线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(含答案)
的垂直平分线上．
⺁
，则 ଣ 的长为( )
C. 1
D.
)
.
到三角形三个顶点距离相等的是(
.
如图，已知 ܲ ଣ �ܲ， 댳 ଣ �댳.下列结论正确的是 (
A. 三条中线交点
�ଣ
，若
B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三条中垂线的交点
)
A. � 垂直平分 ܲ댳
B. ܲ댳 垂直平分 �
C. � 与 ܲ댳 互相垂直平分
对折，点 � 落在 ଣ 上
� 的周长为 13，则
三、解答题（本大题共 4 小题，共 32.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1⺁.
本小题 . 分
如图， � ଣ ଣ， � ଣ
ଣ.直线
是线段 �ଣ 的垂直平分线吗？
3
，则
处，若
恰好为 ଣ
�ଣ 的周长为______．
17. 本小题 . 分
如图，点
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、选择题（本大题共 11 小题，共 33.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.
如图，
�ଣ 中，边 � 的垂直平分线与 ଣ 交于点 ，与 � 交于点 ，已知 ଣ ଣ ⺁，�ଣ ଣ ⺁，则 �ଣ
的周长是 ( )
A.
B.
C.
2.
D. 1
，�ଣ ଣ � ，则有 ( )
分别交 �ଣ、 ଣ 于点 、 .若
B. 3
第1 题
C. ⺁⺁
ଣ⺁
，
2
ଣ 的长为半径作弧，两弧相交于
� 的周长为 2⺁ ，则
D. ⺁
2
1
第 11 题
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
中考数学习题精选：线段垂直平分线、角平分线、中位线(含参考答案)
中考数学习题精选： 一、选择题 1．（2018北京市东城区初二期末）如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60︒，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为BA ．2B C ．4D ． 解：C2.（2018北京市平谷区初二期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90︒，点D 为AB 边中点，DE ⊥AB ，并与AC 边交于点E. 如果∠A=15︒，BC=1，那么AC 等于（ ）. A. 2B. 31+C. 32+D.3答案：C3. （2018北京市顺义区八年级期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △AB C =10，DE =2，AB=4， 则AC 长是A.9B. 8C. 7D. 6答案：D4．（2018北京市西城区八年级期末）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．若△ABC 的周长为22，BE =4，则△ABD 的周长为（ ）． A ．14 B ．18C ．20D ．26答案：AEDCBA二、填空题5.（2018北京昌平区初二年级期末）在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于M ,N ,作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD . 如果BC =5，CD =2，那么AD = .答案：36.（2018北京市东城区初二期末）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠ABC ，BC =10cm ，BD ：DC =3:2，则点D 到AB 的距离为_____ cm ．解：4 7．（2018北京市东城区初二期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小俊的作法如下：MNBACD的垂直平分线.老师说：“小俊的作法正确．”请回答：小俊的作图依据是_________________________．解：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线8．（2018北京市丰台区初二期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：老师说：“小阳的作法正确．”请回答：小阳的作图依据是_________________________．答案：9．（2018北京市海淀区八年级期末）某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，由此得出房梁是水平的（即挂铅锤的线绳与房梁垂直）．用到的数学原理是．答案：“等腰三角形三线合一”或“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线”10．（2018北京市朝阳区一模）如图，∠AOB =10°，点P 在OB 上.以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点P 1（点P 1与点O 不重合），连接PP 1； 再以点P 1为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点P 2（点P 2与点P 不重合），连接P 1 P 2； 再以点P 2为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点P 3（点P 3与点P 1不重合），连接P 2 P 3； … …请按照上面的要求继续操作并探究： ∠P 3 P 2 P 4= º；按照上面的要求一直画下去，得到点P n ，若之后就不能再画出符合要求点P n+1了，则n = . 答案 40 ；8 三、解答题11.（2018北京海淀区第二学期练习）如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠． 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. ………………2分∵DC EF ∥， ∴CBF DCB∠=∠. ………………3分FE DCB A∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC平分ABF ∠. ………………5分 12．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上一点，EF 垂直平分CD ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，连结DE ，求证：DE ∥AB ．证明：∵AB=AC ，∴∠B =∠C ． ................................................................................. 1 ∵EF 垂直平分CD ， ∴ED=EC ． ................................................................................... 2 ∴∠EDC =∠C ． ............................................................................. 3 ∴∠EDC =∠B ． ............................................................................. 4 ∴DF ∥AB ． . (5)13.（2018北京东城区二模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC于点D ，交AB 于点E . (1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.证明：（1） ∵DE 垂直平分AB , ∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分(2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =. ∵DE 平分AB ， ∴5AE =. ∵ADE ABC △∽△，∴DE AEBC AC =. ∴568DE = . ∴154DE = . ---------------------------------------------------------------------5分14．（2018北京市怀柔区初二期末）已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB=AC=13cm ，AD=12cm.求BC 的长.解：∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC. BD=CD. ………………… 2分∴∠ADB=90Ο. ∵AB=13 AD=12∴BD ………………… 3分=5………………… 4分∴BC=10cm. ………………… 5分15.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）已知：如图，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是∠DAC 的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB,PC .通过观察，测量，猜想PB+PC 与AB+AC 之间的大小关系，并加以证明.BB16.（2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF（1）依题意画出图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是解：（1）如图 …………2分（2）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线．……4分或 sss 、全等三角形性质、等腰三角形三线合一，两点确定一条直线答案不唯一.（3）8………………………… 5分B。
线段垂直平分线与角平分线练习题(精.选)
线段的垂直平分线与角的平分线一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30︒，∠CAD=65︒，则∠ACD 等于 （ ） A ．50︒ B ．65︒ C ．80︒ D ．95︒ 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定3．如图3，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。
