数理统计典型例题分析
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
数理统计5.2例子
239.968
+95.0%CL
295.690
例：研究货运总量 y（万吨）与工业总产值
x1 （亿元）、农业总产值 x 2 （亿元）、居
民非商品支出 x 3 （亿元）的关系。
（1） 求出 y 关于 x1 ， x 2 ， x3 的三元线性
回归方程； （2） 对线性回归效果作显著性检验； （3） 对每一系数作显著性检验； （4） 如果有的回归系数没有通过显著性检
Predicting Values for variabl.675630 75.00000 350.672 X2 8.970961 42.00000 376.780
Intercept
-459.624
Predicted
267.829
-95.0%CL
X3 0.277096 0.235286 12.447 10.5693 1.17770 0.283510
Regression Summary for Dependent Variable: Y R= .87209434 R2= .76054853 Adjusted R2= .69213383
F(2,7)=11.117 p<.00672 Std.Error of estimate: 24.081
验，将其剔除，重新建立回归方程，再 作对回归方程的显著性检验和回归系数 的显著性检验； （5） 求当 x 01 = 75 ， x 02 = 42 时的 yˆ 0 ；并求 其概率为 95%的预测区间。
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
货运总 量y （万 吨）
160 260 210 265 240 220 275 160 275 250
Beta Std.Err. B Std.Err. t(7) p-level
数理统计习题及答案
数理统计习题及答案数理统计习题及答案数理统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，是现代社会中不可或缺的一部分。
在学习数理统计的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以更好地理解和掌握数理统计的概念和方法。
本文将介绍一些常见的数理统计习题，并给出详细的解答。
1. 某班级有40名学生，他们的身高数据如下：160、165、170、165、168、172、178、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168。
请计算这组数据的平均身高、中位数和众数。
解答：首先，将这组数据按照从小到大的顺序排列：160、160、160、160、160、160、160、160、163、163、163、163、165、165、165、165、165、165、165、165、168、168、168、168、168、168、170、170、170、170、170、170、172、172、172、172、172、175、175、175、175、175、178。
平均身高 =(160+160+160+160+160+160+160+160+163+163+163+163+165+165+165+1 65+165+165+165+168+168+168+168+168+168+170+170+170+170+170+170+172+172+172+172+172+175+175+175+175+175+178)/40 = 166.7中位数 = 排列后的第20个数据 = 165众数 = 出现次数最多的数据 = 1602. 某汽车厂家生产了1000辆汽车，其中200辆为红色，300辆为蓝色，400辆为黑色。
数理统计13
当 H 01和 H 02 都成立时，
α i = β j = 0, i = 1, 2L , r;
j = 1, 2L , s,
=> X ij = µ + α i + β j + ε ij = µ + ε ij
S A = s ∑ (α i + ε i • − ε ) = s ∑ ( ε i • − ε )
H02 的拒绝域为
FB ≥ Fα ( s − 1, (r − 1)( s − 1))
一般需要两个表格 因素B B1 因素A
A1 A2
B2
X 11 X 21
X 12 X 22
M
Ar
S• j
r
M
X r1 ∑X
∑X
i =1 s i1
r
M
X r2
∑X
Si •
SS• j
s
∑X
i =1 j =1
j =1 r
1j
r i =1 r i =1 2 i i =1
r
2
r
= s ∑ α +sE ∑ (ε i• − ε ) + 2 sE ∑ α i (ε i• − ε )
2 i =1
E∑ i (εi• −ε ) = ∑ i E(εi• −ε ) = 0 α α
r
r
E(εi• −ε )2 = E( ε ) + E( ε 2 ) −2E( ε εi• ) 1 2 1 2 1 2 = σ + σ −2 σ s rs rs 1 = ( r −1) σ 2 rs
∑ (ε
s j =1
ij
− ε i• − ε • j + ε ) = 0
=> S E σ 2 的自由度为： r − 1)( s − 1) (
数理统计方法题解5-2
5.6 设 i i i i x x y εβββ+-++=)23(2210，i ε～),0(2σN ，3,2,1=i ，321,,εεε 相互独立，11-=x ，02=x ，13=x 。
（1）写出矩阵 X ，X X T和 1)(-X X T ； （2）求 210,,βββ 的最小二乘估计； （3）证明 02=β 时，10,ββ 的最小二乘估计与02≠β 时的最小二乘估计相同。
解 （1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111201111X ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=600020003X X T ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-610002100031)(1X X T 。
（2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210ˆˆˆˆββββY X X X T T 1)(-= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311121101111610002100031y y y ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-++=622332131321y y y y y y y y 。
即有3ˆ3210y y y ++=β ，2ˆ311y y +-=β ，62ˆ3210y y y +-=β 。
（3）（证法一）02=β 时，模型成为 i i i x y εββ++=10，i ε～),0(2σN ，3,2,1=i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003X X T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-210031)(1X X T ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10ˆˆββY X X X T T 1)(-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321101*********y y y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++=2331321y y y y y ，即有3ˆ3210y y y ++=β ，2ˆ311y y +-=β ， 10,ββ 的最小二乘估计与02≠β 时的最小二乘估计相同。
（证法二）02=β 时，模型成为 i i i x y εββ++=10，i ε～),0(2σN ，3,2,1=i ， 按照一元线性回归的计算公式，有03101=++-=x ，2)01()00()01(222=-+-+--=xx L ， 3321y y y y ++= ，y x n y x L i i i xy -=∑=313132110)1(y y y y y +-=⋅+⋅+⋅-= ，xxxy L L =1ˆβ231y y +-=，3ˆˆ32110y y y y x y ++==-=ββ 。
《概率论与数理统计》典型例题第五章数理统计初步
第五章 数理统计初步例1．若总体2~(,)X N µσ，其中2σ已知，但µ未知，而为来自总体的一个简单随机样本，试指出下列样本函数中 12,,n X X X …是统计量， 不是统计量：(1)11n i i X n =∑； (2)211(n i i X n )µ=−∑； (3)211()1n i i X X n =−−∑；；X 。
分析：利用统计量的定义即可辨别，特别注意不能含有未知参数。
解：由统计量的定义：设为总体12,,n X X X …X 的一个样本，为连续函数，如果不包含任何未知参数，则称其为一个统计量。
12(,,)n g x x x …12(,,)n g X X X …显然，(1)，(3)，(4)，(6)给出的是统计量；而(2)，(5)给出的量因含有未知参数µ，所以不是统计量。
注：统计量不包含任何未知参数，它具有两重性。
统计量是样本的一个函数，所以是一个随机变量。
若是的一组观察值，则统计量12,,nX X X …12(,,)n g X X X …12,,n x x x …12,,n X X X …12(,,)n g x x x …又是一个确定的数。
例2．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 。
(A ) X Y +服从正态分布。
(B ) 22X Y +服从2χ分布。
(C ) 2X 和都服从2Y 2χ分布。
() D 22X 服从F 分布。
分析：考察统计中三种常见分布的构成，注意正态分布的性质。
解：由于的联合分布是否为二维正态分布未知，不能确定(,)X Y X Y +服从正态分布，又因X 与Y 是否独立未知，因而不能确定X Y +服从正态分布，也不能确定22X Y +服从2χ分布，也不能确定22X Y 服从F 分布，因而选。
C 注：本例重在强调各分布的构成中，都有独立性的要求。
另外，正态分布的性质中也同样要求独立性。
例3．设2~(,)X N µσ，则样本均值X 与总体期望µ的偏差不超过（n 为样本容量）的概率为 。
高中数学涉及的统计学知识典型例题分析
高中数学涉及的统计学知识典型例题分析一、基础知识：（一）随机抽样：1、抽签法：把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到容量为n 的样本2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤：（1）先将总体的N 个个体编号（2）确定分段间隔k ，设样本容量为n ，若N n 为整数，则N k n= （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l ，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k ，例如：第2段所确定的个体编号为l k +，第m 段所确定的个体编号为()1l m k +−，直至完成样本注：（1）若N n不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被n 整除，再进行系统抽样。
例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的500个个体参加系统抽样（2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。
分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到（二）频率分布直方图：1、频数与频率（1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数.（2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数（3）各试验结果的频率之和等于12、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差（2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，所以有组距=极差/组数（3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图（4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距”（5）频率分布直方图的特点：②因为各试验结果的频率之和等于1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和为1 （三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数。
概率论与数理统计案例分析
概率论与数理统计案例分析概率论与数理统计作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
本文将通过一些具体案例来分析概率论和数理统计在实际中的应用。
案例一：市场营销中的A/B测试在市场营销领域，A/B测试是一种常见的实验设计方法，用于比较两种不同的营销策略、广告设计或产品设计等。
假设某电商公司希望提高其网站用户的转化率，他们可以设计一个A/B测试来比较两种不同的促销活动对用户购买行为的影响。
首先，将用户随机分为两组，一组接受A方案，另一组接受B方案。
然后通过收集和分析用户的购买数据，可以利用概率论和数理统计方法来评估两种方案的效果。
通过统计显著性检验和置信区间分析，可以得出结论，哪种方案对用户购买行为影响更大，从而指导公司的营销策略。
案例二：医学研究中的双盲试验在医学研究领域，双盲试验是一种常用的研究设计，用于评估新药物的疗效。
在一次双盲试验中，研究者和参与者都不知道哪些人接受了治疗，哪些人接受了安慰剂。
通过随机分组和盲法设计，可以最大程度地减少实验结果的偏倚。
利用概率论和数理统计方法，研究人员可以对试验数据进行分析，来评估新药物的疗效是否显著，以及是否出现不良反应等情况。
通过以上案例分析，可以看出概率论和数理统计在实际中的重要性和应用价值。
无论是市场营销领域还是医学研究领域，都离不开对数据的收集、分析和解释。
掌握好概率论和数理统计知识，对于提高决策的科学性和准确性有着重要的意义。
希望本文的案例分析能够让读者更深入地理解概率论和数理统计的实际应用，为他们在相关领域的工作和研究提供一定的启发和帮助。
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。
P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。
08，P（B｜ A2）＝0。
09，P（B｜ A3)＝0。
12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
数理统计典型例题分析
典型例题分析例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。
解 以21S 和22S 分别表示两个（修正）样本方差。
由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布，自由度为（7，9）。
1） 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。
2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。
由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。
由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。
例2．设n X X X ，，， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。
解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度1-=n v ，于是，有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。
我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-）（的最小1+=v n 值，由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。
概率论与数理统计__典型例题及其分析
概率论与数理统计 典型例题及其分析第三章 多维随机变量及其分布Y ⑴ 求,a b 应满足的条件； ⑵ 若X 与Y 相互独立 ，求 a,b 的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质1ijijp=∑∑确定a,b 应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a 与b. 【解】⑴ 因为1ij ijp =∑∑，所以11111,84248b a +++++= 因此 11.24a b += ⑵ 由于 X 与Y 相互独立，即对所有,i j x y 有 ()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 于是 ()()()112,121,46a P X Y P X Y a a ⎛⎫⎛⎫=======++⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 112a =或1.2a =同理 ()()()131,212,88b P X Y P X Y B b ⎛⎫⎛⎫=======++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 18b =或3.8b = 再由11.24a b +=知 13,128a b == 【解毕】 【技巧】 由于X 与Y 的独立性，故对所有的,i j x y 应有()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如()13,1,24P X Y ===而()()1131,66P X Y a ⎛⎫===∙+ ⎪⎝⎭可求得1;12a =又()13,2,8P X Y ===而18求得3.8b =这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 例3.2.2 （1999年考研题）设随机变量X 与Y 相互独立 ，下表列出了二维随机变量(),X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：- 62 -j【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从11,86p +=求得11,24p =再利用独立性知1111.6p p =⨯从而知11,4p =等等. 【解】 利用;i ij jij jip p pp ==∑∑以及 1i jijp p==∑∑ 与独立性 ij i j p p p =. 求解空格内的数值，故11111111111,,68246p p p p p =-===⨯即11,4p =又由121,p p +=可得2131.44p =-= 反复运用上列公式，可求得 1322232313111,,,,.128423p p p p p ===== j例3.2.3 （1999年考研题）已知随机变量1X 和2X 的概率分布分别为 1x -1 0 1 2x 0 1 与 P111 424 P 1122， 而且()120 1.P X X ==求1X 和2X 的联合分布；问： ⑴ 1X 和2X 是否独立？ ⑵ 为什么？ 【思路】 已知1X 和2X 的边缘分布，一般是不能确定1X 和2X 的联合分布的，但题中给了一附加条件()120 1.P X X ==因此就要从条件入手加以分析，再利用边缘分布与联合分布的关系，就可求解此题了.独立性的判断是比较简单的.【解】⑴ 由()120 1.P X X ==知()1200,P X X ≠=即()()12121,11,10.P X X P X X =-===== 于是1X 和2X 的联合分布有如下结构：1j p 从而利用边缘分布律与联合分布律的关系知()()()1121211,01,1,P X P X X P X X =-==-=+==即 1110,4p +=从而得111.4p = 同理可知31222111,,0.p p p ===故1X 和2X 的联合分布律为1j p ⑵ 由以上结果知 ()120,00,P X X === 而 ()()12111000.224P X P X ===⨯=≠ 可见，1X 与2X 不独立. 【技巧】先.将边缘分布的数据以及由条件()1201P X X ==中对应数据填入表中，得到联合分布律表的基本结构，再来求其余ij p 的值，是对解离散型随机向量的基本技巧.按独立性的要求，可以检验1X 与2X 是否独立，特别对不独立的说明只需找出一对(),i j x y ，使ij i j p p p ≠即可.例3.2.4 将两封信投入3个编号为1，2，3的信箱，用,X Y 分别表示投入第1，2号信箱的信的数目，求(),X Y 的边缘分布律，并判断X 与Y 是否独立.【思路】 首先确定(),X Y 的所有可能取值，并用古典概型求出取相应值的概率，即可得到(),X Y 的联合分布律，剩下的问题也就迎刃而解了.【解】 将2封信投到3个信箱的总投法239,n ==而X 和Y 的可能取值均为0，1，2，于是- 64 -()0,0P X Y P ===（两封信都投入第3号信箱）=1;9()1,0P X Y P ===（两封信中一封投入第1号信箱，另一封投入第3号信箱）11212.99C C == 同理可得：()()220,1;1,1;99P X Y P X Y ====== ()()()1,22,12,20.P X Y P X Y P X Y ========= 这样，可得(),X Y 的联合分布律，又由于()()()()22,,0,1,2,,,0,1,2.i i P X k P X k Y i k P X k P X i Y k k ============∑∑故所求的分布律为X 的边缘分布律在表中的最后一列，Y 的边缘分布律在表中的最后一行. 由于()10,09P X Y ===，而()()44100,999P X P Y ===⨯≠故X 与Y 不独立. 【解毕】 【技巧】 二维离散型随机变量的联合分布律，在实际问题中可用事件的乘机（交）的概率求得，此时概率的乘法公式是十分常用的计算技巧. 例3.2.5 设(),X Y 服从区域(){}2,:01D x y y x =≤≤-上的均匀分布，⑴ 写出(),X Y 的联合密度函数；⑵ 求X 和Y 的边缘密度函数； ⑶ 求概率()2P Y X ≥.【思路】 先画出区域D 的图形，再按上面的解法来求解. 【解】 （1）由于区域D 是由曲线21y x =-和0y =所围成的（如图3.2.1所示），其面积为()12141.3D x dx -=-=⎰ 所以(),X Y 的联合密度为()23,01,40, y xf x y ⎧≤≤-⎪=⎨⎪⎩其他图3.2.1⑵ X 的边缘密度函数为()()()()2120331,11,11,440, 0, x X x x dy x f x f x y dy -+∞-∞⎧⎧⎪--<<⎪-<<===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他 而Y 的边缘密度函数为()()3,011,40, 0, Y dx y y f y f x y dy +∞-∞⎧<<⎪<<===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他其他 ⑶ 记(){}2,:G x y y x =≥，则G D ⋂为图3.2.2阴影部分，从而()()()()2221,,33 .442Gx G Dx P Y X P X Y G f x y dxdydxdy dxdy -⋂≥=∈====⎰⎰⎰⎰⎰【寓意】 本题要求熟悉二维均匀分布和计算边缘密度及概率的基本方法，求这些问题的技巧读者应牢牢掌握，最关键的问题是激发呢区间和积分区域的确定. 图 3.2.2例3.2.6 设二维随机变量(),X Y 的概率密度为 (), 0,,0, Ay Ae x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他⑴ 确定常数A ；⑵ 求随机变量X 的密度()X f x ；⑶ 求概率()1P X Y +≤. (后二问为1992年考研题) 【解】⑴ 记D 为(),f x y 的零区域，即 (){},:0D x y x y =<< 其图形如图3.2.3所示.由联合密度的性质得(),1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，从而有()01, .AyAyDxI f x y dxdy Aedxdy dx Ae dy A+∞+∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 因此，A=1. ⑵ X 的边缘密度为 ()(), 0, 0,0, 00, 0yx X x e d yx e x f x f x y dy x x +∞-+∞--∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰⑶ 设(){},:1G x y x y =+≤，则D G ⋂如图3.2.4所示.故()()1112121, 12.xyyGD GxP X Y f x y dxdy edxdy dx e dy e e -----⋂+≤====+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰- 66 -图 3.2.3 图3.2.4【技巧】 在利用(),1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰确定(),f x y 中的常数时，若(),0f x y ≠的区域为D ，则只需用(),1Df x y dxdy =⎰⎰就可以了.例3.3.1 设(),X Y 的联合分布律为求：⑴ 常数a; ⑵ 联合分布函数在点31,22⎛⎫⎪⎝⎭处的值31,;22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ⑶ ()1|0.P X y ==【解】⑴ 由联合分布律的性质1ij ijp =∑∑知 1111,446ij ijp a ==+++∑∑ 求得1.3a =⑵(),X Y 的联合分布函数(),F x y 在点31,22⎛⎫⎪⎝⎭处的值 ()()3131111,,1,11,0.2222442F p X Y P X Y P X Y ⎛⎫⎛⎫=≤≤===-+===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶ ()()()11,0341|0.110743P X Y P X Y P X ========+ 【解毕】 【技巧】 求联合分布函数(),F x y 时，只需把取值满足,i j x x y y ≤≤的点(),i j x y 的概率ij p 找出来，然后求和就可以了，值得注意的是不要有遗漏.而求条件分布律时的关键是将其边缘分布求出即可，而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次.例3.3.2 已知随机变量X 和Y 联合概率密度为 ()4, 01,01,,0, xy x y f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其他求⑴ 条件密度()||X Y f x y 及()||;Y X f y x ⑵ X 和Y 的联合分布函数(),F x y .(第二问为1995年考研题) 【思路】 根据条件密度的定义，我们首先要求出X 与Y 的边缘密度，然后再来求条件密度.而联合分布函数的求法是一个较为繁琐的工作，需要分区域讨论，这些区域不能遗漏. 【解】⑴ 由于X 的边缘密度为 ()()104, 012, 01 ,0, 0, X x y d yx x x f x f x y dy +∞-∞⎧≤<≤<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他.其他同理，有 ()()2, 01,,0, Y y y f y f x y dx +∞-∞≤<⎧==⎨⎩⎰其他故当01y <<时，()Y f y >0，且 ()()()|4, 01,,2|0, X Y Y xyx f x y yf x y f y ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其他从而，在{}Y y =条件下，X 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, X Y x x y f x y ≤<<<⎧=⎨⎩其他同样可得，在{}X x =条件下，Y 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, Y X y y x f y x ≤<<<⎧=⎨⎩其他⑵ 对联合分布函数()(),,F x y P X x Y y =≤≤要分区域讨论.对于0x <或0y <，有 ()(),,0;F x y P X x Y y =≤≤= 对于01,01,x y ≤<≤<有 ()2200,4;yx F x y uvdudv xy ==⎰⎰对于1,1x y ≥≥，有 (),1;F x y = 对于1,01,x y ≥≤<有 ()()2,1,;F x y P XY y y =≤≤= 对于1,01,y x ≥≤<有 ()()2,,1;F x y P X x Y x =≤≤= 从而，X 和Y 的联合分布函数为 ()22220, 00,01,01,,, 01,1,, 1,01,1, 1,1x y x y x y F x y x x y y x y x y<<⎧⎪≤<≤<⎪⎪=≤<≤⎨⎪≤≤<⎪≤≤⎪⎩或【技巧】 由于本题中，X 与Y 的地位完全平等，因此，在求条件密度时，只需求出一个，另一个用对- 68 -称性即可得到，此对称性在(),F x y 中也有很好的体现，对称性的利用也经常是我们解决数学问题的一种技巧，另外，在求(),X Y 的分布函数时，一定要牢牢记住它的定义：()(),,.F x y P X x Y y =≤≤对一切,x y 都要讨论，它是一个分区域函数，不同值的定义范围一定要证明. 例3.4.1 设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为 ()()2,01,0,,0, ky x x y x f x y ⎧-≤≤≤≤=⎨⎩其他试求常数k ,并问X 与Y 是否相互独立？【思路】 常数k 的确定仍是利用联合密度的性质，而独立性质的判断只须验证是否成立()()(),,X Y f x y f x f y =为此，首先要求出X 与Y 的边缘密度()X f x 与()Y f y .【解】 由联合密度的性质知()()()1010151,22,24xx y f x y dxdy ky x dxdy k dx x ydy k +∞+∞-∞-∞≤≤≤≤==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以，24.5k =(),X Y 关于X 的边缘密度为()()()()2024122, 012, 0 1,550, 0, x X x ydy x x x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧-≤≤-≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他.其他而(),X Y 关于Y 的边缘密度为()()()()122412, 01,34,01,52,50, 0, Y y ydx y y y y y x f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤<-+≤≤⎪⎪-===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他 很明显，当01,0,x y x <<<<时，有 ()()(),,X Y f x y f x f y ≠ 所以X 与Y 不互相独立. 【注】本例中，(),X Y 的联合密度(),0f x y ≠的区域是三角形区域(){},:01,0D x y x y x =≤≤≤≤.虽然(),f x y 在D 上可表达成分离变量形状 ()()()12,f x y kg x g y =，这里，()12,g x x =-()2.g y y =但需要注意的是，只有当D 为矩形区域(){},:,D x y a x b c y d =≤≤≤≤（包括全平面、半平面等）时，()()()12,f x y kg x g y =才是使X 与Y 相互独立的充要条件.从而本题中X 与Y 不是相互独立的.如果(),X Y 的联合密度改为()()~~2,01,01,,0, k y x x y f x y ⎧⎪-≤≤≤≤=⎨⎪⎩其他则此时，X 与Y 必相互独立.例3.4.2 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从区间()0,1上的均匀分布，Y 服从参数12λ=的指数分布，求a 的二次方程220a Xa Y ++=有实根的概率.【思路】 方程220a Xa Y ++=有实根当且仅当2440,X Y ∆=-≥故本题是求概率()2P X Y ≥,而要计算此概率必须知道X 与Y 的联合密度，因此 首先必须根据题中独立性的假定求出(),.f x y【解】 有题设知，X 与Y 的概率密度分别为 ()1 010, X x f x <<⎧=⎨⎩，其他. 和 () 00, y 0Y x f y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩y-21e 2.由于,X Y 相互独立，故X 与Y 的联合密度为 ()()(), 01,0,0, X Y x y f x y f x f y ⎧<<>⎪==⎨⎪⎩y-21e 2其他又因为方程220a Xa Y ++=有实数当且仅当2440,X Y ∆=-≥故所求概率为()()()()2221120000101, 1 1110.x x yx y x y P X Y f x y dxdy dxdy dx dy dx dx ≥≥<<>⎛⎫≥====- ⎪ ⎪⎝⎭=-=Φ-Φ⎤⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22y y x ---222x -211e e e 22e而()()10,10.8432Φ=Φ=（查正态分布表），故方程220a Xa Y ++=有实根的概率为0.1448. 【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，要求读者熟悉均匀分布，指数分布的定义，掌握独立性和概率计算的基本方法，知道怎么利用独立性构造联合分布.同时，要求大家在计算形如2-Ax e的积分时，如何应用正态分布的性质和特征，这种计算技巧，在概率论、微积分中是常用的.例3.4.3 一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为 ()()0.50.50.51,0,0,,0, x y x y e e e x y F x y -+--⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他⑴ 问X 和Y 是否独立； ⑵ 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.α【解】 （方法1）直接利用分布函数计算. ⑴ X 与Y 的边缘分布函数分别为()()0.51, 0,,0, 0.x X e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 与 ()()0.51, y 0,,0,y 0.y Y e F y F y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 故有 ()()(),, ,,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞ 从而，X 与Y 相互独立. ⑵ 由于X 与Y 相互独立，故- 70 -()()()()()()()0.050.050.10.1,0.10.10.110.110.1 10.110.1 .x y P X Y P X P Y P X P Y F F eeeα---=>>=>>=-≤-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=--==⎡⎤⎣⎦⎣⎦（方法2）利用概率密度进行计算.⑴ 以(),f x y ，()(),X Y f x f y 分别表示(),,,X Y X Y ，的概率密度，则()()()0.5,0.25, 0,0,,0, x y F x y e x y f x y x y -+⎧∂≥≥⎪==⎨∂∂⎪⎩其他. ()()0.50.5,0,,0, x X e x f x f x y dy +∞--∞⎧≥==⎨⎩⎰其他. ()()0.50.5,0,,0, y Y e y f y f x y dx +∞--∞⎧≥==⎨⎩⎰其他. 由()()(),, (,)X Y f x y f x f y x y =-∞<<+∞知X 与Y 独立. ⑵()()0.50.10.10.10.1,0.10.25.x y P X Y dy edx e α+∞+∞-+-=>>==⎰⎰ 【解毕】【技巧】 用分布函数和概率密度均可以判定随机变量的独立性，具体应用哪种方法要依题而定.一般较为常用的是概率密度的方法，但本题中用前一方法反而简单些.在本题的计算时，读者要注意X 与Y 的对称性，不必重复计算，另外，利用分布函数(),F x y 的性质也可以直接计算出α，即()()()()()0.10.1,0.1,0.1,,0.10.1,0.1.P X Y F F F F e α-=>>=+∞+∞-+∞-+∞+=例3.5.1 设二维随机变量的联合分布律为求：（1）1;Z X Y =+（2）2Z X Y =（3）3;Z Y=（4）()4max ,Z X Y =的分布律 【思路 】 思路与一维离散型随机变量的函数的分布律的计算类似，注意上面介绍的技巧.【解】 我们将(),i j x y 的取值与取这些值的概率以及要计算的所有随机变量的函数()1,2,3,4k Z k =的Y X Y从而得到：（1）1Z X Y =+的分布律为（2）2Z X Y =的分布律为 Y（3）3XZ=的分布律为（4）()4,Z max X Y =分布律为【注】（1）二维离散型随机变量的函数的分布律的计算是有一定的方法可循的，读者在利用上述方法计算时要搞清楚它的背景.在求XY的分布律时，注意要求()00.P Y =≠ （2）如果已知X 与Y 独立，且X 与Y 的分布律给定时，求(),Z g X Y =的分布律的方法是：首先利用独立性构造出X 与Y 的联合分布律表，然后再按本题类似的技巧处理. 例3.5.2 (1987年考研题)设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为()1,01,0, X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.和 (), 0,0, y 0y Y e y f y -⎧>=⎨≤⎩. 求随机变量2Z X Y =+的概率密度函数. 【思路】 这是计算两个独立随机变量和的概率密度的典型题，可有两种解法，一是通过2Z X Y =+的分布函数来求解.另一是利用卷积公式来计算. 【解】 （方法1）分布函数法.