极坐标系
极坐标系
• 例 4. 化ρ=-4sinθ+cosθ 为直角坐标方程 θ θ
• 例 4. 化ρ=-4sinθ+cosθ 为直角坐标方程 θ θ 注意整体替代。把原极坐标方程两边同乘ρ 注意整体替代。把原极坐标方程两边同乘ρ • ρ2 =-4 ρsinθ + ρcosθ ， ρ2 =x2+y2 ， θ θ • ρcosθ = x， ρsinθ = y，它的直角坐标方程 θ ， θ ， 1 17 2+y2=-4y+x ⇒ (x- —)2+(y+2)2= —— • 是x 2 4 • 在直角坐标系 在直角坐标系xoy中,方程表示的是以 1 ，-2) 方程表示的是以(—， 中 方程表示的是以 2 y √17 为半径的圆。 为圆心 ，— 为半径的圆。 2 o
· O ·
、 、 的位置关系。
·
x
·
一般地，如果 是一个点的极坐 标，那么 、 都可以 作为它的极坐标 。 如果限定 ， ，那么 除极点外，平面内的点和极坐标可以一 一对应。 不作特殊说明时，认为 。
极坐标
二、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
一.极坐标系和点的极坐标 1、引入
y
•
M y x
5π 6
3π 4
2π 3
π
2
π
3
π
4
π
6
O x N
π
7π 6 5π 4 4π 3
·M o
x
3π 2
7π 5π 4 3
极坐标系知识点
极坐标系知识点关键信息项：1、极坐标系的定义2、极坐标的表示方法3、极坐标与直角坐标的转换公式4、极坐标系中的曲线方程5、极坐标系下的面积计算6、极坐标系在物理学和工程学中的应用11 极坐标系的定义极坐标系是一个二维坐标系，在平面内取一个定点 O，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点 M，用ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示从 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做点 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对（ρ,θ) 就叫点 M 的极坐标。
111 极坐标系的特点极坐标系中的点与极径和极角一一对应。
但极角的取值范围一般规定在0, 2π) 内。
112 极坐标系与直角坐标系的区别直角坐标系通过横坐标和纵坐标确定点的位置，而极坐标系通过极径和极角来确定点的位置。
12 极坐标的表示方法点 M 的极坐标可以表示为（ρ,θ)，其中ρ 为正数时，表示点 M 在极轴的逆时针方向上与极点 O 的距离为ρ；ρ 为负数时，表示点 M 在极轴的顺时针方向上与极点 O 的距离为｜ρ|。
121 极坐标的多值性由于极角的周期性，同一个点在极坐标系中的表示不唯一。
13 极坐标与直角坐标的转换公式设点 M 的直角坐标为（x, y)，极坐标为（ρ,θ)，则有：x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθρ² ＝ x²＋ y²tanθ ＝ y ／ x （x ≠ 0）131 转换公式的应用通过这些公式，可以在极坐标和直角坐标之间进行相互转换，便于解决不同类型的问题。
14 极坐标系中的曲线方程常见的极坐标曲线方程有：圆：ρ ＝ a （以极点为圆心，a 为半径的圆）直线：θ ＝α （过极点且与极轴夹角为α 的直线）141 特殊曲线的极坐标方程推导例如，对于圆心在（a, 0) 且半径为 a 的圆，其极坐标方程为ρ ＝2a cosθ。
15 极坐标系下的面积计算对于由极坐标曲线围成的区域，其面积可以通过积分来计算。
极坐标系
极坐标系：
1、概念：取平面内一定点O 引一射线Ox ，选定长度单位、角度单位及计 算角度的正方向，便建立了一个极坐标系。
2、相关概念：定点O 称为极点；射线Ox 称为极轴；平面内某点P 与极 点距离OP 称为P 点的极径，以ρ表示；以极轴为始边、射线OP 为终边的xOP ∠称为P 点的极角，以θ表示；有序数对(,)ρθ称为P 点的极坐标。
3
4、极坐标系示意图：
5、极坐标系与直角坐标系互化： （1）互化前提：极点与原点重合；极轴与x 轴正半轴重合；两种坐标系长
度单位相同。
极坐标中(,)P ρθ，直角坐标系中(,)P x y 。
（2）极化直坐标公式：cos x ρθ=；sin y ρθ=；