其中正确的有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90︒，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC的大小关系是 （ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。
5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有 （ ）A 、①②③④B 、①③C 、②④D 、②③④7题图 8题图 9题图F DEC BADE C B A PD CBAEDCB A DCB AE D CBA图3 图4图1图2c b aOCB ADP 8、如图所示，在ABC ∆中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE⊥AB ，则EB 的长是 （ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝D 、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。
角平分线与线段垂直平分线的练习题
角平分线与线段垂直平分线的练习题11、在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm2、三角形中到三个顶点距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交3、如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。
4、如图，在△ABC 中，∠C ＝90o ，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为 ．5、如图，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.6、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。
第3题图D A B C F C DA B E 第6题图M C B AA B C D E 7、已知，如图BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于D.求证：PM ＝PN 。
☆8、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定9、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝BC,AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB 垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．C NP M DB A DC A E B第8题图。
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为_________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是_________ cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于_________．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为_________．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=_________．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为18 cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是14cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于9．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为23．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=4．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．BD×13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．，，18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．ADAD=8cm27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．21。
角平分线、垂直平分线(精典例题+跟踪训练+参考答案
角平分线、垂直平分线精典例题+跟踪训练+参考答案知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD是角平分线。
求证：AC ABDC BD =。
分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
初中数学知识点030线段垂直平分线、角平分线、中位线真题及答案
一、选择题1. （ 2016广东省广州市，7, 3分）如图，已知△ ABC 中，AB=10, AC=8, BC=6, DE 是AC 的垂直平分线， DE 交AB 于点D ，连接CD ，贝U CD =（ ）A . 3B . 4C . 4.8D . 5【答案】D【逐步提示】 根据已知数据可先判断得出△ ABC 的形状，再进一步探索 DE 与BC 的位置关系，及 AD 与BD 的 数量关系，进而得 CD 即为△ ABC 的中位线，故有 CD 长为AB 长的一半.【详细解答】 解：I 62+82=102,即卩BC 2+AC 2=AB 2,-^ ABC 是直角三角形，/ ACB=90° . •/ DE 是AC 的垂直平 分线，••• DE 丄 AC , AE=CE ,「. DE // BC ,「. AD : BD=AE : CE=1 AD=BDCD 是 Rt △ ABC 斜边的中线，11则 CD=—AB= X 10=5，故选择 D .2 2【解后反思】 勾股定理的逆定理，三角形的中位线定理与“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的性质，是 判断两条直线位置关系与求解线段长度的重要知识依据，倘若忽视它们，将会出现解决问题时束手无策的局面. 【关键词】 勾股定理的逆定理；线段垂直平分线；平行线分线段成比例定理；直角三角形的性质 2. （2016贵州省毕节市，6, 3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条高的交点 C.三条中线的交点【答案】DB.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点【逐步提示】本题考查线段垂直平分线的定义及性质，解题的关键是牢固掌握线段垂直平分线的性质，并能与其他概念及性质相区别•根据各自的定义及性质，逐项分析是否满足“到三角形三个顶点的距离都相等”【详细解答】解：依题意，知这个点到三角形每边的两个端点的距离相等，所以，它是三条边的垂直平分线的交 点，故选择D.【解后反思】 本题的易错点是记错性质，与角平分线的性质相混淆，而误选B .【关键词】 三角形的高；角平分线的性质；三角形的中线；线段垂直平分线的性质；3. （ 2016河北省，9, 3分）图示为4X 4的网格图，A , B , C , D , O 均在格点上，点 O 是（ ）A . △ ACD 的外心B . △ ABC 的外心 C . △ ACD 的内心 D . △ ABC 的内心 【答案】B【逐步提示】 本题考查了三角形的外心和内心，根据“外心是三角形三边垂直平分线的交点”和“内心是三角形三条角平分线的交点”进行判断即可 •【详细解答】解： 如图，点O 是厶ABC 的边AC 的垂直平分线和边 BC 的垂直平分线的交点，即点O 是厶ABC 的外心，故答案为选项 B.【解后反思】三角形的外心的位置随三角形的形状不同而不同，锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部；而三角形的内心一定三角形的内部【关键词】三角形的外心；三角形的内心4. （2016 河南省，6, 3 分）如图，在△ ABC 中，/ ACB=90°, AC=8 , AB=10. DE 垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【】（A） 6 （B） 5 （C） 4 （D）3（第6題）【答案】D【逐步提示】本题是一道考查垂直平分线、三角形的相似（或者三角形的中位线的判定和性质）和勾股定理的综合题型，解题的关键是利用垂直平分线和三角形相似的相关知识在综合问题中的灵活运用•思路：在Rt △ABC中利用勾股定理求出EC长，再由垂直平分线可知三角形相似（或者得DE是三角形的中位线），由相似三角形（或三角形的中位线）的性质求出DE长【详细解答】解:方法一：在Rt△ A BC中，AO = 10「82=6.•/ DE 垂直平分AC,ZACB=9 0 °•••DE//BC，点D是AC的中点•••DE是AABC的中位线1•DE =—BC= 3 ,2方法二：在Rt △ A BC中，AO=102-8? =6.•/ DE 垂直平分AC,ZACB=9 0 °•DE//BC，点D是AC的中点•••△ABC S^A ED•DE AD 1"BC 一AC 一21•- DE= BC=32故选择D.【解后反思】本题的重点是垂直平分线和三角形中位线的性质综合运用，难点是不能发现基本的图形结构以及条件与结论之间的关系，解决问题的一般思维模式综合运用垂直平分线和三角形中位线的相关知识，在直角三角形中利用勾股定理或相似等求解线段长度•【关键词】 垂直平分线；勾股定理；三角形的中位线；相似5. （ 2016湖北省黄石市，4, 3分）如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点D ,/ A = 50 °则/ BDC= ......................................................................... （ ） A . 50 °B . 100 °C . 120 °D . 130 °【答案】B .【逐步提示】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的 性质、等腰三角形的性质求出/ ACD 的度数，而/ BDC 是厶ACD 的外角，利用三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和可求出/ BDC .【详细解答】 解：因为点D 在线段AB 的垂直平分线上，所以AD = CD ,所以/ ACD =/ A = 50°因为/ BDC 是厶ACD 的外角，所以/ BDC = / A +/ ACD = 50° X 2 = 100°，故选择 B .【解后反思】（1）线段垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，它具有性质：① 垂直平分线垂直且平分线段；②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫三角形的外心，这一点到三个顶点的距离相等. （2）等腰三角形是有两条边相等的三角形，它具有性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） ；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 【关键词】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质.6. （ 2016湖北省荆州市，8，3分）如图，在Rt △ ABC 中,/ C = 90°，/ CAB 勺平分线交 BC 于 D, DE 是AB 的垂 直平分线，垂足为 E 若BC= 3,则DE 的长为（）【逐步提示】 先应用角的平分线的性质和垂直平分线的性质可得到 AD=BD , / BAD= / CAD= / B=30°,再应用含30 °角的直角三角形性质即可。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案#精选、
