江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)

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江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）

江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_____________________________________。

4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=?_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。

8.直线21x zy =??=?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。

10.=?????????? ??+???? ?+???? ??+∞→nn n n n n 122222212111lim 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使?=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。

2010江苏省高校第10届高等数学赛试题2级

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x→-=2.2ln(1x y x+=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 .二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b ba ab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

江苏省高校历届专科类数学竞赛试题汇总

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )xx x +→= ．3．= ．4．若级数11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑收敛，则a 的取值为． 5．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为（）．A ．0,1x =B ．1x =C ．0x =D ．无可去间断点 2．设21()sin,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 04．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （）．A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少 5．过点(2,0,3)-且与直线2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 垂直的平面方程是（）．A ．16(2)1411(3)0x y z --+++=B ．(2)24(3)0x y z --++=C ．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=⎰，求常数,a b ．四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 确定，求220t d ydx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点．六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na +++≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()xF x x t f t dt '=-⎰的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数21(21)n n n x∞+=+∑的收敛域及和函数.十、（8分）将1()arctan1xf x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域．十一、（6分）求581x xdx x -+⎰．十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满足3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim(0)x kx e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是． A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界4．设2ln(1),arctan x t y t t =+=+，则22d ydx= ．5．设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ．6．(arcsin arccos )x x dx -=⎰． 7．4+∞=⎰．8．幂级数11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑的收敛域为．二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调减少，0a b <<，求证：()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰．三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2xx e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当k 为何值时Γ为一圆？（2）当6k =时，求Γ的圆心和半径．六、（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -与k cx 为等价无穷小，则k = ，c = ．3．2tan2lim(sin )xx x π→= ．4．2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为．8．1(1)2nn nn ∞==+∑ ．二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2baf x dx b a =-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ．（1）试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上处处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)nn nn x n ∞=+∑收敛域第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 2．23001lim (1)xt x e dt x-→-=⎰．3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)xf x x x e =++，则(0)f ''= ．5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d ydx =-= ．6．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 与CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为．8．已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩ ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在．三、（9分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L ．（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积．四、（8分）设()f x 在区间[0,)+∞上是导数连续的函数，(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤，求证：|()|1,[0,)x f x e x ≤-∈+∞．五、（8分）求120arctan (1)xdx x +⎰．六、（9分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x z =++截下的（有限）部分为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，其中(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ．建立平面直角坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5)．试写出D 的边界的方程，并求D 的面积．七、（9分）对常数p，讨论级数1(1)n n ∞+=-∑何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？八、（9分）求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛域与和函数．第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．a = ，b = 时，2||lim arctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--．2．11lim (2)nn k k k →∞==+∑ ．3．设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，则(100)f '= ．4．当a = ，b = 时，2()1xf x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高． 5．2221(1)x dx x +∞=+⎰．6．点(2,1,1)-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为．7．通过点(1,1,1)-与直线：,2,2x t y z t ===+的平面方程为．8．幂级数1nn nx∞=∑的和函数为，收敛域为．二、（8分）设数列{}n x为111,(1,2,)n x x n +===，求证数列{}n x 收敛，并求其极限．三、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0baa f x dx >=⎰，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()af x dx f ξξξ=⎰．四、（8分）将xOy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求20lim sin()tt tx dx +→⎰．六、（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作一条直线Γ，使该直线经过另一直线221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程．七、（8分）判别级数)11(1)1n n ∞+=-∑的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．八、（10分）求函数222()(1)(12)x f x x x +=-+的幂级数展开式，并指出其收敛域．第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． 30sin sin(sin )limx x x x →-= ．2．2arctan()tan x y x e x =+，则y '= ．3．设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= ．4．2cos y x =，则()n y = ．5．21x x e dx x -=⎰ ．6．2140arctan()1x x dx x =+⎰ ．7．圆2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为． 8．级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为．二、（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值．三、（10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在(0,1)ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰．四、（12分）求反常积分4211dx x +∞-⎰．五、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．六、（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中心．（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的距离．七、（12分）已知数列{}n a 单调增加，满足123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-(2,3,)n =，记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性．第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．x →= ． 2．333412lim x n n →∞+++= ． 3．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰ ．4．ln(1)y x =-，则()n y = ．5．2arctan x xdx =⎰． 6．11arccos x dx x= ． 7．点(2,1,3)-到直线13122x y z -+==-的距离为． 8．级数2(1)1knn n n ∞=--∑为条件收敛，则常数k 的取值范围是．二、（每小题6分，共12分）（1）求3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑．（2）设()f x 在0x =处可导，且(0)1,(0)2f f '==，求20(cos 1)1lim x f x x →--．三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数()f x 在(,)δδ-上有定义（0δ>），当0x δ-<<时，()f x 严格增加，当0x δ<<时，()f x 严格减少，0lim ()x f x →存在，且(0)f 是()f x 的极小值．（2）函数()f x 在(,)δδ-上一阶可导（0δ>），(0)f 为极值，且(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点．四、（10分）求一个次数最低的多项式()P x ，使得它在1x =时取极大值13，在4x =时取极小值14-．五、（12分）过原点(0,0)作曲线:x y e -Γ=的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线及x 轴为边界的无界区域．（1）求切线L 的方程；（2）求区域D 的面积；（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点(1,2,1),(5,2,3)A B --在平面:223x y z ∏--=的两侧，过点,A B 作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小．（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标；（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面方程；（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心．七、（12分）求级数1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑的和．。

