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目 录
• 复合函数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数的偏导数求解 • 复合函数求偏导的实例解析 • 复合函数求偏导的应用
contents
CATALOGUE
复合函数的基本概念
复合函数的定 义
01 02 03
复合函数的性 质
01
复合函数具有与内部函数相同的奇偶性。
商式法 则
总结词
详细描述
反函数求导法则
总结词 详细描述
CATALOGUE
复合函数的偏导数求解
偏导数的定义
偏导数的定义
偏导数的符号表示 偏导数的几何意义
偏导数的计算方法
链式法则
1
隐式求导
2
高阶偏导数
3
偏导数的几何意义
切线斜率 曲面的法线 梯度
CATALOGUE
复合函数求偏导的实例解析
一元复合函数求偏导的实例
01 总结词
02 详细描述
03 实例
04 解答
二元复合函数求偏导的实例
高元复合函数求偏导的实例
CATALOGUE
复合函数求偏导的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在微积分中的应用
01
计算复杂函数的导数
02
解决优化问题
03
曲线和曲面的几何解释
在线性代数中的应用
矩阵的导数
在矩阵计算中，经常会遇到矩阵函数求 导的问题，例如矩阵函数的导数、矩阵 函数的值域和定义域等。通过求偏导可 以得到矩阵的导数，进一步研究矩阵函 数的性质和计算方法。
$f(u) = log_a u, g(x) = x + 1$，则 $f(g(x)) = log_a (x + 1)$ 是复合函数。
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• 复合函数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数的偏导数求解 • 复合函数求偏导的实例解析 • 复合函数求偏导的应用
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复合函数的基本概念
复合函数的定 义
01 02 03
复合函数的性 质
01
复合函数具有与内部函数相同的奇偶性。
商式法 则
总结词
详细描述
反函数求导法则
总结词 详细描述
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复合函数的偏导数求解
偏导数的定义
偏导数的定义
偏导数的符号表示 偏导数的几何意义
偏导数的计算方法
链式法则
1
隐式求导
2
高阶偏导数
3
偏导数的几何意义
切线斜率 曲面的法线 梯度
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复合函数求偏导的实例解析
一元复合函数求偏导的实例
01 总结词
02 详细描述
03 实例
04 解答
二元复合函数求偏导的实例
高元复合函数求偏导的实例
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复合函数求偏导的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在微积分中的应用
01
计算复杂函数的导数
02
解决优化问题
03
曲线和曲面的几何解释
在线性代数中的应用
矩阵的导数
在矩阵计算中，经常会遇到矩阵函数求 导的问题，例如矩阵函数的导数、矩阵 函数的值域和定义域等。通过求偏导可 以得到矩阵的导数，进一步研究矩阵函 数的性质和计算方法。
$f(u) = log_a u, g(x) = x + 1$，则 $f(g(x)) = log_a (x + 1)$ 是复合函数。
高等数学 复合函数的偏导数
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u
u2v 2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
u v
tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
复合函数求导复合函数复合函数求导公式复合函数的单调性复合函数积分复合函数求导法则复合函数单调性复合函数的求导复合函数定义域复合函数求偏导
第四节 多元复合函数的求导法则
Longlan_sophiey@
一元复合函数 求导法则 微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
z f
z x
f x
复合函数求偏导
w w du w v w t x u dx v x t x
2x w y w yz w, u v t
w y
w v
v y
w t
t y
x
w v
xz
w. t
w w t xy w. z t z t
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
复合函数的偏导数
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z tz u源自u tz v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
证: 把 u (x2 y2 )看作是由函数
u (z)及 z x2 y2
复合而成，分别对 x 与 y求导得
u (z) 2x, u (z) 2y,
x
y
从而 x u y u 2xy(z) 2xy(z) 0.
y x
例8 设z f (u, x, y), 其中 f 具有对各变量的连续的 二阶偏导数，且 u xey , 求 2 z . yx
ux
zv
z z u z v z w y u y v y w y
wy
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
其中 fij表示 f 先对第i个变量求导，再对第j个求二阶偏导.