3.线段的垂直平分线4.角平分线例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
AC DEBA B C NM AB C N M AB CN M例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
⊥⊥DE AB FG ACAB E G C例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。
求证：BE垂直平分CD。
CEFA D B例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线M N∥BC，与F，求证：OE=OF例7、如图所示，AB>AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE AB⊥于，求证：BE=CF。
E，DF AC FAEB M CFD答案如下：例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；（2）同理得，∠M=35°；（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A的一半．证明：设∠A=α，则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF ＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10例3：证明：因为AC=AD所以A在线段CD的垂直平分线上又因为BC=BD所以B在线段CD的垂直平分线上所以直线AB是线段CD的垂直平分线例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理，BE=5∴EG=5例5：证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90∴∠BDE＝∠ACB＝90∵BD＝BC，BE＝BE∴△BCE≌△BDE （HL）∴∠CBE＝∠DBE∵BF＝BF∴△BCF≌△BDF （SAS）∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF∵∠BFC+∠BFD＝180∴∠BFC＝∠BFD＝90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6：解：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．例7：证明：连接DC，DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE最新文件仅供参考已改成word文本。
等腰三角形应用(垂直平分线、角平分线)人教版(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:垂直平分线相关定理：① 线段垂直平分线上的点 _____________________________ ;② 到一条线段两个端点 ________________ ,在这条线段的垂直平分线上.问题2：角平分线相关定理：① 角平分线上的点 __________________________ ;② 在一个角的内部， ______________________ 在这个角的平分线上.问题3：已知：如图，点P 在ZAOB 内部，PC10A 于点C, PD 丄0B 于点D,且PC=PD.求 证：点P 在ZAOB 的平分线上.你是怎么思考的？等腰三角形应用（垂直平分线、角平分线）人教iLcZ版一、单选题（共9道，每道分）1.如图，在RtA ABC 中，ZB 二90。
，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D,交BC 于点E.已 知ZBAE=10。
，则ZCED 的度数为（ ）答案：C 解题思路:A.400C.50° B.45°D.60°・.・刀£垂直平分.\AE=CE:.A C =A CAET Z5=90°・•・ ZC+Z C45=90°即：Z C+Z CAE^ZBAE=90Q丁 ZB 辽=10。
/.ZC=40° ・•・ ZCED=50。
故选C.试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理2.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=18, BC=10, AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,交 AC 于点E,连接BE,则ABEC 的周长为（）A.19B.23C.28D.36答案：C解题思路：由DE 垂直平分川氏得BE=AE,而的周长为 BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC-题中条件.45=4C=18, 5C=10,则的周长为 BC^AC=28. 故选C.3.已知：如图，OA 垂直平分CP, OB 垂直平分PD,连接CD,交OA 于M,交OB 于N,若 A PMN 的周长是8cm,则下列说法不一定正确的是（）难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理A.MC=MPB.PC=PDC.NP=NDD.CD=8cm答案：B 解题思路:线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，M在QP的垂直平分线Q4上，所以故A选项正确; N在DP的垂直平分线上，所以JVP三VD,故C选项正确;△PJfV的周长等于MP+MN+NP=CWMN+ND=CD=E,故D选项正确；但无法判断PC, PD是否相等，故B选项不一定正确.故选B.试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理4.如图，0P平分ZMON, PA丄ON于A,点Q是射线0M上一个动点，若PA=3,则PQ的最小值为（）A.lB.2C.3D.4答案：C解题思路:要求PQ的最小值，根据垂线段最短, 可知当PQ1OM时，P0的值最小，如图所示，因为0P 平分AMON, E4丄ON, PO1OM, 根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知, 此时PO=PA=3,所以PQ的最小值为3.故选C.试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理5.如图，在△ ABC屮，点D在BC上，DE1AB于E, DF1AC于F,且DE=DF,线段AD是（A.A ABC的高B.BC边的屮垂线C.A ABC的中线D.A ABC的角平分线答案：D解题思路：点D在ZB4C的內部，且DE1AB于E,QF丄川C 于F, DE=DF,根据在一个角的內部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可知，AD平分A BAC,因此线段AD是A MC的角平分线. 故选D.试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理6.如图，AB〃CD, AP, CP分别平分ZBAC和ZACD, PE丄AC于E,则要求AB与CD之间的距离，只需测量出（）A.PA的长度B.PC的长度C.PE的长度D.AB的长度答案:C 解题思路:由川p,存分别平分A BAC和考虑用角平分线性质定理.如图：过点F作FF丄且B于点F,延长FP交CD于点G.CD:.FGVCD即：线段FG的长度即为血与仞之间的距离TzlP 平分ZB4C, PFlAB f PE1AC・•・PE=PFTCP 平分ZACD, PElAC f PG LCD:.PE=PG,・•・ FG=2PE故要求且B与CD之间的距离，只需测量岀PE的长度即可. 故选C.试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理7.如图，在RtA ABC中，ZC=90°, AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,且BE平分ZABC,则下列说法错误的是（）A.BE=AEB.CE=DEC.BE=2CED.ZA=45°答案：D解题思路：选项A ：由DE垂直平分AB可得BE=AE,正确；选项B：由平分厶BC, EC丄BC, ED1BA, 可知CESE,正确；选项C：'：AE=BE・•・Z A=Z DBETEE 平分ZABC:.乙CBE=ZDBE/.Z A=Z DBE=Z CBEVZC=90°/. ZA+ZDBE+ZCBE=90。