江苏省第十届高等数学竞赛试题

江苏省第十届高等数学竞赛试题（本科二级）考试时间：2010年6月5日上午 8:30—11:30一、填空题（每小题4分，共8小题）1、 =-→30)(sin )sin(sin sin limx x x x 求 2、 ='+++=y 求, 1)1x ln(x 已知y 22x3、 =-⎰dx e x x x 214、，x cos y 2==(n)y 求5、 =-⎰+∞2411dx x 求6、022*********{=+-+≤+--++z y x z y x z y x ，求该区域面积S=7、 =='='-=)1,2(21|,3)2,3(,2)2,3(),,2(z dz y x y x f f f 求且已知8、 =-+∑∞=1!2!)1(1n n n n n二、;)()(],[)(dx x xf dx x f b b a x f ba ba ⎰⎰=上连续，满足在求证：存在),,(b a ∈ξ使得 ⎰=ξa x f 。

0)(（10分）三、为侧面的中点，为，边长为正方体F D C E D C B A ABCD 1111112-的中心，11BCC B 求（1）形成的二面角；与底面平面ABCD EF A 1（2）积。

截正方体得到的截面面EF A 1 （10分）四、等腰梯形ABCD ，其中AB+BC+CD=8，梯形绕AD 边旋转，得到的旋转体体积最大，求AD ，BC ，AB 的长。

（12分）五、满足：已知区域求D dxdy y x D ,)sin (cos 22⎰⎰+。

0,0,122≥≥≤+y x y x （12分）六、）的积分。

，）到（，沿曲线从（）（求1100)1(2-++++⎰dy y x dx e y x Lx 曲线L 的方程。

：)10(2)21(222{≤≤=≤≤=+x x y x x y x L （12分）七、已知}{n a 单调增加，113213;5,2,1-+-====n n n a a a a a a 满足且 ),2(*N n n ∈≥n n a x 1=设，的敛散性。

江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。

10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。

江苏省高校第十届本一高等数学竞赛试题

2010年江苏省普通高等学校第十届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-→30)(sin )sin(sin sin lim x x x x 。

2.设ϕ,f 可导，)),(tan (arctan x x f y ϕ+=则='y 。

3.,cos 2x y =则=)(n y 。

4.⎰=-dx e x x x 21 。

5.=-⎰∞+dx x2411 。

6.圆⎩⎨⎧≤+--++=+-+192240222222z y x z y x z y x 的面积为。

7.设),,2(y x y x f z -=f 可微, ,2)2,3(1='f ,3)2,3(2='f 则===21y x dz 。

8.级数∑∞=--+1!2)!1()1(1n n n n n 的和为。

二、(10分)设)(x f 在],0[c 上二阶可导，证明：),,0(c ∈∃ξ使得 )(12))()0((2)(30ξf c c f f c dx x f c ''-+=⎰。

三、(10分)已知正方体1111D C B A ABCD -的边长为2，E 为11C D 的中点，F 为侧面正方形11B BCC 的中点，(1)试求过点F E A ,,1的平面与底面ABCD 所成的二面角的值。

(2)试求过点F E A ,,1的平面截正方体所得到的截面的面积。

四、(12分)已知ABCD 是等腰梯形，BC ∥AD ，8=++CD BC AB ，求AD BC AB ,,的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五、(12分)求二重积分⎰⎰+Ddxdy x x )sin (cos 22，其中1:22≤+y x D 。

