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随机变量及其分布

一、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格

为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=

常见的两种分布： 1．两点分布

如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：

(),0,1,2,3,...,k n k M

N M n N

C C P X k k m C

--==

=

则随机变量X 的概率分布列如下：

{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。

注：超几何分布的模型是不放回抽样

二、条件概率

一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()

(|)()P AB P B A P A =为在事件A

发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤

三、相互独立事件

设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即

()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。

()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立

一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；

(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.

四、n 次独立重复试验

一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在

n

次独立重复试验中，记

i

A 是“第i 次试验的结果”，显然，

1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征

第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；

第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

五、二项分布

一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则

()(1)0,1,2,,k k

n k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，

此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.

六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量X 的概率分布列为

则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++

为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量

则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+

2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么

()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=

即若X 服从两点分布，则()E X p = 3．若~(,)X B n p ，则()E X np =

七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,

若离散型随机变量x 的概率分布列为 2221122(())(())(())..

n n DX x E X p x E X p x E X p X X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差的标准差

1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=

八、正态分布

1.正态分布一般记为N(μ，σ2)．

μ为正态分布的均值；

σ是正态分布的标准差

2．结合正态曲线，归纳其以下性质：

(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

(2)曲线关于直线x＝μ对称．

(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．

(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲

线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；

3．3σ原则：

对于正态总体),(2σμN 取值的概率：

练习：

1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大

B ．μ越小

C ．σ越大

D ．σ越小

2．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是

A ．0．6826

B ．0．3174

C ．0．9544

D ．0．9974

3．若x ～N (0,1), 求P (x >2). P (x <-1)．