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．263．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．145．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 _________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 _________ cm ．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 _________ ． 9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 _________ ．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= _________ ．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC． 线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．解答：解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．26考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，∴AB=2AE=8，AD=BD，∵△ACD的周长为18，∴AD+DC+AC=18，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=8+BD+DC+AC=8+AD+DC+AC=8+18=26，故选D．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC考点：线段垂直平分线的性质．专题：数形结合．分析：由∠ACB=90°，∠B=22.5°，根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据线段的垂直平分线的性质得到DB与DA相等，利用等边对等角得到∠BAD与∠B相等，求出∠BAD的度数，由∠BAC的度数减去∠BAD 的度数，求出∠DAC的度数，又因为∠ADC是三角形ADB的外角，由三角形的外角性质得到∠ADC等于2∠B ，求出∠ADC的度数，从而得到选项A，B，C的结论正确，在直角三角形ACD中，根据斜边总大于直角边，判定得到AD大于CD，而AD与BD相等，等量代换得到BD大于CD，选项D的结论错误．解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=22.5，∴∠BAC=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°，又AB的垂直平分线交BC于D，∴DB=DA，故选项C正确；∴∠BAD=∠B=22.5°，∴∠DAC=67.5°﹣22.5°=45°，选项A正确，∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项B正确，在直角三角形ACD中，∵AD＞CD，又AD=BD，∴BD＞CD，选项D错误，则不正确的选项为D．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，外角性质及直角三角形的边角关系．遇到线段垂直平分线，往往根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，构造出等腰三角形，从而利用等腰三角形的有关知识解决问题．4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．14考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，即BD+CD+BC=12，再根据CE=4得到AC=8即可进行解答．解答：解：∵ED是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵△BCD的周长等于12，∴△BCD的周长=BC+BD+CD=AB+BC=12，∵CE=4，∴AC=8．∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+8=20．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．解答：解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 18 cm．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=5cm，代入AB+AE+BE求出即可．解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，BE=5cm，∴AE=BE=5cm，∵AB=8cm，∴△ABE的周长是AB+AE+BE=8cm+5cm+5cm=18cm，故答案为：18．点评：本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 14 cm．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线得出CE=AE=2，AD=DC，根据已知得出AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10，即可求出答案．解答：解：∵DE是AC的中垂线，∴AE=CE=2，AD=DC，∵△ABD的周长是10cm，∴AB+BD+AD=10，∴AB+BD+DC=AB+BC=10，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=10+2+2=14，故答案为14．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出AB+BC=10，题目比较典型，难度适中．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 9 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出△BCD的周长=AB+BC，代入求出即可．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴△BCD的周长是BD+DC+BC=BD+AD+BC=AB+BC=5+4=9，故答案为：9．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出△BCD的周长等于AB+BC．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 23 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，由△BCE的周长=EC+BE+BC得到答案．解答：解：AB的垂直平分线交AB于点D，所以EA=BE．∵AC=13，BC=10，∴△BCE的周长是EC+BE+BC=BC+CE+EA=AC+BC=13+10=23，故答案为23．点评：本题考查了垂直平分线的性质；由于已知三角形的两条边长，根据垂直平分线的性质，求出另一条的长，相加即可．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= 4 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，根据BC长求出AD+BD=8，代入AB+AD+BD=12即可求出答案．解答：解：∵MN垂直平分AC，∴AD=DC，∵BC=8，∴BD+DC=8=AD+BD，∵△ABD的周长为12，∴AB+AD+BD=12，∴AB=12﹣8=4，故答案为：4．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：（1）根据线段的垂直平分线性质求出AC即可；（2）根据线段的垂直平分线性质求出AD=DC，AC=2AE=6，根据△ABD的周长为13求出AB+BC的值即可求出答案．解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，∴AC=BC=6，答：BC的长是6．（2）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AD=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，∴AB+AD+BD=13，∴AB+CD+BD=13，即AB+BC=13，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=13+6=19．答：△ABC的周长是19．点评：本题主要考查对线段的垂直平分线性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据SSS证△ABC≌△ADC，推出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可；（2）求出四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD=BD×AC，代入求出即可．解答：解：（1）∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，BE=DE（三线合一定理）；（2）∵AC=a，BD=b，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CE=×BD×（AE+CE）=BD×AC=ab．点评：本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线性质，三角形的面积等知识点的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等腰三角形的顶角的平分线垂直于底边，且平分底边．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可．解答：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，关键是求出关于x的方程，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．解答：证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90°，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵，∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵，∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线性质求出CE长，代入BE+CE+BC=18求出BC即可．解答：解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是8．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出CE长，题目较好，难度不大．16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．考点：线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．解答：证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．点评：本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题：综合题．分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．解答：解：（1）存在满足条件的点C；作出图形，如图所示．