（3）直化极坐标公式：222x y ρ=+，tan (0)y x x
θ=≠；
注1：通常取ρ>0；
注2：θ由tan y x θ=及点(,)x y 所在象限取最小正角； 注3：当0x =时：(0,0)(0,)()R θθ⇒∈；(0,)(0,)(2y y π⇒>0)；3(0,)(0,)(2
y y π⇒<0)； 注4：极点与原点不重合但极轴与x 轴正半轴平行，设极点为'O ，其在直角坐标系中
坐标为：00(,)x y 。
则极化直坐标公式：0cos x x ρθ=+；0sin y y ρθ=+；
直化极：22200()()x x y y ρ=-+-；000
t a n ()y y x x x x θ-=≠-。
极坐标系怎么理解
极坐标系怎么理解什么是极坐标系？极坐标系也称为极坐标系统，是一种用于描述平面上点的系统。
与常用的直角坐标系不同，极坐标系使用距离和角度两个参数来确定点的位置。
在极坐标系中，每个点都可以通过一个距离值（r）和一个角度值（θ）来表示。
在直角坐标系中，我们使用x轴和y轴来定位一个点，其中x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。
而在极坐标系中，我们选择一个原点作为参考点，从该点出发，使用一个长度为r的射线来表示距离，射线的方向则由与正x轴之间的夹角θ来决定。
极坐标系的转换公式要从直角坐标系转换为极坐标系，我们可以利用一组简单的公式：•r = sqrt(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，sqrt表示开平方根的操作，arctan表示反正切函数。
这组公式可以根据给定的x和y坐标计算得出对应的r和θ值。
通过这样的转换，我们可以将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点。
极坐标系的特点和优势极坐标系相比直角坐标系具有一些独特的特点和优势。
首先，极坐标系更加直观和直观。
通过使用距离和角度这两个可视化参数，我们可以更容易地理解和描述点之间的相对位置和方向。
例如，在极坐标系中，我们可以直接通过角度的大小判断两个点之间的方向关系。
其次，极坐标系在某些情况下更加简洁和方便。
对于一些对称图形和周期性运动的描述，极坐标系常常可以提供更加简洁的表达方式。
例如，描述一个圆形可以仅通过一个参数r来实现，而不需要在直角坐标系中同时指定x和y的值。
此外，极坐标系也有一些特殊的应用场景。
在物理学、工程学和极坐标应用模型中，极坐标系常常被用于描述旋转运动、波动现象和电场分布等问题。
在这些领域中，极坐标系的使用可以简化问题的描述和计算过程。
极坐标系的局限性和注意事项尽管极坐标系具有一些独特的优势和应用场景，但也存在一些局限性和注意事项。
首先，极坐标系并不适用于所有场景。
在某些情况下，直角坐标系仍然是更为合适的选择。
例如，在需要精确描述点的位置和方向的情况下，直角坐标系的数学计算更加简单并且易于理解。
极坐标
化为
直角坐标方程. 解
方程变形为 r ( 2 sin 3 cos ) 1 ,
2 r sin 3 r cos 1 ,
2 y 3 x 1.
14
求圆心在(1,0)点,半径为2的圆的极坐标方程. 解 圆心在(1,0)极点,半径为2的圆的直角坐标方程为
( x 1) y 4
§1.3 极 坐 标
一、极坐标系
二、极坐标与直角坐标的互化
三、曲线的极坐标方程
1
一、极坐标系
1. 极坐标系的建立 在平面内取一个定点o，叫做极点, 引一条射线Ox，叫做极轴. 再选定一个长度单位和角度单 位及它的正方向（通常取逆时 针方向）. 这样就建立了一个极坐标系.
o
x
2
2. 极坐标
P ( r , )
r2 x2 y2 y tan ( x 0) x
2. 直角坐标方程与极坐标方程与的互化 直角坐标方程化为极坐标方程; 简单的极坐标方程化为直角坐标方程. 3. 简单的极坐标方程会画略图.
26
作业
习题1-3 1. 2. 3 (24页)
27
笛卡儿 (1596～1650)
7 6
.
M ( 2,
7 6
)
9
三、曲线的极坐标方程
定义 如果曲线L上的点与方程 (r,)=0有如下关系 (1) 曲线L上任一点的坐标符合方程 (r,) = 0 ； (2)方程 (r,) =0的所有解为坐标的点都在曲线L上. 则曲线 L 的极坐标方程是 (r,) =0 .
