(完整版)分式方程知识点归纳
八年级分式方程数学知识点
八年级分式方程数学知识点一、基本概念分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程，可用一组数值解求出未知量的值。
如：\frac{x+1}{2}=3，其中x为未知量。
二、分式方程的解法1. 化简分式，使其成为整式方程。
如：\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。
2. 通分，消去分母。
如：\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。
3. 变形化简后求解。
如：\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。
三、分式方程的注意事项1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。
如：\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况，即x=2。
2. 通分时应注意分母因式分解。
如：\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。
3. 将解代回原分式方程检验。
如：\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2，代入原式验证是否成立。
四、分式方程的应用例题1. 甲、乙两地的距离为480km，两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行，行至中途时，车停下了，自行车继续前进，最后到达乙地时，车和自行车的距离为40km。
已知车行驶的速度比自行车快20km/h，求车和自行车的速度各是多少。
设自行车的速度为x km/h，车的速度为x+20 km/h，时间为t，车行驶的距离为(x+20)×t，自行车行驶的距离为x×(t+2)。
由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40，解得x=20，车速为40km/h，自行车速度为20km/h。
2. 一条河流的宽度为200m，在河岸的A、B两处浅滩的位置分别离河口12km、18km处。
分式方程知识点归纳
分式方程知识点归纳分式方程是指含有分子和分母的方程，分子和分母分别为代数式或数字，并且方程中包含有未知数的方程。
下面将分式方程的知识点进行归纳，以便更好地理解和应用分式方程。
一、基本概念：1.分式方程的定义：含有未知数、带有分式形式的等式称为分式方程。
2.分式的定义：分式是由一个或多个代数式构成的比。
二、分式方程的解的性质：1.分式方程的等价方程：分式方程可以转化为多项式方程进行求解，这样可以得到等价的方程，两者的解是相同的。
2.分式方程的根的性质：一个分式方程的解，如果使得分式方程中的分子等于0，则该解就是方程的根。
三、分数的性质：1.分式的约分：分式的分子和分母同时除以它们的公因式，可以得到分式的约分式。
2.分式的通分：将不同分母的分式通过找到它们的最小公倍数，转化为具有相同分母的等价分式。
3.分数的四则运算：分数之间可以进行加减乘除的运算，需要注意分子和分母的相应运算。
四、分式方程的解法：1.乘法解法：对分式方程的两边同乘以一个使得方程中的分母消去的数，从而化简为一个多项式方程。
2.加减消去解法：对分式方程的两边同乘以使得方程中的分母消去的数，然后将方程中的分式整理为一个多项式，并进行求解。
3.代入解法：将分式方程中的一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再代入到分式方程中，得到一个不含有代入的未知数的分式方程，进而进行求解。
4.通分解法：对分式方程的两边同时乘以方程中所有的分母的积，将分式方程化简为一个多项式方程进行求解。
五、分式方程的解的判定：1.当方程的分式的分子为0时，方程的解为0。
2.当方程的分式的分子和分母存在着相同的因式时，方程的解为使得分式方程中的分子等于0的值。
3.当分式方程的分母的值等于0时，方程没有解。
六、应用：分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学和金融学中，经常需要使用分式方程来解决实际问题。
比如计算财务利润率、财务收益率、物体的运动速度等。
七、常见的分式方程：1.一次方程：分式方程的分子和分母都是一次函数的方程。
分式方程知识点复习总结大全
分式方程知识点复习总结大全分式及其基本性质1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母整式和分式统称有理式, 即有有理式整式，分式.2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.§ 分式的运算1. 分式的乘除法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.§ 可化为一元一次方程的分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验例2 解方程：730100-=x x. 解 方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得 100（x-7）=30x. 解这个整式方程，得 x=10.检验：把x=10代入x(x-7)，得 10×（10-7）≠0所以，x=10是原方程的解.§ 零指数幂与负整指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.小结一、知识结构二、注意事项1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解.2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验.学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验.3.由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示.。
(完整版)分式和分式方程知识点总结大全
分式和分式方程知识点总结1、分式一般地，我们把形如A的代数式叫做分式，其中A, B都是整式，且BB含有字母。
A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
分式的分母必须含有字母。
分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商在分数中，分母不能等于0.同样，在分式中，分母也不能等于0，即当分式的分母等于0时，分式没有意义。
分数的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的数，其值不变。
