沪教版 七年级(上)数学 第5节 因式分解 专项训练 (Word版 含解析)
因式分解(5大题型)(30道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册(沪教版)
因式分解（5大题型）（30道压轴题专练）压轴题型一 运用公式法分解因式压轴题1．已知,,a b c 满足22227,-21,617a b b c c a +==--=-，则a b c +-的值为（ ）A ．1B ．－5C ．－6D ．－72．将多项式()20ax bx c a ++¹变形为()2a x m n ++的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：()2222245422529x x x x x --=-+--=--，Q ()220x -³，\()2299x --³-，\当2x =时，多项式245x x --有最小值9-．已知a ，b 为实数，多项式()()33x x a ++展开后x 的一次项系数为m ，多项式()()32x x b ++展开后x 的一次项系数为n ，且m ，n 均为正整数，则当17m n +=时，ab 的最大值为 ．3．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式44x +的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和()2222x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得()()()()()222442222222444424222222x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)444x y +；(2)2244a am n mn --+．4．阅读材料：我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：()22223214(1)4(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-；又例如：求代数式2246x x +-的最小值：()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-Q ；又2(1)0x +Q …；\当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是8-．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：245a a --=___________；(2)已知ABC V 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22412400a a b b -+-+=求边长c 的最小值；(3)当x 、y 为何值时，多项式222267x xy y y -+-++有最大值？并求出这个最大值．5．（1）填空：26a a ++______(a =+______2)；（22()2()1a b a b ++++解：设a b x +=，则原式22221(1)(1)x x x a b =++=+=++这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①2()14()49m n m n +-++②()()2242464x x x x -+-++6．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( ()22a b a ±= 22ab b ±+的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 ²45x x ++的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x \+³∴ 当 2x =-时， ()22x +值最小，最小值是0．()2211x \++³∴ 当 ()220x +=时， ()221x ++的值最小，最小值是1．∴ 当 2x =-时， 245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)当 x = 时，代数式 223x x -+有最小值，最小值是 ；(2)若 249W x x =-++此时W 有 值(填“最大”或“最小”)，即当x = 时，am W = ；(3)若 2530x x y -++-=，则 y x += （用含x 的代数式表示） ，请求出 y x +的最值．压轴题型二 因式分解与几何图形相关压轴题1．边长为a 的正方形ABCD 与边长为b 的正方形DEFG 按如图所示的方式摆放，点A ，D ，G 在同一直线上．已知12a b +=，22ab =．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．28B ．39C ．61D ．682．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．AB a CD b ==，，记图①中的阴影部分面积为1S ，图②中的阴影部分面积为2S ．（1）若53a b ==，，则1S 的值是 ；（2）若17S =，2454S =，则a b b a -的值是 ．3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为a 的小正方形，长为b 、宽为a 的长方形以及边长为b 的大正方形．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：()()22223a b a b a ab b ++=++，也可以解释因式分解：()()22232a ab b a b a b ++=++．(1)若用4个B 类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为x ，内部小正方形的边长为y ，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______．①a b x +=；②()222x y a -=；③224x y ab -=；④22b a xy =+；⑤22222x y a b ++=．(2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为22352a ab b ++，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式22352a ab b ++分解因式为______．(3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2245a mab b ++则m 的值为______．（直接写出结果）4．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；情境一情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；情境二情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为22a ab b++的长方形；丁同学认274为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．5．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．(2)若640a b ab +-+-=，求()2a b -的值．(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：2232m mn n ++=______．6．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．(1)如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去-一个边长为b 的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a ，b 的等式：__________．请类比上述探究过程，解答下列问题：(2)如图2，将一个棱长为a 的正方体木块挖去一个棱长为b 的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：33a b -=__________，将等式右边因式分解，即33a b -=__________；(3)根据以上探究的结果，①如图31开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形ABCD ，其边长为19，求阴影部分的面积．②计算：))3311-压轴题型三 十字相乘法压轴题1．设二次三项式226x mx ++可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．32．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++= ．3．阅读以下材料：目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于232x x ++，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，232x x ++最高含有x 的二次项，所以看作由()()ax b cx d ++得到；第二步，去括号，2()()()ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++和232x x ++对比发现，二次项系数为1，二次项由ax 和cx 相乘得出，所以1a c ==（为了计算简便，往往取整数）；第三步，继续把2()x b d x bd +++和232x x ++对比，发现b ，d 两数之积为2，和为3，就不难凑出1b =，2=d ，检验一下：2(1)(2)32x x x x ++=++，换个方向写就是因式分解了．请使用上述方法回答下列问题：(1)因式分解：①256x x -+；②2236y y +-；(2)对关于x 的多项式因式分解：2(31)21mx m x m --+-．4．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++¹分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++¹的二次项的系数a分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=´，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=´-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121´-+´=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：① 2257x x +-=__________；② 22672x xy y -+=__________．(3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：① 分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；② 若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．5．因为()()2632x x x x +-=+-,令26x x +-=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x ＝2能使多项式26x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,求m 的值;（2）若（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式,试求a,b 的值;（3）在（2）的条件下,把多项式325x ax x b -+因式分解的结果为 ．6．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =·，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =·，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=´，8(4)2-=-´，而21(4)12-=´-+´所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=´，3(1)3-=-´，212=´而2131(1)=´+´-，1(1)231=-´+´，31211=´+´所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ．②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．压轴题型四 分组分解压轴题1．已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则()()2222m n pq mn p q +++=（ ）A ．48B ．36C ．96D ．无法计算2．常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：()()()()222222216216444x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=-+--，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式：2241299x xy y ++-=3．《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式398x x -+．解：添加两项22x x -+．原式32298x x x x =-+-+32288x x x x x =-+--+()()()21181x x x x x =-+---()()218x x x =-+-请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：3910x x +-；(2)分解因式：32256x x x --+；(3)分解因式：43252020x x x x ++--．4．阅读以下材料，并解决问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．22424x y x y --+．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：22424x y x y--+()()22424x y x y =---……………………分成两组()()()2222x y x y x y =+---………………分别分解()()222x y x y =-+-………………………提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)材料例1中，分组的目的是_________．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？22x y x y -++=_____________；22222a a b ab b +--+=_____________．(3)利用分组分解法进行因式分解：2224x xy y -+-．5．数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）．材料：将mx my nx ny +++因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解，即()()()()()()mx my nx ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++，这种分解因式的方式叫做分组分解法．卡片：(1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________．(2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解．(3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为0，请判断以a ，b ，c 为边的ABC V 的形状，并说明理由．6．小林和小王碰到了一个难题：将44a +因式分解．这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧．我们可以尝试先将它配上中间项，如444422224444a b a b a b a b +=++-，使其前面三项变成一个完全平方式，得到22222(2)4a b a b +-，再尝试用平方差公式因式分解．(1)根据小王说的方法将44a +因式分解．(2)依照上述方法将422416m m n n -+因式分解．压轴题型五 因式分解的应用1．已知20222021a x =+，20222022b x =+，20222023c x =+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如果一个四位自然数N 各个数位的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x ，后两位数字组成的两位数记为y ，规定()27x y F N +=，()2G N x y =-，当()F N 为整数时，称这个四位数为“齐心数”．则()()14211421F G += ．若“齐心数”10201006S a b c =+++，（14a ££，16b ££，03c ££，a ，b ，c 为整数），且()G S 除以7余数为1，则S 最大值为 ．3．对于一个图形，我们可以通过两种不同的方法计算它的面积（大图形面积等于各小图形面积之和），可以得到一个数学等式，例如如图可以得到()()222=+3+2a b a b a ab b ++，请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式．(2)利用（1）中的结论，解决下面问题：已知1138a b c ab bc ac ++=++=，，求 222++a b c 的值．(3)小明同学用 3 张边长为 a 的正方形，4 张边长为 b 的正方形，7 张边长分别为 a 、b 的长方形纸片拼出 了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？4．阅读材料：我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式223x x +-．原式()()()()()222113(1)4121231x x x x x x x =++--=+-=+++-=+-．由上式可知: 223x x +-=2(1)4x +-，因为2(1)x x +不论取何值，≥0，所以当1x +=0，即1x =-时，223x x +-的最小值是-4．根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．(1)利用配方法分解因式：2627x x --；(2)根据上面解题思路可知多项式2627x x --有最小值，即当x = 时，最小值是 ．(3)已知a 、b 、c 分别是ABC V 三边的长且()222220a b c a b c ++-+=，请判断ABC V 的形状，并说明理由．5．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式223x x +-．223x x +-()221 4.x x =++-()2212x =+-(12)(12)x x =+++-(3)(1)x x =+-例如．求代数式2246x x +-的最小值．原式2246x x =+-2223()x x =+-()2218x =+-．可知当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是-8．(1)分解因式：223a a --= ．(2)已知ABC V 的三边长a 、b 、c 2241240a b a b +=+-，求边长c 的最小值；(3)当x ，y 为何值时，多项式222267x xy y y -+-++有最大值？并求出这个最大值．6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．(1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．(2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．①观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为 ；②若每块小长方形的面积为212cm ，四个正方形的面积和为250cm ，试求m n -的值．(3)将图3中边长为a 和b 的正方形拼在一起，B 、C 、G 三点在同一条直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足5a b +=，6ab =，请求出阴影部分的面积．。