（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，把（2，﹣2）和（7，3）代入得：，解得：，∴y=x﹣4，当y=0时，x=4，所以交点P为（4，0）．点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AC=BC，BD=AD，推出∠CBE=∠CAF，证△BCE≌△ACF，推出BE=AF，即可得出答案．解答：证明：∵线段CD垂直平分AB，∴AC=BC，AD=BD，∴∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD，∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD，即∠CBE=∠CAF，在△BCE和△ACF中∵，∴△BCE≌△ACF（ASA），∴BE=AF，∵BD=AD，∴BE﹣BD=AF﹣AD，即DE=DF．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接AC、AD，根据线段垂直平分线定理求出AC=AD，根据全等三角形的判定SSS证△ABC≌△AED即可．解答：证明：连接AC，AD，∵AF⊥CD，F为CD的中点，∴AC=AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E．点评：本题考查了对线段的垂直平分线定理和全等三角形的性质和判定的应用，关键是构造三角形ABC和三角形AED，并推出两三角形全等，题目比较典型，难度适中．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）根据全等三角形的判定SSS证出△ABC和△ADC即可；（2）根据线段垂直平分线定理得出点A，C都在线段BD的垂直平分线上即可．解答：证明：（1）在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC，∴∠ABC=∠ADC．（2）∵AB=AD，CB=CD，∴点A，C都在线段BD的垂直平分线上，∴AC⊥BD．点评：本题综合运用全等三角形的性质和判定和线段的垂直平分线定理，难度适中，题型较好．通过作题培养了学生分析问题和解决问题的能力．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE ，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE ，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AF=DF，推出∠FAD=∠FDA，根据角平分线得出∠BAD=∠CAD，根据三角形外角性质推出即可．解答：证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B．点评：本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质等知识点的运用，关键是推出∠FAD=∠FDA，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：利用线段的垂直平分线的性质得到：AD=BD，AF=CF，就可以将△ADF的周长转化为线段BC的长．解答：解：∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线∴AD=BD，AF=CF∴△ADF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=10∴△ADF的周长是10．点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质以及转化思想的应用．24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．考点：线段垂直平分线的性质；三角形三边关系．专题：数形结合．分析：PA大于PB，理由是：如图连接PA，与直线l交于C，连接PB，BC，因为直线l为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定理得直线l上的点C到线段两端点的距离相等，即AC=BC，在三角形PBC中，根据三角形的两边之和大于第三边得到PC+BC大于PB，然后利用等量代换把其中的BC换为AC，根据图形可得证．解答：解：PA＞PB．理由如下：（3分）如图，连接PA，与直线l交于点C；连接PB、BC．（2分）因为直线l是线段AB的垂直平分线，所以CA=AB；（2分）因为三角形任意两边之和大于第三边，所以PC+CB＞PB；（2分）所以PC+CA＞PB，即PA＞PB．（1分）点评：此题考查了线段垂直平分线的定理，以及三角形的三边关系．遇到线段垂直平分线，常常连接垂直平分线上的点与线段的两端点，构造等腰三角形．同时注意运用在三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）由已知和BC=BC，根据SSS即可推出两三角形全等；（2）由全等得出∠DBC=∠ACB，推出MB=MC，根据线段垂直平分线定理得出即可．解答：（1）证明：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）证明：∵由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴MB=MC，∴点M在BC的垂直平分线上．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线定理的应用，关键是推出△ABC≌△DCB，题目比较好，难度适中．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出BD=AD=16cm，推出∠B=∠BAD=15°，根据三角形的外角性质求出∠ADC=30°，根据含30度角的直角三角形性质得出AC=AD，代入求出即可．解答：解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD=16cm，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=8cm，点评：本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用，题目比较典型，是一道比较好的题目．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．考点：三角形的五心；线段垂直平分线的性质．专题：作图题．分析：首先根据线段的垂直平分线的性质，推出垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上，作△H1H2H3的外接圆O，根据线段的垂直平分线的性质作出弧H1H2、弧H2H3、弧H1H3的中点即可得到答案．解答：作法：1、作△H1H2H3的外接圆O，2、连接H1H2，作H1H2的垂直平分线EF交圆O于A，同法可作H2H3和H1H3的垂直平分线，分别交圆于B、C，3、连接AB、BC、AC，则△ABC为所求．点评：本题主要考查了三角形的五心，线段的垂直平分线的性质等知识点，解此题的关键是理解△ABC的垂心H 关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上．题型较好，但有一定的难度．21。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案由于A、B都在CD的垂直平分线上，所以直线AB是CD的垂直平分线。
证毕。
例4：解：连接EF，由于AB=AC，所以∠BAC=60°，∴∠DEG=30°，∠GFC=60°，又因为DE⊥AB，FG⊥AC，所以DEGF是一个菱形，且DG=GF=7.5cm，所以EG=2DGsin30°=7.5cm。
例5：证明：因为BD=BC，所以∠XXX∠CBD，又因为BE⊥CD，CF⊥BD，所以∠BEC=∠BCF，所以BE平分∠XXX，CF平分∠CBD，又因为∠XXX∠CBD，所以BE和CF都平分∠BCD，即BE垂直平分CD。
证毕。
例6：证明：连接OF，OE，MN，∵MN∥BC，∴∠EOF=∠ACB，又∠XXX∠EOM+∠MOF，∠XXX∠EOM+∠EOF，∴∠MOF=∠ACB-∠EOF，又因为EF是AC的角平分线，∴∠XXX∠EAF，又因为EF是AC的外角平分线，∴∠XXX∠XXX，∴∠MOF=∠ACB-∠XXX，又因为OE⊥AC，OF⊥AC，所以OE=OF，证毕。
例7：证明：连接AD，因为AD是∠A的平分线，所以∠EAD=∠FAD，又因为BD=BC，所以∠XXX∠DCB，又因为AD⊥DE，所以∠EDB=90°-∠XXX，又因为DF⊥CF，所以∠XXX°-∠DCB，所以∠EDB=∠XXX，又因为∠EAD=∠FAD，所以三角形ADE与三角形ADF全等，所以DE=DF，又因为BE⊥DE，CF⊥DF，所以BE=DEsin∠EDB=DFsin∠FDC=CF，证毕。
例4：根据题意，作AH垂直BC于点H，可以得到HC 的长度为15/2.由于△ABC是等腰三角形，所以∠ACB=∠ABC=30°。
根据正弦定理，可以求得AC的长度为5√3.由于F是AC的中点，所以FC的长度为5/2√3.根据勾股定理，可以得到CG和BE的长度都为5.因此，EG的长度也为5.例5：由于DE垂直于AB，而∠ACB=90°，所以∠BDE=∠ACB=90°。
垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))
垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。
角平分线与垂直平分线练习(较难题型)
角平分线与垂直平分线练习(较难题型)1.如图1，点H在QR边上，PH所在的直线是△PQR的对称轴，且PQ≠QR。
设HM∥PR，交PQ于点M。
下列结论中正确的是：①HM=PM；②HM=QM；③M是PQ的中点；④HM平分∠PHQ；⑤HM⊥PQ。
答案：①、④、⑤。
2.如图2，在△ABC中，直线l为BC边的垂直平分线，直线l与∠XXX的角平分线相交于点P。
已知∠ACP=15°，∠BAC=100°。
求∠ABP的度数。
答案：∠ABP=35°。
3.如图3，在△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32cm，4.如图4，将△ABC绕顶点A旋转到△ADE的位置，BC 与DE相交于点F。
下列结论中正确的有：①BC=DE；③FA 平分∠CFD；④∠CAE=∠BAD；⑤∠CAE=∠BFD；⑥AC=CF。
答案：①、③、④。
5.(1) 如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，交AC于点D，交AB于E，AC=5，BC=4.求△BCD的周长。
答案：△BCD的周长为12.2) 如图，在△ABC中，DE⊥BC，交AC于点E，垂足为D。
已知BC=10cm，△ABE的周长为15cm，△XXX的周长为25cm。
判断D是否是BC的中点。
答案：D不是BC的中点。
6.(1) 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°。
AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足分别为D，F。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案：∠EAG=30°，△AEG的周长为24.2) 如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=100°。
AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案：∠EAG=40°，△AEG的周长为24.3) 如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=70°。
平面几何的垂直平分线与平行线与角平分线与相交角练习题
平面几何的垂直平分线与平行线与角平分线与相交角练习题平面几何的垂直平分线、平行线、角平分线与相交角练习题一、垂直平分线1. 已知线段AB的中点为M，延长线段AB的垂直平分线相交于点O。
若AM = 4cm，MB = 6cm，求线段AO和线段OB的长度。
解析：由于垂直平分线将线段AB等分，所以线段AO和线段OB 的长度相等，设其长度为x，则有AO = OB = x。
又因为线段AM和线段MB的长度已知，根据线段分割定理可得，AM : MB = AO : OB。
代入已知数据可得4 : 6 = x : x，化简得2 : 3 = 1 : x，解得x = 3。
故线段AO和线段OB的长度均为3cm。
2. 已知四边形ABCD中，线段AB的中点为O，垂直平分线AC和BD相交于点E。
若AE = 6cm，DE = 10cm，求线段AB的长度。
解析：由于垂直平分线将线段AC和线段BD等分，所以线段AE和线段DE的长度相等，设其长度为x，则有AE = DE = x。
又因为线段AB的中点为O，根据线段分割定理可得，AE : EC = BO : OD。
代入已知数据可得6 : x = BO : 10，化简得6x = 10BO，再代入AE = DE = x得6x = 10x，解得x = 0，这显然不符合实际。
因此，题目中所给的条件是矛盾的，无解。
二、平行线1. 已知平行线l和m分别与线段AB相交于点C和点D，若AC =3cm，BC = 5cm，CD = 6cm，求BD的长度。
解析：由于平行线l和m与线段AB相交，根据平行线分割定理可得，AC : CB = CD : BD。
代入已知数据可得3 : 5 = 6 : BD，化简得3BD = 30，解得BD = 10。
故BD的长度为10cm。
2. 已知平行线l和m分别与线段AB相交于点C和点D，且AC =2BC，CD = 4cm，求BD的长度。
解析：由于平行线l和m与线段AB相交，根据平行线分割定理可得，AC : CB = CD : BD。
专题06 线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(解析版)
专题06线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】 (1)【考点二线段垂直平分线的判定】 (4)【考点三利用角平分线的性质求解】 (8)【考点四角平分线的判定】 (11)【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 (14)【过关检测】 (20)【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】∴()SAS ADE CDE △△≌，∴36DCE A ==︒∠∠，∴72BEC A ACE ∠=∠+∠=︒，故答案为：72︒．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出36DCE A ==︒∠∠是解题的关键．【变式训练】【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质定理，得【详解】解：∵AB 的中垂线交【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，在ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若10cm AB =，求CMN 的周长；(2)若o 65MFN ∠=，则MCN ∠的度数为______°．【答案】(1)10cm(2)50【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得MA MC =，NB NC =，则CMN 的周长CM CN MN AM MN BN AB =++=++=；（2）根据等边对等角可得A MAC ∠=∠，B NCB ∠=∠，根据三角形内角和定理，列式求出FMN FNM ∠+∠，再求出A B ∠∠+，即可求解．【详解】（1）解：∵DM ，EN 分别是AC ，BC 的中垂线∴MA MC =，NB NC=∴CMN C CM MN CN AM MN BN =++=++ AB =10cm =；（2）由（1）得MA MC =，NB NC =，由DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，可得90MDA NEB ∠=∠=︒，∴A MCA ∠=∠，B NCB ∠=∠，∵在MNF 中，65MFN ∠=︒，∴115FMN FNM ∠+∠=︒，根据对顶角的性质可得：FMN AMD ∠=∠，FNM BNE ∠=∠，在Rt ADM △中，9090A AMD FMN ∠=︒-∠=︒-∠，在Rt BNE 中，9090B BNE FNM ∠=︒-∠=︒-∠，∴909065A B FMN FNM ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒，∴65MCA NCB ∠+∠=︒，在ABC 中，65A B ∠+∠=︒∴115ACB ∠=︒，∴()50MCN ACB MCA NCB ∠=∠-∠+∠=︒．故答案为：50．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．【考点二线段垂直平分线的判定】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，AD 为三角形ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于点O ．(1)若BE DE =，60BAC ∠=︒，求CDF ∠的度数；(2)写出AD 与EF 的关系，并说明理由；【答案】(1)15︒(2)AD EF ⊥，AD 平分EF【分析】（1）根据三角形内角和可得C ∠，再利用内角和即可得出CDF ∠；（2）由角平分线的意义及两个垂直可证明ADE ADF V V ≌，从而有,AE AF DE DF ==，由线段垂直平分线的判定知，AD EF ⊥，AD 平分EF ．【详解】（1）解：∵DE AB⊥90BED ∴∠=︒∵BE DE=45B ∴∠=︒∵60BAC ∠=︒180456075C ∴∠=︒-︒-︒=︒∵DF AC⊥90DFC ∴∠=︒∴15CDF ∠=︒（2）解：AD EF ⊥，AD 平分EF ；理由如下：∵AD 平分BAC ∠，∴∠=∠DAB DAC ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90DEA DFA ∠=∠=︒，∵AD AD =，∴ADE ADF V V ≌，∴AE AF DE DF ==，，∴AD 是线段EF 的垂直平分线，即AD EF ⊥，AD 平分EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到Rt AED △和Rt ADF ，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．【变式训练】1．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在ABC 中，边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ．(1)求证：PA PB PC ==；(2)求证：点P 在线段AC 的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案；（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；【详解】（1）证明：∵边AB 、BC 的垂直平分线交于点P ，∴PA PB =，PB PC =，∴PA PB PC ==；（2）证明：∵边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，∴PA PB =，PB PC =，∴PA PC =，∴点P 在AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点D 是等边ABC 外一点，120BDC ∠=︒，DB DC =，点E ，F 分别在AB ，AC 上，连接AD 、DE 、DF 、EF ．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线；(2)若ED 平分BEF ∠，5BC =，求AEF △的周长．【答案】(1)见解析；(2)10．【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；（2）如图，过D 作DM EF ⊥于M ，结合已知易证90DBE ∠=︒即DB AB ⊥，同理可得DC AC ⊥，易证()Rt DBE Rt DME HL ≌得BE ME =，同理可得CF MF =，然后转换求周长即可．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，AB AC ∴=，∴A 在BC 的垂直平分线上，又DB DC =，∴D 在BC 的垂直平分线上，AD ∴是BC 的垂直平分线；（2）如图，过D 作DM EF ⊥于M ，120BDC ∠=︒ ，DB DC=30DBC ∴∠=︒又ABC 是等边三角形，90DBE DBC ABC ∴∠=∠+∠=︒A DB B∴⊥同理可得DC AC∴⊥ED 平分BEF ∠，DM EF⊥DB DM DC∴==DF ∴平分CFE ∠，在Rt DBE 与Rt DME 中DE DE DB DM=⎧⎨=⎩()Rt DBE Rt DME HL ∴ ≌BE ME∴=同理可得CF MF=()AEF C AE AF EF AE AF EM MF =++=+++ ()AE AF EB CF =+++()()AE EB AF CF =+++AB AC=+210BC ==.【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．【考点三利用角平分线的性质求解】A ．14B ．26【答案】D 【分析】如图：作DF AC ⊥交∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥∴4DF DE ==，∴12ABC ADC ADB S S S AC ==+ 【变式训练】1．