分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不其中，M是不等于0的整式利用分式的基本性质可以对分式进行化简把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
2、分式的乘除分式的乘法法则分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
AM A?CB ' D B?D分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。
A C AD A?D__ __ ______ Q ____ ________B D B 'C B?C3、分式的加减同分母的分式加减法法则同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。
A C A CB B B把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。
几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母异分母的分式加减法法则异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）。
A C AD BC AD BCB D BD BD BD分式的混合运算，与数的混合运算类似。
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。
4、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。
在解分式方程时，首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后要将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。
人教版八年级上册数学 第十五章 分式方程 知识点及考点
第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。
分式方程的知识点
分式方程的知识点分式方程是一个重要的数学概念，它在许多领域中都有广泛的应用，例如在物理、经济、工程等领域中。
它可以用来描述物体的运动、商业运营、电路设计等各种场景。
在这篇文章中，我们将深入探讨分式方程的基本概念、解法和应用。
一、基本概念1. 分式（有理式）分式，也称为有理式，是由整式作为分子和分母的比值构成的表达式。
它们可以写成形式为p(x)/q(x)的形式，其中p(x)和q(x)是整式。
分式的定义域是除了q(x)的零点外的所有实数。
2. 分式方程分式方程是一个方程，其中包含至少一个分式。
分式方程的一般形式为p(x)/q(x) = r(x)/s(x)，其中，p(x)、q(x)、r(x)、s(x)都是整式。
分式方程的解是满足方程的所有值。
3. 等价分式等价分式是指两个表达式，它们在某些条件下有相同的值。
例如，p(x)/q(x)和kp(x)/kq(x)是等价的，其中k不等于0。
二、解法1. 清除分式通常情况下，为了解决分式方程，我们需要清除分式。
这可以通过将分式方程的两侧乘以其分母的最小公倍数来实现。
2. 分离变量另一种解决分式方程的方法是将其变形为一种能够更容易求解的形式。
有时候，我们可以通过将方程的两侧乘以一个适当的函数，来将其变成分离变量的形式。
3. 偏微分方程偏微分方程是一种包含偏导数的方程，通常用来描述物理场的变化。
它们可以用分式方程的形式来表示，并且可以通过分离变量的方法求解。
三、应用分式方程在许多领域中都有应用。
以下是一些分式方程应用的例子：1. 物理学分式方程可以用来描述速度、加速度和力的变化。
例如：v(t) = \int_{0}^{t}a(x)dx其中，v(t)是时间t时的速度，a(x)是时间x时的加速度。
这个方程可以通过分离变量的方法来求解。
2. 电路设计分式方程可以用来描述电路的电流和电压。
例如，欧姆定律可以表示为：I = V/R其中，I是电流，V是电压，R是电阻。
这个方程可以用来计算电路中的任何物理量，如功率、电能等。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。
2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。
例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。
例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。
2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。
3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。
例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。
四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。
2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。
3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。
五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。
3. 解整式方程，求得未知数的值。
4. 检验解的有效性。
5. 写出最终解。
六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。
2. 列出分式方程。
分式方程知识点总结
分式方程知识点总结
一、定义与性质
定义：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程，称为分式方程。
基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
二、运算与变形
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
乘方法则：分式乘方时，要将分子、分母各自乘方。
加减法则：同分母的分式相加减时，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减时，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
约分与通分：分式可以约分，即根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去；分式也可以通分，即把分子、分母同时乘以适当的整式，将异分母的分式转化为同分母的分式。