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沪教版七年级数学 (- 因式分解练习题 )一、填空题（每空 2 分, 共 40 分）1、5m(a b) a b ( a b) ___________2、已知x2 mx 16 是完全平方式,则 m _____________已,知 4 x2 2mxy 9 y2是完全平方式 ,则m =____________。
3、如果( x 6)( x 4) 是二次三项式 x2 mx 24 的因式,那么m ________4、 (_________) 92 b2 ( 1 p2 _________)(1p2 _________)4 45、已知x2 y2 4x 6 y 13 0 ,则 x ________,y _______。
6、因式分解：x(x 1)(x 2)( x 3)(x 4) ___________7、因式分解：28x2_______________,x2 5x 6 _______________,6k2 9k m 6 m n 4 k n ,x2 xy 6 y2 _______________。
8、16 x2 4x y2 y (16x2 y2 ) (_________) = (________)(________)9、分解因式：( x 1)(x 4) 2 _________________10、x2 5x __________ = (x ________)( x 4)二、选择题（每题 2 分,共 12 分）1、在完全平方式a2 3a m 中, m 应是（）A、3B、3C、9D、9 2 4 2 42、多项式a2 n a n提取公因式后,另一个因式是（）A、a nB、a n 1C、a2 n 1D、a2n 1 13、要使二次三项式x2 mx 12 能在整数范围内分解因式, 则m不可取的值是（）A、 1B、 2 C 、 4 D、 114、下列各式中因式分解结果为( x 2)( x 1) 的多项式是（）A、x2B、x2C、 2D、x25 、把多项式x2 4xy 4 y2 4 先分组再应用公式分解因式,分组正确的是（）A、(x2 4xy ) (4 y2 4)B、(x2 4) (4 xy 4y2 )C、(x2 4xy 4y2 ) y2D、x2 (6 x y2 9)6、下列各多项式的因式分解结果正确的是（）A、(a2 b2 )2 4a2b2 (a b) 2 ( a b) 2B、 a2 1 1 a 1(6 a 1)236 9 36C、a4 12a3 36a2 a2 (a 6)2D、(a2 4a)2 8(4 a a2 ) 16 ( a 2) 4三、因式分解（每题4 分 ,共 24 分）1、(3 a 2b)2 (a 4b) 22、64 x63、4( x 2)212( x 2)( x 1) 9( x 1)24、( x2 x)2 14(x2 x) 245、2ax 2ay xy y26、(m n)26( m2n2 ) 9(m n) 2三、解答题（第 1 题 4 分 ,其余各题 5 分,共 24 分）1、先分解因式再求值3( x 2) 2 ( x 7) 11(2 x)(7 x) ,其中x 12、已知a b 4, a b 2 ,求⑴ab ；⑵a3b33、先分解因式 ,再求1 a2 b2 ab 2的值,其中a 1 ,b 1994 先分解因式 ,再求(x23)2x( x23) 2x2,其中x 15、已知：( x2y2 )( x2 4 y2 ) 12 0 ,求 x2y2的值。
沪教版(上海)七年级上册数学 第九章 第五节 因式分解(含解析)
第五节 因式分解一、单选题1．（2020·上海浦东新区初一期末）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是（ ） A ．﹣x 2+16 B ．x 2+9 C ．﹣x 2﹣4 D ．x 2﹣2y【答案】A 【解析】−x 2＋16＝（4＋x ）（4−x ），而B 、C 、D 都不能用平方差公式分解因式，故选：A ． 2．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．296y y -+ B ．2144m m -+C ．2224a ab b -+D ．222x xy y --【答案】A 【解析】A 、22(963)y y y =--+，故A 正确；B 、221142(2)42m m m -+=+，故B 错误； C 、22244(2)a ab b a b -+=-，故C 错误；D 、2222()x xy y x y -+=-，故D 错误； 故选择：A.3．（2020·上海市卢湾中学初一期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x -的是（ ） A ．2x x +B ．21x -C ．221x x -+D ．(2)(2)x xx【答案】A 【解析】2(1)x x x x +=+,A 项正确；()()2111x x x -=+-，B 项错误；()22211x x x -+=-，C 项错误；(2)(2)21x xx xx，D 项错误.故答案选A4．（2020·上海闵行初一期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）①221x x -- ①214xx -+ ①22a b -- ①22a b -+ ①2244x xy y -+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①221x x --不能用公式法因式分解；②原式＝2112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①22a b --不能用公式法因式分解； ④原式＝（b -a ）（b+a ）， ⑤原式＝()22x y - 故选：C ．5．（2020·上海杨浦复旦二附中初一月考）下列式子从左到右的变形是因式分解的是① ① A ．①x ①2①①x –2①①x 2①4 B ．.x 2①4①3x ①①x ①2①①x –2①①3x C ．x 2①3x ①4①①x ①4①①x ①1① D ．x 2①2x ①3①①x ①1①2①4 【答案】C【解析】试题分析：A 、是整式的乘法，不是因式分解；B 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解；C 、把多项式化成因式的积的形式，是因式分解；D 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解．故选C ．6．（2020·湖南邵阳初三一模）把8a 3①8a 2+2a 进行因式分解，结果正确的是（ ① A ．2a ①4a 2①4a +1① B ．8a 2①a ①1① C ．2a ①2a ①1①2 D ．2a ①2a +1①2【答案】C 【解析】 8a 3①8a 2+2a =2a(4a 2①4a+1) =2a(2a①1)2①①①C.7．（2020·广西兴宾初一期中）对多项式2()2a b a b +--进行因式分解的结果是（ ）A ．(22)()a b a b ++B ．2242a ab b a b ++--C ．)()21(2a b a b ++-D ．())21(2a b a b +++【答案】C 【解析】原式=()()()()()()2=212212a b a b b a b a b a a b -+++-=++-⎡⎤⎣⎦+． 故选：C ．8．（2020·甘肃平川区四中初二期末）多项式：①16x 2﹣8x ；②（x ﹣1）2﹣4（x ﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x （x+1）2+4x 2；④﹣4x 2﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ） A ．①和② B ．③和④C ．①和④D ．②和③【答案】C 【解析】①16x 2−8x ＝8x （2x−1）；②（x−1）2−4（x−1）＋4＝（x−1−2）2＝（x−3）2；③（x ＋1）4−4x （x ＋1）2＋4x 2＝[（x ＋1）2−2x]2＝（x 2＋1）2； ④−4x 2−1＋4x ＝−（2x−1）2； ∴结果中含有相同因式的是①和④； 故选：C ．9．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初二月考）因式分解x 2+mx ①12①①x +p ①①x +q ），其中m ①p ①q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ） A ．1 B ．4C ．11D ．12【答案】C 【解析】①(x①p)(x①q)= x 2①①p+q①x+pq= x 2①mx①12①p+q=m①pq=-12.①pq=1×①-12①=①-1①×12=①-2①×6=2×①-6①=①-3①×4=3×①-4①=-12①m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.10．（2020·扬州市江都区第三中学初一期中）已知a①b①c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值① ①A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【答案】C【解析】a2-2ab+b2-c2=①a-b①2-c2=①a+c-b①[a-①b+c①]①①a①b①c是三角形的三边．①a+c-b①0①a-①b+c①①0①①a2-2ab+b2-c2①0①故选C①11．（2020·安徽蚌埠初一期末）已知a=2012x+2011①b=2012x+2012①c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab①bc①ca 的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】a2+b2+c2①ab①bc①ac①a2①ab+b2①bc+c2①ac①a ①a ①b ①+b ①b ①c ①+c ①c ①a ①当a ①2012x +2011①b ①2012x +2012①c ①2012x +2013时①a -b =①1①b ①c =①1①c ①a =2①原式＝（2012x +2011①×①①1①+①2012x +2012①×①①1①+①2012x +2013①×2 ①①2012x ①2011①2012x ①2012+2012x ×2+2013×2 ①3① 故选D①12．（2020·全国初二课时练习）①2017重庆市兼善中学八年级上学期联考①在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =① 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=① ()18x y +=①()22162xy +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x①10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ① A ．201030 B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B 【解析】x 3-xy 2=x①x 2-y 2①=x①x+y①①x -y①① 当x=20①y=10时，x=20①x+y=30①x -y=10① 组成密码的数字应包括20①30①10① 所以组成的密码不可能是201010① 故选B①二、填空题13．（2020·温州市南浦实验中学初三二模）因式分解：249m -=________．【答案】()()2323m m +- 【解析】249m -=()()2323m m +-．故答案为：()()2323m m +-14．（2020·广东高州初二期末）如果2x Ax B ++因式分解的结果为()()35x x -+，则A B +=_______． 【答案】-13 【解析】()()22=531521535x x x x x x x ++--+--=∴A=2，B=-15 ∴A+B=-13 故答案为：-13．15．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）把多项式因式分解22a b ab b -+的结果是__________．【答案】2(1)b a -【解析】()()2222211a b ab b b a a b a -+=-+=-．故答案为: ()21b a -．16．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）分解因式：3244a a a -+=__________．【答案】2(2)a a -； 【解析】3244a a a -+=a(a 2-4a+4)=a(a -2)2.故答案是：a(a -2)2.17．（2020·陕西西安初二期末）多项式2ax a -与多项式2242x x -+的公因式分别是______.【答案】x-1 【解析】多项式2ax a -＝a (x ＋1)(x －1) 2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2所以两个多项式的公因式是x －118．（2020·山东东明初三一模）已知a ﹣b ＝5，ab ＝1，则a 2b ﹣ab 2的值为_____． 【答案】5 【解析】∵a ﹣b ＝5，ab ＝1,∴a 2b ﹣ab 2＝ab （a ﹣b ）＝5×1＝5; 故答案为：5．19．（2020·杭州市文澜中学初一期中）若多项式429n n k ++可化为()2a b +的形式，则单项式k 可以是__________．【答案】36n 或36n -或814或636n①当4n 和29n 作为平方项，k 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：()223±n n ，即42224329(3)69++=±=±+n n k n n n n n ，∴36=±k n ；②当4n 和k 作为平方项，29n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(22+n，即4222429(++=+=++nn k n n k ，∴229=n ，解得：814=k ； ③当29n 和k 作为平方项，4n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(23n ，即42229(39++=+=++nn k n n k ，∴4=n ，解得：636=n k ；故答案为：36n 或36n -或814或636n ．20．（2020·全国初一课时练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++=______．【答案】()()2a b a b ++．由面积可得：()()22a 3ab 2b a 2b a b ++=++．故答案为()()a 2b a b ++．21．（2020·黑龙江龙凤初一期末）2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______． 【答案】20014000【解析】2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1341998200019992001 (223319991999200022000)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1200122000⨯=2001400022．（2020·全国初一课时练习）若a, b, c 满足2223331,2,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则444a b c ++=________【答案】146【解析】因为1,a b c ++=所以()21a b c ++= ，即22221ab c ab ac bc因为2222a b c ++=所以12ab ac bc =-++ 因为()()2222a b c a b c++++=所以3332ab c ab abbc b c ac a c因为3331,3a b c a b c ++=++=所以31112ab c bc a ac b即332abbaacabc13322abc16abc因为()()3333a b c a b c++++=即4442222223ab c ab a b ac a c bc b c4442222223a b c ab c ac b bc a 44423a b c abbcacabc abc4441136a b c444146a b c故答案为：146三、解答题23．（2020·江苏高港初一期中）因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．【答案】①()()222x x -+-；②2()x x y -；③22(2)(2)x x +-【解析】 分析：①首先提取公因式2-，再利用平方差公式进行二次分解； ②首先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行二次分解； ③先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次分解． ①228x -+()224x =--()()222x x =-+-；②3222x x y xy -+22(2)x x xy y =-+ 2()x x y =-；③222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++- 22(2)(2)x x =+-．