导数及其应用PPT空间3.3.2
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高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
导数及其应用课件PPT
又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.
解析答案
12345
4.某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增
加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r＝400x－21x2，0≤x≤400， 80 000， x＞400，
则总利润最大时，年产量是( )
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解 依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令
S′(x)＝0，得
3.3.2函数的极值与导数
2
(2) f ( x) x 27 x; 3 (4) f ( x) 3x x .
3
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0,
解得
x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
-2 -4/3
o
2
+ x
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
<b + 单调 递增 =b 0 极大值 >b -
y
a
o b
x y=f(x)
单调 f(a) 递减
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定 义, 如果对x0附近的 所有的点, 都有
y
f (a) 0 f (a x) 0
x 0
f (a x) 0 f (b x) 0 f (b x) 0
例1 求函数
解:
因为
令 当
当 当 x 变化时, f / x , f (x) 的变化状态如下表:
1 3 的极值. f ( x) x 4 x 4 3 1 3 2 f ( x) x 4 x 4,所以 f ( x) x 4. 3 f ( x) 0, 解得 x 2或 x 2. , , ; f ( x) 0, 即 x 2 或 x 2 f ( x) 0, 即 2 x 2.
(2) f ( x) x 27 x; 3 (4) f ( x) 3x x .
3
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0,
解得
x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
-2 -4/3
o
2
+ x
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
<b + 单调 递增 =b 0 极大值 >b -
y
a
o b
x y=f(x)
单调 f(a) 递减
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定 义, 如果对x0附近的 所有的点, 都有
y
f (a) 0 f (a x) 0
x 0
f (a x) 0 f (b x) 0 f (b x) 0
例1 求函数
解:
因为
令 当
当 当 x 变化时, f / x , f (x) 的变化状态如下表:
1 3 的极值. f ( x) x 4 x 4 3 1 3 2 f ( x) x 4 x 4,所以 f ( x) x 4. 3 f ( x) 0, 解得 x 2或 x 2. , , ; f ( x) 0, 即 x 2 或 x 2 f ( x) 0, 即 2 x 2.
导数的应用教学课件ppt
乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
《导数以及应用》PPT课件
就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所 使用的。 • 光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现 代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。
导数的应用- -！
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
↘
极小 值
↗
∴函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a；f(x)在 x＝a－2 处取
得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若 a<23，则－2a＞a－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
▲ 此类优化问题的解题步骤： 1. 选取适当的自变量建立函数模型； (勿忘定义域！) 2. 用导数求函数在定义域内的极值， 此极值即所求的最值. 3. 用实际意义作答.
2. 可乐饮料罐的容积一定， 如何确定其高与底半径, 才能使它的用料最省？
[注意] 二元函数化为一元函数.
R h
3. 如图的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E. 当外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大的 电功率是多少？
所以 f(x)在(0,1)和21a，＋∞上单调递增，在1，21a上单调递减；
► 探究点三 利用导数研究函数的极值、最值问题
例 4 已知函数 f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中 a∈R.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a≠32时，求函数 f(x)的极值．
导数的应用- -！
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
↘
极小 值
↗
∴函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a；f(x)在 x＝a－2 处取
得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若 a<23，则－2a＞a－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
▲ 此类优化问题的解题步骤： 1. 选取适当的自变量建立函数模型； (勿忘定义域！) 2. 用导数求函数在定义域内的极值， 此极值即所求的最值. 3. 用实际意义作答.
2. 可乐饮料罐的容积一定， 如何确定其高与底半径, 才能使它的用料最省？
[注意] 二元函数化为一元函数.