三、分式方程的解法
去分母：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
注意，当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母。
解整式方程：通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出整式方程的解。
验根：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
注意，解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根。
四、分式方程的应用
分式方程在多个领域都有广泛的应用，如金融和经济领域中的运输和速率问题、货币兑换、利润和成本计算；科学领域中的浓度计算问题、反应速率计算；数学领域中的比例问题等。
通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用分式方程，解决各种实际问题。
如需更深入的学习，建议查阅数学教材或咨询数学老师。
分式方程知识点的总结
分式方程知识点的总结分式方程知识点的总结关于分式方程知识点的总结，列分式方程解应用题的关键是列出分式方程，难点是找出等量关系，易错点是检验。
下面由小编为您整理出的相关内容，一起来看看吧。
（一）分式方程知识点的总结分式方程同前面讲到的分式知识是完全不同的两个概念，同学们不要弄混淆了。
分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号}；②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1）求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。
一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根，则原方程无解。
在分式方程中，如果分式本身约分了，也要代进去检验。
分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程→整式方程。
（2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。
注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！上面对分式方程的解法知识的讲解，希望同学们都能很好的掌握，并在考试中很好的备战考试工作。
（二）初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的`掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
八年级下册数学《分式》分式方程 知识点整理
15.3分式方程一、本节学习指导解分式方程和我们前面学习的解方程有很多相似之处，期间会运用到很多分式的计算方式，就这一节来说并不难。
做适当练习即能掌握。
二、知识要点1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
（1）、分式方程的解法：解分式方程的基本思想方法是：分式方程转化去分母整式方程.解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。
注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！（2）、解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．（3）、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（4）、含有字母的分式方程的解法：在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。
计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。
2、列分式方程解应用题（1）列分式方程解应用题的步骤：①审：审清题意；②找: 找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出分式方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案。
（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？常见的有以下五种：①行程问题基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．②数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．③工程问题基本公式：工作量=工时×工效．④顺水逆水问题=+•=-v v v v v v顺水静水水逆水静水水3、科学记数法：把一个数表示成的形式10na⨯（其中≤a，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．1<10（1）、用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10na⨯的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；（2）、用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n⨯的形式，其中n为原数第1个不为0的a-数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a︱＜10.三、经验之谈：这一节考点比较多的应该是分式方程的应用题和科学计数法，但应用题基本不会单独命题，步骤虽繁琐，但是难度并不大。
分式方程知识汇总
第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.题型一：用常规方法解分式方程解下列分式方程（1）x x 311=- （2）0132=--xx（3）114112=---+x x x （4）x x x x -+=++4535题型二：特殊方法解分式方程解下列方程（1）4441=+++xx x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x（3）41315121+++=+++x x x x题型三：求待定字母的值（1）若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值.（2）若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.（3）若分式方程xm x x -=--221无解，求m 的值。