28
华罗庚(1910～1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
极坐标系的基本概念
极坐标系的基本概念极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它以点到原点的距离和点与正半轴的夹角来表示点的位置。
相比于直角坐标系，极坐标系更适用于描述圆形或球形的几何问题。
本文将介绍极坐标系的基本概念及其在数学和物理中的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系用两个数表示点的位置，分别是极径和极角。
极径表示点到原点的距离，用正实数表示；极角表示点与正半轴的夹角，以弧度为单位。
在极坐标系中，原点表示极径为0的点，也是极角为任意值的点。
在直角坐标系中，一个点的位置由X坐标和Y坐标确定，即(x,y)。
而在极坐标系中，一个点的位置由极径r和极角θ确定，即(r,θ)。
二、极坐标系与直角坐标系的转换公式在极坐标系和直角坐标系之间，可以通过一些公式进行坐标的转换。
1. 从直角坐标系到极坐标系的转换：极径r可以通过以下公式计算：r = √(x² + y²)极角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(y/x)，其中arctan为反正切函数。
2. 从极坐标系到直角坐标系的转换：X坐标可以通过以下公式计算：x = r * cos(θ)，其中cos为余弦函数。
Y坐标可以通过以下公式计算：y = r * sin(θ)，其中sin为正弦函数。
三、极坐标系的应用极坐标系在数学和物理中有着广泛的应用。
1. 极坐标方程一些图形在直角坐标系中难以描述，而在极坐标系中可以用较简单的方程表示。
例如，圆的方程在极坐标系中可以表示为 r = a，其中a为圆的半径。
其他曲线如椭圆、双曲线等也可以用极坐标方程表示。
2. 极坐标系中的积分在计算一些特殊曲线的弧长、曲面积分和体积等问题时，极坐标系更加方便。
利用极坐标系进行积分计算可以简化问题并提高计算效率。
3. 物理中的应用极坐标系在力学、电磁学、流体力学等领域都有广泛应用。
例如，在描述质点的运动轨迹时，如果运动轨迹呈现出旋转或对称性，极坐标系更适用于描述和分析。
结语极坐标系作为一种描述平面上点位置的坐标系，具有简洁、直观的特点，被广泛应用于数学和物理学科中。
极坐标系
极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则
除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
图1。
极坐标系 课件
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
极坐标系
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2
极坐标系 课件
将点的直角坐标化为极坐标
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0,0≤θ<2π)．
(1)(－2,2 3)；(2)( 6，－ 2)；(3)(32π，32π)． 【思路探究】 利用公式 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，但 求角 θ 时，要注意点所在的象限．
【自主解答】 (1)∵ρ＝ x2＋y2＝ －22＋2 32＝4， tan θ＝yx＝－ 3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,2 3)在第二象限， ∴θ＝23π. ∴点的直角坐标(－2,2 3)化为极坐标为(4，23π)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝yx＝－ 33，θ∈[0,2π)， 由于点( 6，－ 2)在第四象限， ∴θ＝116π. ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为(2 2，116π)．
(3)∵ρ＝ x2＋y2＝ 32π2＋32π2＝3 22π，tan θ＝xy＝1， θ∈[0,2π)．
直线，分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标 (限定 ρ>0，－π<θ≤π)．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为 B(2，－π3)．
关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，－23π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点
在第几象限． (1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－π3)；(4)(2，－2)． 【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsionsθθ ―→点
的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限．
极坐标系课件
x=ρcos , y=ρsin
互化公式的三个前提条件： (限定ρ≥0,0≤θ＜2π)
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
数学运用
例1、把下列点的极坐标化 成直角坐标：
（1）M（8，2 ） （2） （6，7 ）
3
4
练习： 已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
D（0，-2）， E（-3，-3） 总结：点的直角坐标化成极坐标的步骤，极角是 如何确定的？
数学运用
例3 已知两点A(2,π/3),B(3,π/2)，求AB两
点间的距离.
B
A
o
x
A (3, )
6
B (2, ) 2
C (1, )
2
D ( 3 , ) E (2, 3 )
24
4
数学运用
例2. 把下列点的直角坐标化成极坐标：
(1)P( 6, 2) （2）Q( 6, 2);
(3)R( 2, 2) (限定ρ≥0,0≤θ＜2π)
练习2: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A（3,- 3），B（1， 3 ）, C（5，0），
极坐标系(2)
问题情境
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标 系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系 描述比较方便
问题1: 极坐标系是怎样定义的?