六、(12分)应用高斯公式计算⎰⎰++∑ds cz by ax )(222(c b a ,,为常数)，其中z z y x 2:222=++∑。

其中Γ为曲线⎩⎨⎧≤≤=+≤≤=,21,2,10,222x x y x x x y 从)0,0(O 到)1,1(-A 七、(12分)已知数列}{n a ：,,5,2,1321 ===a a a ),3,2(311 =-=-+n a a a n n n ，记a x n 1=，判别级数∑∞=1n n x 的敛散性。

江苏省高等数学竞赛试题汇总情况

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

2010江苏省高校第10届高等数学竞赛试题

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分）1.()()30sin sin lim sin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()n y =4.21x x dx x e+=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz == 8.级数()()1111!2!nn n n n ∞=+--∑的和为二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈，使得()()()()()300212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰ 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性. 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x→-=2.1y x=+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==8.级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b ba ab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

江苏省高等数学竞赛试题汇总

江苏省⾼等数学竞赛试题汇总2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科⼆级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=? 5.4211dx x +∞=-?6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=??++--+≤的⾯积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为. ⼆.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ三．（10分）已知正⽅体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧⾯正⽅形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平⾯与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平⾯截正⽅体所得到的截⾯的⾯积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。

五（12分）求⼆重积分()22cos sin Dx y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科三级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=?6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y+=8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D⼆.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对⼀切正数x 成⽴，求常数a 的最⼩值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=?.四.（12分）求⼴义积分4211dx x+∞-?五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.21y x=+/y=3.2c o s y x=，()()n yx =4.21xx ed x x-=⎰ 5.4211d x x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==8.级数11(1)!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 .二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b baab f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x d x ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111A B C D A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11B C CB 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面A B C D 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