（4）若关于x 的方程11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。
（5）若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。
题型四：解含有字母系数的方程解关于x 的方程 (1 ))0(≠+=--d c d c x b a x （2）bx a 211+=)2(a b ≠；（3）)(11b a x b b x a a ≠+=+.题型五：列分式方程解应用题一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做4天可以完成，甲队单独做15天可以完成，乙队单独做12天可以完成，丙队单独做几天可以完成？2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？二、行程中的应用性问题2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．3、甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行，甲从A地出发和行至1千米时，发现有物件遗忘在A地，便立即返回，取到物件后又立即从A 地向B地行进，这样甲、乙两人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙两人的速度？三、轮船顺逆水应用问题3、轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度分式加减法专项练习一、计算1、34x x y -+4x y y x +--74y x y- 2、 a-b+22b a b + 3、a a a a a a 11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- 4、 211x --21x +-11x - 5、 222x x x +--2144x x x --+． 6、21x x --x-1． 7、3a a --263a a a +-+3a8、2122442--++-x x x 9、22224421b ab a b a b a b a ++-÷+-- 10、xx x x x x -÷+--24)22( 11、)252(423--+÷--m m m m12、 2222222222xyy x y xy x xy y x y xy x -+--+++ 二、填空：1、（2012承德）若x 1－y 1=3,则yxy x y xy x ---+2232=_____________. 2、（2012唐山）已知x －y=xy,则x 1－y 1=________.3、（2011朝阳）若x +x 1=3,则x 2+21x=______. 4、若a 1∶b 1∶c1=2∶3∶4,则a ∶b ∶c=_____________. 5、若4x =4y =5z ,则z y x y x 32+-+=_____________.答案：一、计算：1、2 2、22a b a b ++ 3、2a+4 4、1322--x x 5、24(2)x x x -- 6、11x - 7、133 8、12x + 9、 b a b -+ 10、12x -+ 11、126m -+ 12、2x 二填空：1、35 2、-1 3、7 4、6:4:3 5、811分式方程知识点归纳总结1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
初二上册分式方程知识点
1/2x=2/x+3对角相乘4x=x+33x=3x=1分式方程要检验经检验, x=1是方程的解x/(x+1)=2x/(3x+3)+1两边乘3(x+1)3x=2x+(3x+3)3x=5x+32x=-3x=-3/2分式方程要检验经检验, x=-3/2是方程的解2/x-1=4/x^2-1两边乘(x+1)(x-1)2(x+1)=42x+2=42x=2x=1分式方程要检验经检验, x=1使分母为0, 是增根, 舍去所以原方程无解5/x^2+x - 1/x^2-x=0两边乘x(x+1)(x-1)5(x-1)-(x+1)=05x-5-x-1=04x=6x=3/2分式方程要检验经检验, x=3/2是方程的解5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2乘3x-45x=-1-2(3x-4)=-1-6x+811x=7x=7/11分式方程要检验经检验x=7/11是方程的解1/(x+2) + 1/(x+7) = 1/(x+3) + 1/(x+6)通分(x+7+x+2)/(x+2)(x+7)=(x+6+x+3)/(x+3)(x+6)(2x+9)/(x^2-9x+14)-(2x+9)/(x^2+9x+18)=0(2x+9)[1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)]=0因为x^2-9x+14不等于x^2+9x+18所以1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)不等于0所以2x+9=0x=-9/2分式方程要检验经检验x=-9/2是方程的解7/(x^2+x)+1/(x^2-x)=6/(x^2-1)两边同乘x(x+1)(x-1)7(x-1)+(x+1)=6x8x-6=6x2x=6x=3分式方程要检验经检验, x=3是方程的解化简求值。
[X-1-（8/X+1）]/[X+3/X+1] 其中X=3-根号2 [X-1-（8/X+1）]/[(X+3)/(X+1)]={[(X-1)(X+1)-8]/(X+1)}/[(X+3)/(X+1)]=(X^2-9)/(X+3)=(X+3)(X-3)/(X+3)=X-3=-根号28/(4x^2-1)+(2x+3)/(1-2x)=18/(4x^2-1)-(2x+3)/(2x-1)=18/(4x^2-1)-(2x+3)(2x+1)/(2x-1)(2x+1)=1[8-(2x+3)(2x+1)]/(4x^2-1)=18-(4x^2+8x+3)=(4x^2-1)8x^2+8x-6=04x^2+4x-3=0(2x+3)(2x-1)=0x1=-3/2x2=1/2代入检验, x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0。
分式方程知识点归纳总结
分式方程知识点归纳总结分式方程（fractional equations）是含有一个或多个分式的方程。
解分式方程的方法与解普通方程的方法相似，但在处理分式时需要额外注意。
以下是分式方程的一些常用知识点的归纳总结。
1.分式方程的定义：分式方程是含有一个或多个分式的方程，其中分式可以是单个分式，也可以是多个分式的组合。
2.分式方程的定义域：在求解分式方程之前，首先需要确定方程的定义域。
分式方程中的分母不能为0，因此需要排除使得分母为0的数值。
