拉格朗日方程
d ∂L ∂L =0 &− dt ∂θ ∂θ
得到： 得到：
& ( ma 2 + I )θ& + ( k1a 2 + k 2 b 2 )θ = 0
化为标准形式： 化为标准形式：
&& + ( k1a + k 2 b ) θ = 0 θ 2 ( ma + I )
2 2
T=Tmax U=0 U=Umax T=0
Tmax = U max
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第二章 单自由度系统的自由振动
例2-6 无定向摆系统 I = 0.176 × 10 −2 kg⋅ cm 2 , 已知： 已知： a = 3.54 cm, k = 0.3 N/cm, m = 0.0856 kg, l = 4 cm
k = 5.78 × 10 4 N/cm v = 15 m/min 匀速下降
试求： 试求：绳的上端突然被卡住时重物 的振动频率、 的振动频率、振动规律及钢 丝绳中的最大张力。 丝绳中的最大张力。 解： 系统的振动频率为： 系统的振动频率为：
ωn =
k = m
t=0
v
gk 9.8 × 5.78 × 10 6 = = 19.6 rad/s 5 1.47 × 10 W & x0 = 0 , x0 = v
微幅摆动的周期 T =
I0 = 2π mga ωn
2π
复摆法测量物体转动惯量的原理： 复摆法测量物体转动惯量的原理：
T2 I 0 = mga 2 4π
由平行轴定理
复摆的振动
2
gT I c = I 0 − ma = ma − 1 2 4aπ
2
2
第二章 单自由度系统的自由振动
ωn
& x0
A= x +
2 0
= x0 , C2 =
ω
&2 x0
2 n
, ϕ = arctg
ω n x0
& x0
通解为： 通解为：
x (t ) = x0 cos ω n t +
第二章 单自由度系统的自由振动
ωn
& x0
sin ω n t
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例2-1 提升系统 W = 1.47 × 10 5 N,
m, I , k1 , k 2 , a, b
1 &) 2 + 1 Iθ& 2 T = m( a cos θ ⋅ θ 2 2 1 1 2 U = k1 ( a sin θ ) + k 2 (b sin θ ) 2 2 2
系统的拉格朗日函数为： 系统的拉格朗日函数为： 1 1 1 1 L = T − U = m( a cos θ ⋅ θ&) 2 + Iθ& 2 − k1 ( a sin θ ) 2 − k 2 (b sin θ ) 2 2 2 2 2 sin θ ≈ θ 微幅振动时： 微幅振动时：cos θ ≈ 1 ,
其中动张力
kA = k
v
ωn
= v mk
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第二章 单自由度系统的自由振动
例2-2 复摆 已知： 已知：质量为m，转动惯量为Io ， 求： 复摆的运动微分方程及微幅 摆动的周期T 。 解：由刚体定轴转动微分方程得
a
& I 0θ& = − mga sin θ & I 0θ& + mga sin θ = 0
v
ωn
sin ω n t = 1.28 sin 19.6t
cm
钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张 力和振动引起的动张力之和： 动张力之和 力和振动引起的动张力之和：
Tmax = Ts + kA = W + kA = 1.47 × 10 5 + 5.78 × 10 4 × 1.28
= 1.47 × 10 5 + 0.74 × 10 5 5 = 2.21 × 10 N
P(t )
x 惯性元件 m ，惯性力 m&&
弹性元件 k ，弹性力 阻尼元件
& m&& = −k ( x + δ st ) − cx + mg + P(t ) x
静平衡时
k∆x
第二章 单自由度系统的自由振动
& c ，阻尼力 cx
mg = kδ st
m&& + cx + kx = P(t) x &
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质量弹簧系统
为任意常数，由初始条件确定。 式中 C1 , C 2 或A, ϕ 为任意常数，由初始条件确定。 相位： 相位： (ω n t 振幅： 振幅：A
+ϕ )
圆频率： 圆频率： ω n
弧度／ 弧度／秒（rad/s） ）
无阻尼自由振动（固有振动）的特性： 无阻尼自由振动（固有振动）的特性： 1、简谐振动。 、简谐振动。 2、振动频率 ω n = 、
实际振动系统的简化
第二章 单自由度系统的自由振动
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质量弹簧系统
拖拉机驾驶员的胃的垂直振动 第二章 单自由度系统的自由振动
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根据振动形式的不同， 根据振动形式的不同，独立座标可以选取线 来表示。 位移 x 或者角位移 ϕ 来表示。
其它形式的振动系统 第二章 单自由度系统的自由振动
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m&& + cx + kx = P (t ) x &
对于不同的广义坐标，采用： 对于不同的广义坐标，采用： 等效质量 等效刚度 等效阻尼系数
me ke ce
描述系统的广义坐标 对应于广义坐标的广义激振力