因为,X Y 相互独立，所以(),X Y 的联合概率密度函数为()()(), 01,0,,0, y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他.故2Z X Y =+的分布函数为 ()()()22,.Z X Y ZF z P X Y Z f x y dxdy +≤=+≤=⎰⎰记(),0f x y ≠的区域为(){},:01,0D x y x y =≤≤>，积分区域为(){},:2,G x y X Y Z =+≤于是().y Z D GF z e dxdy -⋂=⎰⎰为此，考虑区域D G ⋂的情形.① 当0z ≤时，D G ⋂≠∅（见图3.5.1），于是，()0.Z F z = ② 当02z <≤时，D G ⋂为图3.5.2中的阴影部分，于是()()()22220111.2z xyyx z z Z D GF z e dxdy dxe dy e dx z e ππ-----⋂===-=-+⎰⎰⎰⎰⎰图3.5.1 图3.5.2当2z >时，D G ⋂为图3.5.3中的阴影部分，于是()()1220111.2z xyy z Z D GF z e dxdy dxe dy e e ----⋂===--⎰⎰⎰⎰所以，随机变量2Z X Y =+的概率密度为 ()()()()'20, 0,11, 02,211, 2.2z z z zz f z F z e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩（方法2）卷积公式法.若记2W X =，为求W 的密度函数，我们先考虑W 的分布函数()()()()2220, 0,, 02,21, 2.W wXw F w P WwP Xw P X w w f x d x w w-∞⎛⎫=≤=≤=≤⎪⎝⎭≤⎧⎪⎪==<≤⎨⎪>⎪⎩⎰故W 的概率密度为()1, 02,20, W w f w ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩其他.图3.5.3因为,X Y 相互独立，所以W 与Y 也相互独立，从而2Z X Y W Y =+=+的概率密度可按卷积公式计算，即 ()()()z W Y f z f wf z wd w+∞-∞=-⎰为使被积函数非零，则必须满足条件 02,0,w z w <≤⎧⎨->⎩ 即 02,.w w z <≤⎧⎨<⎩ 从而，分情况讨论：① 若0,z ≤则{}{}02,w w z <≤⋂<=∅于是 ()0;z f z = ② 若02,z <≤则 {}{}{}020,w w z w z <≤⋂<=<<故 ()()()0111;22zz w zz f z e dw e ---==-⎰ ③ 若2z >，则{}{}{}020,w w z w z <≤⋂<=<<故 ()()()220111.22z w z z f z e dw e e ---==-⎰ 综上知 ()()()20, 0,11, 02,211, 2.2z z zz f z e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩【技巧】 这类问题的求解，主要工作量是求分段函数的积分和积分上、下限的确定，希望读者仔细体会此题求解的方法，得到举一反三的效果.第一种分布函数的方法是通常的方法，第二种卷积公式法仅适用随机变量和的情形.其实，对两随机变量和的线性组合，我们也有如下推广的卷积公式：设(),X Y 的联合概率密度为(),f x y ，则()0,0Z aX bY a b =+≠≠的概率密度为()11,,.z z ax z by f z fx dx f y dy b b a a +∞+∞-∞-∞--⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰不妨用此公式去验证一下本题的结论. 例3.5.3 设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为 ()(), 0,0,,0, x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他求Z X Y =-的概率密度. 【思路】 用分布函数法.【解】 显然，当0z ≤时，有 ()()()0;z F z P Z z P X Y z =≤=-≤= 当0z >时，有 ()()()()()00,.x y z x y zx y zy F z P Z z P X Y z f x y dxdy e dxdy -+-≤-≤>>=≤=-≤==⎰⎰⎰⎰此积分的积分区域如图3.5.4所示.因此，化此重积分为累次积分，得()()()()03331112221.z x zx zx y x y z zx zz z z z z F z dxedy dxedye e e e e ++∞+-+-+------=+⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰所以有 ()1, 00, 0.z Z e z F z z -⎧->=⎨≤⎩从而Z X Y =-的概率密度为()(), 0,0, 0.z Z Z e z df z F z dz z -⎧>==⎨≤⎩ 图3.5.4 【寓意】 本题考查的是给定(),X Y 联合概率密度的条件下，求X 和Y 的函数的分布函数，关键是对二重积分确定其积分区域.例3.5.4 设二维随机变量(),X Y 服从取区域(){},:0,0D x y x a y a =<<<<上的均匀分布，试求：（1）XZ Y=的概率密度；（2）()max ,M X Y =的概率密度. 【思路】 利用分布函数法来处理，先分别求出Z 和M 的分布函数，然后再求导.【解】 （1）由于(),X Y 的概率密度为 ()21, 0,0,,0, x a y a f x y a ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他故当0z <时，()0.Z X F z P Z Y ⎛⎫=≤=⎪⎝⎭而当01z <<时，有()()201,.2zya Z xz yX z F z P z f x y dxdy dy dx Y a ≤⎛⎫=≤=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰当1z ≥时，有 ()()2011,1.2a aZ xx z yzX F z P z f x y dxdy dx dy Y a z≤⎛⎫=≤===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰从而XZ Y =的概率密度为 ()()20, 0,1, 0<z<1,21, 1.2Z Z z d f z F z dz z z<⎧⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎩（2）由于 ()21, 0,0,,0, x a y a f x y a ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他故 ()()1, 0,,0, X x a f x f x y dy a+∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他. ()()1, 0,,0, Y y a f y f x y dx a +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他.从而，X 与Y 相互独立，且均服从()0,a 上的均匀分布，故对()max ,M X Y =的分布函数有()()()()()()()()()22max ,,, 0,0, M X Y F z P M z P X Y z P X z Y z P X z P Y z z z a F z F z a =≤=≤=≤≤=≤≤⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他,.由此得()max ,M X Y =的概率密度为 ()()22, 0<z<a,0, .M M zd f z F z adz ⎧⎪==⎨⎪⎩其他 【注】 此题时考查对随机变量的商及极值函数的分布的计算，其中的关键仍然时积分区域的确定.当然，商运算等也已有现成的公式，我们在此一并介绍给读者.若(),X Y 的联合密度为(),f x y ，则有()()()()()()(),; ,;11,; ,.X Y X YXY X Y f z f x z x dx f z f x x z dx z f z f x dx f z f zy y dy x x y +∞+∞+--∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰综例3.6.1 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，从10件产品中不放回地抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数.求：（1）(),X Y 的联合分布律；（2）,X Y 的边缘分布律；（3）X 和Y 是否独立； （4）在 0X =的条件下，Y 的条件分布律.【解】 ⑴ 依题设知X 只能取0，1，2，Y 只能取0，1，2，3.显然，当2i j +<或3i j +>时，有 (),0.P X i Y j ===当23i j ≤+≤时，由古典概率知 ()()3271310,0,1,2,0,1,2,3.i j i j C C C P X i Y j i j C --===== 将这些一一计算并列表后，即得(),X Y 的分布律的具体表示. ⑵ ,X Y 的边缘分布律也列于分布律表中，具体形式如下：⑶ 而()()000,120P X P Y ===≠因此，X 与Y 不相互独立. ⑷ 在0X =的条件下，Y 的条件概率为 ()()()0,|0,0,1,2,3.0P X Y j P Y j X j P X =======因此Y 的条件分布律如下：【寓意】本例时二维离散型随机变量的综合题，首先要求读者了解如何用古典概型来求解相关的概率，进而考查联合分布律与边缘分布律的关系及独立性的判别，条件分布律的计算只需知道条件概率的定义便可给出.综例 3.6.2 设12,34,,ξξξξ独立同分布，且 ()()00.6,10.4,1,2,3,4.i i P P i ξξ=====（第一问为1994年考研题）求：（1）行列式1234ξξξξξ=的概率分布；（2）方程组112231420,0x x x x ξξξξ+=⎧⎨+=⎩ 只有零解的概率.【思路】 要求行列式ξ的分布律，先要将ξ的所有可能取值找到，然后利用独立性将取这些值的概率计算出来，而第二问就是求系数行列式0ξ≠的概率. 【解】（1）记114223,,ηξξηξξ==则 142312ξξξξξηη=-=-由于12,34,,ξξξξ相互独立，故12,ηη也相互独立，且12,ηη都只能取0，1两个值,而()()()()()122323111,1110.16,P P P P P ηηξξξξ==========()()120010.160.84.P P ηη====-= 随机变量12ξηη=-有3个可能取值-1，0，1，易见()()()()121210,1010.840.160.1344,P P P P ξηηηη=-=======⨯= ()()()()121211,0100.160.840.1344,P P P P ξηηηη========⨯= ()()()01110.7312.P P P ξξξ==-=--== 于是行列式ξ的概率分布为（2）由于齐次方程 112231420,0.x x x xξξξξ+=⎧⎨+=⎩ 只有零解的充要条件是系数行列式不为0，故此题就简化为求概率 ()()01010.73120.2688.P P ξξ≠=-==-=【技巧】 本题实质上是求多维离散型随机变量的函数分布的问题，通过引入变量12,ηη将其化为二维随机变量函数分布问题，问题的解决最关键的是用到了独立性的性质：若随机变量12,,,n ξξξ相互独立，则()112,,,m g ξξξ与()212,,,m m n g ξξξ++也相互独立.综例3.6.3 设随机变量(),X Y 服从(){}22,:0,1D x y y xy =≥+≤上的均匀分布，定义随机变量,U V如下：0, 0,1, 0,2, .X U X Y X Y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩0, 3,1, 3.XV X⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 求(),U V 的联合概率分布，并计算()0.P UV ≠【思路】 写出(),U V 的所有可能取值，并利用均匀分布的特征计算其取值的概率.【解】 由题设知，(),X Y 的联合密度函数为 ()()()2, ,,,0, ,.x y D f x y x y D π⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩(),U V 有6个可能取值：()()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,2,0和()2,1.由,U V 的定义知()()()()()()()()000,0,1,0,1,10,021, .4AOC BCE x yx yP U V P P U V P P U V P X Y X P X Y S f x y dxdy dxdy S π≤<≤<===∅===∅===≤<<=≤<====⎰⎰⎰⎰扇其中，AOC S 扇和BCE S 分别表示图3.6.1中扇形AOC 与半圆BCE 的面积.同理有()()()()()()()()()10,10,0 ,212,0, ,612,1,.12BCE BCE AOF BCE S P U V P X X P X S S P U V P Y X X P X S S P U V P Y X X P Y X S ===<<=<=====≤≥=≥=====≤≥=≤<==扇COE 扇BOF 扇所以，(),U V 的联合概率分布为图 3.6.1从而 ()()()01,12,1.4123P UV P U V P U V ≠===+===+= 【技巧】 本题是求连续型随机变量的离散值函数的分布问题，解题过程中巧妙地应用了均匀分布的性质从而简化了计算.综例3.6.4 设随机变量(),X Y 的联合概率密度为 (), 0,,0, .y cxe x y f x y -⎧<<<+∞=⎨⎩其他⑴ 求常数c; ⑵ X 与Y 是否独立？为什么？ ⑶ 求()()|||,|X Y Y X f x y f y x ； ⑷ 求()()1|2,1|2;P X Y P X Y <<<= ⑸ 求(),X Y 的联合分布函数； ⑹ 求Z X Y =+的密度函数； ⑺ 求()1P X Y +<; ⑻ 求()()min ,1P X Y <.【解】 （1）根据(),1,f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得 ()20013.22y yy ccdy cxe dy y e dy c +∞+∞--===Γ=⎰⎰⎰这里利用了特殊函数()10x x e dx αα+∞--Γ=⎰的性质：()()1,αααΓ+=Γ故 1.c =（2）先分别计算X 和Y 的边缘密度.()(),0, 0,,0, 0.0,0yxX x xe dy x xe x f x f x y dy x x +∞-+∞--∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰()()21, 0, y 0,,20, y 0.0, 0y y yY xxe dx y y e f y f x y dx y -+∞--∞⎧⎧>>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪≤⎩≤⎩⎰⎰由于在0x y <<<+∞上，()()(),X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 不独立. （3）由条件分布密度的定义知()()()2|2,0,,|0, .X Y Y xx y f x y yf x y f y ⎧<<<+∞⎪==⎨⎪⎩其他 ()()()|,,0,|0,.x y Y X X f x y e x y f y x f x -⎧<<<+∞==⎨⎩其他 （4）直接由条件概率定义知()()()()()1212120222201,121,221|2.21512yxy Y dx xe dyf x y dxdy e e P X Y P X Y P Y ef y dyy e dy ----∞-∞---∞--<<<<====<-⎰⎰⎰⎰⎰⎰又由条件密度的性质知 ()()1|1|2|2X Y P X Y f x dx -∞<==⎰而 ()|,02,|220, .X Y xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 ()111|2.24x P X Y dx <===⎰（5）由于()(),,,F x y P X x Y y =≤≤故有： 当0x <或0y <时，(),0.F x y = 当0y x ≤<<+∞时，有()()2200011,,11.22y yv vv y F x y P X x Y y dv ue du v e dv y y e ---⎛⎫=≤≤===-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当0x y ≤<<+∞时，有()()()()2001,,11.2y x xvu y x y u F x y P X x Y y dv ue dv u e e du x e x e -----=≤≤==-=-+-⎰⎰⎰综上知 ()()220, 00,1,11, 0,2111, 02yx y x y F x y y y e y x x e x e x y ---⎧⎪<<⎪⎪⎛⎫=-++≤<<+∞⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≤<<+∞⎪⎩或 （6）根据两个随机变量和的密度公式 ()(),,z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰ 由于要被积函数(),f x z x -非零，只要当0x z x <<-，即02zx <<时，从而有： 当0z <时， ()0;z f z =当0z ≥时， ()()22201;2zz x zxzz z f z xedx e xe dx e e ππ-----⎛⎫===+- ⎪⎝⎭⎰⎰因此， ()21, 0,20, 0.zz z z e e z f z z --⎧⎛⎫+-≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩（7）由于已经求出了Z X Y =+的密度，故()()1111220111.2z z z z P X Y f z dz e e dz e e -----∞⎡⎤⎛⎫+<==+-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰（8）()()()()()2111min ,11min ,111,115 11 1.22v vvP X Y P X Y P X Y dv ue du v e dv e +∞+∞---<=-≥=-≥≥=-=-=-⎰⎰⎰【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，几乎涵盖了其中的主要内容.在常数确定c 时，应用了Γ函数的定义和性质，当然，读者也可以直接用分部积分法计算.概率()1|2P X Y <=的求法，要利用条件密度()||2X Y f x 进行计算，其计算过程同一般的一维密度的计算方法.()1P X Y +<的计算，我们利用了第(6)问的结论，在不需要求X Y +密度的情形下，只要直接计算就可以了，即 ()111212011.xyxP X Y dxxe dy ee ----+<==--⎰⎰综例3.6.5 设[]~0,1,X U 且在{}X x =的条件下，[]~0,,0 1.Y U X x ≤≤求（1）()221|,01;P X Y X x x +≤=≤≤ （2）()221.P X Y +≤【思路】第一问等价于求(),P Y x ≤=故只需利用条件密度()||Y X f y x 来计算，而第二问的计算，首先要知道(),X Y 的联合分布密度(),f x y . 