（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点B ．三角形三条角平分线的交点C ．三角形三条高所在直线的交点D ．三角形三条中线的交点【答案】B【答案】5【分析】根据垂线段最短确定点【详解】解： O是BA上任意一点，∴当PO BA⊥时，OP的值最小，∠，P是BD又 BD平分ABC(1)求PAD∠的度数；=．(2)试说明PD PC∵AP 平分DAB ∠，PD AD ⊥，PE ∴PE PD =．∵BP 平分ABC ∠，PC BC ⊥，PE ∴PE PC =，【考点四角平分线的判定】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，连接AD ．求证：AD 是BAC ∠的外角平分线．【答案】证明见解析【分析】作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，根据角平分线的性质得到DE DF =，根据角平分线的判定定理证明结论．【详解】证明：作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，DB 平分ABC ∠、DC 平分ACH ∠，DE DG ∴=，DF DG =，DE DF ∴=，又DE BA ⊥，DF AC ⊥，∴AD 是BAC ∠的外角平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，CB CD =，180D ABC ∠+∠=︒，CE AD ⊥于E ．(1)求证：AC 平分DAB ∠；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）过C 点作CF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．由AAS 证明CDE CBF ≌，可得CE CF =，结论得证；（2）证明Rt ACE Rt ACF ≌，可得AE AF =，可求出AB ．【详解】（1）证明：过C 点作CF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．∵CE AD ⊥，∴90DEC CFB ∠=∠=︒，∵180D ABC ∠+∠=︒，180CBF ABC ∠+∠=︒，∴D CBF ∠=∠，又∵CB CD =，∴CDE CBF ≌，∴CE CF =，∴AC 平分DAB ∠；（2）解：由（1）可得4BF DE ==，在Rt ACE 和Rt ACF 中，CE CF AC AC=⎧⎨=⎩，∴Rt ACE Rt ACF ≌，∴10==AE AF ，∴6AB AF BF =-=．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)请猜想+AB AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)2AB AC AE +=，证明见解析【分析】（1）根据HL 证明Rt Rt DBE DCF ≌ ，得到DE DF =，再根据角平分线的判定定理，求证即可；（2）通过HL 证明Rt Rt ADE ADF ≌△△，得到AE AF =，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】（1）证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90E DFC ∠=∠=︒，在Rt DBE 和Rt DCF 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL DBE DCF ≌△△，∴DE DF =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴AD 平分BAC ∠．（2）解：2AB AC AE +=，证明如下：在Rt ADE △和Rt ADF 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∴2AB AC AB AF CF AB AE BE AE +=++=++=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】例题：（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，90C = ∠，DE AB ⊥于点E ，点F 在AC 上，BD DF =．(1)求证：CF EB =．(2)连接CE ，求证AD 垂直平分CE ．(3)若10AB =，6AF =，求CF 的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2CF =【分析】（1）利用角平分线的性质可得DC DE =，再利用“HL ”证明t R DCF Rt DEB △≌△，即可证明CF EB =；（2）利用“HL ”证明Rt ACD Rt AED ≌，可得AC AE =，所以点A 在CE 的垂直平分线上，根据DC DE =，可得点D 在CE 的垂直平分线上，进而可以解决问题；（3）设CF BE x ==，则AE AB BE x AC AF FC x 106=-=-==+=+，即可建立方程求解．【详解】（1）证明：∵DE AB ⊥于点E ，∴90DEB ∠= ，又AD 平分BAC ∠，90C = ∠，∴DC DE =，在t R DCF △和Rt DEB 中，DF DB DC DE =⎧⎨=⎩，∴()t R DCF Rt DEB HL ≌，∴CF EB =．（2）证明：连接CE ，如图在Rt ACD 和Rt AED △中，AD AD DC DE =⎧⎨=⎩，∴()Rt ACD Rt AED HL ≌，∴AC AE =∴点A 在CE 的垂直平分线上，∵DC DE =，∴点D 在CE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分CE （3）解：设CF BE x ==，∵10AB =，6AF =，∴AE AB BE x 10=-=-，AC AF FC x 6=+=+，∵AE AC =，∴106x x -=+，解得：2x =∴2CF =【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．【变式训练】1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF ．(1)求证：AD 为CAB ∠的角平分线；(2)若8AB =，6AC =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)7AE =DG 为BC 的垂直平分线，CD BD ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90DEB DFC ∴∠=∠=︒，在Rt DEB △和Rt DFC △中，(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM 【答案】(1)见解析(2)MC=1.5【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠【详解】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在ABC 中，DE 是AC 边的垂直平分线，分别交BC AC 、于D 、E 两点，连接AD ，25BAD ∠=︒，35C ∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】D 【分析】利用垂直平分线的性质，可得35DAC C ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理，可得B ∠的度数．【详解】解：DE 是AC 边的垂直平分线，35DAC C ∴∠=∠=︒，根据三角形内角和定理，可得18085B BAD DAC C ∠=︒-∠-∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，点P 为定角AOB ∠平分线上的一个定点，且MPN ∠与AOB ∠互补．若MPN ∠在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论中，不正确的是（）A ．OM ON +的值不变C ．MN 的长不变【答案】C 【分析】如图作PE OA ⊥于E ∠∠EPM FPN =，由OP 平分∵∠∠90PEO PFO ==︒，∴∠∠180EPF AOB +=︒，∵∠∠180MPN AOB +=︒，∴∠∠MPN EPF =，∴∠∠EPM FPN =，∠故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．二、填空题【答案】6【分析】过点C 作CP AB ⊥再根据三角形的面积公式求出【详解】解：过点C 作CP ∵BD 平分ABC ∠，PE AB ⊥∴PE EF =，∴CP CE PE CE EF =+=+的最小值．∵ABC 的面积为18，AB =性，是一道比较好的题目．三、解答题(1)如图1，若DE OB ∥．①DEO ∠的度数是︒，当DP OE ⊥时，x =②若EDF EFD ∠=∠，求x 的值；(2)如图2，若DE OA ⊥，是否存在这样的x 的值，使得说明理由．②∵20DEO ∠=︒，EDF EFD ∠=∠，∴80EDF ∠=︒，又∵140ODE ∠=︒，∴1408060ODP ∠=︒-︒=︒，∴60x =；（2）存在这样的x 的值，使得4EFD EDF ∠=∠．分两种情况：①如图2，若DP 在DE 左侧，∵DE OA ⊥，∴90EDF x ∠=︒-︒，∵20AOC ∠=︒，∴20EFD x ∠=︒+︒，当4EFD EDF ∠=∠时，()20490x x ︒+︒=︒︒﹣，解得68x =；②如图3，若DP 在DE 右侧，∵90EDF x ∠=︒-︒，18020160EFD x x ∠=︒-︒-︒=︒-︒，∴当4EFD EDF ∠=∠时，()160490x x ︒-︒=︒-︒，解得104x =；综上所述，当68x =或104时，4EFD EDF ∠=∠．(1)如图1，求BGC ∠的度数；(2)如图2，求证：EG FG =；(3)如图3，过点C 作CD EC ⊥交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M 使DAC NGD ∠=∠，若:1:2EB FC =，10CG =，求线段MN 的长．