24．（2020·江苏射阳初一期中）因式分解 （1）2126ab c ab -（2）269a a -+- （3）2464x -【答案】（1）()621ab bc -；（2）()23a --；（3）()()444x x +-【解析】 分析：（1）直接提取公因式即可求解； （2）根据完全平方公式即可求解； （3）先提取4,再根据平方差公式即可求解．()1解：原式()621ab bc =- ()2解：原式()269a a =--+()23a =--()3解：原式()2416x =-=4(x+4)(x -4)．25．（2020·山东定陶初一期末）分解因式（1）2425x - （2）22363ax axy ay -+（3）()()222ma m a -+- （4）()()251101a a ---【答案】（1）()()2525x x +-；（2）()23-a x y ；（3）()()21m a m -- ；（4）()()511a a -+ 【解析】 分析：（1）原式根据平方差公式分解；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解； （3）原式利用提公因式法分解； （4）原式利用提公因式法分解． 解：（1）2425x -=()()2525x x +-；（2）22363ax axy ay -+=()2232a x xy y-+=()23-a x y ； （3）()()222ma m a -+-=()()222ma m a ---=()()21m a m --；（4）()()251101a a --- =()()251101a a -+-=()()5112a a --+ =()()511a a -+．26．（2020·广西江州初一期中）已知x -y=-2，xy=12，求代数式x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值. 【答案】xy （x -y ）2，2 【解析】 分析：首先根据x -y=2，xy=12，应用完全平方公式，求出（x -y ）2的值是多少；然后根据因式分解的方法，求出x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值是多少即可． 解：∵x -y=-2，xy=12， ∴（x -y ）2=（-2）2=4， ∴x 3y -2x 2 y 2+xy 3 =xy （x 2-2xy +y 2） = xy （x -y ）2 =12×4 =227．（2020·广西来宾初一期末）已知矩形的长为a ，宽为b ，它的周长为24，面积为32．求22a b ab +的值． 【答案】384 【解析】解：由题意可得：2()24a b +=，32ab =，则12a b +=，故22()a b ab ab a b +=+ 3212=⨯384=．28．（2020·全国初二课时练习）已知下列单项式：①4m 2，②9b 2a ，③6a 2b ，④4n 2，⑤-4n 2，⑥-12ab ，⑦-8mn ，⑧a 3．请在以上单项式中选取三个．．组成一个能够先用提公因式法，再用公式法因式分解的多项式并将这个多项式分解因式． 【答案】见解析 【解析】 4m 2+4n 2-8mn =4（m 2+n 2-2mn ） =4（m -n ）229．（2020·全国初二课时练习）某同学碰到这么一道题“分解因式x 2+2x ﹣3”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上1，再减去1，这样原式化为（x 2+2x+1）﹣4，…”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．请你仔细领会该同学的做法，将a 2﹣2ab ﹣3b 2分解因式． 【答案】（a+b ）（a ﹣3b ） 【解析】 分析：根据老师所说的话，可知需要利用平方差公式，故仿照x 2+2x ﹣3的分解方法，应该凑个完全平方，然后再整体利用平方差公式分解，最后将括号内的同类项合并即可．解：a2﹣2ab﹣3b2＝a2﹣2ab+b2﹣4b2＝（a﹣b）2﹣4b2＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）＝（a+b）（a﹣3b）．30．（2020·全国初二课时练习）请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：解：令x2﹣4x+2＝y，则：原式＝y（y+4）+4（第一步）＝y2+4y+4（第二步）＝（y+2）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x﹣1）4【解析】分析：（1）根据完全平方公式即可求解；（2）根据完全平方公式即可求解；（3）设x2﹣2x＝y，根据因式分解的方法即可求解．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，＝（x﹣1）4．31．（2020·江苏相城初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果；（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【答案】（1）222a ab b ++；（a +b ）2 （2）()()2a b a b ++ （3）见解析 【解析】 分析：（1）从整体和部分两个方面进行计算即可； （2）根据计算图2面积的不同计算方法可得答案；（3）利用图形面积法，可以拼成长为（3a +2b ），宽为（a +b ）的长方形． 解：（1）从整体上看，图1是边长（a +b ）的正方形，其面积为（a +b ）2， 各个部分的面积之和：a 2+2ab +b 2；（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a 2+3ab +b 2＝（a +b ）（2a +b ）； （3）3a 2+5ab +2b 2＝（a +b ）（3a +2b ），32．（2020·常德市淮阳中学初一期中）观察下列式子的因式分解做法： ①x 2-1=(x -1)(x+1)； ①x 3﹣1 =x 3﹣x+x ﹣1 =x （x 2﹣1）+x ﹣1=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x+1）+1]=（x﹣1）（x2+x+1）；①x4﹣1=x4﹣x+x﹣1=x（x3﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；…（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；（2）观察以上结果，猜想x n﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．【答案】（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）（2）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）（3）6431【解析】分析：（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘13即可．解：（1）x5﹣1=x5﹣x+x﹣1=x（x4﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1=x n﹣x+x﹣1=x（x n-1﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x n-2+x n-3+…+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x n-2+x n-3+…+x+1）+1]=（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）；（3）45+44+43+42+4+1=13×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）=13×（46﹣1）=6431．。
沪教版(上海)七年级第一学期9.5《因式分解》知识点与练习
一．因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
⑴因式分解与整式乘法互为逆变形：（乘积形式）()m a b c ma mb mc −−−−→++++←−−−−整式乘法因式分解（和差形式） 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式⑵因式分解的常用方法：___________________________________________________。
⑶分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式；如果遇到二次三项式，则多考虑十字相乘法分解；如果项数大于等于4项，则尝试分组分解法；如果以上都搞不定，则采用添项与拆项，或者其他方法。
【注意】① 若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内．．．．．．不能再分解为止； ② 结果一定是乘积的形式；③ 每一个因式都是整式；④ 相同的因式的积要写成幂的形式。
(4)在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；第二讲 因式分解Ⅰ 模块一：提取公因式法④每个因式第一项系数一般不为负数；二．提取公因式法：公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式。
系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；且一般公因式的符号与多项式第一项的符号相同（即保证因式的第一项系数为正数）【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）。
① ()a x y ax ay +=+； ② ()24444x x x x -+=-+；③ ()2105521x x x x -=-； ④ ()()2163443x x x x x x -+=+-+；⑤ ()()2224a a a +-=-； ⑥ ()ax ay az a x y z -+=-+； ⑦； ⑧ 。
沪教版初一数学第九章整式第五节因式分解9.15十字相乘法
沪教版（上海)七年级上9.15十字相乘法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于（ ）. A ．abB ．+a bC ．ab -D ．()a b -+ 2．如果()22530x a b x b x x ++⋅+=--，则b 为（ ）.A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式2x 3x a -+可分解为()()x 5x b --，则a 、b 的值分别是( ) A ．10和2- B ．10-和2 C ．10和2 D ．10-和2- 4．不能用十字相乘法分解的是（ ）.A ．22x x +-B ．223103x x x -+C ．232x x -+D ．2267x xy y --5．分解结果等于()()45x y x y +-+-的多项式是（ ）.A ．()()2920x y x y +-++B ．()()2920x y x y ++++ C ．()()2920x y x y +++- D ．()()2920x y x y +-+- 6．将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x -的是A ．21x -B ．()2x x x -+C ．221x x -+D ．221x x ++7．2310x x +-=______.8．若()()256m m m a m b --=++，则a =______，b =______. 9．3522--x x =(x-3)____10．x²-xy-2y²=_____11．若x-y=6，xy=1736，则代数式x 3y-2x 2y 2+xy 3的值为 ． 12．下列各等式中正确的是（ ）A =±2B ．C ．a 2-a-2=（a+1）（a-2）D ．()m n m n a a +=13．下列因式分解结果正确的是( )．A ．10a 3+5a 2=5a(2a 2+a)B ．4x 2-9=(4x+3)(4x-3)C ．a 2-2a-1=(a-1)2D ．x 2-5x-6=(x-6)(x+1)14．若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______．15．分解因式：6724+-x x .16．分解因式：422446516x x y y -+.17．因式分解：23246x x x +-=______.参考答案1．D【解析】【分析】根据多项式乘法去括号，进而得出p的值．【详解】∵x2-px+q=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，∴p=-（a+b）．故选：D．【点睛】此题考查十字相乘法分解因式以及多项式乘法，正确掌握运算法则是解题关键．2．B【解析】【分析】根据题意进而得出关于b的等式进而求出答案．【详解】∵x2+（a+b）•x+5b=x2-x-30，∴5b=-30，解得：b=-6．故选：B．【点睛】此题考查一元一次方程的解法，正确得出关于b的等式是解题关键．3．D【解析】【分析】利用多项式乘法整理多项式进而得出a，b的值.【详解】解：∵多项式x2-3x+a可分解为（x-5）（x-b），∴x2-3x+a=（x-5）（x-b）=x2-（b+5）x+5b，故b+5=3，5b=a，解得：b=-2，a=-10．故选：D.【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，得出同类项系数相等是解题关键.4．B【解析】【分析】根据十字相乘法逐一判断可得．【详解】A、x2+x-2=（x-1）（x+2），此选项不符合题意；B、3x2-10x2+3x不能利用十字相乘法分解，此选项符合题意；C、x2-3x+2=（x-1）（x-2），此选项不符合题意；D、x2-6xy-7y2=（x-7y）（x+y），此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．5．A【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可．【详解】分解因式的结果为（x+y-4）（x+y-5）的多项式是（x+y）2-9（x+y）+20，故选：A．【点睛】此题考查因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．6．D【解析】【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．【详解】A 、x 2-1=（x+1）（x-1），故A 选项不合题意；B 、()2x x x -+=（x-1）x ，故B 选项不合题意；C 、x 2-2x+1=（x-1）2，故C 选项不合题意；D 、x 2+2x+1=（x+1）2，故D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键． 7．()()25x x -+【解析】【分析】由题意二次三项式x 2+3x-10利用十字相乘：5-2=3，-2×5=-10分解因式的结果为（x-2）（x+5）. 【详解】x 2+3x-10=（x+5）（x-2），故答案为（x+5）（x-2）．【点睛】此题考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．8．-6,1 1，-6.【解析】【分析】根据多项式乘以多项式进行运算，即可解答.【详解】()()256m m m a m b --=++=2+m ma mb ab ++=()2+m m a b ab ++ ∴56a b ab +=-⎧⎨=-⎩，解得：61ab=-⎧⎨=⎩或1-6ab=⎧⎨=⎩，故答案为：-6,1和1，-6.【点睛】此题考查多项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则.9．(2x+1)【解析】【分析】因为1×2=2，1×（-3）=-3，又2×（-3）+1×1=-5，所以可以利用十字相乘法分解因式．【详解】2x2-5x-3，=（x-3）（2x+1）．故答案为：（2x+1）．【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，解题关键在于运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程10．（x-2y）（x+y）．【解析】【分析】因为-2y×y=-2y2，-2y+y=-y，所以利用十字相乘法分解因式即可．【详解】x2-xy-2y2=（x-2y）（x+y）．故答案为：（x-2y）（x+y）．【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，解题关键在于运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．11．17．【解析】试题解析：原式=xy （x 2-2xy+y 2）=xy （x-y ）2，把x-y=6，xy=1736代入得： 原式=1736×62=17． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．C【解析】【分析】【详解】A ，故此选项错误；B 、无法计算，故此选项错误；C 、a 2-a-2=（a+1）（a-2），故此选项正确；D 、()m n mn a a ，故此选项错误；故选C ．考点：1．因式分解-十字相乘法等；2．实数的运算；3．幂的乘方与积的乘方．13．D【解析】【分析】A 可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A 作出判断；而B 符合平方差公式的结构特点，因此可对B 作出判断；C 不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D 可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A 、原式=5a 2(2a+1)，故A 不符合题意；B 、原式=(2x+3)(2x-3)，故B 不符合题意；C 、a 2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C 不符合题意；D 、原式=(x-6)(x+1)，故D 符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．14．4．【解析】【分析】【详解】∵()()23x x m x x n ++=-+，∴()2233x x m x n x n ++=+-- ，故31n -=，解得：n=4．故答案为4．15．()()()2116x x x +-- 【解析】【分析】首先利用十字相乘法分解因式，进而利用平方差公式分解因式；【详解】x 4-7x 2+6=（x 2-1）（x 2-6）=()()()2116x x x +--； 【点睛】此题考查了十字相乘法分解因式，正确分解分解因式是解题关键．16．()()()()2244x y x y x y x y +-+-【解析】【分析】原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式=（4x 2-y 2）（x 2-16y 2）=（2x+y ）（2x-y ）（x+4y ）（x-4y ）．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．17．()()2131x x x -+【解析】【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出即可．【详解】2x+4x2-6x3=2x（1+2x-3x2）=2x（1-x）（3x+1）．故答案为：2x（1-x）（3x+1）．【点睛】此题考查了提取公因式法和十字相乘法分解因式，熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键．。