【解】 由题设知，X 的密度函数为 ()1, 01,0, X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.而在{}X x =条件下，Y 的条件密度为()|1, 01,|0, .Y Xy x f y x x⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 从而(),X Y 的联合密度函数为： ()()()|1, 01,,|0, X Y X y x f x y f x f y x x⎧≤≤≤⎪==⎨⎪⎩其他① 对01x ≤≤，有()()()22221|1|P X Y X x P Y x X x P Y X x +≤==≤-==≤=()((|11|min min .Y X y y f y x dy dx x x x===- 82 -②()()(22221422001101111,ln 1.cos x y x y y x P X Y f x y dxdy dxdy dr rd x r πθθ+≤+≤≤≤≤+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰极坐标变换【注】 本题中的()||Y X f y x 和(),f x y 虽然具有相同的表示式，但其含义却截然不同. ()||Y X f y x 是y 的一元函数，而不是二元函数，x 在此视为常量，这相当于微积分中，当二元函数一个自变量固定时，它只是另一个变量的一元函数.当x 变化时，Y 的条件密度函数也变化. 综例3.6.6 设二维随机变量(),X Y 在矩形 (){},:02,01G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度().f s【解】 由题设知，二维随机变量(),X Y 的概率密度为 ()()()1,,,,20,,.x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩若若设()(),S X Y F s P S s ==≤为S 的分布函数，则：当0s <时，()()0,F s P XY s =≤= 当2s ≥时，()()1,F s P XY s =≤= 当02s ≤<时，曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(),1s （见图3.6.1），于是 ()()(),F s P S s P XY s =≤=≤因而，S XY =的概率密度为 ()()1ln 2ln ,02,20, s s f s ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他.【解毕】【寓意】 本题实质上是求两随机变量的乘积的概率密度.第四章 随机变量的数学特征例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX . 【思路】 关键是求出X 的分布律，然后用定义计算EX .【解】 引入事件：{}i=1,2,3.i A i =第个部件需要调整 根据题设，三部件需要调整的概率分别为()()()1230.10,0.20,0.30.P A P A P A ===由题设部件的状态相互独立，于是有()()()()()1231230 0.90.80.70.504.P X P A A A P A P A P A ====⨯⨯=()()12312312310.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.398P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()12312312320.10.20.70.10.80.30.90.20.3 0.092;P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=X从而00.50410.39820.09230.0060.6,i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑22222200.50410.39820.09230.0060.820.i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑故 ()2220.8200.60.46.DX EX EX =-=-=【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件i A ，将X 的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X 的分布.同时，方差的计算一般均通过公式()22DX EX EX =-来进行.例4.2.2 对目标进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为p ，求射击次数X 的数学期望和方差.【解】 由题意可求得X 的分布律为()1, 1,2,,1.k P X k pq k q p -====-于是 1111.k k k k EX kpqp kq ∞∞--====∑∑为了求级数11k k kq∞-=∑的和，我们利用如下的技巧：由于11, 0<q<1.1k k q q∞==-∑- 84 -对此级数逐项求导，得1001,kk k k k k d dq q kq dq dq ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑ 因此()12111,11k k d kq dq q q ∞-=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∑ 从而 ()22111.1EX ppp pq ===- 为了求DX ,我们先求2EX .由于 ()()212121111.k k K k EX k k pqpq k k q p p ∞∞--===-+=-+∑∑ 为了求()221k k k k q∞-=-∑得值，注意到()()123112.11k k d d kq dq dq q q ∞-=⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 从而()2322121.1q EX p qp p pq =+=+- 因此 ()22221.p qDX EX EX p p-=-== 【寓意】 本题实质上是求几何分布的数学期望和方差.本题的主要技巧是利用了级数的逐项求导公式来求期望. 当然同样可用逐项积分方法来求11k k kq∞-=∑和211k k kq ∞-=∑，这种手段在级数求和或数学期望和方差的计算是十分奏效的.还有一点，我们在此说明一下，在本题中，由于X 的取值都是正数，所以只要正项级数1kk k xp ∞=∑收敛，则一定绝对收敛，即1k k k x p ∞=∑的和就为EX .而实际情况中，可能存在级数1k k k x p ∞=∑是条件收敛的，此时，X 的数学期望就不存在（虽然1kk k xp ∞=∑本身仍是收敛的），因此判断离散型随机变量的期望是否存在，要用关于级数绝对收敛的判断方法.例4.2.3 设X 是一随机变量，其概率密度为()1, 10,1, 01,0, x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.求DX .(1995年考研题) 【解】()()()()()()()011011222221110..11211 6EX xf x dx x x dx x x dx EX x f x dx x x dx x x dx x x dx +∞-∞-+∞-∞-==++-===++-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是 ()221.6DX EX EX =-=【解毕】 【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下()f x 的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，()f x 为偶函数，故()0.EX xf x dx +∞-∞==⎰同样DX 的计算也可直接简化.例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为 ()221, -<x<+.xx f x -+-=∞∞求EX 与DX .(1987年考研题) 【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义.【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知()()()()()()222211111 1.x x x x EX xf x dx xedx edx x e dx e dx +∞+∞+∞+∞-------∞-∞+∞--===+-==⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()22222212111 .2x t t DX E X EX x f x dx x dxt e e dt +∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞=-=-=-==⎰⎰⎰⎰（方法2） 利用正态分布定义.由于期望为μ，方差为2σ()()222.x x μσ---∞<<+∞所以把()f x 变形为- 86 -()()221212x f x π--⨯=易知，()f x 为11,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭的概率密度，因此有 11,.2EX DX ==【解毕】 【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分2kx e dx +∞--∞⎰等.(2)若干计算公式的应用主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例4.2.5 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求2EX . (1995年考研题) 【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =⨯=()100.410.4 2.4.DX =⨯⨯-=由()22DX EX EX =-可推知()2222.4418.4.EX DX EX =+=+=【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X 的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么 ()1010221000.410.4kk k K EX k C -==-∑的计算是繁琐的.例4.2.6 设X 服从参数1λ=的指数分布，求()2XE X e -+.（1992年考研题）【解】 由题设知，X 的密度函数为(), 0,0, 0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩且1EX =，又因为()22201,3Xxx xEeef x dx e e dx +∞+∞-----∞===⎰⎰ 从而 ()22141.33XX E X eEX Ee --+=+=+= 【解毕】 【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例4.2.7 设二维随机变量(),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布，求随机变量21Z X =+的方差.DZ【解】 由方差的性质得知()214DZ D X DX =+=又由于X 的边缘密度为()()1, 01,0, .2, 010, xX xdy x f x f x y dy x x +∞--∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩<<⎧=⎨⎩⎰⎰其他其他.于是()112200222212, 2,32121.2318EX x xdx EX x xdx DX EX EX ====⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰因此 ， 1244.189DZ DX ==⨯=【解毕】 【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X 的期望于方差时，可以从X 的边缘密度函数出发，而不必从X 与Y 的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1Y 服从标准正态分布，试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z- 88 -作为,X Y 的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ 和DZ ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得2235,29.EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=又因Z 是,X Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知()~5,9Z N ，于是，Z 的概率密度为 ()()2529, .z Z f z z --⨯=-∞<<+∞ 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量 0, ,1, .k Y k X Y k ≤⎧=⎨>⎩若若 ()1,2k =（1） 求1X 和2X 的联合概率分布； （2） 求()12E X X +. 【解】 显然，Y 的分布函数为()1, 0,0, 0.y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩10, 11 1.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 20, 21 2.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 （1）()12X X +有四个可能取值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且()()()()()()()()()()()()()()121121212120,01,21 11,0,11,20,1,01,212 21,1,11,22 P X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P X X P Y Y P Y F F e e P X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2 12.F e -=-=于是得到1X 和2X 的联合分布律为（3） 显然，12,X X 的分布律分别为1X 0 1 2X 0 1P 11e -- 1e - P 21e -- 2e -因此 1212,.EX e EX e --==故 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+ 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律，也可直接求出()12E X X +，这是因为 ()()()1111011.EX P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=而 222,EX PY e -=>= 因此 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+不仅如此，我们还能求12,X X 其他函数的期望.例如求()12E X X ，此时，由于121, 2,0 .Y X X >⎧=⎨⎩若，其他故 ()()()()21212022.E X X P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=例4.2.10 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，其密度函数为()()22121,2x y f x y e π-+= 求随机变量Z .【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算.。
数理统计习题解答讲诉
总习题七1．设元件寿命X 服从正态分布),(2σμN ，其中参数μ、2σ都是未知的，现随机抽取6个元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498 1502 1578 1366 1454 1650 试求总体均值μ和方差2σ 的矩估计值．解：,ˆX =μ故1508ˆ=μ，()()222E X E X σ=-, 故，22218046.67.A A σ∧=-=2．电阻的使用寿命X 服从参数为β的指数分布，参数β未知。
今抽查了6只电阻测得到以下数据（单位：年）：4.24.31.38.47.29.1，求参数β的矩估计值．解：()1,E X β=1ˆ,X β=1ˆ0.32793.05β== 3.设一射手向某目标射击,直到击种目标为止,假定其命中率为p ,用X 表示射手射击的次数,写出X 的分布律.如果n X X X ,,,21 是取自X 的样本,求p 的矩估计和极大似然估计．解：(1)X 的分布率为{}()11,1,2,,k P X k p p k -==-=()()()111111k k k k E X k p p p k p ∞∞--===-=-∑∑,令1,q p =-()11,k k kqf q ∞-==∑则()111,1qqk k k k qf t dt ktdt q q∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 故,()()21,11q f q q q '⎛⎫== ⎪--⎝⎭()()21,1p E X p q ==-1ˆ.p X = (2){}()11,k x k P X x p p -==-()()()11111,nk k k nx x nn k L p p p p p =--=∑=-=-∏ ()()1ln ln ln 1,n k k L p n p x n p =⎛⎫=⋅+-⋅-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 令()1ln 01nk k x n d L p n dpp p =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-=-∑,故1ˆ.pX= 4．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=--其他,0,1),;()(μθθμθμx e x f x其中)0>θθμ（，为待估参数。
医药数理统计习题答案解析
第一章数据的描述和整理一、学习目的和要求1. 掌握数据的类型及特性；2.掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；3.掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量；4.能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；5.了解统计图形和统计表的表示及意义；6. 了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算。
二、内容提要（一）数据的分类（二）常用统计量1、描述集中趋势的统计量2、描述离散程度的统计量3、描述分布形状的统计量* 在分组数据公式中，m i ， f i 分别为各组的组中值和观察值出现的频数。