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江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知，则．21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦()f x '=2．．1ln 0lim (tan )xx x +→=3．　．=⎰4．若级数收敛，则的取值为．11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑a 5．．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数的可去间断点为（）．21()(1)x e f x x x -=-A ． B ．C ．D ．无可去间断点0,1x =1x =0x =2．设，则当时，是的（）．21()sin,()sin f x x g x x x==0x →()f x ()g x A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小C ．高阶无穷小D ．等价无穷小3．设常数，函数在内零点个数为（）．0k >()ln xf x x k e=-+(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 32104．设对一切满足，若且，则函数()y f x =x 240y y y '''--=0()0f x >0()0f x '=在点（）．()f x 0x A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点且与直线垂直的平面方程是（）．(2,0,3)-2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩A ． B ．16(2)1411(3)0x y z --+++=(2)24(3)0x y z --++=C ．D ．3(2)52(3)0x y z -+-+=16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设，求常数．2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dxx x x +∞→+-+=⎰,a b 四、（6分）已知函数由方程组确定，求．()y y x =(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩220t d y dx =五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有(),()f x g x [,]a b (,)a b (,)a b x ，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之()()()()0f x g x f x g x ''-≠()f x (,)a b 间，至少有一个零点．()g x 六、（6分）设，其中是实数，且12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++ 12,,,n a a a ，试证：|()||sin |f x x ≤12|2|1n a a na +++≤ 七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线2y x =2(,)a a a 所围成的图形面积最小？241y x x =-+-八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，0x →220()()()xF x x t f t dt '=-⎰2x 求．(0)f '九、（8分）求级数的收敛域及和函数.21(21)n n n x∞+=+∑十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域．1()arctan1xf x x+=-x 十一、（6分）求．581x xdx x -+⎰十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足()f x 0x >()g x，试求．3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰()f x 第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=--2．设，则，．0lim(0)x c c +→=≠k =c =3．设在上可导，下列结论中成立的是．()f x [1,)+∞A ．若，则在上有界lim ()0x f x →+∞'=()f x [1,)+∞B ．若，则在上无界lim ()0x f x →+∞'≠()f x [1,)+∞C ．若，则在上无界lim ()1x f x →+∞'=()f x [1,)+∞4．设，则　．2ln(1),arctan x t y t t =+=+22d ydx=5．设由确定，则．()1yex y x x -+-=+()y y x =(0)y ''=6．　．(arcsin arccos )x x dx -=⎰7．．4+∞=⎰8．幂级数的收敛域为．11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ 二、（8分）设在上连续且单调减少，，求证：()f x [0,)+∞0a b <<．()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰三、（9分）设．()sin f x kx x =+（1）若，求证：在上恰有一个零点；1k ≥()f x (,)-∞+∞（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围．01k <<()f x (,)-∞+∞k 四、（8分）求．2201tan 2x x e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当为何值时为一圆？（2）当时，求的圆心和半径．k Γ6k =Γ六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与1211x y z-==-y 所包围的立体的体积．0,2y y ==七、（9分）求．2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时k 221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．是周期为的奇函数，当时，，则当()f x π0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos 2f x x x =-+时，．,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =2．当时，与为等价无穷小，则， 0x →sin cos x x x -kcx k =c =．3．．2tan2lim(sin )xx x π→=4．．2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ 5．已知，则当时，．2()ln(1)f x x x =-2n >()(0)n f=6．．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰7．以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为．x y z ==1R =8．．1(1)2nn nn ∞==+∑二、（10分）设在上连续，在内可导，，()f x [,]a b (,)a b ()f a a =，求证：在内至少有一点，使得．221()()2baf x dx b a =-⎰(,)a b ξ()()1f f ξξξ'=-+三、（10分）设．在的边界上22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤D y x =任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界P P t PQ y x =D 于．224y x -=Q （1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体,P Q ||PQ t D y x =积．四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数()f x (,)-∞+∞()f x 0x =有，求证：在上处处连续．12,x x 1212()()()f x x f x f x +=+()f x (,)-∞+∞五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围．k 110kx x-+=(0,)+∞k 六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得(1,0,1)P -(3,1,2)Q 212x y z -+=M 最小．||||PM MQ +七、（10分）求幂级数收敛域11(32)n n nn x n ∞=+∑ 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2．．23001lim(1)xt x e dt x-→-=⎰3．若，则，　．lim )0x ax b →+∞++=a =b =4．设，则　．2sin ()(1)xf x x x e=++(0)f ''=5．设，则．2ln(1),arctan x t y t =+=221t d ydx =-=6．．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰7．为空间的4个定点，与的中点分别为，（为常,,,A B C D AB CD ,E F ||EF a =0a >数），为空间的任一点，则的最小值为．P ()()PA PB PC PD ++A 8．已知点为原点，则四面体的外接球面的方(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),ABC O --OABC 程为．二、（8分）设，试问：为何值时，在2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩,,a b c ()f x处一阶导数连续，但二阶导数不存在．0x =三、（9分）过点作曲线的切线．(1,5)3:y x Γ=L （1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；L ΓL D （3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积．D 0x ≥x 四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，，()f x [0,)+∞(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤求证：．|()|1,[0,)xf x e x ≤-∈+∞五、（8分）求．120arctan (1)xdx x +⎰六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分221(0)x y z +=≥222z x z =++为．为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中∑∑∑为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形．建(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --∑∑BC D 立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为．试写出的边界的方程，D x A (0,5)D 并求的面积．D 七、（9分）对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？p 11(1)n n ∞+=-∑何时发散？八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数．212nnn n ∞=∑第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．，时，．a =b =2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--2．．11lim(2)nn k k k →∞==+∑3．设，则．()(1)(2)(100)f x x x x x =--- (100)f '=4．当，时，在时关于的无a =b =2()1xf x ax x bx=+++0x →x 穷小的阶数最高．5．．2221(1)x dx x +∞=+⎰6．点关于平面的对称点的坐标为．(2,1,1)-25x y z -+=7．通过点与直线：的平面方程为．(1,1,1)-,2,2x t y z t ===+8．幂级数的和函数为，收敛域为．1nn nx∞=∑二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其{}nx 111,(1,2,)n x x n +=== {}n x 极限．三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，()f x [,]a b (0),()0baa f x dx >=⎰(,)a b ξ∈使得．()()af x dx f ξξξ=⎰四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得xOy 222()(0)x b y a a b -+=<<3x b =到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求．200lim sin()tt tx dx +→⎰六、（10分）在平面内作一条直线，使该直线经过另一直线:220x y z ∏+-=Γ与平面的交点，且与垂直，求直线的参数方程．221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩∏ΓL Γ七、（8分）判别级数的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．)11(1)1n n ∞+=--∑八、（10分）求函数的幂级数展开式，并指出其收敛域．222()(1)(12)x f x x x +=-+第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．．30sin sin(sin )lim x x x x →-=2．，则．2arctan()tan x y x e x =+y '=3．设由确定，则．y x x y =()y y x =dy dx=4．，则．2cos y x =()n y =5．．21x x e dx x -=⎰6．．2140arctan()1x x dx x =+⎰7．圆的面积为．2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩8．级数的和为．11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值．a 2axx e ≤x a三、（10分）设函数在上连续，且，求证：存在()f x [0,1]1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，使得．(0,1)ξ∈()0a f x dx ξ=⎰四、（12分）求反常积分．4211dx x +∞-⎰五、（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围(0,0)ln y x =-ln y x =-x 的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积．x 六、（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正1111ABCD A B C D -E 11D C F 方形的中心．（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值；11BCC B 1,,A E F ABCD （2）试求点到过点的平面的距离．D 1,,AEF 七、（12分）已知数列单调增加，满足{}n a 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ，记，判别级数的敛散性．(2,3,)n = 1n n x a =1n n x ∞=∑第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．．0x →=2．．333412lim x n n →∞+++= 3．．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰4．，则．ln(1)y x =-()n y =5．．2arctan x xdx =⎰6．．11arccos x dx x=7．点到直线的距离为．(2,1,3)-13122x y z -+==-8．级数为条件收敛，则常数的取值范围是．2(1)1kn n n n ∞=--∑k 二、（每小题6分，共12分）（1）求．3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑（2）设在处可导，且，求．()f x 0x =(0)1,(0)2f f '==20(cos 1)1lim x f x x →--三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当()f x (,)δδ-0δ>0x δ-<<()f x 时，严格减少，存在，且是的极小值．0x δ<<()f x 0lim ()x f x →(0)f ()f x （2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线()f x (,)δδ-0δ>(0)f (0,(0))f 的拐点．()y f x =四、（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，在时()P x 1x =134x =取极小值．14-五、（12分）过原点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为(0,0):x y e -Γ=L D Γx 边界的无界区域．（1）求切线的方程；（2）求区域的面积；（3）求区域绕轴旋L D D x 转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点在平面的两侧，过点作球面(1,2,1),(5,2,3)A B --:223x y z ∏--=,A B 使其在平面上截得的圆最小．∑∏Γ（1）求直线与平面的交点的坐标；AB ∏M （2）若点是圆的圆心，求球面的球心坐标与该球面方程；M Γ∑（3）证明：点确是圆的圆心．M Γ七、（12分）求级数的和．1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑。