3.清除分母的方法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以分母的公倍数来清除分母。
要注意在清除分母后所得到的方程仍然保持等价关系。
4.分式方程的乘除法原则：分式方程中的分式可以通过乘除法原则进行运算。
即可以通过乘以一个数或除以一个数来改变方程两边的比例关系。
5.分式方程的加减法原则：分式方程中的分式可以通过加减法原则进行运算。
即可以通过加上一个数或减去一个数来改变方程两边的比例关系。
6.分式方程的倒数原理：分式方程中的分式的倒数可以用来求解方程。
当一个分式与它的倒数相加时，结果为17.分式方程的转化：有时候，可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。
这可以通过清除分母或将分式转化为分数来实现。
8.分式方程的校验：在解分式方程时，需要对所得到的解进行校验，以确定是否满足原始方程。
9.解分式方程的常见步骤：解分式方程的一般步骤是先对方程进行整理，然后通过乘法、除法、加法、减法等原则对方程进行运算，最后校验所得到的解是否满足原始方程。
10.特殊类型的分式方程：-线性分式方程：分子和分母都是一次函数的分式方程。
-二次分式方程：分子或分母含有二次函数的分式方程。
-变比分式方程：分子和分母是由未知数构成的变比或常数的乘积的分式方程。
总结：分式方程是含有一个或多个分式的方程，解分式方程的方法包括清除分母、乘除法原则、加减法原则、倒数原理、转化为普通方程、校验等。
解分式方程的一般步骤是整理方程、运用原则对方程进行运算，最后校验解答是否正确。
分式和分式方程知识点总结大全
分式和分式方程知识点总结大全分式：分式是指含有变量的有理数表达式，通常以a/b的形式表示，其中a和b是整数，而b不等于0。
基本概念：1.分子和分母：分数中的a称为分子，b称为分母。
2.真分数和假分数：如果分子小于分母，则分式称为真分数；如果分子大于或等于分母，则分式称为假分数。
3.约分：对于一个分式a/b，如果a和b有公约数，则可以将a和b同时除以它们的最大公约数，得到分式的最简形式。
4.相等分式：两个分子和分母比值相等的分式称为相等分式。
例如，2/3和4/6是相等的分式。
分式的运算：1.加法和减法：对于两个分式a/b和c/d来说，只有当b和d相等时，才能进行加法和减法运算。
运算结果的分母保持不变，并将分子相加或相减。
2.乘法：两个分式a/b和c/d相乘，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
结果要简化。
3.除法：两个分式a/b和c/d相除，将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
结果要简化。
分式方程：分式方程是指含有分式的方程。
解分式方程的步骤：1.清除分母：将分式方程的两边同乘以分母的最小公倍数，从而消除分母。
2.化简方程：将方程中的分式进行化简，得到方程的最简形式。
3.解方程：根据方程的形式，进行求解。
常见的方法包括合并同类项、配方、移项等等。
常见的分式方程类型：1.一次分式方程：方程中只含有一次分式的方程。
例如，(x+1)/2=32.二次分式方程：方程中含有二次分式的方程。
例如，(x^2+1)/(x+2)=43.多次分式方程：方程中含有多次分式的方程。
例如，(x^3+1)/(x^2+2)=5应用场景：分式和分式方程在数学中的应用非常广泛，尤其在代数、几何、经济学等领域中有着重要的应用。
例如，在解决实际问题中，经常会用到比例关系，而分式可以很好地描述比例关系。
在几何学中，分式用于解决一些面积、体积等问题。
在经济学中，分式用于解决利润、成本等相关问题。
八年级数学《分式方程》知识点
一、基本概念
1.分式：分子和分母都是多项式的数叫做分式。
2.分式方程：含有一个或多个未知数的分式等式叫做分式方程。
二、分式方程的解
1.分式方程的解：使得方程两边分式等价的数叫做分式方程的解。
2.适合分式方程的解：使得分式方程的任意代入都可以使分式方程成立的解叫做适合分式方程的解。
三、分式方程的解的判定
1.分式方程的解的判定方法：将找到的解代入方程，若等式两边可以变成同一个数，则该解为分式方程的解。
2.分式方程的解的验证方法：将方程两边合并，并对两边进行化简，最后验证等式是否成立。
四、分式方程的解的性质
1.分式方程的根的性质：若一个数是分式方程的根，则这个数的相反数也是该方程的根。
2.分式方程的根的性质的应用：利用分式方程的根的性质，可以通过已知根推出其他根。
五、分式方程的解的求解
1.解分式方程的一般步骤：先合并同类项，再化简，最后通过代数运算求解未知数。
2.解分式方程的具体方法：可以通过交叉相乘、通分和消分的方法来解决不同类型的分式方程。
六、分式方程的应用
1.代入法解分式方程：利用推导和分项代入法，将问题转化为分式方程，然后再用分式方程的解来解决问题。
2.混合运算解分式方程：先利用等式性质将分子展开，再通过合并同类项化简，最后求解分式方程得到解。
总结：。
分式方程知识点总结♂
分式方程知识点总结♂一般来说，分式方程可以写成形如$\frac{M(x)}{N(x)} = P(x)$的形式，其中$M(x)$、$N(x)$和$P(x)$分别是$x$的多项式。
分式方程的解是满足方程的$x$的值，即找出使等式成立的$x$的值。
下面我们就来总结一下关于分式方程的一些知识点。
一、分式的定义和性质1. 分式是指形如$\frac{m}{n}$的数，其中$m$和$n$是整数，$n$不等于0。
分式可以表示数的比值，包括有理数和实数。
2. 分式的性质：分式有一些基本的性质，比如分式的加减乘除法原则，以及分式的化简和通分规则等。
这些性质是处理分式方程时必须掌握的基础知识。
二、分式方程的基本概念1. 分式方程的定义：分式方程是指方程中含有分式的方程，通常以$\frac{M(x)}{N(x)} = P(x)$的形式出现，其中$M(x)$、$N(x)$和$P(x)$分别是$x$的多项式。
2. 分式方程的解：分式方程的解是指满足方程的$x$的值，即找出使等式成立的$x$的值。
对于分式方程，解的求解方法通常需要进行化简、通分、消元等操作。
三、分式方程的解法1. 分式方程的解法一般分为以下几种方法：（1）通分法：将分式方程中的分母进行通分，使得方程中的分母相同，从而化简方程。
（2）消元法：通过消去分式方程中的分母，将分式方程化简为一般的代数方程，然后求解。
（3）换元法：通过引入新的未知数或代换，将分式方程化简为一般的代数方程，然后求解。
2. 在实际问题中，分式方程的解法可能会涉及到不同的数学方法和技巧，需要根据具体的问题进行分析和处理。
四、分式方程的应用1. 分式方程在代数学、数学分析、几何学等领域具有广泛的应用。
它常常用于描述各种物理、经济、工程等实际问题中的关系和规律。
2. 在解决实际问题时，我们可以将实际问题转化为分式方程，利用代数运算和方程的解法来求解问题，从而得到问题的答案。
五、分式方程的教学与学习1. 在教学中，分式方程应该与分数、代数方程等知识紧密结合，引导学生深入理解分式方程的概念和性质，掌握分式方程的基本解法。