R h
3. 如图的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E. 当外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大的 电功率是多少？
所以 f(x)在(0,1)和21a，＋∞上单调递增，在1，21a上单调递减；
► 探究点三 利用导数研究函数的极值、最值问题
例 4 已知函数 f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中 a∈R.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a≠32时，求函数 f(x)的极值．
数学苏教版选修11课件：第3章3.3.2 极大值与极小值
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
(3)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex(x2－7x＋13)＋ex(2x－7)＝ ex(x2－5x＋6)＝ex(x－2)(x－3)． 令f′(x)＝0解得x1＝2，x2＝3. 当x在定义域R内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
(－∞，2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
2．函数的极值与函数的导数之间的关系 (1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x) f′(x)__>___0 f′(x)＝0 f′(x)__<__0
(3)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex(x2－7x＋13)＋ex(2x－7)＝ ex(x2－5x＋6)＝ex(x－2)(x－3)． 令f′(x)＝0解得x1＝2，x2＝3. 当x在定义域R内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
(－∞，2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
2．函数的极值与函数的导数之间的关系 (1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x) f′(x)__>___0 f′(x)＝0 f′(x)__<__0
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
第17页，共29页。
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT)
g′(x) g(x)
2 (-≦,- ) 3 2 3 2 (- ,4) 3
4
0 -16-m
(4,+≦)
+Байду номын сангаас
+
0
68 -m 27
-
↗
↘
↗
则函数g(x)的极大值为g( 2 )= 68 -m，极小值为g(4)=-16-m.
≨由y=f(x)的图象与y=
1 f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点， 3
3
27
68 2 g( ) m＞0, 得 3 27 解得-16＜m＜ 68 . 27 g 4 16 m＜0,
↗
+ ↗
0
4 27
-
f(x)
↘
1 )= 4 , f(x)极大值=f( 27 3
f(x)极小值=f(1)=0. 答案： 4
27
0
2.≧f(x)=x4-x3,≨f′(x)=4x3-3x2. 令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0. ≨x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
的交点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.由f′(x)=0得x=- 5 或x=1.
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x)
5 (-≦,- ) 3 5 3 5 (- ,1) 3
1 0 -1
(1,+≦) +
+
0
229 27
1.极小值点与极小值的定义
2 (-≦,- ) 3 2 3 2 (- ,4) 3
4
0 -16-m
(4,+≦)
+Байду номын сангаас
+
0
68 -m 27
-
↗
↘
↗
则函数g(x)的极大值为g( 2 )= 68 -m，极小值为g(4)=-16-m.
≨由y=f(x)的图象与y=
1 f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点， 3
3
27
68 2 g( ) m＞0, 得 3 27 解得-16＜m＜ 68 . 27 g 4 16 m＜0,
↗
+ ↗
0
4 27
-
f(x)
↘
1 )= 4 , f(x)极大值=f( 27 3
f(x)极小值=f(1)=0. 答案： 4
27
0
2.≧f(x)=x4-x3,≨f′(x)=4x3-3x2. 令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0. ≨x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
的交点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.由f′(x)=0得x=- 5 或x=1.
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x)
5 (-≦,- ) 3 5 3 5 (- ,1) 3
1 0 -1
(1,+≦) +
+
0
229 27
1.极小值点与极小值的定义
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.3.2
• [提示] 在山峰左侧f′(x)>0，上升趋势； 右侧f′(x)<0，降落趋势．
极小值点与极小值
• 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它 在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而 且在点x＝a的左侧________，右侧 _f_′(_x_)<_0_______，则f′(x把)>0点a叫做函数y＝f(x)的极小值 点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
• 对函数的极值的理解
• (1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大 或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内 最大或最小．
• (2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区 间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
• (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系， 即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所 示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)．
x＝a 解的个数，可转化为函数 g(x)＝13x3－x 与函数 y＝a 图象交
点个数．函数 y＝a 的图象为平行于 x 轴的直线，下面研究 g(x)
＝13x3－x 的图象.
2分
由题意知，g′(x)＝x2－1，
令 g′(x)＝x2－1＝0，
解得 x＝1 或 x＝－1.