三、综合例题解析例1．证明：各数据观察值与其均值之差的平方和（称为离差平方和）最小，即对任意常数C ，有2211()()n ni ii i x x x C ==-≤-∑∑ 证一：设 21()()ni i f C x C ==-∑由函数极值的求法，对上式求导数，得11()2()22, ()2 n ni i i i f C x C x nC f C n =='''=--=-+=∑∑令 f '(C )=0，得唯一驻点11= ni i C x x n ==∑由于()20f x n ''=>，故当C x =时f (C )y 有最小值，其最小值为21()()ni i f x x x ==-∑。
证二：因为对任意常数C 有22222211111222212()()(2)2(2)()0nn n n nii iii i i i i i ni i xx x C x nx x C x nC nx C x nC n x Cx C n x C ======---=---+=-+-=--+=--≤∑∑∑∑∑∑故有2211()()nni ii i x x x C ==-≤-∑∑。
四、习题一解答1．在某药合成过程中，测得的转化率（%）如下：94.3 92.8 92.7 92.6 93.3 92.9 91.8 92.4 93.4 92.6 92.2 93.0 92.9 92.2 92.4 92.2 92.8 92.4 93.9 92.0 93.5 93.6 93.0 93.0 93.4 94.2 92.8 93.2 92.2 91.8 92.5 93.6 93.9 92.4 91.8 93.8 93.6 92.1 92.0 90.8 （1）取组距为0.5，最低组下限为90.5，试作出频数分布表； （2）作频数直方图和频率折线图；（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。
数理统计方法题解4-2
4.11 设锰的熔化点（单位：︒C ）服从正态分布。
进行5次试验，测得锰的熔化点如下：1269 ，1271 ，1256 ，1265 ，1254 。
是否可以认为锰的熔化点显著高于1250︒C ？（显著水平05.0=α）解 设锰的熔化点ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：1250≤μ（1H ：1250>μ ）。
5=n ，1263=X ，64853.7*=S ，8006.3564853.712501263*=-=-=n S X T μ。
对05.0=α，查 t 分布表，可得 1318.2)4()1(95.01==--t n t α 。
因为 1318.28006.3>=T ，所以拒绝 0H ：1250≤μ ，接受 1H ：1250>μ 。
可认为锰的熔化点显著高于1250︒C 。
4.12 某种导线的电阻（单位：Ω）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005 。
今在一批导线中任取9根，测得修正样本标准差 =*S 0.007 ，这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，是否显著地偏大？（显著水平05.0=α）解 设导线电阻ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：005.0≤σ（1H ：005.0>σ ）。
222*)1(σχS n -=68.15005.0007.0)19(22=⨯-=。
对05.0=α，查 2χ 分布表，可得507.15)8()1(295.021==--χχαn 。
因为507.1568.152>=χ，所以拒绝 0H ：005.0≤σ ，接受1H ：005.0>σ 。
这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，显著地偏大。
4.13 某厂从用旧工艺和新工艺生产的灯泡中，各取10只进行寿命试验，测得旧工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2460小时，修正样本标准差为56小时；新工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2550小时，修正样本标准差为48小时。
概率论与数理统计例题和知识点总结
概率论与数理统计例题和知识点总结概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的学科，它在自然科学、工程技术、经济管理、社会科学等众多领域都有着广泛的应用。
下面将通过一些例题来帮助大家理解和掌握这门学科的重要知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
概率则是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
例 1：抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。
解：因为硬币只有正反两面，且质地均匀，所以正面朝上的概率为1/2。
知识点：古典概型中，事件 A 的概率 P(A) ＝ A 包含的基本事件数／基本事件总数。
例 2：一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：袋子里一共有 8 个球，其中 5 个是红球，所以取出红球的概率为 5/8。
知识点：概率的性质：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω) ＝ 1，P(∅）＝ 0。
二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
例 3：已知在某疾病的检测中，阳性结果中真正患病的概率为 09，而总体人群中患病的概率为 001。
如果一个人的检测结果为阳性，求他真正患病的概率。
解：设 A 表示患病，B 表示检测结果为阳性。
则 P(A) ＝ 001，P(B|A) ＝ 09，P(B|A'）＝ 1 P(B|A) ＝ 01。
根据全概率公式：P(B) ＝P(A)×P(B|A) ＋ P(A'）×P(B|A'）＝ 001×09 ＋099×01 ≈ 0108。
再根据贝叶斯公式：P(A|B) ＝ P(A)×P(B|A) ／ P(B) ＝ 001×09 ／0108 ≈ 0083。
知识点：条件概率公式：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)；乘法公式：P(AB) ＝ P(A)×P(B|A)。
三、独立性如果两个事件的发生与否互不影响，那么称它们是相互独立的事件。
数理统计例题
解
由已知得
X
1 10
10 i1
Xi
~ N (20, 3 ) 10
Y
1 15
15
Yi
i1
~
N (20, 3 ) 15
则
X
Y
~
N(0,1/ 2)
所以 X Y ~ N (0,1) 1/ 2
P{| X Y | 0.3} 2 2(0.3 2) 0.6774
例9 设
是来自正态总体
的
一个样本，求
(1)
故
Z X 1010 : N (0,1)
205 / 400
取α=0.05,则 P(| Z | Z )
~
F (n,1)
例4 设总体X 服从正态分布 N (80,400) ，其样本为
X1, X2,K , X100 , 求P{| X 80 | 3}.
解 由已知得 X ~ N(80,4) ，得 X 80 ~ N(0,1) 2
所以
P|
X
80 | 3
1
P
3 2
X
80 2
3
2
2
2
3 2
2 2 0.9332 0.1336
S / 17
17k t0.95(16) t10.95 (16) 1.7459
查表
例6 设总体X 服从正态分布 N(, 2) ，其样本为
X1, X2 ,K
, X16
,
求
P
S
2 2
1.6664 .
解
因为
(n 1)
2
S2
~
2 (n
1)
15S
2
2
~
2 (15)
S2
典型题解-数理统计部分
数理统计第6章 样本及其分布数理统计是以概率论为理论基础，以小概率理论为依据，进行统计推断。
第6章主要为进行统计推断作准备，提出了总体、样本、统计量的概念，介绍了几个重要的统计量和2χ分布、t 分布、F 分布等三大抽样分布以及来自正态总体的统计量的性质。
这一章需要记忆的内容比较多。
一、本章的基本问题包括：(1) 随机样本（样本容量、样本观察值、样本的联合分布）；(2) 统计量（定义、样本均值与方差、样本矩、正态总体的统计量）；(3) 抽样分布（2χ分布、t 分布、F 分布；正态总体的统计量的分布）。
二、常用的知识点：(1) 设n X X X ,,,21 是取自总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则μ=)(X E ；n X D 2)(σ=； 22)(σ=S E ；12)(42-=n S D σ。
X 与2S 相互独立。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN X 2,~σμ； ()1,0~N n X σμ-； )1(~--n t n S X μ； )(~)(12212n X ni i χμσ-∑=； )1(~)(1)1(221222--=-∑=n X X S n ni i χσσ。
(2) 设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，X 与Y 相互独立。
1,,,21n X X X 是取自总体X 的样本，2,,,21n Y Y Y 是取自总体Y 的样本，样本均值与样本方差分别为X ,Y 和21S ,22S ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±±22212121,~n n N Y X σσμμ； ()1,0~)(22212121N n n Y X σσμμ+±-±；)2(~)1()1(2122222221211-+-+-n n S n S n χσσ； )1,1(~2122222121--n n F S S σσ；22221σσσ==时，()2~11)(212121-++---n n t n n S Y X wμμ，2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3) 当21,n n 充分大时，()1,0~)(22212121N n S n S Y X +---μμ。
硕士生《数理统计》例题及答案
《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。
解：（1）矩法 由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(2222222222=+-=-=--===⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2ˆ=（2）极大似然法∑===-=-∏ni i i x nni x eeL 122221111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122ˆβ2. 设总体X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。
试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。
解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβααβααβαβααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1)()(222][)(1222222βαβαβαββαααβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+⎰⎰⎰EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令⎩⎨⎧==2S DX X EX 即⎩⎨⎧==+22S Xββα 故063.0ˆ,116.2ˆ===-=S S X βα（2）极大似然法 )(111),;(αββαβββα----===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=∂∂>=∂∂X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥所以05.2ˆ)1(==X α令0ln =∂∂βL 得126.0ˆ)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）用矩法估计其未知参数θ； （2）用极大似然法估计其未知参数θ。
概率论与数理统计典型例题与解析(期末考试与考研必备的超强资料)
概率论与数理统计典型例题分析（期末考试与考研必备）1.在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC 的含义．(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？(3)在什么条件下，C ⊂B 成立？解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立．2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A ＝{掷第一次出现正面}，B ＝{掷第二次出现正面}，C ＝{正、反面各出现一次}，则事件A ，B ，C 是相互独立，还是两两独立？ 解 由题设，可知P (AB )＝P (A )P (B )，即A ，B 相互独立．而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+=== ()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ，C 相互独立，同理B ，C 也相互独立．但是P (ABC )＝P (∅)＝0，而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ，B ，C 两两独立．问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P (A )＞0，P (B )＞0时，有关系吗？为什么？(2)设0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (B |A )＋P (B |A )＝1．问A 与B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？3.设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以⋅=-=858143)(D P 问题 怎样由P (AB )＝0推出P (ABC )＝0？提示 利用事件的关系与运算导出．4.设事件A 与B 相互独立，P (A )＝a ，P (B )＝b ．若事件C 发生，必然导致A 与B 同时发生，求A ，B ，C 都不发生的概率．解 由于事件A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )·P (B )＝a ·b ．考虑到C ⊂AB ，故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===5.某地铁每隔5 min 有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率．解 设A ＝{每一个乘客等车时间不多于2 min}．由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点，即Ω＝[0，5)．又设前一列车在时刻T 1开出，后一列车在时刻T 2到达，线段T 1T 2长为5(见图1－1)，即L (Ω)＝5；T 0是T 1T 2上一点，且T 0T 2长为2．显然，乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上)，等车时间才不会多于2min ，即L (A )＝2．因此图1－1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 6.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解 这是一个几何概型问题．设A ＝{它们会面}．又设甲乙两船到达的时刻分别是x ，y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24．由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|x －y |≤2，即图中阴影部分．由图1－2可知：L (Ω)是由x ＝0，x ＝24，y ＝0，y ＝24图1－2所围图形面积S ＝242，而L (A )＝242－222，因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P7.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．分析 这是一个条件概率问题．解 因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 8.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以⋅=995)|(A B P 由公式(1－4)， ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P9.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．解 这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同，对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P 所以 ⋅=⨯=514154)(2A P10.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}． 试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．证 根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而⋅=41)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )，即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．11.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．12.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率． 答案是：)989099910010(0084.0⨯⨯或． 13.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？分析 本题既可使用加法公式，也可使用乘法公式．解 (1)令B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84．方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有,16.04.04.0)()()()(2121=⨯===B P B P B B P A P于是 .84.0)(1)(=-=A P A P(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，亦即.026.53979.024.0lg 01.0lg ≈--==n 因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．14.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是31110510、、及52，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为41、⋅12131、试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？ 