问题2: 极坐标系与直角坐标系有何异同?
问题3: 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3)，
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐 标系中取相同的长度单位。
极坐标系 课件
约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐 标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极 坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x y
cos sin
，或
2 tan
x2
y2， y. x
5. ① ② ③两种坐标系的单位长度相同.
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2. 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2.
练习 (1)写出图中各点的极坐标.
点A________；点B________；点C________.
(4,0)
2，π 4
3，π 2
(2)回答下列问题： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么引起的？
答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多 值性引起
极坐标系
1．极坐标系的建立 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确 定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox 称为极轴)．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ 表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．
极坐标系
极坐标系（重定向自极坐标）在数学中，极坐标系是一个二维坐标系统。
该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。
极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。
在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。
对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。
历史主条目：三角函数的历史众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。
天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC ）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。
并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。
在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。
希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。
关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。
关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。
格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。
圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。
卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。
布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。
在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》（Method of Fluxions ）一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。
牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。
在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum ）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。
极坐标系
1.极坐标系的概念（1）在平面内取一定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
极坐标系的要素：极点、极轴、长度单位，角度单位和它的正方向。
极坐标系的五要素缺一不可。
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离，|OM|叫做点M 的 极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 极角，记为θ.有序数对（ρ，θ）叫做点M 的极坐标，记为M （ρ，θ）．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．（2）点的极坐标点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与 (ρ，θ＋ 2kπ) (k ∈Z)表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．2.点的极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为_极点_，x 轴的正半轴作为_极轴_，并在 两种坐标系中取相同的_长度单位_，如图所示．(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝__________y ＝__________ ρ2＝________tan θ＝y x （x ≠0）在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．3.直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.（2）过垂直于极轴的直线：4. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：.（2）若，，以为直径的圆：注意：（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．（2）点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋ 2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π) (k∈Z)．在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．（3）联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带。
极坐标系 课件
ρ
;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做
点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
名师点拨
(1)极点的极坐标:
极点的极径ρ=0,极角θ可以是任何实数.所以极点的极坐标为(0,θ)(θ∈R),也就
是说极点有无数个极坐标.
= cos,
.
= sin
做一做2
将点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(
)
A.(π,0) B.(π,2π)
C.(-π,0) D.(-2π,0)
解析:x=πcos(-2π)=π,y=πsin(-2π)=0,所以极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(π,0).
答案:A
做一做3
将点的直角坐标(-2,2 3)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是(
11π
A. 2,− 6
13π
B. 2, 6
11π
C. 2, 6
23π
D. 2,− 6
)
思路分析:在极坐标系中,终边相同的角可以表示为α=2kπ+θ(k∈Z).极径相等、
极角的终边相同的点为同一个点.
π
π
11π
解析:与极坐标 2, 6 相同的点可以表示为 2, 6 + 2π (k∈Z),只有 2, 6 不
π
ቁ(k∈Z),只有B满足.
3
答案:B
探究三极坐标与直角坐标的互化
= cos,
将极坐标化为直角坐标,只需利用公式ቊ
已知点的直角坐标求极坐标时,
= sin;
关键是确定θ的值,此时要注意点在平面直角坐标系中的位置及θ的取值范围.