沪教版 七年级(上)数学 第5节 因式分解 (解析版)
第5节因式分解单元测试卷一、选择题（共6小题）1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是A．B．C．D．2．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是A．B．C．D．3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是A．B．C．D．4．如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形一定是A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形5．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么A．一定是奇数B．一定是偶数C．一定是负数D．可为奇数也可为偶数6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？A．4B．5C．6D．8二．填空题（共12小题）7．分解因式：．8．和的公因式是．9．因式分解：．10．分解因式：．11．因式分解：．12．分解因式：．13．因式分解：．14．若，，则．15．把多项式的因式分解成，则的值为．16．如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是．（填出符合条件的一个值）17．对于任意正整数，整式的值一定是的倍数（填最大的正整数）18．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因为看错了常数项而将其分解为，请写出正确的因式分解的结果．三．解答题（共7小题）19．分解因式：．20．分解因式：．21．分解因式：．22．因式分解：．23．分解因式：．24．先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：将：将看成整体，设，则原式再将换原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）．（2）．25．阅读下列材料，并回答问题：若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则正整数称为“明礼崇德数”．例如：因为，所以7是“明礼崇德数”；再如：因为，所以12是“明礼崇德数”；再如：，是正整数），所以也是“明礼崇德数”．问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题3：已知，是正整数，是常数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是A．B．C．D．解：、，从左到右是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；、，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；、，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；、，等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；故选：．2．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是A．B．C．D．解：，故选：．3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是A．B．C．D．解：能用完全平方公式进行因式分解的是．故选：．4．如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形一定是A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形解：，，，或，这个三角形一定是等腰三角形；故选：．5．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么A．一定是奇数B．一定是偶数C．一定是负数D．可为奇数也可为偶数解：二次三项式中，21是奇数，可以写成2个奇数积的形式，10是偶数，可以写成1奇1偶积的形式，奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，奇数偶数奇数，奇数偶数奇数，一定是奇数．故选：．6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？A．4B．5C．6D．8解：，，，，，，，，，，，，分别解得：，，5，，8.5（不合题意），（不合题意）；整数的值有4个，故选：．二．填空题（共12小题）7．分解因式：．解：．故答案为：．8．和的公因式是．解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是，公因式为．故答案为：．9．因式分解：．解：原式，故答案为：．10．分解因式：．解：．故答案为：．11．因式分解：．解：，，．12．分解因式：．解：原式．故答案为：．13．因式分解：．解：原式．故答案为：14．若，，则4．解：，，．故答案为：4．15．把多项式的因式分解成，则的值为6．解：，，，故答案为：6．16．如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是5（答案不唯一）．（填出符合条件的一个值）解：关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，△，．那么的值可以是5，故答案为：5（答案不唯一）．17．对于任意正整数，整式的值一定是6的倍数（填最大的正整数）解：，是任意正整数，的因式中必有一个2的倍数，一个3的倍数，整式的值一定是6的倍数．故答案为：6．18．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因为看错了常数项而将其分解为，请写出正确的因式分解的结果．解：，，甲同学因为看错了一次项系数，多项式的二次项和常数项分别是、18，乙同学因为看错了常数项，多项式的二次项和一次项分别是、，所以该二次三项式为：．故答案为：三．解答题（共7小题）19．分解因式：．解：．．20．分解因式：．解：原式．21．分解因式：．解：原式．22．因式分解：．解：．23．分解因式：．解：原式．24．先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：将：将看成整体，设，则原式再将换原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）．（2）．解：（1）；（2）设则原式，所以．25．阅读下列材料，并回答问题：若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则正整数称为“明礼崇德数”．例如：因为，所以7是“明礼崇德数”；再如：因为，所以12是“明礼崇德数”；再如：，是正整数），所以也是“明礼崇德数”．问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题3：已知，是正整数，是常数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．解：问题是“明礼崇德数”，理由：；问题是“明礼崇德数”，理由：；问题，当时，为“明礼崇德数”，此时，故当时，为“明礼崇德数”．。
因式分解(6种常考题型专项训练)原卷版—七年级数学上学期期中(沪教版2024)
因式分解（6种常考题型专项训练）因式分解的意义 公式法因式分解因式分解在有理数简算中的应用 十字相乘法分组分解法 因式分解的应用题型一：因式分解的意义一、单选题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．253(5)3x x x x -+=-+B ．2(2)(5)310x x x x -+=+-C ．22(23)4129x x x +=++D ．2244(2)-+=-x x x 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ）（1）()()2224x x x +-=- （2）()2111x x x ++=++（3）12223=´´ （4）()3222323a a a a a a ++=++A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ）A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式33ab 与单项式239a b 的公因式是（ ）A ．23a b B ．333a b C ．2a b D ．33a b 二、填空题5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式2x x m -+含有一个因式(3)x +，则m 的值是 ．6．（2022七年级上·上海·专题练习）28(9)()x x m x x n -+=--，则nm =7．（23-24七年级上·上海长宁·期中）326a bc 和228a b c 的最大公因式是 ．题型二：公式法因式分解一、单选题1．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（ ）A ．2249a b -B ．222a ab b -+-C ．21a --D ．2114b -+2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．21x x ++B ．221x x --C ．224x x ++D ．214x x -+二、填空题3．（2024·上海嘉定·三模）因式分解：()2224x xy y ---=4．（2024·上海·模拟预测）因式分解：62xy xy -=三、解答题5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：2221a ab b ++-．6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：222(4)8(4)16a a a a -+-+7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：()22222169+--m n mn m n ．8．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：22139164525a ab b -+-．9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：()()2242452x x x x -+-++题型三：因式分解在有理数简算中的应用1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：2220052003-= ．2．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算：227.5 1.6 2.5 1.6´-´3．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算：2201120072015-´4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：()()22202020262020403720212017201920222023-+´´´´．题型四：十字相乘法一、填空题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：2812x x -+=．2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：221112x xy y --=．3．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：21336a a -+= ．4．（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式：26x x +-= ，3443ax by ay bx --+=．5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式：22514x xy y --=．二、解答题6．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：4234x x --．7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：()()222412a a a a +++-．8．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：()()21556a b b a ---+．9．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：()()2233820x x x x ----．题型五：分组分解法一、填空题1．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解：am an bm bn +--= ．2．（2024·上海·模拟预测）因式分解：221x x --= .二、解答题3．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：842ax by ay bx -+-．4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：22643a bc ab ac -+-；5．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：32248x x y x y +--.6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：()22222224mnx m x n x m n -++--；7．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：22424a b a b --+．8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：5322x x x +-- ．9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：22168-+-a b b ．10．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：32332a a a +++．11．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解：()()22114x y xy ---题型六：因式分解的应用一、单选题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x 的一次整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-二、填空题2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）与()27x y -之积等于4249y x -的因式为 ．3．（2022七年级上·上海·专题练习）当1996,200x y =-=时，代数式32266x xy x y x --+= 4．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知22313x y x y -=+=，，则32238x y x y xy -+的值为 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到：()()2232222333a b a ab b a a b ab a b a b b a b +-+=-++-+=+即：()()2233a b a ab b a b +-+=+，我们把这个公式叫做立方和公式，同理：()()2233a b a ab b a b -++=-，我们把这个公式叫做立方差公式，请利用以上公式分解因式：34381a b b -=6．（23-24七年级下·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n ，的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用()()22m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ．三、解答题7．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a ，b ，c 三个数两两不等，且有222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，试求m 的值．222222 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明：()()()2a b c x y z ax by cz++++³++。
沪教版七年级数学(-因式分解练习题)
（
A、 an
B、 an 1
C、 a2n 1
D、 9 4
） D、 a 2n 1 1
3、要使二次三项式 x2 mx 12 能在整数范围内分解因式，则 m 不可取 的值是
（
）
A、 1
B、 2
C、 4
D、 11
4、下列各式中因式分解结果为 ( x 2)( x 1) 的多项式是（
）
A、 x2 3x 2
B、 x2 x 2
学习必备
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七年级因式分解练习卷
一、 填空题（每空 2 分，共 40 分） 1、 5m(a b) a b ( a b) ___________
： 号 学
线
订
2、已知
2
x
mx
16 是完全平方式， 则 m
_____________，已知
2
4x
2mxy
2
9y
是完全平方式，则 m =____________。
C、 x2 3x 2
D、 x2 x 2
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5、 把多项式 x2 4 xy 4y2 4 先分组再应用公式分解因式，分组正确的是