分式方程的知识点
分式方程一．分式方程的概念像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程二．解分式方程的基本思想：（1）把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解解分式方程的方法：（2）在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程三．解分式方程的一般步骤：1．去分母，在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；――化整2．解这个整式方程；――解整3．（1）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
——验根（2）或者是把方程的根带入方程等式两边看是否相等，若相等就是方程的根，不是则舍去备注：.列方程应用题的步骤是什么？ (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。
四．例题讲解（1）例3两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
哪个队的施工速度快？31＋61＋2x 1＝1分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1（2）例4从2004年5月起某列列车平均提速v 千米/时。
用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？x s ＝v x 50s ＋＋分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=时间路程.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间五、随堂练习1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.答案：1. 15个，20个 2. 12天 3. 5千米/时，20千米/时4.解方程 (1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）114112=---+x x x （4）22122=-+-x x x x 答案：（1）x=18 （2）原方程无解 （3）x=1 （4）x=54六、课后练习1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快51 ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
分式方程知识点归纳总结(一)2024
分式方程知识点归纳总结（一）引言概述：分式方程是数学中重要的概念，它涉及了分数和方程的结合运算。
本文将重点归纳总结分式方程的相关知识点，旨在帮助读者更好地理解和掌握分式方程的解题方法。
正文：一、基本概念1. 分式的定义和表示形式2. 真分式、假分式和整式的区别3. 分式方程的定义和一般形式4. 分式等式的性质和运算规则5. 分式方程的解集求解方法二、分式方程的解题方法1. 清除分母法解分式方程a. 分解因式法清除分母b. 通分法清除分母c. 等分系统法清除分母2. 变量替换法解分式方程a. 令分母为1的形式b. 令常数等于变量的形式c. 令等式两边分式相等的形式3. 约分法解分式方程a. 基本比例关系的运用b. 分子分母分别因式分解c. 分式方程的约分调换4. 立方解等式法解分式方程a. 分子因式和分母因式的立方条件b. 分子平方和分母平方的立方条件c. 分子负方和分母负方的立方条件5. 公倍数法解分式方程a. 通分后运用公倍数化简b. 公倍数的运用求解三、分式方程的特殊情况1. 有理分式方程的解集a. 分子是多项式，分母是一次多项式的情况b. 分子是多项式，分母是二次多项式的情况c. 分子是多项式，分母是其他多项式的情况2. 双重分式方程的解集a. 含有两个分式的双重分式方程b. 分式存在共同因式的双重分式方程c. 分式二项式的双重分式方程四、实际问题中的分式方程1. 解决实际问题时的分式方程建立步骤2. 分式方程在人工计算中的应用3. 分式方程在物理实验中的应用4. 分式方程在经济问题中的应用5. 分式方程在几何问题中的应用五、总结：本文对分式方程的知识点进行了归纳总结，包括基本概念、解题方法、特殊情况和实际问题中的应用。
通过学习和掌握这些知识点，读者可以更好地解决分式方程的相关问题，在数学学习和实际应用中发挥作用。
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分式方程知识点归纳
A
1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
B
1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零
2. 分式的基本性质：分式C分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
B B
C B B C
用式子表示其中A、B、C为整式（C 0）
注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2 ）应用基本性质时，要注意C丸，以及隐含的B工0。
（3 ）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式
1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式
3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值
1）整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
11, a 3ab b
4
a b 2a 2b 7ab
a b c 3a 2b 5c
2 3 4
a b c
例：若
，则求
6. 分式的运算:
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除以分式，尹除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
d bd ； b d b c bc
3 ）分式乘方法则：
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4 ）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序
运算
5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
a b a b a c ad bc ad be c c c ' b d bd bd bd
7•整数指数幕.