极坐标系定义
极坐标系定义
极坐标系是一种用来描述平面上点的坐标系统。
它由两个数
值组成，分别是极径和极角。
在极坐标系中，每个点可以通过一个有序对(r,θ)来表示，其
中r表示点到原点的距离，即极径，θ表示点与正向极轴的夹角，即极角。
极径是一个非负数，它可以是实数或者正无穷大。
而极角是
一个弧度数，它的取值范围通常是[0,2π)或者(π,π]。
极轴是极坐标系中一个特殊的直线，通常与正x轴重合。
在极坐标系中，一个点的坐标可以有不同的表示方法，例如(r,θ)，(r,θ+2kπ)，(r,θ+360°)，其中k是整数。
这是因为极角的定义具有周期性。
极坐标系的优点是可以方便地描述环形结构和对称性。
例如，圆的方程在极坐标系中变为简单的r=constant的形式，而直
线在极坐标系中通常会变为一个斜线。
在极坐标系中，坐标变换与直角坐标系相比较复杂，因此在
实际应用中，一般会选择最方便的坐标系来描述问题。
但对于
一些特殊的情况，如天文学中描述星体的运动轨迹、电力工程
中描述电场分布等，极坐标系仍然是一种重要的工具。
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示极坐标系是一种在数学和物理中常用的坐标系，它可以用来描述平面上的点的位置。
本文将介绍极坐标系的概念、极坐标的表示以及极坐标系的应用。
一、极坐标系的概念极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系。
极轴是指从原点到点的有向线段，通常用正方向表示。
而极角是指极轴与固定参考线之间的夹角，通常用弧度表示。
极坐标系的标准位置通常以极轴平行于x轴的正方向并通过原点的直线来表示。
二、极坐标的表示在极坐标系中，点的位置可以用极径和极角来表示。
极径是指从原点到点的距离，而极角则是指从极轴到线段所经过的角度。
通常，极径用大写字母r表示，极角用希腊字母θ表示。
因此，一个点可以用（r，θ）来表示。
三、极坐标系的转换在直角坐标系和极坐标系之间可以进行转换。
如果已知一个点在直角坐标系中的坐标（x，y），那么可以通过以下公式将其转换为极坐标系中的坐标：r = √（x² + y²）θ = arctan（y / x）反之，如果已知点在极坐标系中的坐标（r，θ），则可以通过以下公式将其转换为直角坐标系中的坐标：x = r * cosθy = r * sinθ四、极坐标系的应用极坐标系在许多应用中起着重要的作用。
例如，极坐标系常用于描述极坐标图，这些图形在科学研究、工程设计和技术绘图中广泛应用。
此外，极坐标系还可以用于描述极坐标方程的图形，如极坐标方程r =a +b * cosθ和r = a + b * sinθ等。
在物理学中，极坐标系也被用来描述旋转和循环运动。
总结：通过本文的介绍，我们对极坐标系和极坐标的表示有了更深入的了解。
极坐标系通过极轴和极角描述平面上的点的位置，其转换关系可以方便地将点在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。
极坐标系在科学研究、工程设计和技术绘图中具有广泛的应用。
通过掌握极坐标系的概念和表示方法，我们能更好地理解和应用相关的数学和物理知识。
极坐标系ppt(优秀)
19.4.1 极坐标系
学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。
复习回顾
x
y
o
y
z
o
x
●
●
●
o
P
P(x,y)
P(x,y,z)
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；
A
B
C
D
E
F
G
O
X
解析：
新课讲解
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使OM= ; 如图示：
O
X
P
M
新课讲解
O
X
P
= /4
M
2、负极径的实例
新课讲解
三、点的极坐标的表达式的研究:
X
O
M
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他表达式 .
思考：这些极坐标之间有何异同？
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
极径相同，不同的是极角。
练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
极坐标系的概念和应用
极坐标系的概念和应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r 代表该点到原点的距离，θ代表该点与参考线的夹角。
极坐标系能够简洁地描述圆形、对称图形以及其他一些具有旋转特性的图形，因此在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系统，它与直角坐标系密切相关。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为(x,y)的形式，其中x为该点与x轴的水平距离，y为该点与y轴的垂直距离。
而在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r为该点到原点的距离，θ为该点与参考线的夹角。
二、极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系之间存在着一种转换关系，通过这种关系可以实现坐标系的相互转换。
具体而言，对于给定的极坐标(r,θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)同样地，对于给定的直角坐标(x,y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r,θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这种转换关系使得在不同的应用场景中能够灵活地使用极坐标系和直角坐标系。
三、极坐标系的应用1. 圆的极坐标方程在极坐标系中，圆可以用简洁的形式进行表示。
对于圆心在原点，半径为a的圆，其极坐标方程为：r = a通过这个方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质。
2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，某些曲线的方程可以用极坐标表示。