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

江苏省高等数学竞赛本科一级历年真题PPT

2 n! 2
（2004） f (x) = x4 ln(1− x), n > 4 时 f (n) (0) =
− n! n−4
（2010） y = cos2 x, 则 y(n) =
( ) （2012） y = ln 1 − x2 ，则 y(n) =
2 n −1
cos
⎛ ⎜⎝
2x
+
nπ
2
⎞ ⎟⎠
(−1)(
0
导数计算
（1991）设
P(x)
=
dn dx n
(1 −
xm )n
，其中 m, n
为正整数，则
(−1)n mnn!
P(1) =
（1996）若 f (x) = x(2x −1)(3x − 2)"(100x − 99) ，则 f ′(0) = −99!
( ) （1994）若 f (x) = x2 − 3x − 2 n cos π x2 ，则 f (n) (2) = 16
1+ x2 + 1− x2 − 2
（1998） lim
x→0
1+ x4 −1
−1 2
其他方法
（1994）已知 f (0) = 0, f ′(0) 存在，求
导数定义
lim[
n→∞
f
(
1 n2
)
+
f
2 (n2
) +"+
f
n ( n2 )]
1 f '(0) 2
（1998） lim | sin(π n2 + n ) |
1
dx
x
3x
2 −2 e2 e
（2002）设由 e− y + x( y − x) = 1+ x 确定 y = y(x) ，则 y′′(0) =

江苏省历年高等数学竞赛试题(免费版)