（
）
A、 (x2 4xy ) (4 y2 4)
B、 (x2 4) (4 xy 4y2 )
C、 (x2 4xy 4y2 ) y2
6、下列各多项式的因式分解结果正确的是 A、 (a 2 b2 )2 4 a2b2 (a b) 2( a b) 2
5、已知：
2
(x
2
2
y )( x
4
2
y ) 12
0
，求
2
x
2
沪教版数学七年级上册【因式分解】专项巩固训练
）．
6
参考答案
一．选择题 1．解：4x2y 和 6xy3 的公因式是 2xy，
故选：A． 2．解：①2x2﹣x＝x（2x﹣1），
②x2+4+4x＝（x+2）2， ③x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1）， ④﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2， 即①和②没有相同的因式，①和④没有相同的因式，②和③有相同的因式 x+2，③和④没有相 同的因式， 故选：C． 3．解：A、a2﹣b2 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； B、﹣a2﹣b2 两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； C、a2+b2 两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、a2+2ab+b2 是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：A． 4．解：∵x2+mx+9＝（x+3）2＝x2+6x+9， ∴m＝6． 故选：D． 5．解：原式＝[2﹣3（a﹣b）]2 ＝（2﹣3a﹣3b）2．
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是
．
①a2+ab＝a（a+b） ②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知 4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求 2x﹣3y 的值；
②计算（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣
8
故选：C． 10．解：664﹣1
＝（632+1）（632﹣1） ＝（632+1）（616+1）（616﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（68﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（64﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）（62+1）（62﹣1） ＝（632+1）（616+1）（68+1）（64+1）×37×35． 故选：A． 二．填空题 11．解：3xy﹣6y＝3y（x﹣2）． 故答案为：3y（x﹣2）． 12．解：设另一个因式是 2x+n， ∴（x﹣3）（2x+n）＝2x2+nx﹣6x﹣3n＝2x2+mx+15， ∴﹣3n＝15，n﹣6＝m， ∴n＝﹣5，m＝﹣11， 故答案为﹣11． 13．关于 x 的二次三项式 x2﹣4x+m 在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程 x2﹣4x+m＝0 无实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0， ∴m＞4．
上海市七年级上学期因式分解精炼
上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、.-+--+++ax abx acx ax m m m m 2213 2、.a a b a b a ab b a ()()()-+---322223、.不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
4、.证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
5、. 已知：xbx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
课堂小练1. 分解因式：（1）-+-41222332mn m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a ab a b a ab b a ()()()-+---322222 （4）322x x x ()()--- （6）412132q p p ()()-+-2. 计算：()()-+-221110的结果是______________3. 已知x 、y 都是正整数，且x xy y y x ()()---=12，求x 、y 。
4. 证明：812797913--能被45整除。
2、运用公式法进行因式分1、已知多项式232xx m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
2、已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
3、两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
4、 已知：am b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
5、. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。
6、 分解因式（1）()()aa +--23122 （2 ）x x y x y x 5222()()-+-（3）3223288xy x y xy ++ (4)a a b b 2222+--7、. 已知：xx +=-13，求x x 441+的值。
上海市沪教版(五四制)七年级第一学期因式分解专练学案-文档精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版因式分解提取公因式、公式法【知识要点】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 提公因式法：=++mc mb ma .3. 公式法:（1）=-22b a ；（2）=++222b ab a ；（3）=+-222b ab a .4．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 5．易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.【典型例题】例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( ) A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6 B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1)例2 将下列多项式分解因式 （1）（2）121m n m n a b a b -+-（3）253243143521x y x y x y +-（4）()()23aa b a b a ---（5）)3(7)23)(3(x x x -+--（6）xy xy y x 36922+--例3 把下列各式分解因式 （1）a 2－4b 2（2）24251b a +-（3）()()22916b a b a +--（4）()()122++++b a b a（5）442-+-x x（6）181222+-x x（7）22332y ax axy y ax -+（8） 3y 2－2722x x -（9）x x x ++232（10）()222224y x y x -+例4 分解因式（1）()()()()222510b a b a n m n m ++++-+（2）()()()()229262n m n m m n n m +++---例5 计算（1）199919992+（2）20002－4000×2019+20192例6已知,21,1-==+xy y x 利用因式分解求2)())((y x x y x y x x +--+的值.例7设n 为整数，用因式分解说明25)12(2-+n 能被4整除.【小试锋芒】1．分解因式39a a -=，221218x x -+= 2. 分解因式：34a a -=3．因式分解： 4.因式分解：4)4)(2(2-+++x x x = 5．简便计算：=2271.229.7－ 6．按照完全平方公式填空：7．多项式a ax 42-与多项式442+-x x 的公因式是 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 29．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A ．1)32(1322+-=+-a a a aB ．)11(1xyxy xy -=-C ．)1)(1(12-+=-x x xD ．22)21(412+=++x x x 10．下列因式分解错误的是( ) A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+11．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A ．B ．=+-+)(3)(2y x y x a b a b >222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+C ．D ．12．因式分解：（1）32)(12)(18b a b a ---（2）32)()(x y y x --- （3）22819212++（4）22821y x - 【大展身手】1．把下列各式分解因式正确的是（） A ．xy 2－x 2y = x(y 2－xy) B.9xyz －6x 2y 2=3xyz(3－2xy)C.3a 2x －6bx+3x=3x(a 2－2b)D.221xy +y x 221=xy 21(x+y) 2．－6x n －3x 2n 分解因式正确的是（）A ．3（－2x n －x 2n ）B.－3x n (2－x n )C.－3(2x n +x 2n )D.－3x n (x n +2)3．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）①x 2－4x+4②6x 2+3x+1③4x 2－4x+1④x 2+4xy+2y 2⑤9x 2－20xy+16y 2A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤4．把多项式（3a －4b ）(7a －8b)＋(11a －12b)(8b －7a)分解因式的结果是（） A ．8(7a －8b)(a －b) B ．2(7a －8b)2C ．8(7a －8b)(b －a)D ．－2(7a －8b)25．在多项式①16x 5－x ；②(x －1)2－4(x －1)+4；③(x+1)4－4x(x+1)2+4x 2④－4x 2－1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③6．观察下列各式①2a ＋b 和a ＋b ，②5m(a －b)和－a ＋b ，③3(a ＋b)和－a －b ，④x 2－y 2和x 2＋y 2其中有公因式的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．分解因式： （1）916222-z y x（2）()()22481b a b a --+（3）3212123a a a -+-（4）()()16585222+-+-x x（5）222224)(b a b a -+ （6）3)(111)(11a b b a -+- 十字相乘法【知识要点】1、x 2+px+q 型的二次三项式中p 和q 都是整数：22()()a b a b a b -=+-22(2)()2a b a b a ab b +-=+-（1）找出a,b 使a+b=p 且ab=q（2）把q 分解成两个整数的积的符号规律：q>0则a,b 同号,若p>0,a,b 同正,若p<0,a,b 同负;q<0则a,b 异号,若p>0,a,b 中正数绝对值大,若p<0,a,b 中负数的绝对值大. （3）当二次项系数为负时,先提负号. （4）注意题目中换元思想的运用. 2、十字相乘法的步骤:（1）把二次项系数和常数项分别分解因数（2）尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次系数 （3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果 （4）检验(我们形象的把它比喻成“拆两头,凑中间”) 【典型例题】 例1. 分解因式（1）2x 2-5x ＋3（2）-3x 2－5x-2（3）5x 2＋7xy-6y 2．（4）12722+-xy y x（5）1002924+-x x （6）322222318126z xy z y x z y x ++- 例2. 分解因式（1）36)(5)(2-+++n m n m （2）26)(11)(222--+-x x x x （3）2220)(9)(c bc ac b a ++-+（4）)3(4)(2+---y x y x例3. 已知多项式62++ax x 可分解为两个整系数的一次因式的积，求a 的值. 例4 分解因式：()mn x n m mnx +++222【小试锋芒】1. _____))(12(______102-+=-+x x x x 2. )4____)((______52++=++x x x x3. )3)(2(x x +-是多项式_____________的因式分解.4. 如果),3)((62+-=+-x n x mx x 那么m-n 的值是_________.5. 若关于x 的二次三项式122-+px x 能分解成两个整系数的一次多项式的积，则p 有_______个可能的取值. 6. 因式分解（1）342++x x （2）1522-+x x（3）2452-+x x （4）2142--x x（5）2232y xy x --（6）x 2＋7xy ＋12y 2； （7）2243y xy x -+（8）222816y xy x ++ （9）2223y xy x --（10）228185y xy x -- （11）2212y xy x -+（12）226197y xy x -+ 7. 因式分解（1）y xy y x 1582-+-（2）36)5(12)5(222++-+a a a a （3）24)8)(6(22--+-+x x x x （4）26)(11)(222--+-x x x x 【大显身手】 1.把下列各式分解因式（1）91024+-x x （2）x x x 4335-+（3）1002924+-x x （4）120)8(22)8(2222++++a a a a （5）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ （6）3)5)(3(22-----x x x x 2.用简便方法计算： 1699809982++ 3.把48)4)(3)(2)(1(-----x x x x 分解因式.分组分解法【知识要点】 1.分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式.（2）原则：分组后可直接提取公因式或直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解. （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可.（4）对于四项式，在分解时可以“二二”分组或“一三”分组； 对于五项式，在分解时一般是“三二”分组；对于六项式，在分解时采用“三三”、“三二一”或“二二二”分组。
沪教版七年级上册 因式分解,带答案
因式分解课时目标1. 正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别.2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式.3. 理解整式乘法公式在因式分解中的作用.4. 掌握运用公式法分解因式.知识精要1. 因式分解的意义：把一个多项式化为______________，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2. 多项式的公因式（1） 意义：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的_______.（2） 找公因式的方法公因式的系数应取各项系数的__________，字母取各项中都含有的相同的字母，而且各个相同字母的指数取次数_______.3. 提取公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把公因式提到括号外面，将公因式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做______________.4. 公式法（1） 意义逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做_______.（2） 因式分解公式平方差公式：22__________a b -=完全平方公式：=++222b ab a _________________=+-222b ab a _________________33_____________a b +=，33_____________a b -=.5. 十字相乘法一般地，))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++十字相乘法的关键：把常数项分解成两个数的乘积，并且满足这两个数相加等于一次项系数；（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）6. 分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做__________.7. 因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式（2）如果多项式的各项无公因式，那么可以尝试运用公式法或十字相乘法来分 解.一般地，若是二项式，则考虑平方差公式；若是三项式，则考虑用完全 平方公式或十字相乘法.（3）如果上述方法不能分解，那么应考虑分组分解法.（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能分解为止.热身练习1.从下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）()a m n am an +=+ ；（2）2221(2)(1)(1)a ab b a a b b b ++-=+++-；（3）211()x x x x+=+； （4）4(4)ax x x a -=-；（5）22()()a b a b a b -=+-；2.多项式32215()10()a b a b c a b a b +++的公因式是_____________.3. 