4分
∴当 x>1 或 x<－1 时，g′(x)>0；
由上表可知，函数 f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间
0，34上还是减函数，因此 x＝0 不是函数的极值点；而函数 f(x)
在区间0，34上是减函数，在区间34，＋∞上是增函数，因此在 x＝34处取得极小值，其值为－22576.
合作探究 课堂互动
极小值点与极小值
• 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它 在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而 且在点x＝a的左侧________，右侧 _f_′(_x_)<_0_______，则f′(x把)>0点a叫做函数y＝f(x)的极小值 点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
• 对函数的极值的理解
• (1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大 或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内 最大或最小．
• (2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区 间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
• (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系， 即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所 示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)．
x＝a 解的个数，可转化为函数 g(x)＝13x3－x 与函数 y＝a 图象交
点个数．函数 y＝a 的图象为平行于 x 轴的直线，下面研究 g(x)
＝13x3－x 的图象.
2分
由题意知，g′(x)＝x2－1，
令 g′(x)＝x2－1＝0，
解得 x＝1 或 x＝－1.
4分
∴当 x>1 或 x<－1 时，g′(x)>0；
由上表可知，函数 f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间
0，34上还是减函数，因此 x＝0 不是函数的极值点；而函数 f(x)
在区间0，34上是减函数，在区间34，＋∞上是增函数，因此在 x＝34处取得极小值，其值为－22576.
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函数导数及其应用PPT课件
记 法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映 射
[思考探究1] 映射与函数有什么区别？
提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个 集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须 是非空数集.
2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是 定义域 、值域 和 对应关系 . (2)相等函数
[思路点拨] A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解， 利用判别式可以求k的范围.
[课堂笔记] 由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2 －2x＋k＝0无实数根. ∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1. ∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应. [答案] A
分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的 函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周 期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度 陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.
[考题印证] (2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(2 009)的值为 ( ) A.－
设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为
()
[思路点拨] 求b，c 求f(x)的解析式
解方程f(x)＝x
[课堂笔记] 法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
的对应关系f，使对
对应关系
于集合A中的 任意
应关系f，使对于集合A 中的任意 一个元素x，
f：A→B
一个数x，在集合B 中都有唯一确定的
高中数学《第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的...》135PPT课件 一等奖名师
大学宣传片
北京体育大学
2017分数线：532
北京体育大学成立于1953年，原名中央体育学院，1956年更名为北京 体育学院，1993年更名为北京体育大学，是全国重点院校、国家“211 工程”重点建设大学，具有光荣的办学历史、深厚的文化底蕴和扎实的 办学基础，在国内外享有盛誉，隶属国家体育总局。学校位于海淀区信 息路，占地面积约1100余亩，建筑面积约45万平方米，拥有室内外训练 场馆共百余个。
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张 富祥 覃 峻华 龚巍 何源 付毫 向涵 陈果 冉焱坤
武汉理工大学 601 武汉理工大学 553 中国海洋大学 590 哈尔滨理工大学 576 华中农业大学 580 华北电力大学 570 中南民族大学 560 南方科技大学 586
我用青春的名义宣 誓
我要用智慧培育理 想
我要用汗水浇灌希 望
学校设有奥林匹克运动学部、体育与健康学部、人文社科学部。奥 林匹克运动学部下设冰雪运动学院、足球运动学院、中国篮球运动学院、 中国排球运动学院、中国游泳运动学院、中国田径运动学院、极限运动 学院、马术运动学院8个学院;体育与健康学部下设教育学院、管理学院、 心理学院、武术与民族传统体育学院、体育休闲与旅游学院、运动人体 科学学院、运动医学与康复学院7个学院;人文社科学部下设马克思主义 学院、新闻与传播学院、艺术学院、国际体育组织学院(外国语学院)、 国际文化学院、继续教育学院6个学院;附属竞技体育运动学校和附属中 等体育专业学校2所中等学校。中共国家体育总局党校、国家体育总局 干部培训中心、国家体育总局教练员学院设在学校。
我要踏过书山坎坷
我要渡过学海茫茫
我没有失败的理由
我走过的每一步都 是成功的保障
我不负父母的期盼
我不负父母的期盼 我不负恩师的厚望 我不负天赐的智慧 我不负青春的理想 不做怯懦的退缩 不做无益的彷徨 我将带着顽强的微笑 去赢得志在必得的辉煌 相信自我，不断超越 挑战自我，追求卓越
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答案
思考 极大值一定大于极小值吗？ 答案 不一定.