解 令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，B ＝{迟到}．按题意有：,103)(1=A P ,51)(2=A P ,101)(3=A P ,52)(4=A P,41)|(1=A B P ,31)|(2=A B P ,121)|(3=A B P .0)|(4=A B P (1)由全概率公式，有⋅=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=203052121101315141103)|()()(41i i i A B P A P B P (2)由逆概率公式 ),4,3,2,1()|()()|()()|(41==∑=i A B P A P A B P A P B A P jj j i i i得到.0)|(,181)|(,94)|(,21)|(4321====B A P B A P B A P B A P 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．15.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．解 设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，B 3＝{三人同时射中}，C ＝{飞机坠毁}．由题设可知,0)|(0=B C P ,2.0)|(1=B C P ,6.0)|(2=B C P ,1)|(3=B C P并且.06.03.04.05.0)()()()()(3213210=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P同理)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29；P (B 2)＝0.44；P (B 3)＝0.21．利用全概率公式便得到)|()()(30i i i B C P B P C P ∑==＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1＝0.532．由上面的讨论可以看出，在使用全概率公式和逆概率公式解题时，“分析题目，正确写出题设，找出(或计算)先验概率和条件概率”是十分重要的．练习：两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．答案是：0.973；0.25．16.某类电灯泡使用时数在1000 h 以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000 h 以后最多只坏一个的概率．解 这是一个n ＝3，p ＝0.8二项概型问题P 3(μ≤1)＝P (μ＝0)＋P (μ＝1)．17.袋中有10个球，其中2个为白色，从中有放回地取出3个，求这3个球中恰有2个白球的概率．解 方法1 设A ＝{恰有2个白球}，由古典概型，有310=n , 8232⨯⨯=m ，因此 ⋅⨯⨯=3210823)(A P 方法2 由二项概型，有⋅⨯⨯====321223310823)108()102()2()(C P A P μ18.袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是______．分析 设A i ＝{第i 次取到白球}，根据古典概型，我们有⋅==104)(110141C C A P 由于 ,)(212111222A A A A A A A ΩA A +=+==并且,94106)|()()(,93104)|()()(1212112121⨯==⨯==A A P A P A A P A A P A P A A P 因此 ⋅=⨯⨯+⨯=1049104634)(2A P 同理 ⋅=104)(5A P 19.有一批产品，其中正品有n 个，次品有m 个，先从这批产品中任意取出l 个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为( )．方法1 设A k ＝{前l 次中恰有k 个正品}，k ＝q ，q ＋1，…，p ；其中q ＝max(l －m ，0)，p ＝min(n ，l )．又设B ＝{第l ＋1个恰为正品}，有,)(,1nm k l m k n k p q q C C C A P ΩA A A +-+==+++ 而 ,)|(11ln m k n C C A B P l n m k n k -+-==-+- 由全概率公式有⋅+==∑=nm n A B P A P B P k k p q k )|()()( 举例说明：(1)n ＝3，m ＝5，l ＝4，这时k ＝0，1，2，3．⋅=+++=8)4/()0306015()(48C B P⋅=+++=8)4/()5609020()(48C B P 方法2 利用抓阄问题的讨论，直接得到⋅+n m n 方法3 前l ＋1次取到正品的概率减去前l 次取到正品的概率(有条件限制，有时使用起来不一定方便)方法4 (全排列方法)令第l ＋1个位置上为正品，由于有n 个正品，故有n 种方法，于是⋅+=+-+=nm n n m n m n B P )!()!1()( 方法5 将第l ＋1次看成第1次，于是⋅+==+nm n C C B P n m n 11)( 20.袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( )．分析 设A ＝{前3次取到红球}，根据古典概型，有⋅==53)(352411C C C A P说明 利用这一结论，可以计算第3次取到红球的概率：P {第3次取到红球}＝P {前3次取到红球}－P {前2次取到红球}⋅=-=-=515253251411352411C C C C C C 注意 这里实际用到了互斥情况下的加法公式．21.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝∅，P (A )＝P (B )＝P (C )＜21,并且169)(=++C B A P ，求事件A 的概率． 分析 设P (A )＝p ．由于ABC ＝∅，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两独立．．．．情况下的加法公式，有P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B )－P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )， 即 ,1690332=+-p p 亦即 ,01632=+-p p 解得 41=p 或43(由题意舍去)．于是 ⋅=41)(A P 说明 (1)三个事件两两独立，不能推出三个事件相互独立．(2)由ABC ＝⇒∅P (ABC )＝0，反之不真．22.设P (A )＞0，P (B )＞0，证明(1)若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥．(2)若A 与B 互斥，则A 与B 不独立．分析 (1)由于事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，因此P (AB )＝P (A )P (B )＞0．可见，AB ≠∅，即事件A 与B 不互斥(相容)．(2)由于事件A 与B 互斥，即AB ＝∅，因此P (AB )＝0，而P (A )＞0，P (B )＞0，故P (AB )≠P (A )P (B )，即事件A 与B 不可能相互独立．说明 (1)事件之间相互独立，并不意味着它们互斥，反之亦然．(2)在P (A )＞0，P (B )＞0的条件下，两个事件独立与否，是在它们相容情况下讨论的．(3)事件的“互斥”与“相互独立”是没有关系的两个“关系”．23.设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．分析 由公式()()()(|),(|),()()1()P AB P AB P AB P B A P B A P A P A P A ===- 由题设 ),|()|(A B P A B P =即,)(1)()()(A P B A P A P AB P -= 于是，有 ()()(()())()()()(),P AB P A P AB P AB P A P AB AB P A P B =+=+=即A 、B 相互独立．说明 (1) )|()|(A B P A B P =是A ，B 独立的一个充要条件．(2)若此题换成下述选择题：设……，则______ (A)).|()|(B A P B A P = (B)(|)(|).P A B P A B =/(C)P (AB )＝P (A )P (B )． (D )P (AB )≠P (A )P (B )．时，能否认为(A )与(B )，或(C )与(D )之中必有一个成立．24.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，则 P (A )＝______，P (B )＝______．分析 方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以AB ≠∅(想一想为什么)．一方面P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)另一方面).()(21)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=++=+ (1－7) 由于)()(B A P B A P =，有 ),()()()(B P AB B A P AB B A P A P =+=+=于是由式(1－6)，式(1－7)有,))((21))(()(222A P A P A P +=- 即 ⋅===-21)(,21)(,41))(()(2B P A P A P A P 方法2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于)()(B A P B A P =，有P (A )＝P (B )，于是,41))(1)(())(1)(()()()(=-=-==A P A P B P A P B P A P B A P 因此 ⋅==21)()(B P A P 问题 比较上述两种方法，哪个更简单一些，还有没有其他方法？25.设随机事件A 与B 的和事件的概率为0.6，且积事件B A ⋅的概率为0.3，则事件A 的概率P (A )＝( )．分析 因为B A B A +=⋅，所以.4.06.01)(1)()(=-=+-=+=⋅B A P B A P B A P又因为,)(B A B A B B A ΩA A +=+==故 .7.04.03.0)()(=+=+=B A B A P A P26.甲、乙两封信随机地投入标号是1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只投入一封信的概率为( )．分析 这是一个古典概型问题，有1422,5C m n ⨯==，因此P (A )＝0.32．问题 (1)如何将信投入信箱转化为在信封上写号问题？ (2)本题是否可用(有放回)摸球问题来解决？27.袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球．从中任取3个，求这3个球中至少有1个是白球的概率．分析 这一个古典概型问题，样本空间中样本点的总数为⋅=310C n方法1 设A ＝{至少有1个白球}，有⋅=++=65)(310063416242614C C C C C C C A P 方法2 设B ＝{取出的全是红球}，有⋅-=-=3104361)(1)(C CC B P A P方法3 先从4个白球中任取一个，然后再从剩下的9个球(有红球又有白球)中任取2个，因此⋅=3102914)(C CC A P问题 上述三种方法都对吗，为什么？28.一批产品共100件，对产品进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有一件是废品．如果在该批产品中有5件是废品，求该批产品被拒绝接收的概率．解 设A i ＝{被检查的第i 件产品是废品}，i ＝1，2，3，4，5；B ＝{该批产品被拒绝接收}．方法1 由于,54321A A A A A B ++++=于是1234512345()1()1()P B P A A A A A P A A A A A =-++++=-1213124123512341()(|)(|)(|)(|),P A P A A P A A A P A A A A P A A A A A =-而 ,9893)|(,9994)|(,10095)(213121===A A A P A A P A P ⋅==9691)|(,9792)|(432153214A A A A A P A A A A P因此 .23.09691979298939994100951)(=⨯⨯⨯⨯-=B P方法2 .23.01)(1)(5100595=-=-=C C B P B P29.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？分析 设B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且3198.0)|(=A B P ， 3290.0)|(=A B P ， 3310.0)|(=A B P ．由全概率公式可知)()|()(31i i i A P A B P B P ∑==05.01.015.090.08.098.0333⨯+⨯+⨯= 8624.0≈．由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是,8731.08624.08.098.0)()()|()|(3111≈⨯==B P A P A B P B A P,1268.08624.015.090.0)()()|()|(3222≈⨯==B P A P A B P B A P.0001.08624.005.01.0)()()|()|(3333≈⨯==B P A P A B P B A P由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．30.掷两枚匀称的骰子，X ＝{点数之和}，求X 的分布． 答案是：⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡36/136/236/11232~ X 31.设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=,0,0,0,11)(2x x x x f f (x )是否为分布密度函数？如何改造？解 由于,2πd )(=⎰+∞∞-x x f 所以f (x )不是分布密度函数．令⎪⎩⎪⎨⎧≤>+⋅==.0,0,0,11π2)(π2)(2x x x x f x p则p (x )是分布密度函数．32.设随机变量X 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x Cx x p求(Ⅰ)常数C ；(Ⅱ)P (0.3≤X ≤0.7)；(Ⅲ)P (－0.5≤X ＜0.5)．解 (Ⅰ)由p (x )的性质，有,21|2d d )(110210C x C x Cx x x p =⋅===⎰⎰∞+∞-所以C ＝2．(Ⅱ).4.0|d 2)7.03.0(7.03.027.03.0===≤≤⎰x x x X P(Ⅲ).25.0|d 2d 0)5.05.0(5.0025.0005.0==+=≤≤-⎰⎰-x x x x X P问题 若连续型随机变量X 的分布密度函数p (x )为不可求积函数，如何计算P (X ∈D )呢？33.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得的次品数X 的分布列和分布函数，并求⋅≤<)2521(X P 解 先求X 的分布列，X 的所有可能取值为0，1，2，由古典概型的概率计算公式知3122113213213323151********(0),(1),(2)353535C C C C C P X P X P X C C C =========⋅ 故X 的分布列为四个区间．当x ＜0时，F (x )＝P (X ≤x )＝0．当10<≤x 时，⋅===3522)0()(X P x F 当12x ≤<时，⋅==+==3534)1()0()(X P X P x F 当x ≥2时，F (x )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1． 综上有X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,3534,10,3522,0,0)(x x x x x F由分布函数可求出⋅=-=-=≤<351335221)21()25()2521(F F X P 34.设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-,0,0,0,e )(22x x B A x F x求系数A 和B ．解 由lim ()1n F x →+∞=，知A ＝1．再由F (x )在x ＝0处的连续性可知,)e(lim )(lim 02200B A B A x F x x x +=+==-+→→故 B ＝－A ＝－1．35.设连续型随机变量X 的分布函数为()1xAF x e-=+， +∞<<∞-x ， 求(Ⅰ)常数A ． (Ⅱ)X 的分布密度函数p (x )． (Ⅲ)P {X ≤0}．答案是：(Ⅰ)A ＝1．(Ⅱ)2)e 1(e )(x xx p --+= +∞<<∞-x ． (Ⅲ)⋅==<21)0()0(F X P 问题 (1)离散型随机变量的概率分布与分布函数之间有什么关系？(2)连续型随机变量的概率分布密度与分布函数之间有什么关系？ (3)如何利用分布函数计算P (X ∈D )？其中D ＝(a ，b ]． (4)如何确定分布函数中的待定常数？36.设X 服从指数分布，则Y ＝min{X ，2}的分布函数( )．(A)连续． (B)至少有两个间断点． (C)阶梯函数． (D)恰有一个间断点． 答案是：D ．分析 方法1 由题设可知X ～E (λ)，有⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x p x λλ 令X 1＝X ，X 2＝2，则⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧>-≤=-.2,1,2,0)(;0,e 1,0,0)(21x x x F x x x F xλ于是，Y ＝min{X ，2}＝min{X 1，X 2}的分布函数为))(1))((1(1)(21y F y F y F ---=○一⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-.2,1,20,e 1,0,0y y y y λ 可见它只有一个间断点y ＝2．方法2 从图2－1中，容易看出它只有一个间断点y ＝2．图2－137.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3只球中的最小号码数，求X 的分布函数．解 X 的可能取值为3，2，1．,106/)1(,103/)2(,101/)3(352435233522=========C C X P C C X P C C X P 即X 的分布阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101103106321, 从而X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,109,21,106,1,0)(x x x x x F38.设X ～U (a ，b )，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,1)(其他b x a a b x p则⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.,1,,,,0)(b x b x a a b a x a x x F 其图形是一条连续的曲线，见图2－3．