分解因式（1）232322x y x y x y z --+； （2）26()12()a x y a y x -+-；（3） 6(2)(2)x x x ++--； （4）3223()9()m x y m y x ---；精解名题将下列各式分解因式（1）4116x -；（2）2225()4()a b c a b c -+-+-；(3) 22222()4x y x y +-;(4) 22()4()4a b c c a b c c ++-+++；（5）2215x x --；(6) 2()4()12x y x y +-+-;(7) 2x bx a ab --+;备选例题1.配凑法分解因式（1）444x y +；（2）3253x x --；（3）在实数范围内分解因式4323231x x x x ++++（4）2222x ax b ab --+（5）51a a ++2. 用待定系数法分解因式（1） 22282143x xy y x y +-++-（2）224434103x xy y x y +----3. 换元法分解因式（1）22(23)(224)90x x x x +-+-+（2）432653856x x x x +-++方法提炼因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：1、首项有负常提负，2、各项有“公”先提“公”，3、某项提出莫漏1，4、括号里面分到“底”.巩固练习1.分解因式（1） 1xy x y -+- （2）222a ab -（3） 2221a b a --+ （4）33222ax y axy ax y +-（5）328m m - （6）am an bm bn +++2.计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----．3.（勾股定理）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.当堂总结多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.自我测试一、选择题1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=--B ．21(1)(1)a a a -=+-C ．2(1)(1)1x x x +-=-D ．2223(1)2a a a -+=-+2.下列各式的公因式是a 的是（ ）A ．5ax ay ++B ．246ma ma +C ．2510a ab +D ．24a a ma -+3.一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（ ）A ．22(1)(1)x x -+B ．22(1)(1)x x +-C ．2(1)(1)(1)x x x -++D ．3(1)(1)x x -+4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x y -B ．2(2)x y --C ．2(2)x y --D ．2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ）A ．40B ．40±C ．20D ．20±6、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（ ）A.p q --1B.p q -C.q p -+1D.p q -+17、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.28、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A.32(1)x x x x -=- C.2222()x xy y x y -+=-B.22()x y xy xy x y -=-D.22()()x y x y x y -=-+ 9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A.46-bB.64b -C.46+bD.46--b10、下列多项式的分解因式，正确的是（ ）A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y aC 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+11、下列各式不能．．继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、22a a +二、填空题12、要在二次三项式x 2+□x -6的□中填上一个整数，然后按x 2＋（a ＋b ）x ＋a b 型分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式，那么这个数是___________.13、如果=+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x ，则.14、如果2a +3b =1,那么3-4a -6b = ．15、若＝，，则b a b b a ==+-+-01222.16、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.17、若a 2+2a +b 2-6b +10=0， 则a = ，b = .18、把3222x x y xy -+分解因式，结果是___________.19、因式分解：224a a -=___________.（x +3）2 - (x +3) =___________.20、已知正方形的面积是9x 2+6xy +y 2平方单位，则正方形的边长是___________.三、计算题21、因式分解（1）22105m mn + （2）222120x x ++（3）x x x 2718323+- （4）()()3224x y y x ---（5）()222164x x -+ （6）122222++--+a b ab b a（7）()()()()14321+++++x x x x （8）()()ab b a 41122---22、先分解因式，再求值：21,34,412922-==++y x y xy x 其中.23、先分解因式，再求值：已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。
沪教版初一数学第九章整式第五节因式分解9.16分组分解法
沪教版（上海)七年级上9.16分组分解法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．把多项式1ab a b -+-因式分解的结果是（ ）.A ．()()11a b ++B ．()()11a b --C ．()()11a b +-D ．()()11a b -+ 2．下列分解因式错误的是（ ）.A ．()2155531a a a a +=+B ．()()22x y x y x y --=-+- C ．()()1ax x ay y a x y +++=++ D ．()()2a bc ab ac a b a c --+=-+ 3．分解因式：x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y 的结果是（ ）A ．（x ﹣y ）（x ﹣y+1）B ．（x ﹣y ）（x ﹣y ﹣1）C ．（x+y ）（x ﹣y+1）D ．（x+y ）（x ﹣y ﹣1）4．以下是一名学生做的5道因式分解题①3x 2﹣5xy+x=x （3x ﹣5y ）；②﹣4x 3+16x 2﹣26x=﹣2x （2x 2+8x ﹣13）；③6（x ﹣2）+x （2﹣x ）=（x ﹣2）（6+x ）；④1﹣25x 2=（1+5x ）（1﹣5x ）；⑤x 2﹣xy+xz ﹣yz=（x ﹣y ）（x+z ）请问他做对了几道题？（ ）A ．5题B ．4题C ．3题D ．2题 5．下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ）A ．x 2+y 2B ．x 2﹣yC ．x 2+x +1D ．x 2﹣2x +1 6．分解因式：2221a b b -+-=______.7．若101999610005A =⨯⨯，100049997101B =⨯⨯，则A B -之值为何？（ ）. A ．101 B ．－101 C ．808 D ．－808 8．224443x x y y --+-=______.9．若2256x y mx y -++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为______.10．因式分解到()()23211x x x x +-+-时，还未完毕，再分解下去，得______. 11．已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a 3b+ab 3的值．12．设y kx =，是否存在实数k ，使得代数式2222222()(4)3(4)x y x y x x y --+-能化简为4x ？若能，请求出所有满足条件的k 值，若不能，请说明理由.13．已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b -|= ． 14．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值.15．在实数范围内因式分解：23-x y y .16．已知210a a --=，则322015a a a --+= ．17．如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2） 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x （14x ≤≤，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．参考答案1．D【解析】【分析】对于ab+a 先提取公因式a ，然后再提取公因式（1+b ）得出结果即可．【详解】解：11(1)(1)(1)(1)ab a b ab a b a b b a b -+-=+--=+-+=-+故选：D.【点睛】本题考查提公因式法分解因式，准确找到公因式是解题关键.2．B【解析】【分析】利用因式分解的定义判断即可．【详解】解：A. ()2155531a a a a +=+，正确； B. ()2222x y x y --=-+，所以此选项符合题意；C. ()()()1ax x ay y a x y x y a x y +++=+++=++ ，正确；D. ()()2()()a bc ab ac a a b c a b a b a c --+=-+-=-+，正确 故选：B.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．A【解析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x 2﹣2xy+y 2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x ﹣y 为一组．解：x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y=（x 2﹣2xy+y 2）+（x ﹣y ）=（x ﹣y ）2+（x ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣y+1）． 故选A ．4．D【解析】此题只需根据因式分解的方法：提取公因式、运用公式法、分组分解法，进行分析判断． 解：①3x 2﹣5xy+x=x （3x ﹣5y+1），故错误；②﹣4x 3+16x 2﹣26x=﹣2x （2x 2﹣8x+13），故错误；③6（x ﹣2）+x （2﹣x ）=（x ﹣2）（6﹣x ），故错误；④根据平方差公式，得1﹣25x 2=（1+5x ）（1﹣5x ），故正确；⑤x 2﹣xy+xz ﹣yz=（x 2﹣xy ）+（xz ﹣yz ）=（x ﹣y ）（x+z ），故正确．所以④⑤正确．故选D ．5．D【解析】【分析】利用因式分解的方法，分别判断得出即可．【详解】解；A 、x 2+y 2，无法因式分解，故A 选项错误；B 、x 2﹣y ，无法因式分解，故B 选项错误；C 、x 2+x+1，无法因式分解，故C 选项错误；D 、x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故D 选项正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．6．()()11a b a b +--+【解析】【分析】先利用完全平方公式因式分解，然后再利用平方差公式因式分解，从而求解.【详解】解：22222221(21)(1)(1)(1)a b b a b b a b a b a b -+-=--+=--=+--+故填：()()11a b a b +--+【点睛】本题考查完全平方公式和平法差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键.7．D【解析】【分析】先提取公因式101，然后利用数的拆分进行简便计算，从而求解.【详解】A B -=101999610005⨯⨯100049997101-⨯⨯=101(999610005999710004)⨯-⨯=[]101(99971)100059997(100051)-⨯-⨯-=[]10199971000511000599971000599971⨯-⨯-⨯+⨯=101(8)⨯-=808-【点睛】本题考查提取公因式进行简便计算，准确进行数的拆分使计算简便是解题关键.8．()()2321x y x y +--+【解析】【分析】将原式进行变形后，利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：原式=2244144x x y y -+-+-=2222441(44)(21)(2)x x y y x y -+--+=--- =[][](21)(2)(21)(2)x y x y -+----=()()2321x y x y +--+【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式法进行因式分解，熟记公式是解题关键.9．±1【解析】【分析】首先设原式=（x+y+a ）（x-y+b ），进而求出即可．【详解】解：原式=（x+y+a ）（x-y+b ）=x 2-y 2+（a+b ）x+（-a+b ）y+ab故a+b=m ，-a+b=5，ab=-6，解得：a=-2，b=3，m=1；a=-3，b=2，m=-1，∴m=±1．故答案为：±1． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．10．()()2211x x +- 【解析】【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题x 3-x 2分为一组，另两项分为一组．【详解】解：原式=（x 2+1）[x 2（x-1）+（x-1）]=（x 2+1）2（x-1）．故答案为：（x 2+1）2（x-1）．【点睛】本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题可以两两分组．11．-30【解析】【分析】将a 3b+ab 3化为用ab 和a+b 表示的形式，整体代入计算即可．【详解】解：∵a+b=2，ab=﹣3，∴()()()()233222a b ab ab a b ab a b 2ab 322330⎡⎤⎤⎡+=+=+-=---=-⎦⎣⎣⎦．12．能，k =k =【解析】试题分析：化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k 的方程求解即可.试题解析：∵y kx =，∴222222222222222()(4)3(4)(4)(3)(4)x y x y x x y x y x y x x y --+-=--+=- ()2222242(4)4x k x x k =-=-.∴要使代数式22222224()(4)3(4)x y x y x x y x --+-=，只要()2241k -=.∴241k -=±，解得k =k =考点：1.代数式的化简；2.代数式恒等的条件；3.解高次方程.13．1．【解析】试题分析：∵2110a a +=>，2110b b+=>，∴0a >，0b >，∴()10ab a b ++>，∵211a a +=，211b b +=，两式相减可得2211a b a b -=-，()()b a a b a b ab -+-=，[()1]()0ab a b a b ++-=，∴0a b -=，即a b =，∴2015a b -=02015=1．故答案为1． 考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂．14．70【解析】【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．【详解】解：∵边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，∴2（a+b ）=14，ab=10，即a+b=7，ab=10∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=70．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．15．(y x x +【解析】【分析】先提取公因式y ，然后利用平方差公式进行因式分解.【详解】解：223(3)(x y y y x y x x -=-=+-【点睛】本题考查提公因式法和平方差公式法分解因式，熟记公式是解题关键.16．2015．【解析】试题分析：∵210a a --=，∴21a a -=，∴322015a a a --+=2()+2015a a a a --=2015a a -+=2015，故答案为2015．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题．17．见解析，能被11整除；y=2x （1≤x≤4）【解析】【分析】根据“和谐数”的定义写出数字，然后设“和谐数”的形式为abcd ，则根据题意得出a=d ，b=c ，然后将这个四位数除以11，将其化成代数式的形式，用a 和b 来表示c 和d ，然后得出答案，进行说明能被11整除；首先设三位“和谐数”为zyx ，根据定义得出x=z ，然后根据同上的方法进行计算．【详解】解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：最高位到个位排列：a b c d ,,,个位到最高位排列：,,,d c b a 由题意，可得两组数据相同，则：,a d b c ==则1000100101000100101001110911011111111abcd a b c d a b b a a b a b +++++++====+为正整数∴ 四位“和谐数”abcd 能被11整数又∵a b c d ,,,为任意自然数， ∴任意四位“和谐数”都可以被11整除⑵、设能被11整除的三位“和谐数”为：zyx ，则满足：个位到最高位排列：,,x y z 最高位到个位排列：,,z y x 由题意，两组数据相同，则：x z =故10110zyx xyx x y ==+ 10110991122911111111zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数 ∴考点：新定义题型、代数的应用、一次函数的应用．。
沪教版初一数学第九章阶段测试卷(五)因式分解(2)