【答案】(1)120︒(2)见解析∴60BGH CGH ∠=∠=︒，∵60BGE CGF GBC GCB ∠=∠=∠+∠=∴G BGH C CG GH B E F ∠∠=∠=∠=，∵GBC GBE ∠=∠，BG BG=∴BGE BGH ≌△△，∴EG GH =，∵CE 平分ACB ∠，∴2ACB ACE ∠=∠，∵CD EC ⊥，∴90ECD ∠=︒，∴90ACE ACD ∠+∠=︒，∵180ACB ACP ∠+∠=︒，∴2ACP ACD ∠=∠，∴CD 平分ACP ∠，∵DR AC ⊥，DP BC ⊥，∴DR DP =，∵BF 平分ABC ∠，DR AC ⊥，DQ AB ⊥，∴DP DQ =，∴DR DQ =，∴AD 平分QAC ∠，∵60BAC ∠=︒，∴60DAQ DAC ∠=∠=︒，∴60NGD DAC ∠=∠=︒，由（1）得120BGC ∠=︒，∴18060BEG FGC BGC ∠=∠=︒-∠=︒，∵60MGF ABF BNG ∠=∠+∠=︒，60FGC FBC ECB ∠=∠+∠=︒，(1)如图1，请指出AB 与PB 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P ，Q 两点都在射线ON 的反向延长线上时，线段AB ，PB 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)AB PB =，理由见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BO BQ =，则BOQ BQO ∠=∠，根据OF 平分MON ∠，则AOB BOQ ∠=∠，即AOB BQO ∠=∠，根据OA QP =，可知AOB PQB △≌△，则可知AB PB =；（2）如图，连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BQ BO =，CQ CO =结合条件可证BQC BOC △≌△，则BQO BOQ ∠=∠，根据OF 平分MON ∠，BOQ FON =∠∠，可知AOF FON BOQ ∠=∠=∠，则AOF BQO =∠∠，进而可知AOB PQB =∠∠，由此可证AOB PQB △≌△（SAS ），则AB PB =．【详解】（1）解：AB PB=理由如下：连接BQ∵BC 垂直平分OQ∴BO BQ=∴BOQ BQO∠=∠∵OF 平分MON∠∴AOB BOQ∠=∠∴AOB BQO∠=∠∵OA QP=∴AOB PQB△≌△∴AB PB =；（2）存在，理由：如图，连接BQ ，∵BC 垂直平分OQ ，∴BQ BO =，CQ CO=在BQC 和BOC 中，BC BC CQ CO BQ BO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴BQC BOC △≌△（SSS ）∴BQO BOQ ∠=∠，∵OF 平分MON ∠，BOQ FON =∠∠，∴AOF FON BOQ ∠=∠=∠，∴AOF BQO =∠∠，∴AOB PQB =∠∠，在△AOB 和△PQB 中，OA PQ AOB PQB BO BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【知识回顾】（1）如图1，P 是BOA ∠的平分线上的一点，PE OB ⊥于点E ，作PD OA ⊥于点D ，试证：【深入探究】（2）如图2，在ABC 中，BD 为ABC ∠的角平分线交于AC 于D 点，其中10,AB BC AD +=BD Q 平分BAC ∠，DM DN ∴=，11,22ABD CBD S AB DM S BC =⋅= ABD S AB S BC∴= ，∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP ∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°(1)【理解运用】如图2，在ABC 中，D 为BC 上一点，点D ，E 关于直线AB 对称，连接判断点B 是否为点D ，F 关于直线AB 的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在（1）的条件下，若70A ∠=︒，AB AC =，点Q 是射线EF 上一点，且点D ，Q 角点”为点C ，请利用尺规在图2中确定点Q 的位置，并求出BQC ∠的度数；(3)【拓展提升】∵D 、E 关于AB 对称，∴BE BD =，AB DE ⊥，∴ABE ABC ∠=∠，∵ABE MBF Ð=Ð，∴ABC MBF Ð=Ð，∴点B 是点D ，F 关于直线AB 的“等角点”；（2）如图2，∵70A ∠=︒，AB AC =，∴55ABC ACB ∠=∠=︒．∵点D ，Q 关于直线AB ，AC 的“等角点”分别为点B 和点C ，∴55MBQ NCQ ∠=∠=︒，∴70CBQ BCQ ∠=∠=︒，∴40BQC ∠=︒；（3）如图3，。
八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线(含答案解析)
八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线（含答案解析）1.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°2.如图所示，已知AB=AB1，A1B1=B1B2，A2B2=B2B3，A3B3=B3B4…，以此规律操作下去，若∠B=50°，则∠A n-1B n B n-1（n≥2）的度数为（）A．B．C．D．3.如图，∠BAC=120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连接PA，PB，PC，若∠PAD=45°，则∠ABC=.5.如图，已知BD平分∠ABC，AD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BC=12cm,AB=6cm,那么AE的长度为cm.6.△ABC的外角∠DAC的平分线交BC的垂直平分线线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．⑴求证：BD=CE；⑵若AB=5cm，AC=10cm，求AD长.答案解析1.解：∵∠ABC=80°，∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°，∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，∴MA=MP，NC=NP，∴∠MPA=∠MAP，∠NPC=∠NCP，∴∠MPA+∠NPC=12（∠BMN+∠BNM）=50°，∴∠APC=180°-50°=130°，故选：C．2.解：在△ABB1中，AB=AB1，∠B=50°，∴∠AB1B=50°，∵A1B1=B1B2，∠AB1B是△A1B1B2的外角，3.解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∴∠PAB+∠QAC=60°，∴∠PAQ=60°，故选：D．4.解：∵AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，∴PA=PB=PC，∴∠PCA=∠PAD=45°，∠PAB=∠PBA，∠PCB=∠PBC，∵∠PCA+∠PAD+∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=180°，∴∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=90°，∴∠PBC+∠PBA=45°，∴∠ABC=45°，故答案为：45．5.解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，又∵AD=CD，∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL），∴AE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴BE=BF，∵BE=AB+AE=6+AE，∴BF=6+AE．∴BC=6+AE+CF=12，即12=6+2AE，解得：AE=3（cm），故答案为：3cm.6.⑴证明：如图，连接BP、PC．∵PQ垂直平分线段BC，∴PB=PC，∵∠PAD=∠PAE，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°，在Rt△PBD和Rt△PCE中，∴Rt△PBD≌Rt△PCE（HL），∴BD=CE．⑵解：在Rt△APD和Rt△APE中，∴Rt△APD≌Rt△APE，∴AD=AE，设AD=AE=x,∵△PBD≌△PCE，∴BD=EC，∴AB+AD=AC-AE，∴5+x=10-x,∴x=2.5，∴AD=2.5．。
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3.线段的垂直平分线
4.角平分线
例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝0
40，求∠NMB 的大小
（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小
（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.
（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。
例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。
求证：BE 垂直平分CD 。
例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与
∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF
D ，自D 作D
E AB ⊥于M=20°； AB 的垂直平分线与底边BC
则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．
（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．
例2：解：连接BF ，由线段的垂直平分线的性质可得，FB ＝FA 又因为AC ＝AF+CF ＝6，所以BF+CF ＝6△BCF 的周长＝BC+CF+BF ＝4+6＝10
例3：证明：因为AC=AD
所以A 在线段CD 的垂直平分线上
又因为BC=BD
所以B 在线段CD 的垂直平分线上
所以直线AB 是线段CD 的垂直平分线
例4：解：作AH ⊥BC 于H ，HC=15/2
∵等腰
A B C N
M A
B C N M A B C N M
∴∠ACB=∠ABC=30°
∴AC=2EC/根号3EC=5根号3
∵F为AC中点
∴FC=5/2根号3
∵FG⊥AC
∴CG=5
同理，BE=5
∴EG=5
例5：证明：
∵DE⊥AB，∠ACB＝90
∴∠BDE＝∠ACB＝90
∵BD＝BC，BE＝BE
∴△BCE≌△BDE （HL）
∴∠CBE＝∠DBE
∵BF＝BF
∴△BCF≌△BDF （SAS）
∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF
∵∠BFC+∠BFD＝180
∴∠BFC＝∠BFD＝90
∴BE⊥CD
∴BE垂直平分CD
例6：解：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
例7：证明：
连接DC，DB
∵点D在BC的垂直平分线上
∴DB=DC
∵D在∠BAC的平分线上
∴DE=DF
∵∠DFC=∠DEB
∴△DCF≌△DEB
∴CF=BE。