答案
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 极小值 .
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0，则把点b叫做 函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点 、 极小值点 统称 为极值点， 极大值 和极小值 统称为极值.
解析答案
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出 实数a的值；若不存在，请说明理由.
解析答案
思想方法 等价转化思想的应用 例 4 已知函数 f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值， 在 x＝x2 处取得极小值，且 0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0； (2)求 z＝a＋2b 的取值范围.
知识梳理
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知识点一 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近 其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数
y＝f(x)的极小值.
第三章 § 3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
学习 目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与 导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
解析答案
(2)a，b，c的值. 解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
3a＋2b＋c＝0， 得12a＋4b＝12.
解析答案
题型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x> 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2). 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2； 当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求f(x)的极值； 解 f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0， 当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0， 所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.
x f′(x) f(x)
(0,1) 1 －0 ↘3
(1，＋∞) ＋ ↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
解析答案
题型二 利用函数极值确定参数的值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得－ 3ca2＝3ba－＝10，，
① ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
③
由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
解析答案
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
答案
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题型探究
题型一 求函数的极值 例 1 求函数 f(x)＝x22＋x 1－2 的极值.
重点突破
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值. 解 函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1. 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
解析答案
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围. 解 由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当 5－4 2＜a＜5＋4 2时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)＝a有三个不同的实根.
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法. 它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交 点个数，从而判断方程根的个数.
解 f(x)＝12x3－32x， ∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)， 当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
解析答案
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12345
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( C ) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 解析 f′(x)的符号由正变负， 则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正， 则f(x0)是极小值， 由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5， 其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值； 解 由图象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0， 在(1,2)上f′(x)＜0， 在(2，＋∞)上f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增， 在(1,2)上单调递减， 因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
思考 极大值一定大于极小值吗？ 答案 不一定.
答案
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 极小值 .
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0，则把点b叫做 函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点 、 极小值点 统称 为极值点， 极大值 和极小值 统称为极值.
解析答案
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出 实数a的值；若不存在，请说明理由.
解析答案
思想方法 等价转化思想的应用 例 4 已知函数 f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值， 在 x＝x2 处取得极小值，且 0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0； (2)求 z＝a＋2b 的取值范围.
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知识点一 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近 其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数
y＝f(x)的极小值.
第三章 § 3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
学习 目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与 导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
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解析答案
(2)a，b，c的值. 解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
3a＋2b＋c＝0， 得12a＋4b＝12.
解析答案
题型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x> 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2). 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2； 当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求f(x)的极值； 解 f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0， 当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0， 所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.
x f′(x) f(x)
(0,1) 1 －0 ↘3
(1，＋∞) ＋ ↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
解析答案
题型二 利用函数极值确定参数的值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得－ 3ca2＝3ba－＝10，，
① ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
③
由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
解析答案
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
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题型一 求函数的极值 例 1 求函数 f(x)＝x22＋x 1－2 的极值.
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解析答案
跟踪训练 1 求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值. 解 函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1. 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
解析答案
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围. 解 由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当 5－4 2＜a＜5＋4 2时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)＝a有三个不同的实根.
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法. 它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交 点个数，从而判断方程根的个数.
解 f(x)＝12x3－32x， ∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)， 当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
解析答案
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12345
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( C ) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 解析 f′(x)的符号由正变负， 则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正， 则f(x0)是极小值， 由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5， 其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值； 解 由图象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0， 在(1,2)上f′(x)＜0， 在(2，＋∞)上f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增， 在(1,2)上单调递减， 因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.