沪教版（上海)七年级上学期第九章阶段测试卷（五)因式分解（2)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．因式分解：22a b -=_____．2．因式分解:2249x y -= __________.3．因式分解4124a -=______. 4．因式分解220.250.01x y -=______.5．因式分解()21623a b -+=______.6．因式分解()2242x y z --=______.7．因式分解44x y -=______.8．因式分解333x x -=______.9．因式分解2248116a b c -+=______.10．因式分解516x x -=______.11．因式分解21323x x -+=______. 12．因式分解24129n n a a -+=______.13．下列多项式不能用平方差公式分解的是（ ）A ．22114a b -B ．440.25m -C ．21a +D ．41a -+ 14．在多项式222x y +、22x y -、22x y -+、22x y --中，能用平方差公式分解的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．下列因式分解正确的个数有（ ）（1）()()()22x y x y y +-=+-；（2）()()2414141a a a -=+-；（3）()()2943232x x x -+=+-；（4）()()22a b a b a b -=+-.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知代数式221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数17．下列各式能用完全平方公式分解的是（ ）A ．229m n -B ．2224p pq q -+C ．2244x xy y --+D ．()()2961m n m n +-++18．若22254x kxy y ++可以分解为()252x y -，则k 的值是（ ）A ．-10B ．10C ．-20D ．2019．3321227a x axy -.20．()()22222233a b a b ---. 21．212510n n n a a a ++-+. 22．()()22248416x xx x -+-+. 23．222221111111111234520⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 24．一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度求横断面面积的代数式，并计算当a =1.5,b =0.5时的面积.25．求证：当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.26．已知2246130a b a b +--+=，求5103a b -+的值.27．给出三个单项式：2a ，2b ，2ab .（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当2018a =，2019b =时，求代数式222a b ab +-的值.28．若()()()()2345x x x x k +++++是完全平方式，则k 的值为多少？参考答案1．()()a b a b +-【解析】【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．【详解】()()22a b a b a b -=+-．故答案为：()()a b a b +-．【点睛】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．2．(2x+3y)(2x-3y)【解析】试题解析：原式=（2x +3y ）（2x -3y ）．3．223322a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】 把124转化成23()2，然后利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：4124a -=2223()()2a -=2233()()22a a +-． 故答案为：2233()()22a a +-． 【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式的特点是解决此题的关键．4．()()155100x y x y +- 【解析】【分析】利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：220.250.01x y -=22(0.5)(0.1)x y -=(0.50.1)(0.50.1)x y x y +- =()()155100x y x y +-． 故答案为：()()155100x y x y +-． 【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，把两项写成平方差的形式是解决此题的关键． 5．()()423423a b a b ++--【解析】【分析】16写成42，然后利用平方差公式分解即可．【详解】解：()21623a b -+=()22423a b -+=[4(23)][4(23)]a b a b ++-+=()()423423a b a b ++--．故答案为：()()423423a b a b ++--．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反．6．()()2222x y z x y z +--+【解析】【分析】利用平方差公式分解即可．【详解】解：()2242x y z --=()22(2)2x y z --=[2(2)][2(2)]x y z x y z +---=()()2222x y z x y z +--+．故答案为：()()2222x y z x y z +--+．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，把原式写成平方差的形式是解决此题的关键． 7．()()()22x yx y x y ++-【解析】【分析】把两项写成平方的形式，利用平方差公式分解即可．【详解】解：44x y - =2222()()x y -=2222()()x y x y +-=22()()()x y x y x y ++-．故答案为：22()()()x y x y x y ++-．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式的特点是解决此题的关键．注意分解一定要彻底．8．()()311x x x +-【解析】【分析】先提出公因式3x ，然后利用平方差公式分解即可．【详解】解：333x x -=23(1)x x -=3(1)(1)x x x +-．故答案为：3(1)(1)x x x +-．【点睛】分解因式的一般思路：有公因式先提公因式，然后利用公式分解．9．()()224949c abc ab +- 【解析】【分析】两项交换，可以写成平方差的形式，利用平方差公式分解即可．【详解】解：2248116a b c -+=222(4)(9)c ab -=22(49)(49)c ab c ab +-．故答案为：22(49)(49)c ab c ab +-．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式的特点是解决此题的关键．10．()()()2412121x x x x ++- 【解析】【分析】提出公因式x ，然后利用平方差公式分解．【详解】解：516x x -=4(161)x x -=22[(4)1]x x -=22(41)(41)x x x +-=()()()2412121x x x x ++-． 【点睛】本题综合考查了提公因式法和公式法分解因式，熟记因式分解的一般步骤是解决此题的关键．11．()21313x - 【解析】【分析】 提出13，把系数转化为整数，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】 解：21323x x -+ =21(961)3x x -+ =221[(3)2311)3x x -⋅⋅+ =()21313x -． 故答案为：()21313x -． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方．12．()223n a -【解析】【分析】利用完全平方差公式分解．【详解】解：24129n n a a -+=22(2)2233n n a a -⋅⋅+=()223n a -．故答案为：()223n a -．本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式是解决此题的关键．13．C【解析】【分析】根据平方差公式的特征：两个数（或式）的平方，且符号相反，对各选项分析判断即可．【详解】解：A 、22114a b -符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解； B 、440.25m -符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解；C 、21a +的两项符号相同，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解；D 、41a -+符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解．故选C ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，两平方项的符号是否相反是判断这两项能否用平方差公式分解因式的关键．14．B【解析】【分析】能用平方差公式分解的多项式含有两个平方项，并且符号相反，据此即可得出答案．【详解】解：能用平方差公式分解的有22x y -、22x y -+，共2个，故选B ．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特点是解决此题的关键．15．A【解析】【分析】利用平方差公式对各项进行判断即可．解：（1）()()()22x y x y x y +-=+-，故此项错误；（2）()()2412121a a a -=+-，故此项错误； （3）()()2942323x x x -+=+-，故此项错误； （4）()()22a b a b a b -=+-，故此项正确． 所以正确的有1个．故选A ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特点是解决此题的关键．16．B【解析】【分析】原式提出-1后利用完全平方差公式分解即可得出答案．【详解】解：221a a -+-=2(21)a a --+=2(1)a --，所以原式的值一定是非正数．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，将原式利用完全平方公式分解是解决此题的关键．17．D【解析】【分析】能用完全平方公式分解因式的多项式的特点为：①有两个平方项，且符号相同，②还有一项是两平方项底数积的2倍，据此即可求得答案．【详解】解：A 、含有两项，不符合完全平方式的特点，不能用完全平方公式分解；B 、两平方项底数乘积的2倍为4pq ，此式不符合完全平方式的特点，不能用完全平方公式分解；C 、两平方项的符号不同，不符合完全平方式的特点，不能用完全平方公式分解；D 、符合完全平方式的特点，能用完全平方公式分解．故选D ．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式的知识．注意掌握能用完全平方公式分解因式的多项式的特点为：①有两个平方项，且符号相同，②还有一项是两平方项底数积的2倍．18．C【解析】【分析】直接利用完全平方公式将()252x y -展开，然后令对应项的系数相等即可得出答案．【详解】解：22254x kxy y ++=()252x y -=2225204x xy y -+． 所以k =-20．故选C ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 19．()()32323ax ax y ax y +-【解析】【分析】先提出公因式3ax ，然后利用平方差公式分解即可．【详解】解：3321227a x axy -()222349ax a x y =-()()32323ax ax y ax y =+-．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20．()()()228a b a b a b ++-【解析】【分析】先利用平方差公式分解，然后把每个因式去括号合并同类项，再利用平方差公式和提公因式法分解．【详解】解：()()22222233a b a b ---()()()()222222223333a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-+----⎣⎦⎣⎦()()22224422a b a b =-+()()222242a b a b =-⋅+()()()228a b a b a b =++-．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特点是解决此题的关键．注意最后结果要使每一个因式不能再分解为止．21．()251n a a -【解析】【分析】先提出公因式n a ，然后利用完全平方差公式分解即可．【详解】解：212510n n n a a a ++-+ ()225101n a a a =-+()251n a a =-．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确的提出公因式是解决此题的关键． 22．()42x -【解析】【分析】把()24x x -看成整体，先利用完全平方公式分解，然后再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：()()22248416x x x x -+-+()2244x x =-+()222x ⎡⎤=-⎣⎦ ()42x =-．【点睛】此题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键，注意分解要彻底．23．2140【解析】【分析】把每一个因式利用平方差公式分解，然后约分相乘即可得出答案．【详解】 解：222221111111111234520⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111111223344552020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⋅-+-+⋅-⋅⋅⋅+- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 314253642119223344552020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ 345621123419234520234520=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 121220=⨯ 2140=． 【点睛】利用平方差公式把每个因式进行分解，注意到各个因式的特点是解决本题的关键． 24．2【解析】找到图中梯形上底为a ，下底为（a+2b ），高为（a-b ），代入面积公式即可．把a=1.5，b=0.5代入前面式子可算出具体面积．【详解】解：设横断面面积为S ，则S =12(a +a +2b )·(a －b )=(a +b )(a －b ) 当a =1.5,b =0.5时S =(1.5+0.5)(1.5－0.5)=2.【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题意列出公式代入求解.25．见解析【解析】【分析】运用平方差公式将（2n+1）2-（2n-1）2化简，得出结果含有因数8即可．【详解】证明：当n 是正整数时，2n －1与2n +1是两个连续奇数则(2n +1)2－(2n －1)2=(2n +1+2n －1)(2n +1－2n +1)=4n ×2=8n ，8n 能被8整除 ∴这两个连续奇数的平方差是8的倍数.【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式进行计算.26．510317a b -+=-【解析】【分析】将等式左边分组，分解成两个完全平方式的和的形式，然后利用非负数的性质即可得出关于a 、b 的方程，求出a 、b 的值，最后在代入计算即可．【详解】解：因为2246130a b a b +--+=，所以()()22230a b -+-=，所以20a -=，30b -=，所以2a =，3b =，所以510352103317a b -+=⨯-⨯+=-.本题考查了因式分解的应用，熟记完全平方公式的特点，将原式转化为两个完全平方式的和等于0的形式是解决此题的关键．27．（1）()()22a b a b a b -=+-或()222a ab a a b -=-（答案不唯一）；（2）1. 【解析】【分析】（1）任选两项相减可利用平方差公式或提公因式法分解；（2）原式利用完全平方差公式分解，再代入计算．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=+-或()222a ab a a b -=-（答案不唯一） （2）()2222a b ab a b +-=-，当2018a =，2019b =时，原式()2201820191=-=．【点睛】本题考查了提公因式法，平方差公式，完全平方公式分解因式，关键是熟记并会灵活运用，注意将（2）进行因式分解可简化运算．28．1k =.【解析】【分析】首先把()()()()2345x x x x k +++++分类整理为()()()()2534x x x x k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再进一步利用多项式乘法计算展开，把()27x x +看作整体，在配方成完全平方式，进一步探讨即可得出答案．【详解】 ()()()()2345x x x x k +++++()()()()2534x x x x k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()22710712x x x x k +=++++()()222=+++++2277120x x x x k()227111=+++-x x kk-=，∴10k=.即1【点睛】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方．。
上海市七年级上学期因式分解精炼
上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、.-+--+++ax abx acx ax m m m m 2213 2、.a a b a b a ab b a ()()()-+---322223、.不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
4、.证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