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&& & me q + ce q + ke q = Q(t )
系统的固有频率为： 系统的固有频率为： ω n
=
( k1a + k 2 b ) 2 ( ma + I )
2 2
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第二章 单自由度系统的自由振动
§2.3 固有频率的计算
一、静变形法
静变形
δ st
由静平衡条件： 由静平衡条件：
mg − kδ st = 0
k= mg
弹簧原长位置
kr
为扭转刚度系数
由达朗伯原理
&& Iϕ + k r ϕ = 0
ωn =
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扭振系统的固有频率为： 扭振系统的固有频率为：
kr I
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第二章 单自由度系统的自由振动
测振仪， 例2-4 测振仪，已知
试建立该系统的运动微分方程， 试建立该系统的运动微分方程， 并求系统的固有频率。 并求系统的固有频率。 解：单自由度系统 取 θ 为广义坐标
2 0
2 = δ st + 2hδ st
2
第二章 单自由度系统的自由振动
δ max = A + δ st
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二、能量法 1 2 保守系统 T + U = 常数 系统的动能 T = mx & 2 x 系统的势能 U = − mgx + ∫ k (δ st + x )dx 0
第二章 单自由度系统的自由振动
1 1 &2 1 1 2 &2 2 2 2 2 L = ma θ + Iθ − k1a θ − k 2 b θ 2 2 2 2
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1 1 &2 1 1 2 &2 2 2 2 2 L = ma θ + Iθ − k1a θ − k 2 b θ 2 2 2 2
1 &2 1 2 2 = Iθ max = IA ω n 2 2
最大势能为： 最大势能为： 1 max = 2 ⋅ 1 k ( a sin θ max ) 2 U U 2 max = − mgl (1 − cos θ max ) 2 总势能为： 总势能为： max = U 1 max + U 2 max = k ( a sin θ max ) 2 − mglHale Waihona Puke Baidu(1 − cos θ max ) U
k m
仅与系统本身的固有参数有关， 仅与系统本身的固有参数有关，
称为系统的固有频率。 称为系统的固有频率。
由初始条件确定。 3、振幅A，相位 ϕ 由初始条件确定。 、 初始条件： t 初始条件： 带入 求得： 求得：C1
ωn 1 fn = = 2π 2π
k m
& & = 0 x ( 0) = x 0 , x ( 0) = x 0 = v 0 x (t ) = C1 cos ω n t + C 2 sin ω n t
1 2 1 2 = −mgx + kδ st x + kx = kx 2 2
d & x 、 带入得到： (T + U ) = 0 将T、U 带入得到： ( m&& + kx ) x = 0 dt
即：
m&& + kx = 0 x
平衡位置 最大位移处
势能是一个相对量。 势能是一个相对量。 取系统静平衡位置处的 势能为零点， 势能为零点，即U=0 机械能守恒
δ st
静平衡位置
弹簧的刚度系数： 弹簧的刚度系数：
δ st
质量弹簧系统
系统的固有频率为： 系统的固有频率为：
ωn =
k g = m δ st
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第二章 单自由度系统的自由振动
自由落下， 例2-5 质量为 m 的物体从高处 h 自由落下 ， 与一根抗弯刚 的简支粱作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量， 度为 EI 、长 l 的简支粱作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量， 求梁的自由振动的频率和最大挠度。 求梁的自由振动的频率和最大挠度。
（2）基本系统和力学模型 ）
质量——弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。 弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。 质量 弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型
第二章 单自由度系统的自由振动
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k ( x + δ st ) cx &
δ st
k
c
m
mg
x m
x
P(t )
单自由度系统的力学模型
q
Q(t )
第二章 单自由度系统的自由振动
本章研究： 本章研究：
1、振动系统的固有频率 2、系统在初始条件下的响应 3、有阻尼系统的自由振动
第二章 单自由度系统的自由振动
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§2.2 单自由度无阻尼系统的自由振动
m&& m&&x+ kx = 0 (t ) x + c & + kx P x