1）任何一个不等于零的数的零次幕等于
1，即a 0 1（a 0）；
3） 科学计数法：把一个数表示为
a x 10n （1 w I a I v 10,n 为整数）的形式，称为科学计数法。
注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a X 10n 的形式，n 为正整数；
（2） 绝对值小于1的数可以表示为 a X 10"n 的形式，n 为正整数• （3） 表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是n 1
（4）表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非 0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个 0） 4） 正整数指数幕运算性质也可以推广到整数指数幕.
（m,n 是整数）
(1)同底数的幕的乘法：
a m a n a m n ； (2)幕的乘方：(a m )n a mn ； (3)积的乘方：(ab)n a n
b n ；
n
a
a
(4)同底数的幕的除法：
a m a n a m n ( a 工0)； ( 5)商的乘方：(一)n - ()； (
b 工0)
例：已知
，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
分式乘法法则: 分式除法法则: （a ）n
n
a b 7
2）任何一个不等于零的数的-n 次幕（n 为正整数），等于这个数的
注：分数的负指数幕等于这个分数的倒数的正整数指数幕。
即
n 次幕的倒数，即
(a 0)
b b-
8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程一一分式方程。
1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：
(1)增根是最简公分母为0;( 2)增根是分式方程化成的整式方程的根。
2) 分式方程的解法：
(1)能化简的先化简⑵方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根.
注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就产生了增根，因此分式方
程一定要验根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
3 )烈分式方程解实际问题
(1)步骤：审题一设未知数一列方程一解方程一检验一写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方
面进行检验。
(2)应用题基本类型；
a. 行程问题：基本公式：路程=速度x时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
b. 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
c.工程问题基本公式：工作量=工时x工效.
D.顺水逆水问题v顺水=V 静水+V 水. v逆水=V 静水-V水.
一、植树问题
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树，那:
株数=段数+ 1 =全长十株距—1
全长=株距x (株数—1)
株距=全长* (株数一1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样:
株数=段数=全长*株距
全长=株距X株数
株距=全长*株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数—1 =全长十株距—1
全长=株距X （株数+ 1）
株距=全长* （株数+ 1）
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下：
株数=段数=全长*株距
全长=株距X株数
株距=全长*株数
二、盈亏问题
（盈+亏）十两次分配量之差=参加分配的份数
（大盈-小盈）十两次分配量之差=参加分配的份数
（大亏-小亏）十两次分配量之差=参加分配的份数
三、相遇问题
相遇路程=速度和X相遇时间
相遇时间=相遇路程*速度和
速度和=相遇路程*相遇时间
四、追及问题
追及距离=速度差X追及时间
追及时间=追及距离十速度差速度差=追及距离十追及时间五、流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=（顺流速度+逆流速度）+2
水流速度=（顺流速度—逆流速度）+2
六、浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量+溶液的重量X 100% =浓度
溶液的重量X浓度=溶质的重量
溶质的重量+浓度=溶液的重量
七、利润与折扣问题
利润=售出价一成本
利润率=利润+成本X 100% =（售出价+成本一1）X100%
涨跌金额=本金X涨跌百分比
折扣=实际售价+原售价X 100%（折扣v 1）
利息=本金X利率X时间税后利息=本金X利率X时间X （1 —X%）。