三、小结
1、链式法则 （特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性 （理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
演示文稿复合函数与隐函数的偏导数
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
第二十五页，共29页。
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
2z x 2
,
2z y2
.
分析 在某函数(或方程)表达式中, 将任意两个 自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数
都在点( x, y)处具有三对个x中和间y的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数
中间变量 的个数.
每一项 函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
第五页，共29页。
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x)sin x ,求 dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数, 可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二 令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y
求复合函数偏导数的链式法则解
z x
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
复合函数求偏导解读
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du. dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v(x,y)有偏导数，
求复合函数 zf[x,(x,y)的]偏导数 z , z .
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
免混淆，将公式(6)右端第一项写 f ，而不写为 z .
x
x
பைடு நூலகம்
例1
设
z e u sv i,u n x,v y x y ,求
z x
,
z y
.
解法1 得
zzuzv x ux vx
eusivn yeuco v1 s
ex[y ysix ny )( co x y s)， (]
zzuzv y u y v y
(2) (3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u(x,y,z),
v(x,y,z)都有偏导数，求复合函数
w f[( x ,y ,z )( ,x ,y ,z )]
的偏导数 w,w,w . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v, x u x v x
wwuw v,
(4)
y u y v y
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v.
(6)
y v y
注意： 这里的 z 与f 是代表不同的意义.其中 z
x x
x
是将函数 zf[x,(x,y)中]的y看作常量而对自变量x
求偏导数，而 f 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x
复合函数求偏导解读
z f f v ， x x v x (6) z f v . y v y
z z f 注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 x x x 是将函数 z f [ x, ( x, y )] 中的y看作常量而对自变量x f 求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x 个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避 f 免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为z . x x
z 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 x 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变
量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应
自变量的偏导数乘积，即
z z u z v z w . x u x v x w x
同理可得到，
(2)
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z, 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 z u 个偏导数 与 的乘积. u x 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
定理8.5 设函数 u ( x, y ), v ( x, y )在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点(x,y)处的偏导数 z z 存在，且有下面的链式法则： , x y z z u z v , x u x v x (1) z z u z v . y u y v y 复合函数的结构图是
多元复合函数求偏导数课件
（2）若曲面方程为（显函数形式）
z f (x, y)
则可写为隐函数形式 f (x, y) z 0
曲面上
M
点的法向量为
0
n fx, fy, 1
（六）方向导数与梯度
1. 方向导数的定义
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
2．计算公式：若 z f (x, y) 可微，则
2, 6
所求方程为 即
2
x
4 6
y
2 6
z
2 6
0
2x y z 2 6 0
求
u
x2 a2
y2 b2
z2 c2
在点
M ( x0 ,
y0 , z0 )
处沿点
的向径 r0 的方向导数，问 a,b,c 具有什么关系时
此方向导数等于梯度的模?
解
r0 x0 , y0 , z0 ,
r0
偏导数，则对于每一点(x, y)，向量
gradf
f x
,
f y
称为z f (x, y)在点 (x, y)的梯度。
梯度与方向导数的关系：
梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值。
（七）函数的极值﹑最大值和最小值
1．极值的必要条件：
若 z f (x, y) 在点 x0, y0 处有极值，则
设 是一个点集，如果对于每一点P
变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它
对应，则称 z 是点 P 的函数，记为
z f (P)
• 当 P R 时， z f (P) f (x) 为一元函数；
• 当 P R2 时，
z f (P) f (x, y) 为二元函数；
复合函数的偏导数和全微分--非常重要
例 2 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ，v = cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t
t
= e cos t − e sin t + cos t
链式法则如图示
u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
类似地再推广，设 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 、 类似地再推广，
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合 的偏导数，
2
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂ 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ∂x∂z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
第五节
复合函数的偏导数和全微分
一、链式法则
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导 ， 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ ( t ),ψ ( t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
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Hale Waihona Puke 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
复合函数求偏导解读
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
Hale Waihona Puke 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
复合函数求偏导解读
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。