数学分析课件 二重积分的变量变换

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去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又 因 LD T ( L ), 所以 LD 的参数方程为
x x ( t ) x ( u( t ), v ( t )) y y( t ) y( u( t ), v ( t )) ( t ).
若规定 t 从 变到 时, 对应于 LD 的正向, 则根据格
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另一方面, 在 uv 平面上
y y du dv L x(u , v ) v u y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt , (7) v u 其中正号及负号分别由 t 从 变到 时, 是对应于 L

X
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2)
当 (即 ( t ) 0 )时, (1)式可写成
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
故当 ( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
因此
1 1 2 3 2 t u 1 2 . 2u 1 1 2 1 2 t u 2

f (
D
xy )d
4 1
1 f ( t ) dtdu 2u
dt
1
2
2 1 f ( t )du=ln 2 f ( t )dt . 1 2u
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二、二重积分的极坐标变换

的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到
y y ( D) du dv L x(u , v ) v u
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y y L x(u , v ) u du x(u , v ) v dv . 令 P ( u , v ) x( u , v ) y , Q( u , v ) x( u , v ) y , 在uv平 u v
r 0 时, J ( r , ) 0 , 因此不满足定理21.13 的条件.
但是仍然有下面的结论.
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y
2 2
E
F

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加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有
( Di ) | J ( u , v ) |dudv | J ( ui , v i ) | ( i ),
i
其中 ( ui , v i ) i ( i 1, 2, , n). 令
i x( ui , v i ), i y( ui , v i ),
i 1
n
这个和式是可积函数 f ( x( u , v ), y( u , v )) | J ( u , v ) | 在 上的积分和. 又由变换 T 的连续性可知, 当 的分割 T :{1 , 2 , n } 的细度 || T || 0 时, D 的 相应分割 TD :{ D1 , D2 , Dn } 的细度 || TD || 也趋于零. 因此得到
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
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例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
J (r , )
cos sin
r sin r cos
r.
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容易知道, 极坐标变换 T 把 r 平面上的矩形 [0, R]
[0, 2 ] 变换成 xy 平面上的圆域 D : x 2 y 2 R2 . 但
此对应不是一对一的, 例如,xy 平面上原点 O (0 , 0) 与 r 平面上直线 r 0 相对应,x 轴上线段 AA 对应 于 r 平面上两条直线段 CD 和 EF (图21-26). 又当


dv n ( n2 m 2 )( 3 3 ) u du . 4 m 3 3 v 6
例3 设 f ( t ) 在 [1, 2] 上可积, D 是由曲线
xy 1, xy 2, y x , y 4 x
所围成的区域在第一象限中的部分. 证明:
f (
林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q( x , y ) x , 有
( D) x dy x(t ) y(t )dt
LD





y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt . (6) v u
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
证 用曲线网把 分成 n 个小区域 i , 在变换 T 作用
下, 区域 D 也相应地被分成 n 个小区域 Di . 记 i 及
Di 的面积为 ( i )及 ( Di )( i 1, 2, , n). 在对 y 的
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y
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
O
图 21 25
x
1 2 v 由于 J ( u , v ) 1 v
2u 3 u v 4 0, ( u , v ) , 因此 v u 2 v
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u ( D) d 4 dudv v D
b

a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .


(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
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§4 二重积分的变量变换
本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式
二、二重积分的极坐标变换
来自百度文库
三、二重积分的广义极坐标变换
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一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [a , b]上连续, x ( t ) 当 t 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( t ) 连续可导, 则
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有
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一阶连续偏导数且它们的函数行列式
( x , y) J (u , v ) 0, ( u , v ) , (u , v )
面上对上式应用格林公式, 得到
2 y 由于函数 y( u , v ) 具有二阶连续偏导数, 即有 uv Q P 2 y J ( u , v ), 于是 , 因此 u v vu
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Q P ( D) dudv . u v
( D ) J ( u , v )dudv .

又因为 ( D ) 总是非负的, 而 J ( u , v ) 在 上不为零且
连续, 故其函数值在 上不变号, 所以
( D ) | J ( u , v ) |dudv .

定理21.13 设 f ( x , y )在有界闭区域 D 上可积, 变换
统一写成如下的形式:

X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
(4)
下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给
出下面的引理.
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引理 设变换 T : x x( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 一对一地 映成 xy 平面上的闭区域 D. 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
下的一般证明,将在本章§9 中给出. )
由于 T 是一对一变换, 且 J ( u , v ) 0 , 因而 T 把 的 内点变为 D 的内点, 所以 的按段光滑边界曲线 L
也变换为 D 的按段光滑边界曲线 LD .
设曲线 L 的参数方程为 u u( t ), v v ( t ) ( t ). 由于 L 按段光滑, 因此 u( t ), v( t ) 在 [ , ] 上至多除
x 所围区域 D 的面积 ( D ) (0 m n , 0 ).
解 D 的面积 ( D) dxdy .为了化简积分区域, 作
D
u u 变换 x 2 , y . 它把 xy 平面上的区域 D (见图 v v
21-25 )对应到 uv 平面上的矩形 [m , n] [ , ].
D
O
1
x
u x y, v x y.
即作变换
图 21 23
1 1 T : x ( u v ), y (v u), 2 2 它的函数行列式为
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J (u , v )
1 2 1 2
1 1 2 0. 2 1 2
v
1
在 T 的作用下, 区域 D 的 原象 如图 21-24 所示. 所以
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
D
xy )d ln 2 f ( t )dt .
1
2
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y 即 x t 1 2 u1 2 , y t 1 2 u1 2 . 则 证 令 t xy , u x ( t , u) [1,2] [1,4], 有


1 1 2 1 2 t u 2 J ( t , u) 1 1 2 1 2 t u 2
则
( i , i ) Di ( i 1, 2, , n).
D
作二重积分 f ( x , y )dxdy 的积分和
f ( i , i ) ( Di )
i 1
n
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f ( x( ui , v i ), y( ui , v i )) | J ( ui , v i ) | ( i ).
( x , y ) J (u , v ) 0, ( u , v ) , ( u , v ) 则区域 D 的面积
( D ) | J ( u , v ) |dudv .

(5)
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证 下面给出当 y( u , v ) 在 内具有二阶连续偏导数 时的证明. ( 注: 对 y( u , v ) 具有一阶连续偏导数条件
u v

O
图 21 24
uv
e
D
x y x y
1 dxdy e dudv 2
u v
u
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1 1 1 1 e e dv e du v(e e1 )dv . v 2 0 2 0 4 1 v u v
例2 求抛物线 y 2 mx , y 2 nx 和直线 y x , y