图2－339.设X ～N (0，1)，求P (X ＜2.35)，P (X ＜－1.25)以及P (|X |＜1.55)． 解 P (X ＜2.35)＝Ф(2.35)查表0.9906．P (X ＜－1.25)＝Ф(－1.25)＝1－Ф(1.25)＝1－0.8944＝0.1056．P (|X |＜1.55)＝P (－1.55＜X ＜1.55)＝Ф(1.55)－Ф(－1.55)＝2Ф(1.55)－1＝2×0.9394－1＝0.8788．40.设X ～N (1，22)，求P (0＜X ≤5)． 解 这里μ＝1，σ＝2，β＝5，α＝0，有.5.0,2--=-σμασμβ 于是P (0＜X ≤5)＝Ф(2)－Ф(－0.5)＝Ф(2)－[1－Ф(0.5)]＝Ф(2)＋Ф(0.5)－1＝0.9772＋0.6915－1＝0.6687．41.若X ～N (μ，σ2)，求(Ⅰ)P {μ－σ＜X ＜μ＋σ}； (Ⅱ)P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}； (Ⅲ)P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}． 解 (Ⅰ)由于X ～N (μ，σ2)，故)()(}{σμσμσμσμσμσμ----+=+<<-ΦΦX P ＝Ф(1)－Ф(－1)＝2Ф(1)－1＝0.6826≈0.68．同理有：(Ⅱ) P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}＝2Ф(2)－1＝0.9545≈0.95． (Ⅲ) P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}＝2Ф(3)－1＝0.9973≈0.99．42.设X ～N (2，32)，求：(Ⅰ)P {－1≤X ≤8}；(Ⅱ)P {X ≥－4}；(Ⅲ)P {X ≤11}． 解 由于X ～N (2，32)，即μ＝2，σ＝3，因此 (Ⅰ)P {－1≤X ≤8}＝P {2－3≤X ≤2＋2×3}＝P {2－3≤X ＜2}＋P {2≤X ≤2＋2×3}}322322{21}3232{21⨯+<≤⨯-++<≤-=X P X P.815.0295.0268.0=+≈(Ⅱ)P {X ≥－4}＝P {－4≤X ＜＋∞}＝P {2－2×3≤X ≤2}＋P {X ≥2}.975.021295.0=+≈(Ⅲ)P {X ≤11}＝P {－∞＜X ≤11}＝P {－∞＜X ≤2}＋P {2≤X ≤2＋3×3}.995.0299.021=+≈43.设X ～N (3，σ2)，并且P (3≤X ≤7)＝0.4，求P (X ≤－1)．答案是：0.1． 分析(略)44.设某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数μ＝10.05，σ＝0.06的正态分布，规定长度在范围(10.05±0.12)cm 内为合格品，求螺栓的次品率．答案是：0．0455(或0．05)． 分析(略)．求Y ＝X ＋1的概率分布．解 由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到把f (x i )＝2i x ＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即,21)2()2()5(==+-===X P X P Y P ,103)1()1()2(==+-===X P X P Y P ⋅====51)0()1(X P Y P 所以46.设X ～U (0，1)，并且Y ＝X ，求Y 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎩⎨⎧∈=.,0],1,0[,1)(1其他x x p 对于函数y ＝x 2，当x ∈[0，1]时，α＝min{x 2}＝0，β＝max{x 2}＝1，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10*,,0,0)(y y y y F 当0＜y ＜1时)()()()(2y X P y X P y Y P y F ≤=≤=≤=.d 1d 0d )(01y x x x x p yy=+==⎰⎰⎰∞-∞-由 ,21)()()(2yy y F y p ='='=故随机变量Y 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,10,21)(2其他y yy p47.设随机变量)2π,2π(~-U X ，求随机变量Y ＝sin X 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.0,],2π,2π[,π1)(1其他x x p因为y ＝sin x 在)2π,2π(-内单调增加，所以存在反函数x ＝arc sin y ，其导数为 ⋅-='211yx y利用公式求出Y 的分布密度函数，首先计算,1}{sin min 2π2π-==≤≤-x x α ππ22max {sin }1,x x β-≤≤== 于是⎪⎩⎪⎨⎧<<-'⋅=-.,0,11|,|))(()(112其他y x y f p y p y⎪⎩⎪⎨⎧<<--=.,0,11,11.π12其他y y 48.X ～U (0，π)，Y ＝sin X ，求p 2(y )．解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],π,0[,π1)(1其他x x p0π0πmin{sin }0,max{sin } 1.x x x x αβ≤≤≤≤====当0＜y ＜1时，F (y )＝P (Y ≤y )＝P (sin X ≤y )＝P (0≤X ≤arc sin y )＋P (π－arc sin y ≤X ≤π),sin arc π2y =所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,,11,0,sin arc π20,,0)(y y y y y F 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10,1π2)(22其他y yy p 49.(1).,,2,1,}{N k NAk X P ⋅⋅⋅=== (2) ,!}{k B k X P kλ⋅==k ＝0，1，2，…，λ＞0且λ为常数，试确定常数A 和B ．解 (1)由分布律的性质可知,)(111A N NAN A k X P Nk N k =⋅====∑∑== 因此，A ＝1．于是，X 的分布律为).,,2,1(1)(N k Nk X P === 称这样的分布为离散型的均匀分布．(2)由分布律的性质，有,e !!10λλλ⋅===∑∑∞=∞=B k B k Bkk kk解得B ＝e －λ．于是.e !)(λλ-==k k X P k这表明X 服从参数为λ的泊松分布．50.设平面区域D 是由x ＝1，y ＝0，y ＝x 所围成(如图2－5)，今向D 内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的区域D 1内的概率．图2－5分析 分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D 1的概率．根据几何概型，有11()123()1()32L A P A L Ω-===⋅第二步：设X ＝{落入D 1内的点数}，有),31,10(~B X 于是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1).)32)(31()32(1911010C --=51.设随机变量X 具有连续的分布函数F 1(x )，求Y ＝F 1(X )的分布函数F 2(y )．(或证明题：设X 的分布函数F 1(x )是连续函数，证明随机变量Y ＝F 1(X )在区间(0，1)上服从均匀分布．)分析 由于F 1(x )为X 的连续分布函数，可知α＝min{F 1(x )}＝F 1(－∞)＝0， β＝max{F 1(x )}＝F 1(＋∞)＝1． 因为F 1(x )是单调递增函数，所以11-F (y )存在(单调函数必有单值反函数存在)，因而有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤.1,1,10*,,0,0)()(def2y y y y Y P y F 当0≤y ＜1时，*＝F 2(y )＝P (F 1(X )≤y )＝P (X ≤11-F (y )) ＝F 1(11-F (y ))＝y ．代入F 2(y )表达式有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F 因此，Y 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1)(2其他y y p即 ).1,0(~U Y52．设X ～E (2)，证明Y ＝1－e －2X～U (0，1)分析 由于X ～E (2)，因此⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x p x 当x ＝0时，y ＝0＝α；当x →＋∞时，y →1＝β：因为y ＝1－e －2x单调增加，所以其反函数为)1ln(21y x --=，有 .e 21112111212x yy y x =-=---='方法1(公式法)⎩⎨⎧≤≤'=--.,0,10|,))((|))(()(1112其他y y f y f p y p⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅=-.,0,10,e 21e 222其他y xx ⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1其他y 即Y ～U (0，1)．方法2(定义法) 由分布函数的定义⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1,10*,,0,0)(2y y y y F 当0≤y ≤1时，有))1ln(21()e 1()()(22y X P y P y Y P y F X --≤=≤-=≤=-12(ln(1))211(ln(1))1e 2---=--=-y F y,)1(1y y =--=因此⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=,1,1,10,,0,0)(y y y y y F即Y ～U (0，1)．53.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0],8,1[,31)(32其他x x x fF (x )是X 的分布函数．求随机变量Y ＝F (X )的分布函数．解 易见，当x ＜1时，F (x )＝0；当x ＞8时，F (x )＝1． 对于x ∈[1，8]，有.1d 31)(1332-==⎰xx t t x F设G (y )是随机变量Y ＝F (X )的分布函数．显然，当y ≤0时，G (y )＝0；当y ≥1时，G (y )＝1．对于y ∈(0，1)，有}1{})({}{)(3y X P y X F P y Y P y G ≤-=≤=≤=,])1[(})1({33y y F y X P =+=+≤=于是，Y ＝F (X )的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10,,0,0)(y y y y y G即Y ～U (0，1)．54.设随机变量X ～U (0，5)，求方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的概率． 分析 因为X 在(0，5)上服从均匀分布，故X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,50,51)(其他x x p方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的条件是∆＝16X 2－16(X ＋2)≥0，即 (X ＋1)(X －2)≥0．解 得X ≤－1或X ≥2．舍去X ≤－1，最后得2≤X ≤5．因此，所求概率为⋅==≤≤⎰53d 51)52(52x X P 问题 本题可否使用其他方法？55. 设随机变量X 的绝对值不大于1，即|X |≤1，且===-=)1(,81)1(X P X P41，在事件{－1＜X ＜1}出现的条件下，X 在(－1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比．试求X 的分布函数F (x )及P (X ＜0)(即X 取负值的概率)．分析 (1)由题设，我们有x ＜－1时，F (x )＝0；x ≥1时，F (x )＝1．以下考虑－1＜x ＜1时的情形．由于1＝P (|X |≤1)＝P (X ＝－1)＋P (－1＜X ＜1)＋P (X ＝1)， 故 ⋅=--=<<-8541811)11(X P 另据条件，有),1(21)11|1(+=<<-≤<-x X x X P 于是，对于－1＜x ＜1，有(－1，x ]⊂(－1，1)，因此P (－1＜X ≤x )＝P (－1＜X ≤x ，－1＜X ＜1)＝P (－1＜X ＜1)P (－1＜X ≤x |－1＜X ＜1)),1(165)1(2185+=+⨯=x x ⋅+=≤<-+-≤=1675)1()1()(x x X P X P x F综上，有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=.1,1,11,16/)75(,1,0)(x x x x x F (2)P (X ＜0)＝P (X ≤0)－P (X ＝0)＝F (0)＝7/16．56.射击用的靶子是一个半径为R 的圆盘，已知每次射击都能击中靶子，并且击中靶子上任一以靶心为圆心的圆盘的概率与该盘的面积成正比．设随机变量X 表示击中点与靶心的距离，求X 的分布密度函数．分析 根据分布函数的定义及几何概型，由图2－6有图2－6),0(ππ)()(2222R x R x R x x X P x F ≤≤==≤=于是 22()(),xp x F x R='=因此⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2)(2其他R x R xx p 说明 (1)注意其分布函数应为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.,1,0,,0,0)(22R x R x R x x x F 57.点随机地落在中心在原点，半径为R 的圆周上，并且对弧长是均匀地分布，求(1)落点的横坐标的概率分布密度函数p 1(x )．(2)落点与点(－R ，0)的弦长的概率分布密度函数p 2(y )． (提示：落点的极角θ均匀地分布在(0，2π)上)分析 设落点的极角为Θ，落点P 的横坐标为X ，落点与(－R ，0)点的弦长为Y ，则由题设可知Θ～U (0，2π)，即()1,02π,2π0,.p θθΘ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他 由图2－7不难看出⋅==2cos2,cos ΘR Y ΘR X图2－7(1)定义法试求点P 的横坐标X ＝R cos Θ的密度函数．因为x ＝R cos θ(0≤θ＜2π)不是单调函数，由图2－8得到，使R cos θ≤x 成立的θ应满足⋅-≤≤Rx R x cos arc π2cosarc θ图2－8于是，对－R ≤x ≤R ，有θθθd )()cos ()()(cos ΘxR X p x ΘR P x X P x F ⎰≤=≤=≤=⋅-==⎰-Rx Rx Rx os arcc π11d 2π1arccosπ2arccosθ 对x ＜－R ，有.0)()cos ()()(=∅=≤=≤=P x ΘR P x X P x F X对x ＞R ，有,1)()cos ()()(==≤=≤=ΩP x ΘR P x X P x F X即⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤=.,1,,cos arc π11,,0)(R x R x R R xR x x F X 所以X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=.,0,,π1)()(22其他R x R x R x F x p X X(2)公式法设θ∈(－π，π)．由,2cos 2θR y =有当0≤θ≤π时，单调递减，⋅--='=2242,2cosarc 2y R R y y θθ 当－π≤θ≤0时，单调递增，2arccos,2y y R θθ=-=' 可见p Y (y )＝P θ(f －1(y ))|y y f'-))((1|⋅-=--+-=22222241π2|42|2π1422π1yR y R y R 因此⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=.,0,20,4π2)(22其他R y y R y p Y58.设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=.,0],6,3[,92],1,0[,31)(其他x x x p若使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是________． 分析 由图2－9可知图2－9,32)36(92)63(=-⨯=≤≤X P 因此k ∈[1，3]时，⋅=≤≤=≥32)63()(X P k X P 59.设随机变量X 的分布函数为F (x )，则Y ＝－2ln F (X )的概率分布密度函数P Y (y )＝______．分析 用定义法求出Y 的分布，首先求出Y 的分布函数． 当y ＞0时，有F (y )＝P (Y ≤y )＝P (－2ln F (X )≤y ))e )((2y X F P -≥= ))e ((21y F X P --≥= ))e ((121y F F ---=.e 12y--=当y ≤0时，F (y )＝0．因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(2y y y F y 再求出Y 的分布密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-.0,0,0,e 21)()(2y y y F y p yY60.设)2π,2π(~-U X ，并且y ＝tan x ，求Y 的分布密度函数p (y )． 分析 由)2π,2π(~-U X ，有⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.,0],2π,2π[,π1)(1其他x x p 下面利用公式法求出Y ＝tan X 的分布，为此先求出：α＝－∞，β＝＋∞．,tan arc )(1y y f x ==-⋅+='='-2111))((yy f x y y 于是有121()(())|(1'())|y p y p f y f y --=⋅').(11.π12+∞<<-∞+=y y61.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，则(X ，Y )的联合分布及边缘分布为62.设(X ，Y )的联合分布密度为⎩⎨⎧≥≥=+-.,0,0,0,e ),()43(其他y x C y x p y x试求：(1)常数C . (2)P {0＜X ＜1，0＜Y ＜2}． (3)X 与Y 的边缘分布密度p 1(x )，p 2(y )．解 (1)由p (x ，y )的性质，有y x C y x y x p y x d d e d d ),(1)43(0+-+∞+∞+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰==3401e d e d ,12x y C x y C +∞+∞--=⋅⋅=⎰⎰ 即C ＝12．