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.22ln(1)1x x y x++=+，/y =3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 .二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bba ab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABC D A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面A B C D 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212xx x y xx ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1nnx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2008年江苏省普通高等学校非理科专业一、填空题（每小题5分，共40分）1）___,____a b ==时，2limarctan .2x ax x x bx xπ→∞+=--2）11lim__________.(3)nn k k k →∞==+∑3）设()(1)(2)(100),f x x x x x =--- 则(100)_______.f '= 4）___,____a b ==时，2()1x f x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高.5）2320sin cos _______.x xdx π⋅=⎰6）2221_______.(1)xdx x +∞=+⎰7）设,xz x y =-则(2,1)_________.nnzy∂=∂8）设D 为,0,1y x x y ===所围区域，则arctan _________.Dydxdy =⎰⎰二、（8分）设数列{}n x 为：111,6(1,2)n n x x x n +==+= ，求证：数列{}n x 收敛，并求其极限三、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,b aa f x dx >=⎰求证：存在(,),a b ξ∈使得()().af x dx f ξξξ=⎰四、（8分）将xy平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.五、（8分）设22242,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0).x y x y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪=⎩ 讨论(,)f x y 在(0,0)处的连续性、可偏导性、可微性.六、（10分）已知曲面 222441x y z +-= 与平面 0x y z +-=的交线在xy 平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.七、（8分）求2401lim sin().t txt dx y dy t +→⎰⎰ 八、（10分）求221,Dx y dxdy +-⎰⎰这里22:2,0.D x y x y x +≤≤≤2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分） 1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n→∞=⎡⎤⎣⎦2. ()()251lim 1x tx x edt x-→-=⎰3.()122arctan 1xdx x =+⎰4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体O A B C 的内接球面方程为5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值.7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8.级数()1111n pn n nn∞+=+--∑条件收敛时，常数p 的取值范围是二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面340x z -+=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(2,0,23),(1,0,3)A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段O B 剪开并展成平面图形D ，以O A 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段B C 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.六（10分）曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，本科一级考生做2221dxdydz x y zΩ++⎰⎰⎰本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1nn n a xn∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.本科二级考生做：求幂级数()2112nnn n x ∞=+∑的收敛域与和函数2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式 . 2. ()2tan 2lim sin xx x π→=3. 2222lim 14n nn nn n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0nf = 5.()()21xxex dx x e -=-⎰6.()112nn nn ∞==+∑.7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=，则()1ϕ'= . 8. 设()()010xx f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212b afx dx b a=-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使PM M Q +最小五（10分）求幂级数()()1132nnnn xn ∞=+-∑的收敛域。

江苏省高等数学竞赛试题

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分） 1.()()3sin sin limsin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()n y =4.21x xdx x e +=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz==8.级数()()1111!2!nnn n n ∞=+--∑的和为二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈，使得()()()()()30212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

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江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v 为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。

10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n，求nn a ∞→lim 。

三、（7分）求c的值，使⎰=++bacxcx0)cos()(，其中ab>。

四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b+=-=±=±和0z=所围区域的体积（其中,,a b c为正实数）。

五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动aq m（其中01q<<），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明201()3f x dx M≤⎰，其中 [0,2]()max x M f x ∈''=.江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛本科一级竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1. 111414242lim n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L ________________. 2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+⎧⎨=⎩确定的隐函数，则z x ∂=∂____________________。

3.设22()(32)cos16nx f x x x π=-+，则()(2)n f =________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos 2x y xe x=，则通解为_______________。

5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。

6.已知,a b r r 是非零常向量2b =r ，(,)3a b π∧=r r ，则0lim x a xb ax→+-=r r r___________________。

7.2311(cot )dx x π=+⎰_______________________。

8.椭球面222241x y z ++=与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。

二、（8分）试比较e π与e π的大小。

三、（10分）已知,a b 满足12b ax dx =⎰，（0a b ≤≤），求曲线2y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D ：)0(,222>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。

求证： )0,0(),(1lim2f dxdy y x f t Dt =⎰⎰→。

五、（10分）求不定积分dxxe x x x x ⎰++)1(cos 1sin 。

六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程04622222=∂∂+∂∂∂+∂∂y uy x u x u 化简成02=∂∂∂ηξu，求b a ,的值。

七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0,()0f f f x ==≠,证明：10[0,1]()4()max x f x dx f x ∈''≥⎰。

江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共40分）1.若0a >，20061lim lim[sin()tan 3]sin 6xx x x x x x ππ→→=-- ，则a =____________.2.若()(21)(32)(10099),f x x x x x =--⋯⋯-则(0)f '=________________.3.已知当x 大于12且趋向于12时，-3arccos x π与1()2ba x -为等价无穷小，则 a =_____________,b =_______________.4.2||1x xe dx --=⎰___________________________.5.直线23223x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L 的距离为____________.6.++παβα2β3αβ设与均为单位向量，其夹角为，则以与为邻边的平行四边形的6面积为______________.27.x 0(sin )(sin ),(0)0(0)_______.d d f x f x f f dx dx '==≠=设当时，则8.设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞→x yx lim。