例如，对于给定的极坐标方程r = f(θ)，其中f(θ)是一个与θ有关的函数，我们可以通过描绘不同θ值对应的r值来绘制出相应的曲线。
3. 极坐标系在物理学中的应用极坐标系在物理学中有着重要的应用。
例如，极坐标系可以用来描述某些旋转对称的物理问题，比如自转的刚体、天体运动等。
通过使用极坐标系，可以更加简洁地描述物体在旋转过程中的运动规律。
极坐标系
极坐标系一、 极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O ，叫极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径，θ 叫做点M 的极角，对应 (ρ,θ)就叫点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
二、极坐标与直角坐标的转化：在直角坐标系中一点M 0为(x 0,y 0)则在以其处直角坐标系的原点为极点的极坐标系中其极径ρ0=√x 02+y 02 , 极角θ0=tan −1(y0x 0) （极角所在象限由原角而定），得M 0极坐标为(√x 02+y 02,tan −1(y0x 0))。
那么得极坐标方程与直角坐标方程的互化公式： {ρ=2+y 2θ=tan −1(y x ) {x =ρcos θ y =ρsin θ三、极坐标系的运用及简单图像的方程：1) 极坐标系中两点的距离：若在极坐标系中存在不同的两点A (ρ1,θ1)、B (ρ2,θ2)则其距离d 为：d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2) 推导过程: 由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC得:|AB |2=|OA |2+|OB |2−2|OA ||OB |cos ∠AOB其中有：|OA |=ρ1 , |OB |=ρ2 ∠AOB =θ1−θ2则有：|AB |2=ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)即：d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)2) 极坐标系中直线的方程：若在极坐标系中存在过极点的直线l 0，其倾斜角为φ，则该直线的的极坐标方程为：θ=φ (ρ ∈R )3) 极坐标系中圆的方程：若在极坐标系中存在一个圆，圆心在极点上，半径为r ,则该圆的的极坐标方程为：ρ=r (θ ∈R )若其圆心在点O (ρ1,θ1)则该圆的的极坐标方程为：ρ2+ρ12−2ρρ1cos (θ−θ1)=r 2 M (ρ,θ)x θρ极坐标系O )4)极坐标系中圆锥曲线的方程：圆锥曲线的极坐标方程为ρ=±ep1−ecosθ或ρ=±ep1−esinθp表示准线到焦点的距离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.3.1极坐标系在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。
在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。
当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。
事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。
根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0<n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原处。
三、范例讲解例1、在极坐标系中，画出点A （1，4π），B （2，23π）C （3，4π-）D （4，49π） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即4π线，23π线，4π-线，49π线，4π线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。
指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。
如图点A 与极点O 的距离为了，且在极轴上，所以A 的极坐标为（1，0），同样可求得B ，C 的极坐标分别为（4，2π），（5，34π）指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（ρ，θ）后，再写出其通式（ρ，πθn 2+）或（πθρ)12(,++-n ）例3、已知点Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1）M 是点Q 关于极点的对称点：（2）N 是点Q 关于直线2πθ=的对称点解：（1）由于M 、Q 关于极点对称得它们的极径OQ=OM ，极角角相差π)12(+n ，所以点M 的极坐标为（ρ，πθ)12(++n ）或（πθρn 2,+-）（Z n ∈）（2）由于点Q 、N 关于直线2πθ=的对称，得它们的极径OQ=ON ，点N 的极角满足πθπn 2+-所以点N 的极坐标为（ρ，πθπn 2+-） 或（θπρ--n 2,）（Z n ∈） 例4、已知两点的极坐标A （3，2π），B （3，6π）， 求AB 两点间的距离；AB 与极轴正方向所成的角。
解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，∠AOB=3π，即△AOB 为等边三角形，所以|AB|=3，∠ACX=65π法二：∵A 、B 两点的极坐标分别为（3，2π），（3，6π），∴|OA|=|OB|=3，∠AOC=2π，∠BOC=6π了 ∴∠AOB=3π，在△AOB 中，由余弦定理可得AOB OB OA OB OA AB ∠-+=cos ||||2||||||22=3cos3323322π⋅⋅⋅-+=3即△AOB 为等边三角形，∠ACX=∠AOC+∠OAB=65π四、巩固练习：1、已知两点的极坐标P （5，45π），Q （1，4π），求线段PQ 的长度 2、已知点A 的极坐标（6，35π）分别写出给定条件下点A 的极坐标①若πθπρ≤<->,0；则A ②若πθρ20,0<≤<，则A ③若02,0≤<-<θπρ，则A 五、小结，，则1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（x ，y）是一一对应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（ρ，θ）不是一一对应，只有在规定[)πθρ2,0,0∈>的前提下，并除极点外，点与极坐标之间才一一对应，在解题时要注意极坐标的多种表示形式。