(2)令D ＝{(x ，y )|0＜x ＜1，0＜y ＜2}，有y x y x p D Y X P Y X P Dd d ),(}),{(}20,10{⎰⎰=∈=<<<<).e 1)(e 1(d e d e 12d d e 128342310)43(----+---===⎰⎰⎰⎰y x y x y x y x D(3)先求X 的边缘分布：①当x ＜0时，p (x ，y )＝0，于是10()(,)d 0.p x p x y y +∞==⎰②当x ≥0时，只有y ≥0时，p (x ，y )＝12e－(3x ＋4y )，于是⎰+∞∞--+-==.e 3d e 12)(3)43(1x y x y x p因此⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 3)(31x x x p x 同理⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 4)(42y y y p y 63.设二维连续型随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，其中D ＝{(x ，y ):|x ＋y |≤1，|x －y |≤1}，求X 的边缘密度p X (x )．解 区域D 实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为2，面积S D ＝2，因此(X ，Y )的联合密度是图3－9⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 11111d ,10,21()(,)d d ,01,20,.x x x X x y x p x p x y y y x +--+∞--∞-⎧-≤≤⎪⎪⎪==<≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他即 1,10,()1,01,0,.X x x p x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他 64.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=----.,0,0,0,333),(其他y x C y x F y x y x求(1)常数C ；(2)分布密度p (x ，y )．解 (1)由性质F (＋∞，＋∞)＝1，得到C ＝1．(2)由公式：yx Fy x p ∂∂∂=2),(有3ln 33ln 3,x x y Fx--∂=-∂ .)3(ln 3)3ln 33ln 3(22y x y x x yyx F -----=-∂∂=∂∂∂故 ⎩⎨⎧≥≥=--.,0,0,0,)3(ln 3),(2其他y x y x p y x65.设D 2是x ＝0，y ＝0，y ＝2x ＋1围成的区域，ξ＝(X ，Y )在D 2上均匀分布，求F (x ，y )．答案是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅∈∈-∈+∈-+∈=54232221),(,1,),(,2,),(,)12(,),(,)12(2,),(,0),(D y x D y x y y D y x x D y x y x y D y x y x F 其中区域D 1，D 2，D 3，D 4，D 5如图3－10所示．图3－1066.求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解(1)由公式),3,2,1()(====∑⋅i p x X p p ijji i),2,1()(====⋅j p y Y p p ijij j(2)计算下面各条件概率：,8380.030.0)(),()|(,16380.015.0)(),()|(1121211111======y p y x p y x p y p y x p y x p⋅===16780.035.0)(),()|(11313y p y x p y x p因此，X 关于Y(3)同样方法求出Y 关于X 取值x ＝5的条件分布为67.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布密度为.e π1),()52(2122y xy x y x p ++-=求(1)X 与Y 的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解 (1)由公式y y y x p x p y xy x d e π1d ),()()52(21122++-∞+∞-∞+∞-⎰⎰==)10125(d e 52e e π1222)10125(102x y x y x x +=⎰∞+∞-+-- ,e 5π2πe 52π1224.04.0x x --=⋅=这里应用了.πd e2=-+∞∞-⎰u u 同理，可求得Y 的边缘分布密度为.e π2)(222y y p -=(2)在给定Y ＝y 的条件下，X 的条件分布密度为,e 2π1)(),()|(2)(5.02y x y p y x p y x p +-==而在给定X ＝x 的条件下，Y 的条件分布密度为.e 2π5)(),()|(2)5(1.01y x x p y x p x y p +-==69.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析 应注意到X 与Y 相互独立． 解 由于P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1),2418161=-=考虑到X 与Y 相互独立，有P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，⋅===4161241}{1x X P所以同理，可以导出其他数值．故XY 的联合分布律为70.设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立． 证 X 的分布函数为⎩⎨⎧≥<=.0,1,0,0)(1时当时当x x x F 设Y 的分布函数为F 2(y )，(X ，Y )的分布函数为F (x ，y )，则当x ＜0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P {X ≤x ，Y ≤y }＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P (∅∩{Y ≤y })＝P (∅)＝0＝F 1(x )F 2(y )．当x ≥0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P {Y ≤y }＝F 2(y )＝F 1(x )F 2(y )．因此，对任意的x ，y 均有F (x ，y )＝F 1(x )F 2(y )，即X 与Y 相互独立．71.设(X ，Y )的联合分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=.,0,1||,1||,41),(其他y x xy y x p试证明：(1)X 与Y 是相依的． (2)X 2与Y 2是相互独立的．证 (1)先求X 的边缘分布密度．当|x |＜1时，有⋅=+==⎰⎰-+∞∞-21d 41d ),()(111y xy y y x p x p当|x |≥1时，p 1(x )＝0，因此⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(1其他x x p 同理⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(2其他y y p 可见，当|x |＜1，|y |＜1时p (x ，y )≠p 1(x )·p 2(y )，所以X 与Y 不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X 2，η＝Y 2，其分布函数分别为F 1(x )和F 2(y )，于是当0≤x ＜1时，有)()()(21x X x P x X P x F ≤≤-=≤=⎰-==x x x x ,d 21因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(1x x x x x F同理可求得Y 2的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F如图3－11所示，将Oxy 平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F 3(x ，y )，则图3－11①当x ＜0或y ＜0时，F 3(x ，y )＝0． ②当0≤x ＜1，y ≥1时，.)(),(),(2223x x X P y Y x X P y x F =≤=≤≤=③当0≤y ＜1，x ≥1时，同理.),(3y y x F =④当0≤x ＜1，0≤y ＜1时， F 3(x ，y )＝P (X 2≤x ，Y 2≤y )),(y Y y x X x P ≤≤-≤≤-=1d 4sxs t +==⑤当x ≥1，y ≥1时，.1d d 41),(),(1111223=+=≤≤=⎰⎰--y x xyy Y x X P y x F综合起来得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤<≤≥<≤≥<≤<<=.1,1,1,10,10,,1,10,,1,10,,00,0),(3y x y x xy x y y y x x y x y x F 或不难验证，对于所有x ，y 都有F 3(x ，y )＝F 1(x )·F 2(y )，所以ξ与η相互独立，即X 2与Y 2相互独立．72. 设(X ，Y )的联合分布为求(Ⅰ)Z 1＝X ＋Y ；23解 (Ⅰ)Z 1＝X ＋Y 的正概率点为0，1，2，3．因为。
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典型例题分析例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。
解 以21S 和22S 分别表示两个（修正）样本方差。
由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布，自由度为（7，9）。
1） 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。
2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。
由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。
由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。
例2．设n X X X ，，， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。
解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度1-=n v ，于是，有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。
我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-）（的最小1+=v n 值，由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。
于是，所求27=n 。
例3．假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布，其中θ未知：)(1n X X ，， 是来自X 的简单随机样本，X 是样本的均值，{}n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。
证明21ˆ1-=X θ 和 11ˆ12+-=n X ）（θ 都是θ的无偏估计量。
解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布，知2/)12(+==θEX EX i 。
1） 由θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2121212221211ˆ111n i n i i n EX n E ， 可见1ˆθ是θ的无偏估计量。
2） 为证明2ˆθ是θ的无偏估计。
我们先求统计量)1(X 的概率分布。
{}⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-<=≤=。
若，；若；若）（111,,0θθθθθx x x x X P x F其密度为⎩⎨⎧+≤≤=。
其他，若,01,1)(θθx x f由于n X X ，，1独立且与X 同分布，知)1(X 的分布函数为 {}{}{}x X x X P x X P x X P x F n >>-=>-=≤=,,111)1()1(1 ）（）（ {}{}x X P x X P n >>-= 11 []nx F )(11--=；[])1()1()()(1)()(11)1()1(+≤≤-+=-='=--θθθx x n x f x F n x F x f n n于是，有⎰⎰+-+-+==111)1()1()1()(θθθθθdx x x n dx x xf EX n⎰⎰+-+-+++-+-+=111)1)(1()1()1(θθθθθθθθdx x n x d x n n nθθ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=11111n n n n 。
θθ=+-=11ˆ)1(2n EX E ， 从而2ˆθ是θ的无偏估计。
在证2ˆθ的无偏估计时，先求估计量分布再求其数学期望。
此外，下面将看到，1ˆθ是矩估计量，)1(X 是最大似然估计量。
3） 有效性的验证，即验证两个无偏估计量哪一个更有效（方差较小），只需 计算它们的方差并加以比较，验证估计量的最小方差超出了本课程的要求。
读者只需了解一些常用的最小方差估计量。
例如，对于正态分布总体),(2σμN ，样本均值X 和修正样本方差2S 相应为μ和2σ的最小方差无偏估计量；事件频率n pˆ是它的概率p 的最小方差无偏估计量。
如果要求有效率，则用公式)ˆ()(0θθD D 计算，其中()2),(ln 1)()ˆ(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=≥θθθθx f nE D D ——称为罗.克拉美不等式。
例4．设总X 服从正态分布），（20σμN ，其中方差20σ为已知常数；关于未知数学期望μ有两个二者必居其一的假设： 1100μμμμ==：，：H H ，其中0μ和1μ都有已知常数，并且10μμ<。
根据来自总体X 的简单随机样本n X X X ，，， 21，确定假设0H 的α水平否定域（即拒绝域），并计算第二类错误概率。
解 取统计量 nX U 0σμ-=做检验的统计量。
在假设00μμ=：H 成立的条件下，），（10~N U 。
由于{}{}{}{}ααααα=≤=-≤=≥=≥-122u U p u U P u U P u U P 。
所以以下四种都是假设0H 的水平α的否定域： {}{}αα221u U V u U V ≥=≥=；； {}{}αα-≤=-≤=1423u U V u U V ；， 其中αu 是标准正态分布α水平双侧分位数（见附表）。
在假设11:μμ=H 成立的条件下，统计量)1,(~∆N U ，其中001/)(σμμ-=∆n 。
因此，以)4,3,2,1(=i V i 为假设否定域的检验的第二类错误概率为：{}{}⎰∆--====iV x i i dx e V P H V P 2)(11221πμμβ。
特别（设)(x Φ是标准正态分布函数）1)()(212122)(122-∆-Φ+∆+Φ===⎰⎰∆-∆---∆--ααμππβαμααu du e dx eu u u u u x ；)(2122)(222∆-Φ==⎰∞-∆--ααπβu dx eu x ； )(2122)(322∆+Φ==⎰∞+-∆--ααπβu dx eu x ；)()(22121112)(2)(41212∆-Φ-∆+Φ-=+=--∞+∆--∞-∆--⎰⎰--ααμππβααu dx edx eu x u x 。
为了便于比较，设91101.0010=====n ；，，，σμμα，则13.0,28.1,65.1,39.02.01.0====∆u u u 。
查附表并经计算，容易得到9988.09999.00427.00855.04321====ββββ，，，。
计算结果表明，尽管四个检验的一类错误的概率都等于1.0=α，但它们的第二类错误的概率却不相同。
以2V 为否定域的检验的第二类错误的概率最小，为我们所选用。
例5．对二项分布),(p n B 作统计假设 3.0:,6.0:10==p H p H 。
假设0H 的否定域取为{}{}21c c V n n ≥≤=μμ ，其中n μ表示n 次试验中成功的次数。
对（1）;3,9,1,1021====n c c n μ （2）6,17,7,2021====n c c n μ，求显著性水平α和第二类错误的概率β。
解 （1）显著性水平α是第一类错误的概率，于是 {}{}6.00=∈=∈=p V P H V P n μμα0479.04.06.04.06.0109101011010≈+=∑∑=-=-i i i ii iii C C 。
{}{}111H V P H V P n n ∈-=∈=μμβ {}3.01=∈-=p V P n μ 8506.07.03.07.03.011091010101010≈--=∑∑=-=-i i i ii iiiC C 。
（2）{}{}6.00=∈=∈=p V P H V P n n μμα 0370.04.06.04.06.0201720702020≈+=∑∑==-i i i ii iiiC C 。
{}{}3.011=∈-=∈=p V P H V P n n μμβ 2277.07.03.07.03.0120172020702010≈--=∑∑=-=-i i i ii iiiC C 。
例6．谋装置的平均工作温度据制造厂家称不高于190℃。
今从一个由16台装置构成的随机样本册的工作温度的平均值和标准差分别为195℃和8℃。
根据这些数据能否说明平均工作温度比制造厂所说的要高？设05.0=α，并假定工作温度服从正态分布。
解 设工作温度为X ，根据题设),(~2σμN X 。
考虑假设 190,190:10>≤H H μ 由于总体方差2σ未知，故用t 检验。
这里,151,16=-==n v n 对给定的05.0=α，查表得75.15.1,1.0,20==t t v 。
于是由表情形知假设0H 的否定域为{}75.1≥=t V 。
由条件和0H 知8,195,1900===S X μ，因此5.216/8190195=-=t 。
由于75.15.2>=t ，所以否定域假设0H ，说明平均工作温度比制造厂说的要高。
例7 某电话交换台在一小时（60分钟）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有如下纪录：问统计资料是否可以说明，每分钟电话呼唤次数服从泊松分布？（）05.0=α 解 设X 表示每分钟电话呼唤次数，需要检验的假设 X H ：0服从泊松分布。
泊松分布中未知参数λ的最大似然估计为∑===62601ˆk k kv λ。
我们用)6,,1,0(!2ˆ ==-k e k pk k k估计概率{})6,,1,0( ===k k X P p k ；用)4,3,2,1,0(ˆ==k pn E k k 估计{}k X =的期望频数。
为避免期望频数太小，将呼唤次数为5和6的情况，合并为5≥X 的情况，为第6组：其实际频数为2+1=3，期望频数为 16.3)(655=+=p p n E 。
计算结果列入下表：所以统计量1762.0)(5022=-=∑=k kk k E E v χ。
统计量2χ的自由度16--=m v ，其中1=m 是用到参数估计值的个数，故4=v 。
对于， 05.0=α，查表得488.924,05.0=χ；假设0H 的否定域为{}488.92≥=χV 。
由于2χ=0.1762<9.488,所以不否定假设0H ，即可以认为电话呼唤次数服从泊松分布。