圆的轨迹问题 ppt课件

圆的方程的基本应 用
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知识点回顾：圆的标准方程
圆心是C(a,b)，半径是r的 圆的标准方程。
y
r
M(x,y)
C
1、圆是 平面内与定点距离等于定长__O的点的集合； x 2、推导中利用了 两点间的距_离__公式
3、圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 .
点M0在圆外
知识点回顾：圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的
形式，反过来，当D2+E2-4F>0时，方程表示一个圆.
圆心：D2 ,E2
半 径 ： r=1D2E24F 4
(1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
比较，在形式上有什么突出的特点?
(2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？ 可用什么方法求？
4、 圆的标准方程有哪些特点？
①方程明确给出了圆心坐标和半径;
②确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外 的条件是什么？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
化简得所求动点 的P轨迹方程。
例题分析
例 4、一动点到 A4,0 ，P 点是圆 x2 y2 4 上一动点，
点是 AP 的中点，求 Q 点的轨迹方程。
题型三 求有关最值问题
例 5、已知实数 x、y 满足方程 x2 y2 4x 1 0 （1）求 y 的最大值和最小值；
x （2）求 y x 的最小值 （3）求 x2 y2 的最大值和最小值
(2)Ca,( 3a) r|a| (3)Ca(,0)- ra2b2
题型一 求圆的方程的方法
❖ 求圆的方程的基本方法是待定系数法，用待定系 数法求圆的方法的步骤是：
1、根据题意选择方程的形式： 标准方程、一般方程
2、根据题意列出关于 a , b , r 或 D, E, F 的方程组 3、解出 a , b , r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方
线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点， 曲线上是否有遗漏的点。
例题分析
例3、已知一曲线是与两个定点O(0,0)， A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹， 求这个曲线的方程，并说出它的轨迹.
巩固练习
❖一动点到 A4,0 的距离是到 B 2, 0 的距离的2倍，求动点的轨迹方程
P
题型二 求轨迹方程的方法
程
小测试：测一测你的计算能力与上节课的掌握情况 ❖ 过点(1,2)和点（2,3）且半径为2的圆的方程
例题分析
例1、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例题分析
例 2 ， 圆 C 过 A 1 ,2 、 B 3 ,4 ， 且 过 x 轴 上
截 得 的 弦 长 为 6 ， 求 圆 C 的 方 程 。
题型二 求轨迹方程的方法
❖直接法，一般步骤为：
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上一
点坐标 M x, y ②几何点集：写出满足题设的点 M 的集合 PMPM ③翻译列式：将几何条件 P M 用坐标表示，写出
方程 f x, y 0
④化简方程：通过同解变形化简方程。 ⑤查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲
探索研究一
二元二次方程 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0
表示圆的条件是
AC 0
B0
D 2 E 2 4 AF 0
练习
1、求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径
(1) x2+y2-6x=0
(2) x2+y2-2ax-2 3 ay+3a2=0
(3) x2+y2+2ax-b2=0 (1) C(3,0) r=3
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本课小测试：看看你学会了没有？
如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
轨迹方程.
y
M
B
A
o
x
❖代入法，一般步骤为：
①设出动点坐标 P x, y 及已知曲线上的点的坐标
Ax0, y0 ;
②由题中条件建立 x 0 , y 0 与 x , y 的方程组；
③解关于 x 0 , y 0
的二元一次方程组，求解
x0 y0
f g
x, x,
y y
④将 x0 f x,y ，y0 gx,y 代入已知曲线方程，