5、. 已知：xbx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
课堂小练1. 分解因式：（1）-+-41222332mn m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a ab a b a ab b a ()()()-+---322222 （4）322x x x ()()--- （6）412132q p p ()()-+-2. 计算：()()-+-221110的结果是______________3. 已知x 、y 都是正整数，且x xy y y x ()()---=12，求x 、y 。
4. 证明：812797913--能被45整除。
2、运用公式法进行因式分1、已知多项式232xx m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
2、已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
3、两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
4、 已知：am b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
5、. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。
6、 分解因式（1）()()aa +--23122 （2 ）x x y x y x 5222()()-+-（3）3223288xy x y xy ++ (4)a a b b 2222+--7、. 已知：xx +=-13，求x x 441+的值。
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第5节 因式分解 专项训练一．选择题（共6小题）1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．2(2)(3)6x x x x +-=--B ．23623xy x y =C ．2221(2)1x x x x ++=++D ．29(3)(3)x x x -=-+ 2．下列因式分解正确的是( )A ．29(9)(9)x x x -=+-B ．2294(94)(94)x y x y x y -=+-C ．2211()44x x x -+=-D ．22244(2)x xy y x y ---=-+3．下列因式分解过程中，分组正确的是( )A ．225315(53)(15)x y xy x x y xy x -+-=-+-B ．55(5)(5)ax x ay y ax y ay x -+-=-+-C ．393(33)(9)ax bx by ay ax by bx ay -+-+=--++D ．22221441(44)a ab b a ab b -+-=--+4．多项式33128ab c a b +的各项公因式是( )A ．24abB ．4abcC ．22abD ．4ab5．二次三项式212(x mx m --是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m 的所有可能值有( )个．A ．4B ．5C ．6D ．86．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是2216x mx ++能在有理数的范围内因式分解，则整数m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m 的值有几个？( )A ．4B ．5C ．6D ．8二．填空题（共10小题）7．因式分解：2436m -= ．8．分解因式：4281m m -= ．9．分解因式：256a a +-= ．10．分解因式2()4x y xy -+= ．11．分解因式：224129x xy y -+= ．12．因式分解：22151344x xy y +-= ．13．分解因式：22224x x y y xy --+-= ．14．已知30a b +=，则式子33()33a ab a b b -++-的值为 ．15．若实数x 满足2210x x --=，则322742018x x x -+-= ．16．若3m n -=，2mn =-，则22441m n mn -+的值为 ．三．解答题（共10小题）17．分解因式：221218x y xy y -+-．18．分解因式：223(2)3m x y mn --．19．分解因式：22444x y x -+-20．分解因式：22221x y x y -+-．21．分解因式：22944a ab b -+-．22．因式分解：2222(2)4(2)6x x x x ----23．因式分解：2244362x xy y x y -+-++24．阅读下列材料：已知230a a +-=，求2(4)a a +的值．解：23a a =-222(4)(3)(4)312412(3)129a a a a a a a a a a a ∴+=-+=+--=--+=---+= 2(4)9a a ∴+=根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若2100a a --=，则2(4)(5)a a +-的值为 ．（2）若2410x x +-=，求代数式43228481x x x x +--+的值．25．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由2()()()x p x q x p q x pq ++=+++得，2()()()x p q x pq x p x q +++=++； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子232x x ++分解因式．分析：这个式子的常数项212=⨯，一次项系数312=+，所以2232(12)12x x x x ++=+++⨯． 解：232(1)(2)x x x x ++=++请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）解方程：27180x x +-=；（2）若22680x xy y -+=，则y x= ． （3）填空：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能的值是 ．26．先阅读下面的解法，然后解答问题．例：已知多项式323x x m -+分解因式的结果中有一个因式是(31)x +，求实数m ． 解：设323(31)(x x m x K K -+=+为整式）令(31)0x +=，则13x =-，得32113()()033m ---+=，29m ∴=． 这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．（1）若多项式28x mx +-分解因式的结果中有一个因式为(2)x -，则实数m = ；（2）若多项式3235x x x n +++分解因式的结果中有一个因式为(1)x +，求实数n 的值；（3）若多项式4314x mx nx ++-分解因式的结果中有因式(1)x +和(2)x -，求m ，n 的值．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．2(2)(3)6x x x x +-=--B ．23623xy x y =C ．2221(2)1x x x x ++=++D ．29(3)(3)x x x -=-+解：A 、是整式的乘法，故此选项不符合题意；B 、不属于因式分解，故此选项不符合题意；C 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；故选：D ．2．下列因式分解正确的是( )A ．29(9)(9)x x x -=+-B ．2294(94)(94)x y x y x y -=+-C ．2211()44x x x -+=-D ．22244(2)x xy y x y ---=-+ 解：A ．原式(3)(3)x x =+-，不符合题意；B ．原式(32)(32)x y x y =+-，不符合题意；C ．原式21()2x =-，不符合题意； D ．原式222(44)(2)x xy y x y =-++=-+，符合题意．故选：D ．3．下列因式分解过程中，分组正确的是( )A ．225315(53)(15)x y xy x x y xy x -+-=-+-B ．55(5)(5)ax x ay y ax y ay x -+-=-+-C ．393(33)(9)ax bx by ay ax by bx ay -+-+=--++D ．22221441(44)a ab b a ab b -+-=--+解：A 、225315(515)(3)x y xy x x x xy y -+-=-+-，故选项错误；B 、55(55)()ax x ay y ax ay x y -+-=++--，故选项错误；C 、393(39)(3)ax bx by ay ax bx by ay -+-+=-++-+，故选项错误；D 、22221441(44)a ab b a ab b -+-=--+，故选项正确．故选：D ．4．多项式33128ab c a b +的各项公因式是( )A ．24abB ．4abcC ．22abD ．4ab 解：33221284(32)ab c a b ab b c a +=+，4ab 是公因式，故选：D ．5．二次三项式212(x mx m --是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m 的所有可能值有( )个．A ．4B ．5C ．6D ．8 解：若212(x mx m --为常数）可分解为两个一次因式的积，m 的值可能是1-，1，4-，4，11，11-．共有6个．故选：C ．6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是2216x mx ++能在有理数的范围内因式分解，则整数m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m 的值有几个？( )A ．4B ．5C ．6D ．8 解：4416⨯=，(4)(4)16-⨯-=，2816⨯=，(2)(8)16-⨯-=，11616⨯=，(1)(16)16-⨯-=， 442m ∴+=，4(4)2m -+-=，282m +=，282m --=，1162m +=，1162m --=， 分别解得：4m =，4-，5，5-，8.5（不合题意），8.5-（不合题意）； ∴整数m 的值有4个，故选：A ．二．填空题（共10小题）7．因式分解：2436m -= 4(3)(3)m m +- ．解：原式24(9)4(3)(3)m m m =-=+-，故答案为：4(3)(3)m m +-8．分解因式：4281m m -= 2(9)(9)m m m -+ ．解：原式22(81)m m =-，2(9)(9)m m m =-+．故答案为：2(9)(9)m m m -+．9．分解因式：256a a +-= (1)(6)a a -+ ．解：原式(1)(6)a a =-+，故答案为：(1)(6)a a -+10．分解因式2()4x y xy -+= 2()x y + ．解：222()424x y xy x xy y xy -+=-++，222x xy y =++，2()x y =+．故答案为：2()x y +．11．分解因式：224129x xy y -+= 2(23)x y - ．解：原式2(23)x y =-．故答案是：2(23)x y -．12．因式分解：22151344x xy y +-= (34)(511)x y x y -+ ．解：利用十字相乘法，如图，将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，22151344(34)(511)x xy y x y x y +-=-+．故答案为：(34)(511)x y x y -+．13．分解因式：22224x x y y xy --+-= (2)(2)x y x y -+- ． 解：原式22(2)(24)x xy y x y =--+-+，(2)()2(2)x y x y x y =-+--，(2)(2)x y x y =-+-．故答案为：(2)(2)x y x y -+-．14．已知30a b +=，则式子33()33a ab a b b -++-的值为 0 ．解：由题可知：3a b =-，把3a b =-代入原式，则原式3223(3)33b a b ab b =--++-2236a b ab b =+-22(6)b a ab b =+-22[(3)(3)6]b b b b b =-+--0=故答案为：015．若实数x 满足2210x x --=，则322742018x x x -+-= 2021- ． 解：2210x x --=221x x ∴-=32322274201824342018x x x x x x x ∴-+-=--+-222(2)342018x x x x x =--+-22342018x x x =-+-23(2)2018x x =---32018=--2021=-故答案为：2021-．16．若3m n -=，2mn =-，则22441m n mn -+的值为 23- ． 解：3m n -=，2mn =-，∴原式4()124123mn m n =-+=-+=-，故答案为：23-三．解答题（共10小题）17．分解因式：221218x y xy y -+-．解：原式22(69)y x x =--+22(3)y x =--．18．分解因式：223(2)3m x y mn --．解：原式223[(2)]3(2)(2)m x y n m x y n x y n =--=-+--．19．分解因式：22444x y x -+-解：22444x y x -+-22(44)4x x y =-+-22(2)4x y =--(22)(22)x y x y =+---．20．分解因式：22221x y x y -+-．解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+．21．分解因式：22944a ab b -+-．解：原式229(44)a ab b =--+29(2)a b =--(32)(32)a b a b =+--+22．因式分解：2222(2)4(2)6x x x x ----解：2222(2)4(2)6x x x x ----2222[(2)2(2)3]x x x x =----222(23)(21)x x x x =---+22(3)(1)(1)x x x =-+-23．因式分解：2244362x xy y x y -+-++解：2244362x xy y x y -+-++2(2)3(2)2x y x y =---+(22)(21)x y x y =----24．阅读下列材料：已知230a a +-=，求2(4)a a +的值．解：23a a =-222(4)(3)(4)312412(3)129a a a a a a a a a a a ∴+=-+=+--=--+=---+= 2(4)9a a ∴+=根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若2100a a --=，则2(4)(5)a a +-的值为 20- ．（2）若2410x x +-=，求代数式43228481x x x x +--+的值．解：（1）2100a a --=，210a a ∴=+，2(4)(5)a a ∴+-22(20)a a =--2(1020)a a =+--2(10)=⨯-20=-，故答案为：20-．（2）2410x x +-=，214x x ∴=-，43228481x x x x ∴+--+222(42)81x x x x =+--+22(1442)81x x x x =-+--+22(1)81x x =⨯--+2(14)81x x =---+2881x x =-+-+1=-．43228481x x x x ∴+--+的值为1-．25．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由2()()()x p x q x p q x pq ++=+++得，2()()()x p q x pq x p x q +++=++； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子232x x ++分解因式．分析：这个式子的常数项212=⨯，一次项系数312=+，所以2232(12)12x x x x ++=+++⨯． 解：232(1)(2)x x x x ++=++请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）解方程：27180x x +-=；（2）若22680x xy y -+=，则y x = 2或4． （3）填空：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能的值是 ． 解：（1）27180x x +-=，(2)(9)0x x ∴-+=，20x ∴-=或90x +=，12x ∴=，29x =-；（2）22680x xy y -+=，(2)(4)0x y x y ∴--=，20x y ∴-=或40x y -=，2x y ∴=或4x y =，∴12y x =或14y x =． 故答案为：12或14． （3）818-=-⨯；881-=-⨯；824-=-⨯；842-=-⨯；∴整数p 的所有可能的值是：187-+=；817-+=-；242-+=；422-+=-． 故答案为：7或7-或2或2-．26．先阅读下面的解法，然后解答问题．例：已知多项式323x x m -+分解因式的结果中有一个因式是(31)x +，求实数m ． 解：设323(31)(x x m x K K -+=+为整式）令(31)0x +=，则13x =-，得32113()()033m ---+=，29m ∴=． 这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．（1）若多项式28x mx +-分解因式的结果中有一个因式为(2)x -，则实数m = 2 ；（2）若多项式3235x x x n +++分解因式的结果中有一个因式为(1)x +，求实数n 的值；（3）若多项式4314x mx nx ++-分解因式的结果中有因式(1)x +和(2)x -，求m ，n 的值． 解：（1）由题意得，28(2)(x mx x K K +-=-为整式）， 令20x -=，则2x =，把2x =代入280x mx +-=，得，2m =，故答案为：2；（2）设：3235(1)(x x x n x A A +++=+为整式）， 若3235(1)0x x x n x A +++=+=，则10x +=或0A =， 当10x +=时，1x =-．则1x =-是方程32350x x x n +++=的解，32(1)3(1)5(1)0n ∴-+⨯-+⨯-+=，即1350n -+-+=， 解得，3n =；（3）设4314(1)(2))(x mx nx x x B B ++-=+-为整式）， 若4314(1)(2))0x mx nx x x B ++-=+-=，则10x +=，20x -=，0C =， 当10x +=时，即1x =-，43(1)(1)(1)140m n ∴-+-+--=，即13m n+=-①，当20x-=时，即2x=，43222140m n∴++-=，即41m n+=-②，联立①②解方程组得：417mn=⎧⎨=-⎩．。