二、（10分）设,0()0,0x y f x x >===⎪⎩；讨论()f x 的连续性，求单调区间、极值与渐近线。

三、（10分）22(1)(3).x x --2设f(x)=x(1)(y ()f x =本科三级考生做）试问曲线有几个拐点，证明你的结论.(2)(f ()0x "=专科考生做）试问在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.四、（10分）220x sin u x (sin ),.3sin 4cos xxf x dx dx x ππππ+⎰⎰⎰若f （）是连续函数，证明f(sinx)dx=并求2五、（10分）10()[0,1]0x<y 1|f(x)-f(y)||arctanx-arctany|,f(1)=0,1|f ()|ln 2.2f x x dx ≤≤≤≤⎰设在区间上可积，当时，又求证：六、(10分)求过点)0,9,11(，而与两直线⎩⎨⎧=++-=+4:1zyxyxL、⎩⎨⎧=-+=-+213:2zyyxL相交的直线方程。

七、（10分）设)(tf连续函数，求证2,2:,))(()(AyAxDdttAtfdxdyyxfDAA≤≤-=-⎰⎰⎰-。

江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)一、填空题（每小题5分，共40分）1.____________x →=2. 函数f(x)=()2232xx x x++-的不可导点的个数为___________.3.设f(x)=0 0x x ⎧≤⎪f ,则31(2)f x dx -⎰=_______________.4.(本三考生做)设变量x,y,t 满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f ，F 的一阶偏导数连续，则dydx=_______________.(专科考生做)设f(x)的导数连续，且f （0）=0，则101lim()________x f xt dt x →=⎰5（本三考生做）已知直线l 过点M （1，-1，0）且与两条直线1l ：2135x z x y z +=⎧⎨-+=⎩和22,:14,3x t l y t z =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩垂直，则l 的参数方程为_______________________.6.ln x dx =⎰_____________________.7. 设)(1lim)(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→，极限与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.，则a =______________________、b =___________________________.8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)0(3)(,2)(≠='='a a g a f ，那么 =-'+-')()(a g a f 。

二、（9分）求lim sin(n →∞.三、（9分）α为正常数，使得不等式xx e α≤对任意正数x 成立，求α的最大值.四、设函数f (x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x ，''()()0f x f x ≥,且在[a,b]的子区间上()f x 不恒等于零.试证()f x 在[a,b]中至多有一个零点.五、（9分）设连续函数()f x满足()f x=122300()(),().x x f x dx x f x dx f x++⎰⎰求六、（9分）设][)(xxxf-=（][x表示不超过x的最大整数），求极限⎰+∞→xxdxxfx0)(1lim。

七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度(,)(12),0,0,120,kf x y k x y x y x y=--≥≥--≥为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。

八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。

江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题3分，共15分）1.已知31[()]()______________. df x f xdx x'==，则2.1lnlim(tan)______________.xxx+→=3._______________. =4. 设),(y x z z =由方程()0,,=---x z z y y x F 所确定，F 为可微函数，则=∂∂+∂∂y z x z ；5. [()()]sin ________________.aaf x f x xdx +-+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为( ) A 、0,1x = B 、1x = C 、0x = D 、无可去间断点 2. 改变积分次序21101(,)yy dy f x y dx --=⎰⎰( )A、11(,)dx f x y dy -⎰ B、011100(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰C、1(,)dx f x y dy⎰ D、111(,)x dx f x y dy--⎰3.设()f x 可导, ()()(1sin )F x f x x =+，欲使()F x 在0x =处可导，则必有( )A 、(0)0f '=B 、 (0)0f =C 、 (0)(0)0f f '+=D 、 (0)(0)0f f '-=4.若0000(,)(,),x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(,)f x y 在()00,x y 是( )A 、连续且可微B 、连续但不一定可微C 、可微但不一定连续D 、不一定可微也不一定连续5. 22(,)(2)x f x y e x y y =++在点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处取( ) A 、极大值2e -B 、极小值2e-C 、不取得极值D 、极小值e三、（8分）设2222ln(1)()lim(ln )xex t x ax bx dx x x e dt+∞→+-+=⎰⎰，求常数,a b 。