2、一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，πθn 2+）表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为（0，θ）和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。
一、新课引入：1、在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。
3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。
二、讲解新课：在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。
所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点O 的直线方程形如：kx y =，其中k 是实数，叫作斜率，θtan =k ，θ是此直线与O x 轴的夹角，这个角是多大，一般从k 上不易看出来，需要计算θarctan 。
但在极坐标中，我们取O x 的正方向为极轴，则过极点O 的射线方程写成[)πθθθ2,0(00∈=）如果我们充许极径取负值，约定M （ρ，θ）关于极点对称点N 的极坐标写成N （θρ,-），于是过原点与x 轴夹角为0θ的直线的极坐标方程为:l 0θθ=如与x 轴夹角为4π过原点的直线的极坐标方程为θ=4π2、圆心在极点的圆的极坐标方程 ρ=0r方程ρ=0r 的含义是动点的极径恒为0r ，是个常数；而方程ρ=0r 无极角θ，表示θ可以任意变化，当极径ρ是常数，极角任意时，即动保持与O 点等距地转动，这正是圆规在画圆。
3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为0r 设此圆上任取一点M 的极坐标为（ρ，θ），由于OA 是直径，所以∠OMA=2π，于是θcos =OA OM ，即θρcos 20=r 从而得ρ与θ满足的方程为：ρ=20r θcos 4、阿基米德螺线一个动点M 随时间的增加绕定点O 逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O 点越来越远，它远离O 点的直线距离也是匀速增长的，如果把O 点定为极坐标的极点，M 与O 点的直线距离就是向径ρ，转角就是极角θ，由于ρ与θ的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间t 为ωθυρ==t （0,≠ωυ）θωυρ=一般地，将该式写成)0(≠=ααθρ)0(≠=ααθρ表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。
三、范例讲解例1、（1）求过点A （2，4π）且平行于极轴的直线的极坐标方程； （2）过点A （3，3π）且和极轴成43π角的直线的极坐标方程思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻找到几何等式。
按照常规思路需构造关键三角形，利用关键三角形的边角关系引出几何意义。
解法一：如图，在直线l 上任取一点M （ρ，θ） 在△OAM 中 |OA|=2 |OM|=ρ∠OAM=-π4π（或4π） ∠OMA=θ（或-πθ） 在△OAM 中由正弦定理得：)4sin(sin 2ππρθ-=∴2sin =θρ解法二：如图在直线l 上任取一点M （ρ，θ）过M 作MH ⊥极轴于H 点， |MH|=24sinπ=2 在RT △OHM ，|HM|=|OM|θsin 即2sin =θρ（2）∠MBx=43π，∠OAB=43π3π-=125π∴∠OMA=θπθππ+=--4)43( 在△MOA 中，根据正弦定理125sin)4sin(3πρθπ=+ ∴化简得直线l 的极坐标方程为：2333)cos (sin +=+θθρ 本题利用三角形法求出了直线方程，三角形法的步骤是：先根据题意作出（寻找）关键三角形，利用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整理即得所求直线的极坐标方程。
例2、在极坐标系中，求以Q （r ，α）为圆心，以r 为半径的极坐标方程 解：由已知条件可知，此圆过极点。
设点M （ρ，θ）为圆上任意一点，连结OQ交圆于点N ，则ON 为圆的直径，连结MN ，则△OMN∠NOM=θα- |ON|=2r∴|OM|=|OM|)cos(αθ- 即ρ=2r )cos(αθ- 这就是所求的圆的极坐标方程。
四、巩固练习：1、设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线OA ，由极轴到垂线OA 的角度为α（如图所示）求已知直线l 的极坐标方程2、判断两圆θθρsin 3cos +=和θρcos 2=的位置关系五、小结几类特殊曲线的极坐标方程1、过极点直线的极坐标方程:l 0θθ=2、过已知点A （0ρ，α）且平行于极轴的直线的极坐标方程：αρθρsin sin 0=3、过已知点A （0ρ，α）且垂直于极轴的直线的极坐标方程：αρθρcos cos 0=4、过点A （0ρ，α）且和极轴成β角的直线的极坐标方程：)sin()sin(0βαρβθρ-=- 5、极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线OA ，由极轴到垂线OA 的角度为α的直线l 的极坐标方程：d =-)cos(αθρ 6、圆心在极点的圆的极坐标方程：ρ=0r7、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程ρ=20r θcos8、以（r ，α）为圆心，以r 为半径的圆（即圆过极点）极坐标方程ρ=2r )cos(αθ- 9、阿基米德螺线)0(≠=ααθρ§1.4极坐标与平面直角坐标的互化 一、新课引入：1、在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。